In questo articolo, mostreremo come definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di angolo e numero in trigonometria. Qui parleremo di notazione, forniremo esempi di record, forniremo illustrazioni grafiche. In conclusione, tracciamo un parallelo tra le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente in trigonometria e geometria.
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Definizione di seno, coseno, tangente e cotangente
Seguiamo come si forma il concetto di seno, coseno, tangente e cotangente nel corso di matematica della scuola. Nelle lezioni di geometria viene data la definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo. E successivamente si studia la trigonometria, che si riferisce al seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione e del numero. Diamo tutte queste definizioni, diamo esempi e diamo i commenti necessari.
Angolo acuto in un triangolo rettangolo
Dal corso della geometria sono note le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo. Sono dati come rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo. Vi presentiamo le loro formulazioni.
Definizione.
Seno di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa.
Definizione.
Coseno di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.
Definizione.
Tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.
Definizione.
Cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.
Lì viene introdotta anche la notazione di seno, coseno, tangente e cotangente, rispettivamente sin, cos, tg e ctg.
Ad esempio, se ABC è un triangolo rettangolo con angolo retto C, allora il seno dell'angolo acuto A è uguale al rapporto tra la gamba opposta BC e l'ipotenusa AB, cioè sin∠A=BC/AB.
Queste definizioni consentono di calcolare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto dalle lunghezze note dei lati di un triangolo rettangolo, nonché dai valori noti di seno, coseno, tangente, cotangente e la lunghezza di uno dei lati, trova le lunghezze degli altri lati. Ad esempio, se sapessimo che in un triangolo rettangolo la gamba AC è 3 e l'ipotenusa AB è 7 , allora potremmo calcolare il coseno dell'angolo acuto A per definizione: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Angolo di rotazione
Nella trigonometria, iniziano a guardare l'angolo in modo più ampio: introducono il concetto di angolo di rotazione. L'angolo di rotazione, a differenza di un angolo acuto, non è limitato a fotogrammi da 0 a 90 gradi, l'angolo di rotazione in gradi (e in radianti) può essere espresso da qualsiasi numero reale da −∞ a +∞.
In questa luce, le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente non sono più un angolo acuto, ma un angolo di grandezza arbitraria: l'angolo di rotazione. Sono dati attraverso le coordinate xey del punto A 1 , in cui passa il cosiddetto punto iniziale A(1, 0) dopo aver ruotato di un angolo α attorno al punto O - l'inizio di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari e il centro della circonferenza unitaria.
Definizione.
Seno di angolo di rotazioneα è l'ordinata del punto A 1 , cioè sinα=y .
Definizione.
coseno dell'angolo di rotazioneα è detta ascissa del punto A 1 , cioè cosα=x .
Definizione.
Tangente dell'angolo di rotazioneα è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 e la sua ascissa, cioè tgα=y/x .
Definizione.
La cotangente dell'angolo di rotazioneα è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 e la sua ordinata, cioè ctgα=x/y .
Il seno e il coseno sono definiti per qualsiasi angolo α , poiché possiamo sempre determinare l'ascissa e l'ordinata di un punto, che si ottiene ruotando il punto iniziale per l'angolo α . E tangente e cotangente non sono definiti per nessun angolo. La tangente non è definita per tali angoli α in cui il punto iniziale va ad un punto con ascisse zero (0, 1) o (0, −1) , e questo avviene ad angoli 90°+180° k , k∈Z (π /2+π krad). Infatti, a tali angoli di rotazione, l'espressione tgα=y/x non ha senso, poiché contiene una divisione per zero. Per quanto riguarda la cotangente, non è definita per tali angoli α in cui il punto di partenza va in un punto con ordinata zero (1, 0) o (−1, 0) , e questo è il caso per angoli 180° k , k ∈Z (π krad).
Quindi, seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo di rotazione, la tangente è definita per tutti gli angoli tranne 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) e la cotangente è per tutti gli angoli tranne 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Le notazioni a noi già note compaiono nelle definizioni sin, cos, tg e ctg, sono usate anche per denotare il seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione (a volte si può trovare la notazione tan e cot corrispondente a tangente e cotangente). Quindi il seno dell'angolo di rotazione di 30 gradi può essere scritto come sin30°, i record tg(−24°17′) e ctgα corrispondono alla tangente dell'angolo di rotazione −24 gradi 17 minuti e alla cotangente dell'angolo di rotazione α . Ricordiamo che quando si scrive la misura in radianti di un angolo, la notazione "rad" viene spesso omessa. Ad esempio, il coseno di un angolo di rotazione di tre pi rad è solitamente indicato con cos3 π .
In conclusione di questo paragrafo, vale la pena notare che quando si parla di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione si omette spesso la frase “angolo di rotazione” o la parola “rotazione”. Cioè, invece della frase "seno dell'angolo di rotazione alfa", viene solitamente utilizzata la frase "seno dell'angolo di alfa", o anche più breve - "seno di alfa". Lo stesso vale per coseno, tangente e cotangente.
Diciamo anche che le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo sono coerenti con le definizioni appena date per seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di rotazione compreso tra 0 e 90 gradi. Lo sosterremo.
Numeri
Definizione.
Seno, coseno, tangente e cotangente di un numero t è un numero uguale rispettivamente a seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione in t radianti.
Ad esempio, il coseno di 8 π è, per definizione, un numero uguale al coseno di un angolo di 8 π rad. E il coseno dell'angolo in 8 π rad è uguale a uno, quindi il coseno del numero 8 π è uguale a 1.
C'è un altro approccio alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero. Consiste nel fatto che ad ogni numero reale t viene assegnato un punto della circonferenza unitaria centrato all'origine del sistema di coordinate rettangolari, e attraverso le coordinate di questo punto si determinano seno, coseno, tangente e cotangente. Soffermiamoci su questo in modo più dettagliato.
Mostriamo come si stabilisce la corrispondenza tra numeri reali e punti della circonferenza:
- al numero 0 viene assegnato il punto di partenza A(1, 0) ;
- un numero positivo t è associato ad un punto della circonferenza unitaria, a cui si arriva se ci muoviamo dal punto di partenza in senso antiorario lungo la circonferenza e percorriamo un percorso di lunghezza t;
- un numero negativo t è associato ad un punto della circonferenza unitaria, a cui si arriva se ci muoviamo dal punto di partenza in senso orario lungo la circonferenza e percorriamo un percorso di lunghezza |t| .
Passiamo ora alle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente del numero t. Assumiamo che il numero t corrisponda ad un punto del cerchio A 1 (x, y) (ad esempio, il numero &pi/2; corrisponde al punto A 1 (0, 1) ).
Definizione.
Il seno di un numero t è l'ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t , cioè sint=y .
Definizione.
Il coseno di un numero t è detta ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t , cioè cost=x .
Definizione.
Tangente di un numero t è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè tgt=y/x. In un'altra formulazione equivalente, la tangente del numero t è il rapporto tra il seno di questo numero e il coseno, cioè tgt=sint/costo .
Definizione.
Cotangente di un numero t è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè ctgt=x/y. Un'altra formulazione è la seguente: la tangente del numero t è il rapporto tra il coseno del numero t e il seno del numero t : ctgt=costo/sint .
Qui notiamo che le definizioni appena fornite concordano con la definizione data all'inizio di questa sottosezione. Infatti, il punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t coincide con il punto ottenuto ruotando il punto iniziale di un angolo di t radianti.
Vale anche la pena chiarire questo punto. Diciamo che abbiamo una voce sin3. Come capire se è in questione il seno del numero 3 o il seno dell'angolo di rotazione di 3 radianti? Questo di solito è chiaro dal contesto, altrimenti probabilmente non ha importanza.
Funzioni trigonometriche di argomento angolare e numerico
Secondo le definizioni date nel paragrafo precedente, ad ogni angolo di rotazione α corrisponde un valore ben definito di sinα, nonché il valore di cosα. Inoltre, tutti gli angoli di rotazione diversi da 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) corrispondono ai valori tgα , e diversi da 180° k , k∈Z (π k rad ) sono i valori di ctga. Quindi sinα, cosα, tga e ctga sono funzioni dell'angolo α. In altre parole, queste sono funzioni dell'argomento angolare.
Allo stesso modo, possiamo parlare delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente di un argomento numerico. Ad ogni numero reale t corrisponde infatti un valore ben definito di sint , oltre che di costo . Inoltre, tutti i numeri diversi da π/2+π·k , k∈Z corrispondono ai valori tgt e i numeri π·k , k∈Z corrispondono ai valori ctgt .
Vengono chiamate le funzioni seno, coseno, tangente e cotangente funzioni trigonometriche di base.
Di solito è chiaro dal contesto che si tratta di funzioni trigonometriche di un argomento angolare o di un argomento numerico. Altrimenti, possiamo considerare la variabile indipendente sia come una misura dell'angolo (l'argomento dell'angolo) che come un argomento numerico.
Tuttavia, la scuola studia principalmente le funzioni numeriche, cioè le funzioni i cui argomenti, così come i corrispondenti valori delle funzioni, sono numeri. Pertanto, se stiamo parlando di funzioni, è consigliabile considerare le funzioni trigonometriche come funzioni di argomenti numerici.
Collegamento di definizioni da geometria e trigonometria
Se consideriamo l'angolo di rotazione α da 0 a 90 gradi, i dati nel contesto della trigonometria della definizione di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione sono pienamente coerenti con le definizioni di seno, coseno , tangenti e cotangenti di un angolo acuto in un triangolo rettangolo, che sono date nel corso di geometria. Confermiamo questo.
Disegna un cerchio unitario nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari Oxy. Notare il punto di partenza A(1, 0) . Ruotiamolo di un angolo α compreso tra 0 e 90 gradi, otteniamo il punto A 1 (x, y) . Lasciamo cadere la perpendicolare A 1 H dal punto A 1 all'asse Ox.
È facile vedere che in un triangolo rettangolo l'angolo A 1 OH è uguale all'angolo di rotazione α, la lunghezza della gamba OH adiacente a tale angolo è uguale all'ascissa del punto A 1, cioè |OH |=x, la lunghezza della gamba A 1 H opposta all'angolo è uguale all'ordinata del punto A 1 , cioè |A 1 H|=y , e la lunghezza dell'ipotenusa OA 1 è uguale a uno , poiché è il raggio della circonferenza unitaria. Quindi, per definizione dalla geometria, il seno di un angolo acuto α in un triangolo rettangolo A 1 OH è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa, cioè sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . E per definizione dalla trigonometria, il seno dell'angolo di rotazione α è uguale all'ordinata del punto A 1, cioè sinα=y. Ciò mostra che la definizione del seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è equivalente alla definizione del seno dell'angolo di rotazione α per α da 0 a 90 gradi.
Allo stesso modo, si può dimostrare che le definizioni di coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto α sono coerenti con le definizioni di coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione α.
Bibliografia.
- Geometria. 7-9 gradi: studi. per l'istruzione generale istituzioni / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev e altri]. - 20a ed. M.: Educazione, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov AV Geometria: proc. per 7-9 cellule. educazione generale istituzioni / A. V. Pogorelov. - 2a ed. - M.: Illuminismo, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra e funzioni elementari: Libro di testo per studenti di grado 9 della scuola secondaria / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; A cura del Dottore in Scienze Fisiche e Matematiche O. N. Golovin - 4a ed. Mosca: Istruzione, 1969.
- Algebra: Proc. per 9 celle. media scuola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ed. SA Telyakovsky.- M.: Illuminismo, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per 10-11 cellule. educazione generale istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; ed. A. N. Kolmogorova.- 14a ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A.G. L'algebra e gli inizi dell'analisi. Grado 10. Alle 14 Parte 1: un libro di testo per le istituzioni educative (livello di profilo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4a ed., aggiungere. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra e l'inizio dell'analisi matematica. Grado 10: libro di testo. per l'istruzione generale istituzioni: base e profilo. livelli /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. AB Zhizhchenko. - 3a ed. - I.: Istruzione, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov MI L'algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per 10-11 cellule. media scuola - 3a ed. - M.: Illuminismo, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche): Proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., ill.
Comprendere concetti semplici: seno e coseno e calcolo coseno al quadrato e seno al quadrato.
Seno e coseno sono studiati in trigonometria (la scienza dei triangoli con un angolo retto).
Pertanto, per cominciare, ricordiamo i concetti di base di un triangolo rettangolo:
Ipotenusa- il lato che si trova sempre opposto all'angolo retto (angolo di 90 gradi). L'ipotenusa è il lato più lungo di un triangolo rettangolo.
Si chiamano i restanti due lati di un triangolo rettangolo gambe.
Ricorda anche che i tre angoli in un triangolo sommano sempre fino a 180°.
Ora passiamo a coseno e seno dell'angolo alfa (∠α)(quindi puoi chiamare qualsiasi angolo non retto in un triangolo o usarlo come simbolo x - "x", che non cambia l'essenza).
Seno dell'angolo alfa (sin ∠α)- è un atteggiamento di fronte gamba (il lato opposto all'angolo corrispondente) all'ipotenusa. Se guardi la figura, allora sin ∠ABC = AC / BC
Coseno dell'angolo alfa (cos ∠α)- atteggiamento adiacente all'angolo della gamba rispetto all'ipotenusa. Guardando ancora la figura sopra, allora cos ∠ABC = AB / BC
E solo per ricordarti: coseno e seno non saranno mai maggiori di uno, poiché entrambi i rulli sono più corti dell'ipotenusa (e l'ipotenusa è il lato più lungo di qualsiasi triangolo, perché il lato più lungo si trova di fronte all'angolo più grande del triangolo) .
Coseno al quadrato, seno al quadrato
Passiamo ora alle formule trigonometriche di base: calcolare il coseno al quadrato e il seno al quadrato.
Per calcolarli, dovresti ricordare l'identità trigonometrica di base:
sin 2 α + cos 2 α = 1(il quadrato del seno più il quadrato del coseno di un angolo è sempre uguale a uno).
Dall'identità trigonometrica traiamo conclusioni sul seno:
sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α
seno quadrato alfaè uguale a uno meno il coseno del doppio angolo alfa e tutto questo è diviso per due.
sin2α = (1 – cos(2α)) / 2
Dall'identità trigonometrica traiamo conclusioni sul coseno:
cos 2 α \u003d 1 - peccato 2 α
o una versione più complessa della formula: coseno quadrato alfaè uguale a uno più il coseno del doppio angolo alfa e divide anche tutto per due.
cos2α = (1 + cos(2α)) / 2
Queste due formule più complesse di seno al quadrato e coseno al quadrato sono anche chiamate "riduzione di potenza per i quadrati delle funzioni trigonometriche". Quelli. era il secondo grado, abbassato al primo e i calcoli divennero più convenienti.
La trigonometria è una branca della matematica che studia le funzioni trigonometriche e il loro uso in geometria. Lo sviluppo della trigonometria iniziò ai tempi dell'antica Grecia. Durante il Medioevo, scienziati del Medio Oriente e dell'India hanno dato un importante contributo allo sviluppo di questa scienza.
Questo articolo è dedicato ai concetti di base e alle definizioni della trigonometria. Vengono discusse le definizioni delle principali funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente. Il loro significato nel contesto della geometria viene spiegato e illustrato.
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Inizialmente, le definizioni delle funzioni trigonometriche, il cui argomento è un angolo, erano espresse attraverso il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo.
Definizioni di funzioni trigonometriche
Il seno di un angolo (sin α) è il rapporto tra la gamba opposta a questo angolo e l'ipotenusa.
Il coseno dell'angolo (cos α) è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.
La tangente dell'angolo (t g α) è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente.
La cotangente dell'angolo (c t g α) è il rapporto tra la gamba adiacente e quella opposta.
Queste definizioni sono date per un angolo acuto di un triangolo rettangolo!
Diamo un'illustrazione.
Nel triangolo ABC con angolo retto C, il seno dell'angolo A è uguale al rapporto tra la gamba BC e l'ipotenusa AB.
Le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente consentono di calcolare i valori di queste funzioni dalle lunghezze note dei lati di un triangolo.
Importante da ricordare!
L'intervallo dei valori di seno e coseno: da -1 a 1. In altre parole, seno e coseno assumono valori da -1 a 1. L'intervallo di valori tangenti e cotangenti è l'intera linea numerica, ovvero questi le funzioni possono assumere qualsiasi valore.
Le definizioni date sopra si riferiscono ad angoli acuti. In trigonometria viene introdotto il concetto di angolo di rotazione, il cui valore, a differenza di un angolo acuto, non è limitato da frame da 0 a 90 gradi L'angolo di rotazione in gradi o radianti è espresso da qualsiasi numero reale da - ∞ a + ∞.
In questo contesto si possono definire seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di grandezza arbitraria. Immagina un cerchio unitario centrato all'origine del sistema di coordinate cartesiane.
Il punto iniziale A con coordinate (1 , 0) ruota attorno al centro della circonferenza unitaria di un angolo α e va al punto A 1 . La definizione è data attraverso le coordinate del punto A 1 (x, y).
Seno (peccato) dell'angolo di rotazione
Il seno dell'angolo di rotazione α è l'ordinata del punto A 1 (x, y). sinα = y
Coseno (cos) dell'angolo di rotazione
Il coseno dell'angolo di rotazione α è l'ascissa del punto A 1 (x, y). cos α = x
Tangente (tg) dell'angolo di rotazione
La tangente dell'angolo di rotazione α è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 (x, y) e la sua ascissa. t g α = y x
Cotangente (ctg) dell'angolo di rotazione
La cotangente dell'angolo di rotazione α è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 (x, y) e la sua ordinata. c t g α = x y
Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo di rotazione. Questo è logico, perché l'ascissa e l'ordinata del punto dopo la rotazione possono essere determinate con qualsiasi angolo. La situazione è diversa con tangente e cotangente. La tangente non è definita quando il punto dopo la rotazione va al punto con ascisse zero (0 , 1) e (0 , - 1). In questi casi, l'espressione per la tangente t g α = y x semplicemente non ha senso, poiché contiene la divisione per zero. La situazione è simile con la cotangente. La differenza è che la cotangente non è definita nei casi in cui l'ordinata del punto svanisce.
Importante da ricordare!
Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo α.
La tangente è definita per tutti gli angoli tranne α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
La cotangente è definita per tutti gli angoli tranne α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Quando si risolvono esempi pratici, non dire "seno dell'angolo di rotazione α". Le parole "angolo di rotazione" sono semplicemente omesse, il che implica che dal contesto è già chiaro la posta in gioco.
Numeri
Che dire della definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero e non dell'angolo di rotazione?
Seno, coseno, tangente, cotangente di un numero
Seno, coseno, tangente e cotangente di un numero T viene chiamato un numero, che è rispettivamente uguale al seno, coseno, tangente e cotangente in T radiante.
Ad esempio, il seno di 10 π è uguale al seno dell'angolo di rotazione di 10 π rad.
C'è un altro approccio alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero. Consideriamolo più in dettaglio.
Qualsiasi numero reale T un punto sulla circonferenza unitaria viene posto in corrispondenza del centro all'origine del sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Seno, coseno, tangente e cotangente sono definiti in base alle coordinate di questo punto.
Il punto iniziale sulla circonferenza è il punto A con coordinate (1 , 0).
numero positivo T
Numero negativo T corrisponde al punto in cui si sposterà il punto iniziale se si muove in senso antiorario attorno al cerchio e supera il percorso t .
Stabilito il collegamento tra il numero e il punto della circonferenza, si procede alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente.
Seno (peccato) del numero t
Seno di un numero T- ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero T. peccato t = y
Coseno (cos) di t
Coseno di un numero T- ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero T. cos t = x
Tangente (tg) di t
Tangente di un numero T- il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero T. t g t = y x = sin t cos t
Queste ultime definizioni sono coerenti e non contraddicono la definizione data all'inizio di questa sezione. Punta su un cerchio corrispondente a un numero T, coincide con il punto in cui passa il punto iniziale dopo aver girato per l'angolo T radiante.
Funzioni trigonometriche di argomento angolare e numerico
Ogni valore dell'angolo α corrisponde a un certo valore del seno e del coseno di questo angolo. Come tutti gli angoli α diversi da α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corrisponde a un certo valore della tangente. La cotangente, come detto sopra, è definita per tutti gli α, eccetto per α = 180 °k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Possiamo dire che sin α , cos α , t g α , c t g α sono funzioni dell'angolo alfa, o funzioni dell'argomento angolare.
Allo stesso modo, si può parlare di seno, coseno, tangente e cotangente come funzioni di un argomento numerico. Ogni numero reale T corrisponde a un valore specifico del seno o coseno di un numero T. Tutti i numeri diversi da π 2 + π · k , k ∈ Z, corrispondono al valore della tangente. La cotangente è definita in modo simile per tutti i numeri tranne π · k , k ∈ Z.
Funzioni di base della trigonometria
Seno, coseno, tangente e cotangente sono le funzioni trigonometriche di base.
Di solito è chiaro dal contesto con quale argomento della funzione trigonometrica (argomento angolare o argomento numerico) abbiamo a che fare.
Torniamo ai dati all'inizio delle definizioni e all'angolo alfa, che si trova nell'intervallo da 0 a 90 gradi. Le definizioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente sono in completo accordo con le definizioni geometriche date dai rapporti dei lati di un triangolo rettangolo. Mostriamolo.
Prendi una circonferenza unitaria centrata su un sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Ruotiamo il punto iniziale A (1, 0) di un angolo fino a 90 gradi e disegniamo dal punto risultante A 1 (x, y) perpendicolare all'asse x. Nel triangolo rettangolo risultante, l'angolo A 1 O H è uguale all'angolo di rotazione α, la lunghezza della gamba O H è uguale all'ascissa del punto A 1 (x, y) . La lunghezza della gamba opposta all'angolo è uguale all'ordinata del punto A 1 (x, y), e la lunghezza dell'ipotenusa è uguale a uno, poiché è il raggio del cerchio unitario.
Secondo la definizione della geometria, il seno dell'angolo α è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Ciò significa che la definizione del seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo attraverso le proporzioni è equivalente alla definizione del seno dell'angolo di rotazione α, con alfa che si trova nell'intervallo da 0 a 90 gradi.
Allo stesso modo, la corrispondenza delle definizioni può essere mostrata per coseno, tangente e cotangente.
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I concetti di seno, coseno, tangente e cotangente sono le categorie principali della trigonometria, una branca della matematica, e sono indissolubilmente legati alla definizione di un angolo. Il possesso di questa scienza matematica richiede la memorizzazione e la comprensione di formule e teoremi, nonché un pensiero spaziale sviluppato. Ecco perché i calcoli trigonometrici spesso causano difficoltà agli scolari e agli studenti. Per superarli, dovresti acquisire maggiore familiarità con le funzioni e le formule trigonometriche.
Concetti di trigonometria
Per comprendere i concetti di base della trigonometria, devi prima decidere cosa sono un triangolo rettangolo e un angolo in un cerchio e perché tutti i calcoli trigonometrici di base sono associati ad essi. Un triangolo in cui uno degli angoli è di 90 gradi è un triangolo rettangolo. Storicamente, questa figura è stata spesso utilizzata da persone in architettura, navigazione, arte, astronomia. Di conseguenza, studiando e analizzando le proprietà di questa figura, le persone sono arrivate al calcolo dei rapporti corrispondenti dei suoi parametri.
Le principali categorie associate ai triangoli rettangoli sono l'ipotenusa e le gambe. L'ipotenusa è il lato di un triangolo opposto all'angolo retto. Le gambe, rispettivamente, sono gli altri due lati. La somma degli angoli di ogni triangolo è sempre 180 gradi.
La trigonometria sferica è una sezione della trigonometria che non viene studiata a scuola, ma nelle scienze applicate come l'astronomia e la geodesia, gli scienziati la usano. Una caratteristica di un triangolo nella trigonometria sferica è che ha sempre una somma di angoli maggiore di 180 gradi.
Angoli di un triangolo
In un triangolo rettangolo, il seno di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta all'angolo desiderato e l'ipotenusa del triangolo. Di conseguenza, il coseno è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa. Entrambi questi valori hanno sempre un valore minore di uno, poiché l'ipotenusa è sempre più lunga della gamba.
La tangente di un angolo è un valore uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente dell'angolo desiderato, o seno e coseno. La cotangente, a sua volta, è il rapporto tra la gamba adiacente dell'angolo desiderato e il cactet opposto. La cotangente di un angolo si ottiene anche dividendo l'unità per il valore della tangente.
cerchio unitario
Un cerchio unitario in geometria è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Tale cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane, con il centro del cerchio coincidente con il punto di origine, e la posizione iniziale del vettore raggio è determinata dalla direzione positiva dell'asse X (asse delle ascisse). Ogni punto del cerchio ha due coordinate: XX e YY, cioè le coordinate dell'ascissa e dell'ordinata. Selezionando un punto qualsiasi della circonferenza nel piano XX e facendo cadere la perpendicolare da esso all'asse delle ascisse, otteniamo un triangolo rettangolo formato da un raggio al punto selezionato (indichiamolo con la lettera C), una perpendicolare disegnata a l'asse X (il punto di intersezione è indicato dalla lettera G) e un segmento l'asse delle ascisse tra l'origine (il punto è indicato dalla lettera A) e il punto di intersezione G. Il triangolo risultante ACG è un triangolo rettangolo inscritto in un cerchio, dove AG è l'ipotenusa e AC e GC sono le gambe. L'angolo tra il raggio del cerchio AC e il segmento dell'asse delle ascisse con la designazione AG, lo definiamo α (alfa). Quindi, cos α = AG/AC. Dato che AC è il raggio della circonferenza unitaria, ed è uguale a uno, risulta che cos α=AG. Allo stesso modo, sin α=CG.
Inoltre, conoscendo questi dati, è possibile determinare la coordinata del punto C sulla circonferenza, poiché cos α=AG, e sin α=CG, il che significa che il punto C ha le coordinate date (cos α; sin α). Sapendo che la tangente è uguale al rapporto tra seno e coseno, possiamo determinare che tg α \u003d y / x e ctg α \u003d x / y. Considerando gli angoli in un sistema di coordinate negativo, si può calcolare che i valori seno e coseno di alcuni angoli possono essere negativi.
Calcoli e formule di base
Valori delle funzioni trigonometriche
Avendo considerato l'essenza delle funzioni trigonometriche attraverso il cerchio unitario, possiamo ricavare i valori di queste funzioni per alcuni angoli. I valori sono elencati nella tabella seguente.
Le identità trigonometriche più semplici
Le equazioni in cui c'è un valore incognito sotto il segno della funzione trigonometrica sono dette trigonometriche. Identità con il valore sin x = α, k è un numero intero qualsiasi:
- peccato x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- peccato x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
- peccato x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcoseno α + πk.
Identità con il valore cos x = a, dove k è un qualsiasi intero:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identità con il valore tg x = a, dove k è un qualsiasi intero:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identità con valore ctg x = a, dove k è un qualsiasi numero intero:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Formule di colata
Questa categoria di formule costanti denota metodi con cui è possibile passare dalle funzioni trigonometriche della forma alle funzioni dell'argomento, ovvero convertire seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di qualsiasi valore nei corrispondenti indicatori dell'angolo di l'intervallo da 0 a 90 gradi per una maggiore comodità di calcolo.
Le formule per ridurre le funzioni per il seno di un angolo si presentano così:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = peccato α;
- sin(1800 + α) = -peccato α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -peccato α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Per il coseno di un angolo:
- cos(900 - α) = peccato α;
- cos(900 + α) = -peccato α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -peccato α;
- cos(2700 + α) = peccato α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
L'utilizzo delle formule di cui sopra è possibile subordinatamente a due regole. Innanzitutto, se l'angolo può essere rappresentato come un valore (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), il valore della funzione cambia:
- dal peccato al cos;
- da cos a peccato;
- da tg a ctg;
- da ctg a tg.
Il valore della funzione rimane invariato se l'angolo può essere rappresentato come (π ± a) o (2π ± a).
In secondo luogo, il segno della funzione ridotta non cambia: se inizialmente era positivo, rimane tale. Lo stesso vale per le funzioni negative.
Formule di addizione
Queste formule esprimono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente della somma e della differenza di due angoli di rotazione in termini delle loro funzioni trigonometriche. Gli angoli sono generalmente indicati come α e β.
Le formule si presentano così:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Queste formule sono valide per qualsiasi angolo α e β.
Formule del doppio e del triplo angolo
Le formule trigonometriche di un angolo doppio e triplo sono formule che mettono in relazione le funzioni degli angoli 2α e 3α, rispettivamente, con le funzioni trigonometriche dell'angolo α. Derivato da formule di addizione:
- sin2α = 2 sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2peccato^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3 sinα - 4 sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Passaggio dalla somma al prodotto
Considerando che 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), semplificando questa formula, otteniamo l'identità sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Allo stesso modo, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Passaggio dal prodotto alla somma
Queste formule seguono dalle identità per il passaggio della somma al prodotto:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Formule di riduzione
In queste identità, le potenze quadrate e cubiche del seno e del coseno possono essere espresse in termini di seno e coseno della prima potenza di un angolo multiplo:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Sostituzione universale
Le formule di sostituzione trigonometrica universale esprimono funzioni trigonometriche in termini di tangente di un semiangolo.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), mentre x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), dove x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), dove x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), mentre x \u003d π + 2πn.
Casi speciali
Di seguito sono riportati casi particolari delle equazioni trigonometriche più semplici (k è un numero intero).
Privato per seno:
| peccato x valore | x valore |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk |
Quozienti coseno:
| cos x valore | x valore |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privato per tangente:
| tg x valore | x valore |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Quozienti cotangenti:
| ctg x valore | x valore |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoremi
Teorema seno
Esistono due versioni del teorema: semplice ed estesa. Teorema seno semplice: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In questo caso, a, b, c sono i lati del triangolo e α, β, γ sono rispettivamente gli angoli opposti.
Teorema del seno esteso per un triangolo arbitrario: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In questa identità, R indica il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo dato.
Teorema del coseno
L'identità viene visualizzata in questo modo: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Nella formula, a, b, c sono i lati del triangolo e α è l'angolo opposto al lato a.
Teorema della tangente
La formula esprime la relazione tra le tangenti di due angoli e la lunghezza dei lati opposti. I lati sono etichettati a, b, c e gli angoli opposti corrispondenti sono α, β, γ. La formula del teorema della tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Teorema della cotangente
Associa il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo alla lunghezza dei suoi lati. Se a, b, c sono i lati di un triangolo e A, B, C, rispettivamente, sono i loro angoli opposti, r è il raggio del cerchio inscritto e p è il semiperimetro del triangolo, le seguenti identità presa:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Applicazioni
La trigonometria non è solo una scienza teorica associata alle formule matematiche. Le sue proprietà, teoremi e regole sono utilizzati in pratica da vari rami dell'attività umana: astronomia, navigazione aerea e marittima, teoria musicale, geodesia, chimica, acustica, ottica, elettronica, architettura, economia, ingegneria meccanica, lavoro di misurazione, computer grafica, cartografia, oceanografia e molti altri.
Seno, coseno, tangente e cotangente sono i concetti base della trigonometria, con i quali è possibile esprimere matematicamente la relazione tra angoli e lunghezze dei lati di un triangolo e trovare le quantità desiderate attraverso identità, teoremi e regole.
Uno dei rami della matematica con cui gli scolari affrontano le maggiori difficoltà è la trigonometria. Non c'è da stupirsi: per padroneggiare liberamente quest'area della conoscenza, è necessario il pensiero spaziale, la capacità di trovare seni, coseni, tangenti, cotangenti usando formule, semplificare le espressioni ed essere in grado di utilizzare il numero pi nei calcoli. Inoltre, è necessario essere in grado di applicare la trigonometria durante la dimostrazione di teoremi, e ciò richiede una memoria matematica sviluppata o la capacità di dedurre catene logiche complesse.
Origini della trigonometria
La conoscenza di questa scienza dovrebbe iniziare con la definizione di seno, coseno e tangente dell'angolo, ma prima devi capire cosa fa la trigonometria in generale.
Storicamente, i triangoli rettangoli sono stati il principale oggetto di studio in questa sezione di scienze matematiche. La presenza di un angolo di 90 gradi consente di effettuare varie operazioni che consentono di determinare i valori di tutti i parametri della figura in esame utilizzando due lati e un angolo oppure due angoli e un lato. In passato, le persone hanno notato questo modello e hanno iniziato a usarlo attivamente nella costruzione di edifici, nella navigazione, nell'astronomia e persino nell'arte.
Primo stadio
Inizialmente, le persone parlavano della relazione tra angoli e lati esclusivamente sull'esempio dei triangoli rettangoli. Quindi sono state scoperte formule speciali che hanno permesso di ampliare i confini dell'uso nella vita quotidiana di questa sezione della matematica.
Lo studio della trigonometria a scuola oggi inizia con i triangoli rettangoli, dopo di che le conoscenze acquisite vengono utilizzate dagli studenti di fisica e risolvendo equazioni trigonometriche astratte, il cui lavoro inizia al liceo.
Trigonometria sferica
Più tardi, quando la scienza raggiunse il livello successivo di sviluppo, le formule con seno, coseno, tangente, cotangente iniziarono ad essere utilizzate nella geometria sferica, dove si applicano regole diverse e la somma degli angoli in un triangolo è sempre superiore a 180 gradi. Questa sezione non è studiata a scuola, ma è necessario conoscerne l'esistenza, almeno perché la superficie terrestre, e la superficie di qualsiasi altro pianeta, è convessa, il che significa che qualsiasi segno di superficie sarà "a forma di arco" in spazio tridimensionale.
Prendi il globo e infila. Attacca il filo a due punti qualsiasi del globo in modo che sia teso. Fai attenzione: ha acquisito la forma di un arco. È con tali forme che si occupa della geometria sferica, utilizzata in geodesia, astronomia e altri campi teorici e applicati.
Triangolo rettangolo
Dopo aver appreso un po 'i modi di utilizzare la trigonometria, torniamo alla trigonometria di base per capire ulteriormente cosa sono seno, coseno, tangente, quali calcoli possono essere eseguiti con il loro aiuto e quali formule utilizzare.
Il primo passo è comprendere i concetti relativi a un triangolo rettangolo. Innanzitutto, l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo di 90 gradi. Lei è la più lunga. Ricordiamo che, secondo il teorema di Pitagora, il suo valore numerico è uguale alla radice della somma dei quadrati degli altri due lati.
Ad esempio, se due lati misurano rispettivamente 3 e 4 centimetri, la lunghezza dell'ipotenusa sarà di 5 centimetri. A proposito, gli antichi egizi lo sapevano circa quattromilacinquecento anni fa.
I due lati rimanenti che formano un angolo retto sono chiamati gambe. Inoltre, dobbiamo ricordare che la somma degli angoli in un triangolo in un sistema di coordinate rettangolare è di 180 gradi.
Definizione
Infine, con una solida conoscenza della base geometrica, possiamo passare alla definizione del seno, coseno e tangente di un angolo.
Il seno di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta (cioè il lato opposto all'angolo desiderato) e l'ipotenusa. Il coseno di un angolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.
Ricorda che né seno né coseno possono essere maggiori di uno! Come mai? Perché l'ipotenusa è per impostazione predefinita la più lunga.Non importa quanto sia lunga la gamba, sarà più corta dell'ipotenusa, il che significa che il loro rapporto sarà sempre inferiore a uno. Pertanto, se ottieni un seno o un coseno con un valore maggiore di 1 nella risposta al problema, cerca un errore nei calcoli o nel ragionamento. Questa risposta è chiaramente sbagliata.
Infine, la tangente di un angolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente. Lo stesso risultato darà la divisione del seno per il coseno. Guarda: secondo la formula, dividiamo la lunghezza del lato per l'ipotenusa, dopodiché la dividiamo per la lunghezza del secondo lato e moltiplichiamo per l'ipotenusa. Quindi, otteniamo lo stesso rapporto della definizione di tangente.
La cotangente, rispettivamente, è il rapporto tra il lato adiacente all'angolo e il lato opposto. Otteniamo lo stesso risultato dividendo l'unità per la tangente.
Quindi, abbiamo considerato le definizioni di cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente e possiamo occuparci delle formule.
Le formule più semplici
In trigonometria, non si può fare a meno delle formule: come trovare seno, coseno, tangente, cotangente senza di esse? E questo è esattamente ciò che è necessario quando si risolvono i problemi.
La prima formula che devi sapere quando inizi a studiare la trigonometria dice che la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è uguale a uno. Questa formula è una diretta conseguenza del teorema di Pitagora, ma fa risparmiare tempo se si vuole conoscere il valore dell'angolo, non del lato.
Molti studenti non riescono a ricordare la seconda formula, che è anche molto popolare quando si risolvono problemi scolastici: la somma di uno e il quadrato della tangente di un angolo è uguale a uno diviso per il quadrato del coseno dell'angolo. Dai un'occhiata più da vicino: dopotutto, questa è la stessa affermazione della prima formula, solo entrambi i lati dell'identità erano divisi dal quadrato del coseno. Si scopre che una semplice operazione matematica rende la formula trigonometrica completamente irriconoscibile. Ricorda: sapendo cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente, le regole di conversione e alcune formule di base, puoi in qualsiasi momento derivare autonomamente su un foglio di carta le formule più complesse richieste.
Formule del doppio angolo e addizione di argomenti
Altre due formule che devi imparare sono relative ai valori del seno e del coseno per la somma e la differenza degli angoli. Sono mostrati nella figura seguente. Si noti che nel primo caso, il seno e il coseno vengono moltiplicati entrambe le volte e nel secondo viene aggiunto il prodotto a coppie di seno e coseno.
Esistono anche formule associate agli argomenti del doppio angolo. Sono completamente derivati dai precedenti: come pratica, prova a procurarteli da solo, prendendo l'angolo alfa uguale all'angolo beta.
Infine, si noti che le formule del doppio angolo possono essere convertite per abbassare il grado di seno, coseno, alfa tangente.
Teoremi
I due teoremi principali della trigonometria di base sono il teorema del seno e il teorema del coseno. Con l'aiuto di questi teoremi, puoi facilmente capire come trovare seno, coseno e tangente, e quindi l'area della figura, e la dimensione di ciascun lato, ecc.
Il teorema seno afferma che dividendo la lunghezza di ciascuno dei lati del triangolo per il valore dell'angolo opposto, otteniamo lo stesso numero. Inoltre, questo numero sarà uguale a due raggi del cerchio circoscritto, cioè il cerchio contenente tutti i punti del triangolo dato.
Il teorema del coseno generalizza il teorema di Pitagora, proiettandolo su qualsiasi triangolo. Si scopre che dalla somma dei quadrati dei due lati, sottrarre il loro prodotto moltiplicato per il doppio coseno dell'angolo adiacente a loro - il valore risultante sarà uguale al quadrato del terzo lato. Pertanto, il teorema di Pitagora risulta essere un caso speciale del teorema del coseno.
Errori dovuti alla disattenzione
Anche sapendo cosa sono seno, coseno e tangente, è facile sbagliare per distrazione o per un errore nei calcoli più semplici. Per evitare tali errori, conosciamo i più popolari.
Innanzitutto, non dovresti convertire le frazioni ordinarie in decimali fino a quando non avrai ottenuto il risultato finale: puoi lasciare la risposta come frazione ordinaria, a meno che la condizione non indichi diversamente. Una tale trasformazione non può essere definita un errore, ma va ricordato che in ogni fase del problema possono apparire nuove radici che, secondo l'idea dell'autore, dovrebbero essere ridotte. In questo caso, perderai tempo in operazioni matematiche non necessarie. Ciò è particolarmente vero per valori come la radice di tre o due, perché si verificano nelle attività ad ogni passaggio. Lo stesso vale per arrotondare i numeri "brutti".
Inoltre, nota che il teorema del coseno si applica a qualsiasi triangolo, ma non il teorema di Pitagora! Se per errore dimentichi di sottrarre due volte il prodotto dei lati moltiplicato per il coseno dell'angolo tra di loro, non solo otterrai un risultato completamente sbagliato, ma dimostrerai anche un completo malinteso sull'argomento. Questo è peggio di un errore negligente.
In terzo luogo, non confondere i valori per angoli di 30 e 60 gradi per seno, coseno, tangente, cotangente. Ricorda questi valori, perché il seno di 30 gradi è uguale al coseno di 60 e viceversa. È facile mescolarli, per cui inevitabilmente otterrai un risultato errato.
Applicazione
Molti studenti non hanno fretta di iniziare a studiare la trigonometria, perché non ne comprendono il significato applicato. Che cos'è seno, coseno, tangente per un ingegnere o un astronomo? Questi sono concetti grazie ai quali puoi calcolare la distanza da stelle lontane, prevedere la caduta di un meteorite, inviare una sonda di ricerca su un altro pianeta. Senza di loro, è impossibile costruire un edificio, progettare un'auto, calcolare il carico sulla superficie o la traiettoria di un oggetto. E questi sono solo gli esempi più evidenti! Dopotutto, la trigonometria in una forma o nell'altra è usata ovunque, dalla musica alla medicina.
Infine
Quindi sei seno, coseno, tangente. Puoi usarli nei calcoli e risolvere con successo i problemi scolastici.
L'intera essenza della trigonometria si riduce al fatto che i parametri sconosciuti devono essere calcolati dai parametri noti del triangolo. Ci sono sei parametri in totale: le lunghezze di tre lati e le grandezze di tre angoli. L'intera differenza nei compiti sta nel fatto che vengono forniti dati di input diversi.
Come trovare seno, coseno, tangente in base alle lunghezze note delle gambe o dell'ipotenusa, ora lo sai. Poiché questi termini non significano altro che un rapporto e un rapporto è una frazione, l'obiettivo principale del problema trigonometrico è trovare le radici di un'equazione ordinaria o di un sistema di equazioni. E qui sarai aiutato dalla matematica scolastica ordinaria.
