Raskite sprendinių funkcijų pavyzdžių ekstremumą. Būtina funkcijos ekstremumo sąlyga. Ekstremo radimo seka

Viena iš matematinės analizės uždavinių rūšių: ištirti vieno kintamojo funkciją iki minimumo ir (ar) maksimumo. Kartais funkcijos ekstremumą (bendrinį minimumo ir maksimumo pavadinimą) reikia rasti tam tikrame intervale. Panašaus plano užduočių pasitaiko ir vidurinėje mokykloje bei tarp vieningo valstybinio egzamino užduočių.
1 problemos teiginys:

Duota funkcija, apibrėžta tam tikru intervalu. Būtina rasti funkcijos maksimumų (minimumo) taškus.
Teorinis pagrindas.
Apibrėžimas: sakoma, kad funkcija taške turi maksimumą, pav. a) (arba minimumas, b) pav.), jei intervale, kuriame apibrėžta funkcija, yra kokia nors kaimynystė, tai visiems šios kaimynystės taškams nelygybė
().
komentaras:
Ekstremalumas- (lot.) ekstremalus.
Maksimalus – (lot.) didžiausias.
Minimalus – (lot.) mažiausias.

Būtina ekstremumo sąlyga (Fermato teorema):

Tegul funkcija yra apibrėžta tam tikru intervalu ir iš šio intervalo paimkite didžiausią (mažiausią) reikšmę vidiniame taške. Jei egzistuoja dvipusė baigtinė išvestinė, tai ji būtina.
Apibrėžimas: Jei lygybė galioja, taškas bus vadinamas stacionarus taškas.
Apibrėžimas: Bus vadinami stacionarūs taškai ir taškai, kuriuose nėra dvipusės baigtinės išvestinės taškai, įtartini dėl ekstremumo.
Kai kurių atvejų, išskyrus du aukščiau paminėtus, iliustracija:

1) Ekstremo nėra, pirmoji išvestinė lygi nuliui.
2) Maksimalus taškas, pirmoji išvestinė kairėje ir dešinėje yra begalinė.
3) Ekstremo nėra, pirmoji išvestinė kairėje ir dešinėje yra begalinė.
4) Minimalus taškas, pirmoji išvestinė kairėje nėra lygi pirmajai išvestinei dešinėje.
5) Ekstremo nėra, pirmoji išvestinė kairėje nėra lygi pirmajai išvestinei dešinėje.

Pastaba (geometrinė išvestinės reikšmė):

Funkcijos išvestinė taške yra skaitine prasme lygi taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui.
1 pavyzdys:

Panagrinėkime funkciją.
Apskaičiuokime šios funkcijos išvestinę:

Taigi, taškai, įtartini dėl ekstremumo:
Nubraižykime šią funkciją.

Grafikai rodo, kad funkcijos maksimumas yra , o minimumas yra . Jei , funkcija neturi ekstremumo.

Iš šio pavyzdžio matyti, kad išvestinės lygybė nuliui taške yra būtina funkcijos ekstremumo sąlyga šiame taške, bet nėra pakankama sąlyga.
Teorema (funkcijos monotoniškumo sąlyga):

Tegu funkcija apibrėžta ir tolydi tam tikru intervalu ir jos viduje turi baigtinę išvestinę . Tam, kad šiuo intervalu jis monotoniškai didėtų (mažėtų) plačiąja prasme, būtina ir pakankama sąlyga

Pakankama sąlyga ekstremumui:

Tarkime, kad kurioje nors stacionaraus taško kaimynystėje yra baigtinė išvestinė ir tiek kairėje, tiek dešinėje (atskirai) išlaiko tam tikrą ženklą. Tada galimi šie trys atvejai:

1) ties ir ties (išvestinė, eidama per tašką, keičia savo ženklą iš pliuso į minusą). Tie. esant , funkcija didėja, o esant , mažėja. Tai reiškia, kad vertė bus didžiausia intervale. Kitaip tariant, funkcija taške turi maksimumą.

Paaiškinimas: Virš skaitinės ašies atitinkamame intervale nurodomas išvestinės ženklas, žemiau skaitinės ašies – funkcijos elgesys atitinkamame intervale (mažėjantis arba didėjantis).
2) ties ir ties (išvestinė, eidama per tašką, keičia savo ženklą iš minuso į pliusą). Tie. , funkcija mažėja, o , ji didėja. Tai reiškia, kad vertė bus mažiausia šiame intervale. Kitaip tariant, funkcija taške turi minimumą.

3) ties ir tuo (ties ir ties ) (išvestinė, eidama per tašką, savo ženklo nekeičia). Tie. funkcija intervale mažėja (padidėja). Kitaip tariant, funkcija taške neturi ekstremumo.

2 pavyzdys:

Dar kartą apsvarstykite funkciją.
Šios funkcijos išvestinė forma:

Taškai, įtariami ekstremumu: . Išsiaiškinkime išvestinės ženklus atitinkamuose intervaluose (nelygybes spręsime intervalų metodu):

Iš paveikslo matyti, kad taške išvestinė keičia savo ženklą iš minuso į pliusą, t.y. , funkcija turi minimumą.

Taške išvestinė keičia savo ženklą iš pliuso į minusą, t.y. , funkcija turi maksimumą.
Taške išvestinė keičia savo ženklą iš minuso į pliusą, t.y. , funkcija turi minimumą.
Taške vedinys nekeičia savo ženklo, t.y. nėra ekstremumo.
Gautus duomenis pilnai patvirtina funkcijos grafikas.

1 uždavinio sprendimo algoritmas.

1) Raskite funkcijos išvestinę.

2) Išspręsdami lygtį raskite stacionarius taškus (taškus, įtariamus ekstremumu) Atkreipkite dėmesį į taškus, kuriuose nėra dvipusės baigtinės išvestinės.

3) Išsiaiškinkite, ar išvestinė keičia savo ženklą taškuose, kuriuose įtartinas ekstremumas.Jei ji pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, tada funkcija turi savo minimumą. Jei nuo pliuso iki minuso, tai maksimalus, o jei išvestinės ženklas nesikeičia, tai ekstremumo šioje vietoje nėra.

4) Raskite funkcijos reikšmę minimaliuose (maksimiausiuose) taškuose.

Papildymas:

Funkcijos pirmosios išvestinės ženklo tyrimą priešingose stacionaraus taško pusėse (pakankama ekstremumo sąlyga) galima pakeisti antrojo išvestinio ženklo tyrimu šiame stacionariame taške (jei jis egzistuoja) .
1) jei , tai funkcija šiuo metu turi minimumą.
2) jei , tai funkcija šiuo metu turi maksimumą.
3) jei , tai klausimas apie ekstremumo egzistavimą šioje vietoje lieka atviras. Išspręskime nelygybę

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Būtinoji funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai šiame taške išvestinė yra arba nulis, arba begalinė, arba neegzistuoja.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti, pereiti į begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba minimali)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai pačiame taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama į kairę nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tada pačiame taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegu taške x = ir pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(а) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręskite lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas . Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išsprendžiame lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Šią argumento reikšmę funkcija turi ekstremumas. Gauti tai rasti, funkcijos išraiškoje rastą skaičių pakeičiame vietoj "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Jei išvestinės ženklas pereinant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.

Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:

Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1

Kai x = -1, išvestinės vertė bus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. minuso ženklas).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Jei x = 1, išvestinės vertė bus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. pliuso ženklas).

Kaip matote, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklą pakeitė iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei x0 vertei, turime mažiausią tašką.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami ta pačia procedūra, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervalais:

Taigi funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arkos (0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) – 2π * 1 \u003d –4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra y = 5,398.

Funkcijos reikšmę randame intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė yra

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubimo bei įgaubimo puses?

Norėdami rasti visus tiesės y \u003d f (x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui. , begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei nesikeičia, tada nėra linksniavimo.

Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, padalina funkcijos sritį į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai tiesė y = f(x) čia yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tai žemyn.

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus?

Norėdami rasti funkcijos f(x, y), skirtingą jos priskyrimo srityje, ekstremalumą, jums reikia:

1) Raskite kritinius taškus ir išspręskite lygčių sistemą

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

visuose taškuose (x; y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlaiko teigiamą ženklą, tada taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tada maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške Р0 nėra ekstremumo.

Panašiai funkcijos ekstremumai nustatomi didesniam argumentų skaičiui.

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti, pereiti į begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba minimali)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai pačiame taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegu taške x = ir pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(а) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išsprendžiame lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Šią argumento reikšmę funkcija turi ekstremumas. Gauti tai rasti, funkcijos išraiškoje rastą skaičių pakeičiame vietoj "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:

Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1

Kai x = -1, išvestinės vertė bus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. minuso ženklas).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Jei x = 1, išvestinės vertė bus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. pliuso ženklas).

Kaip matote, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklą pakeitė iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei x0 vertei, turime mažiausią tašką.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervalais:

Taigi funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arkos (0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) – 2π * 1 \u003d –4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra y = 5,398.

Funkcijos reikšmę randame intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė yra

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubimo bei įgaubimo puses?

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus?

Norėdami rasti funkcijos f(x, y), skirtingą jos priskyrimo srityje, ekstremalumą, jums reikia:

1) Raskite kritinius taškus ir išspręskite lygčių sistemą

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

Panašiai funkcijos ekstremumai nustatomi didesniam argumentų skaičiui.

Kas yra Heraklis
Heraklis senovės graikų mitologijoje yra didžiausias herojus, dievo Dzeuso ir Alkmenės sūnus, Tėbų karaliaus Amfitriono žmona. Gimęs jis buvo pavadintas Alkidu. Ne kartą paminėtas jau Iliadoje (II 658 ir kt.) Tarp daugybės mitų apie Heraklį, atliktas garsiausias legendų ciklas apie 12 žygdarbių.

Kaip vadinasi Nigerijos pinigai
Šalies pavadinimas Pavadinimas - pinigai/laisva moneta Australija Australijos doleris/centas Austrija Austrijos šilingas/grošas - euras Azerbaidžanas Manatas Albanija Lekas/Kindarka Alžyras Alžyro dinaras/santimo Argentina Argentina austral/centavo Afganistanas Afganistanas/pul Bangladešas Taka/pais Belgija Belgijos frankas/ santimo — Euro Bulgarijos Levas/Stotinka

Kas yra geltonoji karštinė
Visa informacija pateikiama tik informaciniais tikslais. Tik gydytojas gali nustatyti teisingą diagnozę ir paskirti tinkamą gydymą! Geltonoji karštligė (amariliozė) – ūmi hemoraginė užkrečiama virusinės etiologijos liga, Afrikos ir Pietų Amerikos tropinė zooantroponozė. Perduodama įkandus uodams. Incubus simptomai

Kokios dainos groja Smallville 6 sezono 12 serija
„Smallville“ 6 sezone yra dvidešimt serijų. Reklaminė muzika: APM Music – Dark Bells (1:55); Blokų vakarėlis – malda (3:44). 3 serija: Wither: T

Kas yra FIFA Pusko prizas?
FIFA Puskas apdovanojimas yra apdovanojimas, kurį FIFA įsteigė 2009 m. spalio 20 d. Apdovanojimas įteikiamas žaidėjui (nepriklausomai nuo lyties), pelniusiam gražiausią metų įvartį. Apdovanojimas pavadintas didžiosios šeštojo dešimtmečio Vengrijos auksinės komandos kapitono Ferenco Pusko vardu. Pirmoji ceremonija

Kodėl akmens amžius vadinamas akmens amžiumi?
Pradiniame žmonijos istorijos laikotarpyje daugiausia buvo naudojami akmeniniai įrankiai, todėl jis vadinamas akmens amžiumi. Pagal šiuolaikinę klasifikaciją akmens amžius skirstomas į: senąjį akmenį arba paleolitą, datuojantį nuo žmogaus atsiradimo (daugiau nei 2,5 mln. metų prieš Kristų) ir iki maždaug 10 tūkst. e.; Vidurinis akmuo, mezolitas: 10 tūkst

1. Savininko duomenis (pavardę, vardą, tėvavardį) galite sužinoti mobiliojo telefono numeriu, kreipdamiesi pagalbos į specialiąsias tarnybas ar valstybines įstaigas. Žvalgybos pareigūnai gali naudoti mobiliojo ryšio operatoriaus duomenis tuo atveju, kai užfiksuotas nusikaltėlis ar atskleistas teroro aktas. 2. Galite pasamdyti privatų detektyvą. Paprastai privatūs detektyvai

Kokie vaistai yra dopingo vaistai
Pats pavadinimas – dopingas kilęs iš angliško žodžio dope – reiškiančio duoti narkotiką. Pagal Tarptautinio olimpinio komiteto medicinos komisijos apibrėžimą, dopingas – tai farmakologinių preparatų, kurie dirbtinai didina darbingumą ir sportinius rezultatus, įvedimas į sportininkų organizmą bet kokiomis priemonėmis (injekcijomis, tabletėmis, inhaliacijomis ir pan.). . Išskyrus

Kada ir kas atrado didžiausią urvą pasaulyje?
Didžiausias pasaulyje Son Doong urvas yra Vietnamo Phong Nha Kebang nacionaliniame parke, kuris yra 500 km į pietus nuo šalies sostinės Hanojaus. Urvo ilgis apie 9 km. Tuo pačiu metu jo aukštis siekia 200 m, o plotis – 150 m. Urvo tūris įvertintas 38,5 mln. Urvas pirmą kartą buvo tyrinėtas a

Kodėl manoma, kad visata plečiasi?
Visų pirma, reikia pabrėžti, kad termino „Visata“ vartojimas, taip pat jos pastebėtų savybių aptarimas, prasmingas tik pradedant erdvės masteliais, viršijančiais 100 megaparsekų, nes kosminės struktūros, tokios kaip galaktikų spiečiai, vis dar gali atsekti šimtų megaparsekų atstumais (1 parsekas = 3,085&middo

Koks rusų kalbos gramatikos žodynas laikomas oficialiu Rusijos Federacijoje
Gramatikų, žodynų ir žinynų, kuriuose pateikiamos šiuolaikinės rusų literatūrinės kalbos normos, kai ji vartojama kaip valstybinė Rusijos Federacijos kalba, sąrašas: 1. Rusų kalbos stačiatikių žodynas. Bukchina B.Z., Sazonova I.K., Cheltsova L.K. - M .: "AST-PRESS", 2008. - 128

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti, pereiti į begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba minimali)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai pačiame taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegu taške x = ir pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(а) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išsprendžiame lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Šią argumento reikšmę funkcija turi ekstremumas. Gauti tai rasti, funkcijos išraiškoje rastą skaičių pakeičiame vietoj "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:

Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1

Kai x = -1, išvestinės vertė bus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. minuso ženklas).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Jei x = 1, išvestinės vertė bus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. pliuso ženklas).

Kaip matote, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklą pakeitė iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei x0 vertei, turime mažiausią tašką.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervalais:

Taigi funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arkos (0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) – 2π * 1 \u003d –4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra y = 5,398.

Funkcijos reikšmę randame intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė yra

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubimo bei įgaubimo puses?

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus?

Norėdami rasti funkcijos f(x, y), skirtingą jos priskyrimo srityje, ekstremalumą, jums reikia:

1) Raskite kritinius taškus ir išspręskite lygčių sistemą

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

Panašiai funkcijos ekstremumai nustatomi didesniam argumentų skaičiui.

Kokia yra oficiali dainininkės Mika Newton ir jos grupės svetainė
Naujas Ukrainos stebuklas – Mika Niutonas! Tai 5 žmonių grupė, grojanti pop-roką, besimėgaujanti gyvenimu, suteikianti jėgų ir pozityviai žvelgianti į šį gyvenimą. Vaikinai susirinko Kijeve, kur šiuo metu gyvena. Vaikinai nesutinka su standartiniais pagrindais muzikoje ir gyvenime, atrasdami naują savo skambesį ir laužydami visokius standartus. Komandos vadovas -

Kaip konvertuoti mililitrus į kubinius metrus
Pagrindinis ilgio vienetas SI sistemoje yra metras. Remiantis tuo, pagrindinis tūrio vienetas turėtų būti laikomas kubiniu metru arba, kaip dar vadinamas, kubiniu metru arba kubiniu metru. Tai kubo tūris, kurio briaunos yra lygios vienam metrui. Tačiau praktiškai ne visada patogu tūrį išreikšti kubiniais metrais. Pavyzdžiui, patogu išreikšti kambario tūrį kubiniais metrais: padauginkite ilgį

Koks yra manų kruopų kalorijų kiekis
Kalorijų maistas, kalorijų lentelė. Žmogaus energijos poreikis matuojamas kilokalorijomis (kcal). Žodis „kalorija“ kilęs iš lotynų kalbos ir reiškia „šiluma“. Fizikoje energija matuojama kalorijomis. Viena kilokalorija yra energijos kiekis

Kokie yra realizmo raidos etapai literatūroje
Realizmas (lot. real, real) – literatūros ir meno kryptis, siekianti ištikimai atkurti tikrovę jai būdingais bruožais. Bendrieji bruožai: Meninis gyvenimo vaizdavimas vaizdais, atitinkantis paties gyvenimo reiškinių esmę. Tikrovė yra priemonė žmogui pažinti save ir jį supantį pasaulį. Rašymas

Koks ryšys tarp berkelio ir 117-ojo periodinės lentelės elemento
Berkelium, Berkelium, Bk – 97-asis periodinės lentelės elementas. 1949 m. gruodžio mėn. atrado Thompsonas, Ghiorso ir Seaborg iš Kalifornijos universiteto Berklyje. Apšvitinus 241Am alfa dalelėmis, jie gavo Berkelio izotopą 243Bk. Kadangi Bk yra struktūriškai panašus į terbį, kuris gavo savo pavadinimą iš pono Ytterby in

Kuo garsėja Jaroslavas Išmintingasis?
Jaroslavas Išmintingasis (980-1054), Kijevo didysis kunigaikštis (1019). Vladimiro I Svjatoslavovičiaus sūnus. Jis išvijo Svjatopolką I Prakeiktąjį, kariavo su broliu Mstislavu, su juo padalino valstybę (1025 m.), o 1035 m. vėl suvienijo. Daugybė pergalių užtikrino pietinę ir vakarinę Rusijos sienas. Užmezgė dinastinius ryšius su daugeliu šalių ev

Kaip susiklostė tradicija šaukti „Kartai!
Seniai gyvavo tradicija per vestuvių puotą šaukti: „Kartai!“, Versdamas jaunavedžius pakilti iš savo vietų ir pabučiuoti. Šiandien daugelis net nenutuokia, kokia šios ceremonijos prasmė, seniau per vestuves šaukdavo „Kartai!“, leisdami suprasti, kad vynas dubenyse neva nesaldus. BET

Kokie yra laringito simptomai
Laringitas (iš kitų graikų λ?ρυγξ – gerklų) yra gerklų uždegimas, dažniausiai susijęs su peršalimu ar infekcinėmis ligomis, tokiomis kaip tymai, skarlatina, kokliušas. Ligos vystymąsi palengvina hipotermija, kvėpavimas per burną, dulkėjimas

Ar lytis ir linksniai nustatomi daiktavardžiams, turintiems tik daugiskaitos formą
Skaičius yra gramatinė kategorija, išreiškianti kiekybines objekto savybes. 1. Dauguma daiktavardžių kinta skaičiais, t.y. Jis turi dvi formas – vienaskaitą ir daugiskaitą. Vienaskaitos formoje daiktavardis žymi vieną objektą, daugiskaita – kelis objektus:

Kuo naudinga rusiška košė
Grikių košė Grikiai yra ypatingas grūdas. Iš jo paaiškėja, ko gero, vienas iš naudingiausių grūdų. Nenuostabu, kad mes tai vadiname pirmuoju. Grikiuose yra skaidulų, daugybė vitaminų - E, PP, B1, B2, folio ir organinių rūgščių, taip pat didelis procentas krakmolo, kuris prisideda prie tinkamo neo kiekio nurijimo.

Interaktyvų Archangelsko miesto žemėlapį galima peržiūrėti šiose svetainėse: Map1 - palydovinis ir standartinis žemėlapis; Map2 - standartinis žemėlapis (1:350 000); Žemėlapis3 - yra gatvių pavadinimai, namų numeriai, galima paieška pagal gatves; Map4 - žemėlapis su gatvių pavadinimais; Map5 - interaktyvus miesto žemėlapis; Map6 - interaktyvus miesto žemėlapis.

Funkcijos ekstremumo taškas yra funkcijos srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė įgauna mažiausią arba didžiausią reikšmę. Funkcijų reikšmės šiuose taškuose vadinamos funkcijos kraštutinumais (minimalus ir didžiausias)..

Apibrėžimas. Taškas x1 funkcijos apimtis f(x) vadinamas maksimalus funkcijos taškas , jei funkcijos reikšmė šiame taške yra didesnė už funkcijos reikšmes pakankamai arti jos taškuose, esančiuose jos dešinėje ir kairėje (ty nelygybė f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimalus.

Apibrėžimas. Taškas x2 funkcijos apimtis f(x) vadinamas minimalus funkcijos taškas, jei funkcijos reikšmė šiame taške yra mažesnė už funkcijos reikšmes pakankamai arti jos taškuose, esančiuose jos dešinėje ir kairėje (ty nelygybė f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šiuo atveju sakoma, kad funkcija turi tašką x2 minimumas.

Sakykime esmę x1 - maksimalus funkcijos taškas f(x). Tada intervale iki x1 funkcija didėja, todėl funkcijos išvestinė yra didesnė už nulį ( f "(x) > 0 ), o intervale po x1 funkcija mažėja, todėl funkcijos išvestinė mažiau nei nulis ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Taip pat manykime, kad taškas x2 - mažiausias funkcijos taškas f(x). Tada intervale iki x2 funkcija mažėja, o funkcijos išvestinė yra mažesnė už nulį ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija didėja, o funkcijos išvestinė yra didesnė už nulį ( f "(x) > 0). Šiuo atveju taip pat taške x2 funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.

Ferma teorema (būtinas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Jei taškas x0 - funkcijos ekstremalus taškas f(x), tada šioje vietoje funkcijos išvestinė lygi nuliui ( f "(x) = 0 ) arba neegzistuoja.

Apibrėžimas. Vadinami taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja kritinius taškus .

1 pavyzdys Panagrinėkime funkciją.

Taške x= 0 funkcijos išvestinė lygi nuliui, todėl taškas x= 0 yra kritinis taškas. Tačiau, kaip matyti iš funkcijos grafiko, ji didėja visoje apibrėžimo srityje, todėl taškas x= 0 nėra šios funkcijos ekstremumo taškas.

Taigi sąlygos, kad funkcijos išvestinė taške yra lygi nuliui arba neegzistuoja, yra būtinos sąlygos ekstremumui, bet nepakankamos, nes galima pateikti kitų funkcijų pavyzdžių, kurioms šios sąlygos tenkinamos, tačiau funkcija atitinkamame taške neturi ekstremumo. Štai kodėl turi turėti pakankamai indikacijų, kurie leidžia spręsti, ar tam tikrame kritiniame taške yra ekstremumas, o kuris – maksimalus ar minimumas.

Teorema (pirmasis pakankamas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Kritinis taškas x0 f(x) , jei funkcijos išvestinė einant per šį tašką keičia ženklą, o jei ženklas pasikeičia iš "pliuso" į "minusą", tada maksimalus taškas, o jei iš "minuso" į "pliusas", tai minimalus taškas. .

Jei netoli taško x0 , kairėje ir dešinėje išvestinė išlaiko savo ženklą, tai reiškia, kad funkcija arba tik mažėja, arba tik didėja tam tikroje taško kaimynystėje x0 . Šiuo atveju taške x0 nėra ekstremumo.

Taigi, norėdami nustatyti funkcijos kraštutinius taškus, turite atlikti šiuos veiksmus :

Raskite funkcijos išvestinę.
Išvestinę prilyginkite nuliui ir nustatykite kritinius taškus.
Mintyse arba popieriuje skaitinėje ašyje pažymėkite kritinius taškus ir gautuose intervaluose nustatykite funkcijos išvestinės ženklus. Jei išvestinės ženklas pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai kritinis taškas yra didžiausias taškas, o jei iš „minuso“ į „pliusas“, tai kritinis taškas yra minimalus taškas.
Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ekstremaliuose taškuose.

2 pavyzdys Raskite funkcijos kraštutinumus .

Sprendimas. Raskime funkcijos išvestinę:

Prilyginkite išvestinę nuliui, kad surastumėte kritinius taškus:

Kadangi bet kuriai "x" vertei vardiklis nėra lygus nuliui, tada skaitiklį prilyginame nuliui:

Turi vieną kritinį tašką x= 3. Išvestinės ženklą nustatome intervalais, kuriuos riboja šis taškas:

diapazone nuo minus begalybės iki 3 - minuso ženklas, tai yra, funkcija mažėja,

diapazone nuo 3 iki pliuso begalybės - pliuso ženklas, tai yra, funkcija didėja.

Tai yra taškas x= 3 yra mažiausias taškas.

Raskite funkcijos reikšmę minimaliame taške:

Taigi randamas funkcijos ekstremumo taškas: (3; 0) , ir tai yra minimalus taškas.

Teorema (antrasis pakankamas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Kritinis taškas x0 yra funkcijos kraštutinis taškas f(x), jei antroji funkcijos išvestinė šiame taške nėra lygi nuliui ( f ""(x) ≠ 0), be to, jei antroji išvestinė didesnė už nulį ( f ""(x) > 0 ), tada maksimalus taškas, o jei antroji išvestinė mažesnė už nulį ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Pastaba 1. Jei taške x0 išnyksta ir pirmasis, ir antrasis vediniai, tai šiuo metu neįmanoma spręsti apie ekstremumo buvimą pagal antrąjį pakankamą požymį. Šiuo atveju reikia naudoti pirmąjį pakankamą funkcijos ekstremumo kriterijų.

2 pastaba. Antrasis pakankamas funkcijos ekstremumo kriterijus taip pat netaikomas, kai stacionariame taške nėra pirmosios išvestinės (tada neegzistuoja ir antroji išvestinė). Šiuo atveju taip pat būtina naudoti pirmąjį pakankamą funkcijos ekstremumo kriterijų.

Funkcijos ekstremumo vietinis pobūdis

Iš aukščiau pateiktų apibrėžimų matyti, kad funkcijos ekstremumas yra lokalaus pobūdžio – tai didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė, palyginti su artimiausiomis reikšmėmis.

Tarkime, kad apsvarstysite savo pajamas per vienerių metų laikotarpį. Jei gegužę uždirbote 45 000, o balandį - 42 000, o birželį - 39 000 rublių, tai gegužės mėnesio uždarbis yra uždarbio funkcijos maksimumas, palyginti su artimiausiomis reikšmėmis. Bet spalį uždirbote 71 000, rugsėjį 75 000, o lapkritį 74 000 rublių, taigi, spalio mėnesio uždarbis yra uždarbio funkcijos minimumas, palyginti su artimomis vertėmis. Ir jūs galite lengvai pamatyti, kad didžiausias tarp balandžio-gegužės-birželio mėn. verčių yra mažesnis nei rugsėjo-spalio-lapkričio mėn.

Paprastai kalbant, funkcija gali turėti kelis intervalo kraštutinumus ir gali pasirodyti, kad bet kuris funkcijos minimumas yra didesnis už bet kurį maksimumą. Taigi, funkcijai, parodytai aukščiau esančiame paveikslėlyje, .

Tai reiškia, kad nereikėtų manyti, kad funkcijos maksimumas ir minimumas yra atitinkamai didžiausios ir minimalios vertės visame nagrinėjamame segmente. Didžiausio taško taške funkcija turi didžiausią reikšmę tik lyginant su tomis reikšmėmis, kurias ji turi visuose taškuose pakankamai arti maksimalaus taško, o minimaliame taške – mažiausią reikšmę tik lyginant su tomis reikšmėmis. kad jis visuose taškuose yra pakankamai arti minimalaus taško.

Todėl galime patikslinti aukščiau pateiktos funkcijos ekstremalių taškų sąvoką ir minimalius taškus vadinti vietiniais minimaliais taškais, o maksimalius – vietiniais maksimaliais taškais.

Kartu ieškome funkcijos kraštutinumų

3 pavyzdys

Sprendimas.Funkcija apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių eilutėje. Jo darinys taip pat egzistuoja visoje skaičių eilutėje. Todėl šiuo atveju tik tie, kuriuose , t.y., tarnauja kaip kritiniai taškai. , iš kur ir . Kritinius taškus ir padalinkite visą funkcijos sritį į tris monotoniškumo intervalus: . Kiekviename iš jų pasirenkame po vieną kontrolinį tašką ir šiame taške randame išvestinės ženklą.

Intervalo atskaitos taškas gali būti: randame . Atsižvelgdami į intervalo tašką, gauname , o paėmę tašką intervale, turime . Taigi, intervalais ir , Ir intervale . Pagal pirmąjį pakankamą ekstremumo ženklą, taške ekstremumo nėra (nes išvestinė išlaiko ženklą intervale ), o funkcija taške turi minimumą (nes išvestinė pereinant keičia ženklą iš minuso į pliusą per šį tašką). Raskite atitinkamas funkcijos reikšmes: , ir . Intervale funkcija mažėja, nes šiame intervale , o intervale ji didėja, nes šiame intervale.

Norėdami patikslinti grafiko konstrukciją, randame jo susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Kai gauname lygtį, kurios šaknys ir , t.y., randami du funkcijos grafiko taškai (0; 0) ir (4; 0). Naudodami visą gautą informaciją sudarome grafiką (žr. pavyzdžio pradžioje).

4 pavyzdys Raskite funkcijos ekstremalumą ir sukurkite jos grafiką.

Funkcijos sritis yra visa skaičių eilutė, išskyrus tašką, t.y. .

Norėdami sutrumpinti tyrimą, galime pasinaudoti tuo, kad ši funkcija yra lygi, nes . Todėl jo grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu Oy o tyrimą galima atlikti tik intervalui .

Išvestinės radimas ir kritiniai funkcijos taškai:

1) ;

2) ,

tačiau funkcija šiuo metu nutrūksta, todėl ji negali būti kraštutinumo taškas.

Taigi duota funkcija turi du kritinius taškus: ir . Atsižvelgdami į funkcijos paritetą, tik tašką tikriname antruoju pakankamu ekstremumo ženklu. Norėdami tai padaryti, randame antrą išvestinę ir nustatyti jo ženklą : gauname . Kadangi ir , tada yra mažiausias funkcijos taškas, while .

Norėdami gauti išsamesnį funkcijos grafiko vaizdą, išsiaiškinkime jos elgesį apibrėžimo srities ribose:

(čia simbolis rodo norą x iki nulio dešinėje ir x išlieka teigiamas; panašiai reiškia siekį x iki nulio kairėje ir x išlieka neigiamas). Taigi, jei , tada . Toliau randame