O già risolti rispetto alla derivata, oppure possono essere risolti rispetto alla derivata .

Soluzione generale di equazioni differenziali del tipo sull'intervallo X, che è dato, può essere trovato prendendo l'integrale di entrambi i lati di questa uguaglianza.

Ottenere .

Se osserviamo le proprietà dell'integrale indefinito, troveremo la soluzione generale desiderata:

y = F (x) + C,

dove F(x)- una delle antiderivate della funzione f (x) nel mezzo X, un CONè una costante arbitraria.

Si noti che per la maggior parte delle attività, l'intervallo X non indicare. Ciò significa che una soluzione deve essere trovata per tutti. X per cui la funzione richiesta y, e l'equazione originale ha senso.

Se è necessario calcolare una soluzione particolare di un'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale y(x0) = y0, quindi dopo aver calcolato l'integrale generale y = F (x) + C, è anche necessario determinare il valore della costante C = C0 utilizzando la condizione iniziale. Cioè, la costante C = C0 determinato dall'equazione F (x 0) + C = y 0, e la soluzione particolare ricercata dell'equazione differenziale assume la forma:

y = F (x) + C 0.

Considera un esempio:

Troviamo la soluzione generale dell'equazione differenziale, controlliamo la correttezza del risultato. Troviamo una soluzione particolare di questa equazione che soddisfi la condizione iniziale.

Soluzione:

Dopo aver integrato l'equazione differenziale data, otteniamo:

.

Prendiamo questo integrale con il metodo dell'integrazione per parti:

Quella., è una soluzione generale di un'equazione differenziale.

Per assicurarci che il risultato sia corretto, controlliamo. Per fare ciò, sostituiamo la soluzione che abbiamo trovato nell'equazione data:

.

Cioè, per l'equazione originale diventa un'identità:

pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale è stata determinata correttamente.

La soluzione che abbiamo trovato è la soluzione generale dell'equazione differenziale per ogni valore reale dell'argomento X.

Resta da calcolare una soluzione particolare all'ODE che soddisfi la condizione iniziale. In altre parole, è necessario calcolare il valore della costante CON, in cui l'uguaglianza sarà vera:

.

.

Quindi, sostituendo C = 2 nella soluzione generale dell'ODE, otteniamo una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfa la condizione iniziale:

.

Equazione differenziale ordinaria può essere risolto per la derivata dividendo le 2 parti dell'uguaglianza per f (x). Questa trasformazione sarà equivalente se f (x) non svanisce per nessuno X dall'intervallo di integrazione dell'equazione differenziale X.

Le situazioni sono probabili quando per alcuni valori dell'argomento X ∈ X funzioni f (x) e g (x) svaniscono contemporaneamente. Per valori simili X la soluzione generale dell'equazione differenziale sarà qualsiasi funzione y, che in essi è definito, poiché .

Se per alcuni valori dell'argomento X ∈ X la condizione è soddisfatta, il che significa che in questo caso l'ODE non ha soluzioni.

Per tutti gli altri X dall'intervallo X la soluzione generale dell'equazione differenziale è determinata dall'equazione trasformata.

Diamo un'occhiata agli esempi:

Esempio 1.

Troviamo la soluzione generale all'ODE: .

Soluzione.

È chiaro dalle proprietà delle funzioni elementari di base che la funzione del logaritmo naturale è definita per valori non negativi dell'argomento, quindi il dominio dell'espressione ln (x + 3) c'è un intervallo X > -3 . Quindi, l'equazione differenziale data ha senso per X > -3 . Per questi valori dell'argomento, l'espressione x + 3 non svanisce, quindi si può risolvere l'ODE rispetto alla derivata dividendo le 2 parti per x + 3.

Noi abbiamo .

Successivamente, integriamo l'equazione differenziale risultante, risolta rispetto alla derivata: . Per prendere questo integrale, utilizziamo il metodo di portare il differenziale sotto il segno.

6.1. CONCETTI E DEFINIZIONI DI BASE

Quando si risolvono vari problemi di matematica e fisica, biologia e medicina, molto spesso non è possibile stabilire immediatamente una dipendenza funzionale sotto forma di una formula che colleghi le variabili che descrivono il processo in studio. Solitamente si devono utilizzare equazioni contenenti, oltre alla variabile indipendente e alla funzione incognita, anche le sue derivate.

Definizione. Viene chiamata un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente, una funzione sconosciuta e le sue derivate di vari ordini differenziale.

La funzione sconosciuta è solitamente indicata y(x) o semplicemente si, e i suoi derivati ​​sono si", si" eccetera.

Sono possibili anche altre notazioni, ad esempio: if y= x(t), allora x"(t), x""(t) sono i suoi derivati, e Tè una variabile indipendente.

Definizione. Se la funzione dipende da una variabile, l'equazione differenziale è chiamata ordinaria. Forma generale equazione differenziale ordinaria:

o

Funzioni F e F potrebbe non contenere alcuni argomenti, ma affinché le equazioni siano differenziali, la presenza di una derivata è essenziale.

Definizione.L'ordine dell'equazione differenzialeè l'ordine della derivata più alta inclusa in esso.

Ad esempio, x 2 anni"- y= 0, y" + peccato X= 0 sono equazioni del primo ordine e si"+ 2 si"+ 5 y= Xè un'equazione del secondo ordine.

Quando si risolvono equazioni differenziali, viene utilizzata l'operazione di integrazione, che è associata alla comparsa di una costante arbitraria. Se viene applicata l'azione di integrazione n volte, quindi, ovviamente, la soluzione conterrà n costanti arbitrarie.

6.2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Forma generale equazione differenziale del primo ordineè definito dall'espressione

L'equazione potrebbe non contenere esplicitamente X e si, ma contiene necessariamente y".

Se l'equazione può essere scritta come

quindi otteniamo un'equazione differenziale del primo ordine risolta rispetto alla derivata.

Definizione. La soluzione generale dell'equazione differenziale del primo ordine (6.3) (o (6.4)) è l'insieme delle soluzioni , dove CONè una costante arbitraria.

Viene chiamato il grafico per la risoluzione di un'equazione differenziale curva integrale.

Dare una costante arbitraria CON valori diversi, è possibile ottenere soluzioni particolari. In superficie xOy la soluzione generale è una famiglia di curve integrali corrispondenti a ciascuna soluzione particolare.

Se stabilisci un punto A(x0, y0), attraverso il quale deve passare la curva integrale, quindi, di regola, dall'insieme delle funzioni uno può essere individuato - una soluzione particolare.

Definizione.Decisione privata di un'equazione differenziale è la sua soluzione che non contiene costanti arbitrarie.

Se è una soluzione generale, quindi dalla condizione

puoi trovare un permanente CON. La condizione è chiamata condizione iniziale.

Il problema di trovare una soluzione particolare di un'equazione differenziale (6.3) o (6.4) che soddisfi la condizione iniziale in chiamato il problema di Cauchy. Questo problema ha sempre una soluzione? La risposta è contenuta nel seguente teorema.

Il teorema di Cauchy(teorema di esistenza e unicità della soluzione). Lascia entrare l'equazione differenziale si"= f(x, y) funzione f(x, y) e lei

derivata parziale definito e continuo in alcuni

le zone D, contenente un punto Poi in zona D esiste

l'unica soluzione dell'equazione che soddisfa la condizione iniziale in

Il teorema di Cauchy afferma che in determinate condizioni esiste una curva integrale unica y= f(x), passando per un punto Punti in cui le condizioni del teorema non sono soddisfatte

I gatti si chiamano speciale. Pause in questi punti F(x, y) o.

O più curve integrali passano per un punto singolare o nessuna.

Definizione. Se la soluzione (6.3), (6.4) si trova nella forma F(x, y, C)= 0 non consentito rispetto a y, allora viene chiamato integrale comune equazione differenziale.

Il teorema di Cauchy garantisce solo l'esistenza di una soluzione. Poiché non esiste un metodo unico per trovare una soluzione, considereremo solo alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine integrabili in piazze.

Definizione. Si chiama l'equazione differenziale integrabile in quadrature, se la ricerca della sua soluzione si riduce all'integrazione delle funzioni.

6.2.1. Equazioni differenziali del primo ordine con variabili separabili

Definizione. Un'equazione differenziale del primo ordine è chiamata equazione con variabili separabili,

Il lato destro dell'equazione (6.5) è il prodotto di due funzioni, ciascuna delle quali dipende da una sola variabile.

Ad esempio, l'equazione è un'equazione con la separazione

variabili di passaggio
e l'equazione

non può essere rappresentato nella forma (6.5).

Considerando che , riscriviamo (6.5) come

Da questa equazione si ottiene un'equazione differenziale a variabili separate, in cui i differenziali contengono funzioni che dipendono solo dalla variabile corrispondente:

Integrando termine per termine, abbiamo

dove C= C 2 - C 1 è una costante arbitraria. L'espressione (6.6) è l'integrale generale dell'equazione (6.5).

Dividendo entrambe le parti dell'equazione (6.5) per , possiamo perdere quelle soluzioni per le quali, Infatti, se in

poi è ovviamente una soluzione dell'equazione (6.5).

Esempio 1. Trova una soluzione soddisfacente per l'equazione

condizione: y= 6 a X= 2 (s(2) = 6).

Soluzione. Sostituiamo in" per allora . Moltiplica entrambi i membri per

dx, poiché in un'ulteriore integrazione è impossibile partire dx al denominatore:

e poi dividendo entrambe le parti per otteniamo l'equazione,

che può essere integrato. Integriamo:

Poi ; potenziando, otteniamo y = C . (x + 1) - ob-

soluzione.

Sulla base dei dati iniziali, determiniamo una costante arbitraria sostituendoli nella soluzione generale

Finalmente arriviamo y= 2(x + 1) è una soluzione particolare. Considera alcuni altri esempi di risoluzione di equazioni con variabili separabili.

Esempio 2 Trova una soluzione all'equazione

Soluzione. Considerando che , noi abbiamo .

Integrando entrambi i lati dell'equazione, abbiamo

dove

Esempio 3 Trova una soluzione all'equazione Soluzione. Dividiamo entrambe le parti dell'equazione per quei fattori che dipendono da una variabile che non coincide con la variabile sotto il segno differenziale, cioè per e integrare. Allora arriviamo

e infine

Esempio 4 Trova una soluzione all'equazione

Soluzione. Sapendo cosa otterremo. Sezione-

variabili lim. Poi

Integrando, otteniamo

Commento. Negli esempi 1 e 2, la funzione desiderata y espresso esplicitamente (soluzione generale). Negli esempi 3 e 4 - implicitamente (integrale generale). In futuro, la forma della decisione non sarà specificata.

Esempio 5. Trova una soluzione all'equazione Soluzione.

Esempio 6 Trova una soluzione all'equazione soddisfacente

condizione voi)= 1.

Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per dx e via, otteniamo

Integrando entrambi i membri dell'equazione (l'integrale a destra è preso per parti), otteniamo

Ma per condizione y= 1 a X= e. Poi

Sostituisci i valori trovati CON in una soluzione generale:

L'espressione risultante è chiamata soluzione particolare dell'equazione differenziale.

6.2.2. Equazioni differenziali omogenee del primo ordine

Definizione. Viene chiamata l'equazione differenziale del primo ordine omogeneo se può essere rappresentato come

Presentiamo un algoritmo per risolvere un'equazione omogenea.

1. Invece y introdurre una nuova funzione Allora e quindi

2. In termini di funzione tu l'equazione (6.7) assume la forma

cioè, la sostituzione riduce l'equazione omogenea a un'equazione con variabili separabili.

3. Risolvendo l'equazione (6.8), troviamo prima u e poi y= us.

Esempio 1. risolvere l'equazione Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma

Facciamo una sostituzione:
Poi

Sostituiamo

Moltiplica per dx: Dividi per X e via poi

Integrando entrambe le parti dell'equazione rispetto alle variabili corrispondenti, abbiamo

oppure, tornando alle vecchie variabili, finalmente otteniamo

Esempio 2risolvere l'equazione Soluzione.Permettere poi

Dividi entrambi i membri dell'equazione per x2: Apriamo le parentesi e riorganizziamo i termini:

Passando alle vecchie variabili, arriviamo al risultato finale:

Esempio 3Trova una soluzione all'equazione fornito

Soluzione.Esecuzione di una sostituzione standard noi abbiamo

o

o

Quindi la soluzione particolare ha la forma Esempio 4 Trova una soluzione all'equazione

Soluzione.

Esempio 5.Trova una soluzione all'equazione Soluzione.

Lavoro indipendente

Trova una soluzione alle equazioni differenziali con variabili separabili (1-9).

Trova una soluzione alle equazioni differenziali omogenee (9-18).

6.2.3. Alcune applicazioni delle equazioni differenziali del primo ordine

Il problema del decadimento radioattivo

Il tasso di decadimento di Ra (radio) in ogni momento è proporzionale alla sua massa disponibile. Trova la legge del decadimento radioattivo di Ra se è noto che al momento iniziale c'era Ra e l'emivita di Ra è di 1590 anni.

Soluzione. Sia al momento la massa Ra X= x(t) g, e Allora il tasso di decadimento di Ra è

Secondo il compito

dove K

Separando le variabili nell'ultima equazione e integrando, otteniamo

dove

Per determinare C usiamo la condizione iniziale: .

Poi e quindi,

Fattore di proporzionalità K determinato dalla condizione aggiuntiva:

abbiamo

Da qui e la formula desiderata

Il problema del tasso di riproduzione dei batteri

La velocità di riproduzione dei batteri è proporzionale al loro numero. All'inizio c'erano 100 batteri. Entro 3 ore il loro numero è raddoppiato. Trova la dipendenza del numero di batteri dal tempo. Quante volte il numero di batteri aumenterà entro 9 ore?

Soluzione. Permettere X- il numero di batteri al momento T. Quindi, a seconda della condizione,

dove K- coefficiente di proporzionalità.

Da qui È noto dalla condizione che . Si intende,

Dalla condizione aggiuntiva . Poi

Funzione richiesta:

Quindi, a T= 9 X= 800, ovvero entro 9 ore il numero di batteri è aumentato di 8 volte.

Il compito di aumentare la quantità dell'enzima

Nella coltura del lievito di birra, il tasso di crescita dell'enzima attivo è proporzionale alla sua quantità iniziale. X. Quantità iniziale di enzima un raddoppiato in un'ora. Trova dipendenza

x(t).

Soluzione. Per condizione, l'equazione differenziale del processo ha la forma

da qui

Ma . Si intende, C= un poi

È anche noto che

Quindi,

6.3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI SECONDO ORDINE

6.3.1. Concetti basilari

Definizione.Equazione differenziale del secondo ordineè chiamata la relazione che collega la variabile indipendente, la funzione desiderata e le sue derivate prima e seconda.

In casi speciali, x può essere assente nell'equazione, in o y". Tuttavia, l'equazione del secondo ordine deve necessariamente contenere y". Nel caso generale, un'equazione differenziale del secondo ordine è scritta nella forma:

o, se possibile, nella forma consentita per la derivata seconda:

Come nel caso di un'equazione del primo ordine, un'equazione del secondo ordine può avere una soluzione generale e una particolare. La soluzione generale è simile a:

Trovare una soluzione privata

in condizioni iniziali - dato

numero) viene chiamato il problema di Cauchy. Geometricamente, questo significa che è necessario trovare la curva integrale in= y(x), passando per un dato punto e avendo una tangente a questo punto, che è circa

forche con direzione dell'asse positiva Bue dato angolo. e. (fig. 6.1). Il problema di Cauchy ha una soluzione unica se il lato destro dell'equazione (6.10), non pre-

è discontinua e ha derivate parziali continue rispetto a tu, tu" in qualche quartiere del punto di partenza

Per trovare costante incluso in una particolare soluzione, è necessario consentire il sistema

Riso. 6.1. curva integrale

I. Equazioni differenziali ordinarie

1.1. Concetti e definizioni di base

Un'equazione differenziale è un'equazione che mette in relazione la variabile indipendente X, la funzione richiesta y e suoi derivati ​​o differenziali.

L'equazione differenziale è scritta simbolicamente come segue:

F (x, y, y ") = 0, F (x, y, y") = 0, F (x, y, y ", y", .., y (n)) = 0

Un'equazione differenziale si dice ordinaria se la funzione desiderata dipende da una variabile indipendente.

Risolvendo l'equazione differenzialeè chiamata funzione che converte questa equazione in identità.

L'ordine dell'equazione differenzialeè l'ordine della derivata più alta che entra in questa equazione

Esempi.

1. Considera l'equazione differenziale del primo ordine

La soluzione a questa equazione è la funzione y = 5 ln x. Anzi, sostituendo si" nell'equazione, otteniamo - identità.

E questo significa che la funzione y = 5 ln x– è una soluzione di questa equazione differenziale.

2. Considera l'equazione differenziale del secondo ordine y "- 5y" + 6y = 0. La funzione è la soluzione di questa equazione.

Veramente, .

Sostituendo queste espressioni nell'equazione, otteniamo:, - identità.

E questo significa che la funzione è una soluzione a questa equazione differenziale.

Integrazione di equazioni differenziali viene chiamato il processo per trovare soluzioni alle equazioni differenziali.

La soluzione generale dell'equazione differenzialeè chiamata funzione della forma , che include tante costanti arbitrarie indipendenti quanto l'ordine dell'equazione.

Con una soluzione particolare dell'equazione differenzialeè chiamata la soluzione ottenuta dalla soluzione generale per vari valori numerici di costanti arbitrarie. I valori di costanti arbitrarie si trovano a determinati valori iniziali dell'argomento e della funzione.

Viene chiamato il grafico di una soluzione particolare di un'equazione differenziale curva integrale.

Esempi di

1. Trova una soluzione particolare per un'equazione differenziale del primo ordine

xdx + ydy = 0, Se y= 4 per X = 3.

Soluzione. Integrando entrambi i lati dell'equazione, otteniamo

Commento. Una costante arbitraria C, ottenuta come risultato dell'integrazione, può essere rappresentata in qualsiasi forma conveniente per ulteriori trasformazioni. In questo caso, tenendo conto dell'equazione canonica del cerchio, è conveniente rappresentare una costante arbitraria C nella forma.

- soluzione generale dell'equazione differenziale.

Una soluzione particolare dell'equazione che soddisfa le condizioni iniziali y = 4 per X = 3 si trova dalla sostituzione generale delle condizioni iniziali nella soluzione generale: 3 2 + 4 2 = C 2; C = 5.

Sostituendo C = 5 nella soluzione generale, otteniamo x 2 + y 2 = 5 2 .

Questa è una soluzione particolare dell'equazione differenziale ottenuta dalla soluzione generale per date condizioni iniziali.

2. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale

La soluzione a questa equazione è qualsiasi funzione della forma, dove C è una costante arbitraria. Infatti, sostituendo nelle equazioni, otteniamo:,.

Di conseguenza, questa equazione differenziale ha un insieme infinito di soluzioni, poiché per diversi valori della costante C, l'uguaglianza determina diverse soluzioni dell'equazione.

Ad esempio, per sostituzione diretta, è possibile assicurarsi che funzioni sono soluzioni dell'equazione.

Il problema in cui è necessario trovare una soluzione particolare dell'equazione y "= f (x, y) soddisfacendo la condizione iniziale y(x0) = y0è chiamato problema di Cauchy.

Soluzione di equazioni y "= f (x, y) soddisfare la condizione iniziale, y(x0) = y0, è chiamata soluzione al problema di Cauchy.

La soluzione del problema di Cauchy ha un significato geometrico semplice. Infatti, secondo queste definizioni, per risolvere il problema di Cauchy y "= f (x, y) fornito y(x0) = y0, significa trovare la curva integrale dell'equazione y "= f (x, y) che passa per un dato punto M 0 (x 0,si 0).

II. Equazioni differenziali del primo ordine

2.1. Concetti basilari

Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione della forma F (x, y, y ") = 0.

L'equazione differenziale del primo ordine include la derivata prima e non include le derivate di ordine superiore.

L'equazione y "= f (x, y)è chiamata equazione del primo ordine risolta rispetto alla derivata.

Una soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine è una funzione della forma che contiene una costante arbitraria.

Esempio. Consideriamo un'equazione differenziale del primo ordine.

La soluzione a questa equazione è la funzione.

Infatti, sostituendo in questa equazione il suo valore, otteniamo

questo è 3x = 3x

Di conseguenza, la funzione è una soluzione generale dell'equazione per qualsiasi costante C.

Trova una soluzione particolare di questa equazione che soddisfi la condizione iniziale y (1) = 1 Sostituzione delle condizioni iniziali x = 1, y = 1 nella soluzione generale dell'equazione, otteniamo da dove C = 0.

Quindi, otteniamo una soluzione particolare dal generale sostituendo il valore ottenuto in questa equazione C = 0- una soluzione privata.

2.2. Equazioni differenziali separabili

Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma: y "= f (x) g (y) o attraverso differenziali, dove f (x) e g (y)- funzioni specificate.

Per coloro y, per cui l'equazione y "= f (x) g (y)è equivalente all'equazione, in cui la variabile yè presente solo sul lato sinistro e la variabile x è solo sul lato destro. Dicono, "nell'equazione y "= f (x) g (y dividiamo le variabili".

Digita equazione è chiamata equazione con variabili separate.

Integrazione di entrambi i lati dell'equazione in poi X, noi abbiamo G (y) = F (x) + CÈ la soluzione generale dell'equazione, dove G (y) e F(x)- alcune antiderivate di funzioni e f (x), C costante arbitraria.

Algoritmo per la risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine con variabili separabili

Esempio 1

risolvere l'equazione y "= xy

Soluzione. Funzione derivativa si" sostituirlo con

dividere le variabili

integrare entrambi i lati dell'uguaglianza:

Esempio 2

2aa "= 1- 3x 2, Se y 0 = 3 in x 0 = 1

Questa è un'equazione variabile separata. Rappresentiamolo in differenziali. Per fare ciò, riscriviamo questa equazione nella forma Da qui

Integrando entrambi i lati dell'ultima uguaglianza, troviamo

Sostituzione dei valori iniziali x 0 = 1, y 0 = 3 trovare CON 9=1-1+C, cioè. C = 9.

Di conseguenza, l'integrale parziale ricercato sarà o

Esempio 3

Uguagliare una curva per un punto M (2; -3) e ha una tangente con una pendenza

Soluzione. Secondo la condizione

Questa è un'equazione separabile. Dividendo le variabili si ottiene:

Integrando entrambi i membri dell'equazione, otteniamo:

Utilizzando le condizioni iniziali, x=2 e y = - 3 trovare C:

Pertanto, l'equazione richiesta ha la forma

2.3. Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è un'equazione della forma y "= f (x) y + g (x)

dove f (x) e g (x)- alcune funzioni preimpostate.

Se g (x) = 0 allora l'equazione differenziale lineare si dice omogenea e ha la forma: y "= f (x) y

Se poi l'equazione y "= f (x) y + g (x) chiamato eterogeneo.

Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea y "= f (x) yè data dalla formula: dove CONè una costante arbitraria.

In particolare, se C = 0, allora la soluzione è y=0 Se un'equazione lineare omogenea ha la forma y "= ky dove K- qualche costante, quindi la sua soluzione generale ha la forma:.

Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare disomogenea y "= f (x) y + g (x)è dato dalla formula ,

quelli. è uguale alla somma della soluzione generale della corrispondente equazione lineare omogenea e della soluzione particolare di questa equazione.

Per un'equazione lineare disomogenea della forma y "= kx + b,

dove K e B- alcuni numeri e una funzione costante saranno una soluzione particolare. Pertanto, la soluzione generale è.

Esempio. risolvere l'equazione y "+ 2y +3 = 0

Soluzione. Rappresentiamo l'equazione nella forma y "= -2y - 3 dove k = -2, b = -3 La soluzione generale è data dalla formula.

Pertanto, dove C è una costante arbitraria.

2.4. Soluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine con il metodo di Bernoulli

Trovare la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine y "= f (x) y + g (x) si riduce a risolvere due equazioni differenziali con variabili separate usando la sostituzione y = uv, dove tu e v- funzioni sconosciute da X. Questo metodo risolutivo è chiamato metodo di Bernoulli.

Algoritmo per la risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine

y "= f (x) y + g (x)

1. Introdurre la sostituzione y = uv.

2. Differenziare questa uguaglianza y "= u" v + uv "

3. Sostituto y e si" in questa equazione: u "v + uv" =f (x) uv + g (x) o u "v + uv" + f (x) uv = g (x).

4. Raggruppa i termini dell'equazione in modo che tu metti tra parentesi:

5. Dalla parentesi, uguagliandola a zero, trova la funzione

Questa è un'equazione separabile:

Dividiamo le variabili e otteniamo:

Dove . .

6. Sostituire il valore ottenuto v nell'equazione (dal punto 4):

e trova la funzione Questa è un'equazione separabile:

7. Annota la soluzione generale nella forma: , cioè. .

Esempio 1

Trova una soluzione particolare all'equazione y "= -2y +3 = 0 Se y = 1 in x=0

Soluzione. Risolviamolo usando la sostituzione y = uv,.y "= u" v + uv "

Sostituendo y e si" in questa equazione, otteniamo

Raggruppando il secondo e il terzo termine sul lato sinistro dell'equazione, eliminiamo il fattore comune tu fuori parentesi

L'espressione tra parentesi è uguale a zero e, dopo aver risolto l'equazione risultante, troviamo la funzione v = v (x)

Ricevuta un'equazione con variabili separate. Integriamo entrambi i lati di questa equazione: Trova la funzione v:

Sostituisci il valore risultante v nell'equazione otteniamo:

Questa è un'equazione con variabili separate. Integriamo entrambi i lati dell'equazione: Trova la funzione u = u (x, c) Troviamo una soluzione generale: Troviamo una soluzione particolare dell'equazione che soddisfi le condizioni iniziali y = 1 in x=0:

III. Equazioni differenziali di ordine superiore

3.1. Concetti e definizioni di base

Un'equazione differenziale del secondo ordine è un'equazione contenente derivate non superiori al secondo ordine. Nel caso generale, un'equazione differenziale del secondo ordine è scritta nella forma: F (x, y, y ", y") = 0

Una soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine è una funzione della forma, che include due costanti arbitrarie C1 e C2.

Una soluzione parziale di un'equazione differenziale del secondo ordine è una soluzione ottenuta da una generale per alcuni valori di costanti arbitrarie C1 e C2.

3.2. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine con coefficienti costanti.

Equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costantiè chiamata equazione della forma y "+ py" + qy = 0, dove P e Q- valori costanti.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

1. Annota l'equazione differenziale nella forma: y "+ py" + qy = 0.

2. Componi la sua equazione caratteristica, denotandola si" attraverso r2, si" attraverso R, y in 1: r 2 + pr + q = 0

Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni.
Equazioni differenziali separabili

Equazioni differenziali (DE). Queste due parole di solito terrorizzano il profano medio. Le equazioni differenziali sembrano essere qualcosa di oltraggioso e difficile da padroneggiare per molti studenti. Uuuuuu… equazioni differenziali, come potrei sopravvivere a tutto questo?!

Una tale opinione e un tale atteggiamento sono fondamentalmente sbagliati, perché in effetti LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI SONO SEMPLICI E ANCHE DIVERTENTI. Cosa devi sapere ed essere in grado di imparare a risolvere equazioni differenziali? Per studiare con successo le differenze, devi essere bravo a integrare e differenziare. Meglio si studiano gli argomenti Derivata di una funzione di una variabile e Integrale indefinito, più facile sarà capire le equazioni differenziali. Dirò di più, se hai capacità di integrazione più o meno decenti, allora l'argomento è praticamente padroneggiato! Più integrali di vario tipo puoi risolvere, meglio è. Come mai? Devi integrare molto. E differenziare. Anche altamente raccomandato impara a trovare.

Nel 95% dei casi, ci sono 3 tipi di equazioni differenziali del primo ordine nelle carte di prova: equazioni separabili, che tratteremo in questa lezione; equazioni omogenee e equazioni lineari disomogenee. Per i principianti per studiare i diffusori, ti consiglio di leggere le lezioni in questa sequenza e, dopo aver studiato i primi due articoli, non farà male consolidare le tue abilità in un seminario aggiuntivo - equazioni che si riducono a omogenee.

Esistono tipi ancora più rari di equazioni differenziali: equazioni in differenziali totali, equazioni di Bernoulli e alcune altre. Degli ultimi due tipi, i più importanti sono le equazioni in differenziali totali, perché oltre a questo DE, sto considerando un nuovo materiale - integrazione parziale.

Se ti restano solo un giorno o due, poi per una preparazione ultra veloce c'è corso lampo in formato pdf.

Quindi, i punti di riferimento sono stabiliti - andiamo:

Ricordiamo innanzitutto le solite equazioni algebriche. Contengono variabili e numeri. L'esempio più semplice: . Cosa significa risolvere un'equazione ordinaria? Questo significa trovare insieme di numeri che soddisfano questa equazione. È facile vedere che l'equazione dei bambini ha un'unica radice: . Per divertimento, facciamo un controllo, sostituiamo la radice trovata nella nostra equazione:

- si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione è trovata correttamente.

I diffusi sono disposti più o meno allo stesso modo!

Equazione differenziale primo ordine generalmente contiene:
1) variabile indipendente;
2) variabile dipendente (funzione);
3) la derivata prima della funzione: .

In alcune equazioni del 1° ordine, potrebbe non esserci "x" o (e) "y", ma questo non è essenziale - importante in modo che in DU era derivata prima, e non aveva derivati ​​di ordini superiori - , ecc.

Cosa significa ? Risolvere un'equazione differenziale significa trovare insieme di tutte le funzioni che soddisfano questa equazione. Tale insieme di funzioni ha spesso la forma ( è una costante arbitraria), che viene chiamata soluzione generale dell'equazione differenziale.

Esempio 1

Risolvi l'equazione differenziale

Munizioni complete. Da dove cominciare soluzione?

Prima di tutto, devi riscrivere la derivata in una forma leggermente diversa. Ricordiamo l'ingombrante notazione, che molti di voi probabilmente pensavano fosse ridicola e non necessaria. È quello che regna nei diffusori!

Nel secondo passaggio, vediamo se è possibile dividere le variabili? Cosa significa separare le variabili? In parole povere, sul lato sinistro dobbiamo andarcene solo "giochi", un dal lato giusto organizzare solo x. La separazione delle variabili viene effettuata con l'aiuto di manipolazioni "scolastiche": parentesi, trasferimento di termini da parte a parte con un cambio di segno, trasferimento di fattori da parte a parte secondo la regola della proporzione, ecc.

Differenziali e sono moltiplicatori pieni e partecipanti attivi nelle ostilità. In questo esempio, le variabili sono facilmente separate da fattori di capovolgimento secondo la regola della proporzione:

Le variabili sono separate. Sul lato sinistro - solo "Gioco", sul lato destro - solo "X".

Prossima fase - integrazione di equazioni differenziali. È semplice, appendiamo gli integrali su entrambe le parti:

Ovviamente vanno presi gli integrali. In questo caso, sono tabulari:

Come ricordiamo, ad ogni antiderivata viene assegnata una costante. Ci sono due integrali qui, ma è sufficiente scrivere la costante una volta (perché una costante + una costante è ancora uguale a un'altra costante). Nella maggior parte dei casi, è posizionato sul lato destro.

A rigor di termini, dopo aver preso gli integrali, l'equazione differenziale si considera risolta. L'unica cosa è che la nostra "y" non è espressa tramite "x", cioè viene presentata la soluzione nell'implicito modulo. Si chiama la soluzione implicita di un'equazione differenziale integrale generale dell'equazione differenziale. Cioè, è l'integrale generale.

Una risposta in questa forma è abbastanza accettabile, ma esiste un'opzione migliore? Proviamo a ottenere decisione comune.

Prego, ricorda la prima tecnica, è molto comune e spesso utilizzato in compiti pratici: se dopo l'integrazione compare un logaritmo a destra, allora in molti casi (ma non sempre!) è consigliabile scrivere anche la costante sotto il logaritmo.

Questo è, INVECE DI i record sono solitamente scritti .

Perché è necessario? E per rendere più facile esprimere "y". Usiamo la proprietà dei logaritmi . In questo caso:

Ora i logaritmi e i moduli possono essere rimossi:

La funzione è presentata in modo esplicito. Questa è la soluzione generale.

Risposta: decisione comune: .

Le risposte a molte equazioni differenziali sono abbastanza facili da controllare. Nel nostro caso, questo viene fatto semplicemente, prendiamo la soluzione trovata e la differenziamo:

Quindi sostituiamo la derivata nell'equazione originale:

- si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione generale soddisfa l'equazione che doveva essere verificata.

Dando una costante valori diversi, puoi ottenere un numero infinito di decisioni private equazione differenziale. È chiaro che una qualsiasi delle funzioni , , ecc. soddisfa l'equazione differenziale.

A volte viene chiamata la soluzione generale famiglia di funzioni. In questo esempio, la soluzione generale è una famiglia di funzioni lineari, o meglio, una famiglia di proporzionalità dirette.

Dopo una discussione dettagliata del primo esempio, è opportuno rispondere ad alcune domande ingenue sulle equazioni differenziali:

1)In questo esempio, siamo riusciti a separare le variabili. È sempre possibile farlo? No non sempre. E ancora più spesso le variabili non possono essere separate. Ad esempio, nel equazioni omogenee del primo ordine deve essere sostituito prima. In altri tipi di equazioni, ad esempio, in un'equazione lineare non omogenea del primo ordine, è necessario utilizzare vari trucchi e metodi per trovare una soluzione generale. Le equazioni variabili separabili che consideriamo nella prima lezione sono il tipo più semplice di equazioni differenziali.

2) È sempre possibile integrare un'equazione differenziale? No non sempre. È molto facile trovare un'equazione "fantasiosa" che non può essere integrata, inoltre ci sono integrali che non possono essere presi. Ma tali DE possono essere risolti approssimativamente usando metodi speciali. D'Alembert e Cauchy garantiscono... ...ugh, lurkmore.to ho letto molto proprio ora, ho quasi aggiunto "dall'altro mondo".

3) In questo esempio, abbiamo ottenuto una soluzione sotto forma di integrale generale . È sempre possibile trovare una soluzione generale dall'integrale generale, cioè esprimere "y" in una forma esplicita? No non sempre. Ad esempio: . Bene, come posso esprimere "y" qui?! In tali casi, la risposta deve essere scritta come integrale generale. Inoltre, a volte si può trovare una soluzione generale, ma è scritta in modo così ingombrante e goffamente che è meglio lasciare la risposta sotto forma di integrale generale

4) ...forse abbastanza per ora. Nel primo esempio ci siamo incontrati un altro punto importante, ma per non coprire i "manichini" con una valanga di nuove informazioni, lo lascerò alla prossima lezione.

Non abbiamo fretta. Un altro semplice telecomando e un'altra soluzione tipica:

Esempio 2

Trova una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale

Soluzione: a seconda della condizione che si richiede di trovare soluzione privata DE che soddisfa una determinata condizione iniziale. Questo tipo di interrogatorio è anche chiamato Problema di Cauchy.

Innanzitutto, troviamo una soluzione generale. Non c'è una variabile "x" nell'equazione, ma questo non dovrebbe essere imbarazzante, la cosa principale è che ha la derivata prima.

Riscriviamo la derivata nella forma richiesta:

Ovviamente le variabili si possono dividere, ragazzi a sinistra, ragazze a destra:

Integriamo l'equazione:

Si ottiene l'integrale generale. Qui ho disegnato una costante con una stella d'accento, fatto sta che molto presto si trasformerà in un'altra costante.

Ora stiamo cercando di convertire l'integrale generale in una soluzione generale (esprimere "y" esplicitamente). Ricordiamo la vecchia, buona, scuola: . In questo caso:

La costante nell'indicatore sembra in qualche modo non kosher, quindi di solito viene abbassata dal cielo alla terra. Nel dettaglio, succede così. Usando la proprietà dei gradi, riscriviamo la funzione come segue:

Se è una costante, allora è anche una costante, rinominala con la lettera :

Ricorda che la "demolizione" di una costante è seconda tecnica, che viene spesso utilizzato nel corso della risoluzione di equazioni differenziali.

Quindi la soluzione generale è: Una bella famiglia di funzioni esponenziali.

Nella fase finale, è necessario trovare una soluzione particolare che soddisfi la condizione iniziale data. È anche semplice.

Qual è il compito? Necessità di raccogliere tale il valore della costante per soddisfare la condizione.

Puoi organizzarlo in diversi modi, ma il più comprensibile, forse, sarà così. Nella soluzione generale, al posto di “x”, sostituiamo zero, e al posto di “y”, due:



Questo è,

Versione standard:

Ora sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale:
– questa è la soluzione particolare di cui abbiamo bisogno.

Risposta: soluzione privata:

Facciamo un controllo. La verifica di una particolare soluzione comprende due fasi:

Innanzitutto occorre verificare se la particolare soluzione trovata soddisfa realmente la condizione iniziale ? Invece di "x" sostituiamo zero e vediamo cosa succede:
- si, infatti, si è ottenuto un due, il che significa che la condizione iniziale è soddisfatta.

La seconda fase è già familiare. Prendiamo la soluzione particolare risultante e troviamo la derivata:

Sostituisci nell'equazione originale:

- si ottiene la corretta uguaglianza.

Conclusione: la soluzione particolare è stata trovata correttamente.

Passiamo ad esempi più significativi.

Esempio 3

Risolvi l'equazione differenziale

Soluzione: Riscriviamo la derivata nella forma di cui abbiamo bisogno:

Valutare se le variabili possono essere separate? Può. Trasferiamo il secondo termine a destra con un cambio di segno:

E capovolgiamo i fattori secondo la regola della proporzione:

Le variabili sono separate, integriamo entrambe le parti:

Devo avvertirti, il giorno del giudizio sta arrivando. Se non hai imparato bene integrali indefiniti, risolto alcuni esempi, quindi non c'è nessun posto dove andare - devi padroneggiarli ora.

L'integrale del lato sinistro è facile da trovare, con l'integrale della cotangente ci occupiamo della tecnica standard che abbiamo considerato nella lezione Integrazione di funzioni trigonometriche Nell'anno passato:

Sul lato destro abbiamo un logaritmo e, secondo la mia prima raccomandazione tecnica, anche la costante dovrebbe essere scritta sotto il logaritmo.

Cerchiamo ora di semplificare l'integrale generale. Dal momento che abbiamo solo logaritmi, è del tutto possibile (e necessario) eliminarli. attraverso proprietà note"impacchettare" al massimo i logaritmi. Scriverò in modo molto dettagliato:

La confezione è completa per essere barbaramente sbrindellata:

È possibile esprimere "y"? Può. Entrambe le parti devono essere squadrate.

Ma non devi.

Terzo consiglio tecnico: se per ottenere una soluzione generale bisogna elevare a potenza o mettere radici, allora Nella maggior parte dei casi dovresti astenerti da queste azioni e lasciare la risposta sotto forma di integrale generale. Il fatto è che la soluzione generale sembrerà semplicemente orribile, con grandi radici, segni e altra spazzatura.

Pertanto, scriviamo la risposta come integrale generale. È considerata una buona forma presentarla nella forma, cioè sul lato destro, se possibile, lasciare solo una costante. Non è necessario farlo, ma è sempre utile accontentare il professore ;-)

Risposta: integrale generale:

! Nota: l'integrale generale di qualsiasi equazione può essere scritto in più di un modo. Pertanto, se il tuo risultato non coincide con una risposta precedentemente nota, ciò non significa che hai risolto l'equazione in modo errato.

Anche l'integrale generale si controlla abbastanza facilmente, l'importante è riuscire a trovarlo derivata di una funzione definita implicitamente. Distinguiamo la risposta:

Moltiplichiamo entrambi i termini per:

E dividiamo per:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta esattamente, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 4

Trova una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale. Esegui un controllo.

Questo è un esempio per una soluzione fai-da-te.

Ti ricordo che l'algoritmo si compone di due fasi:
1) trovare una soluzione generale;
2) trovare la soluzione particolare richiesta.

Il controllo si effettua anche in due fasi (vedi esempio nell'Esempio n. 2), sono necessari:
1) assicurarsi che la particolare soluzione trovata soddisfi la condizione iniziale;
2) verificare che una soluzione particolare soddisfi generalmente l'equazione differenziale.

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Esempio 5

Trova una soluzione particolare di un'equazione differenziale , soddisfacendo la condizione iniziale. Esegui un controllo.

Soluzione: Per prima cosa, troviamo una soluzione generale Questa equazione contiene già differenziali pronti e , il che significa che la soluzione è semplificata. Separazione delle variabili:

Integriamo l'equazione:

L'integrale a sinistra è tabulare, l'integrale a destra è preso il metodo per sommare la funzione sotto il segno del differenziale:

L'integrale generale è stato ottenuto, è possibile esprimere con successo la soluzione generale? Può. Appendiamo i logaritmi su entrambi i lati. Poiché sono positivi, i segni modulo sono ridondanti:

(Spero che tutti capiscano la trasformazione, queste cose dovrebbero già essere conosciute)

Quindi la soluzione generale è:

Troviamo una soluzione particolare che corrisponda alla condizione iniziale data.
Nella soluzione generale, al posto di “x”, sostituiamo zero, e al posto di “y”, il logaritmo di due:

Design più familiare:

Sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale.

Risposta: soluzione privata:

Verifica: in primo luogo, controlla se la condizione iniziale è soddisfatta:
- va tutto bene.

Ora controlliamo se la particolare soluzione trovata soddisfa affatto l'equazione differenziale. Troviamo la derivata:

Diamo un'occhiata all'equazione originale: – è presentato in differenziali. Ci sono due modi per controllare. È possibile esprimere il differenziale dalla derivata trovata:

Sostituiamo la soluzione particolare trovata e il differenziale risultante nell'equazione originale :

Usiamo l'identità logaritmica di base:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione particolare viene trovata correttamente.

Il secondo modo di controllare è speculare e più familiare: dall'equazione esprimiamo la derivata, per questo dividiamo tutti i pezzi per:

E nel DE trasformato sostituiamo la soluzione particolare ottenuta e la derivata trovata. Come risultato delle semplificazioni, dovrebbe essere ottenuta anche la corretta uguaglianza.

Esempio 6

Risolvi l'equazione differenziale. Esprimi la risposta come integrale generale.

Questo è un esempio di auto-soluzione, soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Quali difficoltà attendono nel risolvere equazioni differenziali con variabili separabili?

1) Non è sempre ovvio (soprattutto per una teiera) che le variabili possono essere separate. Si consideri un esempio condizionale: . Qui devi togliere i fattori da parentesi: e separare le radici:. Come procedere ulteriormente è chiaro.

2) Difficoltà nell'integrazione stessa. Gli integrali spesso non sono i più semplici e se ci sono difetti nelle capacità di trovare integrale indefinito, allora sarà difficile con molti diffusori. Inoltre, i compilatori di raccolte e manuali sono popolari con la logica "poiché l'equazione differenziale è semplice, almeno gli integrali saranno più complicati".

3) Trasformazioni con una costante. Come tutti hanno notato, una costante nelle equazioni differenziali può essere gestita abbastanza liberamente e alcune trasformazioni non sono sempre chiare a un principiante. Vediamo un altro ipotetico esempio: . In esso, è consigliabile moltiplicare tutti i termini per 2: . La costante risultante è anche una sorta di costante, che può essere indicata da: . Sì, e poiché c'è un logaritmo sul lato destro, è consigliabile riscrivere la costante come un'altra costante: .

Il problema è che spesso non si preoccupano degli indici e usano la stessa lettera. Di conseguenza, il verbale di decisione assume la seguente forma:

Quale eresia? Ecco gli errori! A rigor di termini, sì. Tuttavia, da un punto di vista sostanziale, non ci sono errori, perché per effetto della trasformazione di una costante variabile si ottiene comunque una costante variabile.

O un altro esempio, supponiamo che nel corso della risoluzione dell'equazione si ottenga un integrale generale. Questa risposta sembra brutta, quindi è consigliabile cambiare il segno di ogni termine: . Formalmente, c'è di nuovo un errore: a destra, dovrebbe essere scritto . Ma è informalmente implicito che "meno ce" è ancora una costante ( che altrettanto bene assume qualsiasi valore!), quindi mettere un "meno" non ha senso e puoi usare la stessa lettera.

Cercherò di evitare un approccio negligente e inserirò comunque indici diversi per le costanti durante la conversione.

Esempio 7

Risolvi l'equazione differenziale. Esegui un controllo.

Soluzione: Questa equazione ammette la separazione delle variabili. Separazione delle variabili:

Integriamo:

La costante qui non deve essere definita sotto il logaritmo, poiché non ne deriverà nulla di buono.

Risposta: integrale generale:

Verifica: differenzia la risposta (funzione implicita):

Eliminiamo le frazioni, per questo moltiplichiamo entrambi i termini per:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 8

Trova una soluzione particolare di DE.
,

Questo è un esempio per una soluzione fai-da-te. L'unico suggerimento è che qui ottieni un integrale generale e, più correttamente, devi escogitare per trovare non una soluzione particolare, ma integrale privato. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Equazione differenziale ordinaria chiamata equazione che collega una variabile indipendente, una funzione sconosciuta di questa variabile e le sue derivate (o differenziali) di vari ordini.

L'ordine dell'equazione differenziale è l'ordine della derivata più alta in esso contenuta.

Oltre a quelle ordinarie, vengono studiate anche le equazioni alle derivate parziali. Si tratta di equazioni relative a variabili indipendenti, una funzione incognita di queste variabili e sue derivate parziali rispetto alle stesse variabili. Ma considereremo solo equazioni differenziali ordinarie e quindi ometteremo la parola "ordinario" per brevità.

Esempi di equazioni differenziali:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'equazione (1) è del quarto ordine, l'equazione (2) è del terzo ordine, le equazioni (3) e (4) sono del secondo ordine, l'equazione (5) è del primo ordine.

Equazione differenziale n order non deve contenere esplicitamente una funzione, tutte le sue derivate dal primo al n esimo ordine e una variabile indipendente. Potrebbe non contenere esplicitamente derivati ​​di alcuni ordini, una funzione, una variabile indipendente.

Ad esempio, nell'equazione (1) non ci sono chiaramente derivate del terzo e del secondo ordine, così come le funzioni; nell'equazione (2) - derivata e funzione del secondo ordine; nell'equazione (4) - variabile indipendente; nell'equazione (5) - funzioni. Solo l'equazione (3) contiene esplicitamente tutte le derivate, la funzione e la variabile indipendente.

Risolvendo l'equazione differenziale viene chiamata qualsiasi funzione y = f(x), sostituendolo nell'equazione, si trasforma in identità.

Il processo per trovare una soluzione a un'equazione differenziale è chiamato suo integrazione.

Esempio 1. Trova una soluzione all'equazione differenziale.

Soluzione. Scriviamo questa equazione nella forma . La soluzione è trovare la funzione tramite la sua derivata. La funzione originale, come è noto dal calcolo integrale, è l'antiderivata per, cioè

Ecco cos'è soluzione dell'equazione differenziale data . cambiando in esso C, otterremo soluzioni diverse. Abbiamo scoperto che esiste un numero infinito di soluzioni per un'equazione differenziale del primo ordine.

La soluzione generale dell'equazione differenziale n l'ordine è la sua soluzione espressa esplicitamente rispetto alla funzione incognita e contenente n costanti arbitrarie indipendenti, cioè

La soluzione dell'equazione differenziale nell'esempio 1 è generale.

Con una soluzione particolare dell'equazione differenziale viene chiamata la sua soluzione, in cui vengono assegnati valori numerici specifici a costanti arbitrarie.

Esempio 2 Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale e una soluzione particolare per .

Soluzione. Integriamo entrambe le parti dell'equazione un numero tale di volte che l'ordine dell'equazione differenziale è uguale.

,

.

Di conseguenza, abbiamo ottenuto la soluzione generale:

data equazione differenziale del terzo ordine.

Ora troviamo una soluzione particolare nelle condizioni specificate. Per fare ciò, sostituiamo i loro valori invece di coefficienti arbitrari e otteniamo

.

Se, oltre all'equazione differenziale, viene data la condizione iniziale nella forma , viene chiamato tale problema Problema di Cauchy . I valori e vengono sostituiti nella soluzione generale dell'equazione e viene trovato il valore di una costante arbitraria C, e quindi una soluzione particolare dell'equazione per il valore trovato C. Questa è la soluzione al problema di Cauchy.

Esempio 3 Risolvi il problema di Cauchy per l'equazione differenziale dell'Esempio 1 nella condizione .

Soluzione. Sostituiamo nella soluzione generale i valori della condizione iniziale y = 3, X= 1. Otteniamo

Scriviamo la soluzione del problema di Cauchy per l'equazione differenziale data del primo ordine:

Risolvere equazioni differenziali, anche le più semplici, richiede buone capacità di integrazione e di derivate, comprese le funzioni complesse. Questo può essere visto nel seguente esempio.

Esempio 4 Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale.

Soluzione. L'equazione è scritta in una forma tale che entrambe le parti possono essere integrate immediatamente.

.

Applichiamo il metodo di integrazione modificando la variabile (sostituzione). Lascia, allora.

Necessario da prendere dx e ora - attenzione - lo facciamo secondo le regole di differenziazione di una funzione complessa, poiché X e c'è una funzione complessa ("mela" - estraendo la radice quadrata o, che è la stessa - elevando alla potenza "un secondo", e "carne macinata" - l'espressione stessa sotto la radice):

Troviamo l'integrale:

Tornando alla variabile X, noi abbiamo:

.

Questa è la soluzione generale di questa equazione differenziale di primo grado.

Per risolvere le equazioni differenziali saranno richieste non solo le abilità delle sezioni precedenti di matematica superiore, ma anche le abilità delle elementari, cioè la matematica scolastica. Come già accennato, in un'equazione differenziale di qualsiasi ordine potrebbe non esserci una variabile indipendente, cioè una variabile X. La conoscenza delle proporzioni che non è stata dimenticata (tuttavia, a qualcuno piace) dal banco di scuola aiuterà a risolvere questo problema. Questo è il prossimo esempio.