Dopo aver studiato i monomi, passiamo ai polinomi. Questo articolo ti parlerà di tutte le informazioni necessarie per eseguire azioni su di essi. Definiremo un polinomio con le definizioni di accompagnamento di un termine polinomiale, cioè libero e simile, considereremo un polinomio di una forma standard, introdurremo un grado e impareremo come trovarlo, lavorare con i suoi coefficienti.

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Polinomio e suoi membri - definizioni ed esempi

Era necessaria la definizione di un polinomio 7 classe dopo aver studiato i monomi. Diamo un'occhiata alla sua definizione completa.

Definizione 1

polinomio viene considerata la somma dei monomi e il monomio stesso è un caso speciale di un polinomio.

Ne consegue dalla definizione che esempi di polinomi possono essere diversi: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z e così via. Dalla definizione abbiamo quello 1+x, a 2 + b 2 e l'espressione x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x sono polinomi.

Diamo un'occhiata ad alcune definizioni in più.

Definizione 2

I membri del polinomio sono chiamati i suoi monomi costituenti.

Consideriamo questo esempio, dove abbiamo un polinomio 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , composto da 4 membri: 3 x 4 , − 2 x y , 3 e - si 3. Un tale monomio può essere considerato un polinomio, che consiste in un termine.

Definizione 3

I polinomi che hanno 2, 3 trinomi nella loro composizione hanno il nome corrispondente - binomiale e trinomio.

Ne consegue che un'espressione della forma x+y– è un binomio e l'espressione 2 x 3 q − q x x + 7 b è un trinomio.

Secondo il curriculum scolastico, hanno lavorato con un binomio lineare della forma a x + b, dove a e b sono dei numeri e x è una variabile. Considera esempi di binomi lineari della forma: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 con esempi di trinomi quadrati x 2 + 3 · x − 5 e 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Per la trasformazione e la soluzione, è necessario trovare e portare termini simili. Ad esempio, un polinomio della forma 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ha termini simili 1 e - 3, 5 x e 2 x. Sono suddivisi in un gruppo speciale chiamato membri simili del polinomio.

Definizione 4

Membri simili di un polinomio sono come termini nel polinomio.

Nell'esempio sopra, abbiamo che 1 e - 3, 5 x e 2 x sono termini simili del polinomio o termini simili. Per semplificare l'espressione, trova e riduci termini simili.

Polinomio in forma standard

Tutti i monomi e i polinomi hanno i loro nomi specifici.

Definizione 5

Polinomio in forma standard Viene chiamato un polinomio in cui ogni membro del polinomio ha un monomio della forma standard e non contiene membri simili.

Dalla definizione si evince che è possibile ridurre polinomi di forma standard, ad esempio 3 x 2 − x y + 1 e __formula__ e il record è in formato standard. Le espressioni 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z e 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z non sono polinomi della forma standard, poiché la prima ha termini simili nella forma 3 x 2 e -x2, e il secondo contiene un monomio della forma x · y 3 · x · z 2 , che differisce dal polinomio standard.

Se le circostanze lo richiedono, a volte il polinomio viene ridotto a una forma standard. Il concetto di termine libero di un polinomio è anche considerato un polinomio di forma standard.

Definizione 6

Membro libero del polinomioè un polinomio in forma standard senza una parte letterale.

In altre parole, quando la notazione di un polinomio in forma standard ha un numero, si parla di membro libero. Allora il numero 5 è un membro libero del polinomio x 2 · z + 5 , mentre il polinomio 7 · a + 4 · a · b + b 3 non ha alcun membro libero.

Il grado di un polinomio: come trovarlo?

La definizione del grado di un polinomio si basa sulla definizione di un polinomio in forma standard e sui gradi dei monomi che ne sono i componenti.

Definizione 7

Il grado di un polinomio in forma standard nominare il più grande dei poteri inclusi nella sua notazione.

Diamo un'occhiata a un esempio. Il grado del polinomio 5 x 3 − 4 è uguale a 3, perché i monomi inclusi nella sua composizione hanno gradi 3 e 0, e il più grande di essi è rispettivamente 3. La definizione del grado dal polinomio 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x è uguale al più grande dei numeri, cioè 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 e 1 , quindi 5 .

È necessario scoprire come si trova il grado stesso.

Definizione 8

Grado di un polinomio di un numero arbitrarioè il grado del polinomio corrispondente in forma standard.

Quando un polinomio non è scritto nella forma standard, ma è necessario trovarne il grado, è necessario ridurlo alla forma standard e quindi trovare il grado richiesto.

Esempio 1

Trova il grado di un polinomio 3 un 12 − 2 un b c un c b + y 2 z 2 − 2 un 12 − un 12.

Soluzione

Innanzitutto, presentiamo il polinomio nella forma standard. Otteniamo un'espressione come:

3 un 12 − 2 un b c un c b + y 2 z 2 − 2 un 12 − un 12 = = (3 un 12 − 2 un 12 − un 12) − 2 (aa) (bb) (cc) + y 2 z 2 = = - 2 un 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Quando si ottiene un polinomio della forma standard, troviamo che due di essi sono chiaramente distinti - 2 · a 2 · b 2 · c 2 e y 2 · z 2 . Per trovare i gradi, calcoliamo e otteniamo che 2 + 2 + 2 = 6 e 2 + 2 = 4 . Si può notare che il più grande di essi è pari a 6. Dalla definizione consegue che esattamente 6 è il grado del polinomio − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, da cui il valore originario.

Risposta: 6 .

I coefficienti dei termini del polinomio

Definizione 9

Quando tutti i termini di un polinomio sono monomi della forma standard, in questo caso hanno il nome coefficienti dei termini del polinomio. In altre parole, possono essere chiamati coefficienti di un polinomio.

Considerando l'esempio, è chiaro che il polinomio della forma 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 ha 4 polinomi nella sua composizione: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x e 7 con i rispettivi coefficienti 2 , - 0 , 5 , 3 e 7 . Quindi, 2 , − 0 , 5 , 3 e 7 sono considerati coefficienti dei termini del polinomio dato della forma 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . Quando si converte, è importante prestare attenzione ai coefficienti davanti alle variabili.

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In questa lezione, richiameremo le principali definizioni di questo argomento e considereremo alcuni compiti tipici, vale a dire, portare un polinomio in una forma standard e calcolare un valore numerico per determinati valori di variabile. Risolveremo diversi esempi in cui verrà applicata la riduzione alla forma standard per risolvere vari tipi di problemi.

Argomento:Polinomi. Operazioni aritmetiche sui monomi

Lezione:Riduzione di un polinomio a una forma standard. Compiti tipici

Ricordiamo la definizione di base: un polinomio è la somma dei monomi. Ogni monomio che fa parte di un polinomio come termine è chiamato suo membro. Per esempio:

Binomiale;

Polinomio;

Binomiale;

Poiché il polinomio è costituito da monomi, da qui segue la prima azione con il polinomio: è necessario portare tutti i monomi nella forma standard. Ricorda che per questo devi moltiplicare tutti i fattori numerici - ottenere un coefficiente numerico e moltiplicare le potenze corrispondenti - ottenere la parte della lettera. Inoltre, prestiamo attenzione al teorema sul prodotto delle potenze: moltiplicando le potenze, i loro esponenti si sommano.

Considera un'operazione importante: portare un polinomio in una forma standard. Esempio:

Commento: per portare il polinomio alla forma standard, è necessario portare alla forma standard tutti i monomi che ne fanno parte, dopodiché, se ci sono monomi simili - e questi sono monomi con la stessa parte di lettere - eseguire azioni con loro.

Quindi, abbiamo considerato il primo problema tipico: portare un polinomio in una forma standard.

Il prossimo compito tipico è il calcolo di un valore specifico di un polinomio per determinati valori numerici delle variabili in esso incluse. Continuiamo a considerare l'esempio precedente e ad impostare i valori delle variabili:

Commento: Ricordiamo che uno in ogni potenza naturale è uguale a uno, e zero in ogni potenza naturale è uguale a zero, inoltre, ricordiamo che moltiplicando qualsiasi numero per zero, otteniamo zero.

Considera una serie di esempi di operazioni tipiche per portare un polinomio in una forma standard e calcolarne il valore:

Esempio 1 - porta alla forma standard:

Commento: la prima azione - portiamo i monomi al modulo standard, devi portare il primo, il secondo e il sesto; la seconda azione: diamo membri simili, cioè eseguiamo le operazioni aritmetiche date su di essi: aggiungiamo la prima alla quinta, la seconda alla terza, riscriviamo il resto senza modifiche, poiché non hanno simili.

Esempio 2 - calcola il valore del polinomio dall'esempio 1 dati i valori delle variabili:

Commento: durante il calcolo, va ricordato che un'unità in qualsiasi grado naturale è un'unità, se è difficile calcolare le potenze di due, è possibile utilizzare la tabella delle potenze.

Esempio 3 - invece di un asterisco, metti un tale monomio in modo che il risultato non contenga una variabile:

Commento: indipendentemente dal compito, la prima azione è sempre la stessa: portare il polinomio alla forma standard. Nel nostro esempio, questa azione si riduce al casting di membri simili. Dopodiché, dovresti rileggere attentamente la condizione e pensare a come sbarazzarci del monomio. è ovvio che per questo devi aggiungere lo stesso monomio, ma con il segno opposto -. quindi sostituiamo l'asterisco con questo monomio e ci assicuriamo che la nostra decisione sia corretta.

Un polinomio è una somma di monomi. Se tutti i termini del polinomio sono scritti in forma standard (vedi punto 51) e viene eseguita la riduzione di termini simili, si otterrà un polinomio di forma standard.

Qualsiasi espressione intera può essere trasformata in un polinomio della forma standard: questo è lo scopo delle trasformazioni (semplificazioni) delle espressioni intere.

Consideriamo esempi in cui l'intera espressione deve essere ridotta alla forma standard di un polinomio.

Soluzione. Innanzitutto, portiamo i termini del polinomio in forma standard. Otteniamo Dopo la riduzione di termini simili, otteniamo un polinomio della forma standard

Soluzione. Se c'è un segno più davanti alle parentesi, allora le parentesi possono essere omesse, conservando i segni di tutti i termini racchiusi tra parentesi. Usando questa regola per aprire le parentesi, otteniamo:

Soluzione. Se c'è uno ziak "meno" davanti alle parentesi, le parentesi possono essere omesse cambiando i segni di tutti i termini racchiusi tra parentesi. Usando questa regola di escape delle parentesi, otteniamo:

Soluzione. Il prodotto di un monomio e di un polinomio, secondo la legge di distribuzione, è uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e di ciascun membro del polinomio. Noi abbiamo

Soluzione. abbiamo

Soluzione. abbiamo

Resta da dare termini simili (sono sottolineati). Noi abbiamo:

53. Formule per la moltiplicazione abbreviata.

In alcuni casi, la riduzione dell'intera espressione alla forma standard di un polinomio viene effettuata utilizzando le identità:

Queste identità sono chiamate formule di moltiplicazione abbreviate,

Consideriamo esempi in cui è necessario convertire una data espressione in miogle in forma standard.

Esempio 1. .

Soluzione. Usando la formula (1) otteniamo:

Esempio 2. .

Soluzione.

Esempio 3. .

Soluzione. Usando la formula (3) otteniamo:

Esempio 4

Soluzione. Usando la formula (4) otteniamo:

54. Fattorizzazione dei polinomi.

A volte puoi convertire un polinomio in un prodotto di diversi fattori: polinomi o sottotermini. Tale trasformazione dell'identità è chiamata fattorizzazione di un polinomio. In questo caso, il polinomio si dice divisibile per ciascuno di questi fattori.

Considera alcuni modi per fattorizzare i polinomi,

1) Togliere il fattore comune dalla parentesi. Questa trasformazione è una diretta conseguenza della legge distributiva (per chiarezza, basta riscrivere questa legge “da destra a sinistra”):

Esempio 1. Fattorizzazione di un polinomio

Soluzione. .

Di solito, quando si toglie il fattore comune tra parentesi, ogni variabile inclusa in tutti i membri del polinomio viene estratta con l'esponente più piccolo che ha in questo polinomio. Se tutti i coefficienti del polinomio sono interi, allora il massimo comun divisore modulo di tutti i coefficienti del polinomio viene preso come coefficiente del fattore comune.

2) Uso di formule di moltiplicazione abbreviate. Le formule (1) - (7) del paragrafo 53, lette "da destra a sinistra, in molti casi risultano utili per fattorizzare i polinomi.

Esempio 2. Fattorizzare.

Soluzione. Abbiamo . Applicando la formula (1) (differenza dei quadrati), otteniamo . Applicare

ora le formule (4) e (5) (somma di cubi, differenza di cubi), otteniamo:

Esempio 3. .

Soluzione. Prendiamo prima il fattore comune dalla parentesi. Per fare ciò troviamo il massimo comun divisore dei coefficienti 4, 16, 16 e gli esponenti minimi con cui le variabili aeb sono incluse nei monomi che compongono questo polinomio. Noi abbiamo:

3) Metodo di raggruppamento. Si basa sul fatto che le leggi dell'addizione commutativa e associativa consentono di raggruppare i termini di un polinomio in vari modi. A volte un tale raggruppamento è possibile che dopo aver racchiuso tra parentesi i fattori comuni in ciascun gruppo, lo stesso polinomio rimanga tra parentesi, che a sua volta, come fattore comune, può essere racchiuso tra parentesi. Considera esempi di fattorizzazione di un polinomio.

Esempio 4. .

Soluzione. Raggruppiamolo in questo modo:

Nel primo gruppo estraiamo il fattore comune nel secondo gruppo - il fattore comune 5. Otteniamo ora il polinomio come fattore comune togliamo dalla parentesi: Quindi, otteniamo:

Esempio 5

Soluzione. .

Esempio 6

Soluzione. In questo caso, nessun raggruppamento porterà alla comparsa dello stesso polinomio in tutti i gruppi. In questi casi, a volte risulta utile rappresentare qualsiasi termine del polinomio come somma, e poi riprovare ad applicare il metodo di raggruppamento. Nel nostro esempio, è consigliabile rappresentare come somma Otteniamo

Esempio 7

Soluzione. Aggiungiamo e sottraiamo il monomio, otteniamo

55. Polinomi in una variabile.

Il polinomio, dove a, b sono numeri variabili, è detto polinomio di primo grado; un polinomio dove a, b, c sono numeri variabili, si dice polinomio di secondo grado o trinomio quadrato; un polinomio dove a, b, c, d sono numeri, una variabile si dice polinomio di terzo grado.

In generale, se o è una variabile, allora un polinomio

è detto grado lomogeneo (rispetto a x); , m-termini del polinomio, coefficienti, il termine principale del polinomio e - il coefficiente del termine principale, il termine libero del polinomio. Di solito, il polinomio è scritto in potenze decrescenti della variabile, cioè i gradi della variabile diminuiscono gradualmente, in particolare il termine senior è al primo posto e il termine libero è all'ultimo. Il grado di un polinomio è il grado del termine principale.

Ad esempio, un polinomio di quinto grado in cui il termine principale, 1, è il termine libero del polinomio.

La radice di un polinomio è il valore al quale il polinomio svanisce. Ad esempio, il numero 2 è la radice del polinomio perché

Lezione sul tema: "Il concetto e la definizione di un polinomio. La forma standard di un polinomio"

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Ragazzi, avete già studiato i monomi nell'argomento: Forma standard di un monomio. Definizioni. Esempi. Ricapitoliamo le definizioni di base.

Monomio- un'espressione costituita dal prodotto di numeri e variabili. Le variabili possono essere elevate a poteri naturali. Il monomio non contiene altre operazioni, ad eccezione della moltiplicazione.

Forma standard di un monomio- tale forma quando il coefficiente (fattore numerico) è al primo posto, seguito dai gradi delle varie variabili.

Monomi simili sono monomi identici o monomi che differiscono l'uno dall'altro per un fattore.

Il concetto di polinomio

Un polinomio, come un monomio, è un nome generalizzato per espressioni matematiche di un certo tipo. Abbiamo già incontrato tali generalizzazioni prima. Ad esempio, "somma", "prodotto", "esponenziale". Quando sentiamo "differenza di numeri", il pensiero della moltiplicazione o della divisione non ci viene nemmeno in mente. Inoltre, un polinomio è un'espressione di una forma rigorosamente definita.

Definizione del polinomio

Polinomioè la somma dei monomi.

Si chiamano i monomi che compongono un polinomio membri del polinomio. Se ci sono due termini, allora abbiamo a che fare con un binomio, se ce ne sono tre, allora con un trinomio. Se si dicono più termini, un polinomio.

Esempi di polinomi.

1) 2ab + 4cd (binomio);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinomio);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 g 8 - 2b 6 c 2 g + 7xy - 5xy 2 .

Diamo un'occhiata da vicino all'ultima espressione. Per definizione, un polinomio è la somma dei monomi, ma nell'ultimo esempio non solo aggiungiamo, ma sottraiamo anche monomi.
Per chiarire, diamo un'occhiata a un piccolo esempio.

Scriviamo l'espressione a + b - c(siamo d'accordo a ≥ 0, b ≥ 0 e c ≥ 0) e rispondi alla domanda: è la somma o la differenza? È difficile da dire.
Infatti, se riscriviamo l'espressione come a + b + (-c), otteniamo la somma di due termini positivi e uno negativo.
Se guardi il nostro esempio, abbiamo a che fare precisamente con la somma dei monomi con coefficienti: 3, - 2, 7, -5. In matematica esiste un termine "somma algebrica". Pertanto, la definizione di polinomio significa "somma algebrica".

Ma il record della forma 3a: b + 7 con un polinomio non è perché 3a: b non è un monomio.
Anche la notazione 3b + 2a * (c 2 + d) non è un polinomio, poiché 2a * (c 2 + d) non è un monomio. Se apri le parentesi, l'espressione risultante sarà un polinomio.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Il grado del polinomioè il grado più alto dei suoi membri.
Il polinomio a 3 b 2 + a 4 ha il quinto grado, poiché il grado del monomio a 3 b 2 è 2 + 3 \u003d 5 e il grado del monomio a 4 è 4.

Forma standard di un polinomio

Un polinomio che non ha membri simili ed è scritto in ordine decrescente dei gradi dei termini del polinomio è un polinomio della forma standard.

Il polinomio viene portato a una forma standard per rimuovere l'eccessiva ingombro di scrittura e semplificare con essa ulteriori azioni.

Infatti, perché, ad esempio, scrivere un'espressione lunga 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, quando può essere scritta più corta di 9b 2 + 3a 2 + 8.

Per portare un polinomio in forma standard, hai bisogno di:
1. portare tutti i suoi membri al modulo standard,
2. aggiungere termini simili (uguali o con coefficiente numerico diverso). Questa procedura è spesso chiamata portando simili.

Esempio.
Porta il polinomio aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 alla forma standard.

Soluzione.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Determiniamo i gradi dei monomi che compongono l'espressione e disponiamoli in ordine decrescente.
11a 2 b ha un terzo grado, 3 x 5 y 2 ha un settimo grado, 14 ha un grado zero.
Quindi, in primo luogo metteremo 3 x 5 y 2 (7° grado), nel secondo - 12a 2 b (3° grado) e nel terzo - 14 (zero grado).
Di conseguenza, otteniamo un polinomio della forma standard 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Esempi di auto-risoluzione

Porta i polinomi alla forma standard.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2a + 9x^3 - 7a^2 + 6x + 5a - 2 \)

La somma dei monomi è chiamata polinomio. I termini di un polinomio sono detti membri del polinomio. I mononomi sono anche detti polinomi, considerando un monomio come un polinomio costituito da un membro.

Ad esempio, polinomio
\(8b^5 - 2b \cpunto 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cpunto (-12)b + 16 \)
può essere semplificato.

Rappresentiamo tutti i termini come monomi della forma standard:
\(8b^5 - 2b \cpunto 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cpunto (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Diamo termini simili nel polinomio risultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Il risultato è un polinomio, i cui membri sono tutti monomi della forma standard e tra loro non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.

Dietro a grado polinomiale il modulo standard assume il più ampio dei poteri dei suoi membri. Quindi, il binomio \(12a^2b - 7b \) ha il terzo grado e il trinomio \(2b^2 -7b + 6 \) ha il secondo.

Di solito, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente dei suoi esponenti. Per esempio:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

La somma di più polinomi può essere convertita (semplificata) in un polinomio di forma standard.

A volte i membri di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ogni gruppo tra parentesi. Poiché le parentesi sono l'opposto delle parentesi, è facile da formulare regole di apertura parentesi:

Se il segno + è posto prima delle parentesi, i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con gli stessi segni.

Se un segno "-" è posto davanti alle parentesi, i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con segni opposti.

Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio

Usando la proprietà distributiva della moltiplicazione, si può trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e di un polinomio in un polinomio. Per esempio:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cpunto 7a^2 + 9a^2b \cpunto (-5ab) + 9a^2b \cpunto (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identico alla somma dei prodotti di questo monomio e di ciascuno dei termini del polinomio.

Questo risultato è solitamente formulato come regola.

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, bisogna moltiplicare questo monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Abbiamo usato ripetutamente questa regola per moltiplicare per una somma.

Il prodotto dei polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi

In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e di ogni termine dell'altro.

Di solito usa la seguente regola.

Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.

Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma, Differenza e Differenza Quadrati

Alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche devono essere trattate più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), ovvero il quadrato della somma, il quadrato della differenza e quadrato della differenza. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano incompleti, quindi, ad esempio, \((a + b)^2 \) è, ovviamente, non solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di a e b. Tuttavia, il quadrato della somma di aeb non è così comune, di regola, al posto delle lettere aeb, contiene espressioni varie, a volte abbastanza complesse.

Le espressioni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sono facili da convertire (semplificare) in polinomi della forma standard, infatti, hai già incontrato un compito del genere moltiplicando i polinomi :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Le identità risultanti sono utili da ricordare e da applicare senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e del doppio prodotto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - il quadrato della differenza è la somma dei quadrati senza raddoppiare il prodotto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza per la somma.

Queste tre identità consentono nelle trasformazioni di sostituire le parti sinistre con quelle destre e viceversa - le parti destre con quelle sinistre. La cosa più difficile in questo caso è vedere le espressioni corrispondenti e capire in cosa vengono sostituite le variabili aeb. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.