piegare- tipo di deformazione, in cui si ha una curvatura degli assi delle barre dritte o una variazione della curvatura degli assi delle barre curve. La flessione è associata al verificarsi di momenti flettenti nelle sezioni trasversali della trave. curva dritta si verifica quando il momento flettente in una determinata sezione trasversale della trave agisce in un piano passante per uno dei principali assi centrali di inerzia di tale sezione. Nel caso in cui il piano d'azione del momento flettente in una data sezione trasversale della trave non passi per nessuno degli assi d'inerzia principali di questa sezione, si parla di obliquo.

Se, con flessione diretta o obliqua, agisce solo un momento flettente nella sezione trasversale della trave, allora, di conseguenza, c'è puro dritto o curva obliqua pulita. Se una forza trasversale agisce anche nella sezione trasversale, allora c'è rettilineo trasversale o curva obliqua trasversale.

Spesso il termine "diritto" non è usato nel nome di una curva diretta pura e di una curva trasversale diretta e sono chiamati, rispettivamente, una curva pura e una curva trasversale.

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Collegamenti

• Dati di progetto per travi standard a sezione costante

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Meccanico dell'Accademia Imperiale delle Scienze, membro dell'Imperial Free Economic Society. Il figlio di un commerciante di Nizhny Novgorod, b. a Nizhny Novgorod il 10 aprile 1735, d. nello stesso luogo il 30 luglio 1818, Kulibin era destinato dal padre a commerciare farina, ma lui con ... Grande enciclopedia biografica

Libri

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Curva dritta. Curva trasversale piatta 1.1. Costruzione dei diagrammi dei fattori di forza interni per le travi 1.2. Costruzione dei diagrammi Q e M secondo le equazioni 1.3. Costruzione dei diagrammi Q e M su tratti caratteristici (punti) 1.4. Calcoli per la resistenza alla flessione diretta delle travi 1.5. Principali sollecitazioni flettenti. Verifica della piena forza delle travi 1.6. Il concetto del centro della curva 1.7. Determinazione degli spostamenti nelle travi durante la flessione. Concetti di deformazione delle travi e condizioni della loro rigidità 1.8. L'equazione differenziale dell'asse di flessione della trave 1.9. Metodo di integrazione diretta 1.10. Esempi di determinazione degli spostamenti nelle travi mediante integrazione diretta 1.11. Significato fisico delle costanti di integrazione 1.12. Metodo dei parametri iniziali (equazione universale dell'asse di flessione della trave) 1.13. Esempi di determinazione degli spostamenti in una trave utilizzando il metodo dei parametri iniziali 1.14. Determinazione dei movimenti con il metodo di Mohr. La regola di A.K Vereschagin 1.15. Calcolo dell'integrale di Mohr secondo A.K. Vereschagin 1.16. Esempi di determinazione degli spostamenti mediante integrale di Mohr Riferimenti 4 1. Curva rettilinea. Piegatura trasversale piatta. 1.1. Diagrammi di tracciamento dei fattori di forza interni per le travi La flessione diretta è un tipo di deformazione in cui si verificano due fattori di forza interni nelle sezioni trasversali della barra: un momento flettente e una forza trasversale. In un caso particolare, la forza trasversale può essere zero, quindi la curva è chiamata pura. Con una flessione trasversale piatta, tutte le forze si trovano su uno dei principali piani di inerzia dell'asta e sono perpendicolari al suo asse longitudinale, i momenti si trovano sullo stesso piano (Fig. 1.1, a, b). Riso. 1.1 La forza trasversale in una sezione trasversale arbitraria della trave è numericamente uguale alla somma algebrica delle sporgenze sulla normale all'asse della trave di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame. La forza trasversale nella sezione mn della trave (Fig. 1.2, a) è considerata positiva se la risultante delle forze esterne a sinistra della sezione è diretta verso l'alto ea destra - verso il basso e negativa - nel caso opposto (Fig. 1.2, b). Riso. 1.2 Quando si calcola la forza trasversale in una determinata sezione, le forze esterne che giacciono a sinistra della sezione vengono prese con un segno più se sono dirette verso l'alto e con un segno meno se verso il basso. Per il lato destro della trave - viceversa. 5 Il momento flettente in una sezione trasversale di trave arbitraria è numericamente uguale alla somma algebrica dei momenti attorno all'asse centrale z della sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame. Il momento flettente nella sezione mn della trave (Fig. 1.3, a) è considerato positivo se il momento risultante delle forze esterne è diretto in senso orario dalla sezione a sinistra della sezione e in senso antiorario a destra e negativo - in il caso opposto (Fig. 1.3, b). Riso. 1.3 Quando si calcola il momento flettente in una determinata sezione, i momenti delle forze esterne che giacciono a sinistra della sezione sono considerati positivi se diretti in senso orario. Per il lato destro della trave - viceversa. È conveniente determinare il segno del momento flettente in base alla natura della deformazione della trave. Il momento flettente è considerato positivo se, nella sezione in esame, la parte tagliata della trave si piega con una convessità verso il basso, cioè le fibre inferiori sono tese. In caso contrario, il momento flettente nella sezione è negativo. Tra il momento flettente M, la forza trasversale Q e l'intensità del carico q esistono dipendenze differenziali. 1. La prima derivata della forza trasversale lungo l'ascissa della sezione è uguale all'intensità del carico distribuito, cioè . (1.1) 2. La derivata prima del momento flettente lungo l'ascissa della sezione è uguale alla forza trasversale, cioè (1.2) 3. La derivata seconda dell'ascissa della sezione è uguale all'intensità del carico distribuito, cioè (1.3) Consideriamo positivo il carico distribuito diretto verso l'alto. Dalle dipendenze differenziali tra M, Q, q derivano alcune importanti conclusioni: 1. Se sulla sezione della trave: a) la forza trasversale è positiva, allora il momento flettente aumenta; b) la forza trasversale è negativa, quindi il momento flettente diminuisce; c) la forza trasversale è zero, quindi il momento flettente ha valore costante (flessione pura); 6 d) la forza trasversale passa per zero, cambiando segno da più a meno, max M M, altrimenti M Mmin. 2. Se non c'è carico distribuito sulla sezione della trave, la forza trasversale è costante e il momento flettente cambia linearmente. 3. Se c'è un carico uniformemente distribuito sulla sezione della trave, la forza trasversale cambia secondo una legge lineare e il momento flettente - secondo la legge di una parabola quadrata, convessa invertita verso il carico (nel caso di tracciatura M dal lato delle fibre tese). 4. Nella sezione sotto la forza concentrata, il diagramma Q ha un salto (per l'entità della forza), il diagramma M ha un'interruzione nella direzione della forza. 5. Nella sezione in cui viene applicato un momento concentrato, il diagramma M presenta un salto pari al valore di questo momento. Questo non si riflette nel grafico Q. Sotto carico complesso, le travi tracciano le forze trasversali Q e i momenti flettenti M. Il diagramma Q(M) è un grafico che mostra la legge di variazione della forza trasversale (momento flettente) lungo la lunghezza della trave. Sulla base dell'analisi dei diagrammi M e Q, vengono stabilite le sezioni pericolose della trave. Le ordinate positive del diagramma Q sono tracciate verso l'alto e le ordinate negative verso il basso dalla linea di base tracciata parallelamente all'asse longitudinale della trave. Le ordinate positive del diagramma M sono stabilite e le ordinate negative sono tracciate verso l'alto, cioè il diagramma M è costruito dal lato delle fibre tese. La costruzione dei diagrammi Q e M per le travi dovrebbe iniziare con la definizione delle reazioni di appoggio. Per una trave con un'estremità fissa e l'altra estremità libera, il tracciamento di Q e M può essere avviato dall'estremità libera senza definire le reazioni nell'incastonatura. 1.2. La costruzione dei diagrammi Q e M secondo le equazioni di Balk è suddivisa in sezioni, all'interno delle quali le funzioni del momento flettente e della forza di taglio rimangono costanti (non presentano discontinuità). I confini delle sezioni sono i punti di applicazione di forze concentrate, coppie di forze e luoghi di variazione dell'intensità del carico distribuito. Viene presa una sezione arbitraria in ciascuna sezione a una distanza x dall'origine e per questa sezione vengono elaborate le equazioni per Q e M. I grafici Q e M sono costruiti utilizzando queste equazioni Esempio 1.1 Costruire i grafici delle forze di taglio Q e dei momenti flettenti M per una data trave (Fig. 1.4a). Soluzione: 1. Determinazione delle reazioni dei supporti. Componiamo le equazioni di equilibrio: da cui otteniamo Le reazioni degli appoggi sono definite correttamente. La trave ha quattro sezioni Fig. 1.4 caricamenti: CA, AD, DB, BE. 2. Tracciare Q. Tracciare SA. Sulla sezione CA 1, disegniamo una sezione arbitraria 1-1 a una distanza x1 dall'estremità sinistra della trave. Definiamo Q come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a sinistra della sezione 1-1: 1 Q 3 0 kN. Viene preso il segno meno perché la forza che agisce a sinistra della sezione è diretta verso il basso. L'espressione per Q non dipende dalla variabile x1. Il grafico Q in questa sezione sarà rappresentato come una linea retta parallela all'asse x. Trama d.C. Sul sito, disegniamo una sezione arbitraria 2-2 a una distanza x2 dall'estremità sinistra della trave. Definiamo Q2 come la somma algebrica di tutte le forze esterne agenti a sinistra della sezione 2-2: Il valore di Q è costante sulla sezione (non dipende dalla variabile x2). Il grafico Q sul grafico è una linea retta parallela all'asse x. Sito DB. Sul sito, disegniamo una sezione arbitraria 3-3 a una distanza x3 dall'estremità destra della trave. Definiamo Q3 come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a destra della sezione 3-3: . L'espressione risultante è l'equazione di una retta inclinata. Trama BE Sul sito, disegniamo una sezione 4-4 a una distanza x4 dall'estremità destra della trave. Definiamo Q come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a destra della sezione 4-4: qui si assume il segno più perché il carico risultante a destra della sezione 4-4 è diretto verso il basso. Sulla base dei valori ottenuti, costruiamo i diagrammi Q (Fig. 1.4, b). 3. Tracciamento M. Plot SA m1. Definiamo il momento flettente nella sezione 1-1 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a sinistra della sezione 1-1. è l'equazione di una retta. Complotto. 3Definiamo il momento flettente nella sezione 2-2 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a sinistra della sezione 2-2. è l'equazione di una retta. Complotto. 4Definiamo il momento flettente nella sezione 3-3 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a destra della sezione 3-3. è l'equazione di una parabola quadrata. 9 Troviamo tre valori alle estremità della sezione e nel punto con la coordinata xk, dove da qui abbiamo kNm. Complotto. 1Definiamo il momento flettente nella sezione 4-4 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a destra della sezione 4-4. - dall'equazione di una parabola quadrata troviamo tre valori di M4: Sulla base dei valori ottenuti, costruiamo un grafico M (Fig. 1.4, c). Nelle sezioni CA e AD, il grafico Q è limitato da rette parallele all'asse delle ascisse, e nelle sezioni DB e BE, da rette oblique. Nelle sezioni C, A e B del diagramma Q ci sono salti dell'entità delle forze corrispondenti, che servono come verifica della correttezza della costruzione del diagramma Q. Nelle sezioni in cui Q 0, i momenti aumentano da sinistra a destra. Nelle sezioni in cui Q 0, i momenti diminuiscono. Sotto le forze concentrate ci sono nodi nella direzione dell'azione delle forze. Sotto il momento concentrato, c'è un salto del valore del momento. Ciò indica la correttezza della costruzione del diagramma M. Esempio 1.2 Costruire i diagrammi Q e M per una trave su due supporti, caricata con un carico distribuito, la cui intensità varia secondo una legge lineare (Fig. 1.5, a). Soluzione Determinazione delle reazioni di supporto. La risultante del carico distribuito è uguale all'area del triangolo che rappresenta il diagramma di carico e viene applicata al baricentro di questo triangolo. Componiamo la somma dei momenti di tutte le forze relative ai punti A e B: Tracciando Q. Tracciamo una sezione arbitraria a una distanza x dal supporto sinistro. L'ordinata del diagramma di carico corrispondente alla sezione è determinata dalla somiglianza dei triangoli La risultante di quella parte del carico che si trova a sinistra della sezione La forza di taglio nella sezione è uguale a zero: Il grafico Q è mostrato in Figura. 1.5, b. Il momento flettente in una sezione arbitraria è uguale a Il momento flettente cambia secondo la legge di una parabola cubica: Il valore massimo del momento flettente è nella sezione dove Q 0, cioè a 1.5, c. 1.3. Tracciare i diagrammi Q e M per sezioni caratteristiche (punti) Utilizzando le relazioni differenziali tra M, Q, q e le conclusioni che ne derivano, è consigliabile costruire diagrammi Q e M per sezioni caratteristiche (senza formulare equazioni). Utilizzando questo metodo, i valori di Q e M vengono calcolati in sezioni caratteristiche. Le sezioni caratteristiche sono le sezioni di confine delle sezioni, nonché le sezioni in cui il dato fattore di forza interna ha un valore estremo. Entro i limiti tra le sezioni caratteristiche, lo schema 12 del diagramma è stabilito sulla base delle dipendenze differenziali tra M, Q, q e le conclusioni che ne derivano. Esempio 1.3 Costruire i diagrammi Q e M per la trave mostrata in fig. 1.6, a. Iniziamo a tracciare i diagrammi Q e M dall'estremità libera della trave, mentre le reazioni nell'infissione possono essere omesse. La trave ha tre aree di carico: AB, BC, CD. Non c'è carico distribuito nelle sezioni AB e BC. Le forze trasversali sono costanti. Il grafico Q è limitato da linee rette parallele all'asse x. I momenti flettenti cambiano linearmente. Il grafico M è limitato a linee rette inclinate rispetto all'asse x. Sulla sezione CD c'è un carico distribuito uniformemente. Le forze trasversali cambiano linearmente e i momenti flettenti cambiano secondo la legge di una parabola quadrata con una convessità nella direzione del carico distribuito. Al confine delle sezioni AB e BC, la forza trasversale cambia bruscamente. Al limite delle sezioni BC e CD, il momento flettente cambia bruscamente. 1. Tracciamento Q. Calcoliamo i valori delle forze trasversali Q nelle sezioni di confine delle sezioni: sulla base dei risultati dei calcoli, costruiamo un diagramma Q per la trave (Fig. 1, b). Segue dal diagramma Q che la forza trasversale nella sezione CD è uguale a zero nella sezione distanziata ad una distanza qa a q  dall'inizio di questa sezione. In questa sezione, il momento flettente ha un valore massimo. 2. Costruzione del diagramma M. Calcoliamo i valori dei momenti flettenti nelle sezioni di confine delle sezioni: A Kx3, il momento massimo sulla sezione Sulla base dei risultati dei calcoli, costruiamo il diagramma M (Fig. 5.6, C). Esempio 1.4 Secondo il diagramma dato dei momenti flettenti (Fig. 1.7, a) per la trave (Fig. 1.7, b), determinare i carichi agenti e tracciare Q. Il cerchio indica il vertice della parabola quadrata. Soluzione: determinare i carichi agenti sulla trave. La sezione AC è caricata con un carico uniformemente distribuito, poiché il diagramma M in questa sezione è una parabola quadrata. Nella sezione di riferimento B si applica alla trave un momento concentrato, agendo in senso orario, poiché sul diagramma M si ha un salto verso l'alto della grandezza del momento. Nella sezione NE la trave non è caricata, in quanto il diagramma M in questa sezione è limitato da una retta inclinata. La reazione dell'appoggio B è determinata dalla condizione che il momento flettente nella sezione C sia uguale a zero, ovvero per determinare l'intensità del carico distribuito, componiamo un'espressione per il momento flettente nella sezione A come somma dei momenti di forze a destra e equivalgono a zero, determiniamo ora la reazione dell'appoggio A. Per fare ciò comporremo un'espressione per i momenti flettenti nella sezione come somma dei momenti delle forze a sinistra da cui la Fig. 1.7 Verifica Lo schema di progetto di una trave con carico è mostrato in fig. 1.7, c. Partendo dall'estremità sinistra della trave, calcoliamo i valori delle forze trasversali nelle sezioni di confine delle sezioni: Il diagramma Q è mostrato in fig. 1.7, d.Il problema considerato può essere risolto compilando dipendenze funzionali per M, Q in ogni sezione. Scegliamo l'origine delle coordinate all'estremità sinistra della trave. Sulla sezione AC, il grafico M è espresso da una parabola quadrata, la cui equazione è della forma Costanti a, b, c, si ricava dalla condizione che la parabola passa per tre punti di coordinate note: Sostituendo le coordinate di i punti nell'equazione della parabola, otteniamo: L'espressione per il momento flettente sarà Differenziando la funzione M1 , otteniamo la dipendenza per la forza trasversale Dopo aver differenziato la funzione Q, otteniamo un'espressione per l'intensità del carico distribuito. Nella sezione NE, l'espressione per il momento flettente è rappresentata come una funzione lineare. Per determinare le costanti aeb, utilizziamo le condizioni che questa retta passa per due punti le cui coordinate sono note. Si ottengono due equazioni: da cui si abbiamo a 10, b  20. L'equazione per il momento flettente nella sezione NE sarà Dopo una duplice differenziazione di M2, troveremo Sulla base dei valori trovati di M e Q, costruiamo diagrammi di flessione momenti e forze di taglio per la trave. Oltre al carico distribuito, alla trave vengono applicate forze concentrate in tre sezioni, dove ci sono salti sul diagramma Q, e momenti concentrati nella sezione in cui c'è un salto sul diagramma M. Esempio 1.5 Per una trave (Fig. 1.8, a), determinare la posizione razionale della cerniera C, in cui il momento flettente maggiore nella campata è uguale al momento flettente nell'incasso (in valore assoluto). Costruire diagrammi Q e M. Soluzione Determinazione delle reazioni dei supporti. Nonostante il numero totale di collegamenti di supporto sia quattro, la trave è staticamente determinata. Il momento flettente nella cerniera C è uguale a zero, il che ci consente di fare un'ulteriore equazione: la somma dei momenti attorno alla cerniera di tutte le forze esterne che agiscono su un lato di questa cerniera è uguale a zero. Componi la somma dei momenti di tutte le forze a destra della cerniera C. Il diagramma Q per la trave è limitato da una retta inclinata, poiché q = cost. Determiniamo i valori delle forze trasversali nelle sezioni di confine della trave: L'ascissa xK della sezione, dove Q = 0, è determinata dall'equazione da cui Plot M per la trave è limitato da una parabola quadrata. Le espressioni per i momenti flettenti nelle sezioni, dove Q = 0, e nell'incastonatura si scrivono rispettivamente come segue: Dalla condizione di uguaglianza dei momenti si ottiene un'equazione quadratica rispetto al parametro desiderato x: Valore reale. Determiniamo i valori numerici delle forze trasversali e dei momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave. 1.8, c - plot M. Il problema considerato può essere risolto dividendo la trave incernierata nei suoi elementi costitutivi, come mostrato in fig. 1.8, d) All'inizio si determinano le reazioni degli appoggi VC e VB. Le trame Q e M sono costruite per la trave di sospensione SV dall'azione del carico ad essa applicato. Si passa quindi alla trave principale AC, caricandola di una forza aggiuntiva VC, che è la forza di pressione della trave CB sulla trave AC. Successivamente, vengono costruiti i diagrammi Q e M per la trave AC. 1.4. Calcoli di resistenza per flessione diretta di travi Calcolo di resistenza per sollecitazioni normali e di taglio. Con una flessione diretta di una trave, si verificano sollecitazioni normali e di taglio nelle sue sezioni trasversali (Fig. 1.9). Le sollecitazioni normali sono associate a un momento flettente, le sollecitazioni di taglio sono associate a una forza trasversale. Nella flessione diretta pura, le sollecitazioni di taglio sono pari a zero. Le sollecitazioni normali in un punto arbitrario della sezione trasversale della trave sono determinate dalla formula (1.4) dove M è il momento flettente nella sezione data; Iz è il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro z; y è la distanza dal punto in cui è determinata la sollecitazione normale all'asse z neutro. Le sollecitazioni normali lungo l'altezza della sezione cambiano linearmente e raggiungono il valore massimo nei punti più distanti dall'asse neutro Se la sezione è simmetrica rispetto all'asse neutro (Fig. 1.11), allora 1.11 le maggiori sollecitazioni di trazione e compressione sono le stesse e sono determinate dalla formula - modulo di sezione assiale in flessione. Per una sezione rettangolare di larghezza b e altezza h: (1.7) Per una sezione circolare di diametro d: (1.8) Per una sezione anulare (1.9) dove d0 e d sono rispettivamente i diametri interno ed esterno dell'anello. Per le travi in ​​materiale plastico, le più razionali sono le forme simmetriche a 20 sezioni (trave a I, scatolare, anulare). Per le travi realizzate con materiali fragili che non resistono allo stesso modo alla trazione e alla compressione, le sezioni asimmetriche rispetto all'asse neutro z (ta-br., trave a I asimmetrica a forma di U) sono razionali. Per travi a sezione costante in materiale plastico a sezione simmetrica, la condizione di resistenza è scritta come segue: (1.10) dove Mmax è il momento flettente massimo modulo; - sollecitazione ammissibile per il materiale. Per le travi a sezione costante in materiali duttili con sezioni trasversali asimmetriche, la condizione di resistenza è scritta nella forma seguente: yP,max, yC,max sono le distanze dall'asse neutro ai punti più remoti del tratto teso e compresso rispettivamente le zone della sezione pericolosa; - sollecitazioni ammissibili rispettivamente in trazione e compressione. Fig.1.12. 21 Se il diagramma del momento flettente presenta tratti di segno diverso (Fig. 1.13), oltre alla verifica del tratto 1-1, dove agisce Mmax, è necessario calcolare le sollecitazioni massime di trazione per il tratto 2-2 (con il momento massimo del segno opposto). Riso. 1.13 Insieme al calcolo di base per le sollecitazioni normali, in alcuni casi è necessario controllare la resistenza della trave per le sollecitazioni di taglio. Le sollecitazioni di taglio nelle travi sono calcolate con la formula di D. I. Zhuravsky (1.13) dove Q è la forza trasversale nella sezione trasversale considerata della trave; Szots è il momento statico attorno all'asse neutro dell'area della parte della sezione situata su un lato della retta tracciata attraverso il punto dato e parallela all'asse z; b è la larghezza della sezione al livello del punto considerato; Iz è il momento d'inerzia dell'intera sezione attorno all'asse neutro z. In molti casi, le massime sollecitazioni di taglio si verificano a livello dello strato neutro della trave (rettangolo, trave a I, cerchio). In questi casi, la condizione di resistenza per le sollecitazioni di taglio è scritta come (1.14) dove Qmax è la forza trasversale con il modulo più alto; - sforzo di taglio ammissibile per il materiale. Per una sezione di trave rettangolare, la condizione di resistenza ha la forma 22 (1.15) A - l'area della sezione trasversale della trave. Per una sezione circolare, la condizione di resistenza è rappresentata come (1.16) Per una sezione I, la condizione di resistenza è scritta come segue: (1.17) d è lo spessore della parete della trave a I. Di solito, le dimensioni della sezione trasversale della trave sono determinate dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali. Il controllo della resistenza delle travi alle sollecitazioni di taglio è obbligatorio per travi corte e travi di qualsiasi lunghezza, se ci sono grandi forze concentrate vicino ai supporti, nonché per travi in ​​legno, rivettate e saldate. Esempio 1.6 Verificare la resistenza di una trave a sezione scatolare (Fig. 1.14) per le sollecitazioni normali e di taglio, se 0 MPa. Costruisci diagrammi nella sezione pericolosa della trave. Riso. 1.14 Decisione 23 1. Tracciare trame Q e M da sezioni caratteristiche. Considerando il lato sinistro della trave, otteniamo Il diagramma delle forze trasversali è mostrato in fig. 1.14, c. . Il grafico dei momenti flettenti è mostrato in fig. 5.14, g. 2. Caratteristiche geometriche della sezione trasversale 3. Le sollecitazioni normali più elevate nella sezione C, dove agisce Mmax (modulo): Le sollecitazioni normali massime nella trave sono pressoché uguali a quelle ammissibili. 4. Le maggiori sollecitazioni tangenziali nella sezione C (o A), dove agisce - il momento statico dell'area della semisezione rispetto all'asse neutro; b2 cm è la larghezza della sezione a livello dell'asse neutro. 5. Tensioni tangenziali in un punto (in una parete) nella sezione C: Ecco il momento statico dell'area della parte della sezione situata al di sopra della linea passante per il punto K1; b2 cm è lo spessore della parete al livello del punto K1. Gli schemi per la sezione C della trave sono mostrati in fig. 1.15. Esempio 1.7 Per la trave mostrata in fig. 1.16, a, è richiesto: 1. Costruire diagrammi di forze trasversali e momenti flettenti lungo sezioni caratteristiche (punti). 2. Determinare le dimensioni della sezione trasversale sotto forma di cerchio, rettangolo e trave a I dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali, confrontare le aree della sezione trasversale. 3. Verificare le dimensioni selezionate delle sezioni della trave per le sollecitazioni di taglio. Soluzione: 1. Determinare le reazioni dei supporti delle travi da dove Verificare: 2. Tracciare i diagrammi Q e M. Pertanto, in queste sezioni, il diagramma Q è limitato a rette inclinate rispetto all'asse. Nella sezione DB, l'intensità del carico distribuito q \u003d 0, quindi, in questa sezione, il diagramma Q è limitato a una retta parallela all'asse x. Il diagramma Q per la trave è mostrato in fig. 1.16b. Valori dei momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave: Nella seconda sezione determiniamo l'ascissa x2 della sezione, in cui Q = 0: Il momento massimo nella seconda sezione Il diagramma M per la trave è mostrato in fig . 1.16, c. 2. Comporre la condizione di resistenza alle sollecitazioni normali, da cui si determina il modulo di sezione assiale richiesto dall'espressione determinato il diametro d richiesto di una trave a sezione circolare Area di sezione circolare Per una trave rettangolare Altezza di sezione richiesta Area di sezione rettangolare Secondo le tabelle di GOST 8239-89, troviamo il valore maggiore più vicino del momento di resistenza assiale, che corrisponde a una trave a I n. 33 con le seguenti caratteristiche: Controllo di tolleranza: (sottocarico dell'1% del consentito 5 %) la trave a I più vicina n. 30 (W = 472 cm3) comporta un sovraccarico significativo (più del 5%). Infine accettiamo la trave a I n. 33. Confrontiamo le aree delle sezioni circolari e rettangolari con l'area A più piccola della trave a I: Delle tre sezioni considerate, la sezione a I è la più economica. 3. Calcoliamo le maggiori sollecitazioni normali nella sezione pericolosa 27 della trave a I (Fig. 1.17, a): Sollecitazioni normali nella parete vicino alla flangia della sezione della trave a I. 1.17b. 5. Determiniamo le maggiori sollecitazioni di taglio per le sezioni selezionate della trave. a) sezione rettangolare della trave: b) sezione circolare della trave: c) sezione a I della trave: sforzi di taglio nella parete vicino alla flangia della trave a I nella sezione pericolosa A (a destra) (a punto 2): in fig. 1.17, a. Le sollecitazioni di taglio massime nella trave non superano le sollecitazioni ammissibili. Esempio 1.8 Determinare il carico ammissibile sulla trave (Fig. 1.18, a), se sono fornite le dimensioni della sezione trasversale (Fig. 1.19, a). Costruire un diagramma delle sollecitazioni normali nella sezione pericolosa della trave sotto il carico ammissibile. Fig 1.18 1. Determinazione delle reazioni degli appoggi delle travi. A causa della simmetria del sistema VVB A8qa . 29 2. Costruzione dei diagrammi Q e M per sezioni caratteristiche. Forze di taglio nelle sezioni caratteristiche della trave: il diagramma Q per la trave è mostrato in fig. 5.18b. Momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave Per la seconda metà della trave, le ordinate M sono lungo gli assi di simmetria. Il diagramma M per la trave è mostrato in fig. 1.18b. 3. Caratteristiche geometriche della sezione (Fig. 1.19). Dividiamo la figura in due semplici elementi: una trave a I - 1 e un rettangolo - 2. Fig. 1.19 Secondo l'assortimento per la trave a I n. 20, abbiamo Per un rettangolo: Momento statico dell'area della sezione rispetto all'asse z1 Distanza dall'asse z1 al baricentro della sezione Momento d'inerzia della sezione relativa all'asse centrale principale z dell'intera sezione secondo le formule per il passaggio ad assi paralleli punto pericoloso "a" (Fig. 1.19) nella sezione pericolosa I (Fig. 1.18): Dopo aver sostituito i dati numerici 5. Con un ammissibile carico q nella sezione pericolosa, le sollecitazioni normali ai punti "a" e "b" saranno uguali: Il diagramma delle sollecitazioni normali per la sezione pericolosa 1-1 è mostrato in fig. 1.19b. Esempio 1.9 Determinare le dimensioni della sezione trasversale richieste di una trave in ghisa (Fig. 1.20.), Avendo precedentemente scelto una disposizione razionale della sezione. Prendere la decisione 1. Determinazione delle reazioni dei supporti delle travi. 2. Costruzione dei lotti Q e M. I lotti sono mostrati in fig. 1.20, in, g. Il momento flettente (modulo) maggiore si verifica nella sezione "b". In questa sezione, le fibre tese si trovano nella parte superiore. La maggior parte del materiale dovrebbe trovarsi nella zona elastica. Pertanto, è razionale disporre la sezione della trave come mostrato in Fig. 1.20, b. 3. Determinazione della posizione del baricentro della sezione (per analogia con l'esempio precedente): 4. Determinazione del momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro: 5. Determinazione delle dimensioni richieste della trave sezione dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali. Indichiamo con y, rispettivamente, le distanze dall'asse neutro ai punti più distanti nelle zone di tensione e compressione (per la sezione B): , allora sono pericolosi i punti della zona tesa più distanti dall'asse neutro. Componiamo la condizione di resistenza per il punto m nella sezione B: o dopo aver sostituito valori numerici In questo caso le sollecitazioni nel punto n, il più distante dall'asse neutro nella zona compressa (nella sezione B), saranno MPa. La trama M è ambigua. È necessario verificare la forza della trave nella sezione C. Ecco il momento B ma le fibre inferiori sono tese. Il punto n sarà un punto pericoloso: In questo caso, le sollecitazioni al punto m saranno infine tratte dai calcoli Il diagramma delle sollecitazioni normali per un tratto pericoloso C è mostrato in fig. 1.21. Riso. 1.21 1.5. Principali sollecitazioni flettenti. Verifica completa della resistenza delle travi Sopra, vengono considerati esempi di calcolo della resistenza delle travi in ​​base alle sollecitazioni normali e di taglio. Nella stragrande maggioranza dei casi, questo calcolo è sufficiente. Tuttavia, nelle travi a parete sottile di trave a I, trave a T, canale e sezioni scatolate, si verificano notevoli sollecitazioni di taglio alla giunzione della parete con la flangia. Ciò avviene nei casi in cui alla trave viene applicata una forza trasversale significativa e ci sono sezioni in cui M e Q sono simultaneamente grandi. Una di queste sezioni sarà pericolosa ed è controllata 34 dalle principali sollecitazioni utilizzando una delle teorie della resistenza. Il controllo della resistenza delle travi per le sollecitazioni normali, tangenziali e principali è chiamato controllo della resistenza completa delle travi. Tale calcolo è discusso di seguito. Il principale è il calcolo della trave in base alle sollecitazioni normali. La condizione di resistenza per le travi, il cui materiale è ugualmente resistente alla trazione e alla compressione, ha la forma [ ]─ sollecitazione normale ammissibile per il materiale. Dalla condizione di resistenza (1) determinare le dimensioni richieste della sezione trasversale della trave. Le dimensioni selezionate della sezione della trave vengono verificate per le sollecitazioni di taglio. La condizione di resistenza per gli sforzi di taglio ha la forma (formula di D. I. Zhuravsky): dove Qmax è la forza trasversale massima presa dal diagramma Q; Szots.─ momento statico (relativo all'asse neutro) della parte di taglio della sezione trasversale, situata su un lato del livello in cui vengono determinate le sollecitazioni di taglio; I z ─ momento d'inerzia dell'intera sezione trasversale rispetto all'asse neutro; b─ larghezza della sezione della trave al livello in cui sono determinate le sollecitazioni di taglio; ─ sollecitazione di taglio ammissibile del materiale durante la flessione. Lo stress test normale si riferisce al punto più lontano dall'asse neutro nella sezione in cui è valido Mmax. La prova di resistenza al taglio si riferisce ad un punto situato sull'asse neutro nella sezione in cui è valido Qmax. Nelle travi con sezione a parete sottile (trave a I, ecc.), un punto situato nel muro nella sezione in cui M e Q sono entrambi grandi può essere pericoloso. In questo caso, la prova di resistenza viene eseguita in base alle principali sollecitazioni. Le sollecitazioni di taglio principali ed estreme sono determinate dalle dipendenze analitiche ottenute dalla teoria dello stato tensionale piano dei corpi: Ad esempio, secondo la terza teoria delle maggiori sollecitazioni di taglio, abbiamo Dopo aver sostituito i valori delle principali sollecitazioni, otteniamo infine (1.23) Secondo la quarta teoria energetica della forza, la condizione di resistenza ha la forma (1.24 ) Dalle formule (1.6) e (1.7) si può vedere che la sollecitazione di progetto Eqv dipende. Pertanto, un elemento del materiale della trave è soggetto a verifica, per la quale saranno contemporaneamente di grandi dimensioni. Ciò avviene in questi casi: 1) il momento flettente e la forza trasversale raggiungono il loro valore massimo nella stessa sezione; 2) la larghezza della trave cambia drasticamente vicino ai bordi della sezione (trave a I, ecc.). Se queste condizioni non valgono, è necessario considerare diverse sezioni trasversali in cui l'eq più alta. Esempio 1.10 Una trave saldata di sezione trasversale di trave ad I con una luce di l = 5 m, liberamente supportata alle estremità, è caricata con un carico uniformemente distribuito di intensità q e una forza concentrata P 5qa applicata ad una distanza a = 1 m dal supporto destro (Fig. 1.22). Determinare il carico ammissibile sulla trave dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali e verificare le sollecitazioni tangenziali e principali secondo 36 della 4a teoria (energia) della resistenza. Costruire diagrammi in una sezione pericolosa in base alle principali sollecitazioni e indagare lo stato tensionale dell'elemento selezionato nella parete in prossimità della flangia nella sezione specificata. Sollecitazione di trazione e compressione ammessa: alla flessione 160 MPa; e per un turno di 100 MPa. Riso. 1.22 Soluzione 1. Determinazione delle reazioni degli appoggi della trave: 2. Costruzione dei diagrammi M e Q per sezioni caratteristiche (punti): 3. Calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione della trave. a) Momento d'inerzia assiale della sezione rispetto all'asse neutro z: 37 b) Momento di resistenza assiale rispetto all'asse neutro z: 4. Determinazione del carico ammissibile sulla trave dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali: Carico ammissibile sulla trave 5. Verifica della resistenza della trave per sollecitazioni di taglio secondo la formula DIZhuravsky Momento statico della semisezione di una trave a I rispetto all'asse neutro z: Larghezza della sezione al livello del punto 3: Forza trasversale massima Sollecitazione di taglio massima nella trave 6. Verifica della resistenza della trave in funzione delle principali sollecitazioni. Pericoloso in termini di sollecitazioni principali è il tratto D, in cui M e Q sono entrambi grandi, ei punti pericolosi in questo tratto sono i punti 2 e 4, dove  e  sono entrambi grandi (Fig. 1.23). Per i punti 2 e 4, controlliamo la resistenza per le sollecitazioni principali utilizzando la 4a teoria della resistenza dove  (2) e (2) sono le sollecitazioni normali e di taglio rispettivamente al punto 2 (4) (Fig. 1.2). Riso. 1.23 distanza dall'asse neutro al punto 2. dove Sz po (lk ─) è il momento statico della mensola rispetto all'asse neutro z. cm ─ larghezza della sezione lungo la linea passante per il punto 3. Tensioni equivalenti secondo la 4a teoria della resistenza al punto 2 della sezione D: La condizione di resistenza secondo la 4a teoria della resistenza è soddisfatta. 7. Costruzione di diagrammi delle sollecitazioni di taglio normali, tangenziali, principali ed estreme nella sezione pericolosa D (basate sulle sollecitazioni principali). a) calcoliamo le sollecitazioni nei punti (1-5) della sezione D secondo le formule corrispondenti. Punto 2 (nella parete) In precedenza sono stati calcolati i valori delle sollecitazioni normali e di taglio al punto 2. Troviamo le sollecitazioni di taglio principali ed estreme nello stesso punto 2: Punto 3. Tensioni normali e di taglio al punto 3: Il sollecitazioni di taglio principali ed estreme al punto 3: Allo stesso modo, le tensioni si trovano ai punti 4 e 5. Sulla base dei dati ottenuti, costruiamo diagrammi, max. 8. Lo stato tensionale dell'elemento selezionato in prossimità del punto 2 della sezione D è mostrato in fig. 1.24, l'angolo di inclinazione delle piattaforme principali 1.6. Il concetto del centro di flessione Come accennato in precedenza, le sollecitazioni di taglio nelle sezioni trasversali delle barre a parete sottile durante la flessione (ad esempio una trave a I o un canale) sono determinate dalla formula In fig. 194 mostra i diagrammi delle sollecitazioni di taglio in una sezione a I. Utilizzando la tecnica descritta nel paragrafo 63, è possibile tracciare 41 anche per il canale. Si consideri il caso in cui il canale è incassato nel muro e all'altra estremità è caricato con una forza P applicata al baricentro della sezione. Riso. 1.25 La vista generale del diagramma τ in ogni sezione è mostrata in fig. 1.25 a. Le sollecitazioni di taglio τу compaiono nella parete verticale. Come risultato dell'azione delle sollecitazioni τу, si genera una forza di taglio totale T2 (Fig. 1.25, b). Se trascuriamo le sollecitazioni tangenziali τу negli scaffali, allora possiamo scrivere un'uguaglianza approssimativa Negli scaffali orizzontali, sorgono le sollecitazioni di taglio τx, che sono dirette orizzontalmente. La maggiore sollecitazione di taglio nella flangia τx max è Qui S1OTS è il momento statico dell'area della flangia rispetto all'asse Ox: Pertanto, la forza di taglio totale nella flangia è determinata come l'area del diagramma della sollecitazione di taglio moltiplicata per il spessore della flangia Esattamente la stessa forza di taglio agisce sulla flangia inferiore come sopra, ma è diretta nella direzione opposta. Due forze T1 formano una coppia con il momento (1.25) Pertanto, a causa delle sollecitazioni di taglio τу e τх, compaiono tre forze di taglio interne, che sono mostrate in Fig. 1.25 b. Si può vedere da questa figura che le forze T1 e T2 tendono a ruotare la sezione del canale rispetto al baricentro nella stessa direzione. Riso. 1.25 Di conseguenza, nella sezione del canale è presente una coppia interna diretta in senso orario. Quindi, quando una trave del canale viene piegata da una forza applicata al baricentro della sezione, la trave si attorciglia contemporaneamente. Le tre forze tangenziali possono essere ridotte al vettore principale e al momento principale. L'entità del momento principale dipende dalla posizione del punto in cui vengono portate le forze. Si scopre che si può scegliere un punto A rispetto al quale il momento principale è uguale a zero. Questo punto è chiamato centro della curva. Uguagliando il momento delle forze tangenziali a zero: otteniamo Tenendo conto dell'espressione (1.25), troviamo infine la distanza dall'asse della parete verticale al centro della curva: Se viene applicata una forza esterna non al baricentro della sezione, ma al centro della curva, creerà lo stesso momento relativo al baricentro per creare le forze tangenziali interne, ma solo di segno opposto. Con tale carico (Fig. 1.25, c), il canale non si torce, ma si piega solo. Ecco perché il punto A è chiamato il centro della curva. Una presentazione dettagliata del calcolo delle aste a parete sottile è data nel cap. XIII. 1.7. Determinazione degli spostamenti nelle travi durante la flessione. Concetti di deformazione delle travi e condizioni della loro rigidità Sotto l'azione di un carico esterno, la trave si deforma e il suo asse è piegato. La curva in cui gira l'asse della trave dopo l'applicazione del carico è detta linea elastica, a condizione che le sollecitazioni della trave non superino il limite di proporzionalità. A seconda della direzione del carico, della posizione dei diagrammi, la linea elastica può avere un rigonfiamento verso l'alto (Fig. 1.26, a), verso il basso (Fig. 1.26, b) o un aggregato (Fig. 1.26, c). In questo caso, i baricentro delle sezioni trasversali si spostano rispettivamente verso l'alto o verso il basso e le sezioni stesse ruotano rispetto all'asse neutro, rimanendo perpendicolari all'asse curvo della trave (Fig. 1.26, a). A rigor di termini, anche i baricentro delle sezioni trasversali si muovono nella direzione dell'asse longitudinale della trave. Tuttavia, vista l'esiguità di questi spostamenti per le travi, essi vengono trascurati, ovvero considerano che il baricentro della sezione si muova perpendicolarmente all'asse della trave. Indichiamo questo spostamento con y, e in futuro lo capiremo come la deflessione del raggio (vedi Fig. 1.26). La deflessione di una trave in una determinata sezione è lo spostamento del baricentro della sezione in una direzione perpendicolare all'asse della trave. Riso. 1.26 Le flessioni nelle varie sezioni della trave dipendono dalla posizione delle sezioni e sono un valore variabile. Quindi, per una trave (Fig. 1.26, a) nel punto B, la deflessione avrà un valore massimo e nel punto D sarà zero. Come già notato, insieme allo spostamento del baricentro della sezione, le sezioni ruotano rispetto all'asse neutro della sezione. L'angolo di rotazione della sezione rispetto alla sua posizione originale è chiamato angolo di rotazione della sezione. Indicheremo l'angolo di rotazione attraverso (Fig. 1.26, a). Poiché, quando una trave è piegata, la sezione trasversale rimane sempre perpendicolare al suo asse piegato, l'angolo di rotazione può essere rappresentato come l'angolo tra la tangente all'asse piegato in un dato punto e l'asse originale della trave (Fig. 1.26, a) o perpendicolare all'asse originario e piegato della trave nel punto in questione. Anche l'angolo di rotazione della sezione per le travi è una variabile. Ad esempio, per una trave (Fig. 1.26, b), ha un valore massimo negli appoggi incernierati e un valore minimo pari a 0 per una sezione in cui la deflessione ha un valore massimo. Per una trave a sbalzo (Fig. 1.26, a) l'angolo massimo di rotazione sarà alla sua estremità libera, cioè al punto B. Per garantire il normale funzionamento delle travi, non è sufficiente che soddisfino la condizione di resistenza. È inoltre necessario che le travi abbiano una rigidità sufficiente, ovvero che la deflessione e l'angolo di rotazione massimi non superino i valori consentiti determinati dalle condizioni operative delle travi. Questa posizione è chiamata condizione di rigidità delle travi in ​​flessione. In una breve forma matematica, le condizioni di rigidità hanno la forma: dove [y] e, di conseguenza, la deflessione e l'angolo di rotazione consentiti. 45 La deflessione ammissibile è solitamente data come parte della distanza tra gli appoggi della trave (lunghezza campata l), ovvero dove m è un coefficiente dipendente dal valore e dalle condizioni operative del sistema in cui questa trave viene utilizzata. In ogni ramo dell'ingegneria meccanica, questo valore è determinato da standard di progettazione e varia in un'ampia gamma. Come segue: - per travi gru m = 400 - 700; - per ponti ferroviari m = 1000; - per mandrini tornio m= 1000-2000. Gli angoli di rotazione consentiti per le travi di solito non superano 0,001 rad. Il lato sinistro delle equazioni (1.26) include la deflessione massima ymax e l'angolo di rotazione max, che sono determinati mediante calcolo sulla base di metodi noti: analitici, grafici e grafici, alcuni dei quali sono discussi di seguito. 1.8. L'equazione differenziale dell'asse piegato della trave Sotto l'azione di forze esterne, l'asse della trave viene piegato (vedi Fig. 1.26, a). Quindi l'equazione dell'asse piegato della trave può essere scritta nella forma e l'angolo di rotazione  per ogni sezione sarà uguale all'angolo di inclinazione della tangente all'asse piegato in un dato punto. La tangente di questo angolo è numericamente uguale alla derivata della deflessione lungo l'ascissa della sezione corrente x, ie Poiché le deviazioni della trave sono piccole rispetto alla sua lunghezza l (vedi sopra), si può presumere che l'angolo di rotazione (1.27) Nel derivare la formula per le sollecitazioni normali durante la flessione, si è riscontrato che esiste la seguente relazione tra la curvatura dello strato neutro e il momento flettente: Questa formula mostra che la curvatura cambia lungo la lunghezza della trave secondo il stessa legge che cambia il valore di Mz. Se una trave di sezione costante subisce una flessione pura (Fig. 5.27), in cui il momento lungo la lunghezza non cambia, la sua curvatura: Pertanto, per tale trave, anche il raggio di curvatura è un valore costante e la trave in questo il caso si piegherà lungo un arco di cerchio. Tuttavia, nel caso generale, non è possibile applicare direttamente la legge di variazione della curvatura per determinare le deviazioni. Per la soluzione analitica del problema, utilizziamo l'espressione di curvatura nota dalla matematica. (1.29) Sostituendo (1.28) in (1.29), otteniamo l'esatta equazione differenziale per l'asse di flessione della trave: . (1.30) L'equazione (1.30) non è lineare e la sua integrazione è associata a grandi difficoltà. Considerando che le flessioni e gli angoli di rotazione per le travi reali utilizzate in ingegneria meccanica, edilizia, ecc. piccolo, il valore può essere trascurato. Tenendo presente questo, oltre al fatto che per il sistema di coordinate corretto il momento flettente e la curvatura hanno lo stesso segno (Fig. 1.26), per il sistema di coordinate destro si può omettere il segno meno nell'equazione (1.26). Allora l'equazione differenziale approssimativa avrà la forma 1.9. Metodo di integrazione diretta Questo metodo si basa sull'integrazione dell'equazione (1.31) e consente di ottenere l'equazione dell'asse elastico della trave sotto forma di deflessioni yf (x) e l'equazione degli angoli di rotazione Integrando l'equazione (1.31 ) per la prima volta otteniamo l'equazione degli angoli di rotazione (1.32) dove C è la costante di integrazione . Integrando una seconda volta, otteniamo l'equazione di deflessione dove D è la seconda costante di integrazione. Le costanti C e D sono determinate dalle condizioni al contorno del supporto della trave e dalle condizioni al contorno delle sue sezioni. Quindi per una trave (Fig. 1.26, a), nel punto di inclusione (xl), la deflessione e l'angolo di rotazione della sezione sono uguali a zero, e per la trave (vedi Fig. 1.26, b) deflessione y e deflessione yD 0, a x .l di una trave appoggiata con mensole (Fig. 1.28), quando l'origine delle coordinate è allineata con l'estremità del supporto sinistro e viene scelto il sistema di coordinate destro, le condizioni al contorno assumono la forma Taking into tenendo conto delle condizioni al contorno, si determinano le costanti di integrazione. Dopo aver sostituito le costanti di integrazione nelle equazioni degli angoli di rotazione (1.32) e delle flessioni (1.33), vengono calcolati gli angoli di rotazione e le flessioni della sezione data. 1.10. Esempi di determinazione degli spostamenti nelle travi mediante integrazione diretta Esempio 1.11 Determinare la massima deflessione e angolo di rotazione per una trave a sbalzo (Fig. 1.26, a). Soluzione L'origine delle coordinate è allineata con l'estremità sinistra della trave. Il momento flettente in una sezione arbitraria ad una distanza x dall'estremità sinistra della trave è calcolato con la formula Tenendo conto del momento, l'equazione differenziale approssimativa ha la forma Integrando per la prima volta, abbiamo (1.34) Integrando per il seconda volta delle costanti trovate di integrazione C e D, l'equazione degli angoli di rotazione e delle deviazioni sarà simile a: A (vedi Fig. 1.26, a) l'angolo di rotazione e la deviazione hanno valori massimi: lancetta delle ore. Un valore y negativo significa che il baricentro della sezione si sposta verso il basso. 1.11. Il significato fisico delle costanti di integrazione Se passiamo alle equazioni (1.32), (1.33) e (1.34), (1.35) degli esempi sopra considerati, è facile vedere che per x 0 seguono Quindi, possiamo concludere che le costanti di integrazione C e D sono il prodotto della rigidezza della trave, rispettivamente, per l'angolo di rotazione 0 e la deflessione y0 all'origine. Le dipendenze (1.36) e (1.37) sono sempre valide per travi con una sezione di carico, se calcoliamo il momento flettente dalle forze poste tra la sezione e l'origine. Lo stesso vale per travi con un numero qualsiasi di sezioni di carico, se utilizziamo metodi speciali per integrare l'equazione differenziale dell'asse di flessione della trave, che verrà discussa di seguito. 1.12. Metodo dei parametri iniziali (equazione universale dell'asse di flessione della trave) Nel determinare le flessioni e gli angoli di rotazione per integrazione diretta, è necessario trovare due costanti di integrazione C e D anche nei casi in cui la trave ha una sezione di carico. In pratica si utilizzano travi a più sezioni di carico. In questi casi, la legge del momento flettente sarà diversa nelle diverse aree di carico. Quindi l'equazione differenziale dell'asse curvo dovrà essere compilata per ciascuna delle sezioni della trave e per ciascuna di esse trovare le loro costanti di integrazione C e D. Ovviamente, se la trave ha n sezioni di carico, il numero di costanti di integrazione sarà pari al doppio del numero di sezioni. Per determinarli, sarà necessario risolvere 2 equazioni. Questo compito è ad alta intensità di lavoro. Per risolvere problemi che hanno più di un'area di carico, si è diffuso il metodo dei parametri iniziali, che è uno sviluppo del metodo dell'integrazione diretta. Risulta che osservando determinate condizioni, metodi di compilazione e integrazione di equazioni su sezioni, è possibile ridurre il numero di costanti di integrazione, indipendentemente dal numero di sezioni di carico, a due, che rappresentano la deflessione e l'angolo di rotazione al origine. Considera l'essenza di questo metodo usando l'esempio di una trave a sbalzo (Fig. 1.28), caricata con un carico arbitrario, ma creando un momento positivo in qualsiasi sezione della trave. Sia data una trave di sezione costante, mentre la sezione ha un asse di simmetria coincidente con l'asse y, e l'intero carico si trova su un piano passante per questo asse. Impostiamo l'attività per stabilire le dipendenze che determinano l'angolo di rotazione e la deflessione di una sezione arbitraria della trave. Riso. 1.29 Quando si risolvono i problemi, concorderemo: 1. L'origine delle coordinate sarà associata all'estremità sinistra della trave ed è comune a tutte le sezioni. 2. Il momento flettente in una sezione arbitraria sarà sempre calcolato per la sezione della trave situata a sinistra della sezione, cioè tra l'origine e la sezione. 3. L'integrazione dell'equazione differenziale dell'asse curvo su tutti i segmenti sarà effettuata senza aprire le parentesi di alcune espressioni contenenti parentesi. Quindi, ad esempio, l'integrazione di un'espressione della forma P x(b) viene eseguita senza aprire le parentesi, cioè secondo la seguente formula. L'integrazione con questa formula differisce dall'integrazione con l'apertura preliminare di parentesi solo per il valore di un costante arbitraria. 4. Quando si compila l'espressione per il momento flettente in una sezione arbitraria, causata dal momento concentrato esterno M, si aggiunge il fattore (x)a0 1. Aderendo a queste regole, componiamo e integriamo un'equazione differenziale approssimativa per ciascuna delle cinque sezioni della trave indicate in Fig. 1,28 in numeri romani. L'equazione differenziale approssimativa per queste sezioni ha la stessa forma: (1.38) ma per ogni sezione il momento flettente ha una sua legge di variazione. I momenti flettenti per le sezioni hanno la forma: Sostituendo le espressioni del momento flettente nell'equazione (1.38), per ciascuna delle sezioni dopo l'integrazione otteniamo due equazioni: l'equazione degli angoli di rotazione e l'equazione delle flessioni, che includeranno le loro due costanti di integrazione Ci e Di . In considerazione del fatto che la trave ha cinque sezioni, ci saranno dieci di queste costanti di integrazione. Tuttavia, tenendo conto che l'asse piegato della trave è una linea continua ed elastica, quindi ai confini delle sezioni vicine, la deflessione e l'angolo di rotazione hanno gli stessi valori, cioè a ecc. Per questo motivo, da un confrontando le equazioni degli angoli di rotazione e delle inflessioni di sezioni adiacenti, otteniamo che le costanti di integrazione Quindi, invece di dieci costanti di integrazione, per risolvere il problema, è necessario determinare solo due costanti di integrazione C e D . Dalla considerazione delle equazioni integrali della prima sezione segue che per x 0: i.e. rappresentano le stesse dipendenze (1.36) e (1.37). I parametri iniziali 0 e y0 о sono determinati dalle condizioni al contorno, che sono state discusse nella sezione precedente. Analizzando le espressioni ottenute per gli angoli di rotazione e le deviazioni y, vediamo che la forma più generale delle equazioni corrisponde alla quinta sezione. Tenendo conto delle costanti di integrazione, queste equazioni hanno la forma: la prima di queste equazioni rappresenta l'equazione degli angoli di rotazione e la seconda - le deflessioni. Poiché più di una forza concentrata può agire su una trave, un momento o una trave può avere più di una sezione con carico distribuito, allora per il caso generale le equazioni (1.38), (1.39) saranno scritte nella forma: Equazioni ( 1.41), (1.42) sono dette equazioni universali dell'asse curvo della trave. La prima di queste equazioni è l'equazione dell'angolo di rotazione e la seconda è l'equazione della deflessione. Con l'aiuto di queste equazioni, è possibile determinare le flessioni e gli angoli di rotazione delle sezioni per eventuali travi determinate staticamente, per le quali la rigidezza lungo la loro lunghezza è costante EI  const. Nelle equazioni (1.41), (1.42): M , P , q , qx ─ carico esterno posto tra l'origine delle coordinate e la sezione in cui sono determinati gli spostamenti (angolo di rotazione e deflessione); a, b, c, d ─ distanze dall'origine delle coordinate ai punti di applicazione, rispettivamente, del momento M, della forza concentrata P, dell'inizio di un carico distribuito uniformemente e dell'inizio di un carico distribuito in modo non uniforme. È necessario prestare attenzione a: 53 1. Con la direzione opposta del carico esterno, che è accettato quando si derivano equazioni universali, il segno davanti al termine corrispondente delle equazioni cambia in contrario, cioè in meno. 2. Gli ultimi due termini delle equazioni (1.41), (1.42) sono validi solo se il carico distribuito non si rompe prima della sezione in cui sono determinati la deflessione e l'angolo di rotazione. Se il carico non raggiunge questa sezione, è necessario continuare in questa sezione e allo stesso tempo aggiungere lo stesso carico distribuito, ma di segno opposto, alla sezione estesa, questa idea è spiegata in Fig. 1.30. La linea tratteggiata mostra il carico distribuito aggiunto sulla sezione estesa. Riso. 1.30 Quando si determinano gli angoli di rotazione  e le deviazioni y, l'origine delle coordinate deve essere posizionata all'estremità sinistra della trave, dirigendo l'asse y verso l'alto e l'asse x ─ verso destra. Nell'equazione degli angoli di rotazione e delle deviazioni sono incluse solo le forze che si trovano a sinistra della sezione, ad es. sulla sezione della trave compresa tra l'origine e la sezione in cui si determinano la deflessione e l'angolo di rotazione (comprese le forze agenti nella sezione coincidente con l'origine). 1.13. Esempi di determinazione degli spostamenti in una trave utilizzando il metodo dei parametri iniziali Esempio 1.12 Per una trave (Fig. 1.31), schiacciata dall'estremità sinistra e caricata con una forza concentrata P, determinare l'angolo di rotazione e deflessione nel punto di applicazione di la forza, così come l'estremità libera (sezione D). Rigidità della trave Fig. 1.31 Soluzione dell'equazione di equilibrio della statica: 1) Si noti che il momento reattivo è diretto in senso antiorario, quindi entrerà nell'equazione dell'asse curvo con un segno meno. 2. Combiniamo l'origine delle coordinate con il punto B e impostiamo i parametri iniziali. Nel pinching ()B, la deflessione e l'angolo di rotazione sono assenti, cioè 0 0. Scriviamo l'equazione degli angoli di rotazione e delle deviazioni per una sezione arbitraria della seconda sezione, poste ad una distanza x dall'origine delle coordinate Tenendo conto delle forze reattive, oltre che dei parametri iniziali nulli, queste equazioni hanno la forma girando sul giusto supporto di una trave caricata a metà campata con una forza concentrata ( Fig. 1.32). Soluzione 1. Determinare le reazioni del supporto Dalle equazioni della statica abbiamo B 2. Posizionare l'origine all'estremità sinistra della trave (punto B). Riso. 1.32 3. Impostare i parametri iniziali. Flessione all'origine By0, poiché il supporto non consente il movimento verticale. Va notato che se il supporto fosse caricato a molla, la deflessione all'origine sarebbe uguale allo sformo della deformazione della molla. L'angolo di rotazione all'origine non è uguale a zero, cioè 4. Determinare l'angolo di rotazione all'origine 0 . Per fare ciò utilizziamo la condizione che in xl la deflessione sia uguale a zero yD 0: 3 Poiché la trave è simmetrica rispetto al carico P, l'angolo di rotazione sul supporto destro è uguale all'angolo di rotazione sul supporto sinistro. 2 BD 16z Pl EI . La deflessione massima sarà al centro della trave in x. Pertanto, Esempio 1.14 Determinare la deflessione al centro della campata e all'estremità destra della trave (Fig. 1.33), se la trave è costituita da una trave a I n. 10 (momento di inerzia Iz 198 csmm4), caricata con un carico distribuito q 2, N / m, momento concentrato M forza. P kkNN Fig. 1.33 Soluzione 1 . Determiniamo le reazioni di supporto Da dove Verifica della correttezza della determinazione delle reazioni 2. Uniamo l'origine delle coordinate con il punto B e impostiamo i parametri iniziali. Dalla fig. 1.33 ne consegue che all'origine delle coordinate la deflessione y0 0 e l'angolo di rotazione. 57 3. Determinare i parametri iniziali y0 e 0 . Per fare ciò, utilizziamo le condizioni al contorno, che in: Per implementare le condizioni al contorno, componiamo l'equazione di un asse curvo. per due sezioni: sezione BC 0 mm1: Nella scrittura di questa equazione si è tenuto conto che il carico distribuito è stato tagliato nel punto C, quindi, secondo quanto sopra, si è proseguito ed è stato introdotto un carico di compensazione della stessa entità nella sezione estesa, ma nella direzione opposta. Tenendo conto delle condizioni al contorno (punto 3) e del carico, le equazioni (1.43) e (1.44) hanno la forma: Dalla soluzione congiunta di queste equazioni abbiamo 4. Determiniamo la deflessione nelle sezioni K ed E. Per la sezione K a x 2 mm abbiamo 1.14. Determinazione dei movimenti con il metodo di Mohr Regola A.K. Il metodo di Vereshchagin Mohr è un metodo generale per determinare gli spostamenti nei sistemi deformabili linearmente delle barre. La definizione degli spostamenti (lineari, angolari) nelle sezioni calcolate viene effettuata secondo la formula di Mohr (integrale), che è facilmente ottenibile in base al teorema della reciprocità del lavoro (teorema di Betty) e al teorema della reciprocità di spostamenti (teorema di Maxwell). Sia dato, ad esempio, un sistema elastico piatto sotto forma di una trave (Fig. 1.34), caricato con un carico arbitrario piatto e bilanciato. Lo stato dato del sistema sarà chiamato stato del carico e indicato con la lettera P . Sotto l'azione di un carico esterno, si verificherà una deformazione e si verificheranno spostamenti nel punto K, in particolare, nella direzione perpendicolare all'asse - deflessione cr. Introduciamo un nuovo stato (ausiliario) dello stesso sistema, ma caricato nel punto K nella direzione dello spostamento desiderato  (cr) da un'unica forza adimensionale (Fig. 1.34). Questo stato del sistema sarà indicato dalla lettera i e sarà chiamato stato singolo. 59 fig. 1.34 Sulla base del teorema di Betti, il possibile lavoro delle forze di stato cargo pi A e delle forze di stato singolo pi A sono uguali a (1.45) ), (1.47) da (1.45) si ha (1.48) dove M p , Qp, Np ─ rispettivamente il momento flettente, le forze trasversali e longitudinali derivanti nel sistema dal carico esterno; Mi, Qi, Ni sono rispettivamente il momento flettente, le forze trasversali e longitudinali che si originano nel sistema da un carico unitario applicato nella direzione dello spostamento determinato; k ─ coefficiente che tiene conto della non uniformità delle sollecitazioni di taglio sulla sezione; I ─ momento d'inerzia assiale rispetto all'asse centrale principale; A─ area della sezione trasversale dell'asta nella sezione; 60 E , G ─ moduli di elasticità del materiale. La distribuzione irregolare delle sollecitazioni di taglio nella sezione dipende dalla forma della sezione. Per sezioni rettangolari e triangolari k 1.2, sezione circolare k 1.11, sezione circolare anulare k 2. La formula (1.48) consente di determinare lo spostamento in qualsiasi punto di un sistema elastico piatto. Quando determiniamo la deflessione nella sezione (K), applichiamo a questo punto una forza unitaria (adimensionale). Nel caso di determinazione dell'angolo di rotazione della sezione nel punto K, è necessario applicare un unico momento adimensionale

Curva dritta. Flessione trasversale piana Diagramma dei fattori di forza interni per travi Diagramma dei diagrammi Q e M secondo equazioni Diagramma dei diagrammi Q e M utilizzando sezioni caratteristiche (punti) Calcoli per la resistenza alla flessione diretta delle travi Tensioni principali alla flessione. Verifica completa della resistenza delle travi Comprensione del centro di flessione Determinazione degli spostamenti nelle travi durante la flessione. Concetti di deformazione delle travi e condizioni della loro rigidità Equazione differenziale dell'asse di flessione della trave Metodo di integrazione diretta Esempi di determinazione degli spostamenti nelle travi con il metodo dell'integrazione diretta Significato fisico delle costanti di integrazione Metodo dei parametri iniziali (equazione universale di l'asse di flessione della trave). Esempi di determinazione degli spostamenti in una trave con il metodo dei parametri iniziali Determinazione degli spostamenti con il metodo di Mohr. La regola di A.K Vereschagin. Calcolo dell'integrale di Mohr secondo A.K. Vereshchagin Esempi di determinazione degli spostamenti mediante Bibliografia integrale di Mohr Flessione diretta. Piegatura trasversale piatta. 1.1. Diagrammi di tracciamento dei fattori di forza interni per le travi La flessione diretta è un tipo di deformazione in cui si verificano due fattori di forza interni nelle sezioni trasversali della barra: un momento flettente e una forza trasversale. In un caso particolare, la forza trasversale può essere zero, quindi la curva è chiamata pura. Con una flessione trasversale piatta, tutte le forze si trovano su uno dei principali piani di inerzia dell'asta e sono perpendicolari al suo asse longitudinale, i momenti si trovano sullo stesso piano (Fig. 1.1, a, b). Riso. 1.1 La forza trasversale in una sezione trasversale arbitraria della trave è numericamente uguale alla somma algebrica delle sporgenze sulla normale all'asse della trave di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame. La forza trasversale nella sezione mn della trave (Fig. 1.2, a) è considerata positiva se la risultante delle forze esterne a sinistra della sezione è diretta verso l'alto ea destra - verso il basso e negativa - nel caso opposto (Fig. 1.2, b). Riso. 1.2 Quando si calcola la forza trasversale in una determinata sezione, le forze esterne che giacciono a sinistra della sezione vengono prese con un segno più se sono dirette verso l'alto e con un segno meno se verso il basso. Per il lato destro della trave - viceversa. 5 Il momento flettente in una sezione trasversale di trave arbitraria è numericamente uguale alla somma algebrica dei momenti attorno all'asse centrale z della sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame. Il momento flettente nella sezione mn della trave (Fig. 1.3, a) è considerato positivo se il momento risultante delle forze esterne è diretto in senso orario dalla sezione a sinistra della sezione e in senso antiorario a destra e negativo nel caso opposto (fig. 1.3b). Riso. 1.3 Quando si calcola il momento flettente in una determinata sezione, i momenti delle forze esterne che giacciono a sinistra della sezione sono considerati positivi se diretti in senso orario. Per il lato destro della trave - viceversa. È conveniente determinare il segno del momento flettente in base alla natura della deformazione della trave. Il momento flettente è considerato positivo se, nella sezione in esame, la parte tagliata della trave si piega con una convessità verso il basso, cioè le fibre inferiori sono tese. In caso contrario, il momento flettente nella sezione è negativo. Tra il momento flettente M, la forza trasversale Q e l'intensità del carico q esistono dipendenze differenziali. 1. La prima derivata della forza trasversale lungo l'ascissa della sezione è uguale all'intensità del carico distribuito, cioè . (1.1) 2. La derivata prima del momento flettente lungo l'ascissa della sezione è uguale alla forza trasversale, cioè . (1.2) 3. La derivata seconda rispetto all'ascissa della sezione è uguale all'intensità del carico distribuito, cioè . (1.3) Consideriamo positivo il carico distribuito diretto verso l'alto. Dalle dipendenze differenziali tra M, Q, q derivano alcune importanti conclusioni: 1. Se sulla sezione della trave: a) la forza trasversale è positiva, allora il momento flettente aumenta; b) la forza trasversale è negativa, quindi il momento flettente diminuisce; c) la forza trasversale è zero, quindi il momento flettente ha valore costante (flessione pura); 6 d) la forza trasversale passa per zero, cambiando segno da più a meno, max M M, altrimenti M Mmin. 2. Se non c'è carico distribuito sulla sezione della trave, la forza trasversale è costante e il momento flettente cambia linearmente. 3. Se c'è un carico uniformemente distribuito sulla sezione della trave, la forza trasversale cambia secondo una legge lineare e il momento flettente - secondo la legge di una parabola quadrata, convessa invertita verso il carico (nel caso di tracciatura M dal lato delle fibre tese). 4. Nella sezione sotto la forza concentrata, il diagramma Q ha un salto (per l'entità della forza), il diagramma M ha un'interruzione nella direzione della forza. 5. Nella sezione in cui viene applicato un momento concentrato, il diagramma M presenta un salto pari al valore di questo momento. Questo non si riflette nel grafico Q. Sotto carico complesso, le travi creano diagrammi delle forze trasversali Q e dei momenti flettenti M. Il grafico Q (M) è un grafico che mostra la legge di variazione della forza trasversale (momento flettente) lungo la lunghezza della trave. Sulla base dell'analisi dei diagrammi M e Q, vengono stabilite le sezioni pericolose della trave. Le ordinate positive del diagramma Q sono tracciate verso l'alto e le ordinate negative verso il basso dalla linea di base tracciata parallelamente all'asse longitudinale della trave. Le ordinate positive del diagramma M sono stabilite e le ordinate negative sono tracciate verso l'alto, cioè il diagramma M è costruito dal lato delle fibre tese. La costruzione dei diagrammi Q e M per le travi dovrebbe iniziare con la definizione delle reazioni di appoggio. Per una trave con un'estremità fissa e l'altra estremità libera, il tracciamento di Q e M può essere avviato dall'estremità libera senza definire le reazioni nell'incastonatura. 1.2. La costruzione dei diagrammi Q e M secondo le equazioni di Balk è suddivisa in sezioni, all'interno delle quali le funzioni del momento flettente e della forza di taglio rimangono costanti (non presentano discontinuità). I confini delle sezioni sono i punti di applicazione di forze concentrate, coppie di forze e luoghi di variazione dell'intensità del carico distribuito. Viene presa una sezione arbitraria in ciascuna sezione a una distanza x dall'origine e per questa sezione vengono elaborate le equazioni per Q e M. I grafici Q e M sono costruiti utilizzando queste equazioni Esempio 1.1 Costruire i grafici delle forze di taglio Q e dei momenti flettenti M per una data trave (Fig. 1.4a). Soluzione: 1. Determinazione delle reazioni dei supporti. Componiamo le equazioni di equilibrio: da cui otteniamo Le reazioni degli appoggi sono definite correttamente. La trave ha quattro sezioni Fig. 1.4 caricamenti: CA, AD, DB, BE. 2. Tracciare Q. Tracciare SA. Sulla sezione CA 1, disegniamo una sezione arbitraria 1-1 a una distanza x1 dall'estremità sinistra della trave. Definiamo Q come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a sinistra della sezione 1-1: Il segno meno è preso perché la forza che agisce a sinistra della sezione è diretta verso il basso. L'espressione per Q non dipende dalla variabile x1. Il grafico Q in questa sezione sarà rappresentato come una linea retta parallela all'asse x. Trama d.C. Sul sito, disegniamo una sezione arbitraria 2-2 a una distanza x2 dall'estremità sinistra della trave. Definiamo Q2 come la somma algebrica di tutte le forze esterne agenti a sinistra della sezione 2-2: 8 Il valore di Q è costante sulla sezione (non dipende dalla variabile x2). Il grafico Q sul grafico è una linea retta parallela all'asse x. Sito DB. Sul sito, disegniamo una sezione arbitraria 3-3 a una distanza x3 dall'estremità destra della trave. Definiamo Q3 come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a destra della sezione 3-3: L'espressione risultante è l'equazione di una retta inclinata. Trama BE Sul sito, disegniamo una sezione 4-4 a una distanza x4 dall'estremità destra della trave. Definiamo Q come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a destra della sezione 4-4: 4 Qui si assume il segno più perché il carico risultante a destra della sezione 4-4 è diretto verso il basso. Sulla base dei valori ottenuti, costruiamo i diagrammi Q (Fig. 1.4, b). 3. Tracciare M. Trama m1. Definiamo il momento flettente nella sezione 1-1 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a sinistra della sezione 1-1. è l'equazione di una retta. Sezione A 3 Definire il momento flettente nella sezione 2-2 come somma algebrica dei momenti delle forze agenti a sinistra della sezione 2-2. è l'equazione di una retta. Grafico DB 4 Definiamo il momento flettente nella sezione 3-3 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a destra della sezione 3-3. è l'equazione di una parabola quadrata. 9 Trova tre valori alle estremità della sezione e nel punto con coordinata xk, dove Sezione BE 1 Definisci il momento flettente nella sezione 4-4 come somma algebrica dei momenti delle forze agenti a destra della sezione 4- 4. - dall'equazione di una parabola quadrata troviamo tre valori di M4: Sulla base dei valori ottenuti, costruiamo un grafico M (Fig. 1.4, c). Nelle sezioni CA e AD, il grafico Q è limitato da rette parallele all'asse delle ascisse, e nelle sezioni DB e BE, da rette oblique. Nelle sezioni C, A e B del diagramma Q ci sono salti dell'entità delle forze corrispondenti, che servono come verifica della correttezza della costruzione del diagramma Q. Nelle sezioni in cui Q  0, i momenti aumentano da da sinistra a destra. Nelle sezioni in cui Q  0, i momenti diminuiscono. Sotto le forze concentrate ci sono nodi nella direzione dell'azione delle forze. Sotto il momento concentrato, c'è un salto del valore del momento. Ciò indica la correttezza della costruzione del diagramma M. Esempio 1.2 Costruire i diagrammi Q e M per una trave su due supporti, caricata con un carico distribuito, la cui intensità varia secondo una legge lineare (Fig. 1.5, a). Soluzione Determinazione delle reazioni di supporto. La risultante del carico distribuito è uguale all'area del triangolo che rappresenta il diagramma di carico e viene applicata al baricentro di questo triangolo. Componiamo la somma dei momenti di tutte le forze relative ai punti A e B: Tracciando Q. Tracciamo una sezione arbitraria a una distanza x dal supporto sinistro. L'ordinata del diagramma di carico corrispondente alla sezione è determinata dalla somiglianza dei triangoli La risultante di quella parte del carico che si trova a sinistra della sezione La forza di taglio nella sezione è uguale a zero: Il grafico Q è mostrato in Figura. 1.5, b. Il momento flettente in una sezione arbitraria è uguale a Il momento flettente cambia secondo la legge di una parabola cubica: Il valore massimo del momento flettente è nella sezione, dove 0, cioè a 1.5, c. 1.3. Tracciare i diagrammi Q e M per sezioni caratteristiche (punti) Utilizzando le relazioni differenziali tra M, Q, q e le conclusioni che ne derivano, è consigliabile costruire diagrammi Q e M per sezioni caratteristiche (senza formulare equazioni). Utilizzando questo metodo, i valori di Q e M vengono calcolati in sezioni caratteristiche. Le sezioni caratteristiche sono le sezioni di confine delle sezioni, nonché le sezioni in cui il dato fattore di forza interna ha un valore estremo. Entro i limiti tra le sezioni caratteristiche, lo schema 12 del diagramma è stabilito sulla base delle dipendenze differenziali tra M, Q, q e le conclusioni che ne derivano. Esempio 1.3 Costruire i diagrammi Q e M per la trave mostrata in fig. 1.6, a. Riso. 1.6. Soluzione: iniziamo a tracciare i diagrammi Q e M dall'estremità libera della trave, mentre le reazioni nell'infissione possono essere omesse. La trave ha tre aree di carico: AB, BC, CD. Non c'è carico distribuito nelle sezioni AB e BC. Le forze trasversali sono costanti. Il grafico Q è limitato da linee rette parallele all'asse x. I momenti flettenti cambiano linearmente. Il grafico M è limitato a linee rette inclinate rispetto all'asse x. Sulla sezione CD c'è un carico distribuito uniformemente. Le forze trasversali cambiano linearmente e i momenti flettenti cambiano secondo la legge di una parabola quadrata con una convessità nella direzione del carico distribuito. Al confine delle sezioni AB e BC, la forza trasversale cambia bruscamente. Al limite delle sezioni BC e CD, il momento flettente cambia bruscamente. 1. Tracciamento Q. Calcoliamo i valori delle forze trasversali Q nelle sezioni di confine delle sezioni: sulla base dei risultati dei calcoli, costruiamo un diagramma Q per la trave (Fig. 1, b). Segue dal diagramma Q che la forza trasversale nella sezione CD è uguale a zero nella sezione distanziata ad una distanza qa a q dall'inizio di questa sezione. In questa sezione, il momento flettente ha un valore massimo. 2. Costruzione del diagramma M. Calcoliamo i valori dei momenti flettenti nelle sezioni di confine delle sezioni: Esempio 1.4 Secondo il diagramma dato dei momenti flettenti (Fig. 1.7, a) per la trave (Fig. 1.7, b), determinare i carichi agenti e tracciare Q. Il cerchio indica il vertice della parabola quadrata. Soluzione: determinare i carichi agenti sulla trave. La sezione AC è caricata con un carico uniformemente distribuito, poiché il diagramma M in questa sezione è una parabola quadrata. Nella sezione di riferimento B si applica alla trave un momento concentrato, agendo in senso orario, poiché sul diagramma M si ha un salto verso l'alto della grandezza del momento. Nella sezione NE la trave non è caricata, in quanto il diagramma M in questa sezione è limitato da una retta inclinata. La reazione dell'appoggio B è determinata dalla condizione che il momento flettente nella sezione C sia uguale a zero, cioè Per determinare l'intensità del carico distribuito, componiamo un'espressione per il momento flettente nella sezione A come somma dei momenti di forze a destra e equivalgono a zero. Ora determiniamo la reazione del supporto A. Per fare ciò componiamo un'espressione per i momenti flettenti nella sezione come somma dei momenti delle forze a sinistra Lo schema di calcolo della trave con il carico è mostrato in Fig. 1.7, c. Partendo dall'estremità sinistra della trave, calcoliamo i valori delle forze trasversali nelle sezioni di confine delle sezioni: Il diagramma Q è mostrato in fig. 1.7, d.Il problema considerato può essere risolto compilando dipendenze funzionali per M, Q in ogni sezione. Scegliamo l'origine delle coordinate all'estremità sinistra della trave. Sulla sezione AC, il grafico M è espresso da una parabola quadrata, la cui equazione è della forma Costanti a, b, c, si ricava dalla condizione che la parabola passa per tre punti di coordinate note: Sostituendo le coordinate di i punti nell'equazione della parabola, otteniamo: L'espressione per il momento flettente sarà Differenziando la funzione M1 , otteniamo la dipendenza per la forza trasversale Dopo aver differenziato la funzione Q, otteniamo un'espressione per l'intensità del carico distribuito. Nella sezione NE l'espressione del momento flettente è rappresentata come una funzione lineare.Per determinare le costanti aeb, utilizziamo le condizioni che questa retta passa per due punti di cui si conoscono le coordinate.Si ottengono due equazioni: ,b di che abbiamo a 20. L'equazione per il momento flettente nella sezione NE sarà Dopo una doppia differenziazione di M2, troveremo Sulla base dei valori trovati di M e Q, costruiamo diagrammi di momenti flettenti e forze di taglio per la trave. Oltre al carico distribuito, alla trave vengono applicate forze concentrate in tre sezioni, dove ci sono salti sul diagramma Q, e momenti concentrati nella sezione in cui c'è un salto sul diagramma M. Esempio 1.5 Per una trave (Fig. 1.8, a), determinare la posizione razionale della cerniera C, in cui il momento flettente maggiore nella campata è uguale al momento flettente nell'incasso (in valore assoluto). Costruire diagrammi Q e M. Soluzione Determinazione delle reazioni dei supporti. Nonostante il numero totale di collegamenti di supporto sia quattro, la trave è staticamente determinata. Il momento flettente nella cerniera C è uguale a zero, il che ci consente di fare un'ulteriore equazione: la somma dei momenti attorno alla cerniera di tutte le forze esterne che agiscono su un lato di questa cerniera è uguale a zero. Componi la somma dei momenti di tutte le forze a destra della cerniera C. Il diagramma Q per la trave è limitato da una retta inclinata, poiché q = cost. Determiniamo i valori delle forze trasversali nelle sezioni di confine della trave: L'ascissa xK della sezione, dove Q = 0, è determinata dall'equazione da cui Plot M per la trave è limitato da una parabola quadrata. Le espressioni per i momenti flettenti nelle sezioni, dove Q = 0, e nella terminazione si scrivono rispettivamente come segue: Dalla condizione di uguaglianza dei momenti si ottiene un'equazione quadratica rispetto al parametro x desiderato: Il valore reale è x 2x 1.029 m. Determiniamo i valori numerici delle forze trasversali e dei momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave. 1.8, c - plot M. Il problema considerato può essere risolto dividendo la trave incernierata nei suoi elementi costitutivi, come mostrato in fig. 1.8, d) All'inizio si determinano le reazioni degli appoggi VC e VB. Le trame Q e M sono costruite per la trave di sospensione SV dall'azione del carico ad essa applicato. Si passa quindi alla trave principale AC, caricandola di una forza aggiuntiva VC, che è la forza di pressione della trave CB sulla trave AC. Successivamente, vengono costruiti i diagrammi Q e M per la trave AC. 1.4. Calcoli di resistenza per flessione diretta di travi Calcolo di resistenza per sollecitazioni normali e di taglio. Con una flessione diretta di una trave, si verificano sollecitazioni normali e di taglio nelle sue sezioni trasversali (Fig. 1.9). 18 fig. 1.9 Le sollecitazioni normali sono relative al momento flettente, le sollecitazioni di taglio sono relative alla forza trasversale. Nella flessione diretta pura, le sollecitazioni di taglio sono pari a zero. Le sollecitazioni normali in un punto arbitrario della sezione trasversale della trave sono determinate dalla formula (1.4) dove M è il momento flettente nella sezione data; Iz è il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro z; y è la distanza dal punto in cui è determinata la sollecitazione normale all'asse z neutro. Le sollecitazioni normali lungo l'altezza della sezione cambiano linearmente e raggiungono il valore massimo nei punti più distanti dall'asse neutro Se la sezione è simmetrica rispetto all'asse neutro (Fig. 1.11), allora 1.11 le maggiori sollecitazioni di trazione e compressione sono le stesse e sono determinate dalla formula,  - momento assiale della resistenza della sezione in flessione. Per una sezione rettangolare con larghezza b e altezza h: (1.7) Per una sezione circolare con diametro d: (1.8) Per una sezione anulare   sono rispettivamente i diametri interno ed esterno dell'anello. Per le travi in ​​materiale plastico, le più razionali sono le forme simmetriche a 20 sezioni (trave a I, scatolare, anulare). Per le travi realizzate con materiali fragili che non resistono allo stesso modo alla trazione e alla compressione, le sezioni asimmetriche rispetto all'asse neutro z (ta-br., trave a I asimmetrica a forma di U) sono razionali. Per travi a sezione costante in materiale plastico a sezione simmetrica, la condizione di resistenza è scritta come segue: (1.10) dove Mmax è il momento flettente massimo modulo; - sollecitazione ammissibile per il materiale. Per le travi a sezione costante in materiale plastico a sezione asimmetrica, la condizione di resistenza è scritta nella forma seguente: (1. 11) Per travi in ​​materiale fragile con sezioni asimmetriche rispetto all'asse neutro, se il diagramma M è univoco (Fig. 1.12), devono essere scritte due condizioni di resistenza: la distanza dall'asse neutro ai punti più distanti del rispettivamente le zone allungate e compresse della sezione pericolosa; P - sollecitazioni ammissibili, rispettivamente, in trazione e compressione. Fig.1.12. 21 Se il diagramma del momento flettente presenta tratti di segno diverso (Fig. 1.13), oltre alla verifica del tratto 1-1, dove agisce Mmax, è necessario calcolare le sollecitazioni massime di trazione per il tratto 2-2 (con il momento massimo del segno opposto). Riso. 1.13 Insieme al calcolo di base per le sollecitazioni normali, in alcuni casi è necessario controllare la resistenza della trave per le sollecitazioni di taglio. Le sollecitazioni di taglio nelle travi sono calcolate con la formula di D. I. Zhuravsky (1.13) dove Q è la forza trasversale nella sezione trasversale considerata della trave; Szots è il momento statico attorno all'asse neutro dell'area della parte della sezione situata su un lato della retta tracciata attraverso il punto dato e parallela all'asse z; b è la larghezza della sezione al livello del punto considerato; Iz è il momento d'inerzia dell'intera sezione attorno all'asse neutro z. In molti casi, le massime sollecitazioni di taglio si verificano a livello dello strato neutro della trave (rettangolo, trave a I, cerchio). In questi casi, la condizione di resistenza per le sollecitazioni di taglio è scritta come (1.14) dove Qmax è la forza trasversale con il modulo più alto; - sforzo di taglio ammissibile per il materiale. Per una sezione di trave rettangolare, la condizione di resistenza ha la forma (1.15) A è l'area della sezione trasversale della trave. Per una sezione circolare, la condizione di resistenza è rappresentata come (1.16) Per una sezione I, la condizione di resistenza è scritta come segue: (1.17) d è lo spessore della parete della trave a I. Di solito, le dimensioni della sezione trasversale della trave sono determinate dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali. Il controllo della resistenza delle travi alle sollecitazioni di taglio è obbligatorio per travi corte e travi di qualsiasi lunghezza, se ci sono grandi forze concentrate vicino ai supporti, nonché per travi in ​​legno, rivettate e saldate. Esempio 1.6 Verificare la resistenza di una trave a sezione scatolare (Fig. 1.14) per le sollecitazioni normali e di taglio, se MPa. Costruisci diagrammi nella sezione pericolosa della trave. Riso. 1.14 Decisione 23 1. Tracciare trame Q e M da sezioni caratteristiche. Considerando il lato sinistro della trave, otteniamo Il diagramma delle forze trasversali è mostrato in fig. 1.14, c. Il grafico dei momenti flettenti è mostrato in fig. 5.14, g 2. Caratteristiche geometriche della sezione 3. Le maggiori sollecitazioni normali nella sezione C, dove agisce Mmax (modulo): MPa. Le sollecitazioni normali massime nella trave sono praticamente uguali a quelle ammissibili. 4. Le maggiori sollecitazioni tangenziali nella sezione C (o A), dove agisce Q max (modulo): Ecco il momento statico dell'area della semisezione rispetto all'asse neutro; b2 cm è la larghezza della sezione a livello dell'asse neutro. Fig. 5. Tensioni tangenziali in un punto (nella parete) nella sezione C: Fig. 1.15 Qui Szomc 834.5 108 cm3 è il momento statico dell'area della parte della sezione posta al di sopra della retta passante per il punto K1; b2 cm è lo spessore della parete al livello del punto K1. I grafici  e  per la sezione C della trave sono mostrati in fig. 1.15. Esempio 1.7 Per la trave mostrata in fig. 1.16, a, è richiesto: 1. Costruire diagrammi di forze trasversali e momenti flettenti lungo sezioni caratteristiche (punti). 2. Determinare le dimensioni della sezione trasversale sotto forma di cerchio, rettangolo e trave a I dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali, confrontare le aree della sezione trasversale. 3. Verificare le dimensioni selezionate delle sezioni della trave per le sollecitazioni di taglio. Dato: Soluzione: 1. Determinare le reazioni dei supporti della trave Verifica: 2. Tracciare i diagrammi Q e M. Valori delle forze trasversali nelle sezioni caratteristiche della trave 25 Fig. 1.16 Nelle sezioni CA e AD, l'intensità del carico q = cost. Pertanto, in queste sezioni, il diagramma Q è limitato a rette inclinate rispetto all'asse. Nella sezione DB, l'intensità del carico distribuito q \u003d 0, quindi, in questa sezione, il diagramma Q è limitato a una retta parallela all'asse x. Il diagramma Q per la trave è mostrato in fig. 1.16b. Valori dei momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave: Nella seconda sezione determiniamo l'ascissa x2 della sezione, in cui Q = 0: Il momento massimo nella seconda sezione Il diagramma M per la trave è mostrato in fig . 1.16, c. 2. Comporre la condizione di resistenza alle sollecitazioni normali, da cui si determina il modulo di sezione assiale richiesto dall'espressione determinato il diametro d richiesto di una trave a sezione circolare Area di sezione circolare Per una trave rettangolare Altezza di sezione richiesta Area di sezione rettangolare Secondo le tabelle di GOST 8239-89, troviamo il valore maggiore più vicino del momento di resistenza assiale 597 cm3, che corrisponde alla trave a I n. 33 con le caratteristiche: A z 9840 cm4. Controllo della tolleranza: (sottocarico dell'1% del 5% consentito) la trave a I più vicina n. 30 (L 2 cm3) porta a un sovraccarico significativo (oltre il 5%). Infine accettiamo la trave a I n. 33. Confrontiamo le aree delle sezioni circolari e rettangolari con l'area A più piccola della trave a I: Delle tre sezioni considerate, la sezione a I è la più economica. 3. Calcoliamo le maggiori sollecitazioni normali nella sezione pericolosa 27 della trave a I (Fig. 1.17, a): Sollecitazioni normali nella parete vicino alla flangia della sezione della trave a I. 1.17b. 5. Determiniamo le maggiori sollecitazioni di taglio per le sezioni selezionate della trave. a) sezione rettangolare della trave: b) sezione circolare della trave: c) sezione a I della trave: sforzi di taglio nella parete vicino alla flangia della trave a I nella sezione pericolosa A (a destra) (a punto 2): in fig. 1.17, a. Le sollecitazioni di taglio massime nella trave non superano le sollecitazioni ammissibili Esempio 1.8 Determinare il carico ammissibile sulla trave (Fig. 1.18, a), se 60 MPa, sono fornite le dimensioni della sezione trasversale (Fig. 1.19, a). Costruire un diagramma delle sollecitazioni normali nella sezione pericolosa della trave sotto il carico ammissibile. Fig 1.18 1. Determinazione delle reazioni degli appoggi delle travi. Vista la simmetria del sistema 2. Costruzione dei diagrammi Q e M da sezioni caratteristiche. Forze di taglio nelle sezioni caratteristiche della trave: il diagramma Q per la trave è mostrato in fig. 5.18b. Momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave Per la seconda metà della trave, le ordinate M sono lungo gli assi di simmetria. Il diagramma M per la trave è mostrato in fig. 1.18b. 3. Caratteristiche geometriche della sezione (Fig. 1.19). Dividiamo la figura in due semplici elementi: una trave a I - 1 e un rettangolo - 2. Fig. 1.19 Secondo l'assortimento per la trave a I n. 20, abbiamo Per un rettangolo: Momento statico dell'area della sezione rispetto all'asse z1 Distanza dall'asse z1 al baricentro della sezione Momento d'inerzia della sezione relativa all'asse centrale principale z dell'intera sezione secondo le formule per il passaggio ad assi paralleli punto pericoloso "a" (Fig. 1.19) nella sezione pericolosa I (Fig. 1.18): Dopo aver sostituito i dati numerici 5. Con un consentito carico nella sezione pericolosa, le sollecitazioni normali ai punti "a" e "b" saranno uguali: la sezione pericolosa 1-1 è mostrata in fig. 1.19b.

Per una rappresentazione visiva della natura della deformazione delle barre (barre) durante la piegatura, viene eseguito il seguente esperimento. Una griglia di linee parallele e perpendicolari all'asse della trave è applicata alle facce laterali della barra di gomma di sezione rettangolare (Fig. 30.7, a). Quindi vengono applicati momenti alla barra alle sue estremità (Fig. 30.7, b), agendo nel piano di simmetria della barra, attraversando ciascuna delle sue sezioni trasversali lungo uno dei principali assi centrali di inerzia. Il piano passante per l'asse della trave e uno dei principali assi centrali di inerzia di ciascuna delle sue sezioni trasversali sarà chiamato piano principale.

Sotto l'azione dei momenti, la trave subisce una curva netta e diritta. Come risultato della deformazione, come mostra l'esperienza, le linee della griglia parallele all'asse della trave vengono piegate, mantenendo le stesse distanze tra loro. Quando indicato in Fig. 30.7, b nella direzione dei momenti, queste linee si allungano nella parte superiore della trave e si accorciano nella parte inferiore.

Ogni linea della griglia, perpendicolare all'asse della trave, può essere considerata come una traccia del piano di una qualche sezione della trave. Poiché queste linee rimangono diritte, si può presumere che le sezioni trasversali della trave, che sono piatte prima della deformazione, rimangano piatte durante la deformazione.

Questa ipotesi, basata sull'esperienza, è nota per essere chiamata ipotesi di sezioni piane, o ipotesi di Bernoulli (vedi § 6.1).

L'ipotesi delle sezioni piane è utilizzata non solo per la flessione pura, ma anche per la flessione trasversale. Per la flessione trasversale è approssimativo e per la flessione pura è rigoroso, il che è confermato da studi teorici effettuati con metodi della teoria dell'elasticità.

Consideriamo ora una barra retta con sezione simmetrica rispetto all'asse verticale, annegata all'estremità destra e caricata all'estremità sinistra con un momento esterno agente in uno dei piani principali della barra (Fig. 31.7). In ciascuna sezione trasversale di questa trave, sorgono solo momenti flettenti che agiscono sullo stesso piano del momento

Pertanto, il legno per tutta la sua lunghezza è in uno stato di pura flessione diretta. In uno stato di pura flessione, singole sezioni della trave possono trovarsi anche in caso di carichi trasversali agenti su di essa; ad esempio, la sezione 11 della trave mostrata in fig. 32.7; nelle sezioni di questa sezione, la forza trasversale

Scegliamo dalla trave in esame (vedi Fig. 31.7) con due sezioni trasversali un elemento di lunghezza. Come risultato della deformazione, come segue dall'ipotesi di Bernoulli, le sezioni rimarranno piatte, ma si inclineranno l'una rispetto all'altra di un certo angolo. Prendiamo condizionatamente la sezione sinistra come fissa. Quindi, ruotando di un angolo la sezione destra, prenderà posizione (Fig. 33.7).

Le linee si intersecano in un punto A, che è il centro di curvatura (o, più precisamente, la traccia dell'asse di curvatura) delle fibre longitudinali dell'elemento. 31,7 nella direzione del momento sono allungati e quelli inferiori sono accorciati. Le fibre di qualche strato intermedio perpendicolare al piano d'azione del momento mantengono la loro lunghezza. Questo livello è chiamato strato neutro.

Indichiamo il raggio di curvatura dello strato neutro, cioè la distanza da questo strato al centro di curvatura A (vedi Fig. 33.7). Considera uno strato situato a una distanza y dallo strato neutro. L'allungamento assoluto delle fibre di questo strato è uguale e relativo

Considerando triangoli simili, troviamo che Pertanto,

Nella teoria della flessione, si presume che le fibre longitudinali della trave non si premono l'una sull'altra. Studi sperimentali e teorici mostrano che questa ipotesi non influisce in modo significativo sui risultati del calcolo.

Con la flessione pura, le sollecitazioni di taglio non si verificano nelle sezioni trasversali della trave. Pertanto, tutte le fibre in pura flessione sono in tensione o compressione uniassiale.

Secondo la legge di Hooke, per il caso di trazione o compressione uniassiale, la sollecitazione normale o e la corrispondente deformazione relativa sono correlate dalla dipendenza

o in base alla formula (11.7)

Dalla formula (12.7) segue che le sollecitazioni normali nelle fibre longitudinali della trave sono direttamente proporzionali alle loro distanze y dallo strato neutro. Di conseguenza, nella sezione trasversale della trave in ogni punto, le sollecitazioni normali sono proporzionali alla distanza y da questo punto all'asse neutro, che è la linea di intersezione dello strato neutro con la sezione trasversale (Fig.

34.7, a). Dalla simmetria della trave e del carico deriva che l'asse neutro è orizzontale.

Nei punti dell'asse neutro le sollecitazioni normali sono pari a zero; da un lato dell'asse neutro sono a trazione e dall'altro sono compressivi.

Il diagramma delle sollecitazioni o è un grafico delimitato da una linea retta, con il valore assoluto più grande delle sollecitazioni per i punti più lontani dall'asse neutro (Fig. 34.7, b).

Consideriamo ora le condizioni di equilibrio per l'elemento trave selezionato. L'azione della parte sinistra della trave sulla sezione dell'elemento (vedi Fig. 31.7) è rappresentata come un momento flettente, le forze interne rimanenti in questa sezione con flessione pura sono pari a zero. Rappresentiamo l'azione del lato destro della trave sulla sezione dell'elemento sotto forma di forze elementari sulla sezione trasversale applicate a ciascuna area elementare (Fig. 35.7) e parallele all'asse della trave.

Componiamo sei condizioni per l'equilibrio di un elemento

Qui - la somma delle proiezioni di tutte le forze che agiscono sull'elemento, rispettivamente, sull'asse - la somma dei momenti di tutte le forze attorno agli assi (Fig. 35.7).

L'asse coincide con l'asse neutro della sezione e l'asse y è perpendicolare ad esso; entrambi questi assi si trovano nel piano della sezione trasversale

Una forza elementare non dà proiezioni sull'asse y e non provoca un momento attorno all'asse, quindi le equazioni di equilibrio sono soddisfatte per qualsiasi valore di o.

L'equazione di equilibrio ha la forma

Sostituisci nell'equazione (13.7) il valore di a secondo la formula (12.7):

Poiché (viene considerato un elemento a trave curva, per il quale ), allora

L'integrale è il momento statico della sezione trasversale della trave rispetto all'asse neutro. La sua uguaglianza a zero significa che l'asse neutro (cioè l'asse) passa per il baricentro della sezione trasversale. Pertanto, il centro di gravità di tutte le sezioni trasversali della trave e, di conseguenza, l'asse della trave, che è la posizione geometrica dei centri di gravità, si trovano nello strato neutro. Pertanto, il raggio di curvatura dello strato neutro è il raggio di curvatura dell'asse curvo della barra.

Componiamo ora l'equazione di equilibrio sotto forma di somma dei momenti di tutte le forze applicate all'elemento trave, rispetto all'asse neutro:

Qui rappresenta il momento della forza interna elementare attorno all'asse.

Indichiamo l'area della parte della sezione trasversale della trave situata sopra l'asse neutro - sotto l'asse neutro.

Quindi rappresenterà la risultante delle forze elementari applicate sopra l'asse neutro, sotto l'asse neutro (Fig. 36.7).

Entrambe queste risultanti sono tra loro uguali in valore assoluto, poiché la loro somma algebrica in base alla condizione (13.7) è uguale a zero. Queste risultanti formano una coppia interna di forze agenti nella sezione trasversale della trave. Il momento di questa coppia di forze, cioè il prodotto del valore di una di esse e la distanza tra loro (Fig. 36.7), è un momento flettente nella sezione trasversale della trave.

Sostituisci nell'equazione (15.7) il valore di a secondo la formula (12.7):

Ecco il momento d'inerzia assiale, cioè l'asse passante per il baricentro della sezione. Quindi,

Sostituisci il valore dalla formula (16.7) nella formula (12.7):

Nel derivare la formula (17.7), non si è tenuto conto del fatto che con un momento esterno diretto, come mostrato in Fig. 31.7, secondo la regola dei segni accettata, il momento flettente è negativo. Se teniamo conto di ciò, prima del lato destro della formula (17.7) è necessario inserire un segno meno. Quindi, con un momento flettente positivo nella zona superiore della trave (cioè a ), i valori di a risulteranno negativi, il che indicherà la presenza di sollecitazioni di compressione in questa zona. Tuttavia, di solito il segno meno non viene messo sul lato destro della formula (17.7), ma questa formula viene utilizzata solo per determinare i valori assoluti delle sollecitazioni a. Pertanto, i valori assoluti del momento flettente e dell'ordinata y dovrebbero essere sostituiti nella formula (17.7). Il segno delle sollecitazioni è sempre facilmente determinabile dal segno del momento o dalla natura della deformazione della trave.

Componiamo ora l'equazione di equilibrio sotto forma di somma dei momenti di tutte le forze applicate all'elemento trave, rispetto all'asse y:

Ecco il momento della forza interna elementare attorno all'asse y (vedi Fig. 35.7).

Sostituisci nell'espressione (18.7) il valore di a secondo la formula (12.7):

Qui l'integrale è il momento d'inerzia centrifugo della sezione trasversale della trave rispetto agli assi y e . Quindi,

Ma da allora

Come è noto (vedi § 7.5), il momento d'inerzia centrifugo della sezione è zero rispetto agli assi d'inerzia principali.

Nel caso in esame, l'asse y è l'asse di simmetria della sezione trasversale della trave e, quindi, gli assi y e sono i principali assi centrali di inerzia di questa sezione. Pertanto, la condizione (19.7) è qui soddisfatta.

Nel caso in cui la sezione trasversale della trave piegata non abbia alcun asse di simmetria, la condizione (19.7) è soddisfatta se il piano d'azione del momento flettente passa per uno degli assi centrali di inerzia principali della sezione o è parallelo a questo asse.

Se il piano d'azione del momento flettente non passa per nessuno dei principali assi centrali di inerzia della sezione trasversale della trave e non è ad esso parallelo, allora la condizione (19.7) non è soddisfatta e, quindi, non c'è flessione diretta: la trave subisce una flessione obliqua.

La formula (17.7), che determina la sollecitazione normale in un punto arbitrario della sezione considerata della trave, è applicabile a condizione che il piano d'azione del momento flettente passi per uno degli assi di inerzia principali di questa sezione o sia parallelo a esso. In questo caso, l'asse neutro della sezione trasversale è il suo principale asse centrale di inerzia, perpendicolare al piano d'azione del momento flettente.

La formula (16.7) mostra che con la flessione diretta pura la curvatura dell'asse curvo della trave è direttamente proporzionale al prodotto del modulo elastico E per il momento d'inerzia.Il prodotto sarà chiamato rigidezza flessionale della sezione; è espresso in ecc.

Con la flessione pura di una trave di sezione costante, i momenti flettenti e le rigidezze di sezione sono costanti lungo la sua lunghezza. In questo caso il raggio di curvatura dell'asse di flessione della trave ha valore costante [vedi. espressione (16.7)], cioè la trave è piegata lungo un arco di cerchio.

Dalla formula (17.7) segue che le sollecitazioni normali maggiori (positiva - trazione) e minima (negativa - compressione) nella sezione trasversale della trave si verificano nei punti più lontani dall'asse neutro, situati su entrambi i lati di essa. Con una sezione trasversale simmetrica rispetto all'asse neutro, i valori assoluti delle maggiori sollecitazioni di trazione e compressione sono gli stessi e possono essere determinati dalla formula

dove è la distanza dall'asse neutro al punto più distante della sezione.

Il valore che dipende solo dalle dimensioni e dalla forma della sezione trasversale è chiamato modulo di sezione assiale ed è indicato

(20.7)

Quindi,

Determiniamo i momenti di resistenza assiali per sezioni rettangolari e tonde.

Per una sezione rettangolare con larghezza b e altezza

Per una sezione circolare di diametro d

Il momento di resistenza è espresso in .

Per sezioni che non sono simmetriche rispetto all'asse neutro, ad esempio per un triangolo, un marchio, ecc., le distanze dall'asse neutro alle fibre tese e compresse più esterne sono diverse; pertanto, per tali tratti si hanno due momenti di resistenza:

dove sono le distanze dall'asse neutro alle fibre tese e compresse più esterne.

L'ipotesi di tratti piani in flessione può essere spiegato con un esempio: applichiamo una griglia sulla superficie laterale di una trave indeformata, costituita da rette longitudinali e trasversali (perpendicolari all'asse). Per effetto della flessione della trave, le linee longitudinali assumeranno una forma curvilinea, mentre le linee trasversali rimarranno praticamente diritte e perpendicolari all'asse di piegatura della trave.

Formulazione dell'ipotesi della sezione planare: sezioni piane e perpendicolari all'asse della trave prima, rimangono piane e perpendicolari all'asse curvo dopo che è stata deformata.

Questa circostanza indica che quando ipotesi di sezione piatta, come con e

Oltre all'ipotesi di sezioni piatte, si fa un'ipotesi: le fibre longitudinali della trave non si premono tra loro quando questa viene piegata.

Si chiamano ipotesi di sezioni piane e ipotesi La congettura di Bernoulli.

Si consideri una trave di sezione rettangolare sottoposta a pura flessione (). Selezioniamo un elemento trave con una lunghezza (Fig. 7.8. a). Come risultato della flessione, le sezioni trasversali della trave ruoteranno, formando un angolo. Le fibre superiori sono in compressione e le fibre inferiori sono in tensione. Il raggio di curvatura della fibra neutra è indicato con .

Si consideri condizionatamente che le fibre cambino la loro lunghezza, pur rimanendo diritte (Fig. 7.8. b). Quindi l'allungamento assoluto e relativo della fibra, distanziata ad una distanza y dalla fibra neutra:

Mostriamo che le fibre longitudinali, che non subiscono né trazione né compressione durante la curvatura della trave, passano per l'asse centrale principale x.

Poiché la lunghezza della trave non cambia durante la flessione, la forza longitudinale (N) che si forma nella sezione trasversale deve essere zero. Forza longitudinale elementare.

Data l'espressione :

Il moltiplicatore può essere estratto dal segno di integrale (non dipende dalla variabile di integrazione).

L'espressione rappresenta la sezione trasversale della trave rispetto all'asse x neutro. È zero quando l'asse neutro passa per il baricentro della sezione trasversale. Di conseguenza, l'asse neutro (linea zero) quando la trave è piegata passa per il baricentro della sezione trasversale.

Ovviamente: il momento flettente è associato alle normali sollecitazioni che si verificano nei punti della sezione trasversale dello stelo. Momento flettente elementare creato dalla forza elementare:

,

dove è il momento d'inerzia assiale della sezione trasversale attorno all'asse neutro x, e il rapporto è la curvatura dell'asse della trave.

Rigidità travi in ​​flessione(maggiore, minore è il raggio di curvatura).

La formula risultante rappresenta La legge di Hooke nel piegarsi per una canna: il momento flettente che si verifica nella sezione trasversale è proporzionale alla curvatura dell'asse della trave.

Esprimendo dalla formula della legge di Hooke per un'asta quando si piega il raggio di curvatura () e sostituendo il suo valore nella formula , otteniamo la formula per le sollecitazioni normali () in un punto arbitrario della sezione trasversale della trave, distanziata ad una distanza y dall'asse neutro x: .

Nella formula per le sollecitazioni normali () in un punto arbitrario della sezione trasversale della trave, devono essere sostituiti i valori assoluti del momento flettente () e la distanza dal punto all'asse neutro (coordinate y) . Se la sollecitazione in un dato punto sarà di trazione o di compressione è facile da stabilire dalla natura della deformazione della trave o dal diagramma dei momenti flettenti, le cui ordinate sono tracciate dal lato delle fibre compresse della trave.

Si può vedere dalla formula: le sollecitazioni normali () cambiano lungo l'altezza della sezione trasversale della trave secondo una legge lineare. Sulla fig. 7.8, viene mostrata la trama. Le maggiori sollecitazioni durante la flessione della trave si verificano nei punti più lontani dall'asse neutro. Se viene tracciata una linea nella sezione trasversale della trave parallela all'asse neutro x, si verificano le stesse sollecitazioni normali in tutti i suoi punti.

Analisi semplice diagrammi di sollecitazione normale mostra che quando la trave è piegata, il materiale situato vicino all'asse neutro praticamente non funziona. Pertanto, al fine di ridurre il peso della trave, si consiglia di scegliere forme trasversali in cui la maggior parte del materiale viene rimosso dall'asse neutro, come ad esempio un profilo a I.