TÓL TŐL n ismeretlen egy rendszer a következő formában:

ahol aijés b i (i=1,…,m; b=1,…,n) néhány ismert szám, és x 1,…,x n- ismeretlen számok. Az együtthatók jelölésében aij index én meghatározza az egyenlet számát, és a másodikat j annak az ismeretlennek a száma, amelynél ez az együttható található.

Homogén rendszer - amikor a rendszer minden szabad tagja nulla ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), az ellenkező helyzet áll fenn heterogén rendszer.

Négyzetes rendszer - amikor a szám m egyenletek egyenlő a számmal n ismeretlen.

Rendszermegoldás-készlet n számok c 1 , c 2 , …, c n , olyan, hogy a helyettesítés minden c i ahelyett x i rendszerré alakítja minden egyenletét azonosságokká.

ízületi rendszer - amikor a rendszernek van legalább egy megoldása, és nem kompatibilis rendszer amikor a rendszernek nincsenek megoldásai.

Egy ilyen közös rendszernek (amint fentebb, legyen (1)) egy vagy több megoldása lehet.

Megoldások c 1 (1), c 2 (1), …, c n (1)és c 1 (2), c 2 (2), …, c n (2) típusú közös rendszer (1) lesz különféle, ha az egyenlőségek közül még 1 sem teljesül:

c 1 (1) = c 1 (2), c 2 (1) = c 2 (2), …, c n (1) = c n (2) .

Az (1) típusú közös rendszer lesz bizonyos amikor csak egy megoldása van; ha egy rendszernek legalább 2 különböző megoldása van, akkor azzá válik alulhatározott. Ha több egyenlet van, mint ismeretlen, akkor a rendszer az újradefiniált.

Az ismeretlenek együtthatói mátrixként vannak felírva:

Ez az úgynevezett rendszermátrix.

Azok a számok, amelyek az egyenletek jobb oldalán vannak, b 1 ,…,b m vannak ingyenes tagok.

Összesített n számok c 1 ,…,c n megoldás erre a rendszerre, amikor a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé változik, miután számokat helyettesítünk benne c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1,…,x n.

Lineáris egyenletrendszer megoldása során 3 lehetőség merülhet fel:

1. A rendszernek csak egy megoldása van.

2. A rendszernek végtelen számú megoldása van. Például, . Ennek a rendszernek a megoldása minden előjelben eltérő számpár lesz.

3. A rendszernek nincsenek megoldásai. Például, , ha létezik megoldás, akkor x1 + x2 egyenlő 0-val és 1-gyel.

Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei.

Közvetlen módszerek adjon meg egy algoritmust, amellyel a pontos megoldást megtalálja SLAU(lineáris algebrai egyenletrendszerek). És ha a pontosság abszolút lenne, akkor megtalálták volna. Egy igazi elektromos számítógép természetesen hibával működik, így a megoldás hozzávetőleges lesz.

Általában a lineáris egyenlet a következőképpen alakul:

Az egyenletnek van megoldása: ha az ismeretlenekben legalább egy együttható nullától eltérő. Ebben az esetben bármely -dimenziós vektort az egyenlet megoldásának nevezünk, ha koordinátáinak behelyettesítésekor az egyenlet azonossággá válik.

A megengedett egyenletrendszer általános jellemzői

Példa 20.1

Ismertesse az egyenletrendszert!.

Megoldás:

1. Van egy inkonzisztens egyenlet?(Ha az együtthatók, ebben az esetben az egyenletnek a következő alakja van: és az úgynevezett vitatott.)

• Ha egy rendszer inkonzisztens rendszert tartalmaz, akkor az ilyen rendszer inkonzisztens, és nincs megoldása.

2. Keresse meg az összes engedélyezett változót. (Az ismeretlent hívjákmegengedett egyenletrendszerre, ha a rendszer egyik egyenletébe +1 együtthatóval lép be, a többi egyenletbe pedig nem (azaz nullával egyenlő együtthatóval lép be).

3. Megengedett-e az egyenletrendszer? (Az egyenletrendszert feloldottnak nevezzük, ha a rendszer minden egyenlete feloldott ismeretlent tartalmaz, amelyek között nincs egybeeső)

A rendszer minden egyenletéből egyesével kivett megengedett ismeretlenek kialakulnak megengedett ismeretlenek teljes halmaza rendszerek. (példánkban ez van)

A teljes halmazban szereplő megengedett ismeretleneket is hívják alapvető(), és a készlet nem tartalmazza - ingyenes ().

Általános esetben a feloldott egyenletrendszer alakja a következő:

Ebben a szakaszban fontos megérteni, mi az ismeretlenül megoldva(az alapban benne van és ingyenes).

Általános részleges alapmegoldás

Általános megoldás a megengedett egyenletrendszerből a megengedett ismeretlenek szabad kifejezések és szabad ismeretlenek kifejezéseinek halmaza:

Magán döntés Az általánosból nyert megoldásnak nevezzük a szabad változók és ismeretlenek konkrét értékeire.

Alap megoldás egy speciális megoldás, amelyet az általánosból nyerünk a szabad változók nulla értékeinél.

• Az alapmegoldást (vektort) ún elfajzott, ha a nullától eltérő koordinátái kisebbek, mint a megengedett ismeretlenek száma.
• Az alapmegoldást ún nem degenerált, ha a nullától eltérő koordinátáinak száma megegyezik a teljes halmazban szereplő rendszer megengedett ismeretleneinek számával.

Tétel (1)

A megengedett egyenletrendszer mindig konzisztens(mert legalább egy megoldása van); Sőt, ha a rendszerben nincsenek szabad ismeretlenek,(azaz az egyenletrendszerben az összes engedélyezett benne van a bázisban) akkor meg van határozva(egyedi megoldása van); ha van legalább egy szabad változó, akkor a rendszer nincs definiálva(végtelen számú megoldása van).

1. példa Keressen egy általános, alapvető és bármilyen konkrét megoldást az egyenletrendszerre:

Megoldás:

1. Ellenőrzi, hogy a rendszer engedélyezett-e?

• A rendszer engedélyezett (mert minden egyenlet tartalmaz egy megengedett ismeretlent)

2. A halmazba belefoglaljuk a megengedett ismeretleneket – minden egyenletből egyet.

3. Felírjuk az általános megoldást, attól függően, hogy mely engedélyezett ismeretleneket foglaltuk a halmazba.

4. Találunk egy konkrét megoldást. Ehhez a szabad változókat, amelyeket nem vettünk fel a halmazba, tetszőleges számokkal egyenlővé tesszük.

Válasz: privát döntés(az egyik lehetőség)

5. Az alapvető megoldás megtalálása. Ehhez nullával egyenlővé tesszük azokat a szabad változókat, amelyeket nem vettünk fel a halmazba.

Lineáris egyenletek elemi transzformációi

A lineáris egyenletrendszereket elemi transzformációk segítségével ekvivalens megengedett rendszerekre redukáljuk.

Tétel (2)

Ha van ilyen szorozzuk meg a rendszer egyenletét valamilyen nullától eltérő számmal, és hagyja változatlanul a többi egyenletet, majd . (vagyis ha az egyenlet bal és jobb oldalát megszorozod ugyanazzal a számmal, akkor az adott egyenletet kapod)

Tétel (3)

Ha egy adjunk hozzá egy másik egyenletet az egyik egyenlethez, és hagyja változatlanul az összes többi egyenletet a megadottal egyenértékű rendszert kapjunk. (vagyis ha két egyenletet adunk össze (a bal és jobb oldali részüket összeadjuk), akkor az adatokkal egyenértékű egyenletet kapunk)

Következmény a (2. és 3.) tételből

Ha egy bármely egyenlethez adjunk hozzá egy másikat, megszorozva egy bizonyos számmal, és az összes többi egyenletet változatlanul hagyja, akkor a megadottal egyenértékű rendszert kapunk.

Képletek a rendszertényezők újraszámításához

Ha van egyenletrendszerünk, és azt egy megengedett egyenletrendszerré akarjuk átalakítani, akkor a Jordan-Gauss módszer segít ebben.

Jordan átalakul feloldóelemmel lehetővé teszi, hogy a számmal rendelkező egyenletben lévő egyenletrendszerhez megkapjuk a feloldott ismeretlent. (2. példa).

A Jordan transzformáció kétféle elemi transzformációból áll:

Tegyük fel, hogy az alsó egyenletben szereplő ismeretlent feloldott ismeretlenné akarjuk tenni. Ehhez el kell osztanunk úgy, hogy az összeg .

2. példa Számítsa újra a rendszer együtthatóit

Ha egy egyenletet egy számmal osztunk el -vel, együtthatóit a következő képletek szerint számítjuk újra:

A számmal való egyenletből való kizáráshoz meg kell szorozni az egyenletet a számmal, és hozzá kell adni ehhez az egyenlethez.

(4) Tétel A rendszeregyenletek számának csökkentéséről.

Ha az egyenletrendszer triviális egyenletet tartalmaz, akkor az kizárható a rendszerből, és az eredetivel egyenértékű rendszert kapunk.

(5) Tétel Az egyenletrendszer összeférhetetlenségéről.

Ha egy egyenletrendszer inkonzisztens egyenletet tartalmaz, akkor az inkonzisztens.

Jordan-Gauss módszer algoritmusa

Az egyenletrendszerek Jordan-Gauss módszerrel történő megoldására szolgáló algoritmus több azonos típusú lépésből áll, amelyek mindegyike a következő sorrendben hajtja végre a műveleteket:

1. Ellenőrzi, hogy a rendszer nem konzisztens-e. Ha egy rendszer inkonzisztens egyenletet tartalmaz, akkor az inkonzisztens.
2. Ellenőrizzük az egyenletek számának csökkentésének lehetőségét. Ha a rendszer triviális egyenletet tartalmaz, akkor az át van húzva.
3. Ha az egyenletrendszer megengedett, akkor írja le a rendszer általános megoldását, és ha szükséges, az egyes megoldásokat.
4. Ha a rendszer nem engedélyezett, akkor a megengedett ismeretlent nem tartalmazó egyenletben egy feloldó elemet választunk, és ezzel az elemmel Jordan transzformációt hajtunk végre.
5. Ezután térjen vissza az 1. ponthoz.

3. példa Oldja meg az egyenletrendszert a Jordan-Gauss módszerrel!

megtalálja: két általános és két megfelelő alapmegoldás

Megoldás:

A számításokat az alábbi táblázat mutatja:

Az egyenletekre vonatkozó műveletek a táblázat jobb oldalán láthatók. A nyilak mutatják, hogy melyik egyenlethez adjuk hozzá a feloldó elemet tartalmazó egyenletet egy megfelelő tényezővel szorozva.

A táblázat első három sora az ismeretlenek és az eredeti rendszer jobb oldali részeinek együtthatóit tartalmazza. Az eggyel egyenlő felbontású első Jordan-transzformáció eredményeit a 4., 5., 6. sorban adjuk meg. A második, (-1) felbontású Jordan-transzformáció eredményeit a 7., 8., 9. sorban adjuk meg. a harmadik egyenlet triviális, nem lehet figyelembe venni.

A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a lineáris algebra egyik fő problémája. Ez a probléma nagy gyakorlati jelentőséggel bír a tudományos és műszaki problémák megoldásában, emellett számos számítási matematikai, matematikai fizika algoritmus megvalósításában, kísérleti vizsgálatok eredményeinek feldolgozásában segédeszköz.

Lineáris algebrai egyenletrendszer a következő alakú egyenletrendszernek nevezzük: (1)

ahol – ismeretlen; - ingyenes tagok.

Az egyenletrendszer megoldása(1) nevezzen meg minden olyan számhalmazt, amely az (1) rendszerbe kerül az ismeretlen helyére a rendszer összes egyenletét valódi numerikus egyenlőségekké alakítja.

Az egyenletrendszert ún közös ha van legalább egy megoldása, és összeegyeztethetetlen ha nincs megoldása.

Az együttes egyenletrendszert ún bizonyos ha egyetlen megoldása van, és bizonytalan ha legalább két különböző megoldása van.

A két egyenletrendszert ún egyenértékű vagy egyenértékű ha azonos megoldáskészlettel rendelkeznek.

Az (1) rendszert hívják homogén ha a szabad feltételek nullával egyenlőek:

Egy homogén rendszer mindig kompatibilis – van megoldása (talán nem az egyetlen).

Ha az (1) rendszerben van, akkor megvan a rendszer n lineáris egyenletek -val n ismeretlen: hol – ismeretlen; az ismeretlenek együtthatói, - ingyenes tagok.

Egy lineáris rendszernek lehet egyetlen megoldása, végtelen sok megoldása vagy egy sem.

Tekintsünk két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel

Ha akkor a rendszer egyedi megoldással rendelkezik;

ha akkor a rendszernek nincsenek megoldásai;

ha akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Példa. A rendszer egyedi megoldást kínál egy számpárra

A rendszernek végtelen számú megoldása van. Például ennek a rendszernek a megoldásai számpárok és így tovább.

A rendszernek nincsenek megoldásai, mivel két szám különbsége nem vehet fel két különböző értéket.

Meghatározás. Másodrendű determináns ilyen kifejezésnek nevezik:

Jelölje a determinánst a D jellel.

Számok a 11, …, a 22 determináns elemeknek nevezzük.

Elemek által alkotott átló a 11 ; a 22 hívás fő, az elemek alkotta átló a 12 ; a 21 − oldal.

Így a másodrendű determináns egyenlő a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséggel.

Vegye figyelembe, hogy a válasz egy szám.

Példa. Számítsuk ki a determinánsokat:

Tekintsünk két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel: ahol x 1, x 2 – ismeretlen; a 11 , …, a 22 - együtthatók ismeretlenekre, b 1 ,b 2 - ingyenes tagok.

Ha egy két egyenletből álló rendszernek két ismeretlennel van egyedi megoldása, akkor az másodrendű determinánsok segítségével kereshető meg.

Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst nevezzük rendszer minősítő: D=.

A D determináns oszlopai az együtthatók, ill x 1 és at , X 2. Mutassunk be kettőt további meghatározó tényezők, amelyeket a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy az egyik oszlopot egy szabad tagokból álló oszlopra cseréljük: D 1 = D 2 = .

14. tétel(Cramer, az n=2 esetre). Ha a rendszer D determinánsa különbözik nullától (D¹0), akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a következő képletekkel találunk meg:

Ezeket a képleteket ún Cramer képletei.

Példa. A rendszert Cramer szabálya szerint oldjuk meg:

Megoldás. Keressük a számokat

Válasz.

Meghatározás. Harmadik rendű determináns ilyen kifejezésnek nevezik:

Elemek a 11; a 22 ; a 33 - alkotják a főátlót.

Számok a 13; a 22 ; a 31 - oldalátlót alkotnak.

A pluszjeles bejegyzés a következőket tartalmazza: a főátlón lévő elemek szorzata, a maradék két tag a főátlóval párhuzamos alapokkal rendelkező háromszög csúcsaiban elhelyezkedő elemek szorzata. A mínuszos kifejezések a másodlagos átlóhoz hasonlóan alakulnak.

Példa. Számítsuk ki a determinánsokat:

Tekintsünk egy három lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel: ahol – ismeretlen; az ismeretlenek együtthatói, - ingyenes tagok.

Egyedi megoldás esetén egy 3 lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel oldható meg 3. rendű determinánsok segítségével.

A D rendszer determinánsának alakja:

Három további meghatározó tényezőt vezetünk be:

15. tétel(Cramer, az n=3 esetre). Ha a rendszer D determinánsa nem nulla, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a Cramer-képletek segítségével találunk meg:

Példa. Oldjuk meg a rendszert a Cramer-szabály segítségével.

Megoldás. Keressük a számokat

Használjuk Cramer képleteit, és keressünk megoldást az eredeti rendszerre:

Válasz.

Vegyük észre, hogy a Cramer-tétel akkor alkalmazható, ha az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, és ha a D rendszer determinánsa eltér nullától.

Ha a rendszer determinánsa nulla, akkor ebben az esetben a rendszernek vagy nincs megoldása, vagy végtelen számú megoldása lehet. Ezeket az eseteket külön tanulmányozzuk.

Csak egy esetet említünk. Ha a rendszer determinánsa nulla (D=0), és a további determinánsok közül legalább egy különbözik nullától, akkor a rendszernek nincs megoldása, azaz inkonzisztens.

A Cramer-tétel általánosítható a rendszerre n lineáris egyenletek -val n ismeretlen: hol – ismeretlen; az ismeretlenek együtthatói, - ingyenes tagok.

Ha egy ismeretlenekkel rendelkező lineáris egyenletrendszer determinánsa, akkor a rendszer egyetlen megoldását a Cramer-képletek találják:

További determinánst kapunk a D determinánsból, ha az ismeretlenre vonatkozó együtthatók oszlopát tartalmazza x i cserélje ki a szabad tagok oszlopával.

Vegye figyelembe, hogy a D, D 1 , … , D determinánsok n legyen rendje n.

Gauss-módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására

A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának egyik legelterjedtebb módszere az ismeretlenek egymást követő eliminálásának módszere. − Gauss-módszer. Ez a módszer a szubsztitúciós módszer általánosítása, és az ismeretlenek egymás utáni eliminálásából áll, amíg egy egyenlet marad egy ismeretlennel.

A módszer a lineáris egyenletrendszer néhány transzformációján alapul, melynek eredményeként az eredeti rendszerrel ekvivalens rendszert kapunk. A módszer algoritmusa két szakaszból áll.

Az első szakasz az ún egyenes vonalban Gauss módszer. Ez abból áll, hogy az egyenletekből egymást követően ki kell küszöbölni az ismeretleneket. Ehhez első lépésben a rendszer első egyenletét elosztjuk (ellenkező esetben a rendszer egyenleteit permutáljuk). A kapott redukált egyenlet együtthatóit jelöljük, megszorozzuk az együtthatóval, és kivonjuk a rendszer második egyenletéből, ezáltal kizárjuk a második egyenletből (az együttható nullázása).

A többi egyenletet hasonlóan kezeljük, és egy új rendszert kapunk, amelynek minden egyenletében a másodiktól kezdve az at együtthatók csak nullákat tartalmaznak. Nyilvánvaló, hogy a létrejövő új rendszer egyenértékű lesz az eredeti rendszerrel.

Ha az új együtthatók, -nél, nem mind egyenlőek nullával, akkor ugyanúgy kiküszöbölhetjük őket a harmadik és az azt követő egyenletekből. Folytatva ezt a műveletet a következő ismeretlenekre, a rendszer az úgynevezett háromszög alakra kerül:

Itt a és a szimbólumok jelölik az átalakítások eredményeként megváltozott számszerű együtthatókat és szabad tagokat.

A rendszer utolsó egyenletéből meghatározzuk a -t, majd egymást követő behelyettesítéssel a fennmaradó ismeretleneket.

Megjegyzés. Előfordul, hogy a transzformációk eredményeként bármelyik egyenletben az összes együttható és a jobb oldal nullára fordul, vagyis az egyenlet 0=0 azonossággá változik. Ha egy ilyen egyenletet kizárunk a rendszerből, az egyenletek száma csökken az ismeretlenek számához képest. Egy ilyen rendszernek nem lehet egyedi megoldása.

Ha a Gauss-módszer alkalmazása során bármely egyenlet 0=1 alakú egyenlőséggé változik (az ismeretlenek együtthatói 0-ra fordulnak, és a jobb oldal nullától eltérő értéket vesz fel), akkor az eredeti rendszernek nincs megoldás, mivel egy ilyen egyenlőség helytelen bármely ismeretlen értékre.

Tekintsünk egy három lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

ahol – ismeretlen; az ismeretlenek együtthatói, - ingyenes tagok. , helyettesítve a talált

Megoldás. A Gauss-módszert erre a rendszerre alkalmazva azt kapjuk, hogy

Innen az utolsó egyenlőség hamis az ismeretlenek bármely értékére, ezért a rendszernek nincs megoldása.

Válasz. A rendszernek nincs megoldása.

Megjegyezzük, hogy a korábban vizsgált Cramer-módszerrel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletet tartalmazó rendszerekhez alkalmas.

M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel formarendszernek nevezzük

ahol aijés b i (én=1,…,m; b=1,…,n) néhány ismert szám, és x 1,…,x n- ismeretlen. Az együtthatók jelölésében aij első index én jelöli az egyenlet számát, a másodikat j az ismeretlen száma, amelyen ez az együttható áll.

Az ismeretlenek együtthatóit mátrix formájában írjuk fel , amit hívni fogunk rendszermátrix.

Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívott ingyenes tagok.

Összesített n számok c 1 ,…,c n hívott döntés ennek a rendszernek, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1,…,x n.

A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet állhat elő:

Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelynek legalább egy megoldása van közös. Ellenkező esetben, pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún összeegyeztethetetlen.

Fontolja meg, hogyan találhat megoldást a rendszerre.

MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA

A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszer mátrixát valamint az ismeretlen és szabad tagok mátrixoszlopai

Keressük meg a terméket

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ekkor a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer így írható fel

vagy rövidebb A∙X=B.

Itt a mátrixok Aés B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert. elemei ennek a rendszernek a megoldása. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.

Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Mert a A -1 A = Eés E∙X=X, akkor a mátrixegyenlet megoldását a formában kapjuk meg X = A -1 B .

Megjegyzendő, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixokra található, a mátrixmódszer csak azokat a rendszereket tudja megoldani, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos jelölése azonban abban az esetben is lehetséges, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.

Példák. Egyenletrendszerek megoldása.

CRAMER SZABÁLYA

Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

A rendszer mátrixának megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,

hívott rendszer meghatározó.

További három determinánst állítunk össze a következőképpen: a D determinánsban egymás után 1, 2 és 3 oszlopot helyettesítünk egy szabad tagok oszlopával.

Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani.

Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyíték. Tehát vegyünk egy három egyenletből álló rendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem egy 11, 2. egyenlet - be A21és 3. - on A 31:

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Tekintsük ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. A determináns 1. oszlop elemei szerinti kiterjesztésének tételével

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .

Végül is ezt könnyű belátni

Így megkapjuk az egyenlőséget: .

Következésképpen,.

A és egyenlőségeket hasonlóan származtatjuk, ahonnan a tétel állítása következik.

Megjegyezzük tehát, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és fordítva. Ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, akkor a rendszernek vagy végtelen megoldáshalmaza van, vagy nincs megoldása, pl. összeegyeztethetetlen.

Példák. Egyenletrendszer megoldása

GAUSS MÓDSZER

A korábban vizsgált módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletet tartalmazó rendszerekhez alkalmas. Ez abból áll, hogy a rendszer egyenleteiből egymást követően eltávolítják az ismeretleneket.

Tekintsünk ismét egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

.

Az első egyenletet változatlanul hagyjuk, a 2. és 3. egyenletből pedig kizárjuk a tartalmazó kifejezéseket x 1. Ehhez elosztjuk a második egyenletet a 21 és szorozzuk meg - a 11, majd add össze az 1. egyenlettel. Hasonlóképpen a harmadik egyenletet is felosztjuk a 31 és szorozzuk meg - a 11, majd add hozzá az elsőhöz. Ennek eredményeként az eredeti rendszer a következő formában lesz:

Most az utolsó egyenletből kiküszöböljük a tartalmazó kifejezést x 2. Ehhez osszuk el a harmadik egyenletet -vel, szorozzuk meg és adjuk hozzá a másodikhoz. Ekkor lesz egy egyenletrendszerünk:

Ezért az utolsó egyenletből könnyű megtalálni x 3, majd a 2. egyenletből x 2és végül 1-től - x 1.

A Gauss-módszer alkalmazásakor az egyenletek szükség esetén felcserélhetők.

Gyakran ahelyett, hogy új egyenletrendszert írnának, a rendszer kiterjesztett mátrixának kiírására szorítkoznak:

majd elemi transzformációk segítségével hozza háromszög vagy átló formába.

Nak nek elemi átalakulások A mátrixok a következő transzformációkat tartalmazzák:

1. sorok vagy oszlopok permutációja;
2. egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;
3. kiegészítés egy sor másik sorhoz.

Példák: Egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Így a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Írja fel általános formában a lineáris algebrai egyenletrendszert!

Mi az a SLAE megoldás?

Egy egyenletrendszer megoldása n számból álló halmaz,

Ha melyiket behelyettesítjük a rendszerbe, minden egyenlet azonossággá válik.

Milyen rendszert nevezünk ízületnek (nem ízületnek)?

Egy egyenletrendszert akkor nevezünk konzisztensnek, ha van legalább egy megoldása.

Egy rendszert inkonzisztensnek nevezünk, ha nincs megoldása.

Melyik rendszert nevezzük határozottnak (határozatlannak)?

Egy közös rendszert határozottnak nevezünk, ha egyedi megoldása van.

Egy közös rendszert határozatlannak nevezünk, ha egynél több megoldása van.

Egyenletrendszer felírásának mátrix formája

A vektorrendszer rangja

Egy vektorrendszer rangja a lineárisan független vektorok maximális száma.

A mátrix rangja és megtalálása

Mátrix rang- ennek a mátrixnak a minorjainak a legmagasabb rendje, amelynek determinánsa nullától eltérő.

Az első módszer - a szegélyezési módszer - a következő:

Ha minden kiskorú I. rendű, i.e. mátrixelemek egyenlőek nullával, akkor r=0 .

Ha az 1. rendű mollok közül legalább egy nem egyenlő nullával, és az összes 2. rendű moll egyenlő nullával, akkor r=1.

Ha a 2. rendű kiskorú nem nulla, akkor a 3. rendű kiskorúakat vizsgáljuk. Ily módon megkeresik a k-edik rendű mollokat, és ellenőrzik, hogy a k+1-edik rendű mollok nem egyenlők-e nullával.

Ha minden k+1 rendű minor egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő a k számmal. Az ilyen k+1-edrendű mollokat általában a k-rendű moll "szélezésével" találjuk meg.

A második módszer a mátrix rangjának meghatározására az, hogy a mátrix elemi transzformációit alkalmazzuk, amikor átlós alakra emeljük. Egy ilyen mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő átlós elemek számával.

Inhomogén lineáris egyenletrendszer általános megoldása, tulajdonságai.

1. tulajdonság. A lineáris egyenletrendszer bármely megoldásának és a megfelelő homogén rendszer bármely megoldásának összege a lineáris egyenletrendszer megoldása.

2. tulajdonság. Egy inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely két megoldásának különbsége a megfelelő homogén rendszer megoldása.

Gauss módszer az SLAE megoldására

Sorozat:

1) összeállítjuk az egyenletrendszer kiterjesztett mátrixát

2) elemi transzformációk segítségével a mátrixot lépcsős formára redukáljuk

3) meghatározzák a rendszer kiterjesztett mátrixának és a rendszer mátrixának rangját, és létrejönnek a rendszer kompatibilitási vagy inkompatibilitásának egyezménye

4) kompatibilitás esetén az ekvivalens egyenletrendszert írjuk fel

5) megtaláljuk a rendszer megoldását. A fő változókat szabadon fejezzük ki

Kronecker-Capelli tétel

Kronecker - Capelli tétel- a lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitási kritériuma:

Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha főmátrixának rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, és a rendszernek egyedi megoldása van, ha a rang egyenlő az ismeretlenek számával, és egy végtelen számú megoldás, ha a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma.

Ahhoz, hogy egy lineáris rendszer konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával.

Mikor nincs megoldása a rendszernek, mikor egyetlen megoldása van, sok megoldása van?

Ha a rendszeregyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával, és főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen egyenletrendszereknek egyedi megoldása van, homogén rendszer esetén pedig minden ismeretlen változók egyenlőek nullával.

Egy olyan lineáris egyenletrendszert, amelynek legalább egy megoldása van, konzisztensnek nevezzük. Ellenkező esetben, pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor inkonzisztensnek nevezzük.