Il concetto di angolo diedro

Per introdurre il concetto di angolo diedro, ricordiamo innanzitutto uno degli assiomi della stereometria.

Qualsiasi piano può essere diviso in due semipiani della linea $a$ giacente in questo piano. In questo caso, i punti che giacciono nello stesso semipiano sono dallo stesso lato della retta $a$, e i punti che giacciono in semipiani diversi sono ai lati opposti della retta $a$ (Fig. 1 ).

Immagine 1.

Il principio di costruzione di un angolo diedro si basa su questo assioma.

Definizione 1

La figura è chiamata angolo diedro se è costituito da una retta e da due semipiani di questa retta che non appartengono allo stesso piano.

In questo caso vengono chiamati i semipiani dell'angolo diedro facce, e la retta che separa i semipiani - bordo diedro(Fig. 1).

Figura 2. Angolo diedro

Grado di misura di un angolo diedro

Definizione 2

Scegliamo un punto arbitrario $A$ sul bordo. Si chiama l'angolo tra due rette giacenti in semipiani diversi, perpendicolari al bordo e intersecanti nel punto $A$ angolo lineare angolo diedro(Fig. 3).

Figura 3

Ovviamente ogni angolo diedro ha un numero infinito di angoli lineari.

Teorema 1

Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali tra loro.

Prova.

Consideriamo due angoli lineari $AOB$ e $A_1(OB)_1$ (Fig. 4).

Figura 4

Poiché i raggi $OA$ e $(OA)_1$ giacciono sullo stesso semipiano $\alpha $ e sono perpendicolari ad una retta, sono codirezionali. Poiché i raggi $OB$ e $(OB)_1$ giacciono sullo stesso semipiano $\beta $ e sono perpendicolari ad una retta, sono codirezionali. Di conseguenza

\[\angolo AOB=\angolo A_1(OB)_1\]

A causa dell'arbitrarietà della scelta degli angoli lineari. Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali tra loro.

Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 3

La misura in gradi di un angolo diedro è la misura in gradi di un angolo lineare di un angolo diedro.

Esempi di attività

Esempio 1

Si diano due piani non perpendicolari $\alpha $ e $\beta $ che si intersecano lungo la retta $m$. Il punto $A$ appartiene al piano $\beta $. $AB$ è la perpendicolare alla retta $m$. $AC$ è perpendicolare al piano $\alpha $ (il punto $C$ appartiene a $\alpha $). Dimostrare che l'angolo $ABC$ è un angolo lineare dell'angolo diedro.

Prova.

Disegniamo un'immagine in base alle condizioni del problema (Fig. 5).

Figura 5

Per dimostrarlo, ricordiamo il seguente teorema

Teorema 2: Una retta passante per la base di una inclinata, perpendicolare ad essa, è perpendicolare alla sua proiezione.

Poiché $AC$ è una perpendicolare al piano $\alpha $, il punto $C$ è la proiezione del punto $A$ sul piano $\alpha $. Quindi $BC$ è la proiezione dell'obliquo $AB$. Per il Teorema 2, $BC$ è perpendicolare al bordo di un angolo diedro.

Quindi l'angolo $ABC$ soddisfa tutti i requisiti per definire l'angolo lineare di un angolo diedro.

Esempio 2

L'angolo diedro è $30^\circ$. Su una delle facce giace il punto $A$, che si trova a una distanza di $4$ cm dall'altra faccia Trova la distanza dal punto $A$ al bordo dell'angolo diedro.

Soluzione.

Diamo un'occhiata alla Figura 5.

Per ipotesi, abbiamo $AC=4\ cm$.

Per definizione della misura dei gradi di un angolo diedro, si ha che l'angolo $ABC$ è uguale a $30^\circ$.

Il triangolo $ABC$ è un triangolo rettangolo. Per definizione del seno di un angolo acuto

\[\frac(AC)(AB)=peccato(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Questa lezione è destinata allo studio autonomo dell'argomento "Angolo diedro". Durante questa lezione, gli studenti verranno introdotti a una delle forme geometriche più importanti, l'angolo diedro. Sempre nella lezione, dobbiamo imparare a determinare l'angolo lineare della figura geometrica in esame e qual è l'angolo diedro alla base della figura.

Ripetiamo cos'è un angolo su un piano e come viene misurato.

Riso. 1. Aereo

Consideriamo il piano α (Fig. 1). Da un punto DI fuoriescono due raggi OV e OA.

Definizione. La figura formata da due raggi che emanano dallo stesso punto si chiama angolo.

L'angolo è misurato in gradi e radianti.

Ricordiamo cos'è un radiante.

Riso. 2. Radiante

Se abbiamo un angolo centrale la cui lunghezza d'arco è uguale al raggio, allora tale angolo centrale è chiamato angolo di 1 radiante. , ∠ AOB= 1 rad (Fig. 2).

Relazione tra radianti e gradi.

lieto.

Abbiamo capito, felice. (). Quindi,

Definizione. angolo diedro detta figura formata da una retta ma e due semipiani con un confine comune ma non appartenenti allo stesso piano.

Riso. 3. Mezzi aerei

Consideriamo due semipiani α e β (Fig. 3). Il loro confine comune è ma. Questa figura è chiamata angolo diedro.

Terminologia

I semipiani α e β sono le facce dell'angolo diedro.

Dritto maè il bordo di un angolo diedro.

Su un bordo comune ma angolo diedro scegliere un punto arbitrario DI(Fig. 4). Nel semipiano α dal punto DI ripristinare la perpendicolare OA ad una linea retta ma. Dallo stesso punto DI nel secondo semipiano β costruiamo la perpendicolare OV alla costola ma. Ho un angolo AOB, che è chiamato angolo lineare dell'angolo diedro.

Riso. 4. Misurazione dell'angolo diedro

Dimostriamo l'uguaglianza di tutti gli angoli lineari per un dato angolo diedro.

Abbiamo un angolo diedro (Fig. 5). Scegli un punto DI e punto Circa 1 su una linea retta ma. Costruiamo un angolo lineare corrispondente al punto DI, cioè disegniamo due perpendicolari OA e OV nei piani α e β, rispettivamente, al bordo ma. Otteniamo l'angolo AOBè l'angolo lineare dell'angolo diedro.

Riso. 5. Illustrazione della prova

Da un punto Circa 1 disegna due perpendicolari OA 1 e OB 1 alla costola ma rispettivamente nei piani α e β e otteniamo il secondo angolo lineare A 1 O 1 B 1.

Raggi O 1 A 1 e OA co-direzionali, poiché giacciono sullo stesso semipiano e sono parallele tra loro come due perpendicolari alla stessa retta ma.

Allo stesso modo, i raggi Circa 1 in 1 e OV allineato, il che significa ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 come angoli con lati codirezionali, che doveva essere dimostrato.

Il piano dell'angolo lineare è perpendicolare al bordo dell'angolo diedro.

Dimostra: ma ⊥ AOW.

Riso. 6. Illustrazione della prova

Prova:

OA ⊥ ma per costruzione, OV ⊥ ma per costruzione (Fig. 6).

Capiamo che la linea ma perpendicolare a due rette intersecanti OA e OV fuori dall'aereo AOB, che significa dritto ma perpendicolare al piano OAB, che doveva essere dimostrato.

Un angolo diedro è misurato dal suo angolo lineare. Ciò significa che tanti gradi di radianti sono contenuti in un angolo lineare, tanti gradi di radianti sono contenuti nel suo angolo diedro. In base a ciò, si distinguono i seguenti tipi di angoli diedri.

Affilato (Fig. 6)

Un angolo diedro è acuto se il suo angolo lineare è acuto, cioè .

Dritto (Fig. 7)

L'angolo diedro è retto quando il suo angolo lineare è di 90° - Ottuso (Fig. 8)

Un angolo diedro è ottuso quando il suo angolo lineare è ottuso, cioè .

Riso. 7. Angolo retto

Riso. 8. Angolo ottuso

Esempi di costruzione di angoli lineari in figure reali

ABCD- tetraedro.

1. Costruisci un angolo lineare di un angolo diedro con un bordo AB.

Riso. 9. Illustrazione del problema

Costruzione:

Stiamo parlando di un angolo diedro, che è formato da un bordo AB e facce ABD e ABC(Fig. 9).

Tracciamo una linea retta Dh perpendicolare al piano ABC, hè la base della perpendicolare. Disegniamo un obliquo Dm perpendicolare alla linea AB,m- base inclinata. Per il teorema delle tre perpendicolari, concludiamo che la proiezione dell'obliquo NM anche perpendicolare alla linea AB.

Cioè, dal punto m restaurate due perpendicolari al bordo AB su due lati ABD e ABC. Abbiamo un angolo lineare DMN.

notare che AB, il bordo dell'angolo diedro, perpendicolare al piano dell'angolo lineare, cioè il piano DMN. Problema risolto.

Commento. Un angolo diedro può essere indicato come segue: DABC, dove

AB- bordo e punti D e DA giacciono su lati diversi dell'angolo.

2. Costruisci un angolo lineare di un angolo diedro con uno spigolo corrente alternata.

Disegniamo una perpendicolare Dh all'aereo ABC e obliquo Dn perpendicolare alla linea COME. Dal teorema delle tre perpendicolari, otteniamo questo HN- proiezione obliqua Dn all'aereo ABC, anche perpendicolare alla linea COME.DNH- angolo lineare di un angolo diedro con una nervatura corrente alternata.

in un tetraedro DABC tutti i bordi sono uguali. Punto m- al centro della costola corrente alternata. Dimostra che l'angolo DMV- angolo lineare dell'angolo diedro TUD, cioè un angolo diedro con un bordo corrente alternata. Uno dei suoi bordi è corrente alternataD, secondo - DIA(Fig. 10).

Riso. 10. Illustrazione del problema

Soluzione:

Triangolo ADC- equilatero, DMè la mediana e quindi l'altezza. Significa, Dm ⊥ COME. Allo stesso modo, il triangolo UNINC- equilatero, INmè la mediana, e quindi l'altezza. Significa, VM ⊥ COME.

Quindi dal punto m costole corrente alternata angolo diedro ripristinato due perpendicolari DM e VM a questo bordo nelle facce dell'angolo diedro.

Quindi ∠ DMINè l'angolo lineare dell'angolo diedro, che doveva essere dimostrato.

Quindi, abbiamo definito l'angolo diedro, l'angolo lineare dell'angolo diedro.

Nella prossima lezione considereremo la perpendicolarità di linee e piani, poi impareremo cos'è un angolo diedro alla base delle figure.

Riferimenti sull'argomento "Angolo diedro", "Angolo diedro alla base di figure geometriche"

1. Geometria. Grado 10-11: un libro di testo per le istituzioni educative generali / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
2. Geometria. Grade 10: un libro di testo per le istituzioni educative generali con studio approfondito e di profilo della matematica / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6a edizione, stereotipo. - M.: Otarda, 2008. - 233 p.: ill.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.esponente.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Compiti sull'argomento "Angolo diedro", determinando l'angolo diedro alla base delle figure

Geometria. Grado 10-11: un libro di testo per studenti di istituzioni educative (livelli di base e di profilo) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5a edizione, corretta e integrata - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: ill.

Compiti 2, 3 p.67.

Qual è l'angolo lineare di un angolo diedro? Come costruirlo?

ABCD- tetraedro. Costruisci un angolo lineare di un angolo diedro con un bordo:

ma) IND B) DDA.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - cubo Traccia l'angolo lineare dell'angolo diedro A 1 ABC con una costola AB. Determina la sua misura di grado.

CAPITOLO UNO LINEE E AEREI

V. ANGOLI DIEDRI, UN ANGOLO retto CON UN PIANO,
ANGOLO DI DUE DIRITTI DI INCROCIO, ANGOLI POLITEDRALI

angoli diedri

38. Definizioni. Viene chiamata la parte di piano che giace su un lato di una linea che giace in quel piano mezzo piano. Si chiama la figura formata da due semipiani (P e Q, Fig. 26) provenienti da una retta (AB) angolo diedro. Si chiama la retta AB bordo, e i semipiani P e Q - partiti o facce angolo diedro.

Un tale angolo è solitamente indicato da due lettere poste al suo bordo (angolo diedro AB). Ma se non ci sono angoli diedri su un bordo, allora ciascuno di essi è indicato da quattro lettere, di cui due centrali sono sul bordo e due estreme sono sulle facce (ad esempio, l'angolo diedro SCDR) (Fig. 27).

Se da un punto arbitrario D disegniamo i bordi AB (Fig. 28) su ciascuna faccia lungo la perpendicolare al bordo, allora si chiama l'angolo CDE formato da essi angolo lineare angolo diedro.

Il valore di un angolo lineare non dipende dalla posizione del suo vertice sul bordo. Pertanto, gli angoli lineari CDE e C 1 D 1 E 1 sono uguali perché i loro lati sono rispettivamente paralleli ed egualmente diretti.

Il piano di un angolo lineare è perpendicolare al bordo perché contiene due linee perpendicolari ad esso. Pertanto, per ottenere un angolo lineare, è sufficiente intersecare le facce di un dato angolo diedro con un piano perpendicolare allo spigolo, e considerare l'angolo ottenuto in tale piano.

39. Uguaglianza e disuguaglianza degli angoli diedri. Due angoli diedri sono considerati uguali se possono essere combinati quando nidificati; in caso contrario, uno degli angoli diedri è considerato più piccolo, che farà parte dell'altro angolo.

Come gli angoli in planimetria, gli angoli diedri possono esserlo adiacente, verticale eccetera.

Se due angoli diedri adiacenti sono uguali tra loro, allora viene chiamato ciascuno di essi angolo diedro retto.

Teoremi. 1) Angoli diedri uguali corrispondono ad angoli lineari uguali.

2) Un angolo diedro maggiore corrisponde a un angolo lineare maggiore.

Siano PABQ e P 1 A 1 B 1 Q 1 (Fig. 29) due angoli diedri. Incorporare l'angolo A 1 B 1 nell'angolo AB in modo che lo spigolo A 1 B 1 coincida con lo spigolo AB e la faccia P 1 con la faccia P.

Quindi se questi angoli diedri sono uguali, la faccia Q 1 coinciderà con la faccia Q; se l'angolo A 1 B 1 è minore dell'angolo AB, allora la faccia Q 1 prenderà una posizione all'interno dell'angolo diedro, ad esempio Q 2 .

Notando questo, prendiamo un punto B su un bordo comune e tracciamo un piano R attraverso di esso, perpendicolare al bordo. Dall'intersezione di questo piano con le facce degli angoli diedri si ottengono angoli lineari. È chiaro che se gli angoli diedri coincidono, allora avranno lo stesso angolo lineare CBD; se gli angoli diedri non coincidono, se, ad esempio, la faccia Q 1 assume la posizione Q 2, allora l'angolo diedro maggiore avrà un angolo lineare maggiore (ovvero: / CBD > / C2BD).

40. Teoremi inversi. 1) Angoli lineari uguali corrispondono ad angoli diedri uguali.

2) Un angolo lineare maggiore corrisponde a un angolo diedro maggiore .

Questi teoremi sono facilmente dimostrabili per assurdo.

41. Conseguenze. 1) Un angolo diedro retto corrisponde a un angolo lineare retto e viceversa.

Sia (Fig. 30) l'angolo diedro PABQ retto. Ciò significa che è uguale all'angolo adiacente QABP 1 . Ma in questo caso, anche gli angoli lineari CDE e CDE 1 sono uguali; e poiché sono adiacenti, ciascuno di essi deve essere diritto. Al contrario, se gli angoli lineari adiacenti CDE e CDE 1 sono uguali, anche gli angoli diedri adiacenti sono uguali, cioè ciascuno di essi deve essere retto.

2) Tutti gli angoli diedri retti sono uguali, perché hanno angoli lineari uguali .

Allo stesso modo, è facile dimostrare che:

3) Gli angoli diedri verticali sono uguali.

4) diedro gli angoli con facce corrispondentemente parallele e dirette ugualmente (o opposte) sono uguali.

5) Se prendiamo come unità di angoli diedro tale angolo diedro che corrisponde ad un'unità di angoli lineari, allora possiamo dire che un angolo diedro si misura dal suo angolo lineare.