Рассмотрим два частных случая, которые дают представление о поведении решения уравнения, Случай 1. Пусть а график функции имеет вид, изображенный на рис. За. Будем считать для простоты, что а= 1. Тогда формула Даламбера примет вид Чтобы получить график решения и рассматриваемого как функция or х при каком-нибудь фиксированном положительном ty поступаем так: сначала начер- 1 тим два одинаковых совпадающих графи- " ка, которые получаюгся из графика у>о(х) - уменьшением вдвое каждой ординаты (пунктир на верхнем рисунке). Потом рис. з один из этих графиков передвинем, как целое, на t вправо по направлению положительной полуоси Ох> адругой - на t влево. После этого построим новый график, у которого ордината при каждом значении х равна сумме ординат двух передвинутых графиков. На рис. 3 б, 3 в и 3 г этим способом построены графики гх (х, j), u (х, j), и(х, 1) соответственно. Мы видим, что при выбранных начальных условиях в каждой точке струны после прохождения обеих волн (для точек, лежащих вне области начального смещения, - после прохождения только одной) наступает покой. СяучаЛ 2. Пусть Корректность постановки задачи Пример Адамара некорректно поставленной задачи Свободные колебания однородной струны закрепленной на концах Исследование формулы Даламбера В этом случае говорят, что струна имеет только начальный импульс. Решение (8) принимает вид (для простоты считаем а=1): Для каждого фиксированного х решение u(xyt) будет равно нулю до тех пор, пока пересечение интервала (x-t, х +1) с интервалом (-5»?)» где МО7*0, пусто; u(x,0 будет изменяться в течение того промежутка времени, пока увеличивающийся интервал {x-t, х 4-1) будет накрывать все большую часть интервала (-5, 3). После того, как интервал (x-t, х + t) заключит внутрь себя интервал (-5, 3), величина и(г,0 будет оставаться неизменной и равной Чтобы получить график, представляющий форму струны при различных t, поступаем следующим образом. Обозначим через Ф(г) какую-нибудь первообразную функцию для 4>\(z). Тогда Для построения графика и(х, t) вычерчиваем графики функций азатем каждый изэтихграфиковпередвигаем,какцелое,нарасстояние£ вдоль ос и Ох, первый график влево, а второй - вправо. Сложив ординаты передвинутых графиков, получим график функции ti(x, t) (рис. 5). По истечении достаточно большого промежутка времени каждая точка струны переместится и получит стационарное отклонение «ст, определяемое интегралом (9). В этом случае мы имеем, следовательно, остаточную деформацию (гистерезис). § 3. Корректность постановки задачи. Пример Адамара некорректно поставленной задачи В связи с изучением физически детерминированных явлений вводится понятие корректности задачи. Определение. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если 1) решение задачи существует в каком-то классе М\ функций; 2) решение задачи единственно в некотором классе М2 функций; 3) решениезадачи непрерывно зависит от данных задачи (начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения и т.д.). Множество М| П М2 функций называется классом корректности рассматриваемой математической задачи. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что задача Коши поставлена корректно, если функция /(х, у) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную в некоторой области, содержащей точку Рассмотрим задачу Коши для неограниченной струны Выше м ы установили, что решение задачи (1)-(2) 1) существует и 2) единственно. Покажем, что при непрерывном изменении начальных условий это решение изменяется непрерывно. Теорема 1. Каков бы ни был отрезок }