y

X

Punto o chiamata origine delle coordinate. Il primo asse è chiamato asse Oh, o l'asse delle ascisse, il secondo - l'asse UO, o l'asse y, il terzo - l'asse Oz, o l'asse dell'applicata. Un piano passante per due dei tre assi Oh, UO, Oz, è chiamato piano delle coordinate; 3 piani di coordinate Sono designati come segue: yOz, zOx e xOy.

Permettere mè un punto arbitrario nello spazio. Indica con R proiezione puntiforme m per asse Oh parallela al piano yOz, e attraverso X- coordinata del punto R sull'asse Oh. Attraverso Q denotare la proiezione del punto m per asse UO parallela al piano zOx, e attraverso in- coordinata del punto Q sull'asse UO. Attraverso R denotare la proiezione del punto m per asse Oz parallela al piano xOy, e attraverso z- coordinata del punto R sull'asse Oz(Vedi fig. 15).

tre numeri X, y, z prese in questo ordine sono dette coordinate cartesiane generali (o affini) del punto m. La prima coordinata è chiamata ascissa del punto m, secondo in- punto dell'ordinata m, e il terzo z- punto applicato m. Punto m con coordinate X, y, z indicato m(X, y, z).

Punto dell'ascissa mè uguale a zero se e solo se il punto m giace sull'aereo yOz. Allo stesso modo, per l'ordinata e l'applicata.

Ne consegue che il punto m(X, y, z) giace sull'asse Oh se e solo se in=z=0, analogamente per gli assi UO, Oz. Per origine X=in=z=0.

punti , sono detti punti unitari degli assi coordinati. Il punto è chiamato punto unitario del sistema di coordinate.

Una scatola con un vertice all'origine O e con spigoli è chiamata scatola di scala. I segmenti sono segmenti di scala, rispettivamente, degli assi Ox, Oy, Oz. vettori

sono chiamati vettori di scala corrispondenti agli assi xx, UO, Oz.

Utilizzando il sistema di coordinate cartesiane generale, viene stabilita una corrispondenza uno a uno tra l'insieme di tutti i punti nello spazio e l'insieme di tutte le triple ordinate di numeri reali. Qui per costruire un punto m, che ha coordinate date numeri X, in, z, fai questo: se poi costruisci sugli assi Oh, UO, Oz punti P, Q, R avendo coordinate su questi assi, rispettivamente, uguali a X, in, z e passare per i punti P, Q, R piani rispettivamente paralleli ai piani delle coordinate yOz, zOx, xOy; punto mè il punto di intersezione di questi piani.

Un sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio è una tripla ordinata di assi di coordinate perpendicolari a coppie con un'origine comune O su ciascuno di essi e con lo stesso segmento di scala per ciascun asse (vedi figura).

Coordinate cartesiane di un punto m sono definiti in modo simile. Queste sono proiezioni ortogonali del punto m sull'asse Oh, UO, Oz.

Si noti che spesso i vettori di scala degli assi Oh, UO, Oz nel sistema di coordinate rettangolari cartesiane sono indicati.

Quando si introduce un sistema di coordinate su un piano o nello spazio tridimensionale, si presenta un'opportunità unica per descrivere le forme geometriche e le loro proprietà utilizzando equazioni e disequazioni. Questo ha un altro nome: metodi di algebra.

Questo articolo ti aiuterà a comprendere il compito di un sistema di coordinate cartesiane rettangolare e la determinazione delle coordinate dei punti. Un'immagine più visiva e dettagliata è disponibile nelle illustrazioni grafiche.

Per introdurre un sistema di coordinate su un piano, è necessario tracciare due linee perpendicolari sul piano. Scegliere direzione positiva, contrassegnato da una freccia. Deve scegliere scala. Il punto di intersezione delle linee sarà chiamato lettera O. È considerata Punto di riferimento. Questo è chiamato sistema di coordinate rettangolari in superficie.

Si chiamano rette con origine O che hanno direzione e scala linea di coordinate o asse delle coordinate.

Il sistema di coordinate rettangolare è indicato con O x y . Gli assi delle coordinate sono chiamati O x e O y, chiamati rispettivamente ascissa e asse y.

Immagine di un sistema di coordinate rettangolare su un piano.

Gli assi delle ascisse e delle ordinate hanno la stessa unità di variazione e scala, che viene visualizzata come un trattino all'origine degli assi delle coordinate. La direzione standard è O x da sinistra a destra e O y dal basso verso l'alto. A volte viene utilizzata una rotazione alternativa all'angolo richiesto.

Il sistema di coordinate rettangolare è chiamato cartesiano in onore del suo scopritore René Descartes. È spesso possibile trovare il nome come un sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Lo spazio euclideo tridimensionale ha un sistema simile, solo che non consiste di due, ma di tre assi O x, O y, O z. Queste sono tre linee tra loro perpendicolari, dove O z ha il nome asse di applicazione.

Nella direzione degli assi delle coordinate, sono divisi in sistemi di coordinate rettangolari destro e sinistro dello spazio tridimensionale.

Gli assi delle coordinate si intersecano nel punto O, chiamato origine. Ogni asse ha una direzione positiva, indicata dalle frecce sugli assi. Se, quando O x viene ruotato di 90° in senso antiorario, la sua direzione positiva coincide con O y positiva, allora questo vale per la direzione positiva di O z. Un tale sistema è considerato Giusto. In altre parole, se confrontiamo la direzione di X con il pollice, allora il dito indice è responsabile di Y e quello centrale di Z.

Il sistema di coordinate sinistro è formato in modo simile. Entrambi i sistemi non possono essere combinati, poiché gli assi corrispondenti non corrisponderanno.

Per cominciare, mettiamo da parte il punto M sull'asse delle coordinate O x. Qualsiasi numero reale x M è uguale all'unico punto M situato sulla retta data. Se il punto si trova sulla linea delle coordinate a una distanza di 2 dall'origine nella direzione positiva, allora è uguale a 2, se - 3, la distanza corrispondente è 3. Zero è l'origine delle linee di coordinate.

In altre parole, ogni punto M situato su O x è uguale a un numero reale x M . Questo numero reale è zero se il punto M si trova all'origine, cioè all'intersezione di O x e O y. Il numero della lunghezza del segmento è sempre positivo se il punto viene rimosso in direzione positiva e viceversa.

Viene chiamato il numero disponibile x M coordinata punto M su una data linea di coordinate.

Prendiamo un punto come proiezione del punto M x su O x, e come proiezione del punto M y su O y. Ciò significa che le rette perpendicolari agli assi O x e O y possono essere tracciate attraverso il punto M, dove si ottengono i corrispondenti punti di intersezione M x e M y .

Allora il punto M x sull'asse O x ha il numero corrispondente x M, e M y su O y - y M. Sugli assi delle coordinate appare così:

Ogni punto M su un dato piano in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari ha una corrispondente coppia di numeri (x M , y M), chiamata sua coordinate. Ascissa Mè x M , ordinata Mè y M .

Anche l'affermazione inversa è considerata vera: ogni coppia ordinata (x M , y M) ha un punto corrispondente dato nel piano.

Definizione del punto M nello spazio tridimensionale. Siano M x , M y , M z , che sono proiezioni del punto M sugli assi corrispondenti O x, O y, O z . Quindi i valori di questi punti sugli assi О x, О у, О z assumeranno i valori x M , y M , z M . Rappresentiamolo su linee coordinate.

Per ottenere le proiezioni del punto M, è necessario aggiungere le linee perpendicolari O x, O y, O z per continuare e rappresentare sotto forma di piani che passano per M. Pertanto, i piani si intersecano in M ​​x , M y , M z

Ogni punto dello spazio tridimensionale ha i suoi dati (x M , y M , z M) , che hanno il nome coordinate del punto M , x M , y M , z M - questi sono i numeri chiamati ascissa, ordinata e applique dato il punto M. Per questo giudizio vale anche l'affermazione inversa: ogni tripla ordinata di numeri reali (x M , y M , z M) in un dato sistema di coordinate rettangolari ha un corrispondente punto M dello spazio tridimensionale.

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Il metodo delle coordinate è, ovviamente, molto buono, ma nei problemi C2 reali non ci sono coordinate e vettori. Pertanto, devono essere inseriti. Sì, sì, basta prenderlo e inserirlo in questo modo: indicare l'origine, il segmento unitario e la direzione degli assi x, yez.

La cosa grandiosa di questo metodo è che non importa come si entra nel sistema di coordinate. Se tutti i calcoli sono corretti, la risposta sarà corretta.

Coordinate del cubo

Se c'è un cubo nel problema C2, considerati fortunato. Questo è il poliedro più semplice, i cui angoli diedri sono tutti di 90°.

Anche il sistema di coordinate viene inserito molto semplicemente:

1. L'origine delle coordinate è nel punto A;
2. Molto spesso, il bordo del cubo non è indicato, quindi lo prendiamo come un singolo segmento;
3. Dirigiamo l'asse x lungo il bordo AB, y - lungo il bordo AD e l'asse z - lungo il bordo AA 1 .

Nota che l'asse z è rivolto verso l'alto! Dopo un sistema di coordinate bidimensionale, questo è alquanto insolito, ma in realtà molto logico.

Quindi, ora ogni vertice del cubo ha coordinate. Raccogliamoli in una tabella - separatamente per il piano inferiore del cubo:

È facile vedere che i punti del piano superiore differiscono dai punti corrispondenti del piano inferiore solo per la coordinata z. Ad esempio, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). L'importante è non confondersi!

Prism è già molto più divertente. Con il giusto approccio, è sufficiente conoscere le coordinate solo della base inferiore: quella superiore verrà calcolata automaticamente.

Nei problemi C2, ci sono prismi triedrici eccezionalmente regolari (prismi dritti basati su un triangolo regolare). Per loro, il sistema di coordinate viene inserito quasi allo stesso modo del cubo. A proposito, se qualcuno non lo sa, un cubo è anche un prisma, solo tetraedrico.

Quindi andiamo! Inserisci il sistema di coordinate:

1. L'origine delle coordinate è nel punto A;
2. Il lato del prisma è preso come un unico segmento, se non diversamente specificato nella condizione del problema;
3. Dirigiamo l'asse x lungo il bordo AB, z - lungo il bordo AA 1 e posizioniamo l'asse y in modo che il piano OXY coincida con il piano della base ABC.

Qui è richiesta una spiegazione. Il fatto è che l'asse y NON coincide con il bordo AC, come molti pensano. Perché non corrisponde? Pensa tu stesso: il triangolo ABC è un triangolo equilatero con tutti gli angoli di 60°. E gli angoli tra gli assi delle coordinate dovrebbero essere 90 °, quindi l'immagine in alto sarà simile a questa:

Spero che ora sia chiaro perché l'asse y non andrà lungo AC. Disegna un'altezza CH in questo triangolo. Il triangolo ACH è rettangolo e AC = 1, quindi AH = 1 cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Questi fatti sono necessari per calcolare le coordinate del punto C.

Ora diamo un'occhiata all'intero prisma insieme al sistema di coordinate costruito:

Otteniamo le seguenti coordinate dei punti:

Come puoi vedere, i punti della base superiore del prisma differiscono ancora dai corrispondenti punti della base inferiore solo per la coordinata z. Il problema principale sono i punti C e C 1 . Hanno coordinate irrazionali che devi solo ricordare. Bene, o per capire da dove vengono.

Coordinate prismatiche esagonali

Un prisma esagonale è un prisma triangolare "clonato". Puoi capire come ciò accade se guardi la base inferiore: indichiamola ABCDEF. Eseguiamo ulteriori costruzioni: i segmenti AD, BE e CF. Si sono rivelati sei triangoli, ognuno dei quali (ad esempio il triangolo ABO) è la base per un prisma triedrico.

Ora introduciamo il sistema di coordinate effettivo. L'origine delle coordinate - il punto O - sarà posta al centro di simmetria dell'esagono ABCDEF. L'asse x andrà lungo FC e l'asse y - attraverso i punti medi dei segmenti AB e DE. Otteniamo questa immagine:

Nota: l'origine delle coordinate NON coincide con il vertice del poliedro! In effetti, quando risolvi problemi reali, scoprirai che questo è molto conveniente, poiché ti consente di ridurre notevolmente la quantità di calcoli.

Resta da aggiungere l'asse z. Per tradizione, lo disegniamo perpendicolare al piano OXY e lo dirigiamo verticalmente verso l'alto. Otteniamo l'immagine finale:

Scriviamo le coordinate dei punti. Assumiamo che tutti i bordi del nostro prisma esagonale regolare siano uguali a 1. Quindi, le coordinate della base inferiore:

Le coordinate della base superiore vengono spostate di uno sull'asse z:

La piramide è generalmente molto severa. Analizzeremo solo il caso più semplice: una piramide quadrangolare regolare, i cui bordi sono tutti uguali a uno. Tuttavia, nei problemi C2 reali, le lunghezze dei bordi possono differire, quindi lo schema generale per il calcolo delle coordinate è riportato di seguito.

Quindi, la piramide quadrangolare corretta. È lo stesso di Cheope, solo un po' più piccolo. Indichiamolo SABCD, dove S è la parte superiore. Introduciamo un sistema di coordinate: l'origine è nel punto A, il segmento unitario AB = 1, l'asse x è diretto lungo AB, l'asse y è lungo AD e l'asse z è verso l'alto, perpendicolare al piano OXY . Per ulteriori calcoli, abbiamo bisogno dell'altezza SH, quindi costruiamola. Otteniamo la seguente immagine:

Ora troviamo le coordinate dei punti. Cominciamo con il piano OXY. Qui tutto è semplice: la base è un quadrato, le sue coordinate sono note. Sorgono problemi con il punto S. Poiché SH è l'altezza del piano OXY, i punti S e H differiscono solo nella coordinata z. In effetti, la lunghezza del segmento SH è la coordinata z del punto S, poiché H = (0,5; 0,5; 0).

Nota che i triangoli ABC e ASC hanno tre lati uguali (AS = CS = AB = CB = 1 e il lato AC è comune). Pertanto, SH = BH. Ma BH è la metà della diagonale del quadrato ABCD, cioè BH = AB sin 45°. Otteniamo le coordinate di tutti i punti:

Questo è tutto con le coordinate della piramide. Ma non con le coordinate affatto. Abbiamo considerato solo i poliedri più comuni, ma questi esempi sono sufficienti per calcolare in modo indipendente le coordinate di qualsiasi altra forma. Si può quindi procedere, infatti, a metodi per la risoluzione di problemi specifici C2.

Viene chiamato un sistema ordinato di due o tre assi intersecanti perpendicolari tra loro con un'origine comune (origine) e un'unità di lunghezza comune sistema di coordinate cartesiane rettangolari .

Sistema di coordinate cartesiane generali (sistema di coordinate affine) possono comprendere anche assi non necessariamente perpendicolari. In onore del matematico francese René Descartes (1596-1662), viene chiamato un tale sistema di coordinate in cui un'unità di lunghezza comune viene contata su tutti gli assi e gli assi sono diritti.

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano ha due assi sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio - tre assi. Ogni punto su un piano o nello spazio è determinato da un insieme ordinato di coordinate - numeri in base alla lunghezza unitaria del sistema di coordinate.

Si noti che, come segue dalla definizione, esiste un sistema di coordinate cartesiane su una linea retta, cioè in una dimensione. L'introduzione delle coordinate cartesiane su una retta è uno dei modi in cui a qualsiasi punto di una retta viene assegnato un numero reale ben definito, cioè una coordinata.

Il metodo delle coordinate, sorto nelle opere di René Descartes, segnò una ristrutturazione rivoluzionaria di tutta la matematica. È diventato possibile interpretare le equazioni (o disuguaglianze) algebriche sotto forma di immagini geometriche (grafici) e, al contrario, cercare una soluzione ai problemi geometrici utilizzando formule analitiche, sistemi di equazioni. Sì, disuguaglianza z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy e situato al di sopra di questo piano di 3 unità.

Con l'aiuto del sistema di coordinate cartesiane, l'appartenenza di un punto a una data curva corrisponde al fatto che i numeri X e y soddisfare qualche equazione. Quindi, le coordinate di un punto di una circonferenza centrato in un dato punto ( un; B) soddisfa l'equazione (X - un)² + ( y - B)² = R² .

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano

Si formano due assi perpendicolari su un piano con un'origine comune e la stessa unità di scala Sistema di coordinate cartesiane sul piano . Uno di questi assi è chiamato asse Bue, o asse x , l'altro - l'asse Ehi, o asse y . Questi assi sono anche chiamati assi delle coordinate. Indica con mX e my rispettivamente la proiezione di un punto arbitrario m sull'asse Bue e Ehi. Come ottenere le proiezioni? Passa attraverso il punto m Bue. Questa linea interseca l'asse Bue al punto mX. Passa attraverso il punto m retta perpendicolare all'asse Ehi. Questa linea interseca l'asse Ehi al punto my. Questo è mostrato nella figura seguente.

X e y punti m chiameremo rispettivamente le grandezze dei segmenti diretti OMX e OMy. I valori di questi segmenti direzionali sono calcolati rispettivamente come X = X0 - 0 e y = y0 - 0 . coordinate cartesiane X e y punti m ascissa e ordinato . Il fatto che il punto m ha coordinate X e y, è indicato come segue: m(X, y) .

Gli assi delle coordinate dividono il piano in quattro quadrante , la cui numerazione è mostrata nella figura seguente. Indica anche la disposizione dei segni per le coordinate dei punti, a seconda della loro posizione in uno o nell'altro quadrante.

Oltre alle coordinate rettangolari cartesiane nel piano, viene spesso considerato anche il sistema di coordinate polari. Informazioni sul metodo di transizione da un sistema di coordinate all'altro - nella lezione sistema di coordinate polari .

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio

Le coordinate cartesiane nello spazio sono introdotte in completa analogia con le coordinate cartesiane su un piano.

Tre assi tra loro perpendicolari nello spazio (assi coordinati) con un'origine comune o e la stessa forma dell'unità di scala Sistema di coordinate rettangolari cartesiane nello spazio .

Uno di questi assi è chiamato asse Bue, o asse x , l'altro - l'asse Ehi, o asse y , terzo asse Oz, o asse applicato . Permettere mX, my mz- proiezioni di un punto arbitrario m spazi sull'asse Bue , Ehi e Oz rispettivamente.

Passa attraverso il punto m BueBue al punto mX. Passa attraverso il punto m piano perpendicolare all'asse Ehi. Questo piano interseca l'asse Ehi al punto my. Passa attraverso il punto m piano perpendicolare all'asse Oz. Questo piano interseca l'asse Oz al punto mz.

Coordinate cartesiane rettangolari X , y e z punti m chiameremo rispettivamente le grandezze dei segmenti diretti OMX, OMy e OMz. I valori di questi segmenti direzionali sono calcolati rispettivamente come X = X0 - 0 , y = y0 - 0 e z = z0 - 0 .

coordinate cartesiane X , y e z punti m sono nominati di conseguenza ascissa , ordinato e applique .

Presi a coppie, gli assi delle coordinate si trovano nei piani delle coordinate xOy , yOz e zOx .

Problemi sui punti nel sistema di coordinate cartesiane

Esempio 1

UN(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse x.

Soluzione. Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse x si trova sull'asse x stesso, cioè l'asse Bue, e quindi ha un'ascissa uguale all'ascissa del punto stesso, e un'ordinata (coordinata sull'asse Ehi, che l'asse x interseca nel punto 0), uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di questi punti sull'asse x:

UNx(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Esempio 2 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse y.

Soluzione. Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse y si trova sull'asse y stesso, cioè l'asse Ehi, e quindi ha un'ordinata uguale all'ordinata del punto stesso, e un'ascissa (la coordinata sull'asse Bue, che l'asse y interseca nel punto 0), uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di questi punti sull'asse y:

UNsi(0; 2);

Bsi (0; 1);

Csi(0;-2).

Esempio 3 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Bue .

Bue Bue Bue, avrà la stessa ascissa del punto dato, e l'ordinata uguale in valore assoluto all'ordinata del punto dato, e di segno opposto ad essa. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'asse Bue :

UN"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Risolvi tu stesso i problemi sul sistema di coordinate cartesiane e poi guarda le soluzioni

Esempio 4 Determina in quali quadranti (quarti, figura con quadranti - alla fine del paragrafo "Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano") può essere posizionato il punto m(X; y) , Se

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − y = 0 ;

4) X + y = 0 ;

5) X + y > 0 ;

6) X + y < 0 ;

7) X − y > 0 ;

8) X − y < 0 .

Esempio 5 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(un; B) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'asse Ehi .

Continuiamo a risolvere i problemi insieme

Esempio 6 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'asse Ehi .

Soluzione. Ruota di 180 gradi attorno all'asse Ehi segmento di linea diretto da un asse Ehi fino a questo punto. Nella figura, dove sono indicati i quadranti del piano, vediamo che il punto simmetrico a quello dato rispetto all'asse Ehi, avrà la stessa ordinata del punto dato, ed un'ascissa uguale in valore assoluto all'ascissa del punto dato, e di segno opposto ad essa. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'asse Ehi :

UN"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Esempio 7 I punti sono indicati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Trova le coordinate dei punti che sono simmetrici a questi punti rispetto all'origine.

Soluzione. Ruotiamo di 180 gradi attorno all'origine del segmento diretto che va dall'origine al punto dato. Nella figura, dove sono indicati i quadranti del piano, vediamo che un punto simmetrico ad uno dato rispetto all'origine delle coordinate avrà un'ascissa ed un'ordinata uguali in valore assoluto all'ascissa ed ordinata del punto dato , ma di segno opposto a loro. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto a questi punti rispetto all'origine:

UN"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Esempio 8

UN(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti:

1) su un aereo Ossi ;

2) all'aereo Oxz ;

3) all'aereo Oyz ;

4) sull'asse delle ascisse;

5) sull'asse y;

6) sull'asse dell'applicazione.

1) Proiezione di un punto su un piano Ossi situato su questo piano stesso, e quindi ha un'ascissa e un'ordinata uguali all'ascissa e un'ordinata del punto dato, e un'applicata uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Ossi :

UNxy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Proiezione di un punto su un piano Oxz situata su questo piano stesso, e quindi ha un'ascissa e un'applicata uguali all'ascissa e un'applicata del punto dato, e un'ordinata uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oxz :

UNxz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Proiezione di un punto su un piano Oyz si trova su questo piano stesso, e quindi ha un'ordinata e un'applicata uguali all'ordinata e applicata di un dato punto, e un'ascissa uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oyz :

UNyz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse x si trova sull'asse x stesso, cioè l'asse Bue, e quindi ha un'ascissa uguale all'ascissa del punto stesso, e l'ordinata e l'applicata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ordinata e dell'applicata intersecano l'ascissa nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse x:

UNx(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) La proiezione di un punto sull'asse y si trova sull'asse y stesso, cioè l'asse Ehi, e quindi ha un'ordinata uguale all'ordinata del punto stesso, e l'ascissa e l'applicata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ascissa e dell'applicata intersecano l'asse delle ordinate nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse y:

UNsi(0;3;0);

Bsi(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) La proiezione di un punto sull'asse dell'applicata si trova sull'asse dell'applicata stesso, cioè l'asse Oz, e quindi ha un'applicata uguale all'applicata del punto stesso, e l'ascissa e l'ordinata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi delle ascisse e delle ordinate intersecano l'asse dell'applicata nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse dell'applicata:

UNz(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Esempio 9 I punti sono dati nel sistema di coordinate cartesiane nello spazio

UN(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Trova le coordinate dei punti che sono simmetrici a questi punti rispetto a:

1) aereo Ossi ;

2) aereo Oxz ;

3) aereo Oyz ;

4) asse delle ascisse;

5) asse y;

6) asse di applicazione;

7) l'origine delle coordinate.

1) "Avanza" il punto sull'altro lato dell'asse Ossi Ossi, avrà un'ascissa e un'ordinata uguali all'ascissa e l'ordinata del punto dato, e un'applicata uguale in grandezza all'applicata del punto dato, ma di segno opposto ad essa. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Ossi :

UN"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Avanza" il punto sull'altro lato dell'asse Oxz per la stessa distanza. Secondo la figura che mostra lo spazio delle coordinate, vediamo che il punto è simmetrico a quello dato rispetto all'asse Oxz, avrà un'ascissa e applicata uguali all'ascissa e applicata del punto dato, e un'ordinata uguale in grandezza all'ordinata del punto dato, ma di segno opposto ad essa. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Oxz :

UN"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Avanza" il punto sull'altro lato dell'asse Oyz per la stessa distanza. Secondo la figura che mostra lo spazio delle coordinate, vediamo che il punto è simmetrico a quello dato rispetto all'asse Oyz, avrà un'ordinata e un'applicata uguali all'ordinata e un'applicata del punto dato, e un'ascissa uguale in grandezza all'ascissa del punto dato, ma di segno opposto ad essa. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Oyz :

UN"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Per analogia con punti simmetrici sul piano e punti nello spazio simmetrici rispetto ai dati rispetto ai piani, notiamo che nel caso di simmetria attorno a qualche asse del sistema di coordinate cartesiane nello spazio, la coordinata sull'asse attorno al quale è impostata la simmetria manterrà il suo segno e le coordinate sugli altri due assi saranno le stesse in valore assoluto delle coordinate del punto dato, ma di segno opposto.

4) L'ascissa manterrà il suo segno, mentre l'ordinata e l'applicata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto ai dati sull'asse x:

UN"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) L'ordinata manterrà il suo segno, mentre l'ascissa e l'applicata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto ai dati sull'asse y:

UN"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) L'applicata manterrà il suo segno e l'ascissa e l'ordinata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati sull'asse dell'applicata:

UN"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Per analogia con la simmetria nel caso di punti su un piano, nel caso di simmetria sull'origine delle coordinate, tutte le coordinate di un punto simmetrico ad un dato saranno uguali in valore assoluto alle coordinate di un dato punto, ma di segno opposto a loro. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti che sono simmetrici ai dati rispetto all'origine.

Se introduciamo un sistema di coordinate su un piano o nello spazio tridimensionale, allora saremo in grado di descrivere forme geometriche e le loro proprietà usando equazioni e disequazioni, cioè potremo usare i metodi dell'algebra. Pertanto, il concetto di sistema di coordinate è molto importante.

In questo articolo, mostreremo come un sistema di coordinate cartesiane rettangolare è impostato su un piano e nello spazio tridimensionale e scopriremo come vengono determinate le coordinate dei punti. Per chiarezza, presentiamo illustrazioni grafiche.

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Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano.

Introduciamo un sistema di coordinate rettangolare sul piano.

Per fare ciò, disegniamo due linee reciprocamente perpendicolari sul piano, scegliamo su ciascuna di esse direzione positiva, indicandolo con una freccia, e selezionare su ciascuno di essi scala(unità di lunghezza). Indichiamo il punto di intersezione di queste linee con la lettera O e lo considereremo Punto di riferimento. Quindi abbiamo sistema di coordinate rettangolari in superficie.

Viene chiamata ciascuna delle linee con l'origine scelta O, la direzione e la scala linea di coordinate o asse delle coordinate.

Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è solitamente indicato con Oxy, dove Ox e Oy sono i suoi assi coordinati. Viene chiamato l'asse Ox asse x, e l'asse Oy è asse y.

Ora mettiamo d'accordo sull'immagine di un sistema di coordinate rettangolare sul piano.

Di solito, l'unità di lunghezza sugli assi Ox e Oy viene scelta in modo che sia la stessa e viene tracciata dall'origine delle coordinate su ciascun asse delle coordinate nella direzione positiva (contrassegnata con un trattino sugli assi delle coordinate e l'unità viene scritta accanto a it), l'asse delle ascisse è diretto a destra e l'asse y è in alto. Tutte le altre opzioni per la direzione degli assi delle coordinate sono ridotte a quella espressa (asse Ox - a destra, asse Oy - in alto) ruotando il sistema di coordinate di un angolo rispetto all'origine e guardandolo dall'altro lato di l'aereo (se necessario).

Il sistema di coordinate rettangolari è spesso chiamato cartesiano, poiché è stato introdotto per la prima volta sul piano da René Descartes. Ancora più spesso, un sistema di coordinate rettangolare è chiamato sistema di coordinate cartesiane rettangolari, mettendo tutto insieme.

Sistema di coordinate rettangolari nello spazio tridimensionale.

Il sistema di coordinate rettangolare Oxyz è impostato in modo simile nello spazio euclideo tridimensionale, ma non vengono prese due, ma tre linee reciprocamente perpendicolari. In altre parole, l'asse delle coordinate Oz viene aggiunto agli assi delle coordinate Ox e Oy, che viene chiamato asse applicato.

A seconda della direzione degli assi delle coordinate, i sistemi di coordinate rettangolari destro e sinistro si distinguono nello spazio tridimensionale.

Se guardi dalla direzione positiva dell'asse Oz e la svolta più breve dalla direzione positiva dell'asse Ox alla direzione positiva dell'asse Oy avviene in senso antiorario, viene chiamato il sistema di coordinate Giusto.

Se visto dalla direzione positiva dell'asse Oz e la rotazione più breve dalla direzione positiva dell'asse Ox alla direzione positiva dell'asse Oy avviene in senso orario, allora viene chiamato il sistema di coordinate sinistra.

Coordinate di un punto in un sistema di coordinate cartesiane su un piano.

Per prima cosa, considera la linea di coordinate Ox e prendi un punto M su di essa.

Ogni numero reale corrisponde a un punto univoco M su questa linea di coordinate. Ad esempio, un punto situato sulla linea delle coordinate a una distanza dall'origine in direzione positiva corrisponde al numero e il numero -3 corrisponde a un punto situato a una distanza di 3 dall'origine in direzione negativa. Il numero 0 corrisponde all'origine.

D'altra parte, ogni punto M della linea di coordinate Ox corrisponde a un numero reale. Questo numero reale è zero se il punto M coincide con l'origine (punto O). Questo numero reale è positivo e uguale alla lunghezza del segmento OM in una data scala, se il punto M viene rimosso dall'origine in direzione positiva. Questo numero reale è negativo ed è uguale alla lunghezza del segmento OM con segno meno se il punto M viene rimosso dall'origine in direzione negativa.

Il numero è chiamato coordinata punti M sulla linea delle coordinate.

Consideriamo ora un piano con il sistema di coordinate cartesiane rettangolari introdotto. Contrassegniamo un punto arbitrario M su questo piano.

Sia la proiezione del punto M sulla linea Ox, e siano le proiezioni del punto M sulla linea coordinata Oy (se necessario, vedi l'articolo). Cioè, se tracciamo linee attraverso il punto M che sono perpendicolari agli assi coordinati Ox e Oy, i punti di intersezione di queste linee con le linee Ox e Oy sono, rispettivamente, i punti e .

Lascia che un punto sull'asse delle coordinate Ox corrisponda a un numero e un punto sull'asse Oy a un numero.

Ogni punto M del piano in un dato sistema di coordinate cartesiane rettangolari corrisponde a una singola coppia ordinata di numeri reali, chiamata coordinate del punto M in superficie. Viene chiamata la coordinata punto delle ascisse M, un - punto dell'ordinata M.

Vale anche l'affermazione inversa: ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde a un punto M del piano in un dato sistema di coordinate.

Coordinate di un punto in un sistema di coordinate rettangolare nello spazio tridimensionale.

Mostriamo come le coordinate del punto M sono determinate in un sistema di coordinate rettangolare dato nello spazio tridimensionale.

Siano e siano le proiezioni del punto M sugli assi coordinati Ox , Oy e Oz rispettivamente. Lascia che questi punti sugli assi coordinati Ox, Oy e Oz corrispondano a numeri reali e .