4.3.1 Tiesinės erdvės apibrėžimas

Leisti ā , , - kai kurių rinkinių elementai ā , , L ir λ , μ - tikrieji skaičiai, λ , μ R..

Aibė L vadinamalinijinis arbavektorinė erdvė, jei apibrėžtos dvi operacijos:

1 0 . Papildymas. Kiekviena šios aibės elementų pora yra susieta su tos pačios aibės elementu, vadinamu jų suma

ā + =

2°.Padauginimas iš skaičiaus. Bet koks tikrasis skaičius λ ir elementas ā L priskiriamas tos pačios aibės elementas λ ā L ir tenkinamos šios savybės:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. egzistuoja nulinis elementas
, toks ā +=ā ;

4. egzistuoja priešingas elementas -
toks kad ā +(-ā )=.

Jeigu λ , μ - tikrieji skaičiai, tada:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Tiesinės erdvės ā elementai, , ... vadinami vektoriais.

Pratimas. Parodykite sau, kad šie rinkiniai sudaro tiesines erdves:

1) Geometrinių vektorių aibė plokštumoje;

2) Geometrinių vektorių aibė trimatėje erdvėje;

3) Tam tikro laipsnio daugianario aibė;

4) To paties matmens matricų rinkinys.

4.3.2 Tiesiškai priklausomi ir nepriklausomi vektoriai. Erdvės matmenys ir pagrindas

Linijinis derinys vektoriai ā 1 , ā 2 , …, ā n Lvadinamas tos pačios formos erdvės vektoriumi:

,

kur λ i – realieji skaičiai.

Vektoriai ā 1 , .. , ā n paskambinotiesiškai nepriklausomas, jei jų tiesinė kombinacija yra nulinis vektorius tada ir tik tada, kai visi λ i yra lygūs nuliui, tai yra

λ i=0

Jei tiesinis derinys yra nulinis vektorius ir bent vienas iš λ i skiriasi nuo nulio, tada šie vektoriai vadinami tiesiškai priklausomais. Pastarasis reiškia, kad bent vienas iš vektorių gali būti pavaizduotas kaip tiesinis kitų vektorių derinys. Iš tiesų, tegul ir pvz.
. tada,
, kur

.

Maksimaliai tiesiškai nepriklausoma sutvarkyta vektorių sistema vadinama pagrindu erdvė L. Bazinių vektorių skaičius vadinamas matmuo erdvė.

Tarkime, kad yra n tiesiškai nepriklausomi vektoriai, tada erdvė vadinama n- matmenų. Kiti erdvės vektoriai gali būti pavaizduoti kaip tiesinis derinys n baziniai vektoriai. pagal pagrindą n- galima užimti matmenų erdvę bet koks n tiesiškai nepriklausomi šios erdvės vektoriai.

17 pavyzdys. Raskite nurodytų tiesinių erdvių pagrindą ir matmenis:

a) vektorių rinkiniai, esantys ant tiesės (greitai tam tikrai linijai)

b) plokštumai priklausančių vektorių aibė

c) trimatės erdvės vektorių aibė

d) daugiausia dviejų laipsnio daugianarių aibė.

Sprendimas.

a) Bet kurie du vektoriai, esantys tiesėje, bus tiesiškai priklausomi, nes vektoriai yra kolineariniai
, tada
, λ - skaliarinis. Todėl šios erdvės pagrindas yra tik vienas (bet koks) vektorius, išskyrus nulį.

Paprastai ši erdvė yra R, jo matmuo yra 1.

b) bet kurie du nekolineariniai vektoriai
yra tiesiškai nepriklausomi, o bet kurie trys vektoriai plokštumoje yra tiesiškai priklausomi. Bet kokiam vektoriui , yra skaičiai  ir  toks kad
. Erdvė vadinama dvimate, žymima R 2 .

Dvimatės erdvės pagrindą sudaro bet kurie du nekolineariniai vektoriai.

in) Bet kokie trys ne lygiaplaniai vektoriai bus tiesiškai nepriklausomi, jie sudaro trimatės erdvės pagrindą R 3 .

G) Daugiausiai dviejų laipsnio polinomų erdvės pagrindui galima pasirinkti šiuos tris vektorius: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 yra daugianario, identiškai lygus vienetui). Ši erdvė bus trimatė.

Iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos

vektorius(arba linijinis) erdvė- matematinė struktūra, kuri yra elementų, vadinamų vektoriais, rinkinys, kuriam nustatomos vienas kito sudėjimo ir daugybos iš skaičiaus operacijos - skaliaras. Šioms operacijoms taikomos aštuonios aksiomos. Skaliarai gali būti tikrojo, kompleksinio ar bet kurio kito skaičiaus lauko elementai. Ypatingas tokios erdvės atvejis yra įprasta trimatė Euklido erdvė, kurios vektoriai naudojami, pavyzdžiui, fizinėms jėgoms pavaizduoti. Tuo pačiu metu reikia pažymėti, kad vektorius, kaip vektorinės erdvės elementas, neturi būti nurodytas kaip nukreiptas segmentas . Sąvokos „vektorius“ apibendrinimas į bet kokio pobūdžio vektorinės erdvės elementą ne tik nesukelia terminų painiavos, bet ir leidžia suprasti ar net numatyti daugybę rezultatų, kurie galioja savavališko pobūdžio erdvėms. .

Vektorinės erdvės yra tiesinės algebros tyrimo objektas. Viena iš pagrindinių vektorinės erdvės savybių yra jos matmenys. Matmenys yra maksimalus tiesiškai nepriklausomų erdvės elementų skaičius, tai yra, gavus grubų geometrinį aprašymą, krypčių, kurios viena kitai neišreiškiamos tik atliekant sudėjimo ir daugybos iš skaliro operacijas, skaičius. Vektorinė erdvė gali būti aprūpinta papildomomis struktūromis, tokiomis kaip norma arba taškinė sandauga. Tokios erdvės skaičiuojant atsiranda natūraliai, daugiausia kaip begalinių matmenų funkcijų erdvės ( Anglų), kur vektoriai yra funkcijos . Daugeliui analizės problemų reikia išsiaiškinti, ar vektorių seka konverguoja į tam tikrą vektorių. Tokių klausimų svarstymas galimas vektorinėse erdvėse su papildoma struktūra, dažniausiai tinkama topologija, leidžiančia apibrėžti artumo ir tęstinumo sąvokas. Tokios topologinės vektorinės erdvės, ypač Banacho ir Hilberto erdvės, leidžia atlikti gilesnį tyrimą.

Be vektorių, tiesinė algebra tiria ir aukštesnio rango tenzorius (skaliaras laikomas 0 rango tenzoriumi, vektorius – 1 rango tenzoriumi).

Pirmieji darbai, numatę vektorinės erdvės sampratos įvedimą, datuojami XVII a. Būtent tada buvo sukurta analitinė geometrija, matricų doktrina, tiesinių lygčių sistemos ir euklidiniai vektoriai.

Apibrėžimas

Linijinis, arba vektorinė erdvė $V\backslash kairė\; (F\backslash dešinė)$ virš lauko $F$ yra užsakytas keturvietis $(V,F,+,\backslash cdot)$, kur

• $V$- netuščias savavališko pobūdžio elementų rinkinys, kuris vadinamas vektoriai;
• $F$- (algebrinis) laukas, kurio elementai vadinami skaliarai;
• Operacija apibrėžta papildymai vektoriai $V\backslash times\; V\backslash į\; V$, atitinkantys kiekvieną elementų porą $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ rinkiniai $V$ $V$ skambindamas jiems suma ir žymimas $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operacija apibrėžta vektorių dauginimas iš skaliarų $F\backslash times\; V\backslash to\; V$, kuris atitinka kiekvieną elementą $\backslash lambda$ laukai $F$ ir kiekvienas elementas $\backslash mathbf(x)$ rinkiniai $V$ vienintelis rinkinio elementas $V$, pažymėta $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$ arba $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Vektorinės erdvės, apibrėžtos tame pačiame elementų rinkinyje, bet skirtinguose laukuose, bus skirtingos vektorinės erdvės (pavyzdžiui, realiųjų skaičių porų rinkinys $\backslash mathbb(R)^2$ gali būti dvimatė vektorinė erdvė virš realiųjų skaičių lauko arba vienmatė – virš kompleksinių skaičių lauko).

Paprasčiausios savybės

1. Vektorinė erdvė yra Abelio grupė pagal pridėjimą.
2. neutralus elementas $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ bet kam $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Bet kam $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ priešingas elementas $-\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ yra vienintelis, kuris išplaukia iš grupės savybių.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ bet kam $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ bet kuriam $\backslash alpha\; \backslash in\; F$ ir $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ bet kam $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Susiję apibrėžimai ir savybės

poerdvė

Algebrinis apibrėžimas: Linijinė poerdvė arba vektorinė poerdvė yra netuščias poaibis $K$ linijinė erdvė $V$ toks kad $K$ pati yra tiesinė erdvė apibrėžtųjų atžvilgiu $V$ sudėjimo ir daugybos iš skaliaro operacijos. Visų poerdžių rinkinys paprastai žymimas kaip $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Kad poaibis būtų poerdvė, to būtina ir pakanka

1. bet kuriam vektoriui $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vektorius $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ taip pat priklausė $K$, bet kuriam $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. bet kokiems vektoriams $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektorius $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ taip pat priklausė $K$.

Paskutiniai du teiginiai atitinka šiuos teiginius:

Bet kokiems vektoriams $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektorius $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ taip pat priklausė $K$ bet kuriam $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Visų pirma, vektorinė erdvė, susidedanti tik iš vieno nulinio vektoriaus, yra bet kurios erdvės poerdvė; bet kuri erdvė yra savo paties poerdvė. Poerdvės, kurios nesutampa su šiomis dviem, vadinamos savo arba ne trivialus.

Suberdvės savybės

• Bet kurios poerdvės šeimos sankirta vėl yra poerdvė;
• Poerdvių suma $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ apibrėžiamas kaip aibė, kurioje yra visos galimos elementų sumos $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Baigtinės poerdvių šeimos suma vėlgi yra poerdvė.

Linijiniai deriniai

Pabaigos rodinio suma

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Linijinis derinys vadinamas:

Pagrindas. Matmenys

Vektoriai $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ paskambino tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus tiesinis jų derinys, lygus nuliui:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Priešingu atveju šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

Šis apibrėžimas leidžia apibendrinti: begalinis vektorių rinkinys iš $V$ paskambino tiesiškai priklausomas, jei kai kurie galutinis jo poaibis ir tiesiškai nepriklausomas, jei bet kuris galutinis poaibis yra tiesiškai nepriklausomas.

Pagrindinės savybės:

• Bet koks $n$ tiesiškai nepriklausomi elementai $n$-dimensinė erdvės forma pagrinduši erdvė.
• Bet koks vektorius $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ gali būti pavaizduotas (unikaliai) kaip baigtinis tiesinis pagrindinių elementų derinys:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Linijinis apvalkalas

Linijinis apvalkalas $\backslash mathcal\; V(X)$ poaibiai $X$ linijinė erdvė $V$- visų poerdvių sankirta $V$ kuriuose yra $X$.

Linijinis apvalkalas yra poerdvė $V$.

Linijinis apvalkalas taip pat vadinamas sukurta poerdvė $X$. Taip pat sakoma, kad tiesinis tarpatramis $\backslash mathcal\; V(X)$- erdvė, ištemptas daug $X$.

Linijinis apvalkalas $\backslash mathcal\; V(X)$ susideda iš visų galimų tiesinių kombinacijų įvairių baigtinių elementų posistemių iš $X$. Visų pirma, jei $X$ tada yra baigtinė aibė $\backslash mathcal\; V(X)$ susideda iš visų linijinių elementų kombinacijų $X$. Taigi nulinis vektorius visada priklauso tiesiniam intervalui.

Jeigu $X$ yra tiesiškai nepriklausoma aibė, tada ji yra pagrindas $\backslash mathcal\; V(X)$ ir taip nustato jo matmenis.

Pavyzdžiai

• Nulinė erdvė, kurios vienintelis elementas yra nulis.
• Visų funkcijų erdvė $X\backslash \; iki\; F$ su baigtine atrama sudaro vektorinę erdvę, kurios matmenys lygūs $X$.
• Realiųjų skaičių laukas gali būti vertinamas kaip kontinuumo matmenų vektorinė erdvė virš racionaliųjų skaičių lauko.
• Bet koks laukas yra vienmatė erdvė virš savęs.

Papildomos struktūros

taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Vektorinė erdvė"

Pastabos

Literatūra

• Gelfandas I. M. Tiesinės algebros paskaitos. – 5-oji. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfandas I. M. Tiesinės algebros paskaitos. 5-asis leidimas - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Tiesinė algebra ir geometrija. 2-asis leidimas - M .: Nauka, 1986. - 304 p.
• Kostrikin A.I.Įvadas į algebrą. 2 dalis: tiesinė algebra. – 3-ioji. - M .: Nauka ., 2004. - 368 p. - (Universiteto vadovėlis).
• Maltsevas A.I. Tiesinės algebros pagrindai. – 3-ioji. - M .: Nauka, 1970. - 400 p.

• Postnikovas M. M. Tiesinė algebra (geometrijos paskaitos. II semestras). – 2-oji. - M .: Nauka, 1986. - 400 p.
• Strangas G. Tiesinė algebra ir jos taikymai = Tiesinė algebra ir jos taikymai. - M .: Mir, 1980. - 454 p.
• Iljinas V. A., Poznyak E. G. Tiesinė algebra. 6-asis leidimas - M .: Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmoshas P. Baigtinių dimensijų vektorinės erdvės = baigtinių dimensijų vektorinės erdvės. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 263 p.
• Faddejevas D.K. Paskaitos apie algebrą. – 5-oji. - Sankt Peterburgas. : Lan, 2007. - 416 p.
• Šafarevičius I. R., Remizovas A. O. Tiesinė algebra ir geometrija. – 1 d. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 p.
• Schreyeris O., Shperneris G.Įvadas į tiesinę algebrą geometriniame pristatyme = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (išversta iš vokiečių kalbos). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Vektoriai ir matricos Vektoriai Pagrindinės sąvokos Vektorių rūšys Veiksmai su vektoriais Erdvės tipai matricos Pagrindinės sąvokos Kita

Ištrauka, apibūdinanti Vector erdvę

Kutuzovas vaikščiojo per gretas, retkarčiais sustodamas ir pasakydamas keletą gerų žodžių karininkams, kuriuos pažinojo iš Turkijos karo, o kartais ir kareiviams. Žvilgtelėjęs į batus, jis kelis kartus liūdnai papurtė galvą ir parodė į juos austrų generolą tokia išraiška, kad, rodos, niekam dėl to nepriekaištauja, bet negalėjo nepastebėti, kaip tai blogai. Pulko vadas kiekvieną kartą bėgo į priekį, bijodamas praleisti vyriausiojo vado žodį dėl pulko. Už Kutuzovo tokiu atstumu, kad buvo girdėti bet koks silpnai ištartas žodis, ėjo 20 palydos vyras. Palydos ponai kalbėdavosi tarpusavyje, kartais juokdavosi. Arčiausiai už vyriausiojo vado buvo gražus adjutantas. Tai buvo princas Bolkonskis. Šalia jo ėjo jo bendražygis Nesvitskis, aukštas štabo karininkas, nepaprastai stambus, malonaus ir besišypsančio gražaus veido ir drėgnų akių; Nesvitskis sunkiai susilaikė nuo juoko, jį sužadino šalia einantis juodas husaras. Husaro karininkas, nesišypsodamas, nekeisdamas sustingusių akių išraiškos, rimtu veidu žiūrėjo į pulko vado nugarą ir mėgdžiojo kiekvieną jo judesį. Kiekvieną kartą, kai pulko vadas drebėjo ir pasilenkė į priekį, lygiai taip pat, lygiai taip pat, husaro karininkas drebėjo ir pasilenkė į priekį. Nesvitskis nusijuokė ir pastūmėjo kitus pažvelgti į juokingą žmogų.
Kutuzovas lėtai ir nerūpestingai ėjo pro tūkstantį akių, kurios iškrito iš lizdų, sekdamas viršininką. Susilyginęs su 3 kuopa, staiga sustojo. Palyda, nenumatydama šio sustojimo, nevalingai puolė prie jo.
- Ak, Timokhin! - sakė vyriausiasis vadas, atpažinęs kapitoną raudona nosimi, nukentėjusį dėl mėlyno palto.
Atrodė, kad neįmanoma ištempti daugiau, nei ištempė Timokhinas, o pulko vadas jam priekaištavo. Bet tą akimirką į jį kreipėsi vyriausiasis vadas, kapitonas susisuko taip, kad atrodė, kad jei vyriausiasis vadas būtų žiūrėjęs į jį dar šiek tiek laiko, kapitonas būtų neištvėręs. ; ir todėl Kutuzovas, matyt, suprasdamas savo poziciją ir, atvirkščiai, linkėdamas kapitonui viso ko geriausio, paskubomis nusisuko. Vos juntama šypsena perbėgo putlų, sužeistą Kutuzovo veidą.
„Kitas Izmailovskio bendražygis“, - sakė jis. — Drąsus karininkas! Ar tu tuo patenkintas? – paklausė Kutuzovas pulko vado.
Ir pulko vadas, tarsi atsispindėjęs veidrodyje, nepastebimai sau, husaro karininku, suvirpėjo, nuėjo į priekį ir atsakė:
„Labai malonu, Jūsų Ekscelencija.
„Mes visi nesame be silpnybių“, – šypsodamasis pasakė Kutuzovas ir tolsta nuo jo. „Jis buvo prisirišęs prie Bacchus.
Pulko vadas išsigando, kad dėl to nekaltas, ir neatsakė. Pareigūnas tą akimirką pastebėjo kapitono veidą su raudona nosimi ir išraizgytu pilvu, veidą ir laikyseną pamėgdžiojo taip panašiai, kad Nesvitskis negalėjo susilaikyti nuo juoko.
Kutuzovas apsisuko. Buvo akivaizdu, kad pareigūnas gali valdyti savo veidą taip, kaip nori: tuo metu, kai Kutuzovas atsisuko, pareigūnas sugebėjo padaryti grimasą, o po to įgavo rimčiausią, pagarbiausią ir nekalčiausią išraišką.
Trečioji kuopa buvo paskutinė, ir Kutuzovas pagalvojo, matyt, kažką prisiminęs. Princas Andrejus išėjo iš palydos ir tyliai prancūziškai pasakė:
- Jūs įsakėte priminti šiame pulke pažemintą Dolokhovą.
- Kur Dolokhovas? – paklausė Kutuzovas.
Dolokhovas, jau apsirengęs kareivišku pilku paltu, nelaukė, kol bus pašauktas. Iš priekio išlindo liekna šviesiaplaukio kareivio figūra ryškiai mėlynomis akimis. Jis priėjo prie vyriausiojo vado ir padarė sargybą.
– Reikalauti? - Truputį susiraukęs paklausė Kutuzovas.
„Tai Dolokhovas“, - sakė princas Andrejus.
– A! Kutuzovas sakė. – Tikiuosi, kad ši pamoka jus pataisys, pasitarnausite gerai. Imperatorius yra gailestingas. Ir aš tavęs nepamiršiu, jei tu to nusipelnei.
Skaidrios mėlynos akys žvelgė į vyriausiąjį vadą taip pat drąsiai, kaip ir į pulko vadą, tarsi savo išraiška nuplėštų konvenciškumo šydą, kuris iki šiol skyrė vyriausiąjį vadą nuo kareivio.
- Prašau jūsų vieno dalyko, jūsų Ekscelencija, - tarė jis skambiu, tvirtu, neskubiu balsu. „Prašau jūsų suteikti man galimybę atitaisyti savo kaltę ir įrodyti savo atsidavimą imperatoriui ir Rusijai.
Kutuzovas nusisuko. Jo veide nušvito ta pati šypsena, kaip ir tuo metu, kai jis nusisuko nuo kapitono Timokhino. Jis nusisuko ir susiraukė, tarsi norėdamas tuo išreikšti, kad viską, ką jam papasakojo Dolokhovas, ir viską, ką galėjo jam pasakyti, jis jau seniai žinojo, kad visa tai jam jau pabodo ir kad visa tai buvo visai ne tai, ko jam reikejo.. Jis apsisuko ir nuėjo link vežimo.
Pulkas susitvarkė kuopose ir patraukė į paskirtus butus netoli Braunau, kur tikėjosi apsiauti batus, apsirengti ir pailsėti po sunkių perėjimų.
- Ar tu man neapsimetinėji, Prochorai Ignatičiau? - tarė pulko vadas, apsukdamas 3-iąją kuopą, judančią tos vietos link ir privažiuodamas prie priešais einančio kapitono Timokhino. Pulko vado veide po laimingai išėjusios peržiūros išryškėjo nenumaldomas džiaugsmas. - Karališkoji tarnyba... tu negali... kitą kartą nukirsi priekyje... Aš pirmas atsiprašysiu, tu mane pažįsti... Labai ačiū! Ir ištiesė ranką vadui.
– Atleiskite, generole, ar aš drįstu! - atsakė kapitonas, paraudęs nosimi, šypsodamasis ir su šypsena atskleisdamas dviejų priekinių dantų trūkumą, išmuštą užpakaliu prie Izmaelio.
– Taip, pasakyk ponui Dolochovui, kad aš jo nepamiršiu, kad jis būtų ramus. Taip, sakyk man, aš vis norėdavau paklausti, kas jis toks, kaip jis elgiasi? Ir viskas...
„Jis yra labai paslaugus savo tarnyboje, jūsų Ekscelencija ... bet karachteris ...“, - sakė Timokhinas.
– O ką, koks personažas? – paklausė pulko vadas.
„Jis mano, jūsų Ekscelencija, kelias dienas“, – sakė kapitonas, – jis yra protingas, išsilavinęs ir malonus. Ir tai yra žvėris. Lenkijoje jis nužudė žydą, jei žinote...
- Na, taip, taip, - tarė pulko vadas, - vis tiek reikia gailėtis nelaimės ištikto jaunuolio. Juk puikūs ryšiai... Taigi jūs...
„Klausau, jūsų Ekscelencija“, – šypsodamasis pasakė Timokhinas, leidžiantis suprasti, kad jis supranta viršininko norus.
- Taip taip.
Pulko vadas rado Dolokhovą gretose ir suvaldė jo žirgą.
„Prieš pirmąjį atvejį, epaletai“, - pasakė jis.
Dolokhovas apsidairė, nieko nesakė ir nepakeitė pašaipiai besišypsančios burnos išraiškos.
- Na, gerai, - tęsė pulko vadas. „Žmonės iš manęs gauna stiklinę degtinės“, – pridūrė jis, kad kareiviai girdėtų. - Ačiū jums visiems! Ačiū Dievui! – O jis, aplenkęs kompaniją, privažiavo prie kitos.
„Na, jis tikrai geras žmogus; Galite tarnauti kartu su juo“, – pasakė Timokhino pavaldinys šalia einančiam pareigūnui.
- Vienu žodžiu, raudona!... (pulko vadas buvo pramintas raudonuoju karaliumi) - juokdamasis pasakė subaltonas.
Džiaugsmingos valdžios nuotaikos po peržiūros persidavė ir kariams. Rota linksminosi. Iš visų pusių šnekėjo kareivių balsai.
- Kaip jie sakė, Kutuzovas kreivai, apie vieną akį?
- Bet ne! Visiškai kreivai.
- Ne... broli, plačiau už tave. Batai ir apykaklės - viską apžiūrėjo ...
- Kaip jis, mano broli, žiūri į mano kojas... na! galvok…
– O kitas austras, buvo su juo, lyg kreida išteptas. Kaip miltai, balti. Aš arbata, kaip jie valo amuniciją!
- Ką, Fedeshow! ... jis pasakė, galbūt, kai pradėjo sargybinius, ar tu stovėjai arčiau? Jie viską pasakė, pats Bunapartas stovi Brunove.
- Bunapartas stovi! tu meluoji, kvaily! Ko nežino! Dabar prūsas sukilo. Todėl austras jį nuramina. Kai tik jis susitaikys, prasidės karas su Bounaparte. Ir tada, sako, Brunove stovi Bunapartas! Akivaizdu, kad jis idiotas. Tu klausyk daugiau.
„Žiūrėkite, prakeikti nuomininkai! Penkta kompanija, žiūrėk, jau sukasi į kaimą, išvirs košę, o mes vietos dar nepasieksime.
- Duok man krekerį, po velnių.
– Ar vakar davei tabako? Tai tiek, broli. Na, Dievas yra su tavimi.
- Jei tik jie sustotų, kitaip jūs nesuvalgysite dar penkių mylių propremo.
– Smagu, kaip vokiečiai mums padovanojo vežimėlius. Eik, žinok: tai svarbu!
– O čia, brolau, žmonės visiškai pašėlo. Ten viskas atrodė kaip lenkas, viskas buvo iš Rusijos karūnos; o dabar, brolau, solidus vokietis išvažiavo.
- Dainų autoriai pirmyn! - Išgirdau kapitono šauksmą.
Ir prieš kompaniją išbėgo dvidešimt žmonių iš įvairių gretų. Būgnininkas dainuoja atsisukęs veidu į dainų knygeles ir, mostelėjęs ranka, pradėjo ištemptą kareivišką dainą, prasidedančią: „Ar ne aušra, saulutė teka...“ ir baigiant žodžiais: „Tai , broliai, bus šlovė mums su tėvu Kamenskiu...“ Turkijoje ir dabar buvo dainuojama Austrijoje, tik su pakeitimu, kad vietoje „Kamensky tėvas“ buvo įterpti žodžiai: „Kutuzovo tėvas“.
Nuplėšęs šiuos paskutinius žodžius kaip kareivis ir mojuodamas rankomis, lyg ką nors svaidytų ant žemės, būgnininkas, maždaug keturiasdešimties metų sausas ir gražus kareivis, griežtai apsidairė į dainų autorius karius ir užsimerkė. Tada, įsitikinęs, kad visų akys buvo nukreiptos į jį, atrodė, kad atsargiai abiem rankomis pakėlė virš galvos kažkokį nematomą, brangų daiktą, keletą sekundžių taip laikė ir staiga beviltiškai metė:
O tu, mano baldakimu, mano baldakimu!
„Canopy my new...“ – pasigirdo dvidešimt balsų, ir šaukštininkas, nepaisydamas amunicijos sunkumo, žvaliai pašoko į priekį ir ėjo atgal prieš kuopą, judindamas pečiais ir kam nors grasindamas šaukštais. Kareiviai, siūbuodami rankomis pagal dainos taktą, ėjo erdviu žingsniu, nevalingai atsitrenkdami į koją. Už kompanijos pasigirdo ratų garsai, spyruoklių traškėjimas ir arklių trenksmas.
Kutuzovas su savo palyda grįžo į miestą. Vyriausiasis vadas davė ženklą, kad žmonės ir toliau turi vaikščioti laisvai, o jo veidas ir visi jo palydos veidai išreiškė malonumą skambant dainai, matant šokantį kareivį ir linksmus bei žvalius. žygiuojantys kuopos kariai. Antroje eilėje, iš dešiniojo flango, iš kurio karieta aplenkė kuopas, nevalingai patraukė mėlynakis kareivis Dolokhovas, kuris dainos ritmu ėjo ypač žvaliai ir grakščiai ir žiūrėjo į karių veidus. praeiviai su tokia išraiška, lyg gailėtų visų, kurie šiuo metu nevažiavo su kompanija. Husaro kornetas iš Kutuzovo palydos, mėgdžiodamas pulko vadą, atsiliko nuo vežimo ir nuvažiavo pas Dolokhovą.
Husaro kornetas Žerkovas kažkada Sankt Peterburge priklausė tai smurtaujančiai visuomenei, kuriai vadovavo Dolokhovas. Žerkovas susitiko su Dolokhovu užsienyje kaip kareiviu, tačiau nemanė, kad būtina jo pripažinti. Dabar, po Kutuzovo pokalbio su pažemintu, jis kreipėsi į jį su seno draugo džiaugsmu:
- Mielas drauge, kaip tu? - pasakė skambant dainai, sulygindamas savo žirgo žingsnį su kompanijos žingsniu.
- Aš esu kaip? - šaltai atsakė Dolokhovas, - kaip matote.
Gyva daina suteikė ypatingą svarbą įžūliam linksmumui, kuriuo kalbėjo Žerkovas, ir sąmoningam Dolokhovo atsakymų šaltumui.
– Taigi, kaip sutariate su valdžia? – paklausė Žerkovas.
Nieko, geri žmonės. Kaip patekote į būstinę?
– Komandiruotas, aš budiu.
Jie tylėjo.
„Išleidau sakalį iš dešinės rankovės“, – sakė daina, nevalingai sužadindama linksmą, linksmą jausmą. Jų pokalbis tikriausiai būtų buvęs kitoks, jei jie nebūtų kalbėję skambant dainai.
– Kas tiesa, austrai buvo sumušti? – paklausė Dolokhovas.
„Velnias žino, sako jie.
„Džiaugiuosi“, - trumpai ir aiškiai atsakė Dolokhovas, kaip to reikalavo daina.
- Na, ateik pas mus, kai vakare faraonas duos lombardą, - pasakė Žerkovas.
O gal turi daug pinigų?
- Ateiti.
- Tai uždrausta. Jis davė įžadą. Aš negeriu ir nežaidžiu, kol to nepadariau.
Na, prieš pirmą dalyką...
- Ten pamatysi.
Jie vėl tylėjo.
„Ateikite, jei jums ko nors prireiks, visi būstinėje padės...“ – pasakė Žerkovas.
Dolokhovas nusijuokė.
„Geriau nesijaudink. Ko man reikia, neklausiu, pats pasiimsiu.
„Taip, aš taip...
- Na, aš irgi.
- Viso gero.
- Būk sveikas…
... ir aukštai ir toli,
Namų pusėje...
Žerkovas spurtais palietė žirgą, kuris tris kartus susijaudinęs, spardydamasis, nežinodamas nuo ko pradėti, susitvarkė ir šuoliavo, aplenkdamas kompaniją ir pasivijęs vežimą, taip pat laiku su daina.

Grįžęs iš peržiūros, Kutuzovas, lydimas austrų generolo, nuėjo į savo kabinetą ir, paskambinęs adjutantui, įsakė duoti sau keletą dokumentų, susijusių su atvykstančių karių būkle, ir laiškus, gautus iš erchercogo Ferdinando, vadovavusio priešakinei armijai. . Princas Andrejus Bolkonskis su reikiamais dokumentais įėjo į vyriausiojo vado kabinetą. Priešais ant stalo padėtą ​​planą sėdėjo Kutuzovas ir Hofkriegsrat narys austras.
- Ak...
„Aš sakau tik vieną dalyką, generole“, – malonia išraiškos ir intonacijos elegancija pasakė Kutuzovas, priversdamas klausytis kiekvieno neskubiai ištarto žodžio. Buvo akivaizdu, kad Kutuzovas su malonumu klausėsi savęs. - Sakau tik viena, generole, kad jei reikalas priklausytų nuo mano asmeninio troškimo, tai Jo Didenybės imperatoriaus Franzo valia jau seniai būtų išsipildžiusi. Seniai būčiau prisijungęs prie erchercogo. Ir patikėk mano garbe, kad man pačiam aukštesnį vadovavimą kariuomenei labiau už mane perduoti išmanančiam ir sumaniam generolui, kaip Austrijoje, yra labai daug, ir visą šią sunkią atsakomybę už mane asmeniškai būtų malonu. . Bet aplinkybės stipresnės už mus, generole.
Ir Kutuzovas nusišypsojo tokia išraiška, tarsi sakytų: „Tu turi pilną teisę manimi netikėti, ir net man nesvarbu, tiki manimi, ar ne, bet tu neturi jokios priežasties man tai sakyti. Ir tai yra visa esmė“.
Austrijos generolas atrodė nepatenkintas, bet negalėjo atsakyti Kutuzovui tuo pačiu tonu.
- Priešingai, - tarė jis niūriu ir piktu tonu, taip priešingai glostančiajai ištartų žodžių reikšmei, - priešingai, Jūsų Ekscelencijos dalyvavimas bendrame reikale yra labai vertinamas Jo Didenybės; bet mes manome, kad tikras sulėtėjimas atima iš šlovingosios Rusijos kariuomenės ir jų vadų tuos laurus, kuriuos jie yra įpratę skinti mūšyje “, - baigė jis, matyt, paruoštą frazę.
Kutuzovas nusilenkė nepakeitęs šypsenos.
- Ir aš esu toks įsitikinęs ir, remdamasis paskutiniu laišku, kuriuo mane pagerbė Jo Didenybė Erchercogas Ferdinandas, darau prielaidą, kad Austrijos kariuomenė, vadovaujama tokiam kvalifikuotam padėjėjui kaip generolas Mackas, jau iškovojo lemiamą pergalę ir jau nebe. reikia mūsų pagalbos, – sakė Kutuzovas.
Generolas susiraukė. Nors teigiamų žinių apie austrų pralaimėjimą nebuvo, buvo per daug aplinkybių, patvirtinančių visuotinius nepalankius gandus; ir todėl Kutuzovo prielaida apie austrų pergalę buvo labai panaši į pasityčiojimą. Tačiau Kutuzovas nuolankiai nusišypsojo, vis dar su ta pačia išraiška, kuri sakė, kad turi teisę tai manyti. Iš tiesų paskutinis laiškas, kurį jis gavo iš Macko armijos, informavo apie pergalę ir naudingiausią strateginę kariuomenės poziciją.
„Duok man čia šį laišką“, – tarė Kutuzovas, atsisukęs į princą Andrejų. - Štai tu, jei nori tai pamatyti. - O Kutuzovas, su pašaipa šypsena lūpų galuose, perskaitė tokią ištrauką iš erchercogo Ferdinando laiško iš Vokietijos ir Austrijos generolo: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue verelliten, serewolliten, serewolliten. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er [Turime visiškai sutelktas pajėgas, apie 70 000 žmonių, kad galėtume pulti ir nugalėti priešą, jei jis kirs Lechą. Kadangi mums jau priklauso Ulmas, galime išlaikyti pranašumą vadovauti abiem Dunojaus krantams, todėl kiekvieną minutę, jei priešas neperžengia Lecho, kirsti Dunojų, skubėti į savo ryšio liniją, kirsti Dunojų žemiau ir priešas. , jei jis nuspręstų visas jėgas nukreipti į mūsų ištikimus sąjungininkus, kad jo ketinimas neišsipildytų. Taigi linksmai lauksime to laiko, kai imperinė Rusijos kariuomenė bus visiškai pasirengusi, o tada kartu nesunkiai rasime progą paruošti priešą tokiam likimui, kokio jis nusipelno.

Linijinis (vektorius) erdvė – tai savavališkų elementų, vadinamų vektoriais, aibė V, kurioje apibrėžtos vektorių sudėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos, t.y. bet kuriems dviem vektoriams \mathbf(u) ir (\mathbf(v)) priskiriamas vektorius \mathbf(u)+\mathbf(v), vadinamas vektorių \mathbf(u) ir (\mathbf(v)) suma, bet kuriam vektoriui (\mathbf(v)) ir bet kuriam skaičiui \lambda iš realiųjų skaičių lauko \mathbb(R) priskiriamas vektorius \lambda \mathbf(v), vadinamas vektoriaus \mathbf(v) ir skaičiaus \lambda sandauga; taigi tenkinamos šios sąlygos:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(sudėties komutaciškumas);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(pridėjimo asociatyvumas);
3. V yra elementas \mathbf(o)\, vadinamas nuliniu vektoriumi, kad \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. kiekvienam vektoriui (\mathbf(v)) yra vektorius , vadinamas vektoriaus \mathbf(v) priešingumu, kad \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ \mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Vadinamos 1-8 sąlygos tiesinės erdvės aksiomos. Lygybės ženklas, įdėtas tarp vektorių, reiškia, kad tas pats aibės V elementas pateikiamas kairėje ir dešinėje lygybės dalyse, tokie vektoriai vadinami lygiais.

Tiesinės erdvės apibrėžime realiesiems skaičiams įvedama vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacija. Tokia erdvė vadinama tiesinė erdvė virš realiųjų (realiųjų) skaičių lauko arba trumpai tariant, tikroji linijinė erdvė. Jei apibrėžime vietoj realiųjų skaičių lauko \mathbb(R) imame kompleksinių skaičių lauką \mathbb(C), tada gauname tiesinė erdvė kompleksinių skaičių lauke arba trumpai tariant, sudėtinga linijinė erdvė. Racionaliųjų skaičių lauką \mathbb(Q) taip pat galima pasirinkti kaip skaičių lauką, ir tokiu atveju gauname tiesinę erdvę virš racionaliųjų skaičių lauko. Toliau, jei nenurodyta kitaip, bus nagrinėjamos tikrosios tiesinės erdvės. Kai kuriais atvejais trumpumo dėlei kalbėsime apie erdvę, praleidžiant žodį linijinis, nes visos toliau nurodytos erdvės yra linijinės.

Pastabos 8.1

1. 1-4 aksiomos rodo, kad tiesinė erdvė yra komutacinė grupė sudėjimo operacijos atžvilgiu.

2. 5 ir 6 aksiomos nustato vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos skirstinį vektorių sumavimo operacijos (5 aksioma) arba skaičių sumavimo operacijos (6 aksioma) atžvilgiu. 7 aksioma, kartais vadinama daugybos iš skaičiaus asociatyvumo dėsniu, išreiškia ryšį tarp dviejų skirtingų operacijų: vektoriaus dauginimo iš skaičiaus ir skaičių daugybos. 8 aksiomos apibrėžta savybė vadinama vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos vienetu.

3. Tiesinė erdvė yra netuščia aibė, nes joje būtinai yra nulinis vektorius.

4. Vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos vadinamos tiesinėmis vektoriaus operacijomis.

5. Vektorių \mathbf(u) ir \mathbf(v) skirtumas yra vektoriaus \mathbf(u) su priešingu vektoriumi (-\mathbf(v)) suma ir žymimas: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Du nuliniai vektoriai \mathbf(u) ir \mathbf(v) vadinami kolineariniais (proporciniais), jei yra skaičius \lambda, kad \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Kolinearumo sąvoka apima bet kokį baigtinį vektorių skaičių. Nulinis vektorius \mathbf(o) laikomas kolineariniu su bet kokiu vektoriumi.

Tiesinės erdvės aksiomų pasekmės

1. Tiesinėje erdvėje yra unikalus nulio vektorius.

2. Tiesinėje erdvėje bet kuriam vektoriui \mathbf(v)\in V yra unikalus priešingas vektorius (-\mathbf(v))\in V.

3. Savavališko erdvės vektoriaus ir skaičiaus nulio sandauga lygi nulio vektoriui, t.y. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Nulinio vektoriaus sandauga iš bet kurio skaičiaus yra lygi nuliui vektoriui, ty bet kuriam skaičiui \lambda .

5. Šiam vektoriui priešingas vektorius lygus šio vektoriaus sandaugai iš skaičiaus (-1), t.y. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. Tokiomis išraiškomis kaip \mathbf(a+b+\ldots+z)(baigtinio skaičiaus vektorių suma) arba \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(vektoriaus sandauga iš baigtinio faktorių skaičiaus) galite dėti skliaustus bet kokia tvarka arba iš viso nedėti.

Įrodykime, pavyzdžiui, pirmąsias dvi savybes. Nulinio vektoriaus unikalumas. Jei \mathbf(o) ir \mathbf(o)" yra du nuliniai vektoriai, tai pagal 3 aksiomą gauname dvi lygybes: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" arba \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), kurio kairiosios dalys lygios pagal aksiomą 1. Todėl ir dešiniosios dalys yra lygios, t.y. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Priešingo vektoriaus unikalumas. Jei vektorius \mathbf(v)\in V turi du priešingus vektorius (-\mathbf(v)) ir (-\mathbf(v))" , tai pagal aksiomas 2, 3,4 gauname jų lygybę:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrice(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Likusios savybės įrodytos panašiai.

Linijinių erdvių pavyzdžiai

1. Pažymėkite \(\mathbf(o)\) – aibę, kurioje yra vienas nulinis vektorius, su operacijomis \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) ir \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Šioms operacijoms tenkinamos 1-8 aksiomos. Todėl aibė \(\mathbf(o)\) yra tiesinė erdvė virš bet kurio skaičiaus lauko. Ši tiesinė erdvė vadinama nuline.

2. Pažymėkite V_1,\,V_2,\,V_3 - vektorių aibes (nukreiptus atkarpas) tiesėje, plokštumoje, erdvėje atitinkamai su įprastomis vektorių sudėjimo ir vektorių dauginimo iš skaičiaus operacijomis. Tiesinės erdvės 1-8 aksiomų išsipildymas išplaukia iš elementarios geometrijos eigos. Todėl aibės V_1,\,V_2,\,V_3 yra tikros tiesinės erdvės. Vietoj laisvųjų vektorių galime svarstyti atitinkamas spindulio vektorių aibes. Pavyzdžiui, aibė vektorių plokštumoje, kurie turi bendrą pradžią, t.y. atleistas iš vieno fiksuoto plokštumos taško, yra tikra tiesinė erdvė. Vienetinio ilgio spindulio vektorių aibė nesudaro tiesinės erdvės, nes bet kurio iš šių vektorių suma \mathbf(v)+\mathbf(v) nepriklauso aptariamai aibei.

3. Pažymėkite \mathbb(R)^n - n\times1 dydžio matricos stulpelių aibę su matricos sudėjimo ir matricos daugybos iš skaičiaus operacijomis. Šiai aibei tenkinamos tiesinės erdvės aksiomos 1-8. Nulinis vektorius šiame rinkinyje yra nulinis stulpelis o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Todėl aibė \mathbb(R)^n yra tikroji tiesinė erdvė. Panašiai n\times1 dydžio stulpelių su sudėtingais įrašais rinkinys \mathbb(C)^n yra sudėtinga tiesinė erdvė. Stulpelių matricų rinkinys su neneigiamais realiaisiais elementais, priešingai, nėra tiesinė erdvė, nes joje nėra priešingų vektorių.

4. Pažymėkite \(Ax=o\) - tiesinių algebrinių lygčių su ir nežinomaisiais vienalytės sistemos Ax=o sprendinių aibę (kur A yra tikroji sistemos matrica), laikomą n dydžio stulpelių rinkiniu. \times1 su matricos sudėties ir matricos daugybos iš skaičiaus operacijomis. Atminkite, kad šios operacijos iš tikrųjų yra apibrėžtos aibėje \(Ax=o\) . Vienalytės sistemos sprendinių 1 savybė (žr. 5.5 skyrių) reiškia, kad dviejų homogeninės sistemos sprendinių suma ir jos sprendimo sandauga iš skaičiaus taip pat yra vienalytės sistemos sprendiniai, t.y. priklauso aibei \(Ax=o\) . Stulpelių tiesinės erdvės aksiomos tenkinamos (žr. tiesinių erdvių pavyzdžių 3 punktą). Todėl vienalytės sistemos sprendinių aibė yra reali tiesinė erdvė.

Nehomogeninės sistemos Ax=b,~b\ne o sprendinių aibė \(Ax=b\), priešingai, nėra tiesinė erdvė, jau vien todėl, kad joje nėra nulinio elemento (x=o yra nėra nehomogeninės sistemos sprendimas).

5. Pažymėkite M_(m\times n) - matricų, kurių dydis m\kartai n, aibę su matricos sudėjimo ir matricos daugybos iš skaičiaus operacijomis. Šiai aibei tenkinamos tiesinės erdvės aksiomos 1-8. Nulinis vektorius yra atitinkamų matmenų nulinė matrica O. Todėl aibė M_(m\times n) yra tiesinė erdvė.

6. Pažymėkite P(\mathbb(C)) - daugianario aibę viename kintamajame su kompleksiniais koeficientais. Daugelio narių pridėjimo ir polinomo dauginimo iš skaičiaus, laikomo nulinio laipsnio polinomu, operacijos yra apibrėžtos ir atitinka 1–8 aksiomas (ypač nulinis vektorius yra polinomas, identiškai lygus nuliui). Todėl aibė P(\mathbb(C)) yra tiesinė erdvė kompleksinių skaičių lauke. Polinomų su realiaisiais koeficientais aibė P(\mathbb(R)) taip pat yra tiesinė erdvė (bet, žinoma, virš realiųjų skaičių lauko). Daugiausiai n laipsnio polinomų su realiaisiais koeficientais aibė P_n(\mathbb(R)) taip pat yra tikroji tiesinė erdvė. Atkreipkite dėmesį, kad šioje aibėje yra apibrėžta daugelio terminų sudėjimo operacija, nes daugianario sumos laipsnis neviršija suminių laipsnių.

N laipsnio daugianario aibė nėra tiesinė erdvė, nes tokių daugianarių suma gali pasirodyti esanti žemesnio laipsnio daugianario, kuris nepriklauso nagrinėjamai aibei. Visų ne daugiau kaip n laipsnio daugianarių aibė su teigiamais koeficientais taip pat nėra tiesinė erdvė, nes padauginus tokį daugianarį iš neigiamo skaičiaus, gauname šiai aibei nepriklausantį daugianarį.

7. Pažymėkite C(\mathbb(R)) – realių funkcijų aibę, apibrėžtą ir ištisinę \mathbb(R) . Funkcijų f,g suma (f+g) ir funkcijos f sandauga \lambda f ir realusis skaičius \lambda apibrėžiami lygybėmis:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) visiems x\in \mathbb(R)

Šios operacijos iš tikrųjų yra apibrėžtos C(\mathbb(R)) , nes tolydinių funkcijų suma ir tolydžios funkcijos sandauga iš skaičiaus yra tolydžios funkcijos, t.y. C(\mathbb(R)) elementai. Patikrinkime tiesinės erdvės aksiomų išsipildymą. Realiųjų skaičių sudėjimo komutaciškumas reiškia lygybės galiojimą f(x)+g(x)=g(x)+f(x) bet kuriam x\in \mathbb(R) . Todėl f+g=g+f , t.y. 1 aksioma yra patenkinta. 2 aksioma panašiai išplaukia iš sudėjimo asociatyvumo. Nulinis vektorius yra funkcija o(x) , identiškai lygi nuliui, kuri, žinoma, yra tolydi. Bet kuriai funkcijai f lygybė f(x)+o(x)=f(x) yra teisinga, t.y. Galioja aksioma 3. Priešingas vektorius f vektoriui bus funkcija (-f)(x)=-f(x) . Tada f+(-f)=o (galioja 4 aksioma). 5, 6 aksiomos išplaukia iš realiųjų skaičių sudėties ir daugybos operacijų skirstymo, o 7 aksioma – iš skaičių daugybos asociatyvumo. Paskutinė aksioma galioja, nes dauginant iš vieneto funkcija nekeičiama: 1\cdot f(x)=f(x) bet kokiam x\in \mathbb(R) , t.y. 1\cdot f=f . Taigi nagrinėjama aibė C(\mathbb(R)) su įvestomis operacijomis yra reali tiesinė erdvė. Panašiai įrodyta, kad C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- funkcijų rinkiniai, turintys ištisines pirmosios, antrosios ir kt. orderiai, atitinkamai, taip pat yra tiesinės erdvės.

Pažymėkite - trigonometrinių dvinarių aibę (dažnai \omega\ne0 ) su realiaisiais koeficientais, t.y. formos funkcijų rinkinys f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, kur a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Tokių dvejetainių skaičių suma ir dvinario sandauga su realiuoju skaičiumi yra trigonometrinis dvinaris. Tiesinės erdvės aksiomos galioja nagrinėjamai aibei (nes T_(\omega)(\mathbb(R))\pogrupis C(\mathbb(R))). Todėl rinkinys T_(\omega)(\mathbb(R)) su funkcijoms įprastomis sudėties ir daugybos operacijomis yra tikra tiesinė erdvė. Nulinis elementas yra dvinaris o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, identiškai lygus nuliui.

Realių funkcijų rinkinys, apibrėžtas ir monotoniškas \mathbb(R), nėra tiesinė erdvė, nes dviejų monotoniškų funkcijų skirtumas gali pasirodyti nemonotoniška funkcija.

8. Pažymėkite \mathbb(R)^X – realiųjų funkcijų rinkinį, apibrėžtą aibėje X , su operacijomis:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Tai tikra tiesinė erdvė (įrodymas toks pat kaip ir ankstesniame pavyzdyje). Šiuo atveju aibę X galima pasirinkti savavališkai. Visų pirma, jei X=\(1,2,\ltaškai,n\), tada f(X) yra sutvarkyta skaičių aibė f_1,f_2,\ldots,f_n, kur f_i=f(i),~i=1,\ltaškai,n Tokį aibę galima laikyti n\times1 matmenų stulpelių matrica, t.y. daug \mathbb(R)^(\(1,2,\ltaškai,n\)) sutampa su aibe \mathbb(R)^n (tiesinių erdvių pavyzdžius žr. 3 punkte). Jei X=\mathbb(N) (prisiminkime, kad \mathbb(N) yra natūraliųjų skaičių aibė), tada gauname tiesinę erdvę \mathbb(R)^(\mathbb(N))- skaitinių sekų rinkinys \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Visų pirma, konvergencinių skaičių aibė taip pat sudaro tiesinę erdvę, nes dviejų konvergencinių sekų suma susilieja, o padauginus visus konvergentinės sekos narius iš skaičiaus, gauname konvergencinę seką. Priešingai, besiskiriančių sekų rinkinys nėra tiesinė erdvė, nes, pavyzdžiui, skirtingų sekų suma gali turėti ribą.

9. Pažymėkite \mathbb(R)^(+) – teigiamų realiųjų skaičių aibę, kurioje suma a\oplus b ir sandauga \lambda\ast a (žymėjimas šiame pavyzdyje skiriasi nuo įprastų) yra apibrėžtas lygybės: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), kitaip tariant, elementų suma suprantama kaip skaičių sandauga, o elemento dauginimas iš skaičiaus – kaip eksponencija. Abi operacijos iš tikrųjų yra apibrėžtos aibėje \mathbb(R)^(+), nes teigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius, o bet kuri tikroji teigiamo skaičiaus galia yra teigiamas skaičius. Patikrinkime aksiomų pagrįstumą. Lygybė

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

parodykite, kad tenkinamos 1 ir 2 aksiomos. Šios aibės nulinis vektorius yra vienas, nes a\oplus1=a\cdot1=a, t.y. o=1. A priešingybė yra \frac(1)(a), kuri apibrėžiama kaip a\ne o . Iš tikrųjų, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Patikrinkime 5, 6, 7, 8 aksiomų išsipildymą:

\begin(surinkta) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(surinkta)

Visos aksiomos išsipildo. Todėl nagrinėjamas rinkinys yra tikra tiesinė erdvė.

10. Tegul V yra tikroji tiesinė erdvė. Apsvarstykite tiesinių skaliarinių funkcijų rinkinį, apibrėžtą V, t.y. funkcijas f\dvitaškis V\į \mathbb(R), atsižvelgiant į tikrąsias vertybes ir tenkinant sąlygas:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \visiems u,v\in V(adityvumas);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(homogeniškumas).

Tiesinės operacijos su tiesinėmis funkcijomis apibrėžiamos taip pat, kaip ir tiesinių erdvių pavyzdžių 8 punkte. Suma f+g ir sandauga \lambda\cdot f apibrėžiami lygybėmis:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Tiesinės erdvės aksiomų įvykdymas patvirtinamas taip pat, kaip ir 8 punkte. Todėl tiesinėje erdvėje V apibrėžtų tiesinių funkcijų rinkinys yra tiesinė erdvė. Ši erdvė vadinama dviguba erdvei V ir žymima V^(\ast) . Jo elementai vadinami kovektoriais.

Pavyzdžiui, n kintamųjų tiesinių formų rinkinys, laikomas vektoriaus argumento skaliarinių funkcijų rinkiniu, yra tiesinė erdvė, dviguba erdvei \mathbb(R)^n .

Jei pastebėjote klaidą, rašybos klaidą ar turite pasiūlymų, rašykite komentaruose.

Atitinkančią tokią vektorinę erdvę. Kai kurie autoriai tapatina Euklido ir iki Hilberto erdvę. Šiame straipsnyje pirmasis apibrėžimas bus laikomas pradiniu.

N (\displaystyle n)-dažniausiai žymima dimensinė Euklido erdvė E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); žymėjimas taip pat dažnai naudojamas, kai iš konteksto aišku, kad erdvė aprūpinta natūralia euklido struktūra.

Formalus apibrėžimas

Norint apibrėžti euklido erdvę, lengviausia ją laikyti pagrindine taško sandaugos koncepcija. Euklidinė vektorinė erdvė apibrėžiama kaip baigtinių matmenų vektorinė erdvė, esanti virš realiųjų skaičių lauko, kurios vektorių porose yra duota tikrosios reikšmės funkcija (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot)) su šiomis trimis savybėmis:

Euklido erdvės pavyzdys – koordinačių erdvė R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) susidedantis iš visų galimų realiųjų skaičių aibių (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skaliarinė sandauga, kurioje nustatoma pagal formulę (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Ilgiai ir kampai

Euklido erdvėje pateiktos skaliarinės sandaugos pakanka, kad būtų galima įvesti geometrines ilgio ir kampo sąvokas. Vektoriaus ilgis u (\displaystyle u) apibrėžtas kaip (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) ir žymimas | u | . (\displaystyle |u|.) Teigiamas vidinio sandaugos apibrėžtumas garantuoja, kad nulinio vektoriaus ilgis nėra lygus nuliui, o iš dvitiesiškumo išplaukia, kad | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) tai yra proporcingų vektorių ilgiai yra proporcingi.

Kampas tarp vektorių u (\displaystyle u) ir v (\displaystyle v) nustatoma pagal formulę φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Iš kosinuso teoremos išplaukia, kad dvimatėje Euklido erdvėje ( euklido plokštuma) šis kampo apibrėžimas sutampa su įprastu. Stačiakampiai vektoriai, kaip ir trimatėje erdvėje, gali būti apibrėžti kaip vektoriai, kurių kampas lygus π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz nelygybė ir trikampio nelygybė

Aukščiau pateiktame kampo apibrėžime liko viena spraga: tam, kad arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) buvo apibrėžta, būtina, kad nelygybė | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Ši nelygybė iš tikrųjų galioja savavališkoje Euklido erdvėje, ji vadinama Koši-Buniakovskio-Švarco nelygybe. Ši nelygybė savo ruožtu reiškia trikampio nelygybę: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Trikampio nelygybė kartu su aukščiau išvardytomis ilgio savybėmis reiškia, kad vektoriaus ilgis yra norma Euklido vektorių erdvėje, o funkcija d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) apibrėžia metrinės erdvės struktūrą Euklido erdvėje (ši funkcija vadinama euklidine metrika). Visų pirma, atstumas tarp elementų (taškų) x (\displaystyle x) ir y (\displaystyle y) koordinačių erdvė R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) pateikta pagal formulę d (x, y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebrinės savybės

Ortonormalūs pagrindai

Dvi erdvės ir operatoriai

Bet koks vektorius x (\displaystyle x) Euklido erdvė apibrėžia linijinę funkciją x ∗ (\displaystyle x^(*))šioje erdvėje, apibrėžta kaip x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Šis palyginimas yra izomorfizmas tarp Euklido erdvės ir jos dvigubos erdvės ir leidžia jas identifikuoti nepažeidžiant skaičiavimų. Visų pirma galima laikyti, kad adjunktiniai operatoriai veikia pirminę erdvę, o ne jos dvigubą, o savaiminiai adjunktiniai operatoriai gali būti apibrėžiami kaip operatoriai, sutampantys su jų adjunktiniais. Ortonormaliu pagrindu adjungtinio operatoriaus matrica perkeliama į pradinio operatoriaus matricą, o savaiminio susijungimo operatoriaus matrica yra simetriška.

Euklido erdvės judesiai

Euklido erdvės judesiai yra metrinę išsaugančios transformacijos (dar vadinamos izometrijomis). Judėjimo pavyzdys – lygiagretusis vertimas į vektorių v (\displaystyle v), kuris išverčia esmę p (\displaystyle p) tiksliai p+v (\displaystyle p+v). Nesunku suprasti, kad bet koks judesys yra paralelinio vertimo ir transformacijos kompozicija, kuri išlaiko vieną tašką. Pasirinkus fiksuotą tašką kaip pradžią, bet koks toks judėjimas gali būti laikomas

6 paskaita. Vektorinė erdvė.

Pagrindiniai klausimai.

1. Vektorinė tiesinė erdvė.

2. Erdvės pagrindas ir matmenys.

3. Erdvės orientacija.

4. Vektoriaus išskaidymas pagal pagrindą.

5. Vektorinės koordinatės.

1. Vektorinė tiesinė erdvė.

Aibė, susidedanti iš bet kokio pobūdžio elementų, kurioje apibrėžiamos tiesinės operacijos: dviejų elementų sudėjimas ir elemento dauginimas iš skaičiaus erdvės, o jų elementai yra vektoriaiši erdvė ir geometrijoje žymimi taip pat kaip vektoriniai dydžiai: . Vektoriai tokios abstrakčios erdvės, kaip taisyklė, neturi nieko bendra su įprastais geometriniais vektoriais. Abstrakčių erdvių elementais gali būti funkcijos, skaičių sistema, matricos ir pan., o konkrečiu atveju – įprasti vektoriai. Todėl tokios erdvės vadinamos vektorinės erdvės .

Vektorinės erdvės yra pavyzdžiui, kolinearinių vektorių rinkinys, žymimas V1 , koplanarinių vektorių aibė V2 , eilinių (realios erdvės) vektorių rinkinys V3 .

Šiuo konkrečiu atveju galime pateikti tokį vektorinės erdvės apibrėžimą.

1 apibrėžimas. Vektorių aibė vadinama vektorinė erdvė, jei bet kurių aibės vektorių tiesinė kombinacija yra ir šios aibės vektorius. Patys vektoriai vadinami elementai vektorinė erdvė.

Tiek teoriškai, tiek taikant svarbesnė yra bendroji (abstrakčioji) vektorinės erdvės samprata.

2 apibrėžimas. Daug R elementai , kuriuose apibrėžiama bet kurių dviejų elementų suma ir bet kuriam elementui https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> vektorius(arba linijinis) erdvė, o jo elementai yra vektoriai, jei vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos tenkina šias sąlygas ( aksiomos) :

1) pridėjimas yra keičiamas, ty.gif" width="184" height="25">;

3) yra toks elementas (nulio vektorius), kad bet kuriam https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) bet kokiems vektoriams ir bet kuriam skaičiui λ galioja lygybė;

6) bet kokiems vektoriams ir bet kokiems skaičiams λ ir µ lygybė galioja https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> ir bet kokie skaičiai λ ir µ šviesus ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Iš aksiomų, apibrėžiančių vektorinę erdvę, seka paprasčiausias pasekmes :

1. Vektorinėje erdvėje yra tik vienas nulis – elementas – nulinis vektorius.

2. Vektorinėje erdvėje kiekvienas vektorius turi unikalų priešingą vektorių.

3. Kiekvieno elemento lygybė įvykdyta.

4. Bet kuriam realiam skaičiui λ ir nulinis vektorius https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> yra vektorius, atitinkantis lygybę https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Taigi iš tikrųjų visų geometrinių vektorių aibė taip pat yra tiesinė (vektorinė) erdvė, nes šios aibės elementams apibrėžiami sudėjimo ir daugybos iš skaičiaus veiksmai, kurie tenkina suformuluotas aksiomas.

2. Erdvės pagrindas ir matmenys.

Esminės vektorinės erdvės sąvokos yra pagrindo ir dimensijos sąvokos.

Apibrėžimas. Tam tikra tvarka paimtų tiesiškai nepriklausomų vektorių aibė, per kurią tiesiškai išreiškiamas bet kuris erdvės vektorius, vadinamas pagrinduši erdvė. Vektoriai. Erdvės, kurios sudaro pagrindą, vadinamos pagrindinis .

Vektorių aibės, esančios savavališkoje tiesėje, pagrindu galima laikyti vieną kolinearį šiam tiesės vektoriui .

Pagrindas lėktuve pavadinkime du nekolinearinius vektorius šioje plokštumoje, paimtus tam tikra tvarka https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Jei baziniai vektoriai yra poromis statmeni (stačiakampiai), vadinasi, pagrindas stačiakampis, o jei šių vektorių ilgis lygus vienetui, vadinasi pagrindas ortonormalus .

Didžiausias tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius erdvėje vadinamas matmuoši erdvė, t.y., erdvės matmuo sutampa su šios erdvės bazinių vektorių skaičiumi.

Taigi, pagal šiuos apibrėžimus:

1. Vienmatė erdvė V1 yra tiesi linija, o pagrindas susideda iš vienas kolinearinis vektorius https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Paprastoji erdvė yra trimatė erdvė V3 , kurio pagrindas susideda iš trys nelygios vektoriai .

Iš čia matome, kad bazinių vektorių skaičius tiesėje, plokštumoje, realioje erdvėje sutampa su tuo, kas geometrijoje paprastai vadinama tiesės, plokštumos, erdvės matmenų (matmenų) skaičiumi. Todėl natūralu įvesti bendresnį apibrėžimą.

Apibrėžimas. vektorinė erdvė R paskambino n- matmenų, jei jame yra daugiausia n tiesiškai nepriklausomi vektoriai ir yra žymimas R n. Skaičius n paskambino matmuo erdvė.

Pagal erdvės matmenis skirstomi į baigtinių matmenų ir begalinio matmens. Nulinės erdvės matmuo pagal apibrėžimą laikomas nuliu.

1 pastaba. Kiekvienoje erdvėje galite nurodyti tiek bazių, kiek norite, tačiau visos šios erdvės bazės susideda iš vienodo skaičiaus vektorių.

2 pastaba. AT n- matmenų vektoriaus erdvėje pagrindas yra bet kokia sutvarkyta kolekcija n tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

3. Erdvės orientacija.

Tegul baziniai vektoriai erdvėje V3 turėti bendra pradžia ir užsakyta, t.y., nurodoma, kuris vektorius laikomas pirmuoju, kuris - antruoju, o kuris - trečiuoju. Pavyzdžiui, bazėje vektoriai išdėstomi pagal indeksavimą.

Dėl norint orientuoti erdvę, būtina nustatyti tam tikrą pagrindą ir paskelbti jį teigiamu .

Galima parodyti, kad visų erdvės bazių aibė patenka į dvi klases, tai yra į du nesikertančius poaibius.

a) turi visi vienam poaibiui (klasei) priklausantys pagrindai tas pats orientacija (to paties pavadinimo bazės);

b) bet kurios dvi bazės, priklausančios įvairių poaibius (klases), turi priešingas orientacija, ( skirtingi vardai pagrindai).

Jei viena iš dviejų tarpo bazių klasių yra teigiama, o kita – neigiama, tada sakome, kad ši erdvė orientuotas .

Dažnai, orientuojantis į erdvę, vadinami kokie nors pagrindai teisingai, o kiti yra kairiųjų .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> skambinama teisingai, jei stebint nuo trečiojo vektoriaus pabaigos trumpiausias pirmojo vektoriaus pasukimas https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> yra vykdomas prieš laikrodžio rodyklę(1.8 pav., a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ryžiai. 1.8. Dešinysis pagrindas (a) ir kairysis (b)

Paprastai teisingas erdvės pagrindas skelbiamas kaip teigiamas pagrindas

Dešinysis (kairysis) erdvės pagrindas taip pat gali būti nustatytas naudojant „dešinio“ („kairiojo“) varžto ar įvorės taisyklę.

Analogiškai su šia, dešinės ir kairės sąvoka trynukai nekomplementarūs vektoriai, kurie turi būti išdėstyti (1.8 pav.).

Taigi, bendruoju atveju du sutvarkyti ne vienaplanių vektorių trigubai erdvėje turi tą pačią orientaciją (turi tą patį pavadinimą) V3 jei jie abu yra dešinieji arba abu kairieji, ir - priešingos orientacijos (priešingos), jei viena iš jų yra dešinė, o kita - kairė.

Tas pats daroma ir erdvės atveju V2 (lėktuvai).

4. Vektoriaus išskaidymas pagal pagrindą.

Kad būtų lengviau samprotauti, šį klausimą nagrinėsime naudodamiesi trimatės vektorinės erdvės pavyzdžiu R3 .

Tegul https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> yra savavališkas šios erdvės vektorius.