Equazioni differenzialin-esimo ordine.

Se l'equazione è risolvibile rispetto alla derivata più alta, allora ha la forma (1). Inoltre, un'equazione di ordine n-esimo può essere rappresentata come un sistema di n equazioni del primo ordine.

(3)

Per l'equazione di ordine n-esimo, le condizioni del teorema di esistenza e di unicità per il sistema sono soddisfatte da (1)~(2)~(3).

I casi più semplici di abbassare l'ordine.

L'equazione non contiene la funzione desiderata e la sua derivata fino all'ordine K -1 compreso , questo è

In questo caso, l'ordine può essere ridotto a
sostituzione. Se esprimiamo da questa equazione, la soluzione y può essere determinata da una funzione integrabile di k volte P.

Esempio.
.

Un'equazione che non contiene una variabile sconosciuta

(5)

In questo caso, l'ordine può essere ridotto di uno per sostituzione.

Esempio.
.

Lato sinistro dell'equazione

(6)

è la derivata di qualche espressione differenziale ( n -1)° ordine .
. Se
- esiste quindi la soluzione dell'ultima equazione. Abbiamo ottenuto il primo integrale dell'equazione (6) e abbassato di uno il grado dell'equazione da risolvere.

Commento. A volte il lato sinistro di (6) diventa la derivata dell'equazione differenziale d'ordine (n-1) solo quando moltiplicato per
pertanto, qui potrebbe apparire una soluzione aggiuntiva (inversione a zero) o potremmo perdere la soluzione se funzione discontinua.

Esempio.

L'equazione

(7)

omogeneo rispetto a e suoi derivati .

Oppure , dov'è l'esponente
è determinato dalle condizioni di omogeneità.

L'ordine di questa equazione può essere ridotto di uno sostituendo: .

Se sostituiamo queste relazioni in (7) e teniamo conto dell'omogeneità della funzione F , quindi alla fine otteniamo: .

Esempio.
.

Equazioni differenziali del secondo ordine,

consentendo la riduzione dell'ordine.

Sostituzione
.

Se l'equazione (8) può essere risolta rispetto alla derivata più alta, allora l'equazione
integrato due volte rispetto alla variabile X.

È possibile introdurre un parametro e sostituire l'equazione (8) con la sua rappresentazione parametrica:
. Usando il rapporto per i differenziali:
, otteniamo: e

II .
(9)

Usiamo la rappresentazione parametrica:

III.
. (10)

Puoi abbassare l'ordine sostituendo:
.

Se l'equazione (10) è risolvibile rispetto alla derivata più alta
, quindi moltiplica i lati destro e sinistro per
. Otteniamo:.Questa è un'equazione con variabili separabili:
.

L'equazione (10) può essere sostituita dalla sua rappresentazione parametrica: . Usiamo le proprietà del differenziale:

Esempio.
.

Equazioni differenziali linearin-esimo ordine.

Definizione. Equazioni differenziali lineari n -esimo ordine sono dette equazioni della forma:
. (1)

Se i coefficienti continuo acceso
, quindi in prossimità di eventuali valori iniziali della forma:, dove appartiene all'intervallo, quindi nelle vicinanze di questi valori iniziali le condizioni sono soddisfatte Teoremi di esistenza e unicità. La linearità e l'omogeneità dell'equazione (1) è preservata in ogni trasformazione
, dove è una funzione arbitraria n volte differenziabile. e
. La linearità e l'omogeneità sono preservate sotto una trasformazione lineare e omogenea di una funzione sconosciuta.

Introduciamo un operatore differenziale lineare: , allora (1) può essere scritto come segue:
. Il determinante di Vronsky per
sarà simile a:

, dove - soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (1).

Teorema 1. Se funzioni linearmente indipendenti
è una soluzione dell'equazione lineare omogenea (1) con continuo
coefficienti
, quindi il determinante di Vronsky
non svanisce in nessun punto del segmento
.

Teorema 2. La soluzione generale dell'equazione lineare omogenea (1) con continuo
coefficienti
sarà una combinazione lineare di soluzioni , questo è
(2), dove
linearmente indipendente dal segmento
soluzioni particolari (1).

(dimostrato in modo simile al caso di un sistema di equazioni differenziali lineari)

Conseguenza. Il numero massimo di soluzioni linearmente indipendenti (1) è uguale al suo ordine.

Conoscere una soluzione particolare non banale dell'equazione (1) -
, puoi effettuare una sostituzione
e abbassare l'ordine dell'equazione, pur mantenendo la sua linearità e disomogeneità. Di solito questa sostituzione è divisa in due. Trattandosi di una rappresentazione linearmente omogenea, conserva la linearità e l'omogeneità di (1), il che significa che (1) deve essere ridotto alla forma. decisione
in virtù di
corrisponde alla decisione
, e quindi
. Facendo una sostituzione
, otteniamo un'equazione con l'ordine
.

Lemma. (3)

Due equazioni della forma (3) e (4), dove Q i e P i sono continue su funzioni che hanno un sistema fondamentale comune di soluzioni, coincidono, cioè Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Sulla base del lemma, possiamo concludere che il sistema fondamentale di soluzioni y 1 y 2 …y n determina completamente l'equazione lineare omogenea (3).

Troviamo la forma dell'equazione (3), che ha un sistema fondamentale di soluzioni y 1 y 2 …y n . Qualsiasi soluzione y(X) l'equazione (3) dipende linearmente dal sistema fondamentale di soluzioni, il che significa che W=0. Espandiamo il determinante di Wronsky W nell'ultima colonna.

L'equazione (5) è l'equazione differenziale lineare desiderata con il dato sistema di soluzioni fondamentali. Possiamo (5) dividere per W poiché non è uguale a zero  x. Poi:

(*)

Secondo la regola di differenziazione determinante, la derivata del determinante è uguale alla somma di i=1,2…n determinanti, la i-esima riga di ciascuno dei quali è uguale alla derivata della i-esima riga dell'originale determinante. In questa somma, tutti i determinanti, tranne l'ultimo, sono uguali a zero (perché hanno due righe identiche ciascuna) e l'ultimo è uguale a (*). Quindi, otteniamo:

, poi:
(6)

(7)

Definizione. Vengono chiamate le formule (6) e (7). Formule di Ostrogradsky-Liouville.

Utilizziamo la (7) per integrare un'equazione lineare omogenea del secondo ordine. E facci sapere una delle soluzioni y 1 dell'equazione (8).

Secondo (7), qualsiasi soluzione di (8) deve soddisfare la seguente relazione:

(9)

Utilizziamo il metodo dei fattori integrativi.

Equazioni lineari omogenee con

rapporti costanti.

Se in un'equazione lineare omogenea tutti i coefficienti sono costanti,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

allora soluzioni particolari (1) possono essere definite come: y=e kx , dove k è una costante.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Definizione. (3) - equazione caratteristica.

La forma della soluzione (1) è determinata dalle radici dell'equazione caratteristica (3).

1). Tutte le radici sono reali e distinte. , poi:

2). Se tutti i coefficienti sono reali, le radici possono essere coniugate complesse .

k 1 =+i k 2 =-i

Quindi le soluzioni sembrano:

Secondo il teorema: se un operatore con coefficienti reali ha soluzioni coniugate complesse, allora anche le loro parti reali e immaginarie sono soluzioni. Poi:

Esempio.

Rappresentiamo la soluzione nella forma
, allora l'equazione caratteristica ha la forma:

, otteniamo due soluzioni:

allora la funzione desiderata è:

3). Ci sono più radici: K io con molteplicità  io . In questo caso, il numero di diverse soluzioni
sarà minore di n, quindi è necessario cercare le soluzioni linearmente indipendenti mancanti in una forma diversa. Ad esempio:

Prova:

Diciamo k i = 0, se lo sostituiamo in (3), allora otteniamo quello, quindi:

- soluzioni particolari (3).

Sia k i 0, facciamo il cambiamento
(6)

Sostituendo (6) in (1), otteniamo rispetto a z un'equazione lineare omogenea dell'n-esimo ordine a coefficienti costanti (7).

Le radici (3) differiscono dalle radici dell'equazione caratteristica (7) per il termine k i .

(8)

Se k=k i , allora questo k corrisponde alla soluzione dell'equazione (7) con la radice p=0 , cioè corrispondono a soluzioni della forma z=
, allora y=- soluzione dell'equazione (1). E la soluzione generale è simile a:

soluzione per k i



Equazione di Eulero.

Definizione. Digita l'equazione:

viene chiamato un i -coefficienti costanti L'equazione di Eulero.

L'equazione di Eulero sostituendo x=e t viene ridotta a un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti.

Puoi cercare soluzioni nella forma y=x k , quindi assomigliano a:

Equazioni lineari disomogenee.

Se a 0 (x)0, quindi dividendo l'equazione (1) per questo coefficiente, otteniamo:

.

Se i e f sono continui su b, allora (2) ha un'unica soluzione che soddisfa le corrispondenti condizioni iniziali. Se esprimiamo esplicitamente le derivate più alte dalla (2), otteniamo un'equazione il cui lato destro soddisfa il teorema di esistenza e unicità. Poiché l'operatore L è lineare, significa che per (2) vale quanto segue:

1).
- soluzione (2) se è la soluzione dell'equazione disomogenea (2), e è la soluzione della corrispondente equazione omogenea.

2). Se - soluzioni
, poi
soluzione dell'equazione
.

La proprietà 2 è il principio di sovrapposizione, per cui è valido
se la riga
- converge e ammette m-differenziazione termine per termine.

3) Sia data l'equazione dell'operatore
, dove L è un operatore a coefficienti , tutto - vero. Anche le funzioni U e V sono reali. Allora se questa equazione ha una soluzione
, allora la parte immaginaria e quella reale di y saranno la soluzione della stessa equazione:
e
. Inoltre, ognuno di essi corrisponde alla soluzione.

Teorema. Soluzione generale dell'equazione disomogenean- ordine
sul segmento [un, B] a condizione che tutti i coefficienti
e lato destro
- funzioni continue, possono essere rappresentate come la somma della soluzione generale corrispondente al sistema omogeneo
e una soluzione particolare della disomogenea -
.

Quelli. soluzione
.

Se è impossibile selezionare in modo esplicito soluzioni particolari di un sistema disomogeneo, è possibile utilizzare il metodo variazioni della costante . Cercheremo una soluzione nella forma:

(3)

dove
soluzioni di sistema omogenee,
- funzioni sconosciute.

Caratteristiche sconosciute totali
- n. Devono soddisfare l'equazione originale (2).

Sostituendo l'espressione y(x) nell'equazione (2), otteniamo le condizioni per determinare una sola funzione incognita. Per determinare le restanti (n-1)-funzioni di pozzo, è necessaria una condizione aggiuntiva (n-1)-ma aggiuntiva, che possono essere scelte arbitrariamente. Li scegliamo in modo che la soluzione (2) - y(x) assomigli a se
erano costanti.

,

perché
comportarsi come costanti, quindi
, che significa e
.

Quella. otteniamo (n-1)-ma condizione in aggiunta all'equazione (1). Se sostituiamo l'espressione per le derivate nell'equazione (1) e teniamo conto di tutte le condizioni ottenute e del fatto che y i è la soluzione del corrispondente sistema omogeneo, otterremo l'ultima condizione per
.

Passiamo al sistema:

(3)

Il determinante del sistema (3) è (W) determinante di Vronskij, e da allora y io sono soluzioni di un sistema omogeneo, allora W0 a .

Esempio. Equazione disomogenea

, la corrispondente equazione omogenea

Stiamo cercando una soluzione nella formay= e kx . Equazione caratteristicaK 2 +1=0, cioèK 1,2 =  io

y= e ix = cos X + io peccato X, decisione comune -

Usiamo il metodo della variazione costante:

Condizioni per
:

, che equivale a scrivere:

Da qui:

n-esimo ordine

Teorema. Se si 0- soluzione dell'equazione omogenea L[y]=0, si 1- soluzione della corrispondente equazione disomogenea L[y] = f(x), quindi la somma y0+y1è una soluzione a questa equazione disomogenea.

La struttura della soluzione generale di un'equazione disomogenea è determinata dal seguente teorema.

Teorema. Se Y- soluzione particolare dell'equazione L[y] = f(x) a coefficienti continui, è la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea L[y] = 0, quindi la soluzione generale di questa equazione disomogenea è determinata dalla formula

Commento. Per scrivere la soluzione generale di un'equazione lineare disomogenea, è necessario trovare una soluzione particolare di questa equazione e una soluzione generale della corrispondente equazione omogenea.

Equazioni lineari disomogenee n

Considera l'equazione lineare disomogenea n-esimo ordine a coefficienti costanti

dove un 1, un 2, …, un sono numeri reali Scriviamo la corrispondente equazione omogenea

La soluzione generale dell'equazione disomogenea è determinata dalla formula

Soluzione generale dell'equazione omogenea si 0 possiamo trovare, una soluzione particolare Y può essere trovato con il metodo dei coefficienti indeterminati nei seguenti casi più semplici:

Nel caso generale viene utilizzato il metodo della variazione di costanti arbitrarie.

Metodo di variazione delle costanti arbitrarie

Considera l'equazione lineare disomogenea n-esimo ordine a coefficienti variabili

Se trovare una soluzione particolare di questa equazione risulta essere difficile, ma è nota la soluzione generale dell'equazione omogenea corrispondente, allora si può trovare la soluzione generale dell'equazione disomogenea metodo di variazione di costanti arbitrarie.

Sia la corrispondente equazione omogenea

ha una soluzione generale

Nella forma si cercherà la soluzione generale dell'equazione disomogenea

dove y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x) sono soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea inclusa nella sua soluzione generale, e C 1 (x), C2(x), …, C n (x)- funzioni sconosciute. Per trovare queste funzioni, le sottoponiamo ad alcune condizioni.

Troviamo la derivata

Si richiede che la somma nella seconda parentesi sia uguale a zero, cioè

Troviamo la derivata seconda

e lo richiediamo

Continuando lo stesso processo, otteniamo

In questo caso non si può pretendere che la somma della seconda parentesi si annulli, in quanto le funzioni C 1 (x), C2(x), …, C n (x) già subordinato n-1 condizioni, ma è anche necessario soddisfare l'equazione disomogenea originale.

Sistemi differenziali lineari equazioni.

Viene chiamato il sistema di equazioni differenziali lineare, se è lineare rispetto a funzioni sconosciute e loro derivate. sistema n-le equazioni lineari del 1° ordine si scrivono come:

I coefficienti del sistema sono const.

È conveniente scrivere questo sistema in forma matriciale:

dove è un vettore colonna di funzioni sconosciute che dipende da un argomento.

Vettore colonna delle derivate di queste funzioni.

Colonna vettore di termini liberi.

Matrice dei coefficienti.

Teorema 1: Se tutti i coefficienti della matrice UN sono continui su qualche intervallo e , poi in qualche intorno di ogni m. Le condizioni TSIE sono soddisfatte. Pertanto, c'è solo una curva integrale attraverso ciascuno di questi punti.

Infatti, in questo caso, i membri di destra del sistema sono continui in termini di insieme di argomenti e le loro derivate parziali in termini di (uguali ai coefficienti della matrice A) sono limitate, per continuità su un intervallo chiuso .

Metodi per risolvere SLDE

1. Il sistema di equazioni differenziali può essere ridotto eliminando le incognite in un'equazione.

Esempio: Risolvi il sistema di equazioni: (1)

Soluzione: escludere z da queste equazioni. Dalla prima equazione abbiamo . Sostituendo nella seconda equazione, otteniamo dopo la semplificazione: .

Questo sistema di equazioni (1) ridotto a un'unica equazione del secondo ordine. Dopo aver trovato questa equazione y, dovrebbe essere trovato z, usando l'uguaglianza .

2. Quando si risolve un sistema di equazioni eliminando le incognite, di solito si ottiene un'equazione di ordine superiore, quindi in molti casi è più conveniente risolvere il sistema trovando combinazioni integrabili.

Continua 27b

Esempio: Risolvi il sistema

Soluzione:

Risolviamo questo sistema con il metodo di Eulero. Scriviamo il determinante per trovare la caratteristica

equazioni: , (poiché il sistema è omogeneo, affinché abbia una soluzione non banale, questo determinante deve essere uguale a zero). Otteniamo un'equazione caratteristica e troviamo le sue radici:

La soluzione generale è simile a: ;

- autovettore.

Scriviamo la soluzione per: ;

- autovettore.

Scriviamo la soluzione per: ;

Otteniamo la soluzione generale: .

Controlliamo:

trova : e sostituisci nella prima equazione di questo sistema, cioè .

Noi abbiamo:

- vera uguaglianza.

Differenziale lineare equazioni dell'ennesimo ordine. Teorema sulla soluzione generale di un'equazione lineare disomogenea dell'n-esimo ordine.

Un'equazione differenziale lineare dell'n-esimo ordine è un'equazione della forma: (1)

Se in questo coefficiente ur-ii, quindi, dividendo per esso, arriviamo all'equazione: (2) .

Di solito, equazioni del tipo (2). Assumiamo che nell'eq. (2) tutti i coefficienti e anche f(x) continuo su un certo intervallo (a,b). Quindi, secondo TSIE, l'equazione (2) ha una soluzione unica che soddisfa le condizioni iniziali: , , …, per . Qui - qualsiasi punto dell'intervallo (a,b), e tutti sono numeri dati. L'equazione (2) soddisfa TS&E , quindi non ha decisioni speciali.

Def.: speciale i punti sono quelli dove =0.

Proprietà di un'equazione lineare:

1. L'equazione lineare rimane lineare in ogni modifica della variabile indipendente.
2. L'equazione lineare rimane tale per ogni variazione lineare della funzione desiderata.

Def.: se nell'equazione (2) mettere f(x)=0, quindi otteniamo un'equazione della forma: (3) , che è chiamato equazione omogenea rispetto all'equazione disomogenea (2).

Introduciamo in considerazione l'operatore differenziale lineare: (4). Utilizzando questo operatore si possono riscrivere in forma abbreviata le equazioni (2) e (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operatore (4) ha le seguenti semplici proprietà:

Da queste due proprietà si deduce una conseguenza: .

Funzione y=y(x)è una soluzione dell'equazione disomogenea (2), Se L(y(x))=f(x), poi f(x) chiamato soluzione di un'equazione. Quindi la soluzione dell'equazione (3) chiamata funzione y(x), Se L(y(x))=0 entro gli intervalli considerati.

Tenere conto. equazione lineare disomogenea: , L(y)=f(x).

Supponiamo di aver trovato in qualche modo una soluzione particolare, allora .

Introduciamo una nuova funzione sconosciuta z secondo la formula: , dove è una soluzione particolare.

Sostituiscilo nell'equazione: , apri le parentesi e ottieni: .

L'equazione risultante può essere riscritta come:

Poiché è una soluzione particolare dell'equazione originale, allora , allora .

Abbiamo quindi ottenuto un'equazione omogenea rispetto a z. La soluzione generale di questa equazione omogenea è la combinazione lineare: , dove le funzioni - costituiscono il sistema fondamentale di soluzioni dell'equazione omogenea. Sostituendo z nella formula di sostituzione, otteniamo: (*) per funzione yè una funzione sconosciuta dell'equazione originale. Tutte le soluzioni dell'equazione originale saranno contenute in (*).

Quindi, la soluzione generale della lin disomogenea. L'equazione è rappresentata come la somma di una soluzione generale di un'equazione lineare omogenea e di qualche soluzione particolare di un'equazione disomogenea.

(continua dall'altra parte)

30. Il teorema di esistenza e unicità per la soluzione del dif. equazioni

Teorema: Se in un'equazione il lato destro è continuo in un rettangolo ed è limitato, e soddisfa anche la condizione di Lipschitz: , N=const, allora esiste un'unica soluzione che soddisfa le condizioni iniziali ed è definita sul segmento , dove .

Prova:

Considera uno spazio metrico completo CON, i cui punti sono tutte le possibili funzioni continue y(x) definite sull'intervallo , i cui grafici si trovano all'interno del rettangolo e la distanza è determinata dall'uguaglianza: . Questo spazio viene spesso utilizzato nell'analisi matematica e viene chiamato spazio di convergenza uniforme, poiché la convergenza nella metrica di questo spazio è uniforme.

Sostituisci diff. equazione con le condizioni iniziali date a un'equazione integrale equivalente: e considera l'operatore Ay), uguale al lato destro di questa equazione: . Questo operatore assegna ad ogni funzione continua

Usando la disuguaglianza di Lipschitz, possiamo scrivere che la distanza . Ora scegliamo tale , per il quale varrebbe la seguente disuguaglianza: .

Dovrebbe essere scelto in modo che, quindi. Pertanto, abbiamo dimostrato che .

Secondo il principio della mappatura della contrazione, esiste un singolo punto o, che è la stessa, una singola funzione: una soluzione di un'equazione differenziale che soddisfa le condizioni iniziali date.

Equazioni risolte mediante integrazione diretta

Consideriamo un'equazione differenziale della seguente forma:
.
Integriamo n volte.
;
;
eccetera. Puoi anche usare la formula:
.
Vedere Equazioni differenziali risolte direttamente integrazione > > >

Equazioni che non contengono esplicitamente la variabile dipendente y

La sostituzione porta a una diminuzione nell'ordine dell'equazione di uno. Ecco una funzione di .
Vedi Equazioni differenziali di ordine superiore che non contengono una funzione esplicita > > >

Equazioni che non contengono esplicitamente la variabile indipendente x

.
Assumiamo che sia una funzione di . Poi
.
Allo stesso modo per altri derivati. Di conseguenza, l'ordine dell'equazione viene ridotto di uno.
Vedere Equazioni differenziali di ordine superiore che non contengono una variabile esplicita > > >

Equazioni omogenee rispetto a y, y′, y′′, ...

Per risolvere questa equazione, facciamo una sostituzione
,
dove è una funzione di . Poi
.
Allo stesso modo, trasformiamo le derivate, ecc. Di conseguenza, l'ordine dell'equazione viene ridotto di uno.
Vedi Equazioni differenziali di ordine superiore omogenee rispetto a una funzione e alle sue derivate > > >

Equazioni differenziali lineari di ordine superiore

Tenere conto equazione differenziale lineare omogenea dell'n-esimo ordine:
(1) ,
dove sono le funzioni della variabile indipendente. Siano n soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione. Allora la soluzione generale dell'equazione (1) ha la forma:
(2) ,
dove sono costanti arbitrarie. Le funzioni stesse formano un sistema fondamentale di soluzioni.
Sistema decisionale fondamentale equazioni lineari omogenee dell'n-esimo ordine sono n soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione.

Tenere conto equazione differenziale lineare disomogenea dell'n-esimo ordine:
.
Sia una soluzione particolare (qualsiasi) di questa equazione. Quindi la soluzione generale è simile a:
,
dove è la soluzione generale dell'equazione omogenea (1).

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e loro riduzioni

Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti

Queste sono equazioni della forma:
(3) .
Ecco i numeri reali. Per trovare una soluzione generale a questa equazione, dobbiamo trovare n soluzioni linearmente indipendenti che formino un sistema fondamentale di soluzioni. Quindi la soluzione generale è determinata dalla formula (2):
(2) .

Alla ricerca di una soluzione nella forma. Noi abbiamo equazione caratteristica:
(4) .

Se questa equazione ha radici diverse, allora il sistema fondamentale di soluzioni ha la forma:
.

Se disponibile radice complessa
,
poi c'è anche una radice coniugata complessa. Queste due radici corrispondono a soluzioni e , che includiamo nel sistema fondamentale invece di soluzioni complesse e .

Radici multiple le molteplicità corrispondono a soluzioni linearmente indipendenti: .

Radici complesse multiple molteplicità e i loro complessi valori coniugati corrispondono a soluzioni linearmente indipendenti:
.

Equazioni lineari disomogenee con una parte speciale disomogenea

Considera un'equazione della forma
,
dove sono i polinomi di gradi s 1 e s 2 ; - permanente.

In primo luogo, stiamo cercando una soluzione generale all'equazione omogenea (3). Se l'equazione caratteristica (4) non contiene una radice, quindi cerchiamo una soluzione particolare nella forma:
,
dove
;
;
s - il più grande di s 1 e s 2 .

Se l'equazione caratteristica (4) ha una radice molteplicity , allora cerchiamo una soluzione particolare nella forma:
.

Successivamente, otteniamo la soluzione generale:
.

Equazioni lineari disomogenee a coefficienti costanti

Ci sono tre possibili soluzioni qui.

1) Metodo Bernoulli.
Innanzitutto, troviamo qualsiasi soluzione diversa da zero dell'equazione omogenea
.
Quindi facciamo una sostituzione
,
dove è una funzione della variabile x. Otteniamo un'equazione differenziale per u che contiene solo derivate di u rispetto a x . Sostituendo , otteniamo l'equazione n - 1 -esimo ordine.

2) Metodo di sostituzione lineare.
Facciamo una sostituzione
,
dove è una delle radici dell'equazione caratteristica (4). Di conseguenza, otteniamo un'equazione lineare disomogenea con coefficienti di ordine costante. Applicando coerentemente questa sostituzione, riduciamo l'equazione originale a un'equazione del primo ordine.

3) Metodo di variazione delle costanti di Lagrange.
In questo metodo, risolviamo prima l'equazione omogenea (3). La sua soluzione è simile a:
(2) .
In quanto segue, assumiamo che le costanti siano funzioni della variabile x . Allora la soluzione dell'equazione originale ha la forma:
,
dove sono funzioni sconosciute. Sostituendo nell'equazione originale e imponendo alcune restrizioni, otteniamo equazioni da cui possiamo trovare la forma delle funzioni.

Equazione di Eulero

Si riduce a un'equazione lineare a coefficienti costanti per sostituzione:
.
Tuttavia, per risolvere l'equazione di Eulero, non è necessario effettuare tale sostituzione. Si può immediatamente cercare una soluzione di un'equazione omogenea nella forma
.
Di conseguenza, otteniamo le stesse regole di un'equazione a coefficienti costanti, in cui invece di una variabile dobbiamo sostituire .

Riferimenti:
VV Stepanov, Corso di equazioni differenziali, LKI, 2015.
NM Gunther, RO Kuzmin, Raccolta di problemi in matematica superiore, Lan, 2003.