Sommando frazioni con gli stessi denominatori
L'aggiunta di frazioni è di due tipi:
- Sommando frazioni con gli stessi denominatori
- Somma di frazioni con denominatori diversi
Iniziamo con l'addizione di frazioni con gli stessi denominatori. Tutto è semplice qui. Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore. Ad esempio, aggiungiamo le frazioni e . Sommiamo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in quattro parti. Se aggiungi la pizza alla pizza, ottieni la pizza:
Esempio 2 Aggiungi frazioni e .
La risposta è una frazione impropria. Se arriva la fine del compito, è consuetudine sbarazzarsi di frazioni improprie. Per eliminare una frazione impropria, è necessario selezionare l'intera parte al suo interno. Nel nostro caso, la parte intera viene allocata facilmente: due diviso per due è uguale a uno:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in due parti. Se aggiungi più pizze alla pizza, ottieni una pizza intera:
Esempio 3. Aggiungi frazioni e .
Ancora una volta, aggiungi i numeratori e lascia invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in tre parti. Se aggiungi più pizze alla pizza, ottieni pizze:
Esempio 4 Trova il valore di un'espressione 
Questo esempio è risolto esattamente allo stesso modo dei precedenti. I numeratori devono essere sommati e il denominatore lasciato invariato:
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se aggiungi pizze a una pizza e aggiungi più pizze, ottieni 1 pizza intera e più pizze.
Come puoi vedere, sommare frazioni con gli stessi denominatori non è difficile. È sufficiente comprendere le seguenti regole:
- Per sommare frazioni con lo stesso denominatore, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore;
Somma di frazioni con denominatori diversi
Ora impareremo come sommare frazioni con denominatori diversi. Quando si sommano le frazioni, i denominatori di tali frazioni devono essere gli stessi. Ma non sono sempre gli stessi.
Ad esempio, le frazioni possono essere aggiunte perché hanno gli stessi denominatori.
Ma le frazioni non possono essere sommate in una volta, perché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso (comune) denominatore.
Esistono diversi modi per ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Oggi ne considereremo solo uno, poiché il resto dei metodi può sembrare complicato per un principiante.
L'essenza di questo metodo sta nel fatto che si cerca il primo (LCM) dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi l'LCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo. Fanno lo stesso con la seconda frazione: l'LCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene il secondo fattore aggiuntivo.
Quindi i numeratori e denominatori delle frazioni vengono moltiplicati per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste azioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come aggiungere tali frazioni.
Esempio 1. Aggiungi frazioni e
Innanzitutto troviamo il minimo comune multiplo dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 6
LCM (2 e 3) = 6
Ora torniamo alle frazioni e . Innanzitutto, dividiamo l'LCM per il denominatore della prima frazione e otteniamo il primo fattore aggiuntivo. LCM è il numero 6 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 6 per 3, otteniamo 2.
Il numero risultante 2 è il primo fattore aggiuntivo. Lo scriviamo alla prima frazione. Per fare ciò, facciamo una piccola linea obliqua sopra la frazione e annotiamo il fattore aggiuntivo trovato sopra di essa:
Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo l'LCM per il denominatore della seconda frazione e otteniamo il secondo fattore aggiuntivo. LCM è il numero 6 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Dividiamo 6 per 2, otteniamo 3.
Il numero risultante 3 è il secondo fattore aggiuntivo. Lo scriviamo nella seconda frazione. Ancora una volta, facciamo una piccola linea obliqua sopra la seconda frazione e scriviamo il fattore aggiuntivo trovato sopra di essa:
Ora siamo tutti pronti per aggiungere. Resta da moltiplicare i numeratori e denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Guarda da vicino a cosa siamo arrivati. Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come aggiungere tali frazioni. Completiamo questo esempio fino alla fine:
Così finisce l'esempio. Per aggiungere risulta.
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se aggiungi le pizze a una pizza, ottieni una pizza intera e un altro sesto di pizza:
La riduzione delle frazioni allo stesso denominatore (comune) può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Portando le frazioni e ad un denominatore comune, otteniamo le frazioni e . Queste due frazioni saranno rappresentate dagli stessi tranci di pizza. L'unica differenza sarà che questa volta saranno divisi in parti uguali (ridotte allo stesso denominatore).
Il primo disegno mostra una frazione (quattro pezzi su sei) e la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su sei). Mettendo insieme questi pezzi otteniamo (sette pezzi su sei). Questa frazione non è corretta, quindi abbiamo evidenziato la parte intera in essa. Il risultato è stato (una pizza intera e un'altra sesta pizza).
Nota che abbiamo dipinto questo esempio in modo troppo dettagliato. Nelle istituzioni educative non è consuetudine scrivere in modo così dettagliato. Devi essere in grado di trovare rapidamente l'LCM di entrambi i denominatori e dei fattori aggiuntivi ad essi, nonché moltiplicare rapidamente i fattori aggiuntivi trovati dai tuoi numeratori e denominatori. A scuola, dovremmo scrivere questo esempio come segue:
Ma c'è anche l'altra faccia della medaglia. Se non vengono prese note dettagliate nelle prime fasi dello studio della matematica, allora domande del genere "Da dove viene quel numero?", "Perché le frazioni improvvisamente si trasformano in frazioni completamente diverse? «.
Per semplificare l'aggiunta di frazioni con denominatori diversi, puoi utilizzare le seguenti istruzioni dettagliate:
- Trova l'LCM dei denominatori delle frazioni;
- Dividi l'LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un moltiplicatore aggiuntivo per ciascuna frazione;
- Moltiplica i numeratori ei denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi;
- Somma frazioni che hanno gli stessi denominatori;
- Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, seleziona l'intera parte;
Esempio 2 Trova il valore di un'espressione 
.
Usiamo le istruzioni sopra.
Passaggio 1. Trova l'LCM dei denominatori delle frazioni
Trova l'LCM dei denominatori di entrambe le frazioni. I denominatori delle frazioni sono i numeri 2, 3 e 4
Passaggio 2. Dividi l'LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un moltiplicatore aggiuntivo per ciascuna frazione
Dividi il LCM per il denominatore della prima frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividi 12 per 2, otteniamo 6. Abbiamo il primo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sulla prima frazione:
Ora dividiamo il LCM per il denominatore della seconda frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Abbiamo il secondo fattore aggiuntivo 4. Lo scriviamo sulla seconda frazione:
Ora dividiamo il LCM per il denominatore della terza frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della terza frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Abbiamo il terzo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sulla terza frazione:
Passaggio 3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i tuoi fattori aggiuntivi
Moltiplichiamo i numeratori e denominatori per i nostri fattori aggiuntivi:
Passaggio 4. Aggiungi le frazioni che hanno gli stessi denominatori
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si sono trasformate in frazioni che hanno gli stessi (comuni) denominatori. Resta da aggiungere queste frazioni. Addizionare:
L'aggiunta non si adattava a una riga, quindi abbiamo spostato l'espressione rimanente sulla riga successiva. Questo è consentito in matematica. Quando un'espressione non si adatta a una riga, viene trasferita alla riga successiva ed è necessario inserire un segno di uguale (=) alla fine della prima riga e all'inizio di una nuova riga. Il segno di uguale sulla seconda riga indica che questa è una continuazione dell'espressione che era sulla prima riga.
Passaggio 5. Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, seleziona l'intera parte al suo interno
La nostra risposta è una frazione impropria. Dobbiamo individuarne l'intera parte. Evidenziamo:
Ho una risposta
Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori
Esistono due tipi di sottrazione di frazioni:
- Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori
- Sottrazione di frazioni con denominatori diversi
Per prima cosa, impariamo a sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. Tutto è semplice qui. Per sottrarre un altro da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore.
Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione . Per risolvere questo esempio è necessario sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore. Facciamolo:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in quattro parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:
Esempio 2 Trova il valore dell'espressione.
Ancora una volta, dal numeratore della prima frazione, sottrarre il numeratore della seconda frazione e lasciare invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in tre parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:
Esempio 3 Trova il valore di un'espressione 
Questo esempio è risolto esattamente allo stesso modo dei precedenti. Dal numeratore della prima frazione, devi sottrarre i numeratori delle restanti frazioni:
Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato nel sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:
- Per sottrarre un altro da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore;
- Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, è necessario selezionare l'intera parte al suo interno.
Sottrazione di frazioni con denominatori diversi
Ad esempio, una frazione può essere sottratta da una frazione, poiché queste frazioni hanno gli stessi denominatori. Ma una frazione non può essere sottratta da una frazione, perché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso (comune) denominatore.
Il denominatore comune si trova secondo lo stesso principio che abbiamo usato quando si sommano frazioni con denominatori diversi. Per prima cosa, trova l'LCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi l'LCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo, che viene scritto sulla prima frazione. Allo stesso modo, l'LCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo, che viene scritto sulla seconda frazione.
Le frazioni vengono quindi moltiplicate per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste operazioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni.
Esempio 1 Trova il valore di un'espressione:
Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi è necessario portarle allo stesso (comune) denominatore.
Innanzitutto, troviamo l'LCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 12
LCM (3 e 4) = 12
Ora torniamo alle frazioni e
Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. Per fare ciò, dividiamo l'LCM per il denominatore della prima frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividiamo 12 per 3, otteniamo 4. Scriviamo i quattro sulla prima frazione:
Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo il LCM per il denominatore della seconda frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Scrivi una tripla sulla seconda frazione:
Ora siamo tutti pronti per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Completiamo questo esempio fino alla fine:
Ho una risposta
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni le pizze.
Questa è la versione dettagliata della soluzione. Essendo a scuola, dovremmo risolvere questo esempio in un modo più breve. Una tale soluzione sarebbe simile a questa:
La riduzione delle frazioni e di un denominatore comune può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Portando queste frazioni a un denominatore comune, otteniamo le frazioni e . Queste frazioni saranno rappresentate dalle stesse tranci di pizza, ma questa volta saranno divise nelle stesse frazioni (ridotte allo stesso denominatore):
Il primo disegno mostra una frazione (otto pezzi su dodici), e la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su dodici). Tagliando tre pezzi da otto pezzi, otteniamo cinque pezzi da dodici. La frazione descrive questi cinque pezzi.
Esempio 2 Trova il valore di un'espressione 
Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi prima portarle allo stesso (comune) denominatore.
Trova l'LCM dei denominatori di queste frazioni.
I denominatori delle frazioni sono i numeri 10, 3 e 5. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Ora troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna frazione. Per fare ciò, dividiamo l'LCM per il denominatore di ciascuna frazione.
Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. LCM è il numero 30 e il denominatore della prima frazione è il numero 10. Dividi 30 per 10, otteniamo il primo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sulla prima frazione:
Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la seconda frazione. Dividi il LCM per il denominatore della seconda frazione. LCM è il numero 30 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 30 per 3, otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 10. Lo scriviamo sulla seconda frazione:
Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la terza frazione. Dividi il LCM per il denominatore della terza frazione. LCM è il numero 30 e il denominatore della terza frazione è il numero 5. Dividi 30 per 5, otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sulla terza frazione:
Ora tutto è pronto per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si sono trasformate in frazioni che hanno gli stessi (comuni) denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Concludiamo questo esempio.
La continuazione dell'esempio non si adatta a una riga, quindi spostiamo la continuazione alla riga successiva. Non dimenticare il segno di uguale (=) sulla nuova riga:
La risposta si è rivelata una frazione corretta, e tutto sembra adattarsi a noi, ma è troppo ingombrante e brutta. Dovremmo renderlo più facile. Cosa si può fare? Puoi ridurre questa frazione.
Per ridurre una frazione, devi dividere il suo numeratore e denominatore per (gcd) i numeri 20 e 30.
Quindi, troviamo il GCD dei numeri 20 e 30:
Ora torniamo al nostro esempio e dividiamo numeratore e denominatore della frazione per il MCD trovato, cioè per 10
Ho una risposta
Moltiplicare una frazione per un numero
Per moltiplicare una frazione per un numero, devi moltiplicare il numeratore della frazione data per questo numero e lasciare lo stesso denominatore.
Esempio 1. Moltiplica la frazione per il numero 1.
Moltiplica il numeratore della frazione per il numero 1
La voce può essere intesa come un'operazione di metà tempo. Ad esempio, se prendi la pizza 1 volta, ottieni la pizza
Dalle leggi della moltiplicazione, sappiamo che se il moltiplicando e il moltiplicatore sono scambiati, il prodotto non cambierà. Se l'espressione è scritta come , il prodotto sarà comunque uguale a . Anche in questo caso, la regola per moltiplicare un intero e una frazione funziona:
Questa voce può essere intesa come occupare metà dell'unità. Ad esempio, se c'è 1 pizza intera e ne prendiamo metà, avremo la pizza:
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione
Moltiplica il numeratore della frazione per 4
La risposta è una frazione impropria. Prendiamone una parte intera:
L'espressione può essere intesa come prendere due quarti 4 volte. Ad esempio, se prendi le pizze 4 volte, ottieni due pizze intere.
E se scambiamo il moltiplicando e il moltiplicatore in alcuni punti, otteniamo l'espressione. Sarà anche uguale a 2. Questa espressione può essere intesa come prendere due pizze da quattro pizze intere:
Moltiplicazione delle frazioni
Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori. Se la risposta è una frazione impropria, è necessario selezionare l'intera parte al suo interno.
Esempio 1 Trova il valore dell'espressione.
Ho una risposta. È auspicabile ridurre questa frazione. La frazione può essere ridotta di 2. Quindi la soluzione finale assumerà la forma seguente:
L'espressione può essere intesa come prendere una pizza da mezza pizza. Diciamo che abbiamo mezza pizza:
Come prendere due terzi di questa metà? Per prima cosa devi dividere questa metà in tre parti uguali:
E prendine due da questi tre pezzi:
Prenderemo la pizza. Ricorda come appare una pizza divisa in tre parti:
Una fetta di questa pizza e le due fette che abbiamo preso avranno le stesse dimensioni:
In altre parole, stiamo parlando della stessa dimensione della pizza. Pertanto, il valore dell'espressione è
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione
Moltiplica il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:
La risposta è una frazione impropria. Prendiamone una parte intera:
Esempio 3 Trova il valore di un'espressione
Moltiplica il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:
La risposta si è rivelata una frazione corretta, ma sarà buona se ridotta. Per ridurre questa frazione, devi dividere il numeratore e il denominatore di questa frazione per il massimo comune divisore (MCD) dei numeri 105 e 450.
Quindi, troviamo il GCD dei numeri 105 e 450:
Ora dividiamo numeratore e denominatore della nostra risposta al MCD che abbiamo ora trovato, cioè per 15
Rappresentazione di un numero intero come frazione
Qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione. Ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come . Da questo, cinque non cambierà il suo significato, poiché l'espressione significa "il numero cinque diviso per uno", e questo, come sai, è uguale a cinque:
Numeri inversi
Ora faremo conoscenza con un argomento molto interessante in matematica. Si chiama "numeri invertiti".
Definizione. Invertire al numeroun è il numero che, moltiplicato perun dà un'unità.
Sostituiamo in questa definizione invece di una variabile un numero 5 e prova a leggere la definizione:
Invertire al numero 5 è il numero che, moltiplicato per 5 dà un'unità.
È possibile trovare un numero che moltiplicato per 5 dia uno? Si scopre che puoi. Rappresentiamo cinque come una frazione:
Quindi moltiplica questa frazione per se stessa, scambiando semplicemente numeratore e denominatore. In altre parole, moltiplichiamo la frazione per se stessa, solo invertita:
Quale sarà il risultato di questo? Se continuiamo a risolvere questo esempio, ne otteniamo uno:
Ciò significa che l'inverso del numero 5 è il numero, poiché moltiplicando 5 per uno si ottiene uno.
Il reciproco può essere trovato anche per qualsiasi altro intero.
Puoi anche trovare il reciproco per qualsiasi altra frazione. Per fare questo, è sufficiente capovolgerlo.
Divisione di una frazione per un numero
Diciamo che abbiamo mezza pizza:
Dividiamolo equamente tra due. Quante pizze riceveranno ciascuna?
Si può notare che dopo aver spaccato metà della pizza si ottengono due pezzi uguali, ognuno dei quali costituisce una pizza. Quindi tutti prendono una pizza.
La divisione delle frazioni viene eseguita utilizzando i reciproci. I reciproci ti consentono di sostituire la divisione con la moltiplicazione.
Per dividere una frazione per un numero, devi moltiplicare questa frazione per il reciproco del divisore.
Usando questa regola, annoteremo la divisione della nostra metà della pizza in due parti.
Quindi, devi dividere la frazione per il numero 2. Qui il dividendo è una frazione e il divisore è 2.
Per dividere una frazione per il numero 2, devi moltiplicare questa frazione per il reciproco del divisore 2. Il reciproco del divisore 2 è una frazione. Quindi devi moltiplicare per
I numeri frazionari ordinari incontrano prima gli scolari della quinta elementare e li accompagnano per tutta la vita, poiché nella vita di tutti i giorni è spesso necessario considerare o utilizzare qualche oggetto non interamente, ma in pezzi separati. L'inizio dello studio di questo argomento - condividi. Le azioni sono parti uguali in cui è suddiviso un oggetto. Del resto, non è sempre possibile esprimere, ad esempio, la lunghezza o il prezzo di un prodotto come un numero intero, bisogna tenere conto di parti o quote di qualsiasi misura. Formato dal verbo "schiacciare" - dividere in parti e avendo radici arabe, nell'VIII secolo la stessa parola "frazione" apparve in russo.
Le espressioni frazionarie sono state a lungo considerate la sezione più difficile della matematica. Nel XVII secolo, quando apparvero i primi libri di testo di matematica, furono chiamati "numeri spezzati", cosa molto difficile da mostrare alla comprensione delle persone.
La forma moderna dei residui frazionari semplici, parti dei quali sono separate precisamente da una linea orizzontale, fu promossa per la prima volta da Fibonacci - Leonardo di Pisa. I suoi scritti sono datati 1202. Ma lo scopo di questo articolo è spiegare in modo semplice e chiaro al lettore come avviene la moltiplicazione di frazioni miste con denominatori diversi.
Moltiplicare frazioni con denominatori diversi
Inizialmente, è necessario determinare varietà di frazioni:
- corretta;
- sbagliato;
- misto.
Successivamente, è necessario ricordare come vengono moltiplicati i numeri frazionari con gli stessi denominatori. La regola stessa di questo processo è facile da formulare indipendentemente: il risultato della moltiplicazione di frazioni semplici con gli stessi denominatori è un'espressione frazionaria, il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori di queste frazioni . Cioè, infatti, il nuovo denominatore è inizialmente il quadrato di uno di quelli esistenti.
Quando si moltiplica frazioni semplici con denominatori diversi per due o più fattori, la regola non cambia:
un/B * C/D = corrente alternata / b*d.
L'unica differenza è che il numero formato sotto la barra frazionaria sarà il prodotto di numeri diversi e, naturalmente, non può essere chiamato il quadrato di un'espressione numerica.
Vale la pena considerare la moltiplicazione di frazioni con denominatori diversi usando esempi:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Gli esempi utilizzano metodi per ridurre le espressioni frazionarie. Puoi ridurre solo i numeri del numeratore con i numeri del denominatore; i fattori adiacenti sopra o sotto la barra frazionaria non possono essere ridotti.
Insieme ai numeri frazionari semplici, c'è il concetto di frazioni miste. Un numero misto è costituito da un numero intero e da una parte frazionaria, ovvero è la somma di questi numeri:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Come funziona la moltiplicazione?
Vengono forniti diversi esempi per la considerazione.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
L'esempio utilizza la moltiplicazione di un numero per parte frazionaria ordinaria, puoi scrivere la regola per questa azione con la formula:
un* B/C = a*b /C.
In effetti, un tale prodotto è la somma di resti frazionari identici e il numero di termini indica questo numero naturale. Caso speciale:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
C'è un'altra opzione per risolvere la moltiplicazione di un numero per un resto frazionario. Devi solo dividere il denominatore per questo numero:
D* e/F = e/f: d.
È utile utilizzare questa tecnica quando il denominatore è diviso per un numero naturale senza resto o, come si suol dire, completamente.
Converti i numeri misti in frazioni improprie e ottieni il prodotto nel modo precedentemente descritto:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Questo esempio implica un modo per rappresentare una frazione mista come una frazione impropria, può anche essere rappresentato come una formula generale:
un BC = a*b+ c / c, dove il denominatore della nuova frazione è formato moltiplicando la parte intera per il denominatore e sommandola al numeratore del resto frazionario originale, e il denominatore rimane lo stesso.
Questo processo funziona anche al contrario. Per selezionare la parte intera e il resto frazionario, è necessario dividere il numeratore di una frazione impropria per il suo denominatore con un "angolo".
Moltiplicazione delle frazioni improprie prodotto nel solito modo. Quando la voce va sotto una singola linea frazionaria, se necessario, è necessario ridurre le frazioni per ridurre i numeri utilizzando questo metodo ed è più facile calcolare il risultato.
Ci sono molti assistenti su Internet per risolvere problemi matematici anche complessi in varie varianti di programma. Un numero sufficiente di tali servizi offre il proprio aiuto nel calcolo della moltiplicazione di frazioni con numeri diversi ai denominatori, i cosiddetti calcolatori online per il calcolo delle frazioni. Sono in grado non solo di moltiplicare, ma anche di eseguire tutte le altre semplici operazioni aritmetiche con frazioni ordinarie e numeri misti. Non è difficile lavorarci, i campi corrispondenti vengono compilati nella pagina del sito, viene selezionato il segno dell'azione matematica e viene premuto il pulsante "calcola". Il programma conta automaticamente.
Il tema delle operazioni aritmetiche con i numeri frazionari è rilevante in tutta l'istruzione degli scolari medi e superiori. Al liceo, non considerano più le specie più semplici, ma espressioni frazionarie intere, ma la conoscenza delle regole di trasformazione e calcolo, ottenuta in precedenza, viene applicata nella sua forma originale. Una conoscenza di base ben appresa dà piena fiducia nella soluzione di successo dei compiti più complessi.
In conclusione, ha senso citare le parole di Lev Tolstoj, che scrisse: «L'uomo è una frazione. Non è in potere dell'uomo aumentare il suo numeratore - i propri meriti, ma chiunque può diminuire il suo denominatore - la sua opinione di sé, e con questa diminuzione avvicinarsi alla sua perfezione.
Ora che abbiamo imparato ad aggiungere e moltiplicare singole frazioni, possiamo considerare strutture più complesse. Ad esempio, cosa succede se in un problema si verificano addizione, sottrazione e moltiplicazione di frazioni?
Prima di tutto, devi convertire tutte le frazioni in quelle improprie. Quindi eseguiamo in sequenza le azioni richieste, nello stesso ordine dei numeri ordinari. Vale a dire:
- Innanzitutto, viene eseguita l'esponenziazione: sbarazzarsi di tutte le espressioni contenenti esponenti;
- Quindi - divisione e moltiplicazione;
- L'ultimo passaggio è l'addizione e la sottrazione.
Naturalmente, se ci sono parentesi nell'espressione, l'ordine delle azioni cambia: tutto ciò che si trova all'interno delle parentesi deve essere considerato prima. E ricorda le frazioni improprie: devi selezionare l'intera parte solo quando tutte le altre azioni sono già state completate.
Traduciamo tutte le frazioni dalla prima espressione in quelle improprie, quindi eseguiamo le seguenti azioni:
Ora troviamo il valore della seconda espressione. Non ci sono frazioni con una parte intera, ma ci sono parentesi, quindi eseguiamo prima l'addizione e solo dopo la divisione. Nota che 14 = 7 2 . Quindi:
Infine, consideriamo il terzo esempio. Ci sono parentesi e un grado qui: è meglio contarli separatamente. Dato che 9 = 3 3 , abbiamo:
Presta attenzione all'ultimo esempio. Per elevare una frazione a potenza, devi elevare separatamente il numeratore a questa potenza e separatamente il denominatore.
Puoi decidere diversamente. Se ricordiamo la definizione del grado, il problema si riduce alla consueta moltiplicazione delle frazioni:
Frazioni a più piani
Finora abbiamo considerato solo le frazioni "pure", quando numeratore e denominatore sono numeri ordinari. Ciò è coerente con la definizione di frazione numerica data nella prima lezione.
Ma cosa succede se al numeratore o al denominatore viene inserito un oggetto più complesso? Ad esempio, un'altra frazione numerica? Tali costruzioni si verificano abbastanza spesso, specialmente quando si lavora con espressioni lunghe. Qui ci sono un paio di esempi:
C'è solo una regola per lavorare con le frazioni multipiano: devi sbarazzartene immediatamente. Rimuovere i pavimenti "extra" è abbastanza semplice, se si ricorda che per barra frazionata si intende l'operazione di divisione standard. Pertanto, qualsiasi frazione può essere riscritta come segue:
Usando questo fatto e seguendo la procedura, possiamo facilmente ridurre qualsiasi frazione multipiano a una normale. Dai un'occhiata agli esempi:
Un compito. Converti le frazioni a più piani in quelle comuni:
In ogni caso, riscriviamo la frazione principale, sostituendo la linea di divisione con un segno di divisione. Ricorda inoltre che qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione con denominatore 1. Cioè, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Noi abbiamo:
Nell'ultimo esempio, le frazioni sono state ridotte prima della moltiplicazione finale.
Le specifiche del lavoro con le frazioni multipiano
C'è una sottigliezza nelle frazioni multipiano che deve essere sempre ricordata, altrimenti puoi ottenere la risposta sbagliata, anche se tutti i calcoli erano corretti. Guarda:
- Nel numeratore c'è un numero separato 7 e nel denominatore - la frazione 12/5;
- Il numeratore è la frazione 7/12 e il denominatore è il singolo numero 5.
Quindi, per un record, abbiamo ottenuto due interpretazioni completamente diverse. Se contate, anche le risposte saranno diverse:
Per garantire che il record venga sempre letto in modo univoco, utilizzare una semplice regola: la linea di divisione della frazione principale deve essere più lunga della linea annidata. Preferibilmente più volte.
Se segui questa regola, le frazioni sopra dovrebbero essere scritte come segue:
Sì, probabilmente è brutto e occupa troppo spazio. Ma conterai correttamente. Infine, un paio di esempi in cui si verificano realmente frazioni multilivello:
Un compito. Trova i valori delle espressioni:
Quindi, lavoriamo con il primo esempio. Convertiamo tutte le frazioni in improprie, quindi eseguiamo le operazioni di addizione e divisione:
Facciamo lo stesso con il secondo esempio. Converti tutte le frazioni in improprie ed esegui le operazioni richieste. Per non annoiare il lettore, tralascio alcuni calcoli ovvi. Abbiamo:
Poiché il numeratore e il denominatore delle frazioni principali contengono somme, la regola per la scrittura delle frazioni multipiano viene osservata automaticamente. Inoltre, nell'ultimo esempio, abbiamo volutamente lasciato il numero 46/1 sotto forma di frazione per eseguire la divisione.
Noto anche che in entrambi gli esempi, la barra frazionaria sostituisce effettivamente le parentesi: prima di tutto, abbiamo trovato la somma, e solo allora - il quoziente.
Qualcuno dirà che il passaggio alle frazioni improprie nel secondo esempio è stato chiaramente ridondante. Forse è così. Ma in questo modo ci assicuriamo contro gli errori, perché la prossima volta l'esempio potrebbe rivelarsi molto più complicato. Scegli tu stesso cosa è più importante: velocità o affidabilità.
Con le frazioni, puoi eseguire tutte le azioni, inclusa la divisione. Questo articolo mostra la divisione delle frazioni ordinarie. Verranno fornite definizioni, verranno presi in considerazione esempi. Soffermiamoci sulla divisione delle frazioni per numeri naturali e viceversa. Si terrà conto della divisione di una frazione ordinaria per un numero misto.
Divisione delle frazioni ordinarie
La divisione è l'inverso della moltiplicazione. Quando si divide, l'incognita è al prodotto noto e un altro fattore, in cui il significato dato è conservato con frazioni ordinarie.
Se è necessario dividere la frazione ordinaria a b per c d, allora per determinare tale numero è necessario moltiplicare per il divisore c d, questo alla fine darà il dividendo a b. Prendiamo un numero e scriviamolo a b · d c , dove d c è il reciproco di c d numero. Le uguaglianze possono essere scritte usando le proprietà della moltiplicazione, ovvero: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , dove l'espressione a b d c è il quoziente della divisione di a b per c d .
Da qui otteniamo e formuliamo la regola per la divisione delle frazioni ordinarie:
Definizione 1
Per dividere una frazione ordinaria a b per c d, è necessario moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.
Scriviamo la regola come un'espressione: a b: c d = a b d c
Le regole di divisione si riducono a moltiplicazione. Per attenersi ad esso, devi essere esperto nell'esecuzione della moltiplicazione di frazioni ordinarie.
Passiamo alla divisione delle frazioni ordinarie.
Esempio 1
Eseguire la divisione 9 7 per 5 3 . Scrivi il risultato come frazione.
Soluzione
Il numero 5 3 è il reciproco di 3 5 . Devi usare la regola per dividere le frazioni ordinarie. Scriviamo questa espressione come segue: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
Risposta: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Quando riduci le frazioni, dovresti evidenziare l'intera parte se il numeratore è maggiore del denominatore.
Esempio 2
Dividi 8 15: 24 65 . Scrivi la risposta come una frazione.
Soluzione
La soluzione è passare dalla divisione alla moltiplicazione. Lo scriviamo in questa forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
È necessario effettuare una riduzione e questo viene fatto come segue: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Selezioniamo la parte intera e otteniamo 13 9 = 1 4 9 .
Risposta: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Divisione di una frazione straordinaria per un numero naturale
Usiamo la regola di dividere una frazione per un numero naturale: per dividere a b per un numero naturale n, devi moltiplicare solo il denominatore per n. Da qui otteniamo l'espressione: a b: n = a b · n .
La regola di divisione è una conseguenza della regola di moltiplicazione. Pertanto, rappresentare un numero naturale come frazione darà un'uguaglianza di questo tipo: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Considera questa divisione di una frazione per un numero.
Esempio 3
Dividi la frazione 1645 per il numero 12.
Soluzione
Applica la regola per dividere una frazione per un numero. Otteniamo un'espressione come 16 45: 12 = 16 45 12 .
Riduciamo la frazione. Otteniamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
Risposta: 16 45: 12 = 4 135 .
Divisione di un numero naturale per una frazione comune
La regola di divisione è simile di la regola di dividere un numero naturale per una frazione ordinaria: per dividere un numero naturale n per un ordinario a b occorre moltiplicare il numero n per il reciproco della frazione a b .
Sulla base della regola, abbiamo n: a b \u003d n b a, e grazie alla regola di moltiplicare un numero naturale per una frazione ordinaria, otteniamo la nostra espressione nella forma n: a b \u003d n b a. È necessario considerare questa divisione con un esempio.
Esempio 4
Dividi 25 per 15 28 .
Soluzione
Dobbiamo passare dalla divisione alla moltiplicazione. Scriviamo sotto forma di un'espressione 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Riduciamo la frazione e otteniamo il risultato sotto forma di frazione 46 2 3 .
Risposta: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Divisione di una frazione comune per un numero misto
Quando dividi una frazione ordinaria per un numero misto, puoi facilmente brillare dividendo le frazioni ordinarie. Devi convertire un numero misto in una frazione impropria.
Esempio 5
Dividi la frazione 35 16 per 3 1 8 .
Soluzione
Poiché 3 1 8 è un numero misto, rappresentiamolo come una frazione impropria. Quindi otteniamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Ora dividiamo le frazioni. Otteniamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Risposta: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
La divisione di un numero misto viene eseguita allo stesso modo dei numeri ordinari.
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§ 87. Aggiunta di frazioni.
L'aggiunta di frazioni ha molte somiglianze con l'aggiunta di interi. L'addizione di frazioni è un'azione consistente nel fatto che più numeri dati (termini) sono combinati in un numero (somma), che contiene tutte le unità e le frazioni di unità di termini.
Considereremo tre casi a turno:
1. Somma di frazioni aventi gli stessi denominatori.
2. Somma di frazioni con denominatori diversi.
3. Aggiunta di numeri misti.
1. Somma di frazioni aventi gli stessi denominatori.
Considera un esempio: 1/5 + 2/5.
Prendi il segmento AB (Fig. 17), prendilo come un'unità e dividilo in 5 parti uguali, quindi la parte AC di questo segmento sarà uguale a 1/5 del segmento AB e la parte dello stesso segmento CD sarà uguale a 2/5 AB.
Si vede dal disegno che se prendiamo il segmento AD, allora sarà uguale a 3/5 AB; ma il segmento AD è precisamente la somma dei segmenti AC e CD. Quindi, possiamo scrivere:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Considerando questi termini e l'importo risultante, vediamo che il numeratore della somma è stato ottenuto sommando i numeratori dei termini e il denominatore è rimasto invariato.
Da ciò otteniamo la seguente regola: Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.
Considera un esempio:
2. Somma di frazioni con denominatori diversi.
Aggiungiamo le frazioni: 3/4 + 3/8 Per prima cosa devono essere ridotte al minimo comune denominatore:
Non è stato possibile scrivere il collegamento intermedio 6/8 + 3/8; lo abbiamo scritto qui per maggiore chiarezza.
Quindi, per sommare frazioni con denominatori diversi, devi prima portarle al minimo comune denominatore, sommare i loro numeratori e firmare il comune denominatore.
Considera un esempio (scriveremo ulteriori fattori sulle frazioni corrispondenti):
3. Aggiunta di numeri misti.
Aggiungiamo i numeri: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Portiamo prima le parti frazionarie dei nostri numeri a un denominatore comune e riscriviamole di nuovo:
Ora aggiungi le parti intera e frazionaria in sequenza:
§ 88. Sottrazione di frazioni.
La sottrazione di frazioni è definita allo stesso modo della sottrazione di numeri interi. Si tratta di un'azione mediante la quale, data la somma di due termini e di uno di essi, si trova un altro termine. Consideriamo tre casi a turno:
1. Sottrazione di frazioni aventi gli stessi denominatori.
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
3. Sottrazione di numeri misti.
1. Sottrazione di frazioni aventi gli stessi denominatori.
Considera un esempio:
13 / 15 - 4 / 15
Prendiamo il segmento AB (Fig. 18), prendiamolo come unità e dividiamolo in 15 parti uguali; quindi la parte AC di questo segmento sarà 1/15 di AB e la parte AD dello stesso segmento corrisponderà a 13/15 AB. Mettiamo da parte un altro segmento ED, pari a 4/15 AB.
Dobbiamo sottrarre 15/4 dal 15/13. Nel disegno ciò significa che il segmento ED deve essere sottratto dal segmento AD. Di conseguenza, rimarrà il segmento AE, che è 9/15 del segmento AB. Quindi possiamo scrivere:
L'esempio che abbiamo fatto mostra che il numeratore della differenza è stato ottenuto sottraendo i numeratori e il denominatore è rimasto lo stesso.
Pertanto, per sottrarre frazioni con gli stessi denominatori, è necessario sottrarre il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo e lasciare lo stesso denominatore.
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
Esempio. 3/4 - 5/8
Innanzitutto, riduciamo queste frazioni al minimo comune denominatore:
Il collegamento intermedio 6 / 8 - 5 / 8 è scritto qui per chiarezza, ma può essere saltato in futuro.
Quindi, per sottrarre una frazione da una frazione, devi prima portarli al minimo comune denominatore, quindi sottrarre il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo e firmare il comune denominatore sotto la loro differenza.
Considera un esempio:
3. Sottrazione di numeri misti.
Esempio. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Portiamo le parti frazionarie del minuendo e del sottraendo al minimo comune denominatore:
Abbiamo sottratto un intero da un intero e una frazione da una frazione. Ma ci sono casi in cui la parte frazionaria del sottraendo è maggiore della parte frazionaria del minuendo. In questi casi, è necessario prendere un'unità dalla parte intera del ridotto, dividerla in quelle parti in cui è espressa la parte frazionaria e aggiungerla alla parte frazionaria del ridotto. E quindi la sottrazione verrà eseguita allo stesso modo dell'esempio precedente:
§ 89. Moltiplicazione delle frazioni.
Quando studieremo la moltiplicazione delle frazioni, considereremo le seguenti domande:
1. Moltiplicare una frazione per un intero.
2. Trovare una frazione di un dato numero.
3. Moltiplicazione di un numero intero per una frazione.
4. Moltiplicare una frazione per una frazione.
5. Moltiplicazione di numeri misti.
6. Il concetto di interesse.
7. Trovare le percentuali di un dato numero. Consideriamoli in sequenza.
1. Moltiplicare una frazione per un intero.
Moltiplicare una frazione per un intero ha lo stesso significato di moltiplicare un intero per un intero. Moltiplicare una frazione (moltiplicando) per un intero (moltiplicatore) significa comporre la somma di termini identici, in cui ogni termine è uguale al moltiplicando, e il numero di termini è uguale al moltiplicatore.
Quindi, se devi moltiplicare 1/9 per 7, puoi farlo in questo modo:
Abbiamo ottenuto facilmente il risultato, poiché l'azione è stata ridotta alla somma di frazioni con gli stessi denominatori. Di conseguenza,
L'esame di questa azione mostra che moltiplicare una frazione per un intero equivale ad aumentare questa frazione tante volte quante sono le unità nell'intero. E poiché l'aumento della frazione si ottiene o aumentando il suo numeratore
o diminuendo il suo denominatore 
, allora possiamo moltiplicare il numeratore per l'intero o dividere il denominatore per esso, se tale divisione è possibile.
Da qui otteniamo la regola:
Per moltiplicare una frazione per un intero, devi moltiplicare il numeratore per questo intero e lasciare lo stesso denominatore o, se possibile, dividere il denominatore per questo numero, lasciando invariato il numeratore.
Durante la moltiplicazione, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
2. Trovare una frazione di un dato numero. Ci sono molti problemi in cui devi trovare, o calcolare, una parte di un dato numero. La differenza tra questi compiti e altri è che danno il numero di alcuni oggetti o unità di misura e devi trovare una parte di questo numero, che è anche qui indicato da una certa frazione. Per facilitare la comprensione, daremo prima degli esempi di tali problemi, quindi introdurremo il metodo per risolverli.
Compito 1. Avevo 60 rubli; 1/3 di questo denaro l'ho speso per l'acquisto di libri. Quanto costavano i libri?
Compito 2. Il treno deve coprire la distanza tra le città A e B, pari a 300 km. Ha già percorso i 2/3 di quella distanza. Quanti chilometri è questo?
Compito 3. Ci sono 400 case nel villaggio, 3/4 sono in mattoni, il resto sono in legno. Quante sono le case in muratura?
Ecco alcuni dei tanti problemi che dobbiamo affrontare per trovare una frazione di un dato numero. Di solito sono chiamati problemi per trovare una frazione di un dato numero.
Soluzione del problema 1. Da 60 rubli. ne ho spesi 1/3 in libri; Quindi, per trovare il costo dei libri, devi dividere il numero 60 per 3:
Soluzione del problema 2. Il significato del problema è che devi trovare 2/3 di 300 km. Calcola il primo 1/3 di 300; questo si ottiene dividendo 300 km per 3:
300: 3 = 100 (ovvero 1/3 di 300).
Per trovare due terzi di 300, devi raddoppiare il quoziente risultante, ovvero moltiplicare per 2:
100 x 2 = 200 (ovvero 2/3 di 300).
Soluzione del problema 3. Qui è necessario determinare il numero di case di mattoni, che sono 3/4 di 400. Troviamo prima 1/4 di 400,
400: 4 = 100 (ovvero 1/4 di 400).
Per calcolare tre quarti di 400, il quoziente risultante deve essere triplicato, cioè moltiplicato per 3:
100 x 3 = 300 (ovvero 3/4 di 400).
Dalla soluzione di questi problemi possiamo ricavare la seguente regola:
Per trovare il valore di una frazione di un dato numero, devi dividere questo numero per il denominatore della frazione e moltiplicare il quoziente risultante per il suo numeratore.
3. Moltiplicazione di un numero intero per una frazione.
In precedenza (§ 26) è stato stabilito che la moltiplicazione di numeri interi dovrebbe essere intesa come l'aggiunta di termini identici (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). In questo paragrafo (comma 1) si è stabilito che moltiplicare una frazione per un intero significa trovare la somma di termini identici uguale a tale frazione.
In entrambi i casi, la moltiplicazione consisteva nel trovare la somma di termini identici.
Passiamo ora alla moltiplicazione di un numero intero per una frazione. Qui ci incontreremo con tale, ad esempio, moltiplicazione: 9 2 / 3. È abbastanza ovvio che la precedente definizione di moltiplicazione non si applica a questo caso. Ciò è evidente dal fatto che non possiamo sostituire tale moltiplicazione aggiungendo numeri uguali.
Per questo, dovremo dare una nuova definizione di moltiplicazione, cioè, in altre parole, rispondere alla domanda su cosa si dovrebbe intendere per moltiplicazione per una frazione, come dovrebbe essere intesa questa azione.
Il significato di moltiplicare un intero per una frazione è chiaro dalla seguente definizione: moltiplicare un intero (moltiplicatore) per una frazione (moltiplicatore) significa trovare questa frazione del moltiplicatore.
Vale a dire, moltiplicare 9 per 2/3 significa trovare 2/3 di nove unità. Nel paragrafo precedente tali problemi sono stati risolti; quindi è facile capire che finiamo con 6.
Ma ora sorge una domanda interessante e importante: perché azioni apparentemente diverse come trovare la somma di numeri uguali e trovare la frazione di un numero sono chiamate la stessa parola "moltiplicazione" in aritmetica?
Questo accade perché l'azione precedente (ripetendo più volte il numero con i termini) e l'azione nuova (trovare la frazione di un numero) danno una risposta a domande omogenee. Ciò significa che procediamo qui dalle considerazioni che domande o compiti omogenei sono risolti da una stessa azione.
Per capirlo, considera il seguente problema: “1 m di stoffa costa 50 rubli. Quanto costeranno 4 m di tale stoffa?
Questo problema viene risolto moltiplicando il numero di rubli (50) per il numero di metri (4), ovvero 50 x 4 = 200 (rubli).
Prendiamo lo stesso problema, ma in esso la quantità di stoffa sarà espressa come numero frazionario: “1 m di stoffa costa 50 rubli. Quanto costeranno 3/4 m di tale telo?
Questo problema deve anche essere risolto moltiplicando il numero di rubli (50) per il numero di metri (3/4).
Puoi anche cambiare i numeri in esso più volte senza cambiare il significato del problema, ad esempio prendi 9/10 mo 2 3/10 m, ecc.
Poiché questi problemi hanno lo stesso contenuto e differiscono solo per i numeri, chiamiamo le azioni utilizzate per risolverli con la stessa parola: moltiplicazione.
Come si moltiplica un numero intero per una frazione?
Prendiamo i numeri incontrati nell'ultimo problema:
Secondo la definizione, dobbiamo trovare 3/4 di 50. Prima troviamo 1/4 di 50, e poi 3/4.
1/4 di 50 è 50/4;
3/4 di 50 è .
Di conseguenza.
Considera un altro esempio: 12 5 / 8 = ?
1/8 di 12 è 12/8,
5/8 del numero 12 è .
Di conseguenza,
Da qui otteniamo la regola:
Per moltiplicare un intero per una frazione, devi moltiplicare l'intero per il numeratore della frazione e fare di questo prodotto il numeratore e firmare il denominatore della frazione data come denominatore.
Scriviamo questa regola usando le lettere:
Per rendere perfettamente chiara questa regola, va ricordato che una frazione può essere considerata un quoziente. Pertanto, è utile confrontare la regola trovata con la regola per moltiplicare un numero per un quoziente, che è stata esposta nel § 38
Va ricordato che prima di eseguire la moltiplicazione, dovresti fare (se possibile) tagli, Per esempio:
4. Moltiplicare una frazione per una frazione. Moltiplicare una frazione per una frazione ha lo stesso significato di moltiplicare un intero per una frazione, ovvero quando si moltiplica una frazione per una frazione, è necessario trovare la frazione nel moltiplicatore dalla prima frazione (moltiplicatore).
Vale a dire, moltiplicare 3/4 per 1/2 (metà) significa trovare la metà di 3/4.
Come moltiplichi una frazione per una frazione?
Facciamo un esempio: 3/4 volte 5/7. Ciò significa che devi trovare 5/7 da 3/4. Trova prima 1/7 di 3/4 e poi 5/7
1/7 di 3/4 sarebbe espresso in questo modo:
5 / 7 i numeri 3 / 4 saranno espressi come segue:
In questo modo,
Un altro esempio: 5/8 per 4/9.
1/9 di 5/8 è ,
4/9 numeri 5/8 sono .
In questo modo, 
Da questi esempi si può dedurre la seguente regola:
Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo prodotto il denominatore del prodotto.
Questa regola può essere scritta in generale come segue:
Quando si moltiplica, è necessario effettuare (se possibile) riduzioni. Considera esempi:
5. Moltiplicazione di numeri misti. Poiché i numeri misti possono essere facilmente sostituiti da frazioni improprie, questa circostanza viene solitamente utilizzata quando si moltiplicano numeri misti. Ciò significa che nei casi in cui il moltiplicando, o il moltiplicatore, o entrambi i fattori sono espressi come numeri misti, vengono sostituiti da frazioni improprie. Moltiplica, ad esempio, numeri misti: 2 1/2 e 3 1/5. Trasformiamo ciascuno di essi in una frazione impropria e poi moltiplichiamo le frazioni risultanti secondo la regola di moltiplicare una frazione per una frazione:
Regola. Per moltiplicare i numeri misti, devi prima convertirli in frazioni improprie e poi moltiplicarli secondo la regola della moltiplicazione di una frazione per una frazione.
Nota. Se uno dei fattori è un intero, la moltiplicazione può essere eseguita in base alla legge di distribuzione come segue:
6. Il concetto di interesse. Quando risolviamo problemi e quando eseguiamo vari calcoli pratici, utilizziamo tutti i tipi di frazioni. Ma bisogna tenere a mente che molte quantità non ammettono per esse suddivisioni, ma naturali. Ad esempio, puoi prendere un centesimo (1/100) di rublo, sarà un centesimo, due centesimi sono 2 copechi, tre centesimi sono 3 copechi. Puoi prendere 1/10 del rublo, sarà "10 copechi, o un centesimo. Puoi prendere un quarto del rublo, cioè 25 copechi, mezzo rublo, cioè 50 copechi (cinquanta copechi). Ma praticamente non indossano non prendere, ad esempio, 2/7 rubli perché il rublo non è diviso in settimi.
L'unità di misura del peso, ovvero il chilogrammo, consente prima di tutto suddivisioni decimali, ad esempio 1/10 kg o 100 g e frazioni di chilogrammo come 1/6, 1/11, 1/ 13 sono rari.
In generale le nostre misure (metriche) sono decimali e consentono suddivisioni decimali.
Tuttavia, va notato che è estremamente utile e conveniente in un'ampia varietà di casi utilizzare lo stesso metodo (uniforme) di suddivisione delle quantità. Molti anni di esperienza hanno dimostrato che una divisione così ben giustificata è la divisione dei "centesimi". Consideriamo alcuni esempi relativi alle aree più diverse della pratica umana.
1. Il prezzo dei libri è diminuito di 12/100 rispetto al prezzo precedente.
Esempio. Il prezzo precedente del libro è di 10 rubli. È scesa di 1 rublo. 20 kop.
2. Le casse di risparmio versano durante l'anno ai depositanti 2/100 dell'importo che viene messo a risparmio.
Esempio. 500 rubli vengono messi alla cassa, il reddito di questo importo per l'anno è di 10 rubli.
3. Il numero di diplomati di una scuola era 5/100 del numero totale degli studenti.
ESEMPIO Solo 1.200 studenti hanno studiato nella scuola, 60 dei quali si sono diplomati.
Il centesimo di numero è chiamato percentuale..
La parola "per cento" è presa in prestito dalla lingua latina e la sua radice "centesimi" significa cento. Insieme alla preposizione (pro centum), questa parola significa "per cento". Il significato di questa espressione deriva dal fatto che inizialmente nell'antica Roma l'interesse era il denaro che il debitore pagava al prestatore "per ogni cento". La parola "cent" si sente in parole così familiari: centner (cento chilogrammi), centimetro (si dice centimetro).
Ad esempio, invece di dire che l'impianto ha prodotto 1/100 di tutti i prodotti da esso prodotti nell'ultimo mese, diremo questo: l'impianto ha prodotto l'uno per cento degli scarti nell'ultimo mese. Invece di dire: l'impianto ha prodotto 4/100 prodotti in più rispetto al piano stabilito, diremo: lo stabilimento ha superato il piano del 4 per cento.
Gli esempi di cui sopra possono essere espressi diversamente:
1. Il prezzo dei libri è diminuito del 12 per cento rispetto al prezzo precedente.
2. Le casse di risparmio pagano ai depositanti il 2 per cento all'anno dell'importo messo a risparmio.
3. Il numero di diplomati di una scuola era il 5 per cento del numero di tutti gli studenti della scuola.
Per abbreviare la lettera, è consuetudine scrivere il segno% al posto della parola "percentuale".
Tuttavia, va ricordato che il segno % di solito non è scritto nei calcoli, può essere scritto nella dichiarazione del problema e nel risultato finale. Quando si eseguono calcoli, è necessario scrivere una frazione con denominatore 100 anziché un numero intero con questa icona.
Devi essere in grado di sostituire un numero intero con l'icona specificata con una frazione con denominatore di 100:
Al contrario, è necessario abituarsi a scrivere un numero intero con l'icona indicata anziché una frazione con denominatore 100:
7. Trovare le percentuali di un dato numero.
Compito 1. La scuola ha ricevuto 200 metri cubi. m di legna da ardere, con legna da ardere di betulla che rappresenta il 30%. Quanto legno di betulla c'era?
Il significato di questo problema è che la legna da ardere di betulla era solo una parte della legna da ardere consegnata alla scuola e questa parte è espressa come una frazione di 30/100. Quindi, ci troviamo di fronte al compito di trovare una frazione di un numero. Per risolverlo, dobbiamo moltiplicare 200 per 30/100 (le attività per trovare la frazione di un numero vengono risolte moltiplicando un numero per una frazione).
Quindi il 30% di 200 equivale a 60.
La frazione 30/100, incontrata in questo problema, consente una riduzione di 10. Sarebbe possibile eseguire questa riduzione fin dall'inizio; la soluzione al problema non cambierebbe.
Compito 2. Nel campo c'erano 300 bambini di diverse età. I bambini di 11 anni erano il 21%, i bambini di 12 anni il 61% e infine i tredicenni il 18%. Quanti bambini di ogni età c'erano nel campo?
In questo problema, è necessario eseguire tre calcoli, ovvero trovare successivamente il numero di bambini di 11 anni, quindi di 12 anni e infine di 13 anni.
Quindi, qui sarà necessario trovare una frazione di un numero tre volte. Facciamolo:
1) Quanti bambini avevano 11 anni?
2) Quanti bambini avevano 12 anni?
3) Quanti bambini avevano 13 anni?
Dopo aver risolto il problema, è utile sommare i numeri trovati; la loro somma dovrebbe essere 300:
63 + 183 + 54 = 300
Dovresti anche prestare attenzione al fatto che la somma delle percentuali date nella condizione del problema è 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ciò suggerisce che il numero totale di bambini nel campo è stato considerato pari al 100%.
3 a da cha 3. Il lavoratore riceveva 1.200 rubli al mese. Di questi ha speso il 65% in vitto, il 6% in appartamento e riscaldamento, il 4% in gas, luce e radio, il 10% in bisogni culturali e il 15% ha risparmiato. Quanti soldi sono stati spesi per i bisogni indicati nell'attività?
Per risolvere questo problema, devi trovare una frazione del numero 1.200 5 volte.
1) Quanti soldi vengono spesi per il cibo? L'attività dice che questa spesa è il 65% di tutti i guadagni, ovvero 65/100 del numero 1.200. Facciamo il calcolo:
2) Quanti soldi sono stati pagati per un appartamento con riscaldamento? Discutendo come il precedente, arriviamo al seguente calcolo:
3) Quanti soldi hai pagato per gas, luce e radio?
4) Quanti soldi vengono spesi per i bisogni culturali?
5) Quanti soldi ha risparmiato il lavoratore?
Per la verifica, è utile aggiungere i numeri che si trovano in queste 5 domande. L'importo dovrebbe essere di 1.200 rubli. Tutti i guadagni sono presi come 100%, che è facile da controllare sommando le percentuali fornite nella dichiarazione del problema.
Abbiamo risolto tre problemi. Nonostante questi compiti riguardassero cose diverse (consegna della legna da ardere per la scuola, il numero di bambini di età diverse, le spese del lavoratore), sono stati risolti allo stesso modo. Questo è successo perché in tutte le attività era necessario trovare una piccola percentuale dei numeri dati.
§ 90. Divisione delle frazioni.
Quando studiamo la divisione delle frazioni, considereremo le seguenti domande:
1. Dividi un intero per un intero.
2. Divisione di una frazione per un intero
3. Divisione di un intero per una frazione.
4. Divisione di una frazione per una frazione.
5. Divisione dei numeri misti.
6. Trovare un numero data la sua frazione.
7. Trovare un numero in base alla sua percentuale.
Consideriamoli in sequenza.
1. Dividi un intero per un intero.
Come indicato nella sezione sugli interi, la divisione è l'azione consistente nel fatto che, dato il prodotto di due fattori (il dividendo) e uno di questi fattori (il divisore), si trova un altro fattore.
La divisione di un intero per un intero che abbiamo considerato nel dipartimento degli interi. Abbiamo incontrato due casi di divisione: divisione senza resto, o "interamente" (150: 10 = 15), e divisione con resto (100: 9 = 11 e 1 nel resto). Possiamo quindi dire che nel regno degli interi la divisione esatta non è sempre possibile, perché il dividendo non è sempre il prodotto del divisore e dell'intero. Dopo l'introduzione della moltiplicazione per una frazione, possiamo considerare possibile ogni caso di divisione di interi (è esclusa solo la divisione per zero).
Ad esempio, dividere 7 per 12 significa trovare un numero il cui prodotto per 12 sarebbe 7. Questo numero è la frazione 7/12 perché 7/12 12 = 7. Un altro esempio: 14: 25 = 14/25 perché 25/14 25 = 14.
Quindi, per dividere un intero per un intero, devi fare una frazione il cui numeratore è uguale al dividendo e il denominatore è il divisore.
2. Divisione di una frazione per un intero.
Dividi la frazione 6 / 7 per 3. Secondo la definizione di divisione data sopra, abbiamo qui il prodotto (6 / 7) e uno dei fattori (3); è necessario trovare un tale secondo fattore che, moltiplicato per 3, dia al prodotto dato 6 / 7. Ovviamente, dovrebbe essere tre volte più piccolo di questo prodotto. Ciò significa che il compito prefissato era quello di ridurre di 3 volte la frazione 6/7.
Sappiamo già che la riduzione di una frazione può essere fatta sia diminuendo il suo numeratore, sia aumentando il suo denominatore. Pertanto, puoi scrivere:
In questo caso il numeratore 6 è divisibile per 3, quindi il numeratore va ridotto di 3 volte.
Facciamo un altro esempio: 5 / 8 diviso per 2. Qui il numeratore 5 non è divisibile per 2, il che significa che il denominatore dovrà essere moltiplicato per questo numero:
Sulla base di ciò, possiamo enunciare la regola: Per dividere una frazione per un intero, devi dividere il numeratore della frazione per quel numero intero(se possibile), lasciando lo stesso denominatore, oppure moltiplicare il denominatore della frazione per questo numero, lasciando lo stesso numeratore.
3. Divisione di un intero per una frazione.
Sia richiesto di dividere 5 per 1 / 2, cioè trovare un numero che, moltiplicato per 1 / 2, dia il prodotto 5. Ovviamente questo numero deve essere maggiore di 5, poiché 1 / 2 è una frazione propria, e quando si moltiplica un numero per una frazione propria, il prodotto deve essere minore del moltiplicando. Per renderlo più chiaro, scriviamo le nostre azioni come segue: 5: 1 / 2 = X , quindi x 1 / 2 \u003d 5.
Dobbiamo trovare un tale numero X , che moltiplicato per 1/2 darebbe 5. Poiché moltiplicare un certo numero per 1/2 significa trovare 1/2 di questo numero, quindi, 1/2 del numero sconosciuto X è 5 e il numero intero X il doppio, ovvero 5 2 \u003d 10.
Quindi 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Controlliamo: 
Consideriamo un altro esempio. Sia richiesto di dividere 6 per 2/3. Proviamo prima a trovare il risultato desiderato usando il disegno (Fig. 19).
Fig.19
Disegna un segmento AB, uguale a 6 di alcune unità, e dividi ciascuna unità in 3 parti uguali. In ogni unità, tre terzi (3 / 3) nell'intero segmento AB è 6 volte più grande, cioè e.18/3. Colleghiamo con l'aiuto di piccole parentesi 18 segmenti ottenuti da 2; Ci saranno solo 9 segmenti. Ciò significa che la frazione 2/3 è contenuta in b unità 9 volte, o, in altre parole, la frazione 2/3 è 9 volte inferiore a 6 unità intere. Di conseguenza,
Come ottenere questo risultato senza un disegno usando solo calcoli? Discuteremo come segue: è necessario dividere 6 per 2 / 3, cioè è necessario rispondere alla domanda, quante volte 2 / 3 è contenuto in 6. Scopriamo prima: quante volte è 1 / 3 contenuto in 6? In un'intera unità - 3 terzi e in 6 unità - 6 volte di più, ovvero 18 terzi; per trovare questo numero dobbiamo moltiplicare 6 per 3. Quindi, 1/3 è contenuto in b unità 18 volte, e 2/3 è contenuto in b non 18 volte, ma la metà delle volte, cioè 18: 2 = 9. Pertanto, dividendo 6 per 2/3 abbiamo fatto quanto segue:
Da qui otteniamo la regola per dividere un intero per una frazione. Per dividere un intero per una frazione, devi moltiplicare questo intero per il denominatore della frazione data e, facendo di questo prodotto il numeratore, dividerlo per il numeratore della frazione data.
Scriviamo la regola usando le lettere:
Per rendere perfettamente chiara questa regola, va ricordato che una frazione può essere considerata un quoziente. Pertanto, è utile confrontare la regola trovata con la regola per dividere un numero per un quoziente, che è stata esposta nel § 38. Si noti che la stessa formula è stata ottenuta lì.
Durante la divisione, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
4. Divisione di una frazione per una frazione.
Sia richiesto di dividere 3/4 per 3/8. Cosa indicherà il numero che si otterrà a seguito della divisione? Risponderà alla domanda quante volte la frazione 3/8 è contenuta nella frazione 3/4. Per capire questo problema, facciamo un disegno (Fig. 20).
Prendi il segmento AB, prendilo come un'unità, dividilo in 4 parti uguali e segna 3 di queste parti. Il segmento AC sarà pari a 3/4 del segmento AB. Dividiamo ora ciascuno dei quattro segmenti iniziali a metà, poi il segmento AB sarà diviso in 8 parti uguali e ciascuna di tali parti sarà uguale a 1/8 del segmento AB. Colleghiamo 3 di questi segmenti con archi, quindi ciascuno dei segmenti AD e DC sarà uguale a 3/8 del segmento AB. Il disegno mostra che il segmento pari a 3/8 è contenuto nel segmento pari a 3/4 esattamente 2 volte; Quindi il risultato della divisione può essere scritto in questo modo:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Consideriamo un altro esempio. Sia richiesto di dividere 15/16 per 32/3:
Possiamo ragionare così: dobbiamo trovare un numero che, moltiplicato per 3/32, dia un prodotto pari a 15/16. Scriviamo i calcoli in questo modo:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 numero sconosciuto X trucco 15 / 16
1/32 numero sconosciuto X è ,
32 / 32 numeri X trucco .
Di conseguenza,
Quindi, per dividere una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda, e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo il denominatore.
Scriviamo la regola usando le lettere:
Durante la divisione, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
5. Divisione dei numeri misti.
Quando si dividono numeri misti, devono prima essere convertiti in frazioni improprie, quindi le frazioni risultanti devono essere divise secondo le regole per la divisione dei numeri frazionari. Considera un esempio:
Converti numeri misti in frazioni improprie:
Ora dividiamo:
Pertanto, per dividere numeri misti, è necessario convertirli in frazioni improprie e quindi dividere secondo la regola per la divisione delle frazioni.
6. Trovare un numero data la sua frazione.
Tra i vari compiti sulle frazioni, ci sono a volte quelli in cui è dato il valore di una frazione di un numero sconosciuto ed è necessario trovare questo numero. Questo tipo di problema sarà inverso al problema di trovare una frazione di un dato numero; lì è stato dato un numero ed è stato necessario trovare una frazione di questo numero, qui è data una frazione di un numero ed è necessario trovare questo numero stesso. Questa idea diventerà ancora più chiara se passiamo alla soluzione di questo tipo di problema.
Compito 1. Il primo giorno, i vetrai hanno vetrato 50 finestre, che è 1/3 di tutte le finestre della casa costruita. Quante finestre ci sono in questa casa?
Soluzione. Il problema dice che 50 finestre con vetri costituiscono 1/3 di tutte le finestre della casa, il che significa che ci sono 3 volte più finestre in totale, cioè
La casa aveva 150 finestre.
Compito 2. Il negozio ha venduto 1.500 kg di farina, che è 3/8 dello stock totale di farina nel negozio. Qual era la fornitura iniziale di farina del negozio?
Soluzione. Dalla condizione del problema si evince che i 1.500 kg di farina venduti costituiscono 3/8 della scorta totale; questo significa che 1/8 di questo stock sarà 3 volte inferiore, cioè per calcolarlo devi ridurre 1500 di 3 volte:
1.500: 3 = 500 (che è 1/8 dello stock).
Ovviamente, l'intero stock sarà 8 volte più grande. Di conseguenza,
500 8 \u003d 4.000 (kg).
La fornitura iniziale di farina nel negozio era di 4.000 kg.
Dalla considerazione di questo problema si può dedurre la seguente regola.
Per trovare un numero per un dato valore della sua frazione, basta dividere questo valore per il numeratore della frazione e moltiplicare il risultato per il denominatore della frazione.
Abbiamo risolto due problemi sulla ricerca di un numero data la sua frazione. Tali problemi, come si vede particolarmente bene dall'ultimo, sono risolti da due azioni: la divisione (quando si trova una parte) e la moltiplicazione (quando si trova il numero intero).
Tuttavia, dopo aver studiato la divisione delle frazioni, i problemi di cui sopra possono essere risolti in un'unica azione, vale a dire: divisione per una frazione.
Ad esempio, l'ultima attività può essere risolta in un'azione come questa:
In futuro, risolveremo il problema di trovare un numero in base alla sua frazione in un'azione: la divisione.
7. Trovare un numero in base alla sua percentuale.
In queste attività, dovrai trovare un numero, conoscendo una piccola percentuale di questo numero.
Compito 1. All'inizio di quest'anno ho ricevuto 60 rubli dalla cassa di risparmio. reddito dall'importo che ho messo in risparmio un anno fa. Quanti soldi ho messo nella cassa di risparmio? (Gli uffici di cassa danno ai depositanti il 2% del reddito annuo.)
Il senso del problema è che una certa somma di denaro è stata da me messa in una cassa di risparmio e lì è rimasta per un anno. Dopo un anno, ho ricevuto da lei 60 rubli. reddito, che è 2/100 del denaro che ho messo. Quanti soldi ho depositato?
Pertanto, conoscendo la parte di questo denaro, espressa in due modi (in rubli e in frazioni), dobbiamo trovare l'intero importo, ancora sconosciuto. Questo è un normale problema di trovare un numero data la sua frazione. I seguenti compiti sono risolti per divisione:
Quindi, 3.000 rubli sono stati messi nella cassa di risparmio.
Compito 2. In due settimane, i pescatori hanno rispettato il piano mensile del 64%, avendo preparato 512 tonnellate di pesce. Qual era il loro piano?
Dalle condizioni del problema si sa che i pescatori hanno portato a termine parte del piano. Questa parte è pari a 512 tonnellate, ovvero il 64% del piano. Quante tonnellate di pesce devono essere raccolte secondo il piano, non lo sappiamo. La soluzione del problema consisterà nel trovare questo numero.
Tali compiti vengono risolti dividendo:
Quindi, secondo il piano, devi preparare 800 tonnellate di pesce.
Compito 3. Il treno andava da Riga a Mosca. Quando ha superato il 276° chilometro, uno dei passeggeri ha chiesto al capotreno di passaggio quanto del viaggio avessero già percorso. A questo il conduttore ha risposto: "Abbiamo già percorso il 30% dell'intero viaggio". Qual è la distanza tra Riga e Mosca?
Dalle condizioni del problema si può vedere che il 30% del viaggio da Riga a Mosca è di 276 km. Dobbiamo trovare l'intera distanza tra queste città, cioè, per questa parte, trovare l'intero:
§ 91. Numeri reciproci. Sostituzione della divisione con la moltiplicazione.
Prendi la frazione 2/3 e riordina il numeratore al posto del denominatore, otteniamo 3/2. Abbiamo una frazione, il reciproco di questo.
Per ottenere una frazione reciproca di un dato, devi mettere il suo numeratore al posto del denominatore e il denominatore al posto del numeratore. In questo modo, possiamo ottenere una frazione che è il reciproco di qualsiasi frazione. Per esempio:
3/4, retromarcia 4/3; 5/6, retromarcia 6/5
Si chiamano due frazioni che hanno la proprietà che il numeratore della prima è denominatore della seconda e il denominatore della prima è il numeratore della seconda reciprocamente inverso.
Ora pensiamo a quale frazione sarà il reciproco di 1/2. Ovviamente, sarà 2 / 1, o solo 2. Cercando il reciproco di questo, abbiamo ottenuto un numero intero. E questo caso non è isolato; al contrario, per tutte le frazioni con numeratore 1 (uno), i reciproci saranno interi, ad esempio:
1 / 3, inverso 3; 1 / 5, retromarcia 5
Dato che quando abbiamo trovato i reciproci abbiamo incontrato anche gli interi, in futuro non parleremo di reciproci, ma di reciproci.
Scopriamo come scrivere il reciproco di un numero intero. Per le frazioni, questo si risolve semplicemente: devi mettere il denominatore al posto del numeratore. Allo stesso modo, puoi ottenere il reciproco di un numero intero, poiché qualsiasi numero intero può avere un denominatore di 1. Quindi il reciproco di 7 sarà 1 / 7, perché 7 \u003d 7 / 1; per il numero 10 il contrario è 1/10 poiché 10 = 10/1
Questa idea può essere espressa in un altro modo: il reciproco di un dato numero si ottiene dividendo uno per il numero dato. Questa affermazione è vera non solo per gli interi, ma anche per le frazioni. Infatti, se vuoi scrivere un numero che sia il reciproco della frazione 5 / 9, allora possiamo prendere 1 e dividerlo per 5 / 9, cioè
Adesso ne segnaliamo uno proprietà numeri reciprocamente reciproci, che ci saranno utili: il prodotto di numeri reciproci è uguale a uno. Infatti:
Usando questa proprietà, possiamo trovare i reciproci nel modo seguente. Troviamo il reciproco di 8.
Indichiamolo con la lettera X , quindi 8 X = 1, quindi X = 1/8. Troviamo un altro numero, l'inverso di 7/12, indichiamolo con una lettera X , quindi 7 / 12 X = 1, quindi X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .
Abbiamo introdotto qui il concetto di numeri reciproci per integrare leggermente le informazioni sulla divisione delle frazioni.
Quando dividiamo il numero 6 per 3/5, facciamo quanto segue:
Prestare particolare attenzione all'espressione e confrontarla con quella data: .
Se prendiamo l'espressione separatamente, senza connessione con la precedente, è impossibile risolvere la domanda da dove provenga: dividendo 6 per 3/5 o moltiplicando 6 per 5/3. In entrambi i casi il risultato è lo stesso. Quindi possiamo dire che la divisione di un numero per un altro può essere sostituita moltiplicando il dividendo per il reciproco del divisore.
Gli esempi che riportiamo di seguito confermano pienamente questa conclusione.
