svyruojantis judesys- periodinis arba beveik periodiškas kūno judėjimas, kurio koordinatės, greitis ir pagreitis vienodais intervalais įgauna maždaug tokias pačias reikšmes.

Mechaniniai svyravimai atsiranda, kai, išvedus kūną iš pusiausvyros, atsiranda jėga, linkusi grąžinti kūną atgal.

Poslinkis x – kūno nukrypimas nuo pusiausvyros padėties.

Amplitudė A – didžiausio kūno poslinkio modulis.

Virpesių periodas T – vieno svyravimo laikas:

Virpesių dažnis

Kūno atliekamų svyravimų skaičius per laiko vienetą: Virpesių metu periodiškai kinta greitis ir pagreitis. Pusiausvyros padėtyje greitis didžiausias, pagreitis lygus nuliui. Didžiausio poslinkio taškuose pagreitis pasiekia maksimumą, o greitis išnyksta.

HARMONINIŲ SVYPIMŲ GRAFIKAS

Harmoninis Virpesiai, atsirandantys pagal sinuso arba kosinuso dėsnį, vadinami:

čia x(t) – sistemos poslinkis momentu t, A – amplitudė, ω – ciklinių virpesių dažnis.

Jei kūno nuokrypis nuo pusiausvyros padėties brėžiamas išilgai vertikalios ašies, o laikas – išilgai horizontalios, tai gauname svyravimo x = x(t) grafiką – kūno poslinkio priklausomybę nuo laiko. Su laisvaisiais harmoniniais virpesiais tai yra sinusoidinė arba kosinusinė banga. Paveikslėlyje pavaizduoti poslinkio x, greičio projekcijos V x ir pagreičio a x, palyginti su laiku, grafikai.

Kaip matyti iš grafikų, esant didžiausiam poslinkiui x, svyruojančio kūno greitis V lygus nuliui, pagreitis a, taigi ir kūną veikianti jėga, yra didžiausias ir nukreiptas priešingai poslinkiui. Pusiausvyros padėtyje poslinkis ir pagreitis išnyksta, greitis yra didžiausias. Pagreičio projekcija visada turi priešingą poslinkio ženklą.

VIBRACINIO JUDĖJIMO ENERGIJA

Suminė svyruojančio kūno mechaninė energija yra lygi jo kinetinės ir potencinės energijos sumai ir, nesant trinties, išlieka pastovi:

Tuo momentu, kai poslinkis pasiekia didžiausią x = A, greitis ir kartu su juo kinetinė energija išnyksta.

Šiuo atveju bendra energija yra lygi potencialiai energijai:

Virpesių kūno suminė mechaninė energija yra proporcinga jo virpesių amplitudės kvadratui.

Kai sistema praeina pusiausvyros padėtį, poslinkis ir potenciali energija yra lygi nuliui: x \u003d 0, E p \u003d 0. Todėl bendra energija lygi kinetinei:

Suminė svyruojančio kūno mechaninė energija yra proporcinga jo greičio pusiausvyros padėtyje kvadratui. Vadinasi:

MATEMATINĖ SVYRUOKĖ

1. Matematinė švytuoklė yra materialus taškas, pakabintas ant nesvario netiesiamojo sriegio.

Pusiausvyros padėtyje gravitacijos jėga kompensuojama sriegio įtempimu. Jei švytuoklė nukrypsta ir atleidžiama, jėgos ir nustos viena kitą kompensuoti ir atsiras rezultatinė jėga, nukreipta į pusiausvyros padėtį. Antrasis Niutono dėsnis:

Esant nedideliems svyravimams, kai poslinkis x yra daug mažesnis nei l, medžiagos taškas judės beveik išilgai horizontalios x ašies. Tada iš trikampio MAB gauname:

Nes sin a \u003d x / l, tada susidariusios jėgos R projekcija x ašyje lygi

Minuso ženklas rodo, kad jėga R visada nukreipta prieš poslinkį x.

2. Taigi, svyruojant matematinei švytuoklei, taip pat spyruoklinei švytuoklei, atkuriamoji jėga yra proporcinga poslinkiui ir nukreipta priešinga kryptimi.

Palyginkime matematinės ir spyruoklinės švytuoklės atkūrimo jėgos išraiškas:

Matyti, kad mg/l yra analogiškas k. Spyruoklės švytuoklės laikotarpio formulėje k pakeitimas mg/l

gauname matematinės švytuoklės periodo formulę:

Matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas nepriklauso nuo amplitudės.

Matematinė švytuoklė naudojama laikui matuoti, laisvojo kritimo pagreitiui nustatyti tam tikroje žemės paviršiaus vietoje.

Laisvieji matematinės švytuoklės svyravimai esant mažais nuokrypio kampais yra harmoningi. Jie atsiranda dėl susidariusios gravitacijos jėgos ir sriegio įtempimo, taip pat dėl ​​apkrovos inercijos. Šių jėgų rezultatas yra atkuriamoji jėga.

Pavyzdys. Nustatykite laisvojo kritimo pagreitį planetoje, kurioje 6,25 m ilgio švytuoklės laisvojo svyravimo periodas yra 3,14 s.

Matematinės švytuoklės svyravimo laikotarpis priklauso nuo sriegio ilgio ir laisvojo kritimo pagreičio:

Padalinę abi lygties puses kvadratu, gauname:

Atsakymas: laisvo kritimo pagreitis yra 25 m/s 2 .

Užduotys ir testai tema "4 tema. "Mechanika. Vibracijos ir bangos.

• Skersinės ir išilginės bangos. Bangos ilgis

  Pamokos: 3 Užduotys: 9 Testai: 1

• Garso bangos. Garso greitis - Mechaniniai svyravimai ir bangos. Garso klasė 9

Matematinė švytuoklė- tai materialus taškas, pakabintas ant nesvarios ir netiesiamos gijos, esančios Žemės gravitacijos lauke. Matematinė švytuoklė yra idealizuotas modelis, kuris teisingai apibūdina tikrąją švytuoklę tik esant tam tikroms sąlygoms. Tikra švytuoklė gali būti laikoma matematine, jei sriegio ilgis yra daug didesnis nei ant jo pakabinto kūno matmenys, sriegio masė yra nereikšminga, palyginti su kūno mase, o sriegio deformacijos yra tokios mažos. kad jų galima visai nepaisyti.

Virpesių sistemą šiuo atveju sudaro sriegis, prie jo pritvirtintas kūnas ir Žemė, be kurių ši sistema negalėtų tarnauti kaip švytuoklė.

kur a X – pagreitis, g - gravitacijos pagreitis, X- kompensuoti, l yra švytuoklės stygos ilgis.

Ši lygtis vadinama matematinės švytuoklės laisvųjų svyravimų lygtis. Jis teisingai apibūdina nagrinėjamus svyravimus tik tada, kai įvykdomos šios prielaidos:

2) atsižvelgiama tik į nedidelius švytuoklės svyravimus su nedideliu svyravimo kampu.

Bet kurių sistemų laisvosios vibracijos visais atvejais apibūdinamos panašiomis lygtimis.

Matematinės švytuoklės laisvųjų svyravimų priežastys yra šios:

1. Įtempimo jėgos ir gravitacijos jėgos švytuoklinis veiksmas, neleidžiantis jai pasislinkti iš pusiausvyros padėties ir vėl priversti ją kristi.

2. Švytuoklės inercija, dėl kurios, išlaikydama savo greitį, ji nesustoja pusiausvyros padėtyje, o eina per ją toliau.

Matematinės švytuoklės laisvųjų svyravimų laikotarpis

Matematinės švytuoklės laisvųjų svyravimų periodas nepriklauso nuo jos masės, o nustatomas tik pagal sriegio ilgį ir laisvojo kritimo pagreitį toje vietoje, kur yra švytuoklė.

Energijos keitimas harmoninių virpesių metu

Su harmoniniais spyruoklės švytuoklės virpesiais, tampriai deformuoto kūno potencinė energija paverčiama jo kinetine energija, kur k – elastingumo koeficientas, X -švytuoklės poslinkio modulis iš pusiausvyros padėties, m- švytuoklės masė, v- jo greitis. Pagal harmoninių virpesių lygtį:

, .

Bendra spyruoklės švytuoklės energija:

.

Bendra matematinės švytuoklės energija:

Matematinės švytuoklės atveju

Energijos transformacijos spyruoklės švytuoklės virpesių metu vyksta pagal mechaninės energijos tvermės dėsnį ( ). Kai švytuoklė juda aukštyn arba žemyn iš pusiausvyros padėties, jos potencinė energija didėja, o kinetinė energija mažėja. Kai švytuoklė pereina pusiausvyros padėtį ( X= 0), jos potenciali energija lygi nuliui, o švytuoklės kinetinė energija yra didžiausia, lygi jos bendrajai energijai.

Taigi svyruoklės laisvųjų svyravimų metu jos potencinė energija paverčiama kinetine, kinetinė – potencialine, potencialinė – vėl kinetine ir tt Tačiau bendra mechaninė energija išlieka nepakitusi.

Priverstinės vibracijos. Rezonansas.

Vadinami svyravimai, atsirandantys veikiant išorinei periodinei jėgai priverstinės vibracijos. Išorinė periodinė jėga, vadinama varomąja jėga, svyruojančiai sistemai suteikia papildomos energijos, kuri naudojama kompensuoti energijos nuostolius dėl trinties. Jeigu varomoji jėga kinta laike pagal sinuso arba kosinuso dėsnį, tai priverstiniai svyravimai bus harmoningi ir neslopinami.

Skirtingai nuo laisvųjų svyravimų, kai sistema energiją gauna tik vieną kartą (kai sistema išvedama iš pusiausvyros), priverstinių svyravimų atveju sistema šią energiją nuolat sugeria iš išorinės periodinės jėgos šaltinio. Ši energija kompensuoja nuostolius, išleidžiamus įveikiant trintį, todėl suminė virpesių sistemos energija išlieka nepakitusi.

Priverstinių svyravimų dažnis lygus varomosios jėgos dažniui. Kai varomosios jėgos dažnis υ sutampa su natūraliu virpesių sistemos dažniu υ 0 , smarkiai padidėja priverstinių virpesių amplitudė - rezonansas. Rezonansas atsiranda, nes υ = υ 0 išorinė jėga, veikianti laike su laisvomis vibracijomis, visada yra nukreipta kartu su svyruojančio kūno greičiu ir atlieka teigiamą darbą: didėja svyruojančio kūno energija, o jo virpesių amplitudė tampa didelė. Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybės grafikas BET t dėl varomosios jėgos dažnumo υ parodyta paveikslėlyje, šis grafikas vadinamas rezonanso kreive:

Rezonanso reiškinys vaidina svarbų vaidmenį daugelyje gamtos, mokslo ir pramonės procesų. Pavyzdžiui, projektuojant tiltus, pastatus ir kitas konstrukcijas, kurios patiria vibraciją veikiant apkrovai, būtina atsižvelgti į rezonanso reiškinį, nes priešingu atveju, esant tam tikroms sąlygoms, šios konstrukcijos gali būti sunaikintos.

Kas yra matematinė švytuoklė?

Iš ankstesnių pamokų jau turėtumėte žinoti, kad švytuoklė, kaip taisyklė, reiškia kūną, kuris svyruoja veikiamas gravitacinės sąveikos. Tai yra, galime sakyti, kad fizikoje pagal šią sąvoką įprasta laikyti kietą kūną, kuris, veikiamas gravitacijos, atlieka svyruojančius judesius, vykstančius aplink fiksuotą tašką ar ašį.

Matematinės švytuoklės veikimo principas

O dabar pažiūrėkime į matematinės švytuoklės principą ir išsiaiškinkime, kas tai yra.

Matematinės švytuoklės veikimo principas yra toks: kai materialus taškas nukrypsta nuo pusiausvyros padėties nereikšmingu kampu a, tai yra tokiu kampu, kuriame būtų įvykdyta sąlyga sina = a, tada jėga F = -mgsina = -mga veiks kūną.

Jūs ir aš matome, kad jėgos F rodiklis yra neigiamas, ir iš to išplaukia, kad minuso ženklas mums sako, kad ši jėga nukreipta priešinga poslinkiui kryptimi. Ir kadangi jėga F yra proporcinga poslinkiui S, iš to išplaukia, kad veikiant tokiai jėgai materialusis taškas atliks harmoninius virpesius.

švytuoklės savybės

Jeigu imtume kokią kitą švytuoklę, tai jos svyravimo periodas priklauso nuo daugelio faktorių. Šie veiksniai apima:

Pirma, kūno dydis ir forma;
Antra, atstumas, esantis tarp pakabos taško ir svorio centro;
Trečia, taip pat kūno masės pasiskirstymas tam tikro taško atžvilgiu.

Atsižvelgiant į šias įvairias švytuoklių aplinkybes, gana sunku nustatyti kabančio kūno laikotarpį.

O jei imtume matematinę švytuoklę, tai ji turi visas savybes, kurias galima įrodyti naudojant žinomus fizikinius dėsnius ir jos periodą nesunkiai galima apskaičiuoti naudojant formulę.

Atlikę daugybę skirtingų tokių mechaninių sistemų stebėjimų, fizikai sugebėjo nustatyti tokius modelius kaip:

Pirma, švytuoklės veikimo laikas nepriklauso nuo apkrovos masės. Tai yra, jei su tuo pačiu švytuoklės ilgiu nuo jos pakabinsime skirtingos masės krovinius, tada jų svyravimų laikotarpis vis tiek bus toks pat, net jei jų masės turės gana ryškių skirtumų.

Antra, jei paleidžiant sistemą švytuoklę nukrypsime mažais, bet skirtingais kampais, tai jos svyravimai turės tą patį periodą, tačiau amplitudės bus skirtingos. Esant nedideliems nukrypimams nuo pusiausvyros centro, jų formos svyravimai bus beveik harmoningi. Tai yra, galime sakyti, kad tokios švytuoklės periodas nepriklauso nuo svyravimų amplitudės. Išvertus iš graikų kalbos, ši šios mechaninės sistemos savybė vadinama izochronizmu, kur „isos“ reiškia lygus, gerai, o „chronos“ – laikas.

Praktinis švytuoklės svyravimų panaudojimas

Matematinę švytuoklę įvairiems tyrimams naudoja fizikai, astronomai, geodezininkai ir kiti mokslininkai. Tokios švytuoklės pagalba jie ieško mineralų. Stebint matematinės švytuoklės pagreitį ir skaičiuojant jos svyravimų skaičių, mūsų Žemės žarnyne galima rasti anglies ir rūdos telkinių.

Garsus prancūzų astronomas ir gamtininkas C. Flammarionas tvirtino, kad matematinės švytuoklės pagalba jam pavyko padaryti daug svarbių atradimų, tarp kurių – Tunguskos meteorito atsiradimas ir naujos planetos atradimas.

Šiais laikais daugelis aiškiaregių ir okultistų naudoja tokią mechaninę sistemą dingusių žmonių paieškai ir pranašiškiems pranašams.

Apibrėžimas

Matematinė švytuoklė- tai svyravimo sistema, kuri yra ypatingas fizinės švytuoklės atvejis, kurio visa masė sutelkta viename taške, švytuoklės masės centre.

Paprastai matematinė švytuoklė vaizduojama kaip rutulys, pakabintas ant ilgo nesvario ir netiesiamo sriegio. Tai idealizuota sistema, atliekanti harmoninius svyravimus veikiama gravitacijos. Geras matematinės švytuoklės aproksimacija yra masyvus mažas rutulys, svyruojantis ant plono ilgo sriegio.

Galilėjus pirmasis ištyrė matematinės švytuoklės savybes, atsižvelgdamas į sietyno siūbavimą ant ilgos grandinės. Jis gavo, kad matematinės švytuoklės svyravimo periodas nepriklauso nuo amplitudės. Jei paleidus švytuoklę ji nukrypsta skirtingais mažais kampais, tada jos svyravimai vyks tuo pačiu laikotarpiu, bet skirtingomis amplitudėmis. Ši savybė vadinama izochronizmu.

Matematinės švytuoklės judėjimo lygtis

Matematinė švytuoklė yra klasikinis harmoninio osciliatoriaus pavyzdys. Jis atlieka harmoninius virpesius, kurie apibūdinami diferencialine lygtimi:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

čia $\varphi $ – sriegio (pakabos) nuokrypio nuo pusiausvyros padėties kampas.

(1) lygties sprendimas yra funkcija $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

kur $\alpha $ - pradinė svyravimų fazė; $(\varphi )_0$ - virpesių amplitudė; $(\omega )_0$ – ciklinis dažnis.

Harmoninio osciliatoriaus virpesiai yra svarbus periodinio judėjimo pavyzdys. Osciliatorius tarnauja kaip modelis daugelyje klasikinės ir kvantinės mechanikos problemų.

Matematinės švytuoklės ciklinis dažnis ir svyravimo periodas

Matematinės švytuoklės ciklinis dažnis priklauso tik nuo jos pakabos ilgio:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

Matematinės švytuoklės svyravimų periodas ($T$) šiuo atveju yra lygus:

Išraiška (4) rodo, kad matematinės švytuoklės veikimo laikas priklauso tik nuo jos pakabos ilgio (atstumo nuo pakabos taško iki krovinio svorio centro) ir laisvojo kritimo pagreičio.

Matematinės švytuoklės energijos lygtis

Nagrinėjant mechaninių sistemų virpesius su vienu laisvės laipsniu, ji dažnai laikoma pradine ne Niutono judėjimo lygtimi, o energijos lygtimi. Kadangi ją lengviau sudaryti, ir tai yra pirmos eilės laike lygtis. Tarkime, kad sistemoje nėra trinties. Matematinės švytuoklės, darančios laisvus svyravimus (mažus svyravimus), energijos tvermės dėsnį galima parašyti taip:

kur $E_k$ yra švytuoklės kinetinė energija; $E_p$ - švytuoklės potencinė energija; $v$ – švytuoklės greitis; $x$ - tiesinis švytuoklės svorio poslinkis iš pusiausvyros padėties išilgai $l$ spindulio apskritimo lanko, o kampas - poslinkis yra susijęs su $x$ taip:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

Didžiausia matematinės švytuoklės potencinės energijos vertė yra:

Didžiausia kinetinės energijos vertė:

kur $h_m$ yra didžiausias švytuoklės kėlimo aukštis; $x_m$ - didžiausias švytuoklės nuokrypis nuo pusiausvyros padėties; $v_m=(\omega )_0x_m$ – maksimalus greitis.

Problemų su sprendimu pavyzdžiai

1 pavyzdys

Pratimas. Koks yra maksimalus matematinės švytuoklės rutulio aukštis, jei jo judėjimo greitis, kertant pusiausvyros padėtį, buvo $v$?

Sprendimas. Padarykime piešinį.

Tegu rutulio potenciali energija jo pusiausvyros padėtyje (taške 0) lygi nuliui.Šiuo momentu rutulio greitis yra didžiausias ir lygus $v$ pagal uždavinio sąlygą. Maksimalaus rutulio kėlimo taške virš pusiausvyros padėties (taškas A) rutulio greitis lygus nuliui, potenciali energija didžiausia. Užrašykime dviejų nagrinėjamų rutulio padėčių energijos tvermės dėsnį:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

Iš (1.1) lygties randame norimą aukštį:

Atsakymas.$h=\frac(v^2)(2g)$

2 pavyzdys

Pratimas. Koks yra gravitacijos pagreitis, jei matematinė švytuoklė, kurios ilgis $l=1\ m$ svyruoja periodu, lygiu $T=2\ s$? Matematinės švytuoklės svyravimai yra maži.\textit()

Sprendimas. Norėdami išspręsti problemą, imame mažų svyravimų laikotarpio skaičiavimo formulę:

Iš jo išreikškime pagreitį:

Apskaičiuokime gravitacijos pagreitį:

Atsakymas.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$

Matematinės švytuoklės svyravimo periodas priklauso nuo sriegio ilgio: mažėjant sriegio ilgiui, svyravimo periodas mažėja.

Matematinės švytuoklės atveju įvykdyti kai kurie dėsniai:

1 įstatymas. Jei, išlaikydami vienodą švytuoklės ilgį, kabinsime skirtingus krovinius (pavyzdžiui, 5 kg ir 100 kg), tada svyravimo periodas bus vienodas, nors apkrovų masės labai skiriasi. Matematinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo apkrovos masės.

2 įstatymas. Jei švytuoklė nukreipiama skirtingais, bet mažais kampais, ji svyruos tuo pačiu periodu, nors ir skirtingomis amplitudėmis. Kol švytuoklės amplitudė maža, svyravimai savo forma taip pat bus panašūs į harmoninius, o tada matematinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo svyravimų amplitudės. Ši savybė vadinama izochronizmu.

Išveskime matematinės švytuoklės periodo formulę.

Matematinės švytuoklės svorį m veikia gravitacijos jėga mg ir sriegio tamprumo jėga Fynp. Mes nukreipiame 0X ašį išilgai judėjimo aukštyn trajektorijos liestinės. Parašykime antrąjį Niutono dėsnį šiam atvejui:

Viską projektuojame į x ašį:

Mažais kampais

Atlikę pakeitimus ir nedidelius transformavimus, gauname, kad lygtis atrodo taip:

Palyginę gautą išraišką su harmoninių virpesių lygtimi, gauname:

Iš lygties matyti, kad spyruoklės švytuoklės ciklinis dažnis bus toks:

Tada matematinės švytuoklės periodas bus lygus:

Matematinės švytuoklės periodas priklauso tik nuo laisvojo kritimo pagreičio g ir nuo švytuoklės ilgio l. Iš gautos formulės išplaukia, kad švytuoklės periodas nepriklauso nuo jos masės ir nuo amplitudės (jei ji pakankamai maža). Taip pat nustatėme kiekybinį ryšį tarp švytuoklės periodo, jos ilgio ir laisvojo kritimo pagreičio. Matematinės švytuoklės periodas yra proporcingas švytuoklės ilgio ir pagreičio, atsirandančio dėl gravitacijos, santykio kvadratinei šaknei. Proporcingumo koeficientas yra 2p

Taip pat yra:

Pavasario švytuoklės laikotarpis

Fizinės švytuoklės laikotarpis

Torsioninės švytuoklės laikotarpis