Lo studio di un tale oggetto di analisi matematica come funzione ha una grande senso e in altri campi della scienza. Ad esempio, nell'analisi economica, è necessario valutare costantemente il comportamento funzioni profitto, vale a dire, per determinare il suo massimo senso e sviluppare una strategia per raggiungerlo.
Istruzioni
L'indagine su qualsiasi comportamento dovrebbe sempre iniziare con la ricerca di un dominio di definizione. Di solito, in base alle condizioni di un compito specifico, è necessario determinare il massimo senso funzioni o su questa intera area, o su un intervallo specifico con confini aperti o chiusi.
Basato su, il più grande è senso funzioni y (x0), per cui vale la disuguaglianza y (x0) ≥ y (x) (х ≠ x0) per qualsiasi punto del dominio di definizione. Graficamente, questo punto sarà il più alto se disponi i valori dell'argomento lungo l'ascissa e la funzione stessa lungo l'ordinata.
Per determinare il più grande senso funzioni, segui l'algoritmo in tre fasi. Nota che devi essere in grado di lavorare con unidirezionale e, e anche calcolare la derivata. Quindi, sia data una funzione y (x) ed è necessario trovare la sua massima senso su qualche intervallo con valori limite A e B.
Scopri se questo intervallo rientra nell'ambito della definizione funzioni... Per fare ciò, è necessario trovarlo, avendo considerato tutte le possibili restrizioni: la presenza nell'espressione di una frazione, radice quadrata, ecc. L'ambito è l'insieme dei valori degli argomenti per i quali una funzione ha senso. Determina se l'intervallo specificato è un sottoinsieme di esso. Se sì, vai al passaggio successivo.
Trova la derivata funzioni e risolvere l'equazione risultante uguagliando la derivata a zero. Quindi, ottieni i valori dei cosiddetti punti stazionari. Stimare se almeno uno di essi appartiene all'intervallo A, B.
Considera questi punti nella terza fase, sostituisci i loro valori nella funzione. Eseguire i seguenti passaggi aggiuntivi a seconda del tipo di intervallo. Se c'è un segmento della forma [A, B], i punti di confine sono inclusi nell'intervallo, questo è indicato dalle parentesi. Calcola i valori funzioni a x = A e x = B. Se l'intervallo aperto è (A, B), i valori limite vengono perforati, ad es. non sono inclusi in esso. Risolvi i limiti unilaterali per x → A e x → B. Intervallo combinato della forma [A, B) o (A, B], di cui uno dei confini appartiene, l'altro no Trova il limite unilaterale poiché x tende al valore punteggiato e sostituisci l'altro nella funzione Intervallo infinito a due lati (-∞, + ∞) o intervalli infiniti a un lato della forma:, (-∞, B) Per i limiti reali A e B, agire secondo i principi già descritti, e per ricerca infinita dei limiti per x → -∞ e x → + ∞, rispettivamente.
Il compito in questa fase
In questo articolo parlerò algoritmo per trovare il valore più alto e quello più basso funzioni, punti minimo e massimo.
Dalla teoria, tornerà sicuramente utile tabella delle derivate e regole di differenziazione... Tutto questo è in questo piatto:
Algoritmo per trovare il valore più alto e quello più basso.
È più conveniente per me spiegare con un esempio specifico. Tenere conto:
Esempio: Trova il valore più grande della funzione y = x ^ 5 + 20x ^ 3–65x sul segmento [–4; 0].
Passo 1. Prendiamo la derivata.
Y "= (x ^ 5 + 20x ^ 3–65x)" = 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 - 65 = 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65
Passo 2. Trovare punti estremi.
Punto estremo chiamiamo quei punti in cui una funzione raggiunge il suo valore più alto o più basso.
Per trovare i punti estremi, devi equiparare la derivata della funzione a zero (y "= 0)
5 volte ^ 4 + 60 volte ^ 2 - 65 = 0
Ora risolviamo questa equazione biquadratica e le radici trovate sono i nostri punti estremi.
Risolvo tali equazioni sostituendo t = x ^ 2, quindi 5t ^ 2 + 60t - 65 = 0.
Riducendo l'equazione di 5, otteniamo: t ^ 2 + 12t - 13 = 0
D = 12 ^ 2 - 4 * 1 * (- 13) = 196
T_ (1) = (-12 + sqrt (196)) / 2 = (-12 + 14) / 2 = 1
T_ (2) = (-12 - sqrt (196)) / 2 = (-12 - 14) / 2 = -13
Facciamo la modifica inversa x ^ 2 = t:
X_ (1 e 2) = ± sqrt (1) = ± 1
x_ (3 e 4) = ± sqrt (-13) (escludere, non possono esserci numeri negativi sotto la radice, a meno che ovviamente non si tratti di numeri complessi)
Totale: x_ (1) = 1 e x_ (2) = -1 - questi sono i nostri punti estremi.
Passaggio 3. Determina il valore più alto e quello più basso.
Metodo di sostituzione.
Nella condizione ci è stato dato il segmento [b] [- 4; 0]. Il punto x = 1 non è incluso in questo segmento. Quindi non lo stiamo considerando. Ma oltre al punto x = -1, dobbiamo anche considerare i confini sinistro e destro del nostro segmento, cioè i punti -4 e 0. Per fare ciò, sostituiamo tutti questi tre punti nella funzione originale. Notare quello originale - questo è quello dato nella condizione (y = x ^ 5 + 20x ^ 3-65x), alcuni iniziano a sostituire nella derivata ...
Y (-1) = (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3 - 65 * (- 1) = -1 - 20 + 65 = [b] 44
y (0) = (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3 - 65 * (0) = 0
y (-4) = (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 3 - 65 * (- 4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Ciò significa che il valore massimo della funzione è [b] 44 e si raggiunge nel punto [b] -1, che è chiamato il punto massimo della funzione sul segmento [-4; 0].
Abbiamo deciso e ricevuto una risposta, siamo fantastici, puoi rilassarti. Ma fermati! Non pensi che contare y (-4) sia in qualche modo troppo difficile? In un ambiente a tempo limitato, è meglio usare un altro metodo, lo chiamo così:
Attraverso intervalli di costanza.
Questi intervalli si trovano per la derivata della funzione, cioè per la nostra equazione biquadratica.
Lo faccio nel modo seguente. Traccio una linea direzionale. Metto i punti: -4, -1, 0, 1. Nonostante 1 non sia compreso nel segmento dato, dovrebbe comunque essere contrassegnato per determinare correttamente gli intervalli di costanza. Prendiamo un numero molte volte maggiore di 1, diciamo 100, sostituiamolo mentalmente nella nostra equazione biquadratica 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. Anche senza contare nulla, diventa ovvio che al punto 100 il la funzione ha il segno più. Ciò significa che ha un segno più per gli intervalli da 1 a 100. Quando si passa per 1 (andiamo da destra a sinistra), la funzione cambierà il suo segno in meno. Quando passa per il punto 0, la funzione manterrà il suo segno, poiché questo è solo il confine del segmento e non la radice dell'equazione. Quando passa per -1, la funzione cambierà nuovamente il suo segno in più.
Dalla teoria, sappiamo che dove si trova la derivata della funzione (e l'abbiamo appena disegnata per essa) cambia segno da più a meno (punto -1 nel nostro caso) la funzione raggiunge il suo massimo locale (y (-1) = 44 come calcolato in precedenza) su questo intervallo (questo è logicamente molto comprensibile, la funzione ha smesso di aumentare, poiché ha raggiunto il suo massimo e ha iniziato a diminuire).
Di conseguenza, dove la derivata della funzione cambia segno da meno a più, raggiunto minimo locale della funzione... Sì, sì, abbiamo anche trovato il punto del minimo locale, questo è 1, e y (1) è il valore minimo della funzione sull'intervallo, diciamo da -1 a + ∞. Tieni presente che questo è solo un MINIMO LOCALE, ovvero un minimo su un determinato segmento. Poiché il minimo reale (globale) la funzione raggiungerà da qualche parte lì, a -∞.
A mio avviso, il primo metodo è teoricamente più semplice, e il secondo è più semplice dal punto di vista delle operazioni aritmetiche, ma molto più complicato dal punto di vista teorico. In effetti, a volte ci sono casi in cui la funzione non cambia segno quando si passa per la radice dell'equazione, e in generale puoi confonderti con questi massimi e minimi locali e globali, anche se dovrai padroneggiarlo bene se prevedi di entrare in un ateneo tecnico (e per altro fare l'esame di profilo e risolvere questo compito). Ma la pratica e solo la pratica ti insegneranno una volta per tutte come risolvere tali problemi. E puoi allenarti sul nostro sito web. Qui .
Se hai domande o qualcosa non è chiaro, assicurati di chiedere. Sarò felice di risponderti e apportare modifiche, aggiunte all'articolo. Ricorda che stiamo realizzando questo sito insieme!
Che cos'è un estremo di una funzione e qual è la condizione necessaria per un estremo?
L'estremo di una funzione è il massimo e il minimo di una funzione.
La condizione necessaria per il massimo e il minimo (estremo) della funzione è la seguente: se la funzione f (x) ha un estremo nel punto x = a, allora a questo punto la derivata è zero, o infinita, oppure sì non esiste.
Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. La derivata nel punto x = a può svanire, all'infinito, o non esistere senza che la funzione abbia un estremo a questo punto.
Qual è la condizione sufficiente per l'estremo della funzione (massimo o minimo)?
Prima condizione:
Se in sufficiente prossimità del punto x = a la derivata f? (X) è positiva a sinistra di a e negativa a destra di a, allora proprio nel punto x = a la funzione f (x) ha massimo
Se in sufficiente prossimità del punto x = a la derivata f? (X) è negativa a sinistra di a e positiva a destra di a, allora proprio nel punto x = a la funzione f (x) ha minimo a condizione che la funzione f (x) sia qui continua.
Invece, puoi usare la seconda condizione sufficiente per l'estremo della funzione:
Sia nel punto x = a la derivata prima f?(X) svanisce; se in questo caso la derivata seconda f ?? (a) è negativa, allora la funzione f (x) ha un massimo nel punto x = a, se è positiva, allora un minimo.
Qual è il punto critico di una funzione e come lo trovi?
Questo è il valore dell'argomento della funzione in corrispondenza del quale la funzione ha un estremo (cioè massimo o minimo). Per trovarlo, hai bisogno trova la derivata funzione f? (x) e, uguagliandola a zero, risolvere l'equazione f? (x) = 0. Le radici di questa equazione, così come quei punti in cui la derivata di questa funzione non esiste, sono punti critici, cioè i valori dell'argomento in cui può esserci un estremo. Possono essere facilmente identificati guardando trama derivata: ci interessano quei valori dell'argomento in corrispondenza dei quali il grafico della funzione incrocia l'asse delle ascisse (asse Ox) e quelli in cui si interrompe il grafico.
Ad esempio, troviamo estremo di una parabola.
Funzione y (x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivata della funzione: y? (X) = 6x + 2
Risolvere l'equazione: y? (X) = 0
6x + 2 = 0,6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3
In questo caso, il punto critico è x0 = -1 / 3. È per questo valore dell'argomento che ha la funzione estremo... In modo che trovare, sostituisci il numero trovato nell'espressione per la funzione invece di "x":
y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Come determinare il massimo e il minimo di una funzione, ad es. i suoi valori più grandi e più piccoli?
Se il segno della derivata passando per il punto critico x0 cambia da "più" a "meno", allora x0 è punto massimo; se il segno della derivata cambia da meno a più, allora x0 è punto minimo; se il segno non cambia, allora nel punto x0 non c'è massimo o minimo.
Per l'esempio considerato:
Prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a sinistra del punto critico: x = -1
Quando x = -1, il valore della derivata sarà y? (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (cioè il segno è "meno").
Ora prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a destra del punto critico: x = 1
Quando x = 1, il valore della derivata sarà y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ovvero, il segno è "più").
Come puoi vedere, la derivata ha cambiato il suo segno da meno a più quando passa per il punto critico. Ciò significa che al valore critico x0 abbiamo un punto minimo.
Valore della funzione più grande e più piccolo sull'intervallo(su un segmento) si trovano utilizzando la stessa procedura, tenendo solo conto del fatto che, forse, non tutti i punti critici rientreranno nell'intervallo specificato. I punti critici che sono al di fuori dell'intervallo dovrebbero essere esclusi dalla considerazione. Se è presente un solo punto critico all'interno dell'intervallo, conterrà un massimo o un minimo. In questo caso, per determinare i valori più grandi e più piccoli della funzione, prendiamo in considerazione anche i valori della funzione alle estremità dell'intervallo.
Ad esempio, troviamo i valori più grande e più piccolo della funzione
y (x) = 3peccato (x) - 0,5x
ad intervalli:
Quindi, la derivata della funzione è
y? (x) = 3cos (x) - 0,5
Risolvere l'equazione 3cos (x) - 0,5 = 0
cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667
x = ± arccos (0,16667) + 2πk.
Trova i punti critici sull'intervallo [-9; 9]:
x = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (non compreso nell'intervallo)
x = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687
x = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88
x = -arccos (0,16667) + 2π * 0 = -1,403
x = arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403
x = -arccos (0,16667) + 2π * 1 = 4,88
x = arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687
x = -arccos (0,16667) + 2π * 2 = 11,163 (non incluso nell'intervallo)
Troviamo i valori della funzione ai valori critici dell'argomento:
y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885
y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398
y (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256
y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256
y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398
y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885
Si vede che sull'intervallo [-9; 9], la funzione ha il valore massimo in x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
e il più piccolo - in x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Sull'intervallo [-6; -3] abbiamo un solo punto critico: x = -4,88. Il valore della funzione in x = -4,88 è uguale a y = 5,398.
Trova il valore della funzione alle estremità dell'intervallo:
y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838
y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077
Sull'intervallo [-6; -3] abbiamo il valore più alto della funzione
y = 5,398 a x = -4,88
il valore più piccolo è
y = 1,077 a x = -3
Come trovare i punti di flesso del grafico di una funzione e determinare i lati della convessità e della concavità?
Per trovare tutti i punti di flesso della retta y = f (x), devi trovare la derivata seconda, uguagliarla a zero (risolvere l'equazione) e testare tutti quei valori di x per cui la derivata seconda è zero , infinito o non esiste. Se, passando per uno di questi valori, la derivata seconda cambia segno, allora il grafico della funzione ha un'inflessione a questo punto. Se non cambia, non c'è flessione.
Le radici dell'equazione f? (x) = 0, oltre ai possibili punti di discontinuità della funzione e della derivata seconda, dividono il dominio della funzione in un certo numero di intervalli. La convessità a ciascuno dei loro intervalli è determinata dal segno della derivata seconda. Se la derivata seconda in un punto dell'intervallo in studio è positiva, allora la linea y = f (x) è concava qui verso l'alto, e se è negativa, allora verso il basso.
Come trovare gli estremi di una funzione di due variabili?
Per trovare gli estremi della funzione f (x, y), differenziabili nella regione di assegnazione, occorre:
1) trova i punti critici e, per questo, risolvi il sistema di equazioni
fx? (x, y) = 0, fу? (x, y) = 0
2) per ogni punto critico Р0 (a; b) indagare se il segno della differenza rimane invariato
per tutti i punti (x; y) sufficientemente vicini a Po. Se la differenza mantiene un segno positivo, allora al punto P0 abbiamo un minimo, se negativo, quindi un massimo. Se la differenza non preserva il segno, allora non c'è estremo nel punto P0.
Gli estremi della funzione sono determinati in modo simile per un numero maggiore di argomenti.
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Spesso in fisica e matematica è necessario trovare il valore più piccolo di una funzione. Ora ti diremo come farlo.
Come trovare il valore più piccolo di una funzione: istruzione
- Per calcolare il valore più piccolo di una funzione continua su un dato segmento, è necessario seguire il seguente algoritmo:
- Trova la derivata della funzione.
- Trova su un dato segmento i punti in cui la derivata è uguale a zero, nonché tutti i punti critici. Quindi scopri i valori della funzione in questi punti, cioè risolvi l'equazione in cui x è uguale a zero. Scopri quale dei valori è il più piccolo.
- Determina quale valore ha la funzione agli estremi. Determina il valore più piccolo della funzione in questi punti.
- Confronta i dati ricevuti con il valore più piccolo. Il più piccolo dei numeri ricevuti sarà il valore più piccolo della funzione.
Si noti che nel caso in cui una funzione su un segmento non abbia i punti più piccoli, ciò significa che aumenta o diminuisce su questo segmento. Pertanto, il valore più piccolo dovrebbe essere calcolato sui segmenti finiti della funzione.
In tutti gli altri casi, il valore della funzione viene calcolato secondo l'algoritmo specificato. In ogni punto dell'algoritmo, dovrai risolvere una semplice equazione lineare con una radice. Risolvi l'equazione usando l'immagine per evitare errori.
Come trovare il valore più piccolo di una funzione su un segmento semiaperto? Su un periodo semiaperto o aperto della funzione, il valore più piccolo dovrebbe essere trovato come segue. Ai punti finali del valore della funzione, calcola il limite unilaterale della funzione. In altre parole, risolvi l'equazione in cui i punti tendenti sono specificati dai valori a + 0 e b + 0, dove a e b sono i nomi dei punti di non ritorno.
Ora sai come trovare il valore più piccolo di una funzione. La cosa principale è eseguire tutti i calcoli in modo corretto, accurato e senza errori.
Che cos'è un estremo di una funzione e qual è la condizione necessaria per un estremo?
L'estremo di una funzione è il massimo e il minimo di una funzione.
La condizione necessaria per il massimo e il minimo (estremo) della funzione è la seguente: se la funzione f (x) ha un estremo nel punto x = a, allora a questo punto la derivata è zero, o infinita, oppure sì non esiste.
Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. La derivata nel punto x = a può svanire, all'infinito, o non esistere senza che la funzione abbia un estremo a questo punto.
Qual è la condizione sufficiente per l'estremo della funzione (massimo o minimo)?
Prima condizione:
Se in sufficiente prossimità del punto x = a la derivata f? (X) è positiva a sinistra di a e negativa a destra di a, allora proprio nel punto x = a la funzione f (x) ha massimo
Se in sufficiente prossimità del punto x = a la derivata f? (X) è negativa a sinistra di a e positiva a destra di a, allora proprio nel punto x = a la funzione f (x) ha minimo a condizione che la funzione f (x) sia qui continua.
Invece, puoi usare la seconda condizione sufficiente per l'estremo della funzione:
Sia nel punto x = a la derivata prima f?(X) svanisce; se in questo caso la derivata seconda f ?? (a) è negativa, allora la funzione f (x) ha un massimo nel punto x = a, se è positiva, allora un minimo.
Qual è il punto critico di una funzione e come lo trovi?
Questo è il valore dell'argomento della funzione in corrispondenza del quale la funzione ha un estremo (cioè massimo o minimo). Per trovarlo, hai bisogno trova la derivata funzione f? (x) e, uguagliandola a zero, risolvere l'equazione f? (x) = 0. Le radici di questa equazione, così come quei punti in cui la derivata di questa funzione non esiste, sono punti critici, cioè i valori dell'argomento in cui può esserci un estremo. Possono essere facilmente identificati guardando trama derivata: ci interessano quei valori dell'argomento in corrispondenza dei quali il grafico della funzione incrocia l'asse delle ascisse (asse Ox) e quelli in cui si interrompe il grafico.
Ad esempio, troviamo estremo di una parabola.
Funzione y (x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivata della funzione: y? (X) = 6x + 2
Risolvere l'equazione: y? (X) = 0
6x + 2 = 0,6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3
In questo caso, il punto critico è x0 = -1 / 3. È per questo valore dell'argomento che ha la funzione estremo... In modo che trovare, sostituisci il numero trovato nell'espressione per la funzione invece di "x":
y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Come determinare il massimo e il minimo di una funzione, ad es. i suoi valori più grandi e più piccoli?
Se il segno della derivata passando per il punto critico x0 cambia da "più" a "meno", allora x0 è punto massimo; se il segno della derivata cambia da meno a più, allora x0 è punto minimo; se il segno non cambia, allora nel punto x0 non c'è massimo o minimo.
Per l'esempio considerato:
Prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a sinistra del punto critico: x = -1
Quando x = -1, il valore della derivata sarà y? (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (cioè il segno è "meno").
Ora prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a destra del punto critico: x = 1
Quando x = 1, il valore della derivata sarà y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ovvero, il segno è "più").
Come puoi vedere, la derivata ha cambiato il suo segno da meno a più quando passa per il punto critico. Ciò significa che al valore critico x0 abbiamo un punto minimo.
Valore della funzione più grande e più piccolo sull'intervallo(su un segmento) si trovano utilizzando la stessa procedura, tenendo solo conto del fatto che, forse, non tutti i punti critici rientreranno nell'intervallo specificato. I punti critici che sono al di fuori dell'intervallo dovrebbero essere esclusi dalla considerazione. Se è presente un solo punto critico all'interno dell'intervallo, conterrà un massimo o un minimo. In questo caso, per determinare i valori più grandi e più piccoli della funzione, prendiamo in considerazione anche i valori della funzione alle estremità dell'intervallo.
Ad esempio, troviamo i valori più grande e più piccolo della funzione
y (x) = 3peccato (x) - 0,5x
ad intervalli:
Quindi, la derivata della funzione è
y? (x) = 3cos (x) - 0,5
Risolvere l'equazione 3cos (x) - 0,5 = 0
cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667
x = ± arccos (0,16667) + 2πk.
Trova i punti critici sull'intervallo [-9; 9]:
x = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (non compreso nell'intervallo)
x = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687
x = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88
x = -arccos (0,16667) + 2π * 0 = -1,403
x = arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403
x = -arccos (0,16667) + 2π * 1 = 4,88
x = arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687
x = -arccos (0,16667) + 2π * 2 = 11,163 (non incluso nell'intervallo)
Troviamo i valori della funzione ai valori critici dell'argomento:
y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885
y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398
y (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256
y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256
y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398
y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885
Si vede che sull'intervallo [-9; 9], la funzione ha il valore massimo in x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
e il più piccolo - in x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Sull'intervallo [-6; -3] abbiamo un solo punto critico: x = -4,88. Il valore della funzione in x = -4,88 è uguale a y = 5,398.
Trova il valore della funzione alle estremità dell'intervallo:
y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838
y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077
Sull'intervallo [-6; -3] abbiamo il valore più alto della funzione
y = 5,398 a x = -4,88
il valore più piccolo è
y = 1,077 a x = -3
Come trovare i punti di flesso del grafico di una funzione e determinare i lati della convessità e della concavità?
Per trovare tutti i punti di flesso della retta y = f (x), devi trovare la derivata seconda, uguagliarla a zero (risolvere l'equazione) e testare tutti quei valori di x per cui la derivata seconda è zero , infinito o non esiste. Se, passando per uno di questi valori, la derivata seconda cambia segno, allora il grafico della funzione ha un'inflessione a questo punto. Se non cambia, non c'è flessione.
Le radici dell'equazione f? (x) = 0, oltre ai possibili punti di discontinuità della funzione e della derivata seconda, dividono il dominio della funzione in un certo numero di intervalli. La convessità a ciascuno dei loro intervalli è determinata dal segno della derivata seconda. Se la derivata seconda in un punto dell'intervallo in studio è positiva, allora la linea y = f (x) è concava qui verso l'alto, e se è negativa, allora verso il basso.
Come trovare gli estremi di una funzione di due variabili?
Per trovare gli estremi della funzione f (x, y), differenziabili nella regione di assegnazione, occorre:
1) trova i punti critici e, per questo, risolvi il sistema di equazioni
fx? (x, y) = 0, fу? (x, y) = 0
2) per ogni punto critico Р0 (a; b) indagare se il segno della differenza rimane invariato
per tutti i punti (x; y) sufficientemente vicini a Po. Se la differenza mantiene un segno positivo, allora al punto P0 abbiamo un minimo, se negativo, quindi un massimo. Se la differenza non preserva il segno, allora non c'è estremo nel punto P0.
Gli estremi della funzione sono determinati in modo simile per un numero maggiore di argomenti.
Quali bevande gassate puliscono le superfici
C'è un'opinione secondo cui la bevanda gassata analcolica "Coca-Cola" è in grado di sciogliere la carne. Ma, sfortunatamente, non ci sono prove dirette per questo. Al contrario, ci sono fatti affermativi che confermano che la carne lasciata nella bevanda Coca-Cola per due giorni cambia nelle proprietà del consumatore e non scompare da nessuna parte.
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Neurosis (novolat.neurosis, deriva dal greco antico.
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L'apocentro è il punto dell'orbita in cui un corpo che ruota in un'orbita ellittica attorno a un altro corpo raggiunge la sua massima distanza da quest'ultimo. Nello stesso punto, secondo la seconda legge di Keplero, la velocità del moto orbitale diventa minima. L'apocentro si trova in un punto diametralmente opposto al periasse. In casi speciali, è consuetudine utilizzare termini speciali:
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Mamon (m), mammona (f) - una parola derivata dal greco. mammonas e significa ricchezza, tesori terreni, benedizioni. Per alcuni antichi popoli pagani era il dio della ricchezza e del profitto. È menzionato nella Scrittura dagli evangelisti Matteo e Luca: «Nessuno può servire a due padroni: perché l'uno odierà, e l'altro
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