Apibrėžimas 1. Cilindrinis paviršius vadinamas lygiagrečių linijų suformuotu paviršiumi, vadinamas jo generuojantys .

Jei kuri nors plokštuma, kuri kerta visus generuojančius cilindrinius paviršius, kerta ją išilgai linijos R, tada ši eilutė vadinama vadovas šis cilindrinis paviršius.

Teorema . Jeigu erdvėje įvesta Dekarto koordinačių sistema, o plokštumoje – lygtis sveikas yra kokios nors tiesės lygtis R, tada ši lygtis erdvėje yra cilindrinio paviršiaus lygtis L su pagalbine linija R, o generatoriai yra lygiagrečiai ašiai Ozas(3.19 pav., a).

Įrodymas. Taškas
guli ant cilindrinio paviršiaus L jei ir tik tada, kai projekcija
taškų Mį lėktuvą sveikas lygiagrečiai ašiai Ozas guli ant linijos R, t.y. jei ir tik jei lygtis
.

Panašios išvados galioja ir formos lygtims
(3.19 pav., b) ir
(3.19 pav., c).

Apibrėžimas 2 . Vadinami cilindriniai paviršiai, kurių kreiptuvai yra antros eilės linijos antros eilės cilindriniai paviršiai .

Yra trijų tipų antros eilės cilindrai: elipsės formos (3.20 pav.)

, (5.42)

hiperbolinis (3.21 pav.)

, (5.43)

parabolinis (3.22 pav.)

. (5.44)

Ryžiai. 3.20 pav. 3.21 pav. 3.22

Cilindrų, pateiktų pagal (5.42), (5.43) ir (5.44) lygtis, pagalbinės linijos yra atitinkamai elipsė

,

hiperbolė

,

parabolė

,

o generatoriai lygiagreti ašiai Ozas.

komentuoti. Kaip matėme, antros eilės kūginiai ir cilindriniai paviršiai turi tiesinius generatorius, ir kiekvienas iš šių paviršių gali būti suformuotas tiesia linija judant erdvėje.

Pasirodo, kad tarp visų antros eilės paviršių, išskyrus cilindrą ir kūgį, vieno lapo hiperboloidas ir hiperbolinis paraboloidas taip pat turi tiesinius generatorius, ir, kaip ir cilindro ir kūgio atveju, abu šie paviršiai gali būti suformuoti tiesia linija judant erdvėje (žr. pav. specializuota literatūra).

§ ketvirta. Antrosios eilės paviršiaus bendrosios lygties redukavimas į kanoninę formą

Bendrojoje antros eilės paviršiaus lygtyje

a) kvadratinė forma

kur
;

b) tiesinė forma

kur
;

c) laisvas narys .

Norint paversti lygtį (5.45) į kanoninę formą, pirmiausia reikia atlikti tokią koordinačių transformaciją
, taigi ir susijęs ortonormalus pagrindas
, kuri kvadratinę formą (5.46) paverčia kanonine (žr. kn.2, sk. 8, §3, 3.1 punktas).

Šios kvadratinės formos matrica turi formą

,

kur , t.y. matrica BET- simetriškas. Pažymėti
savus numerius, ir per
ortonormalus pagrindas, sudarytas iš matricos savųjų vektorių BET. Leisti

–

perėjimo matrica iš pagrindo
prie pagrindo
, a
yra nauja koordinačių sistema, susieta su šiuo pagrindu.

Tada, transformuojant koordinates

(5.48)

kvadratinė forma (5.46) įgauna kanoninę formą

kur
.

Dabar, taikydami koordinačių transformaciją (5.48) tiesinei formai (5.47), gauname

kur
,
yra naujos formos koeficientai (5,47).

Taigi (5.45) lygtis įgauna formą

+.

Ši lygtis gali būti sumažinta iki kanoninės formos lygiagrečiai perkeliant koordinačių sistemą pagal formules

arba (5.49)

Atlikus koordinačių sistemos transformaciją lygiagrečiojo vertimo būdu (5.49), bendroji antros eilės paviršiaus lygtis (5.45) Dekarto koordinačių sistemos atžvilgiu.
išreikš vieną iš šių septyniolikos paviršių:

1) elipsoidas

2) įsivaizduojamas elipsoidas

3) vieno lapo hiperboloidas

4) dviejų lakštų hiperboloidas

5) kūgis

6) įsivaizduojamas kūgis

7) elipsinis paraboloidas

8) hiperbolinis paraboloidas

9) elipsinis cilindras

10) įsivaizduojamas elipsinis cilindras

11) dvi įsivaizduojamos susikertančios plokštumos

12) hiperbolinis cilindras

13) dvi susikertančios plokštumos

14) parabolinis cilindras

15) dvi lygiagrečios plokštumos

16) dvi menamos lygiagrečios plokštumos

17) dvi sutampančios plokštumos

Pavyzdys. Nustatykite nurodyto paviršiaus tipą ir vietą pagal Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą
ir susijęs ortonormalus pagrindas
lygtis

Pateikiame kvadratinę formą

(5.51)

į kanoninę formą. Šios formos matrica turi formą

.

Iš charakteristikų lygties nustatykime šios matricos savąsias reikšmes

Iš čia  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

Dabar randame matricos savuosius vektorius BET: 1) leiskite
, tada iš lygties
arba koordinačių forma

rasti kur
yra bet koks skaičius, todėl
, a
. Iš visos kolinearinių vektorių rinkinio pasirinkti vektorių
, kurio modulis
, t.y. normalizuoti vektorių .

2) už
mes turime

.

Iš čia
, kur
- bet koks skaičius. Tada
, a
. Vektoriaus normalizavimas , randame vieneto vektorių :

,

kur
.

3)
, tada komponentui
vektorius mes turime sistemą

Kur, kur
yra bet koks skaičius, todėl
, a
. Vektoriaus normalizavimas , randame vieneto vektorių vektoriaus nurodytai krypčiai :

kur
.

Dabar pereikime nuo ortonormalaus pagrindo
ortonormaliu pagrindu
, sudarytas iš matricos savųjų vektorių BET ir susieti su paskutiniu pagrindu naują Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą
. Tokios transformacijos perėjimo matrica turi formą

,

o koordinatės transformuojamos formulėmis

(5.52)

Taikydami šią koordinačių transformaciją kvadratinei formai (5.51), sumažiname ją iki kanoninės formos

, kur
.

Dabar išsiaiškinkime, kokią formą turi tiesinė formulė

, kur
,

jeigu koordinatės transformuojamos formulėmis (5.52). Mes turime

Taigi, jei koordinačių sistema
transformuoti pagal formules (5.52), tada naujos koordinačių sistemos atžvilgiu
nagrinėjamasis antros eilės paviršius pateikiamas lygtimi

Lygtis (5.53) sumažinama iki kanoninės formos lygiagrečiai perkeliant koordinačių sistemą pagal formules

po kurio – paviršiaus lygtis koordinačių sistemos atžvilgiu
įgauna formą

arba

Ši lygtis išreiškia elipsinį cilindrą, kurio kreipiamoji elipsė yra koordinačių plokštumoje
, o generuojančios linijos yra lygiagrečios ašiai

komentuoti. Šioje dalyje pateikta antrosios eilės paviršiaus bendrosios lygties iki kanoninės formos redukavimo schema taip pat gali būti taikoma redukuojant bendrąją antros eilės kreivės lygtį į kanoninę formą.

Tuo skirtumu, kad vietoj „plokščių“ grafikų apsvarstysime dažniausiai pasitaikančius erdvinius paviršius, taip pat išmoksime teisingai juos statyti rankomis. Jau kurį laiką ieškojau programinės įrangos 3D brėžiniams kurti ir radau porą gerų pritaikymų, tačiau nepaisant viso naudojimo paprastumo, šios programos nelabai išsprendžia svarbią praktinę problemą. Faktas yra tas, kad artimiausioje istorinėje ateityje studentai vis tiek bus ginkluoti liniuote su pieštuku, ir net turėdami kokybišką „mašininį“ piešinį daugelis negalės jo teisingai perkelti ant languoto popieriaus. Todėl mokymo vadove ypatingas dėmesys skiriamas rankinio konstravimo technikai, o nemaža dalis puslapyje esančių iliustracijų yra rankų darbo gaminys.

Kuo ši etaloninė medžiaga skiriasi nuo analogų?

Turėdamas nemažą praktinę patirtį, labai gerai žinau, su kokiais paviršiais dažniausiai susiduriama sprendžiant realias aukštosios matematikos problemas, ir tikiuosi, kad šis straipsnis padės greitai papildyti bagažą atitinkamomis žiniomis ir taikomaisiais įgūdžiais, kurių yra 90–95 proc. turėtų pakakti.

Ką reikia žinoti dabar?

Pats elementariausias:

Pirma, jūs turite sugebėti statyti teisingai erdvinė Dekarto koordinačių sistema (žr. straipsnio pradžią Funkcijų grafikai ir savybės) .

Ką gausite perskaitę šį straipsnį?

Butelis Įvaldę pamokos medžiagas, išmoksite greitai nustatyti paviršiaus tipą pagal jo funkciją ir (arba) lygtį, įsivaizduosite, kaip jis išsidėstęs erdvėje, ir, žinoma, pasidarysite brėžinius. Gerai, jei ne viskas telpa į galvą iš pirmo skaitymo – vėliau visada galite grįžti prie bet kurios pastraipos, jei reikia.

Informacija yra kiekvieno galioje – norint ją įvaldyti, nereikia jokių superžinių, ypatingo meninio talento ir erdvinio matymo.

Pradėkite!

Praktikoje dažniausiai pateikiamas erdvinis paviršius dviejų kintamųjų funkcija arba formos lygtis (dešinės pusės konstanta dažniausiai lygi nuliui arba vienetui). Pirmasis žymėjimas labiau būdingas matematinei analizei, antrasis - skirtas analitinė geometrija. Iš esmės lygtis yra netiesiogiai duota 2 kintamųjų funkcija, kurią įprastais atvejais galima lengvai redukuoti į formą . Primenu paprasčiausią pavyzdį c:

–plokštumos lygtis malonus.

yra plokštumos funkcija aiškiai .

Pradėkime nuo to:

Bendrosios plokštumos lygtys

Tipiški plokštumų išdėstymo stačiakampėje koordinačių sistemoje variantai išsamiai aptariami pačioje straipsnio pradžioje. Plokštumos lygtis. Nepaisant to, dar kartą apsistosime ties lygtimis, kurios turi didelę reikšmę praktikai.

Visų pirma, jūs turite visiškai atpažinti plokštumų, lygiagrečių koordinačių plokštumoms, lygtis. Plokštumų fragmentai standartiškai vaizduojami kaip stačiakampiai, kurie paskutiniais dviem atvejais atrodo kaip lygiagrečiai. Pagal numatytuosius nustatymus galite pasirinkti bet kokius matmenis (žinoma, pagrįstose ribose), tuo tarpu pageidautina, kad taškas, kuriame koordinačių ašis „pramuša“ plokštumą, būtų simetrijos centras:


Griežtai kalbant, koordinačių ašys kai kuriose vietose turėjo būti pavaizduotos punktyrine linija, tačiau, kad nesusipainiotume, šio niuanso nepaisysime.

– (piešinys kairėje) nelygybė apibrėžia toliausiai nuo mūsų esančią puserdvę, neįskaitant pačios plokštumos;

– (vidutinis piešinys) nelygybė apibrėžia dešiniąją puserdvę, įskaitant plokštumą;

– (dešinysis piešinys) dviguba nelygybė nurodo „sluoksnį“, esantį tarp plokštumų, įskaitant abi plokštumas.

Savarankiškai treniruotėms:

1 pavyzdys

Nubrėžkite kūną, kurį riboja plokštumos
Sudarykite nelygybių sistemą, kuri apibrėžia duotą kūną.

Senas pažįstamas turėtų išeiti iš po jūsų pieštuko švino stačiakampis. Nepamirškite, kad nematomi kraštai ir veidai turi būti nubrėžti punktyrine linija. Pamokos pabaigoje baigė piešti.

Prašau, NEAPLEISKITE mokymosi užduotis, net jei jos atrodo pernelyg paprastos. Priešingu atveju gali pasirodyti, kad jie praleido vieną kartą, praleido du kartus, o tada praleido valandą šlifuodami trimatį piešinį kokiu nors tikru pavyzdžiu. Be to, mechaninis darbas padės daug efektyviau išmokti medžiagą ir ugdyti intelektą! Neatsitiktinai darželyje ir pradinėje mokykloje vaikai apkraunami piešimo, lipdymo, dizainerių ir kitų smulkiosios pirštų motorikos užduočių. Atleiskite už nukrypimą, bet mano dvi raidos psichologijos sąsiuviniai neturėtų dingti =)

Šią plokštumų grupę sąlyginai vadinsime „tiesioginėmis proporcijomis“ - tai plokštumos, einančios per koordinačių ašis:

2) formos lygtis apibrėžia plokštumą, einančią per ašį;

3) formos lygtis apibrėžia plokštumą, einančią per ašį.

Nors formalus ženklas akivaizdus (kurio kintamojo trūksta lygtyje - plokštuma eina per tą ašį), visada naudinga suprasti vykstančių įvykių esmę:

2 pavyzdys

Sukurti lėktuvą

Koks yra geriausias būdas statyti? Siūlau tokį algoritmą:

Pirmiausia perrašome lygtį į formą , iš kurios aiškiai matyti, kad „y“ gali būti bet koks vertybes. Fiksuojame reikšmę, tai yra, apsvarstysime koordinačių plokštumą. Nustatytos lygtys erdvinė linija esantis duotoje koordinačių plokštumoje. Nubrėžkime šią liniją ant piešinio. Tiesė eina per pradžią, todėl jai sukonstruoti pakanka rasti vieną tašką. Leisti . Atidėkite tašką ir nubrėžkite liniją.

Dabar grįžkite į plokštumos lygtį. Kadangi „y“ užima bet koks reikšmės, tada plokštumoje sukonstruota tiesė nuolat „atkartojama“ į kairę ir į dešinę. Taip susidaro mūsų plokštuma, einanti per ašį. Norėdami užbaigti brėžinį, į kairę ir į dešinę nuo tiesios linijos atidedame dvi lygiagrečias linijas ir „uždarome“ simbolinį lygiagretainį su skersiniais horizontaliais segmentais:

Kadangi sąlyga nenustatė papildomų apribojimų, lėktuvo fragmentas galėjo būti pavaizduotas kiek mažesnis arba kiek didesnis.

Dar kartą pakartojame erdvinės tiesinės nelygybės reikšmę naudodami pavyzdį. Kaip nustatyti jo apibrėžiamą pusę erdvės? Paimkime tašką nepriklausantis plokštumą, pavyzdžiui, tašką iš arčiausiai mūsų esančios puserdvės ir jo koordinates pakeiskite nelygybe:

Gauta teisinga nelygybė, o tai reiškia, kad nelygybė apibrėžia apatinę (plokštumos atžvilgiu) puserdvę, o pati plokštuma į sprendinį neįtraukta.

3 pavyzdys

Sukurti lėktuvus
a) ;
b) .

Tai yra savarankiškos konstravimo užduotys, iškilus sunkumams pasitelkite panašius samprotavimus. Trumpos instrukcijos ir brėžiniai pamokos pabaigoje.

Praktikoje ypač paplitusios plokštumos, lygiagrečios ašiai. Ypatingas atvejis, kai plokštuma eina per ašį, buvo kaip tik „b“ pastraipoje, o dabar analizuosime bendresnę problemą:

4 pavyzdys

Sukurti lėktuvą

Sprendimas: kintamasis "z" aiškiai nedalyvauja lygtyje, o tai reiškia, kad plokštuma yra lygiagreti taikomajai ašiai. Naudokime tą pačią techniką, kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose.

Perrašykime plokštumos lygtį į formą iš kurių aišku, kad „Z“ gali imti bet koks vertybes. Pataisykime ir „gimtojoje“ plokštumoje nubrėžkime įprastą „plokščia“ tiesią liniją. Norėdami jį pastatyti, patogu paimti atskaitos taškus.

Kadangi "Z" užima visi vertės, tada nutiesta tiesė nuolat „dauginasi“ aukštyn ir žemyn, taip suformuodama norimą plokštumą . Atsargiai nubrėžkite tinkamo dydžio lygiagretainį:

Paruošta.

Plokštumos atkarpomis lygtis

Svarbiausia taikoma veislė. Jeigu visišansai bendroji plokštumos lygtis skiriasi nuo nulio, tada jis gali būti pavaizduotas kaip , kuris vadinamas plokštumos lygtis atkarpomis. Akivaizdu, kad plokštuma taškuose kerta koordinačių ašis, o didelis tokios lygties privalumas yra brėžimo paprastumas:

5 pavyzdys

Sukurti lėktuvą

Sprendimas: pirmiausia sudarome plokštumos lygtį atkarpomis. Išmeskite laisvą terminą į dešinę ir padalykite abi dalis iš 12:

Ne, tai nėra rašybos klaida ir viskas vyksta erdvėje! Mes tiriame siūlomą paviršių tuo pačiu metodu, kuris neseniai buvo naudojamas lėktuvams. Perrašome lygtį į formą , iš kurio matyti, kad „Z“ paima bet koks vertybes. Fiksuojame ir sukonstruojame elipsę plokštumoje. Kadangi "Z" užima visi vertes, tada sukonstruota elipsė nuolat „atkartojama“ aukštyn ir žemyn. Nesunku suprasti, kad paviršius begalinis:

Šis paviršius vadinamas elipsinis cilindras. Vadinama elipsė (bet kuriame aukštyje). vadovas cilindras, o lygiagrečios tiesės, einančios per kiekvieną elipsės tašką, vadinamos generuojantys cilindras (kuris tiesiogine prasme jį sudaro). ašis yra simetrijos ašis paviršius (bet ne jo dalis!).

Bet kurio taško, priklausančio tam tikram paviršiui, koordinatės būtinai tenkina lygtį .

Erdvinis nelygybė apibrėžia begalinio "vamzdžio" "vidų", įskaitant patį cilindrinį paviršių, ir atitinkamai priešinga nelygybė apibrėžia taškų rinkinį už cilindro ribų.

Praktinėse problemose populiariausias atvejis, kai vadovas cilindras yra ratas:

8 pavyzdys

Sukurkite lygties pateiktą paviršių

Neįmanoma pavaizduoti begalinio „vamzdžio“, todėl menas, kaip taisyklė, apsiriboja „pjaustymu“.

Pirma, patogu plokštumoje pastatyti spindulio apskritimą, o tada dar porą apskritimų aukščiau ir žemiau. Gauti apskritimai ( vedliai cilindras), tvarkingai sujungtas keturiomis lygiagrečiomis tiesiomis linijomis ( generuojantys cilindras):

Nepamirškite naudoti punktyrinių linijų nematomoms linijoms.

Bet kurio taško, priklausančio tam tikram cilindrui, koordinatės tenkina lygtį . Bet kurio taško, esančio griežtai „vamzdžio“ viduje, koordinatės tenkina nelygybę , ir nelygybė apibrėžia išorinės dalies taškų rinkinį. Norint geriau suprasti, rekomenduoju apsvarstyti keletą konkrečių erdvės taškų ir įsitikinti patys.

9 pavyzdys

Sukurkite paviršių ir raskite jo projekciją į plokštumą

Perrašome lygtį į formą iš to seka, kad „x“ ima bet koks vertybes. Pataisykime ir nubrėžkime plokštumą ratas– centruota ištakoje, vieneto spindulys. Kadangi „x“ nuolat ima visi reikšmes, tada sukonstruotas apskritimas sukuria apskritą cilindrą su simetrijos ašimi. Nubrėžkite kitą apskritimą vadovas cilindras) ir atsargiai sujunkite juos tiesiomis linijomis ( generuojantys cilindras). Kai kur pasirodė perdangos, bet ką daryti, toks nuolydis:

Šį kartą apsiribojau cilindro dalimi tarpelyje ir tai neatsitiktinai. Praktikoje dažnai tenka pavaizduoti tik nedidelį paviršiaus fragmentą.

Čia, beje, pasirodė 6 generatricos – dvi papildomos tiesios linijos „uždaro“ paviršių iš viršutinio kairiojo ir apatinio dešiniojo kampų.

Dabar panagrinėkime cilindro projekciją į plokštumą. Daugelis skaitytojų supranta, kas yra projekcija, tačiau vis dėlto praleiskime dar penkias minutes kūno kultūros pamokoms. Atsistokite ir pakreipkite galvą virš piešinio taip, kad ašies galas atrodytų statmenas jūsų kaktai. Tai, kaip cilindras atrodo šiuo kampu, yra jo projekcija į plokštumą. Bet atrodo, kad tai begalinė juosta, uždaryta tarp tiesių linijų, įskaitant pačias tiesias linijas. Ši projekcija yra tiksliai domenas funkcijos (cilindro viršutinis "latakas"), (apatinis "latakas").

Beje, išsiaiškinkime situaciją su projekcijomis į kitas koordinačių plokštumas. Tegul saulės spinduliai šviečia ant cilindro iš galo pusės ir išilgai ašies. Cilindro šešėlis (projekcija) į plokštumą yra panaši begalinė juosta - plokštumos dalis, apribota tiesiomis linijomis ( - bet kokia), įskaitant pačias tiesias linijas.

Tačiau projekcija lėktuve yra kiek kitokia. Jei žiūrite į cilindrą nuo ašies galo, tada jis projektuojamas į vieneto spindulio apskritimą su kuria pradėjome statybas.

10 pavyzdys

Sukurkite paviršių ir suraskite jo projekcijas koordinačių plokštumose

Tai užduotis, kurią reikia išspręsti patiems. Jei sąlyga nėra labai aiški, išlyginkite abi puses ir analizuokite rezultatą; tiksliai sužinoti, kokią cilindro dalį nurodo funkcija. Naudokite aukščiau ne kartą naudotą statybos techniką. Trumpas sprendimas, piešinys ir komentarai pamokos pabaigoje.

Elipsiniai ir kiti cilindriniai paviršiai gali būti perstumti koordinačių ašių atžvilgiu, pavyzdžiui:

(remiantis žinomais straipsnio apie 2 eilės eilės) - vienetinio spindulio cilindras, kurio simetrijos linija eina per tašką, lygiagrečią ašiai. Tačiau praktikoje tokie cilindrai pasitaiko gana retai, o sutikti cilindrinį paviršių, „įstrižą“ koordinačių ašių atžvilgiu, yra visiškai neįtikėtina.

Paraboliniai cilindrai

Kaip rodo pavadinimas, vadovas toks cilindras yra parabolė.

11 pavyzdys

Sukurkite paviršių ir suraskite jo projekcijas koordinačių plokštumose.

Negalėjau atsispirti šiam pavyzdžiui =)

Sprendimas: Mes einame pramintu keliu. Perrašykime lygtį į formą , iš kurios išplaukia, kad "Z" gali įgauti bet kokią reikšmę. Fiksuokime ir sukonstruokime plokštumoje paprastąją parabolę , prieš tai pažymėję trivialius atskaitos taškus . Kadangi "Z" užima visi vertes, tada sukonstruota parabolė nuolat „atkartojama“ aukštyn ir žemyn iki begalybės. Tą pačią parabolę atidedame, tarkime, aukštyje (plokštumoje) ir atsargiai sujungiame jas lygiagrečiomis linijomis ( cilindro generatoriai):

primenu naudinga technika: jei iš pradžių nepasitiki piešinio kokybe, tai geriau iš pradžių linijas plonai ir plonai nubrėžti pieštuku. Tada įvertiname eskizo kokybę, išsiaiškiname vietas, kuriose paviršius slepiasi nuo mūsų akių, ir tik tada spaudžiame rašiklį.

Projekcijos.

1) Cilindro projekcija į plokštumą yra parabolė. Reikėtų pažymėti, kad šiuo atveju neįmanoma kalbėti apie dviejų kintamųjų funkcijos sritis- dėl to, kad cilindro lygtis negali būti redukuojama į funkcinę formą.

2) Cilindro projekcija į plokštumą yra pusiau plokštuma, įskaitant ašį

3) Ir, galiausiai, cilindro projekcija į plokštumą yra visa plokštuma.

12 pavyzdys

Sukurkite parabolinius cilindrus:

a) apsiribojame paviršiaus fragmentu artimoje puserdvėje;

b) tarp jų

Iškilus sunkumams, neskubame ir ginčijamės pagal analogiją su ankstesniais pavyzdžiais, laimei, technologija buvo kruopščiai išdirbta. Tai nėra kritiška, jei paviršiai pasirodys šiek tiek gremėzdiški – svarbu teisingai atvaizduoti pagrindinį vaizdą. Aš pati ypač nesijaudinu dėl linijų grožio, jei gaunu pakenčiamą "C klasės" piešinį, dažniausiai jo neperdarau. Pavyzdiniame sprendime, beje, buvo panaudota dar viena technika piešinio kokybei pagerinti ;-)

Hiperboliniai cilindrai

vedliai tokie cilindrai yra hiperbolės. Šio tipo paviršiai, mano pastebėjimais, yra daug retesni nei ankstesni, todėl apsiribosiu vienu scheminiu hiperbolinio cilindro piešiniu:

Samprotavimo principas čia lygiai toks pat – įprastas mokyklos hiperbolė nuo plokštumos nuolat „dauginasi“ aukštyn ir žemyn iki begalybės.

Nagrinėjami cilindrai priklauso vadinamiesiems 2 eilės paviršiai, o dabar ir toliau susipažinsime su kitais šios grupės atstovais:

Elipsoidas. Rutulys ir rutulys

Kanoninė elipsoido lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje turi formą , kur yra teigiami skaičiai ( ašių velenai elipsoidas), kuris bendruoju atveju skirtinga. Elipsoidas vadinamas paviršius, ir kūnas apribotas šio paviršiaus. Kūną, kaip daugelis atspėjo, suteikia nelygybė o bet kurio vidinio taško (kaip ir bet kurio paviršiaus taško) koordinatės būtinai tenkina šią nelygybę. Konstrukcija yra simetriška koordinačių ašių ir koordinačių plokštumų atžvilgiu:

Sąvokos „elipsoidas“ kilmė taip pat akivaizdi: jei paviršius „pjaunamas“ koordinačių plokštumose, tada pjūviuose bus trys skirtingos (bendruoju atveju)

Su II eilės paviršiais studentas dažniausiai susitinka pirmame kurse. Iš pradžių užduotys šia tema gali atrodyti paprastos, tačiau studijuojant aukštąją matematiką ir gilinantis į mokslinę pusę, pagaliau galima nustoti orientuotis tame, kas vyksta. Kad taip nenutiktų, reikia ne tik įsiminti, bet ir suprasti, kaip gaunamas tas ar kitas paviršius, kaip koeficientų keitimas veikia jį ir jo vietą pirminės koordinačių sistemos atžvilgiu bei kaip rasti naują sistemą. (kuriame jo centras sutampa su pradžios koordinatėmis, bet lygiagretus vienai iš koordinačių ašių). Pradėkime nuo pat pradžių.

Apibrėžimas

2 eilės paviršius yra GMT, kurio koordinatės atitinka bendrąją šios formos lygtį:

Akivaizdu, kad kiekvienas paviršiui priklausantis taškas tam tikru pagrindu turi turėti tris koordinates. Nors kai kuriais atvejais taškų lokusas gali išsigimti, pavyzdžiui, į plokštumą. Tai tik reiškia, kad viena iš koordinačių yra pastovi ir lygi nuliui visame leistinų verčių diapazone.

Visa nudažyta aukščiau minėtos lygybės forma atrodo taip:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm – kai kurios konstantos, x, y, z – kintamieji, atitinkantys kokio nors taško afinines koordinates. Tuo pačiu metu bent vienas iš pastovių veiksnių neturi būti lygus nuliui, tai yra, joks taškas neatitiks lygties.

Daugumoje pavyzdžių daugelis skaitinių veiksnių vis dar yra identiški nuliui, o lygtis yra labai supaprastinta. Praktikoje nustatyti, ar taškas priklauso paviršiui, nėra sunku (pakanka pakeisti jo koordinates į lygtį ir patikrinti, ar laikomasi tapatumo). Esminis tokio darbo taškas yra pastarosios redukavimas į kanoninę formą.

Aukščiau parašyta lygtis apibrėžia bet kuriuos (visus išvardytus žemiau) antros eilės paviršius. Toliau apsvarstysime pavyzdžius.

2 eilės paviršių tipai

Antros eilės paviršių lygtys skiriasi tik koeficientų A nm reikšmėmis. Apskritai, esant tam tikroms konstantų vertėms, galima gauti įvairius paviršius, klasifikuojamus taip:

1. Cilindrai.
2. Elipsinis tipas.
3. hiperbolinis tipas.
4. Kūginis tipas.
5. parabolinis tipas.
6. Lėktuvai.

Kiekvienas iš išvardytų tipų turi natūralią ir įsivaizduojamą formą: įsivaizduojamoje formoje realių taškų lokusas arba išsigimsta į paprastesnę figūrą, arba jo visai nėra.

cilindrai

Tai yra paprasčiausias tipas, nes gana sudėtinga kreivė yra tik prie pagrindo ir veikia kaip vadovas. Generatoriai yra tiesios linijos, statmenos plokštumai, kurioje yra pagrindas.

Grafike pavaizduotas apskritas cilindras, ypatingas elipsinio cilindro atvejis. XY plokštumoje jos projekcija bus elipsė (mūsų atveju apskritimas) – kreiptuvas, o XZ – stačiakampis – kadangi generatoriai lygiagretūs Z ašiai.Norint gauti iš bendrosios lygties reikia kad koeficientams būtų pateiktos šios reikšmės:

Vietoj įprastų žymėjimų x, y, z, x naudojami su serijos numeriu - tai nesvarbu.

Tiesą sakant, 1/a 2 ir kitos čia nurodytos konstantos yra tie patys koeficientai, nurodyti bendrojoje lygtyje, tačiau įprasta juos rašyti tokia forma - tai yra kanoninis vaizdas. Toliau bus naudojamas tik toks žymėjimas.

Taip apibrėžiamas hiperbolinis cilindras. Schema ta pati – nuoroda bus hiperbolė.

Parabolinis cilindras apibrėžiamas kiek kitaip: jo kanoninė forma apima koeficientą p, vadinamą parametru. Faktiškai koeficientas lygus q=2p, bet įprasta jį padalyti į du pateiktus veiksnius.

Yra dar vienas cilindrų tipas: įsivaizduojamas. Tokiam cilindrui nepriklauso joks tikras taškas. Jis apibūdinamas elipsinio cilindro lygtimi, tačiau vietoj vienybės yra -1.

Elipsinis tipas

Elipsoidas gali būti ištemptas išilgai vienos iš ašių (išilgai jos priklauso nuo aukščiau nurodytų konstantų a, b, c verčių; akivaizdu, kad didesnis koeficientas atitiks didesnę ašį).

Taip pat yra įsivaizduojamas elipsoidas - su sąlyga, kad koordinačių suma, padauginta iš koeficientų, yra -1:

Hiperboloidai

Kai vienoje iš konstantų atsiranda minusas, elipsoido lygtis virsta vieno lapo hiperboloido lygtimi. Reikia suprasti, kad šis minusas neturi būti prieš x 3 koordinatę! Tai tik nustato, kuri iš ašių bus hiperboloido sukimosi ašis (arba lygiagreti jai, nes kai kvadrate atsiranda papildomų terminų (pavyzdžiui, (x-2) 2), figūros centras pasislenka, kaip dėl to paviršius juda lygiagrečiai koordinačių ašims). Tai taikoma visiems 2 eilės paviršiams.

Be to, reikia suprasti, kad lygtys pateikiamos kanonine forma ir jas galima keisti keičiant konstantas (išsaugojus ženklą!); o jų forma (hiperboloidas, kūgis ir pan.) išliks ta pati.

Tokią lygtį jau pateikia dviejų lakštų hiperboloidas.

kūginis paviršius

Kūgio lygtyje nėra vieneto – lygybės nuliui.

Tik apribotas kūgio formos paviršius vadinamas kūgiu. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kad iš tikrųjų diagramoje bus du vadinamieji kūgiai.

Svarbi pastaba: visose svarstomose kanoninėse lygtyse konstantos pagal numatytuosius nustatymus laikomos teigiamomis. Priešingu atveju ženklas gali turėti įtakos galutinei diagramai.

Koordinačių plokštumos tampa kūgio simetrijos plokštumos, simetrijos centras yra pradžioje.

Įsivaizduojamoje kūgio lygtyje yra tik pliusai; jis turi vieną tikrą tašką.

Paraboloidai

2-osios eilės paviršiai erdvėje gali įgauti įvairias formas net esant panašioms lygtims. Pavyzdžiui, yra dviejų tipų paraboloidai.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Elipsinis paraboloidas, kai Z ašis yra statmena brėžiniui, bus suprojektuotas į elipsę.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Hiperbolinis paraboloidas: atkarpos, kurių plokštumos lygiagrečios ZY, sukurs paraboles, o atkarpos, kurių plokštumos lygiagrečios su XY – hiperboles.

Susikertančios plokštumos

Pasitaiko atvejų, kai 2 eilės paviršiai išsigimsta į plokštumą. Šios plokštumos gali būti išdėstytos įvairiais būdais.

Pirmiausia apsvarstykite susikertančias plokštumas:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Dėl šios kanoninės lygties modifikacijos susidaro tik dvi susikertančios plokštumos (įsivaizduojamos!); visi realūs taškai yra koordinatės ašyje, kurios nėra lygtyje (kanoninėje – Z ašyje).

Lygiagrečios plokštumos

Esant tik vienai koordinatei, 2 eilės paviršiai išsigimsta į lygiagrečių plokštumų porą. Atminkite, kad bet kuris kitas kintamasis gali užimti Y vietą; tada bus gautos kitoms ašims lygiagrečios plokštumos.

Šiuo atveju jie tampa įsivaizduojami.

Sutapimo lėktuvai

Su tokia paprasta lygtimi plokštumų pora išsigimsta į vieną – jos sutampa.

Nepamirškite, kad trimačio pagrindo atveju aukščiau pateikta lygtis neapibrėžia tiesės y=0! Ji neturi dviejų kitų kintamųjų, bet tai tiesiog reiškia, kad jų reikšmė yra pastovi ir lygi nuliui.

Pastatas

Viena sunkiausių užduočių studentui – II eilės paviršių konstravimas. Dar sunkiau pereiti iš vienos koordinačių sistemos į kitą, atsižvelgiant į kreivės pasvirimo kampus ašių atžvilgiu ir centro poslinkį. Pakartokime, kaip analitiniu būdu nuosekliai nustatyti būsimą piešinio vaizdą.

Norėdami pastatyti 2 eilės paviršių, jums reikia:

• perkelkite lygtį į kanoninę formą;
• nustatyti tiriamo paviršiaus tipą;
• sudaryti remiantis koeficientų reikšmėmis.

Visi nagrinėjami tipai yra išvardyti žemiau:

Norėdami konsoliduoti, išsamiai aprašome vieną tokio tipo užduočių pavyzdį.

Pavyzdžiai

Tarkime, kad turime lygtį:

3 (x 2 - 2x + 1) + 6y 2 + 2z 2 +60y + 144 = 0

Perkelkime jį į kanoninę formą. Išskirkime pilnus kvadratus, tai yra, turimus terminus išdėstysime taip, kad jie būtų sumos arba skirtumo kvadrato išplėtimas. Pavyzdžiui: jei (a+1) 2 =a 2 +2a+1, tai a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Atliksime antrąją operaciją. Tokiu atveju skliaustų atidaryti nebūtina, nes tai tik apsunkins skaičiavimus, tačiau būtina išimti bendrą koeficientą 6 (skliausteliuose su visu Y kvadratu):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Kintamasis z šiuo atveju pasitaiko tik vieną kartą – kol kas jis gali būti nepaliestas.

Šiame etape analizuojame lygtį: prieš visus nežinomus yra pliuso ženklas; padalijus iš šešių, lieka vienas. Todėl turime lygtį, kuri apibrėžia elipsoidą.

Atkreipkite dėmesį, kad 144 buvo įtrauktas į 150-6, po to -6 buvo perkeltas į dešinę. Kodėl reikėjo taip elgtis? Akivaizdu, kad didžiausias daliklis šiame pavyzdyje yra 6, todėl norint, kad vienetas, padalijus iš jo, liktų dešinėje, reikia „atidėti“ tiksliai 6 nuo 144 (laisvojo nario buvimas, konstanta nedauginama iš nežinomybės).

Viską padalinkite iš šešių ir gaukite kanoninę elipsoido lygtį:

(x-1) 2/2+(y+5) 2/1+z 2/3=1

Anksčiau naudotoje 2 eilės paviršių klasifikacijoje nagrinėjamas konkretus atvejis, kai figūros centras yra koordinačių pradžioje. Šiame pavyzdyje jis kompensuojamas.

Darome prielaidą, kad kiekvienas skliaustas su nežinomaisiais yra naujas kintamasis. Tai yra: a=x-1, b=y+5, c=z. Naujose koordinatėse elipsoido centras sutampa su tašku (0,0,0), todėl a=b=c=0, iš kur: x=1, y=-5, z=0. Pradinėse koordinatėse figūros centras yra taške (1,-5,0).

Elipsoidas bus sudarytas iš dviejų elipsių: pirmoji XY plokštumoje ir antroji XZ plokštumoje (arba YZ – nesvarbu). Koeficientai, pagal kuriuos skirstomi kintamieji, yra padalyti kvadratu kanoninėje lygtyje. Todėl aukščiau pateiktame pavyzdyje teisingiau būtų dalyti iš dviejų, vieno ir trijų šaknies.

Mažoji pirmosios elipsės ašis, lygiagreti Y ašiai, yra dvi. Pagrindinė ašis, lygiagreti x ašiai, yra dvi šaknys iš dviejų. Antrosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, išlieka ta pati – ji lygi dviem. Ir pagrindinė ašis, lygiagreti Z ašiai, yra lygi dviem šaknims iš trijų.

Naudodami duomenis, gautus iš pradinės lygties konvertuodami į kanoninę formą, galime nubrėžti elipsoidą.

Apibendrinant

Šiame straipsnyje aptariama tema yra gana plati, bet iš tikrųjų, kaip dabar matote, nėra labai sudėtinga. Tiesą sakant, jo kūrimas baigiasi tuo metu, kai įsimenate paviršių pavadinimus ir lygtis (ir, žinoma, kaip jie atrodo). Aukščiau pateiktame pavyzdyje mes išsamiai apsvarstėme kiekvieną žingsnį, tačiau lygties perkėlimas į kanoninę formą reikalauja minimalių aukštosios matematikos žinių ir neturėtų sukelti mokiniui jokių sunkumų.

Ateities tvarkaraščio analizė pagal esamą lygybę jau yra sunkesnė užduotis. Tačiau sėkmingam jo sprendimui pakanka suprasti, kaip konstruojamos atitinkamos antros eilės kreivės – elipsės, parabolės ir kt.

Degeneracijos atvejai yra dar paprastesnis skyrius. Dėl kai kurių kintamųjų nebuvimo supaprastinami ne tik skaičiavimai, kaip minėta anksčiau, bet ir pati konstrukcija.

Kai tik galėsite drąsiai įvardyti visų tipų paviršius, varijuoti konstantas, paverčiant grafiką į vieną ar kitą figūrą, tema bus įvaldyta.

Sėkmės mokantis!