Pirmas lygis

Koordinatės ir vektoriai. Išsamus vadovas (2019 m.)

Šiame straipsnyje jūs ir aš pradėsime diskusiją apie vieną „stebuklingą lazdelę“, kuri leis jums sumažinti daugybę geometrijos problemų iki paprastos aritmetikos. Ši „lazdelė“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač kai jaučiatės nesaugiai statydami erdvines figūras, pjūvius ir pan. Visa tai reikalauja tam tikros vaizduotės ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime svarstyti, leis beveik visiškai abstrahuotis nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir samprotavimų. Metodas vadinamas "koordinačių metodas". Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinačių plokštuma
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Vektoriaus sudarymas iš dviejų taškų
4. Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų).
5. Vidurio taško koordinatės
6. Taškinė vektorių sandauga
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Tiesa, tokį pavadinimą jis gavo, nes veikia ne su geometriniais objektais, o su jų skaitinėmis charakteristikomis (koordinatėmis). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, susideda iš koordinačių sistemos įvedimo. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. O pagrindinis straipsnio tikslas – išmokyti naudotis kai kuriais pagrindiniais koordinačių metodo metodais (jie kartais būna naudingi sprendžiant planimetrijos uždavinius Vieningo valstybinio egzamino B dalyje). Tolesni du skyriai šia tema yra skirti problemų C2 (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai su koordinačių sistemos sąvoka. Prisiminkite, kai pirmą kartą ją sutikote. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie tiesinės funkcijos egzistavimą, pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, pakeitėte jį į formulę ir apskaičiavote tokiu būdu. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką gavote dėl to? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Tada nubraižėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite kaip vieną atkarpą) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos vėliau sujungėte tiesia linija, gauta linija. yra funkcijos grafikas.

Yra keletas dalykų, kuriuos jums reikia paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų paveikslėlyje

2. Daroma prielaida, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Jis pažymėtas raide.

4. Taško koordinatės įraše, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje - išilgai ašies. Visų pirma, tiesiog reiškia, kad taškas

5. Norint nustatyti bet kurį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriame taške, esančiame ant ašies,

7. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

8. Ašis vadinama x ašimi

9. Ašis vadinama y ašimi

Dabar imkime kitą žingsnį su jumis: pažymėkite du taškus. Sujunkite šiuos du taškus linija. Ir įdėkime rodyklę taip, lyg brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo segmentą nukreiptą!

Prisiminkite, koks yra kitas nukreipto segmento pavadinimas? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, ir pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią statybą 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektoriaus koordinatėmis. Klausimas: ar manote, kad mums užtenka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai padaryti labai paprasta:

Taigi, kadangi vektoriuje taškas yra pradžia ir pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką mes turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kuo skiriasi vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas – ženklai koordinatėse. Jie yra priešingi. Šis faktas parašytas taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, tai vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis raidėmis, o viena mažąja raide, pvz.: ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika ir raskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite problemą šiek tiek sudėtingiau:

Vektorinis toras su on-cha laužu taške turi co-or-di-on-you. Rasti-di-te abs-cis-su taškus.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sudariau sistemą nustatydamas, kokios yra vektoriaus koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas yra taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais (išskyrus tai, kad jūs negalite padalyti, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

1. Vektorius galima sukrauti vienas su kitu
2. Vektorius galima atimti vienas iš kito
3. Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
4. Vektorius galima padauginti vienas su kitu

Visos šios operacijos turi gana vizualų geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius išsitempia, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba padalytas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas atsitiks su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. Tai yra:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Rasti-di-ko-or-di-nat amžiaus iki ra sumą.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Abu jie turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuojame vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma lygi.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

· Raskite vektoriaus koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Atstumą tarp jų pažymėkime kaip . Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Pirmiausia aš sujungiau taškus ir taip pat nubrėžiau liniją, lygiagrečią ašiai nuo taško, ir nubrėžiau liniją, lygiagrečią ašiai nuo taško. Ar jie susikirto taške, sudarydami nuostabią figūrą? Kodėl ji nuostabi? Taip, jūs ir aš beveik viską žinome apie statųjį trikampį. Na, Pitagoro teorema, tikrai. Norimas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius nesunku rasti: jei žymėsime atkarpų ilgius atitinkamai per, tada

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgį, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra šakninė kvadratinių skirtumų nuo koordinačių suma. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios atkarpos ilgis. Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš to darome tris išvadas:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra

Arba eikime kitaip: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tai tas pats!

Dabar šiek tiek pasitreniruokite savarankiškai:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar kelios tos pačios formulės problemos, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Raskite-di-te akies voko ilgio kvadratu-to-ra.

2. Nai-di-te akies voko ilgio iki-ra kvadratas

Spėju, kad lengvai su jais susitvarkysi? Mes tikriname:

1. Ir tai dėmesingumui) Mes jau anksčiau radome vektorių koordinates: . Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šie galvosūkiai negali būti vienareikšmiškai klasifikuojami, jie labiau skirti bendrai erudicijai ir gebėjimui piešti paprastus paveikslėlius.

1. Suraskite tuos kampo sinusus klo-on-nuo pjūvio, sujunkite vieną n-ąjį tašką su abscisių ašimi.

ir

Kaip mes čia tai padarysime? Turite rasti kampo tarp ir ašies sinusą. O kur galime ieškoti sinuso? Teisingai, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško ir koordinatės, tada atkarpa yra lygi, o atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite jums priminti, kad sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis

Ką mums belieka daryti? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: pagal Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) arba pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tokia pati kaip ir pirmasis metodas!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji – taško koordinates.

2 užduotis. Nuo taško per-pen-di-ku-lar nuleidžiamas ant abs-ciss ašies. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta x ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates: . Mus domina abscisė – tai yra „X“ komponentas. Ji lygi.

Atsakymas: .

3 užduotis. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Tu žinai? Tikiuosi, bet vis tiek primenu:

Vadinasi, savo piešinyje, esančiame kiek aukščiau, vieną tokį statmeną jau pavaizdavau? Kokia tai ašis? prie ašies. Ir koks tada jo ilgis? Ji lygi. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 uždavinio sąlygomis raskite taško ordinates, simetriškas taškui apie x ašį.

Manau, kad jūs intuityviai suprantate, kas yra simetrija? Ją turi labai daug objektų: daug pastatų, lentelių, plokštumų, daug geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir t.t.. Grubiai tariant, simetriją galima suprasti taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodos pusės. Ši simetrija vadinama ašine. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, išilgai kurios, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į identiškas puses (šiame paveikslėlyje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie savo užduoties. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Taigi, turime pažymėti tašką, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar tu padarei tą patį? Gerai! Rastame taške mus domina ordinatės. Ji lygi

Atsakymas:

Dabar pasakykite man, sekundę pagalvojus, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A apie y ašį? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas: .

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui aplink x ašį, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui aplink y ašį, turi koordinates:

Na, dabar tikrai baisu. užduotis: Raskite taško, kuris yra simetriškas taškui, koordinates, atsižvelgiant į pradžią. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 užduotis: taškai yra ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Rasti-dee-te arba-dee-on-tu taškus.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia taikysiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite nuspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė yra lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki x ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, vadinasi. Raskite atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Susikirtimo taškas žymimas raide.

Atkarpos ilgis lygus. (raskite problemą patys, kur aptarėme šį momentą), tada atkarpos ilgį rasime naudodami Pitagoro teoremą:

Atkarpos ilgis lygiai toks pat kaip ir jo ordinatės.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (aš tiesiog pateiksiu jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Išleisti

2. Raskite taško koordinates ir ilgį

3. Įrodykite tai.

Kitas pjovimo ilgio problema:

Taškai yra-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Raskite jo vidurio linijos ilgį, par-ral-lel-noy.

Ar prisimeni, kas yra trikampio vidurio linija? Tada jums ši užduotis yra elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti priešingų kraštinių vidurio taškus. Jis lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurio linijos ilgis yra perpus ilgesnis ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: Šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, į kurį kreipsimės šiek tiek vėliau.

Tuo tarpu štai jums kelios užduotys, pasipraktikuokite ties jas, jos gana paprastos, bet padeda „pasikišti“ koordinačių metodu!

1. Rodomi taškai-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Raskite jo vidurio linijos ilgį.

2. Taškai ir yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Rasti-dee-te arba-dee-on-tu taškus.

3. Raskite ilgį nuo pjūvio, prijunkite antrą tašką ir

4. Ko-or-di-nat-noy plokštumoje raskite-di-te raudonojo-shen-noy fi-gu-ry plotą.

5. Apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat, eina per tašką. Surask-de-te jos ūsus.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprašykite-san-noy šalia stačiojo kampo-no-ka, viršūnės-shi-ny kažkas-ro-go turi co-or - di-na-you co-from-atsakyti-bet

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio linija lygi pusei jos bazių sumos. Pagrindas lygus, bet pagrindas. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra tai pastebėti (lygiagretainės taisyklės). Apskaičiuokite vektorių koordinates ir nėra sunku: . Pridedant vektorius, pridedamos koordinatės. Tada turi koordinates. Taškas turi tas pačias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Ji lygi.

Atsakymas:

3. Nedelsdami veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite, tarp kurių dviejų figūrų yra „suspaustas“ tamsintas plotas? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada norimos figūros plotas lygus didelio kvadrato plotui atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o ilgis lygus

Tada didelės aikštės plotas yra

Norimos figūros plotas randamas pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra pradžios taškas ir eina per tašką, tada jo spindulys bus tiksliai lygus atkarpos ilgiui (padarykite brėžinį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskite šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Yra žinoma, kad apie stačiakampį apibrėžto apskritimo spindulys yra lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar tau pavyko viską? Nebuvo taip sunku tai suprasti, ar ne? Čia galioja tik viena taisyklė - turėti galimybę sukurti vaizdinį vaizdą ir tiesiog „perskaityti“ iš jo visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegul du taškai ir yra duoti. Raskite atkarpos vidurio koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurys, tada jis turi koordinates:

Tai yra: atkarpos vidurio koordinatės = atitinkamų atkarpos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokiose problemose ir kaip jis naudojamas:

1. Suraskite-di-te arba-di-na-tu se-re-di-us from-cut, sujunkite-nya-yu-th-tąjį tašką ir

2. Taškai yra yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Surask-di-te arba-di-na-tu taškus iš naujo re-se-che-niya jo dia-go-on-lei.

3. Suraskite-di-te abs-cis-su apskritimo centre, apibūdinkite-san-noy šalia stačiakampio-no-ka, viršų-shi-mes turime kažką-ro-go co-or-di- na-jūs bendrai iš-vet-stvenno-but.

Sprendimai:

1. Pirmoji užduotis – tik klasika. Mes veikiame nedelsiant, nustatydami atkarpos vidurio tašką. Ji turi koordinates. Ordinata yra lygi.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad duotasis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiavę kraštinių ilgius ir palyginę juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagretainį? Jo įstrižainės yra padalintos per susikirtimo tašką! Aha! Taigi koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Visų pirma pasirinksiu įstrižainę. Tada taškas turi koordinates.Taško ordinatė lygi.

Atsakymas:

3. Koks yra apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs, o susikirtimo taškas padalintas per pusę. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkite, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apibrėžto apskritimo centras, tai yra vidurys. Ieškau koordinačių: abscisė lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, pateiksiu tik atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte pasitikrinti.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprašykite-san-noy šalia trikampio-no-ka, kažkas-ro-go viršūnėse yra ko-or-di -no ponai

2. Raskite-di-te arba-di-na-tu apskritimo centrą, apibūdinkite san-noy šalia trikampio-no-ka, viršūnes-shi-mes turime kažką-ro-go koordinates

3. Koks ra-di-y-sa turi būti apskritimas, kurio centras taške liestų abs-ciss ašį?

4. Suraskite-di-te arba-di-ant tą tašką, kuriame ašies ir iškirpimo iš naujo patikrinkite, sujunkite-nya-yu-tąjį tašką ir

Atsakymai:

Ar viskas pavyko? Labai to tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Dabar būkite ypač atsargūs. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra svarbi ne tik paprastoms koordinačių metodo problemoms B dalyje, bet ir visur C2 užduotyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisimeni, kokias operacijas su vektoriais žadėjau įvesti ir kurias galiausiai įvedžiau? Ar aš tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorių daugyba.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingo pobūdžio objektus:

Vektorinis produktas yra gana sudėtingas. Kaip tai padaryti ir kodėl to reikia, aptarsime su jumis kitame straipsnyje. Ir čia mes sutelksime dėmesį į skaliarinį sandaugą.

Jau yra du būdai jį apskaičiuoti:

Kaip atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį būdą:

Taškinis produktas per koordinates

Raskite: - bendrą taškinio produkto žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, taškinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Rasti-dee-te

Sprendimas:

Raskite kiekvieno vektoriaus koordinates:

Skaliarinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Matote, visiškai nieko sudėtingo!

Na, dabar pabandykite patys:

Rasti-di-te skaliar-noe pro-nuo-ve-de-nie amžiaus iki griovio ir

Ar susitvarkei? Gal jis pastebėjo nedidelę gudrybę? Patikrinkime:

Vektorinės koordinatės, kaip ir ankstesnėje užduotyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra ir kitas būdas apskaičiuoti skaliarinę sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Žymi kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, skaliarinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kodėl mums reikia šios antrosios formulės, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, bent jau kosinusų nėra. O mums to reikia, kad iš pirmos ir antros formulių galėtume spręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminti vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei įjungiu šiuos duomenis į taško produkto formulę, gaunu:

Bet iš kitos pusės:

Taigi ką mes turime? Dabar turime formulę kampui tarp dviejų vektorių apskaičiuoti! Kartais dėl trumpumo taip pat rašoma taip:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

1. Skaliarinę sandaugą apskaičiuojame per koordinates
2. Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
3. 1 punkto rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Raskite kampą tarp vokų-to-ra-mi ir. Atsakymą pateikite laipsniais.

2. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrą pabandykite padaryti patys! Aš sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni draugai. Mes jau svarstėme jų skaliarinį sandaugą ir jis buvo lygus. Jų koordinatės yra: , . Tada randame jų ilgius:

Tada mes ieškome kosinuso tarp vektorių:

Koks yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Na, dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginkite! Pateiksiu labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Pažymėtina, kad užduotys tiesiai ant vektorių ir koordinačių metodas egzamino darbo B dalyje yra gana reti. Tačiau didžiąją dalį C2 problemų galima nesunkiai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pagrindu, kurio pagrindu pagaminsime gana sudėtingas konstrukcijas, kurių prireiks sprendžiant sudėtingas problemas.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIO LYGIO

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme keletą svarbių formulių, kurios leidžia:

1. Raskite vektorių koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
3. Sudėkite, atimkite vektorius. Padauginkite juos iš tikrojo skaičiaus
4. Raskite atkarpos vidurio tašką
5. Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
6. Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Juo grindžiamas toks mokslas kaip analitinė geometrija, su kuriuo susipažinsite universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminą. Išsiaiškinome B dalies užduotis Dabar atėjo laikas pereiti į kokybiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirtas tų C2 uždavinių, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį pagrįstumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

1. Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
2. Raskite kampą tarp linijos ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų linijų
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki linijos
6. Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų eilučių

Jei problemos sąlygoje pateikta figūra yra sukimosi kūnas (rutulys, cilindras, kūgis ...)

Tinkami skaičiai koordinačių metodui yra:

1. stačiakampis
2. Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš mano patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

1. Atkarpų plotų radimas
2. Kūnų tūrių skaičiavimai

Tačiau iš karto reikia pažymėti, kad trys „nepalankios“ situacijos koordinačių metodui praktikoje yra gana retos. Daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei nesate labai stiprus trimatėse konstrukcijose (kurios kartais būna gana įmantrios).

Kokie yra visi skaičiai, kuriuos išvardijau aukščiau? Jie nebėra plokšti, tokie kaip kvadratas, trikampis, apskritimas, o tūriniai! Atitinkamai, turime atsižvelgti į ne dvimatę, o trimatę koordinačių sistemą. Jis sukonstruotas gana lengvai: tik be abscisių ir ordinačių, pristatysime dar vieną ašį – taikymo ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos, susikerta viename taške, kurį vadinsime pradžia. Abscisių ašis, kaip ir anksčiau, bus pažymėta, ordinačių ašis - , o įvesta taikomoji ašis - .

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdintas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate, aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygus, ordinatės yra Ir taikyti yra .

Kartais taško abscisė dar vadinama taško projekcija ant abscisių ašies, ordinatė – taško projekcija ant ordinačių ašies, o aplikacija – taško projekcija ant aplikacijos ašies. Atitinkamai, jei duotas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra tiesiog ir turi tą pačią išvaizdą. Dėl mažos detalės. Manau, jūs jau atspėjote, kuris iš jų. Visose formulėse turėsime pridėti dar vieną terminą, atsakingą už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duodami du taškai: , tada:

• Vektorinės koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
• Atkarpos vidurys turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

• Jų taškinis produktas yra:
• Kampo tarp vektorių kosinusas yra:

Tačiau erdvė nėra tokia paprasta. Kaip suprantate, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras yra labai įvairus. O tolimesniam pasakojimui reikia įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ bus lėktuvas. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai įsivaizduojame, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai yra savotiškas begalinis „lapas“, įstumtas į erdvę. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas yra lygus begalybei. Tačiau šis paaiškinimas „ant pirštų“ neduoda nė menkiausio supratimo apie lėktuvo sandarą. Ir mums tai bus įdomu.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

• Tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus, be to, tik vienas:

Arba jo analogas erdvėje:

Žinoma, atsimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų gauti tiesės lygtį, tai visai nėra sunku: jei pirmasis taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs tai išgyvenote 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: turėkime du taškus su koordinatėmis: , tada per juos einančios tiesės lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesėje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Tiesės lygtis mums nelabai bus įdomi, tačiau reikia atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesės krypties vektoriaus sampratą. - bet koks nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti yra taškas, esantis tiesioje linijoje, ir būti jo nukreipiantis vektorius. Tada tiesios linijos lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą aš nelabai domiuosi tiesės lygtimi, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba jai lygiagretus.

Atsitraukti plokštumos trijų taškų lygtis nebėra toks nereikšmingas ir dažniausiai nėra įtrauktas į vidurinės mokyklos kursą. Bet veltui! Ši technika yra gyvybiškai svarbi, kai pasitelkiame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau manau, kad esate kupinas noro išmokti ką nors naujo? Be to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau mokate naudoti techniką, kuri paprastai mokoma analitinės geometrijos kursuose. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent, ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis nelabai skiriasi nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau pamenate, dėl ko mes su jumis ginčėmės? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, tai iš jų vienareikšmiškai atkuriama plokštumos lygtis. Bet kaip? Pabandysiu tau paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis yra tokia:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi, reikia išspręsti tris lygtis jau su nežinomaisiais! Dilema! Tačiau visada galime manyti, kad (tam reikia padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes neišspręsime tokios sistemos, o išrašysime iš jos išplaukiančią paslaptingą išraišką:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\[\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masyvas)) \right| = 0\]

Sustabdyti! Kas tai dar? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, dažnai susidursite su šiais veiksniais. Kas yra trečiosios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia parašykime trečiosios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad nurodytas skaičius yra antrosios eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje. Užduokime tokį klausimą: kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai su kokiu konkrečiu skaičiumi lyginsime? Tiksliai trečios eilės determinantui yra euristinė (vaizdinė) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

1. Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinės kairės į apatinę dešinę) elementų, sudarančių pirmąjį trikampį, sandauga „statmenai“ pagrindinei įstrižai, sandauga elementų, kurie sudaro antrąjį trikampį „statmenai“ pagrindiniam įstrižainės
2. Antrinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinės dešinės į apatinę kairę) sandauga elementų, sudarančių pirmąjį trikampį „statmenai“ antrinei įstrižai, sandauga elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ antrinė įstrižainė
3. Tada determinantas yra lygus skirtumui tarp verčių, gautų žingsnyje ir

Jei visa tai parašysime skaičiais, gausime tokią išraišką:

Tačiau nereikia įsiminti skaičiavimo metodo šioje formoje, užtenka tik laikyti galvoje trikampius ir pačią idėją, kas prie ko pridedama ir kas iš ko tada atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąlygos su „pliusu“:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridedame tris skaičius:

Sąlygos su „minusu“

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, „statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridedame tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai iš pliuso terminų sumos atimti minuso terminų sumą:

Šiuo būdu,

Kaip matote, apskaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ir antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite patys apskaičiuoti:

Mes tikriname:

1. Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
2. Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
3. Pliuso terminų suma:
4. Pirmasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
6. Terminų suma su minusu:
7. Pliuso terminų suma atėmus minuso terminų sumą:

Štai jums dar keli lemiami veiksniai, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daugybė programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuoja programa. Ir taip toliau, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka netruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau kalbėdamas apie plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtį:

Tereikia tiesiogiai apskaičiuoti jo reikšmę (naudojant trikampio metodą) ir nustatyti rezultatą lygų nuliui. Natūralu, kad jie yra kintamieji, todėl gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje!

Paaiškinkime tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Mes sudarome šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinimas:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai pagal trikampių taisyklę:

\[(\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masyvas)) \ dešinė| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis yra tokia:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Mes darome determinantą:

Ir apskaičiuokite jo vertę:

Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba sumažinus, gauname:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei kyla tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite iš galvos tris taškus (su didele tikimybe, kad jie nebus ant vienos tiesios linijos), pastatykite ant jų plokštumą. Ir tada patikrinkite save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Atminkite, sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorius, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga bus skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretainio, pastatyto ant vektorių ir, plotui. Mums reikės šio vektoriaus, kad galėtume apskaičiuoti atstumą nuo taško iki linijos. Kaip galime apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą ir ar pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereinant prie kryžminės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį lyrinį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Schematiškai jie pavaizduoti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Faktas yra tas, kad:

Arba nuotraukoje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, ​​nes:

vektorinis produktas

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: darau determinantą:

Ir aš skaičiuoju:

Dabar, rašydamas bazinius vektorius, grįšiu prie įprasto vektorinio žymėjimo:

Šiuo būdu:

Dabar pabandyk.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du užduotys, kurias reikia kontroliuoti:

1. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:
2. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė man reikalinga konstrukcija yra mišrus trijų vektorių sandauga. Tai, kaip ir skaliaras, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Tarkime, kad turime tris vektorius:

Tada trijų vektorių mišrus sandauga, žymima kaip, gali būti apskaičiuojama taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus skaliarinė sandauga ir dviejų kitų vektorių vektorinė sandauga

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys apskaičiuoti naudodami vektorinę sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl – du nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visas reikalingas žinias, kad galėtume išspręsti sudėtingas stereometrines geometrijos problemas. Tačiau prieš tiesiogiai pereinant prie pavyzdžių ir jų sprendimo algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie šio klausimo: kaip tiksliai pasirinkti tam tikros figūros koordinačių sistemą. Juk nuo koordinačių sistemos ir figūros santykinės padėties erdvėje pasirinkimas galiausiai lems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Primenu, kad šiame skyriuje nagrinėjame šias formas:

1. stačiakampis
2. Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė...)
3. Piramidė (trikampė, keturkampė)
4. Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampiui ar kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „kampe“. Kubas ir dėžutė yra labai geros figūros. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra:

Žinoma, jums to nereikia atsiminti, tačiau pageidautina prisiminti, kaip geriausiai išdėstyti kubą ar stačiakampę dėžę.

tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Galite jį išdėstyti erdvėje įvairiais būdais. Tačiau manau, kad geriausias variantas yra toks:

Trikampė prizmė:

Tai yra, vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: dvi pagrindo kraštines sujungiame su koordinačių ašimis, vieną iš viršūnių sujungiame su pradžia. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Pagrindinė užduotis vėl bus rasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau esame netoli nuo to, kad pradėtume spręsti problemas. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų skirstomos į 2 kategorijas: kampo ir atstumo problemos. Pirmiausia apsvarstysime kampo paieškos problemas. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (didėjant sudėtingumui):

Problemos ieškant kampų

1. Kampo tarp dviejų linijų radimas
2. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Panagrinėkime šias problemas nuosekliai: pradėkime nuo kampo tarp dviejų tiesių. Nagi, prisimeni, ar mes su jumis anksčiau sprendėme panašius pavyzdžius? Prisimenate, nes mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Primenu, jei pateikti du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar turime tikslą – rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pereikime prie „plokščio paveikslo“:

Kiek kampų gauname, kai susikerta dvi tiesės? Jau daiktai. Tiesa, tik du iš jų nėra lygūs, o kiti yra joms vertikalūs (taigi ir sutampa). Taigi kokį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai. Tai yra, iš dviejų kampų visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsnio matu. Tai reiškia, kad šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų linijų yra lygus. Kad nereikėtų vargti kaskart ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė pasinaudoti moduliu. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Jums, kaip dėmesingam skaitytojui, turėjo kilti klausimas: iš kur mes gauname tuos skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: mes juos paimsime iš linijų krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų linijų nustatymo algoritmas yra toks:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
2. Ieškome antrosios eilutės krypties vektoriaus koordinačių
3. Apskaičiuokite jų skaliarinės sandaugos modulį
4. Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
5. Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
6. 4 punkto rezultatus padauginkite iš 5 punkto rezultatų
7. 3 taško rezultatą padalijame iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, mes jo ieškome
9. Kitu atveju rašome per arkosinusą

Na, o dabar pats metas pereiti prie užduočių: pirmųjų dviejų sprendimą pademonstruosiu detaliai, kitos – trumpai, o atsakymus pateiksiu tik į paskutines dvi užduotis, privalai visus skaičiavimus už juos atlikite patys.

Užduotys:

1. Dešiniajame tet-ra-ed-re suraskite kampą tarp you-so, kad tet-ra-ed-ra ir me-di-a-noy bo-ko-how pusės.

2. Dešinėje priekyje šešių anglių pi-ra-mi-de šimtas-ro-na-os-no-va-niya yra kažkaip lygūs, o šoniniai šonkauliai yra vienodi, suraskite kampą tarp tiesių linijos ir.

3. Visų dešiniarankių keturių tu-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy kraštų ilgiai yra lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesių ir, jei nuo-re-zok - tu-tai-kad duota pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-ant jos bo-ko- th šonkaulio.

4. Ant kubo krašto nuo-me-che-iki taško taip, kad Raskite-di-te kampą tarp tiesių ir

5. Taškas - se-re-di-ant kubo kraštų Nai-di-te kampas tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis išdėliojau tokia tvarka. Kol dar nespėjote pradėti naršyti koordinačių metodu, aš pats analizuosiu „problemiškiausias“ figūras ir paliksiu jums spręsti paprasčiausią kubą! Palaipsniui reikia išmokti dirbti su visomis figūromis, padidinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, tai visi jo paviršiai (įskaitant pagrindą) yra taisyklingi trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu priimti lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas tikrai nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras bus „ištemptas“?. Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (mums irgi pravers).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Taigi, turime rasti daugiau taškų koordinačių. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. Taškas yra pakilęs taškas. Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Tada pagaliau reikia rasti: taškų koordinates: .

Pradėkime nuo paprasčiausio: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslą: Aišku, kad taško aplikacija yra lygi nuliui (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra lygi (nes ji yra mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė yra lygi, o viena iš kojų lygi Tada:

Pagaliau turime:

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai daroma gana trivialiai, jei kas tai prisimena lygiakraščio trikampio aukščiai dalijami iš sankirtos taško proporcijoje skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi:, tada norima taško abscisė, lygi atkarpos ilgiui, yra lygi:. Taigi taško koordinatės yra šios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Joje ieškoma dėl priežasčių, kurias paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Tada turime prisiminti segmento vidurio koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Šiuo būdu,

Atsakymas:

Jūs neturėtumėte bijoti tokių „siaubingų“ atsakymų: problemų C2 atveju tai yra įprasta praktika. Mane labiau nustebins „gražus“ atsakymas šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Nubraižykite taisyklingą šešiakampę piramidę kartu su koordinačių sistema ir jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis sumažinama iki taškų koordinačių radimo: . Paskutiniųjų trijų koordinates rasime iš mažo brėžinio, o viršūnės – per taško koordinatę. Darbo daug, bet reikia pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra nulis. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, joje mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad dvigubai ilgesnis kojos ilgis duos taško abscisę). Kaip mes galime jo ieškoti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Turime rasti vieną tokį kampelį. Kokiu nors ideju? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma yra laipsniai. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą pažiūrėkime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas yra laipsniai. Tada:

Tada kur.

Taigi jis turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę: .

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jos abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji yra lygi. Surasti ordinates taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir ir pažymime tiesės susikirtimo tašką, tarkime už. (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažvelkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar raskite taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime programėlę. Nuo tada. Apsvarstykite statųjį trikampį. Pagal problemos būklę šoninis kraštas. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Tai viskas, turiu visų mane dominančių taškų koordinates. Ieškau tiesių krypties vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą, nenaudojau jokių sudėtingų gudrybių, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso apibrėžimą.

3. Kadangi mums vėlgi nėra pateikti piramidės briaunų ilgiai, aš juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės ir aš pagrinde yra kvadratas, o šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Pavaizduokime tokią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, pažymėdami visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Labai trumpai paskaičiuosiu, kai ieškosiu taškų koordinačių. Jums reikės juos „iššifruoti“:

b) - atkarpos vidurys. Jos koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Rasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje.

Koordinatės:

d) - atkarpos vidurys. Jo koordinatės yra

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas yra paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad galite tai išsiaiškinti patys. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų galvosūkių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sunkesni. Norėdami rasti kampą tarp linijos ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

1. Naudodami tris taškus sudarome plokštumos lygtį
   ,
   naudojant trečiosios eilės determinantą.
2. Pagal du taškus ieškome tiesės krypties vektoriaus koordinačių:
3. Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų linijų. Dešinės pusės struktūra yra tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – lėktuvo lygties paieška.

Nestatykime lentynose sprendimo pavyzdžiai:

1. Os-no-va-ni-em tiesiai-mano prizas-mes esame-la-et-xia lygūs-bet-vargšai-ren-ny trikampis-pažymėkite tave su tuo prizu-mes esame lygūs. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

2. Stačiakampėje pa-ral-le-le-pi-pe-de iš Vakarų Nai-di-te kampas tarp tiesės ir plokštumos

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni-em iš šonkaulio vakarų Nai-di-te kampas, ob-ra-zo-van -ny os plokštuma -no-va-niya ir tiesiai-my, einantis per šonkaulių se-re-di-na ir

5. Dešiniosios keturkampės pi-ra-mi-dy visų kraštinių ilgiai su viršūne yra lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra se-re-di-ant pi-ra-mi-dy bo-ko-in-tosios briaunos.

Pirmąsias dvi problemas vėlgi išspręsiu smulkiai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jau teko susidurti su trikampėmis ir keturkampėmis piramidėmis, bet dar ne su prizmėmis.

Sprendimai:

1. Nubraižykite prizmę ir jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus uždavinio teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet problemos sprendimui tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tik mano prizmės „užpakalinė siena“. Pakanka tiesiog atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai taip pat gali būti rodoma tiesiogiai:

Šioje plokštumoje pasirenkame savavališkus tris taškus: pavyzdžiui, .

Padarykime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar pavyko? Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba tiesiog

Šiuo būdu,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutapo su pradžia, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis.Kad tai padarytume, pirmiausia randame taško koordinates.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime aukštį (tai taip pat yra mediana ir pusiausvyra) iš viršaus. Kadangi tada taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas yra „pakeltas“ ant taško:

Tada vektoriaus koordinatės:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, tokios figūros, kaip prizmė, "tiesumas" šiek tiek supaprastina procesą. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubrėžiame gretasienį, jame nubrėžiame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžiame jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: Trijų joje esančių taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės gaunamos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti paveikslėlyje iš taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Ieškome krypties vektoriaus koordinačių: Aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! . Tada mes ieškome norimo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net problematiška nubrėžti plokštumą, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, tačiau koordinačių metodas nerūpi! Pagrindinis jo privalumas yra jo universalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus: . Ieškome jų koordinačių:

vienas). Pats parodykite paskutinių dviejų taškų koordinates. Tam jums reikės išspręsti problemą su šešiakampe piramide!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių: . (Dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškome kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tik reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur yra vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti kai kuriomis formulėmis. Mums belieka apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

1. Trims taškams ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Kitiems trims taškams ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į ankstesnes dvi, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi prisiminti tai jums nebus sunku. Pereikime tiesiai į problemą:

1. Šimtas-ro tiesiosios trikampės prizmės pagrindu yra lygus, o šoninio paviršiaus įstrižainė yra lygi. Raskite kampą tarp plokštumos ir prizo pagrindo plokštumos.

2. Dešinėje į priekį keturių tu-re-coal-noy pi-ra-mi-de, visi kažkieno kraštai yra lygūs, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos Ko-Stu sinusą, einantį per taškas per-pen-di-ku-lyar-bet tiesus-my.

3. Taisyklingoje keturių anglių prizmėje os-no-va-nia kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad. Raskite kampą tarp plokštumų ir

4. Dešiniojoje keturkampėje prizmėje pagrindų kraštinės yra lygios, o šoninės – lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad Raskite kampą tarp plokštumų ir.

5. Kube raskite kampo tarp plokštumų ir ko-siusą

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu taisyklingą (pagrinde - lygiakraštis trikampis) trikampę prizmę ir pažymiu joje plokštumas, kurios atsiranda uždavinio sąlygoje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Bazinė lygtis gaunama trivialiai: galite sudaryti atitinkamą determinantą trims taškams, bet aš iš karto sudarysiu lygtį:

Dabar suraskime lygtį Taškas turi koordinates Taškas - Kadangi - trikampio mediana ir aukštis, ją lengva rasti pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Tada taškas turi koordinates: Raskite taško pritaikymą Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačią trikampį

Tada gauname tokias koordinates: Sudarome plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kokia tai paslaptinga plokštuma, einanti per tašką statmenai. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Linija taip pat statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada norimas lėktuvas – Ir lėktuvas jau mums duotas. Ieškome taškų koordinačių.

Per tašką randame taško koordinatę. Iš nedidelio brėžinio nesunku nuspręsti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką dabar belieka rasti, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Dar reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirma, įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnių koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate determinantų skaičiavimo ekspertas. Lengvai gausite:

Arba kitaip (jei abi dalis padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar raskime plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, tiesa? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog visada paaiškėjo prieš tai kad mano lėktuvas priklausė kilmei!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Galite pastebėti, kad plokštumos lygtis sutapo su tiesės, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite kodėl!)

Dabar apskaičiuojame kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas yra stačiakampė prizmė, ką manote? Tai tik jums gerai žinomas gretasienis! Piešimas iš karto! Jūs netgi negalite atskirai pavaizduoti pagrindo, čia mažai naudos:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta kaip lygtis:

Dabar gaminame lėktuvą

Iš karto sudarome plokštumos lygtį:

Ieškau kampo

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats laikas pailsėti, nes jūs ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Pažengęs lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo problemas. Būtent, mes nagrinėsime šiuos atvejus:

1. Atstumo tarp pasvirusių linijų apskaičiavimas.

Užsakiau pateiktas užduotis, nes jų sudėtingumas didėja. Lengviausia rasti taško ir plokštumos atstumas o sunkiausia yra rasti atstumas tarp susikertančių linijų. Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir nedelsdami pereikime prie pirmos klasės problemų svarstymo:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį iš ankstesnių problemų, kurias analizavau paskutinėje dalyje. Nedelsdami imkimės reikalo. Schema yra tokia: 1, 2 – aš padedu apsispręsti, o kiek detaliau, 3, 4 – tik atsakymas, sprendimą priimi pats ir palygini. Prasidėjo!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis yra Find-di-te atstumas nuo se-re-di-ny nuo pjūvio iki plokščio

2. Atsižvelgiant į dešinę-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kraštas šimtas-ro-ant os-no-va-nia yra lygus. Rasti-di-tuos atstumus nuo taško iki plokštumos, kur - se-re-di-ant kraštų.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni-em kita briauna lygi, o vienas šimtas-ro-on os-no-va-niya lygus. Raskite tuos atstumus nuo viršaus iki plokštumos.

4. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Raskite tuos atstumus nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su viena briauna, sukurkite atkarpą ir plokštumą, segmento vidurį pažymėkite raide

.

Pirmiausia pradėkime nuo paprasto: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio koordinates!)

Dabar sudarome plokštumos lygtį iš trijų taškų

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masyvas)) \right| = 0\]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradedame nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nubraižyti jos pagrindą.

Netgi tai, kad piešiu kaip vištos letena, nesutrukdys mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurys, tai

Nesunkiai randame dar dviejų plokštumos taškų koordinates Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\[\left| (\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masyvas)) \right|) \right| = 0\]

Kadangi taškas turi koordinates: , tada apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, ar supratai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos aptarėme su jumis ankstesnėje dalyje. Taigi esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Aš tik pateiksiu jums atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip linija ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi visas galimybes: susikirsti, arba tiesė lygiagreti plokštumai. Koks, jūsų nuomone, yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria susikerta ta linija? Man atrodo, aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra keblus: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Šiuo būdu:

O tai reiškia, kad mano užduotis sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties, apskaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys egzamine yra labai retos. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kitos, daug svarbesnės problemų klasės:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

Ko mums prireiks?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesioje linijoje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Ką jums reiškia šios trupmenos vardiklis, todėl turėtų būti aišku: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Čia yra labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti vektorinę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, dabar tai mums labai pravers!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio tiesės taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Vektoriaus kūrimas

4. Sukuriame tiesės krypties vektorių

5. Apskaičiuokite kryžminį sandaugą

6. Ieškome gauto vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug darbo, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Dana yra dešiniarankė trikampė pi-ra-mi-da su viršūne. Vienas šimtas-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy yra lygus, tu-so-ta yra lygus. Raskite tuos atstumus nuo bo-ko krašto se-re-di-ny iki tiesės, kur taškai ir yra šonkaulių se-re-di-ny ir co-vet -stven-bet.

2. Šonkaulių ilgiai ir stačiakampis-no-para-ral-le-le-pi-pe-da yra atitinkamai lygūs, o Find-di-te atstumas nuo top-shi-ny iki tiesiojo-my

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos spiečiaus briaunos yra vienodos – raskite atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Turime jums daug darbo! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mes turime daug darbo! Pasiraitokime rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates, jo aplikacija lygi nuliui, o ordinatė lygi jo abscisei. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausias būdas yra pakeisti atkarpą vidurine trikampio linija, o tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi, kad.

7. Atsižvelgiame į vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai raskite atstumą:

Fu, tai viskas! Sąžiningai pasakysiu: šią problemą išspręsti tradiciniais metodais (konstrukcijomis) būtų daug greičiau. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, kad sprendimo algoritmas jums aiškus? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti savarankiškai. Palyginti atsakymus?

Dar kartą kartoju: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti per konstrukcijas, o ne griebtis koordinačių metodo. Šį sprendimo būdą pademonstravau tik tam, kad parodyčiau universalų metodą, leidžiantį „nieko nebaigti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp pasvirusių linijų apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios eilučių taškus:

Kaip rasti atstumą tarp eilučių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišraus sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis - kaip ir ankstesnėje formulėje (linijų nukreipiančių vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes žiūrime dėl).

Aš jums tai priminsiu

tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Padalinkite šį determinantą iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia nenusiteikęs juokauti! Iš tikrųjų ši formulė yra labai sudėtinga ir lemia gana sudėtingus skaičiavimus. Jei būčiau jūsų vietoje, tai naudočiau tik kaip paskutinę priemonę!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Dešiniojoje trikampėje prizmėje visos briaunos kažkaip lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į dešinės priekinės formos trikampę prizmę, visos kažkieno os-no-va-niya briaunos yra lygios Se-che-tion, einančios per kitą briauną ir se-re-di-nu šonkauliai yra yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie tarp tiesių-we-mi ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį jūs nuspręsite antrą!

1. Nupiešiu prizmę ir pažymiu linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Vektorinės koordinatės

\[\left((B,\rodyklė ant dešinės (A(A_1)) \ir dešinė (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(masyvas)(*(20)(c))0&1&0\end(masyvas))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masyvas))\end(masyvas)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Mes laikome kryžminį sandaugą tarp vektorių ir

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(masyvas)(l)\begin(masyvas)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masyvas)\\\begin(masyvas )(*(20)(c))0&0&1\end(masyvas)\\\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masyvas)\end(masyvas) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Dabar atsižvelgsime į jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite kruopščiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreipta atkarpa. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliučioji vertė vektorius – vektorių atvaizduojančios atkarpos ilgis. Paskirtas kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \displaystyle a galai.

Vektorių suma: .

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga:

Kad viena plokštuma būtų nubrėžta per bet kuriuos tris erdvės taškus, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.

Apsvarstykite taškus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) bendroje Dekarto koordinačių sistemoje.

Kad savavališkas taškas M(x, y, z) atsidurtų toje pačioje plokštumoje kaip ir taškai M 1 , M 2 , M 3 , vektoriai turi būti vienodi.

(
) = 0

Šiuo būdu,

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygtis:

Plokštumos dviejų taškų ir plokštumai kolinerinio vektoriaus lygtis.

Tegu taškai M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ir vektorius
.

Sudarykime lygtį plokštumos, einančios per duotus taškus M 1 ir M 2 ir savavališką tašką M (x, y, z), lygiagretų vektoriui .

Vektoriai
ir vektorius
turi būti lygiagreti, t.y.

(
) = 0

Plokštumos lygtis:

Plokštumos lygtis vieno taško ir dviejų vektorių atžvilgiu,

kolinearinė plokštuma.

Tegu pateikiami du vektoriai
ir
, kolinearinės plokštumos. Tada savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, vektoriai
turi būti lygiagrečiai.

Plokštumos lygtis:

Plokštumos lygtis pagal tašką ir normalųjį vektorių .

Teorema. Jeigu erdvėje duotas taškas M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), tada plokštumos, einančios per tašką M, lygtis 0 statmenai normaliajam vektoriui (A, B, C) atrodo kaip:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Įrodymas. Savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, sudarome vektorių . Nes vektorius - normalus vektorius, tada jis yra statmenas plokštumai, taigi, statmenas vektoriui
. Tada skaliarinė sandauga

= 0

Taigi gauname plokštumos lygtį

Teorema įrodyta.

Plokštumos atkarpomis lygtis.

Jei bendrojoje lygtyje Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, padalykite abi dalis iš (-D)

,

pakeičiant
, gauname plokštumos lygtį atkarpomis:

Skaičiai a, b, c yra atitinkamai plokštumos susikirtimo taškai su x, y, z ašimis.

Plokštumos lygtis vektorine forma.

kur

- dabartinio taško M(x, y, z) spindulys-vektorius,

Vienetinis vektorius, kurio statmens kryptis nukrenta į plokštumą nuo pradžios.

,  ir  yra šio vektoriaus suformuoti kampai su x, y, z ašimis.

p yra šio statmens ilgis.

Koordinatėse ši lygtis turi tokią formą:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Atstumas nuo taško iki plokštumos.

Atstumas nuo savavališko taško M 0 (x 0, y 0, z 0) iki plokštumos Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 yra:

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P (4; -3; 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Taigi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, naudokite formulę:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per du taškus P(2; 0; -1) lygtį ir

Q(1; -1; 3) yra statmena plokštumai 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normalus vektorius plokštumai 3x + 2y - z + 5 = 0
lygiagrečiai norimai plokštumai.

Mes gauname:

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per taškus A(2, -1, 4) lygtį ir

В(3, 2, -1) statmenai plokštumai X + adresu + 2z – 3 = 0.

Norima plokštumos lygtis turi tokią formą: A x+ B y+ C z+ D = 0, normalusis vektorius šiai plokštumai (A, B, C). Vektorius
(1, 3, -5) priklauso plokštumai. Mums duota plokštuma, statmena norimai, turi normalųjį vektorių (1, 1, 2). Nes taškai A ir B priklauso abiem plokštumoms, o plokštumos yra viena kitai statmenos, tada

Taigi normalus vektorius (11, -7, -2). Nes taškas A priklauso norimai plokštumai, tada jo koordinatės turi tenkinti šios plokštumos lygtį, t.y. 112 + 71 - 24 + D= 0;D= -21.

Iš viso gauname plokštumos lygtį: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4, -3, 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Normaliojo vektoriaus koordinačių radimas
= (4, -3, 12). Norima plokštumos lygtis yra tokia: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Norėdami rasti koeficientą D, taško Р koordinates pakeičiame į lygtį:

16 + 9 + 144 + D = 0

Iš viso gauname norimą lygtį: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Pavyzdys. Duotos piramidės viršūnių koordinatės A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Raskite briaunos ilgį A 1 A 2 .

Raskite kampą tarp kraštinių A 1 A 2 ir A 1 A 4.

Raskite kampą tarp briaunos A 1 A 4 ir paviršiaus A 1 A 2 A 3 .

Pirmiausia suraskite normaliojo veido vektorių A 1 A 2 A 3 kaip vektorių kryžminė sandauga
ir
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Raskite kampą tarp normalaus vektoriaus ir vektoriaus
.

-4 – 4 = -8.

Norimas kampas  tarp vektoriaus ir plokštumos bus lygus  = 90 0 - .

Raskite veido plotą A 1 A 2 A 3.

Raskite piramidės tūrį.

Raskite plokštumos А 1 А 2 А 3 lygtį.

Mes naudojame formulę plokštumos, einančios per tris taškus, lygčiai.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

Kai naudojate kompiuterio versiją " Aukštosios matematikos kursas“ galite paleisti programą, kuri išspręs aukščiau pateiktą pavyzdį bet kurioms piramidės viršūnių koordinatėms.

Dukart spustelėkite piktogramą, kad paleistumėte programą:

Atsidariusiame programos lange įveskite piramidės viršūnių koordinates ir paspauskite Enter. Taigi visus sprendimo taškus galima gauti po vieną.

Pastaba: Kad paleistumėte programą, kompiuteryje turi būti įdiegta „Maple“ ( Waterloo Maple Inc.), bet kuri versija prasideda nuo 4 „MapleV Release“.

Šioje medžiagoje analizuosime, kaip rasti plokštumos lygtį, jei žinome trijų skirtingų jos taškų, kurie nėra vienoje tiesėje, koordinates. Norėdami tai padaryti, turime prisiminti, kas yra stačiakampė koordinačių sistema trimatėje erdvėje. Pirmiausia pristatome pagrindinį šios lygties principą ir parodome, kaip jį panaudoti sprendžiant konkrečias problemas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirmiausia turime prisiminti vieną aksiomą, kuri skamba taip:

1 apibrėžimas

Jei trys taškai nesutampa vienas su kitu ir guli ne vienoje tiesėje, tai trimatėje erdvėje per juos eina tik viena plokštuma.

Kitaip tariant, jei turime tris skirtingus taškus, kurių koordinatės nesutampa ir kurių negalima sujungti tiesia linija, tai galime nustatyti per ją einančią plokštumą.

Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą. Pažymėkime jį O x y z . Jame yra trys taškai M su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3), kurių negalima sujungti tiesiai linija. Remdamiesi šiomis sąlygomis, galime užrašyti mums reikalingos plokštumos lygtį. Yra du šios problemos sprendimo būdai.

1. Pirmuoju metodu naudojama bendroji plokštumos lygtis. Pažodine forma jis parašytas kaip A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Su juo stačiakampėje koordinačių sistemoje galite nustatyti tam tikrą plokštumą alfa, kuri eina per pirmą duotą tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Pasirodo, normaliosios plokštumos vektorius α turės koordinates A , B , C .

N apibrėžimas

Žinodami normalaus vektoriaus koordinates ir taško, per kurį eina plokštuma, koordinates, galime užrašyti bendrąją šios plokštumos lygtį.

Nuo to mes tęsime toliau.

Taigi pagal uždavinio sąlygas turime norimo taško koordinates (net tris), per kurį eina plokštuma. Norėdami rasti lygtį, turite apskaičiuoti jos normalaus vektoriaus koordinates. Pažymėkite jį n → .

Prisiminkite taisyklę: bet kuris nulinis tam tikros plokštumos vektorius yra statmenas tos pačios plokštumos normaliajam vektoriui. Tada turime, kad n → bus statmenas vektoriams, sudarytiems iš pradinių taškų M 1 M 2 → ir M 1 M 3 → . Tada n → galime pažymėti kaip M 1 M 2 → · M 1 M 3 → formos vektorinę sandaugą.

Kadangi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ir M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (šių lygybių įrodymai pateikti straipsnyje, skirtame vektoriaus koordinačių skaičiavimui iš taškų koordinačių), tada paaiškėja, kad:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z vienas

Jei apskaičiuosime determinantą, gausime mums reikalingo normaliojo vektoriaus n → koordinates. Dabar galime parašyti lygtį, kurios mums reikia plokštumai, kertančiai tris duotus taškus.

2. Antrasis būdas rasti lygtį, einančią per M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), yra remiantis tokia samprata kaip vektorių complanarumas.

Jei turime taškų aibę M (x, y, z) , tai stačiakampėje koordinačių sistemoje jie apibrėžia plokštumą duotiesiems taškams M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tik tada, jei vektoriai M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ir M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) bus lygiagrečiai.

Diagramoje tai atrodys taip:

Tai reikš, kad vektorių M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → mišri sandauga bus lygi nuliui: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , nes tai yra pagrindinė lyginamumo sąlyga: M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ir M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Gautą lygtį užrašome koordinačių forma:

Apskaičiavę determinantą, galime gauti plokštumos, kurios mums reikia, lygtį trims taškams, kurie nėra vienoje tiesėje M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Iš gautos lygties galite pereiti prie plokštumos lygties segmentais arba į normaliąją plokštumos lygtį, jei to reikalauja problemos sąlygos.

Kitoje pastraipoje pateiksime pavyzdžių, kaip mūsų nurodyti metodai yra įgyvendinami praktikoje.

Plokštumos, einančios per 3 taškus, lygties sudarymo užduočių pavyzdžiai

Anksčiau mes nustatėme du būdus, kurie gali būti naudojami norint rasti norimą lygtį. Pažiūrėkime, kaip jie naudojami sprendžiant problemas ir kada pasirinkti kiekvieną iš jų.

1 pavyzdys

Yra trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje, kurių koordinatės M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Parašykite pro juos einančios plokštumos lygtį.

Sprendimas

Mes naudojame abu metodus paeiliui.

1. Raskite dviejų mums reikalingų vektorių koordinates M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Dabar apskaičiuojame jų vektorinę sandaugą. Šiuo atveju determinanto skaičiavimų neaprašysime:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Turime normalųjį plokštumos, kuri eina per tris reikiamus taškus, vektorių: n → = (- 5 , 30 , 2) . Toliau reikia paimti vieną iš taškų, pavyzdžiui, M 1 (- 3 , 2 , - 1) , ir parašyti lygtį plokštumai su vektoriumi n → = (- 5 , 30 , 2) . Gauname: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Tai mums reikalingos plokštumos, kuri eina per tris taškus, lygtis.

2. Mes naudojame kitokį požiūrį. Užrašome lygtį plokštumai su trimis taškais M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tokia forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Čia galite pakeisti duomenis iš problemos būklės. Kadangi x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kaip rezultatas, mes gausime:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 m + 2 z - 73

Gavome reikalingą lygtį.

Atsakymas:- 5x + 30m + 2z - 73 .

O kas, jei pateikti taškai vis tiek yra toje pačioje tiesėje ir mums reikia sudaryti jiems plokštumos lygtį? Čia reikia iš karto pasakyti, kad ši sąlyga nebus visiškai teisinga. Per tokius taškus gali praeiti be galo daug plokštumų, todėl vieno atsakymo apskaičiuoti neįmanoma. Panagrinėkime tokią problemą, kad įrodytume tokios klausimo formuluotės neteisingumą.

2 pavyzdys

3D erdvėje turime stačiakampę koordinačių sistemą, kurią sudaro trys taškai, kurių koordinatės yra M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1). Būtina parašyti lygtį plokštumai, einančia per ją.

Sprendimas

Naudojame pirmąjį metodą ir pradedame skaičiuoti dviejų vektorių M 1 M 2 → ir M 1 M 3 → koordinates. Apskaičiuokime jų koordinates: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektoriaus sandauga bus lygi:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Kadangi M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , tada mūsų vektoriai bus kolineariniai (jei pamiršote šios sąvokos apibrėžimą, perskaitykite straipsnį apie juos). Taigi pradiniai taškai M 1 (5 , - 8 , - 2 ), M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 ( - 1 , 1 , 1) yra toje pačioje tiesėje, o mūsų uždavinys yra begalinis daugelio variantų atsakymas.

Jei naudosime antrąjį metodą, gausime:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 m. + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iš gautos lygybės taip pat išplaukia, kad duotieji taškai M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) yra toje pačioje tiesėje.

Jei norite rasti bent vieną atsakymą į šią problemą iš daugybės jos parinkčių, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Parašykite tiesės M 1 M 2, M 1 M 3 arba M 2 M 3 lygtį (jei reikia, peržiūrėkite medžiagą apie šį veiksmą).

2. Paimkite tašką M 4 (x 4, y 4, z 4), kuris nėra tiesėje M 1 M 2.

3. Užrašykite lygtį plokštumos, kuri kerta tris skirtingus taškus M 1 , M 2 ir M 4, kurie nėra vienoje tiesėje.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Jis gali būti nurodytas įvairiais būdais (vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir tt). Atsižvelgiant į tai, plokštumos lygtis gali turėti skirtingas formas. Taip pat tam tikromis sąlygomis plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir pan. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Išmoksime parašyti bendrąją plokštumos lygtį ir ne tik.

Normalioji lygties forma

Tarkime, kad yra erdvė R 3, kuri turi stačiakampę koordinačių sistemą XYZ. Nustatome vektorių α, kuris bus atleistas nuo pradinio taško O. Per vektoriaus α galą nubrėžiame plokštumą P, kuri bus jam statmena.

Pažymėkite P savavališką tašką Q=(x, y, z). Taško Q spindulio vektorių pažymėsime raide p. Vektoriaus α ilgis yra p=IαI ir Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tai vienetinis vektorius, nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra atitinkamai kampai, susidarantys tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Tam tikro taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovi reikšmė, lygi р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Ši lygtis prasminga, kai p=0. Vienintelis dalykas, kad plokštuma P šiuo atveju kirs tašką O (α=0), kuris yra pradžios taškas, o vieneto vektorius Ʋ, atleistas nuo taško O, bus statmenas P, nepaisant jo krypties, o tai reiškia, kad vektorius Ʋ nustatomas iš ženklo tikslumo. Ankstesnė lygtis yra mūsų P plokštumos lygtis, išreikšta vektorine forma. Bet koordinatėmis tai atrodys taip:

P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome lygtį erdvės plokštumos normaliąja forma.

Bendroji lygtis

Jei lygtį padauginsime iš koordinačių iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime lygtį, lygiavertę duotajai, kuri apibrėžia tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:

Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Ši lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtimi.

Plokštumos lygtys. Ypatingi atvejai

Bendrosios formos lygtis gali būti modifikuojama esant papildomoms sąlygoms. Panagrinėkime kai kuriuos iš jų.

Tarkime, kad koeficientas A lygus 0. Tai reiškia, kad duotoji plokštuma lygiagreti duotai ašiai Ox. Tokiu atveju pasikeis lygties forma: Ву+Cz+D=0.

Panašiai lygties forma pasikeis tokiomis sąlygomis:

• Pirma, jei B = 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D = 0, o tai parodys lygiagretumą Oy ašiai.
• Antra, jei С=0, tai lygtis transformuojama į Ах+Ву+D=0, kas parodys lygiagretumą duotai ašiai Oz.
• Trečia, jei D=0, lygtis atrodys taip: Ax+By+Cz=0, o tai reikš, kad plokštuma kerta O (kilmę).
• Ketvirta, jei A = B = 0, tada lygtis pasikeis į Cz + D = 0, o tai bus lygiagreti su Oxy.
• Penkta, jei B=C=0, tai lygtis tampa Ax+D=0, o tai reiškia, kad plokštuma į Oyz yra lygiagreti.
• Šešta, jei A=C=0, tada lygtis bus Ву+D=0, tai yra, ji praneš apie lygiagretumą Oxz.

Lygties tipas segmentais

Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D yra ne nulis, (0) lygties forma gali būti tokia:

x/a + y/b + z/c = 1,

kuriame a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Gauname rezultatą Verta pažymėti, kad ši plokštuma susikirs su Ox ašimi taške, kurio koordinatės (a,0,0), Oy - (0,b,0), o Oz - (0,0,c) .

Atsižvelgiant į lygtį x/a + y/b + z/c = 1, nesunku vizualiai pavaizduoti plokštumos išsidėstymą tam tikros koordinačių sistemos atžvilgiu.

Normaliosios vektoriaus koordinatės

Normalus vektorius n plokštumai P turi koordinates, kurios yra duotosios plokštumos bendrosios lygties koeficientai, tai yra n (A, B, C).

Norint nustatyti normaliosios n koordinates, pakanka žinoti bendrąją tam tikros plokštumos lygtį.

Naudojant lygtį atkarpose, kurios forma x/a + y/b + z/c = 1, taip pat naudojant bendrąją lygtį, galima užrašyti bet kurio duotosios plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates: (1 /a + 1/b + 1/ Su).

Reikėtų pažymėti, kad normalus vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausios yra užduotys, kurias sudaro plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymas, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problemos.

Plokštumos lygties vaizdas pagal taško ir normaliojo vektoriaus koordinates

Nulinis vektorius n, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normaliuoju (normaliu) duotai plokštumai.

Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampėje koordinačių sistemoje) Oxyz yra pateikti:

• taškas Mₒ su koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulinis vektorius n=A*i+B*j+C*k.

Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajai n.

Erdvėje pasirenkame bet kurį savavališką tašką ir pažymime jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x, y, z) spindulio vektorius yra r=x*i+y*j+z*k, o taško Mₒ spindulio vektorius (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Taškas M priklausys duotai plokštumai, jei vektorius MₒM yra statmenas vektoriui n. Ortogonalumo sąlygą rašome naudodami skaliarinį sandaugą:

[MₒM, n] = 0.

Kadangi MₒM \u003d r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis gali būti kitokia. Tam naudojamos skaliarinės sandaugos savybės ir transformuojama kairioji lygties pusė. = -. Jei žymima c, tada bus gauta ši lygtis: - c \u003d 0 arba \u003d c, kuri išreiškia projekcijų pastovumą į normalią nurodytų taškų spindulio vektorių, priklausančių plokštumai, vektorių.

Dabar galite gauti mūsų plokštumos vektorinės lygties rašymo koordinačių formą = 0. Kadangi r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, o n = A*i+B *j+C*k, turime:

Pasirodo, turime lygtį plokštumai, einančia per tašką, statmeną normaliajai n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Plokštumos lygties vaizdas pagal dviejų taškų koordinates ir vektoriaus, esančio kolinerėje su plokštuma, vaizdas

Apibrėžiame du savavališkus taškus M′ (x′,y′,z′) ir M″ (x″,y″,z″), taip pat vektorių a (a′,a″,a‴).

Dabar galime sudaryti lygtį duotai plokštumai, kuri eis per turimus taškus M′ ir M″, taip pat bet kurį tašką M, kurio koordinatės (x, y, z) yra lygiagrečios duotam vektoriui a.

Šiuo atveju vektoriai M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ir M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) turi būti vienodi su vektoriumi a=(a′,a″,a‴), o tai reiškia, kad (M′M, M″M, a)=0.

Taigi, mūsų plokštumos erdvėje lygtis atrodys taip:

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygties tipas

Tarkime, kad turime tris taškus: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kurie nepriklauso tai pačiai tiesei. Būtina parašyti plokštumos, einančios per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokia plokštuma tikrai egzistuoja, tik ji yra vienintelė ir nepakartojama. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x′, y′, z′), jos lygties forma bus tokia:

Čia A, B, C skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu. Taip pat duotoji plokštuma kerta dar du taškus: (x″,y″,z″) ir (x‴,y‴,z‴). Šiuo atžvilgiu turi būti įvykdytos šios sąlygos:

Dabar galime sudaryti vienalytę sistemą su nežinomaisiais u, v, w:

Mūsų atveju x, y arba z yra savavališkas taškas, atitinkantis (1) lygtį. Atsižvelgiant į (1) lygtį ir (2) ir (3) lygčių sistemą, aukščiau esančiame paveikslėlyje nurodyta lygčių sistema tenkina vektorių N (A, B, C), kuris yra nereikšmingas. Štai kodėl šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.

(1) lygtis, kurią gavome, yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai eina per 3 taškus, ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą, palyginti su pirmosios eilutės elementais. Iš esamų determinanto savybių matyti, kad mūsų plokštuma vienu metu kerta tris iš pradžių duotus taškus (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums iškeltą užduotį.

Dvikampis kampas tarp plokštumų

Dvikampis kampas yra erdvinė geometrinė figūra, sudaryta iš dviejų pusiau plokštumų, kylančių iš vienos tiesios linijos. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.

Tarkime, kad turime dvi plokštumas su tokiomis lygtimis:

Žinome, kad vektoriai N=(A,B,C) ir N¹=(A¹,B¹,C¹) yra statmeni nurodytoms plokštumoms. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N¹ yra lygus kampui (diedraliui), kuris yra tarp šių plokštumų. Skaliarinis produktas turi tokią formą:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

būtent todėl

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.

Tiesą sakant, dvi plokštumos, kurios susikerta, sudaro du (dvikampius) kampus: φ 1 ir φ 2 . Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 = π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau skiriasi ženklais, ty cos φ 1 =-cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tada gauta lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelį kampą φ lygtyje cos φ= NN 1 /| N||N 1 | bus pakeistas π-φ.

Statmenos plokštumos lygtis

Plokštumos vadinamos statmenomis, jei kampas tarp jų yra 90 laipsnių. Naudodami aukščiau aprašytą medžiagą galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad turime dvi plokštumas: Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Galime teigti, kad jie bus statmeni, jei cosφ=0. Tai reiškia, kad NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Lygiagrečios plokštumos lygtis

Lygiagrečios yra dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų.

Sąlyga (jų lygtys tokios pat kaip ir ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad vektoriai N ir N¹, kurie yra statmeni jiems, yra kolinearūs. Tai reiškia, kad tenkinamos šios proporcingumo sąlygos:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apibūdina vieną plokštumą.

Atstumas iki plokštumos nuo taško

Tarkime, kad turime plokštumą P, kuri pateikiama pagal (0) lygtį. Reikia rasti atstumą iki jo nuo taško koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Norėdami tai padaryti, turite paversti plokštumos P lygtį į normalią formą:

(ρ,v)=p (p≥0).

Šiuo atveju ρ(x,y,z) yra mūsų taško Q, esančio P, spindulio vektorius, p yra statmeno P, kuris buvo atleistas nuo nulinio taško, ilgis, v yra vieneto vektorius, kuris yra esantis a kryptimi.

Tam tikro taško Q \u003d (x, y, z), priklausančio P, spindulio vektoriaus ρ-ρº, taip pat tam tikro taško Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) spindulio vektoriaus skirtumas yra toks vektorius, kurio projekcijos į v absoliuti reikšmė yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) iki P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Taigi pasirodo

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Taigi rasime gautos išraiškos absoliučią reikšmę, tai yra norimą d.

Naudodami parametrų kalbą gauname akivaizdų:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Jei duotasis taškas Q 0 yra kitoje plokštumos P pusėje, taip pat ir pradžios taškas, tai tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su pradžia yra toje pačioje P pusėje, tada sukurtas kampas yra smailus, tai yra:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Dėl to išeina, kad pirmuoju atveju (ρ 0 ,v)> р, antruoju (ρ 0 ,v)<р.

Liestinės plokštuma ir jos lygtis

Paviršiaus liestinės plokštuma sąlyčio taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos galimos per šį paviršiaus tašką nubrėžtų kreivių liestinės.

Esant tokiai paviršiaus lygties formai F (x, y, z) \u003d 0, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº (xº, yº, zº) atrodys taip:

F x (xº, yº, zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº) (y-yº)+ F x (xº, yº, zº) (z-zº)=0.

Jei paviršių nurodysite aiškia forma z=f (x, y), tada liestinės plokštuma bus aprašyta lygtimi:

z-zº = f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Dviejų plokštumų sankirta

Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, pateiktos dvi plokštumos П′ ir П″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri plokštuma, esanti stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį, manysime, kad P′ ir P″ yra pateiktos lygtimis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x +B″y+ С″z+D″=0. Šiuo atveju turime P′ plokštumos normaliąją n′ (A′, B′, C′) ir P″ plokštumos normaliąją n″ (A″, B″, C″). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolineariniai. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Tegul tiesė, esanti P′ ir P″ sankirtoje, yra pažymėta raide a, šiuo atveju a = P′ ∩ P″.

a yra tiesė, susidedanti iš visų (bendrų) plokštumų П′ ir П″ taškų aibės. Tai reiškia, kad bet kurio taško, priklausančio tiesei a, koordinatės turi vienu metu tenkinti lygtis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x+B″y+C″z+D″= 0. Tai reiškia, kad taško koordinatės bus tam tikras šios lygčių sistemos sprendimas:

Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nustatys kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip П′ ir П″ susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę. tiesė a koordinačių sistemoje Oxyz (stačiakampė) erdvėje.

Kad viena plokštuma būtų nubrėžta per bet kuriuos tris erdvės taškus, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.

Apsvarstykite taškus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) bendroje Dekarto koordinačių sistemoje.

Kad savavališkas taškas M(x, y, z) atsidurtų toje pačioje plokštumoje kaip ir taškai M 1 , M 2 , M 3 , vektoriai turi būti vienodi.

Apibrėžimas 2.1.

Dvi tiesės erdvėje vadinamos lygiagrečios, jei jos yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.

Jei dvi tiesės a ir b yra lygiagrečios, tai, kaip planimetrijoje, parašykite a || b. Erdvėje tieses galima išdėstyti taip, kad jos nesikirstų ir nebūtų lygiagrečios. Šis dėklas yra ypatingas stereometrijai.

Apibrėžimas 2.2.

Tiesės, kurios neturi bendrų taškų ir nėra lygiagrečios, vadinamos iškreiptomis.

2.1 teorema.

Per tašką, esantį už nurodytos linijos, galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotai linijai, o be to, tik vieną.

Lygiagrečių linijų ženklas

Dvi tiesės erdvėje vadinamos lygiagrečios, jei jos yra toje pačioje plokštumoje ir nesikerta. Per tašką, esantį už nurodytos linijos, galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią šiai linijai, o be to, tik vieną. Šis teiginys redukuojasi iki aksiomos apie paraleles plokštumoje. Teorema. Dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai linijai, yra lygiagrečios. Tegul tiesės b ir c yra lygiagrečios tiesei a. Pado įrodyti, kad b || Su. Planimetrijoje nagrinėjamas atvejis, kai tiesės a, b ir yra toje pačioje plokštumoje, mes jį praleidžiame. Tarkime, kad a, b ir c nėra toje pačioje plokštumoje. Bet kadangi dvi lygiagrečios tiesės yra toje pačioje plokštumoje, galime manyti, kad a ir b yra, o plokštumos a b ir c - plokštumoje (61 pav.). Tiesėje c pažymime tašką (bet kurį) M ir nubrėžiame plokštumą per tiesę b ir tašką M. Ji, , kertasi išilgai tiesės l. Tiesė l nekerta plokštumos , nes jei l susikirstų , tai jų susikirtimo taškas turi būti a (a ir l - toje pačioje plokštumoje) ir b (b ir l - toje pačioje plokštumoje). Taigi vienas susikirtimo taškas l ir turi būti ir tiesėje a, ir tiesėje b, o tai neįmanoma: a || b. Todėl ir || , l || a, l || b. Kadangi a ir l yra toje pačioje plokštumoje, l sutampa su tiese c (pagal paralelizmo aksiomą), taigi su || b. Teorema įrodyta.

25.Tiesės ir plokštumos lygiagretumo ženklas

Teorema

Jeigu plokštumai nepriklausanti tiesė yra lygiagreti kuriai nors tos plokštumos tiesei, tai ji lygiagreti ir pačiai plokštumai.

Įrodymas

Tegu α yra plokštuma, a – joje nesanti tiesė, o a1 – tiesė plokštumoje α, lygiagreti tiesei a. Per tieses a ir a1 nubrėžkime plokštumą α1. Plokštumos α ir α1 susikerta išilgai tiesės a1. Jeigu tiesė a kirstų plokštumą α, tai susikirtimo taškas priklausytų tiesei a1. Bet tai neįmanoma, nes tiesės a ir a1 yra lygiagrečios. Todėl tiesė a nekerta plokštumos α, taigi yra lygiagreti plokštumai α. Teorema įrodyta.

27.Plokštumos, lygiagrečios duotai plokštumai, egzistavimas

Teorema

Per tašką, esantį už duotosios plokštumos, galima nubrėžti plokštumą, lygiagrečią duotajai, o be to, tik vieną.

Įrodymas

Nubrėžkime dvi susikertančias tieses a ir b duotoje plokštumoje α. Per duotą tašką A nubrėžiame joms lygiagrečias tieses a1 ir b1. Plokštuma β, einanti per tieses a1 ir b1, pagal lygiagretumo teoremą yra lygiagreti plokštumai α.

Tarkime, kad per tašką A eina kita plokštuma β1, taip pat lygiagreti plokštumai α. Plokštumoje β1 pažymėkime kokį nors tašką C, kuris nėra plokštumoje β. Per plokštumos α taškus A, C ir kurį nors tašką B nubrėžkime plokštumą γ. Ši plokštuma kirs plokštumas α, β ir β1 išilgai tiesių b, a ir c. Tiesės a ir c nekerta tiesės b, nes nesikerta su plokštuma α. Todėl jie yra lygiagrečiai tiesei b. Bet plokštumoje γ per tašką A gali būti tik viena tiesė, lygiagreti tiesei b. kas prieštarauja prielaidai. Teorema įrodyta.

28.Plokštumos lygiagrečios savybės th

29.

Statmenos linijos erdvėje. Dvi tiesės erdvėje vadinamos statmenomis, jei kampas tarp jų yra 90 laipsnių. c. m. k. k. m. c. k. Susikerta. Perbraukė.

1 teorema. TIESĖS IR PLOKŠTUMOS STAMETUMO ŽENKLAS. Jei tiesė, kertanti plokštumą, yra statmena dviem tos plokštumos tiesėms, einančioms per duotosios tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, tai ji yra statmena plokštumai.

Įrodymas: Tegul yra tiesė, statmena tiesėms b ir c plokštumoje . Tada tiesė a eina per tiesių b ir c sankirtos tašką A. Įrodykime, kad tiesė a yra statmena plokštumai. Nubrėžkite savavališką tiesę x per tašką A plokštumoje ir parodykite, kad ji yra statmena tiesei a. Plokštumoje nubrėžkime savavališką tiesę, kuri nekerta taško A ir kerta tieses b, c ir x. Tegu susikirtimo taškai yra B, C ir X. Tiesėje a iš taško A skirtingomis kryptimis nubraižykime lygias atkarpas AA 1 ir AA 2. Trikampis A 1 CA 2 yra lygiašonis, nes atkarpa AC yra aukštis pagal teoremą ir mediana pagal konstrukciją (AA 1 \u003d AA 2). Dėl tos pačios priežasties trikampis A 1 BA 2 taip pat yra lygiašonis. Todėl trikampiai A 1 BC ir A 2 BC yra lygūs iš trijų kraštinių. Iš trikampių A 1 BC ir A 2 BC lygybės išplaukia kampų A 1 BX ir A 2 BX lygybė, taigi ir trikampių A 1 BX ir A 2 BX lygybė iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų. Iš šių trikampių kraštinių A 1 X ir A 2 X lygybės darome išvadą, kad trikampis A 1 XA 2 yra lygiašonis. Todėl jo mediana XA taip pat yra aukštis. Tai reiškia, kad tiesė x yra statmena a. Pagal apibrėžimą tiesė a yra statmena plokštumai. Teorema įrodyta.

2 teorema 1-oji STAČIŲJŲ TIESIŲ IR PLOKŠTUMŲ SAVYBĖ. Jei plokštuma yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.
Įrodymas: Tegul a 1 ir a 2 yra dvi lygiagrečios tiesės ir plokštuma, statmena tiesei a 1 . Įrodykime, kad ši plokštuma taip pat yra statmena tiesei a 2 . Per tašką A 2 nubrėžkime tiesės a 2 susikirtimą su plokštuma savavališką tiesę x 2 plokštumoje. Plokštumoje per tašką A 1 nubrėžkime tiesės a 1 sankirtą su tiese x 1, lygiagrečia tiesei x 2. Kadangi tiesė a 1 yra statmena plokštumai, tai tiesės a 1 ir x 1 yra statmenos. Ir pagal 1 teoremą joms lygiagrečios susikertančios tiesės a2 ir x2 taip pat yra statmenos. Taigi tiesė a 2 yra statmena bet kuriai tiesei x 2 plokštumoje. Ir tai (pagal apibrėžimą) reiškia, kad tiesė a 2 yra statmena plokštumai. Teorema įrodyta. Taip pat žr. palaikymo problemą Nr. 2.
3 teorema 2-oji STAČIŲJŲ TIESIŲ IR PLOKŠTUMŲ SAVYBĖ. Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios.
Įrodymas: Tegul a ir b yra 2 tiesės, statmenos plokštumai. Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tiesėje b pasirenkame tašką C, kuris nėra plokštumoje. Per tašką C nubrėžkime tiesę b 1, lygiagrečią tiesei a. Tiesė b 1 yra statmena plokštumai pagal 2 teoremą. Tegul B ir B 1 yra tiesių b ir b 1 susikirtimo su plokštuma taškai. Tada tiesė BB 1 yra statmena susikertančioms tiesėms b ir b 1 . Ir tai neįmanoma. Priėjome prieštaravimą. Teorema įrodyta.

33.Statmenas, nuleistas iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą, vadinamas atkarpa, jungiančia duotą tašką su plokštumos tašku ir gulinčia ant plokštumai statmenos tiesės. Šio segmento galas, esantis plokštumoje, vadinamas statmens pagrindas.
įstrižas, nubrėžtas iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą, yra bet kokia atkarpa, jungianti nurodytą tašką su plokštumos tašku, kuris nėra statmenas plokštumai. Atkarpos, esančios plokštumoje, pabaiga vadinama pasvirusio pagrindas. Atkarpa, jungianti pasvirosios linijos statmeno pagrindus, nubrėžtą iš to paties taško, vadinama įstriža projekcija.

AB yra statmena plokštumai α.
AC – įstrižinė, CB – projekcija.

Teoremos teiginys

Jei tiesė, nubrėžta plokštumoje per įstrižinės linijos pagrindą, yra statmena jos projekcijai, tai ji yra statmena įstrižai.

Įrodymas

Leisti AB- statmena plokštumai α, AC- įstrižai ir c- tiesė plokštumoje α, einanti per tašką C ir statmena projekcija pr. Kr. Nubrėžkime tiesią liniją CK lygiagreti tiesia linija AB. Tiesiai CK statmena plokštumai α (nes lygiagreti su AB), taigi bet kuri šios plokštumos linija, todėl CK statmenai linijai c. Nubrėžkite lygiagrečias linijas AB ir CK plokštuma β (lygiagrečios tiesės apibrėžia plokštumą ir tik vieną). Tiesiai c yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje β, tai pr. Kr pagal sąlygas ir CK pagal konstrukciją reiškia, kad jis yra statmenas bet kuriai tiesei, priklausančiai šiai plokštumai, tai reiškia, kad ji taip pat yra statmena tiesei AC.