Viena iš svarbiausių funkcijų klasių, kurių integralai išreiškiami elementariosiomis funkcijomis, yra racionaliųjų funkcijų klasė.

Apibrėžimas 1. Funkcija formos kur
- laipsnio daugianariainirmvadinamas racionaliu. Visa racionali funkcija, t.y. daugianario, integruoja tiesiogiai. Trupmeninės-racionalios funkcijos integralą galima rasti išplėtus į terminus, kurie standartiniu būdu konvertuojami į pagrindinius lentelės integralus.

2 apibrėžimas. Trupmena
vadinamas teisingu, jei skaitiklio laipsnisnmažiau nei vardiklism. Trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus, vadinama netinkamąja trupmena.

Bet kuri neteisinga trupmena gali būti pavaizduota kaip daugianario ir tinkamos trupmenos suma. Tai daroma dalijant daugianarį iš "stulpelio" daugianario, panašiai kaip dalijant skaičius.

Pavyzdys.

Įsivaizduokite trupmeną
kaip daugianario ir tinkamos trupmenos suma:

x-1

3

3

3

Pirma kadencija
koeficientas gaunamas dalijant pagrindinį terminą
, dalijasi iš pagrindinio nario X skirstytuvas. Tada padauginame
į daliklį x-1 ir atimti rezultatą iš dividendų; likę nepilnojo koeficiento nariai randami panašiai.

Padalinę daugianario gautą skaičių:

Šis veiksmas vadinamas visos dalies parinkimu.

3 apibrėžimas. Paprasčiausios trupmenos yra šių tipų tinkamos racionalios trupmenos:

aš.

II.
(K = 2, 3, …).

III.
kur yra kvadratinis trinaris

IV.
kur K = 2, 3, …; kvadratinis trinaris
neturi tikrų šaknų.

a) išplėskite vardiklį
į paprasčiausius realius veiksnius (pagal pagrindinę algebros teoremą ši plėtra gali turėti formos tiesinius dvinarius
ir kvadratiniai trinariai
, neturintis šaknų);

b) parašykite schemą, kaip duotąją trupmeną išplėsti į paprastųjų trupmenų sumą. Be to, kiekvienas formos veiksnys
atitinka k I ir II tipų sąlygos:

kiekvienam formos veiksniui
atitinka III ir IV tipų e terminus:

Pavyzdys.

Užsirašykite trupmenų skaidymo schemą
sumoje paprasčiausių.

c) atlikti gautų paprastųjų trupmenų sudėjimą. Užrašykite gautų ir pradinių trupmenų skaitiklių lygybę;

d) raskite atitinkamo plėtimosi koeficientus:
(sprendimo būdai bus aptarti toliau);

e) Rastas koeficientų reikšmes pakeiskite į skaidymo schemą.

Bet kurios tinkamos racionalios trupmenos integravimas po skaidymo į paprastus terminus sumažinamas iki vieno iš tipų integralų:

(k ir e =2, 3, …).

Integralinis skaičiavimas sumažina iki III formulės:

integralas - į II formulę:

integralas galima rasti pagal taisyklę, nurodytą funkcijų, turinčių kvadratinį trinarį, integravimo teorijoje; - transformacijomis, parodytomis toliau 4 pavyzdyje.

1 pavyzdys

a) išskaidykite vardiklį:

b) parašykite integrando išplėtimo į terminus schemą:

c) atlikti paprastųjų trupmenų pridėjimą:

Rašome trupmenų skaitiklių lygybę:

d) yra du būdai, kaip rasti nežinomus koeficientus A, B, C.

Du daugianariai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų koeficientai yra lygūs esant tokioms pačioms laipsnėms X, todėl galite sudaryti atitinkamą lygčių sistemą. Tai vienas iš sprendimų.

Koeficientai ties

laisvieji nariai (koeficientas at ):4A=8.

Išsprendę sistemą, gauname A=2, B=1, C = - 10.

Kitas būdas - privačios vertybės bus aptartos kitame pavyzdyje;

e) pakeiskite rastas vertes į išplėtimo schemą:

Pakeisdami gautą sumą integralo ženklu ir integruodami kiekvieną terminą atskirai, randame:

2 pavyzdys

Tapatybė yra lygybė, kuri galioja bet kokioms į ją įtrauktoms nežinomųjų vertybėms. Remiantis tuo privačios vertės metodas. Galima pritvirtinti X bet kokios vertybės. Skaičiavimams patogiau imti tas vertes, kurios dingsta bet kokius terminus dešinėje lygybės pusėje.

Leisti x = 0. Tada 1 = A 0(0+2)+B 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Panašiai, kai x = - 2 mes turime 1= - 2B*(-3), adresu x = 1 mes turime 1 = 3A.

Vadinasi,

3 pavyzdys

d) Pirmiausia naudojame dalinių reikšmių metodą.

Leisti x = 0, tada 1 = A 1, A = 1.

At x = - 1 mes turime - 1+4+2+1 = – B(1+1+1) arba 6 = - 3 V, B = - 2.

Norint rasti koeficientus C ir D, reikia sudaryti dar dvi lygtis. Norėdami tai padaryti, galite naudoti bet kokias kitas vertes X, pavyzdžiui x = 1 ir x = 2. Galite naudoti pirmąjį būdą, t.y. sulyginti koeficientus esant bet kokiems identiškiems laipsniams X, pavyzdžiui, kai ir . Gauk

1 = A + B + C ir 4 = C +D- AT.

Žinant A = 1, B = -2, rasti C = 2, D = 0 .

Taigi, skaičiuojant koeficientus, abu būdus galima derinti.

Paskutinis integralas randame atskirai pagal naujo kintamojo komandavimo metode nurodytą taisyklę. Vardiklyje pasirenkame visą kvadratą:

tarkim
tada
Mes gauname:

=

Pakeitę ankstesnę lygybę, randame

4 pavyzdys

Rasti

b)

e)

Integruodami turime:

Pirmąjį integralą paverčiame formule III:

Antrąjį integralą paverčiame formule II:

Trečiajame integrale pakeičiame kintamąjį:

(Atlikdami transformacijas naudojome trigonometrijos formulę

Raskite integralus:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Klausimai savityrai.

Kurios iš pateiktų racionaliųjų trupmenų yra teisingos:

2. Ar teisingai parašyta trupmenos išplėtimo į paprastųjų trupmenų sumą schema?

Funkcijų, įskaitant racionaliąsias trupmenas, integravimo kontrolinis darbas skiriamas 1 ir 2 kursų studentams. Integralų pavyzdžiai daugiausia bus įdomūs matematikams, ekonomistams ir statistikams. Šie pavyzdžiai buvo paklausti LNU kontrolinio darbo metu. I. Frankas. Toliau pateiktų pavyzdžių sąlygos yra „Rasti integralą“ arba „Apskaičiuoti integralą“, todėl taupant erdvę ir laiką jos nebuvo išrašytos.

15 pavyzdys. Priėjome trupmeninių racionaliųjų funkcijų integravimą. Tarp integralų jie užima ypatingą vietą, nes reikalauja daug laiko skaičiuoti ir padeda mokytojams pasitikrinti tavo žinias ne tik integracijoje. Norėdami supaprastinti funkciją pagal integralą, skaitiklyje pridedame ir atimame išraišką, kuri leis mums padalinti funkciją po integralu į dvi paprastas

Dėl to gana greitai randame vieną integralą, antrajame trupmeną reikia išplėsti į elementariųjų trupmenų sumą

Sumažinus iki bendro vardiklio, gauname tokius skaičius

Tada atidarykite skliaustus ir grupę

Dešinėje ir kairėje pusėje esančią reikšmę prilyginame tais pačiais „x“ laipsniais. Dėl to gauname trijų tiesinių lygčių sistemą (SLAE) su trimis nežinomaisiais.

Kaip išspręsti lygčių sistemas, aprašyta kituose svetainės straipsniuose. Galutinėje versijoje gausite šiuos SLAE sprendimus
A=4; B = -9/2; C=-7/2.
Pakeičiame trupmenų išplėtimo konstantas į paprasčiausias ir atliekame integravimą


Šis pavyzdys išspręstas.

16 pavyzdys. Vėlgi, reikia rasti trupmeninės racionalios funkcijos integralą. Pirmiausia kubinę lygtį, esančią trupmenos vardiklyje, išskaidome į paprastus veiksnius

Toliau atliekame trupmenos skaidymą į paprasčiausią

Dešinę pusę sumažiname iki bendro vardiklio ir atidarome skaitiklio skliaustus.


Koeficientus prilyginame prie tų pačių kintamojo laipsnių. Vėl ateiname į SLAE su trimis nežinomaisiais

Išplėtimu pakeičiame reikšmes A, B, C ir apskaičiuojame integralą

Pirmieji du terminai suteikia logaritmą, paskutinį taip pat lengva rasti.

17 pavyzdys. Trupmeninės racionalios funkcijos vardiklyje turime kubelių skirtumą. Pagal sutrumpintos daugybos formules išskaidome jį į du pirminius veiksnius

Tada mes nuspalviname gautą trupmeninę funkciją paprastųjų trupmenų sumai ir sumažiname jas iki bendro vardiklio

Skaitiklyje gauname tokią išraišką.

Iš jo sudarome tiesinių lygčių sistemą 3 nežinomiesiems apskaičiuoti

A=1/3; B = -1/3; C = 1/3.
Į formulę pakeičiame A, B, C ir atliekame integravimą. Dėl to gauname tokį atsakymą


Čia antrojo integralo skaitiklis buvo paverstas logaritmu, o likusi dalis po integralu suteikia lanko liestinę.
Internete yra daug panašių pavyzdžių apie racionaliųjų trupmenų integravimą. Panašių pavyzdžių galite rasti toliau pateiktoje medžiagoje.

TEMA: Racionaliųjų trupmenų integravimas.

Dėmesio! Tiriant vieną iš pagrindinių integravimo metodų – racionaliųjų trupmenų integravimą – griežtiems įrodymams reikia atsižvelgti į daugianario komplekso sritį. Todėl būtina mokytis iš anksto kai kurios kompleksinių skaičių savybės ir operacijos su jais.

Paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integravimas.

Jeigu P(z) ir K(z) yra daugianariai kompleksinėje srityje, tada yra racionalioji trupmena. Tai vadinama teisinga jei laipsnis P(z) mažesnis laipsnis K(z) , ir negerai jei laipsnis R ne mažesnis laipsnis K.

Bet kuri neteisinga trupmena gali būti pavaizduota taip: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – daugianaris, kurio laipsnis mažesnis už laipsnį K(z).

Taigi racionaliųjų trupmenų integravimas sumažinamas iki daugianario, tai yra laipsnio funkcijų ir tinkamų trupmenų integravimo, nes tai yra tinkama trupmena.

5 apibrėžimas. Paprasčiausios (arba elementariosios) trupmenos yra šių tipų trupmenos:

1) , 2) , 3) , 4) .

Išsiaiškinkime, kaip jie yra integruoti.

3) (nagrinėta anksčiau).

5 teorema. Bet kuri tinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip paprastųjų trupmenų suma (be įrodymo).

Išvada 1. Jei yra tinkama racionalioji trupmena, o tarp daugianario šaknų yra tik paprastosios tikrosios šaknys, tai išplečiant trupmeną į paprastųjų trupmenų sumą bus tik 1 tipo paprastosios trupmenos:

1 pavyzdys

Išvada 2. Jei yra tinkama racionalioji trupmena, o tarp daugianario šaknų yra tik kelios tikrosios šaknys, tai išplečiant trupmeną į paprastųjų trupmenų sumą bus tik 1 ir 2 tipų paprastosios trupmenos :

2 pavyzdys

Išvada 3. Jei yra tinkama racionalioji trupmena ir jei tarp daugianario šaknų yra tik paprastos kompleksinės konjuguotos šaknys, tai trupmenos išplėtimas į paprastųjų trupmenų sumą bus tik paprastosios 3 tipo trupmenos:

3 pavyzdys

Išvada 4. Jei yra tinkama racionalioji trupmena ir jei tarp daugianario šaknų yra tik kelios kompleksinės konjuguotos šaknys, tai trupmenos išplėtimas į paprastųjų trupmenų sumą bus tik paprastosios 3 ir 4 trupmenos tipai:

Norėdami nustatyti nežinomus aukščiau pateiktų plėtinių koeficientus, atlikite šiuos veiksmus. Kairioji ir dešinioji plėtinio dalys, turinčios nežinomus koeficientus, dauginamos iš Gaunama dviejų daugianario lygybė. Iš jo gaunamos norimų koeficientų lygtys, naudojant tai:

1. lygybė galioja bet kurioms X reikšmėms (dalinių reikšmių metodas). Šiuo atveju gaunamas bet koks lygčių skaičius, iš kurių bet kuris m leidžia rasti nežinomus koeficientus.

2. koeficientai sutampa tais pačiais X laipsniais (neapibrėžtų koeficientų metodas). Šiuo atveju gaunama m - lygčių sistema su m - nežinomaisiais, iš kurių randami nežinomi koeficientai.

3. kombinuotas metodas.

5 pavyzdys. Išskleiskite trupmeną prie paprasčiausių.

Sprendimas:

Raskite koeficientus A ir B.

1 būdas – privačios vertės metodas:

2 metodas – neapibrėžtųjų koeficientų metodas:

Atsakymas:

Racionaliųjų trupmenų integravimas.

6 teorema. Bet kurios racionalios trupmenos bet kuriame intervale, kurio vardiklis nėra lygus nuliui, neapibrėžtas integralas egzistuoja ir išreiškiamas elementariomis funkcijomis, būtent racionaliosiomis trupmenomis, logaritmais ir arctangentais.

Įrodymas.

Mes atstovaujame racionalią trupmeną formoje: . Be to, paskutinis narys yra tinkama trupmena, o pagal 5 teoremą jis gali būti pavaizduotas kaip tiesinis paprastųjų trupmenų derinys. Taigi racionaliosios trupmenos integravimas redukuojasi iki daugianario integravimo S(x) ir paprasčiausios trupmenos, kurių antidariniai, kaip parodyta, turi teoremoje nurodytą formą.

komentuoti. Pagrindinis sunkumas šiuo atveju yra vardiklio skaidymas į veiksnius, tai yra visų jo šaknų paieška.

1 pavyzdys. Raskite integralą

Racionaliųjų funkcijų integravimas Trupmeninė - racionalioji funkcija Paprasčiausios racionalios trupmenos Racionaliosios trupmenos skaidymas į paprasčiausias trupmenas Paprasčiausių trupmenų integravimas Bendroji racionaliųjų trupmenų integravimo taisyklė

n laipsnio daugianario. Racionalioji trupmeninė funkcija Trupmeninė racionali funkcija yra funkcija, lygi dviejų daugianarių santykiui: Racionalioji trupmena vadinama tinkama, jei skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį, t.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Trupmena – racionali funkcija Netinkamą trupmeną konvertuoti į teisingą formą: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Paprasčiausios racionalios trupmenos Taisyklingosios formos trupmenos: Jos vadinamos paprasčiausiomis racionaliosiomis tipų trupmenomis. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Racionaliosios trupmenos išskaidymas į paprastas trupmenas Teorema: Bet kuri tinkama racionalioji trupmena, kurios vardiklis faktorinizuotas: gali būti pavaizduota unikaliai kaip paprastųjų trupmenų suma: s k qxpxxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Racionaliosios trupmenos išskaidymas į paprastas trupmenas Paaiškinkime teoremos formulavimą šiais pavyzdžiais: Neapibrėžtiems koeficientams A, B, C, D ... rasti naudojami du metodai: koeficientų palyginimo metodas ir dalinio metodas. kintamojo reikšmės. Pažvelkime į pirmąjį metodą su pavyzdžiu. 3 2) 3) (2 (4 x x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 x x Nx. M) 1 (3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1) (4 (987 xxx xx 4 x)

Racionaliosios trupmenos išskaidymas į paprastas trupmenas Pavaizduoti trupmeną kaip paprastųjų trupmenų sumą: Sumažinti paprasčiausias trupmenas iki bendro vardiklio Sulyginti gautų ir pradinių trupmenų skaitiklius Sulyginti koeficientus esant tokioms pat galioms x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52) (1 () 1) () 52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Paprasčiausių trupmenų integravimas Raskime paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integralus: Panagrinėkime 3 tipo trupmenų integravimą naudodami pavyzdį. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Paprastų trupmenų integravimas dx xx x 102 13 2 dx xx x 9) 12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 232 2tt 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Paprastųjų trupmenų integravimas Šio tipo integralas pakeitimo būdu: sumažinamas iki dviejų integralų sumos: Pirmasis integralas apskaičiuojamas įvedant t po diferencialo ženklu. Antrasis integralas apskaičiuojamas naudojant rekursinę formulę: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Paprastųjų trupmenų integravimas a = 1; k = 3 323) 1 (t dt tartg t dt 1 21) 1) (12 (2222 322 1 21 222 t t t dt) 1 (22 1 2 t t t t t t 2223) 1) (13 (2232 t 2 t t c 2 t c) (4)1(

Bendroji racionaliųjų trupmenų integravimo taisyklė Jei trupmena neteisinga, tada pavaizduokite ją kaip daugianario ir tinkamos trupmenos sumą. Išskaidę tinkamos racionalios trupmenos vardiklį į veiksnius, pavaizduokite jį kaip paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais sumą. Raskite neapibrėžtuosius koeficientus palygindami koeficientus arba kintamojo dalinių reikšmių metodu. Integruokite daugianarį ir gautą paprastųjų trupmenų sumą.

Pavyzdys Perkelkime trupmeną į teisingą formą. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 x 2 5

Pavyzdys Tinkamos trupmenos vardiklio faktorinavimas Trupmenos vaizdavimas paprastųjų trupmenų suma Neapibrėžtų koeficientų radimas naudojant kintamojo xxx xx dalinių reikšmių metodą 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1) x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2) 1 (3 1 124 xxx

Pavyzdys dx xx 2 2) 1 (3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Anksčiau aptarėme bendruosius integravimo būdus. Šiame ir tolesniuose skyriuose kalbėsime apie konkrečių funkcijų klasių integravimą, pasitelkus nagrinėjamus metodus.

Paprasčiausių racionalių funkcijų integravimas

Apsvarstykite formos integralą \textstyle(\int R(x)\,dx), kur y=R(x) yra racionali funkcija. Bet kuri racionali išraiška R(x) gali būti pavaizduota kaip \frac(P(x))(Q(x)), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai. Jei ši trupmena yra neteisinga, tai yra, jei skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui, tada jis gali būti pavaizduotas kaip daugianario (sveikosios dalies) ir tinkamos trupmenos suma. Todėl pakanka apsvarstyti tinkamų trupmenų integravimą.

Parodykime, kad tokių trupmenų integravimas redukuojasi iki integracijos paprastosios trupmenos, t. y. formos išraiškos:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

kur A,\,B,\,a,\,p,\,q yra realūs skaičiai, o kvadratinis trinaris x^2+px+q neturi realių šaknų. 1) ir 2) formos išraiškos vadinamos 1-osios rūšies trupmenomis, o 3) ir 4) formos išraiškos – 2-osios rūšies trupmenomis.

1-osios rūšies trupmenų integralai skaičiuojami tiesiogiai

\begin(lygiuotas)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ltaškai). \pabaiga (sulygiuota)

Apsvarstykite integralų apskaičiavimą iš 2-osios rūšies trupmenų: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Pirma, pastebėkime tai

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operatoriaus vardas(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Norėdami sumažinti integralo 3) skaičiavimą iki šių dviejų integralų, transformuojame kvadratinį trinarį x^2+px+q, iš jo ištraukdami visą kvadratą:

x^2+px+q= (\left(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Kadangi, remiantis prielaida, šis trinaris neturi tikrų šaknų q-\frac(p^2)(4)>0 ir galime įdėti q-\frac(p^2)(4)=a^2. Pakeitimas x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt paverčia integralą 3) tiesine aukščiau minėtų dviejų integralų kombinacija:

\begin(lygiuotas)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operatoriaus pavadinimas(arctg)\frac(t)(a)+C. \pabaiga (sulygiuota)

Galutiniame atsakyme tereikia pakeisti (t) x+\frac(p)(2) ir (a) pakeisti \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Kadangi t^2+a^2=x^2+px+q , tada

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatoriaus pavadinimas(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Apsvarstykite atvejį \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Kaip ir ankstesniu atveju, nustatome x+\frac(p)(2)=t . Mes gauname:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Pirmasis terminas apskaičiuojamas taip:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Antrasis integralas apskaičiuojamas naudojant pasikartojimo formulę.

1 pavyzdys Apskaičiuokite \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Sprendimas. Mes turime: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Tegu x+1=t . Tada dx=dt ir 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 taigi

\begin(lygiuotas)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatoriaus vardas(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatoriaus vardas(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \pabaiga (sulygiuota)

2 pavyzdys Apskaičiuokite \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Sprendimas. Mes turime: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Įveskime naują kintamąjį nustatydami x+3=t . Tada dt=dx ir x+2=t-1 . Pakeitę kintamąjį po integralo ženklu, gauname:

\begin(lygiuotas)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \pabaiga (sulygiuota))

Padėkime I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Mes turime:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), bet I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operatoriaus vardas(arctg)tŠiuo būdu, I_2= \frac(1)(2)\operatoriaus pavadinimas(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Galiausiai gauname:

\begin (lygiuotas)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operatoriaus vardas(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operatoriaus pavadinimas(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatoriaus pavadinimas(arctg)(x+3)+C \end(sulygiuotas)

Tinkamų trupmenų integravimas

Apsvarstykite tinkamą trupmeną R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), kur Q(x) yra n laipsnio daugianario. Neprarasdami bendrumo, galime daryti prielaidą, kad pirmaujantis koeficientas Q(x) lygus 1. Algebros metu įrodyta, kad toks daugianomas su realiais koeficientais gali būti įtrauktas į pirmojo ir antrojo laipsnio koeficientus su realiaisiais koeficientais. :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ltaškai (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ltaškai (x^2) +r\,x+s)^(\delta).

kur x_1,\ltaškai,x_k yra tikrosios daugianario Q(x) šaknys, o kvadratiniai trinaliai neturi realių šaknų. Galima įrodyti, kad tada R(x) vaizduojamas kaip 1) -4 formos paprastųjų trupmenų suma):

\begin (lygiuotas)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ltaškai+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ltaškai+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ltaškai+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ltaškai+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ltaškai+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(sulygiuotas)

kur vardiklių rodikliai nuosekliai mažėja nuo \alfa iki 1, ..., nuo \beta iki 1, nuo \gamma iki 1, ..., nuo \delta iki 1 ir A_1,\ldots,F_(\delta)- neapibrėžti koeficientai. Norint rasti šiuos koeficientus, reikia atsikratyti vardklių ir, gavus dviejų daugianario lygybę, naudoti neapibrėžtųjų koeficientų metodą.

Kitas būdas nustatyti koeficientus A_1,\ltaškai, A_(\alpha), \ltaškai, F_(\delta) yra pagrįstas kintamojo x reikšmių pakeitimu. Pakeitę bet kurį skaičių vietoj x į lygybę, gautą iš lygybės (1), pašalinus vardiklius, gauname tiesinę lygtį norimų koeficientų atžvilgiu. Pakeitę reikiamą skaičių tokių konkrečių kintamojo reikšmių, gauname lygčių sistemą koeficientams rasti. Vardiklio šaknis (tiek realias, tiek kompleksines) patogiausia pasirinkti kaip privačias kintamojo reikšmes. Šiuo atveju beveik visi dešinėje lygybės pusėje esantys terminai (tai reiškia dviejų daugianario lygybę) išnyksta, todėl nesunku rasti likusius koeficientus. Keičiant kompleksines reikšmes reikia turėti omenyje, kad du kompleksiniai skaičiai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų tikroji ir menamoji dalys yra atitinkamai lygios. Todėl iš kiekvienos lygybės, kurioje yra kompleksiniai skaičiai, gaunamos dvi lygtys.

Radus neapibrėžtuosius koeficientus, belieka apskaičiuoti gautų paprastųjų trupmenų integralus. Kadangi integruojant paprasčiausias trupmenas, kaip matėme, gaunamos tik racionalios funkcijos, arctangentai ir logaritmai, tada bet kurios racionalios funkcijos integralas išreiškiamas racionaliąja funkcija, arctangentais ir logaritmais.

3 pavyzdys Apskaičiuokite tinkamos racionaliosios trupmenos integralą \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Sprendimas. Integrando vardiklį išskaidome į veiksnius:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Išrašome integrandą ir pateikiame jį kaip paprastų trupmenų sumą:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Išsilaisvinę nuo šios lygybės vardiklių, gauname:

6x+1=A\ctaškas (x+3)+B\ctaškas (x-1)\,.

Koeficientams rasti naudojame dalinių reikšmių pakeitimo metodą. Norėdami rasti koeficientą A, įdedame x=1 . Tada iš lygybės (2) gauname 7=4A , iš kur A=7/4 . Norėdami rasti koeficientą B, nustatome x=-3 . Tada iš lygybės (2) gauname -17=-4B , iš kur B=17/4 .

Taigi, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1) (x+3). Reiškia,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

4 pavyzdys Apskaičiuokite \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Sprendimas. Išrašome integrandą ir pateikiame jį kaip paprastųjų trupmenų sumą. Vardiklyje yra koeficientas x^2+2, kuris neturi realių šaknų, jis atitinka 2-osios rūšies trupmeną: \frac(Ax+B)(x^2+2) koeficientas (x-1)^2 atitinka dviejų 1-osios rūšies trupmenų sumą: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); galiausiai koeficientas x+2 atitinka vieną 1-osios rūšies \frac(E)(x+2) trupmeną. Taigi integrandą pateiksime kaip keturių trupmenų sumą:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Atsikratykime vardiklių šioje lygybėje. Mes gauname:

\begin (sulygiuotas) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\fantomas(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\pabaiga (sulygiuota)

Integrando vardiklis turi dvi realiąsias šaknis: x=1 ir x=-2 . Pakeitus x=1 į lygybę (4), gauname 16=9C , iš kurios randame C=16/9 . Keičiant x=-2, gauname 13=54E ir atitinkamai nustatome E=13/54. Pakeitus reikšmę x=i\,\sqrt(2) (polinomo x^2+2 šaknis) pereiname į lygybę

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Jis transformuojasi į:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, iš kur 10A+2B=5 , ir (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemos sprendimas \begin(atvejai)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(atvejai) mes randame: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Belieka nustatyti koeficiento D reikšmę. Norėdami tai padaryti, lygybėje (4) atidarome skliaustus, pateikiame panašius terminus ir palyginame koeficientus ties x^4. Mes gauname:

A+D+E=1, tai yra D=0.

Rastas koeficientų reikšmes pakeisime lygybe (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

ir tada pereikite prie integracijos:

\begin(lygiuotas)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41) )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatoriaus vardas(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(sulygiuotas)

Netinkamų trupmenų integravimas

Tegul reikia integruoti funkciją y=\frac(f(x))(g(x)), kur f(x) ir g(x) yra daugianariai, o daugianario f(x) laipsnis yra didesnis arba lygus daugianario g(x) laipsniui. Šiuo atveju visų pirma reikia pasirinkti sveikąją netinkamosios trupmenos dalį \frac(f(x))(g(x)), ty pavaizduoti jį formoje

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

čia s(x) yra laipsnio daugianomas, lygus daugianario f(x) ir g(x) laipsnių skirtumui, ir \frac(r(x))(g(x)) yra tinkama trupmena.

Tada mes turime \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

5 pavyzdys Apskaičiuokite netinkamosios trupmenos integralą \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Sprendimas. Mes turime:

\begin(lygiuotas)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \pabaiga (sulygiuota)

Norėdami išgauti sveikąją dalį, padalijame f(x) iš g(x): \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Reiškia, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Mes turime: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Norėdami apskaičiuoti integralą \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx taikė, kaip pirmiau, neapibrėžtų koeficientų metodą. Po skaičiavimų, kuriuos paliekame skaitytojui, gauname.