moto oscillatorio- movimento periodico o quasi periodico di un corpo, le cui coordinate, velocità e accelerazione a intervalli regolari assumono approssimativamente gli stessi valori.

Le oscillazioni meccaniche si verificano quando, quando un corpo viene sbilanciato, compare una forza che tende a riportare indietro il corpo.

Spostamento x - deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio.

Ampiezza A - il modulo dello spostamento massimo del corpo.

Periodo di oscillazione T - tempo di un'oscillazione:

Frequenza di oscillazione

Il numero di oscillazioni effettuate dal corpo per unità di tempo: durante le oscillazioni, la velocità e l'accelerazione cambiano periodicamente. Nella posizione di equilibrio, la velocità è massima, l'accelerazione è zero. Nei punti di massimo spostamento, l'accelerazione raggiunge il suo massimo e la velocità svanisce.

GRAFICO DELLE OSCILLAZIONI ARMONICHE

Armonico le oscillazioni che avvengono secondo la legge del seno o del coseno sono dette:

dove x(t) è lo spostamento del sistema all'istante t, A è l'ampiezza, ω è la frequenza di oscillazione ciclica.

Se la deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio viene tracciata lungo l'asse verticale e il tempo viene tracciato lungo l'asse orizzontale, otteniamo un grafico dell'oscillazione x = x(t) - la dipendenza dello spostamento del corpo dal tempo. Con oscillazioni armoniche libere, è un'onda sinusoidale o coseno. La figura mostra i grafici di spostamento x, proiezioni di velocità V x e accelerazione a x rispetto al tempo.

Come si vede dai grafici, al massimo spostamento x, la velocità V del corpo oscillante è zero, l'accelerazione a, e quindi la forza agente sul corpo, sono massime e dirette in senso opposto allo spostamento. Nella posizione di equilibrio, lo spostamento e l'accelerazione svaniscono, la velocità è massima. La proiezione dell'accelerazione ha sempre il segno opposto dello spostamento.

ENERGIA DEL MOVIMENTO VIBRAZIONALE

L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è uguale alla somma delle sue energie cinetiche e potenziali e, in assenza di attrito, rimane costante:

Nel momento in cui lo spostamento raggiunge il suo massimo x = A, la velocità, e con essa l'energia cinetica, svanisce.

In questo caso, l'energia totale è uguale all'energia potenziale:

L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è proporzionale al quadrato dell'ampiezza delle sue oscillazioni.

Quando il sistema supera la posizione di equilibrio, lo spostamento e l'energia potenziale sono pari a zero: x \u003d 0, E p \u003d 0. Pertanto, l'energia totale è uguale alla cinetica:

L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è proporzionale al quadrato della sua velocità nella posizione di equilibrio. Quindi:

PENDOLO MATEMATICO

1. Pendolo matematicoè un punto materiale sospeso su un filo inestensibile senza peso.

Nella posizione di equilibrio, la forza di gravità è compensata dalla tensione del filo. Se il pendolo viene deviato e rilasciato, le forze e cesseranno di compensarsi a vicenda e ci sarà una forza risultante diretta alla posizione di equilibrio. Seconda legge di Newton:

Per piccole fluttuazioni, quando lo spostamento x è molto inferiore a l, il punto materiale si sposterà quasi lungo l'asse x orizzontale. Quindi dal triangolo MAB otteniamo:

Perché peccato a \u003d x / l, allora la proiezione della forza risultante R sull'asse x è uguale a

Il segno meno indica che la forza R è sempre diretta contro lo spostamento x.

2. Quindi, durante le oscillazioni di un pendolo matematico, così come durante le oscillazioni di un pendolo a molla, la forza di ripristino è proporzionale allo spostamento ed è diretta nella direzione opposta.

Confrontiamo le espressioni per la forza di ripristino dei pendoli matematici e a molla:

Si può vedere che mg/l è un analogo di k. Sostituendo k con mg/l nella formula per il periodo di un pendolo primaverile

otteniamo la formula per il periodo di un pendolo matematico:

Il periodo di piccole oscillazioni di un pendolo matematico non dipende dall'ampiezza.

Un pendolo matematico viene utilizzato per misurare il tempo, per determinare l'accelerazione della caduta libera in un determinato punto della superficie terrestre.

Le oscillazioni libere di un pendolo matematico a piccoli angoli di deflessione sono armoniche. Si verificano a causa della forza di gravità risultante e della tensione del filo, nonché dell'inerzia del carico. La risultante di queste forze è la forza di ripristino.

Esempio. Determina l'accelerazione di caduta libera su un pianeta in cui un pendolo lungo 6,25 m ha un periodo di oscillazione libera di 3,14 s.

Il periodo di oscillazione di un pendolo matematico dipende dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di caduta libera:

Al quadrato di entrambi i membri dell'equazione, otteniamo:

Risposta: l'accelerazione di caduta libera è di 25 m/s 2 .

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Pendolo matematico- questo è un punto materiale sospeso su un filo senza peso e inestensibile situato nel campo gravitazionale terrestre. Un pendolo matematico è un modello idealizzato che descrive correttamente un pendolo reale solo in determinate condizioni. Un vero pendolo può essere considerato matematico se la lunghezza del filo è molto maggiore delle dimensioni del corpo su di esso sospeso, la massa del filo è trascurabile rispetto alla massa del corpo e le deformazioni del filo sono così piccole che possono essere del tutto trascurati.

Il sistema oscillante in questo caso è formato da un filo, un corpo ad esso attaccato, e la Terra, senza la quale questo sistema non potrebbe fungere da pendolo.

dove un X – accelerazione, G - accelerazione di gravità, X- compensare, lè la lunghezza della corda del pendolo.

Questa equazione è chiamata l'equazione delle oscillazioni libere di un pendolo matematico. Descrive correttamente le oscillazioni in esame solo quando sono soddisfatte le seguenti ipotesi:

2) vengono considerate solo piccole oscillazioni di un pendolo con un piccolo angolo di oscillazione.

Le vibrazioni libere di qualsiasi sistema in tutti i casi sono descritte da equazioni simili.

Le ragioni delle oscillazioni libere di un pendolo matematico sono:

1. L'azione sul pendolo della forza di tensione e della forza di gravità, impedendo il suo spostamento dalla posizione di equilibrio e costringendolo a cadere nuovamente.

2. L'inerzia del pendolo, a causa della quale, pur mantenendo la sua velocità, non si ferma nella posizione di equilibrio, ma lo attraversa ulteriormente.

Il periodo di oscillazioni libere di un pendolo matematico

Il periodo di oscillazione libera di un pendolo matematico non dipende dalla sua massa, ma è determinato solo dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di caduta libera nel punto in cui si trova il pendolo.

Conversione di energia durante le vibrazioni armoniche

Con le oscillazioni armoniche di un pendolo a molla, l'energia potenziale di un corpo elasticamente deformato viene convertita nella sua energia cinetica, dove K – coefficiente di elasticità, X - modulo di spostamento del pendolo dalla posizione di equilibrio, m- la massa del pendolo, v- la sua velocità. Secondo l'equazione delle oscillazioni armoniche:

, .

L'energia totale del pendolo a molla:

.

Energia totale per un pendolo matematico:

Nel caso di un pendolo matematico

Le trasformazioni energetiche durante le oscillazioni di un pendolo a molla avvengono secondo la legge di conservazione dell'energia meccanica ( ). Quando il pendolo si sposta su o giù dalla posizione di equilibrio, la sua energia potenziale aumenta e la sua energia cinetica diminuisce. Quando il pendolo supera la posizione di equilibrio ( X= 0), la sua energia potenziale è pari a zero e l'energia cinetica del pendolo ha il valore maggiore, pari alla sua energia totale.

Pertanto, nel processo di oscillazione libera del pendolo, la sua energia potenziale viene convertita in cinetica, cinetica in potenziale, potenziale poi di nuovo in cinetica, ecc. Ma l'energia meccanica totale rimane invariata.

Vibrazioni forzate. Risonanza.

Si chiamano oscillazioni che si verificano sotto l'azione di una forza periodica esterna vibrazioni forzate. Una forza periodica esterna, chiamata forza motrice, impartisce energia aggiuntiva al sistema oscillatorio, che viene utilizzato per ricostituire le perdite di energia dovute all'attrito. Se la forza motrice cambia nel tempo secondo la legge seno o coseno, le oscillazioni forzate saranno armoniche e non smorzate.

A differenza delle oscillazioni libere, quando il sistema riceve energia una sola volta (quando il sistema è fuori equilibrio), nel caso di oscillazioni forzate, il sistema assorbe continuamente questa energia da una fonte di forza periodica esterna. Questa energia compensa le perdite spese per vincere l'attrito, e quindi l'energia totale del sistema oscillatorio no rimane invariata.

La frequenza delle oscillazioni forzate è uguale alla frequenza della forza motrice. Quando la frequenza della forza motrice υ coincide con la frequenza naturale del sistema oscillatorio υ 0 , c'è un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate - risonanza. La risonanza si verifica perché υ = υ 0 la forza esterna, agendo nel tempo con vibrazioni libere, è sempre co-diretta con la velocità del corpo oscillante e fa un lavoro positivo: l'energia del corpo oscillante aumenta, e l'ampiezza delle sue oscillazioni diventa grande. Grafico della dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni forzate UN T sulla frequenza della forza motrice υ mostrato in figura, questo grafico è chiamato curva di risonanza:

Il fenomeno della risonanza gioca un ruolo importante in numerosi processi naturali, scientifici e industriali. Ad esempio, è necessario tenere conto del fenomeno della risonanza quando si progettano ponti, edifici e altre strutture che subiscono vibrazioni sotto carico, altrimenti, in determinate condizioni, queste strutture possono essere distrutte.

Cos'è un pendolo matematico?

Dalle lezioni precedenti, dovresti già sapere che un pendolo, di regola, significa un corpo che oscilla sotto l'influenza dell'interazione gravitazionale. Cioè, possiamo dire che in fisica, sotto questo concetto, è consuetudine considerare un corpo solido che, sotto l'azione della gravità, esegue movimenti oscillatori che si verificano attorno a un punto o asse fisso.

Il principio di funzionamento di un pendolo matematico

E ora diamo un'occhiata al principio del pendolo matematico e scopriamo di cosa si tratta.

Il principio di funzionamento di un pendolo matematico è che quando un punto materiale devia dalla posizione di equilibrio di un angolo a insignificante, cioè tale angolo al quale sarebbe soddisfatta la condizione sina = a, allora la forza F = -mgsina = -mga agirà sul corpo.

Io e te vediamo che la forza F ha un indicatore negativo, e ne consegue che il segno meno ci dice che questa forza è diretta nella direzione opposta allo spostamento. E poiché la forza F è proporzionale allo spostamento S, ne consegue che sotto l'azione di tale forza, il punto materiale eseguirà oscillazioni armoniche.

proprietà del pendolo

Se prendiamo qualsiasi altro pendolo, il suo periodo di oscillazione dipende da molti fattori. Questi fattori includono:

In primo luogo, la dimensione e la forma del corpo;
In secondo luogo, la distanza che esiste tra il punto di sospensione e il baricentro;
In terzo luogo, anche la distribuzione della massa corporea rispetto a un dato punto.

In connessione con queste varie circostanze dei pendoli, è abbastanza difficile determinare il periodo di un corpo sospeso.

E se prendiamo un pendolo matematico, allora ha tutte le proprietà che possono essere dimostrate usando leggi fisiche conosciute e il suo periodo può essere facilmente calcolato usando una formula.

Dopo aver condotto molte diverse osservazioni su tali sistemi meccanici, i fisici sono riusciti a determinare schemi come:

Innanzitutto, il periodo del pendolo non dipende dalla massa del carico. Cioè, se, con la stessa lunghezza del pendolo, appenderemo ad esso carichi che hanno masse diverse, allora il periodo delle loro oscillazioni risulterà sempre lo stesso, anche se le loro masse avranno differenze piuttosto evidenti.

In secondo luogo, se all'avvio del sistema deviamo il pendolo di angoli piccoli ma diversi, le sue oscillazioni avranno lo stesso periodo, ma le ampiezze saranno diverse. Con piccole deviazioni dal centro di equilibrio, le oscillazioni nella loro forma avranno un carattere quasi armonico. Cioè, possiamo dire che il periodo di un tale pendolo non dipende dall'ampiezza delle oscillazioni. Tradotta dal greco, questa proprietà di questo sistema meccanico è chiamata isocronismo, dove "isos" significa uguale, beh, e "chronos" è tempo.

Uso pratico delle oscillazioni del pendolo

Il pendolo matematico per vari studi è utilizzato da fisici, astronomi, geodeti e altri scienziati. Con l'aiuto di un tale pendolo, cercano minerali. Osservando l'accelerazione di un pendolo matematico e contando il numero delle sue oscillazioni, si possono trovare depositi di carbone e minerali nelle viscere della nostra Terra.

C. Flammarion, il famoso astronomo e naturalista francese, affermò che con l'aiuto di un pendolo matematico riuscì a fare molte importanti scoperte, tra cui la comparsa del meteorite Tunguska e la scoperta di un nuovo pianeta.

Al giorno d'oggi, molti sensitivi e occultisti usano un tale sistema meccanico per cercare persone scomparse e previsioni profetiche.

Definizione

Pendolo matematico- questo è un sistema oscillatorio, che è un caso speciale di un pendolo fisico, la cui intera massa è concentrata in un punto, il centro di massa del pendolo.

Solitamente un pendolo matematico è rappresentato come una sfera sospesa su un lungo filo senza peso e inestensibile. Questo è un sistema idealizzato che esegue oscillazioni armoniche sotto l'influenza della gravità. Una buona approssimazione a un pendolo matematico è una pallina massiccia che oscilla su un filo lungo e sottile.

Galileo fu il primo a studiare le proprietà di un pendolo matematico, considerando l'oscillazione di un lampadario su una lunga catena. Ha ottenuto che il periodo di oscillazione di un pendolo matematico non dipende dall'ampiezza. Se, quando il pendolo viene lanciato, viene deviato a piccoli angoli diversi, le sue oscillazioni avverranno con lo stesso periodo, ma con ampiezze diverse. Questa proprietà è chiamata isocronismo.

L'equazione del moto di un pendolo matematico

Il pendolo matematico è un classico esempio di oscillatore armonico. Esegue oscillazioni armoniche, che sono descritte dall'equazione differenziale:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

dove $\varphi $ è l'angolo di deviazione del filo (sospensione) dalla posizione di equilibrio.

La soluzione dell'equazione (1) è la funzione $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

dove $\alpha $ - fase iniziale delle oscillazioni; $(\varphi )_0$ - ampiezza di oscillazione; $(\omega )_0$ - frequenza ciclica.

L'oscillazione di un oscillatore armonico è un importante esempio di moto periodico. L'oscillatore funge da modello in molti problemi di meccanica classica e quantistica.

Frequenza ciclica e periodo di oscillazione di un pendolo matematico

La frequenza ciclica di un pendolo matematico dipende solo dalla lunghezza della sua sospensione:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\sinistra(3\destra).\]

Il periodo di oscillazione del pendolo matematico ($T$) in questo caso è uguale a:

L'espressione (4) mostra che il periodo di un pendolo matematico dipende solo dalla lunghezza della sua sospensione (la distanza dal punto di sospensione al baricentro del carico) e dall'accelerazione di caduta libera.

Equazione dell'energia per un pendolo matematico

Quando si considerano le oscillazioni dei sistemi meccanici con un grado di libertà, viene spesso presa come iniziale non l'equazione del moto di Newton, ma l'equazione dell'energia. Dal momento che è più facile da comporre, ed è un'equazione del primo ordine nel tempo. Assumiamo che non ci sia attrito nel sistema. La legge di conservazione dell'energia per un pendolo matematico che effettua oscillazioni libere (piccole oscillazioni) può essere scritta come:

dove $E_k$ è l'energia cinetica del pendolo; $E_p$ - energia potenziale del pendolo; $v$ - la velocità del pendolo; $x$ - spostamento lineare del peso del pendolo dalla posizione di equilibrio lungo l'arco di una circonferenza di raggio $l$, mentre l'angolo - spostamento è relativo a $x$ come:

\[\varphi =\frac(x)(l)\sinistra(6\destra).\]

Il valore massimo dell'energia potenziale di un pendolo matematico è:

Valore massimo dell'energia cinetica:

dove $h_m$ è l'altezza massima di sollevamento del pendolo; $x_m$ - deviazione massima del pendolo dalla posizione di equilibrio; $v_m=(\omega )_0x_m$ - velocità massima.

Esempi di problemi con una soluzione

Esempio 1

Esercizio. Qual è l'altezza massima della sfera di un pendolo matematico se la sua velocità di movimento passando per la posizione di equilibrio fosse $v$?

Soluzione. Facciamo un disegno.

Lascia che l'energia potenziale della pallina sia zero nella sua posizione di equilibrio (punto 0), a questo punto la velocità della pallina è massima e uguale a $v$ per la condizione del problema. Nel punto di massimo sollevamento della palla al di sopra della posizione di equilibrio (punto A), la velocità della palla è zero, l'energia potenziale è massima. Scriviamo la legge di conservazione dell'energia per le due posizioni considerate della palla:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

Dall'equazione (1.1) troviamo l'altezza desiderata:

Risposta.$h=\frac(v^2)(2g)$

Esempio 2

Esercizio. Qual è l'accelerazione di gravità se un pendolo matematico di lunghezza $l=1\ m$ oscilla con un periodo pari a $T=2\ s$? Considera piccole le oscillazioni del pendolo matematico.\textit()

Soluzione. Come base per risolvere il problema, prendiamo la formula per calcolare il periodo di piccole oscillazioni:

Esprimiamo l'accelerazione da esso:

Calcoliamo l'accelerazione di gravità:

Risposta.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$

Il periodo di oscillazione di un pendolo matematico dipende dalla lunghezza del filo: al diminuire della lunghezza del filo, il periodo di oscillazione diminuisce

Per un pendolo matematico, sono soddisfatte alcune leggi:

1 legge. Se, mantenendo la stessa lunghezza del pendolo, appendiamo carichi diversi (ad esempio 5 kg e 100 kg), il periodo di oscillazione sarà lo stesso, sebbene le masse dei carichi differiscano notevolmente. Il periodo di un pendolo matematico non dipende dalla massa del carico.

2 legge. Se il pendolo viene deviato di angoli diversi ma piccoli, oscillerà con lo stesso periodo, anche se con ampiezze diverse. Finché l'ampiezza del pendolo è piccola, anche le oscillazioni avranno una forma simile a quelle armoniche, e quindi il periodo del pendolo matematico non dipende dall'ampiezza delle oscillazioni. Questa proprietà è chiamata isocronismo.

Ricaviamo la formula per il periodo di un pendolo matematico.

Il peso m del pendolo matematico è influenzato dalla forza di gravità mg e dalla forza elastica del filo Fynp. Dirigiamo l'asse 0X lungo la tangente alla traiettoria del movimento verso l'alto. Scriviamo la seconda legge di Newton per questo caso:

Con proiettiamo tutto sull'asse x:

A piccoli angoli

Dopo aver effettuato sostituzioni e piccole trasformazioni, otteniamo che l'equazione è simile a:

Confrontando l'espressione risultante con l'equazione delle oscillazioni armoniche, otteniamo:

Si può vedere dall'equazione che la frequenza ciclica del pendolo a molla avrà la forma:

Allora il periodo del pendolo matematico sarà uguale a:

Il periodo di un pendolo matematico dipende solo dall'accelerazione di caduta libera g e dalla lunghezza del pendolo l. Dalla formula ottenuta segue che il periodo del pendolo non dipende dalla sua massa e dall'ampiezza (ammesso che sia sufficientemente piccolo). Abbiamo anche stabilito una relazione quantitativa tra il periodo del pendolo, la sua lunghezza e l'accelerazione di caduta libera. Il periodo di un pendolo matematico è proporzionale alla radice quadrata del rapporto tra la lunghezza del pendolo e l'accelerazione di gravità. Il fattore di proporzionalità è 2p

C'è anche:

Periodo di pendolo primaverile

Il periodo del pendolo fisico

Periodo del pendolo torsionale