Ar tu čia dabar? =) Ne, nieko nebandžiau įbauginti, tiesiog netinkamų integralų tema labai gerai iliustruoja, kaip svarbu nepaleisti aukštosios matematikos ir kitų tiksliųjų mokslų. Norint išmokti pamoką svetainėje, viskas yra - išsamia ir prieinama forma būtų noras ....

Taigi, pradėkime. Vaizdžiai tariant, netinkamas integralas yra „išplėstinis“ apibrėžtasis integralas, ir iš tikrųjų su jais nėra tiek daug sunkumų, be to, netinkamas integralas turi labai gerą geometrinę reikšmę.

Ką reiškia skaičiuoti netinkamą integralą?

Apskaičiuokite netinkamą integralą - tai reiškia rasti SKAIČIŲ(visiškai toks pat kaip apibrėžtajame integrale), arba įrodyti, kad jis skiriasi(ty vietoj skaičiaus baigiasi begalybe).

Netinkami integralai yra dviejų tipų.

Netinkamas integralas su begaline (-omis) integravimo riba (-omis).

Kartais toks netinkamas integralas vadinamas netinkamas pirmosios rūšies integralas. Apskritai netinkamas integralas su begaline riba dažniausiai atrodo taip: . Kuo jis skiriasi nuo apibrėžtojo integralo? Viršutinėje riboje. Tai begalinis:

Mažiau paplitę integralai su begaline apatine riba arba su dviem begalinėmis ribomis: , ir mes juos apsvarstysime vėliau - kai tik paragausite :)

Na, o dabar paanalizuokime populiariausią atvejį. Daugumoje pavyzdžių integrando funkcija tęstinis tarp ir šio Svarbus faktas, kurį pirmiausia reikia patikrinti! Nes jei yra spragų, yra papildomų niuansų. Tikslumui darome prielaidą, kad net tada tipiškas kreivinė trapecija atrodys taip:

Atkreipkite dėmesį, kad jis yra begalinis (neribotas dešinėje) ir netinkamas integralas skaičiais lygus jo plotui. Tokiu atveju galimos šios parinktys:

1) Pirma mintis, kuri ateina į galvą, yra: „Kadangi figūra yra begalinė, tada “, kitaip tariant, plotas taip pat yra begalinis. Taigi gali būti.Šiuo atveju sakome, kad netinkamas integralas skiriasi.

2) Bet. Kad ir kaip paradoksaliai tai skambėtų, begalinės figūros plotas gali būti lygus ... baigtiniam skaičiui! Pavyzdžiui: . Tai gali būti? Lengva. Antruoju atveju netinkamas integralas susilieja.

3) Apie trečią variantą kiek vėliau.

Kada netinkamas integralas diverguoja ir kada konverguoja? Tai priklauso nuo integrando, todėl labai greitai pažvelgsime į konkrečius pavyzdžius.

Bet kas atsitiks, jei begalinė kreivinė trapecija yra žemiau ašies? Šiuo atveju netinkamas integralas (skiriasi) arba yra lygus baigtiniam neigiamam skaičiui.

Šiuo būdu, netinkamas integralas gali būti neigiamas.

Svarbu! Kai jums siūloma išspręsti BET KOKĮ netinkamą integralą, tada, paprastai kalbant, apie jokią sritį nekalbama ir brėžinio statyti nereikia. Netinkamo integralo geometrinę reikšmę pasakiau tik tam, kad būtų lengviau suprasti medžiagą.

Kadangi netinkamas integralas yra labai panašus į apibrėžtąjį integralą, prisimename Niutono-Leibnizo formulę: . Tiesą sakant, formulė tinka ir netinkamiems integralams, tik ją reikia šiek tiek pakeisti. Koks skirtumas? Begalinėje viršutinėje integracijos riboje: . Tikriausiai daugelis atspėjo, kad tai jau kvepia taikant ribų teoriją, o formulė bus parašyta taip: .

Kuo jis skiriasi nuo apibrėžtojo integralo? Taip, nieko ypatingo! Kaip ir apibrėžtajame integrale, reikia mokėti rasti antiderivatinę funkciją (neapibrėžtą integralą), mokėti pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę. Vienintelis dalykas, kuris buvo pridėtas, yra ribos apskaičiavimas. Kas su jais blogai, pasimokyk Funkcijų ribos. Sprendimo pavyzdžiai nes geriau vėliau nei kariuomenėje.

Apsvarstykite du klasikinius pavyzdžius:

1 pavyzdys

Aiškumo dėlei aš sukursiu piešinį, nors dar kartą pabrėžiu, apie praktiką atliekant šią užduotį nebūtina kurti brėžinių.

Integralas yra nenutrūkstamas pusės intervale, o tai reiškia, kad viskas gerai ir netinkamą integralą galima apskaičiuoti naudojant „įprastą“ metodą.

Mūsų formulės taikymas ir sprendimas atrodo taip:

Tai yra, netinkamas integralas skiriasi, o užtamsintos kreivės trapecijos plotas yra lygus begalybei.

Nagrinėjamame pavyzdyje turime paprasčiausią lentelių integralą ir tą pačią Niutono-Leibnizo formulės taikymo techniką kaip ir apibrėžtajame integralu. Tačiau ši formulė taikoma po ribos ženklu. Vietoj įprastos „dinaminio“ kintamojo raidės atsiranda raidė „be“. Tai neturėtų klaidinti ar suklaidinti, nes bet kuri raidė nėra prastesnė už standartinę „X“.

Jei nesupranti kodėl kada , tai yra labai blogai, arba tu nesupranti paprasčiausių ribų (ir išvis nesupranti, kas yra riba), arba nežinai, koks yra logaritminio grafikas. funkcija atrodo. Antruoju atveju apsilankykite pamokoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės.

Sprendžiant netinkamus integralus labai svarbu žinoti, kaip atrodo pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikai!

Švarus darbo dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

“

! Kurdami pavyzdį, mes visada pertraukiame sprendimą ir nurodome, kas atsitiks su integrandu – ar jis tęsiasi integracijos intervale, ar ne. Pagal tai nustatome netinkamo integralo tipą ir pagrindžiame tolesnius veiksmus.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Padarykime piešinį:

Pirmiausia pastebime: integrandas yra tęstinis pusės intervale . Gerai. Sprendžiant formule :

(1) Imame paprasčiausią galios funkcijos integralą (šis specialus atvejis yra daugelyje lentelių). Geriau nedelsiant perkelti minusą už ribos ženklo, kad tolesniuose skaičiavimuose jis nepatektų po kojomis.

(2) Viršutinę ir apatinę ribas pakeičiame pagal Niutono-Leibnizo formulę.

(3) Mes nurodome, kad kada (Ponai, tai jau seniai suprasta) ir supaprastiname atsakymą.

Čia begalinės kreivinės trapecijos plotas lygus baigtiniam skaičiui! Neįtikėtina, bet tai faktas.

Švarus pavyzdžio dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

“

Integrandas veikia nuolat

“

Ką daryti, jei aptikote integralą kaip - su lūžio taškas dėl integracijos intervalo? Tai reiškia, kad pavyzdyje yra rašybos klaida (Greičiausiai) arba aukštesnio lygio išsilavinimas. Pastaruoju atveju dėl adityvumo savybės, reikėtų atsižvelgti į du netinkamus intervalų integralus ir tada nagrinėti sumą.

Kartais dėl rašybos klaidos ar netinkamo integralo ketinimo tai gali būti padaryta visai neegzistuoja, taigi, pavyzdžiui, jei „x“ kvadratinė šaknis įdėta į aukščiau pateikto integralo vardiklį, dalis integravimo intervalo iš viso nepateks į integrando apibrėžimo sritį.

Be to, netinkamas integralas gali neegzistuoti net esant visai „tariamai gerovei“. Klasikinis pavyzdys:. Nepaisant kosinuso apibrėžtumo ir tęstinumo, tokio netinkamo integralo nėra! Kodėl? Tai labai paprasta, nes:
- neegzistuoja atitinkama riba.

Ir tokių pavyzdžių, nors ir retai, randama praktikoje! Taigi, be konvergencijos ir divergencijos, yra ir trečias sprendimo rezultatas su pilnu atsakymu: „nėra netinkamo integralo“.

Pažymėtina ir tai, kad griežtas netinkamo integralo apibrėžimas pateikiamas būtent per ribą, o norintys gali su juo susipažinti mokomojoje literatūroje. Na, o mes tęsiame praktinę pamoką ir pereiname prie prasmingesnių užduočių:

3 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Pirmiausia pabandykime rasti antiderivatinę funkciją (neapibrėžtą integralą). Jei to nepadarysime, natūraliai neišspręsime ir netinkamo integralo.

Į kurį iš lentelės integralų atrodo integrandas? Tai man primena lanko tangentą: . Remiantis šiais svarstymais, mintis leidžia suprasti, kad būtų puiku vardiklyje gauti kvadratą. Tai atliekama pakeičiant.

Pakeiskime:

Neapibrėžtas integralas buvo rastas, šiuo atveju nėra prasmės pridėti konstantos.

Juodraštyje visada naudinga atlikti patikrinimą, tai yra, norint atskirti rezultatą:

Gautas pirminis integralas, o tai reiškia, kad neapibrėžtasis integralas buvo rastas teisingai.

Dabar randame netinkamą integralą:

(1) Rašome sprendimą pagal formulę . Geriau iš karto perkelti konstantą už ribos ženklo, kad ji netrukdytų tolesniems skaičiavimams.

(2) Viršutinę ir apatinę ribas pakeičiame pagal Niutono-Leibnizo formulę. Kodėl adresu ? Žiūrėkite lanko liestinės grafiką jau ne kartą rekomenduojamame straipsnyje.

(3) Gauname galutinį atsakymą. Tai, kad naudinga žinoti mintinai.

Pažengusieji gali neieškoti neapibrėžtinio integralo atskirai ir nenaudoti pakeitimo metodo, o naudoti funkcijos sumavimo metodą po diferencialiniu ženklu ir netinkamą integralą išspręsti „nedelsiant“. Šiuo atveju sprendimas turėtų atrodyti maždaug taip:

“

Integrandas yra nuolatinis.

“

4 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

! Tai tipiškas pavyzdys, o panašūs integralai yra labai dažni. Padirbk gerai! Antiderivatinė funkcija čia randama viso kvadrato parinkimo būdu, daugiau informacijos apie metodą rasite pamokoje Kai kurių trupmenų integravimas.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Šį integralą galima išspręsti detaliai, tai yra, pakeitus kintamąjį, pirmiausia suraskite neapibrėžtą integralą. Ir jūs galite tai išspręsti „iš karto“ – susumavus funkciją po diferencialo ženklu. Kas turi šiek tiek matematinio išsilavinimo.

Užbaigti sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Netinkamų integralų su begaline apatine integravimo riba sprendinių pavyzdžius rasite puslapyje Veiksmingi netinkamų integralų sprendimo metodai. Čia taip pat nagrinėjamas atvejis, kai abi integravimo ribos yra begalinės.

Netinkami neapribotų funkcijų integralai

Arba netinkami antrosios rūšies integralai. Netinkami antrosios rūšies integralai yra gudriai „šifruojami“ pagal įprastą apibrėžtąjį integralą ir atrodo lygiai taip pat: Tačiau, skirtingai nei apibrėžtasis integralas, integrandas patiria begalinį netolydumą (neegzistuoja): 1) taške, 2) arba taške, 3) arba abiejuose taškuose iš karto, 4) arba net integravimo intervale. Mes apsvarstysime pirmuosius du atvejus, 3-4 atvejais straipsnio pabaigoje yra nuoroda į papildomą pamoką.

Tik pavyzdys, kad būtų aišku:. Atrodo, kad tai neabejotinas integralas. Bet iš tikrųjų tai yra netinkamas antrojo tipo integralas, jei integrandu pakeisime apatinės ribos reikšmę, vardiklis išnyksta, tai yra, integrandas šiuo metu tiesiog neegzistuoja!

Apskritai, analizuojant netinkamą integralą visada reikia pakeisti abi integravimo ribas į integrandą. Šiuo atžvilgiu taip pat patikriname viršutinę ribą: . Viskas čia gerai.

Kreivinė trapecija nagrinėjamai netinkamo integralo atmainai iš esmės atrodo taip:

Čia beveik viskas taip pat, kaip ir pirmosios rūšies integrale.

Mūsų integralas yra skaitiniu būdu lygus užtamsintos kreivinės trapecijos plotui, kuris nėra ribojamas iš viršaus. Šiuo atveju gali būti dvi parinktys *: netinkamas integralas skiriasi (plotas yra begalinis) arba netinkamas integralas yra lygus baigtiniam skaičiui (tai yra, begalinės figūros plotas yra baigtinis!).

* pagal numatytuosius nustatymus įprastai darome prielaidą, kad egzistuoja netinkamas integralas

Belieka tik modifikuoti Niutono-Leibnizo formulę. Ji taip pat modifikuojama ribos pagalba, bet riba jau linksta ne į begalybę, o į vertę dešinėje. Tai lengva sekti išilgai brėžinio: išilgai ašies turime priartėti prie lūžio taško be galo arti Dešinėje.

Pažiūrėkime, kaip tai įgyvendinama praktiškai.

6 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Integrandas taške patiria begalinį pertrauką (nepamirškite žodžiu arba juodraštyje patikrinti, ar viskas gerai su viršutine riba!)

Pirmiausia apskaičiuojame neapibrėžtą integralą:

Pakeitimas:

Tiems, kuriems sunku pakeisti, skaitykite pamoką Pakeitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Apskaičiuojame netinkamą integralą:

(1) Kas čia naujo? Technikos atžvilgiu praktiškai nieko. Vienintelis dalykas, kuris pasikeitė, yra įrašas po limito piktograma: . Papildymas reiškia, kad mes siekiame reikšmės dešinėje (tai yra logiška – žr. grafiką). Tokia riba ribų teorijoje vadinama vienašalė riba. Šiuo atveju mes turime dešinės rankos riba.

(2) Viršutinę ir apatinę ribas pakeičiame pagal Niutono-Leibnizo formulę.

(3) Darbas su . Kaip nustatyti, kur nukreipta išraiška? Grubiai tariant, tereikia į ją pakeisti reikšmę, pakeisti tris ketvirčius ir nurodyti, kad . Šukuojant atsakymą.

Šiuo atveju netinkamas integralas yra lygus neigiamam skaičiui. Čia nėra jokio nusikaltimo, tik atitinkama kreivinė trapecija yra po ašimi.

O dabar du nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai.

7 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Jei integrandas taške neegzistuoja

Begalinė kreivinė trapecija tokiam netinkamam integralui iš esmės atrodo taip.

Kartais tokie netinkami integralai vadinami netinkami antrosios rūšies integralai. Netinkami antrosios rūšies integralai yra gudriai „užšifruoti“ įprastu apibrėžtuoju integralu ir atrodo lygiai taip pat: .

Tačiau, skirtingai nei apibrėžtasis integralas, integrandas patiria begalinį nenuoseklumą (neegzistuoja):

1) taške,

2) taškas,

3) abiejuose taškuose vienu metu,

4) ar net integravimo intervale.

Mes apsvarstysime pirmuosius du atvejus, 3-4 atvejais straipsnio pabaigoje yra nuoroda į papildomą pamoką.

Pažvelkime į pavyzdį, kad būtų aišku:

Atrodo, kad tai neabejotinas integralas. Bet iš tikrųjų tai yra netinkamas antrojo tipo integralas, nes jei pakeisime integrandu, tada apatinės ribos reikšmė

tada vardiklis išnyksta, tai yra, integrandas šiuo metu tiesiog neegzistuoja!

Analizuojant netinkamą integralą visada reikia pakeisti abi integravimo ribas į integrandą. Šiuo atžvilgiu taip pat patikriname viršutinę ribą:

Viskas čia gerai. Kreivinė trapecija nagrinėjamai netinkamo integralo atmainai iš esmės atrodo taip:

Čia beveik viskas taip pat, kaip ir pirmosios rūšies integrale. Mūsų integralas yra skaitiniu būdu lygus užtamsintos kreivinės trapecijos plotui, kuris nėra ribojamas iš viršaus. Šiuo atveju gali būti dvi galimybės: netinkamas integralas skiriasi (plotas yra begalinis), arba netinkamas integralas yra lygus baigtiniam skaičiui (kai begalinės figūros plotas yra baigtinis!).

Belieka tik modifikuoti Niutono-Leibnizo formulę. Ji taip pat modifikuojama ribos pagalba, bet riba jau linksta ne į begalybę, o vertinti Dešinėje. Lengva sekti brėžinį, kuris yra išilgai ašies JAUTIS Dešinėje.

Pažiūrėkime, kaip tai įgyvendinama praktiškai.

6 pavyzdys

(nepamirškite žodžiu arba juodraštyje patikrinti, ar viskas gerai su viršutine riba!). Pirmiausia apskaičiuojame neapibrėžtą integralą:

Tiems, kuriems sunku pakeisti, skaitykite pamoką Pakeitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Apskaičiuojame netinkamą integralą:

(1) Kas čia naujo? Technikos požiūriu praktiškai nieko. Vienintelis dalykas, kuris pasikeitė, yra įrašas po limito piktograma:

Pridėjus +0 reiškia, kad mes siekiame reikšmės ¾ dešinėje, o tai yra logiška (žr. grafiką). Tokia riba ribų teorijoje vadinama vienašalė riba. Šiuo atveju mes turime dešinės rankos riba.

(2) Viršutinę ir apatinę ribas pakeičiame pagal Niutono-Leibnizo formulę.

(3) Darbas su . Kaip nustatyti, kur nukreipta išraiška? Grubiai tariant, tereikia į ją pakeisti reikšmę, pakeisti tris ketvirčius ir nurodyti, kad . Šukuojant atsakymą.

Šiuo atveju netinkamas integralas yra lygus neigiamam skaičiui. Čia nėra jokio nusikaltimo, tik atitinkama kreivinė trapecija yra po ašimi JAUTIS. O dabar savarankiško sprendimo pavyzdžiai.

7 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Jei integrandas taške neegzistuoja

Begalinė kreivinė trapecija tokiam netinkamam integralui iš esmės atrodo taip:

Čia absoliučiai viską darome taip pat, išskyrus tai, kad riba yra linkusi vertinti bpaliko. Ašis JAUTIS turime be galo priartėti prie lūžio taško paliko.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Integrandas taške patiria begalinį netolydumą b = 3 (žodžiu patikriname, ar viskas gerai su skirtinga integravimo riba!).

Pakeitimui šią ribą išspręsime iš karto – funkciją perkeldami po diferencialo ženklu. Tie, kuriems sunku, pirmiausia gali rasti neapibrėžtą integralą pagal jau svarstytą schemą.

Papildymas (-0) reiškia, kad turime ribą kairiosios pusės, ir prie esmės b = 3 artėjame prie ašies JAUTIS paliko.

Mes suprantame, kodėl trupmena

(tai geriausia padaryti žodžiu arba juodraščio forma).

Ribinę vertę pakeičiame šaknimi b = 3 - 0.

Pagaliau:

Netinkamas integralas išsiskiria.

Minuso ženklas reiškia, kad atitinkama kreivinė trapecija yra po ašimi JAUTIS. Būkite labai atsargūs su ženklais.

Taip, žinoma, netinkamas integralas skiriasi, bet tai yra skirtingi dalykai, skirtingi žanrai, ir jei jūs nepastebite ženklų, tada, griežtai tariant, padarysite rimtą klaidą.

Ir paskutiniai du pavyzdžiai savarankiškam svarstymui:

10 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

11 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Situacijos, kai abi integracijos ribos yra „blogos“ arba nutrūkimo taškas yra tiesiogiai integravimo segmente, analizę galite rasti straipsnyje Veiksmingi apibrėžtųjų ir netinkamųjų integralų sprendimo metodai.

Sprendimai ir atsakymai:

4 pavyzdys: Sprendimas:

.

5 pavyzdys: Sprendimas:

Integrandas veikia nuolat .

7 pavyzdys: Sprendimas:

Integrandas taške patiria begalinį netolydumą

Netinkamas integralas išsiskiria.

Pastaba: su išraiškos riba

2Netinkami pirmosios rūšies integralai yra vadinami integralais formos Integrandas laikomas tęstiniu visame integravimo segmente.

2 Jei riba egzistuoja ir yra baigtinė, sakoma, kad netinkamas integralas susilieja ir yra lygus

Integralai ir apibrėžiami panašiai:

(8.21)
kur a yra bet koks tikrasis skaičius. Be to, sakoma, kad paskutinis integralas susilieja tada ir tik tada, kai susilieja abu jo integralo komponentai.

8.10 uždavinys.

Sprendimas.

Todėl integralas išsiskiria.

8.11 uždavinys. Apskaičiuokite netinkamą integralą.

Sprendimas.

Šis integralas susilieja.

2 Netinkami antrojo tipo integralai formos integralai vadinami: , kur integrandas f(x) turi begalinius netolygumus baigtiniame intervale [ a; b]. Netinkami antrosios rūšies integralai apibrėžiami skirtingai, atsižvelgiant į nutrūkimo taškų vietą intervale [ a; b].

1) Tarkime, funkcija f(x) turi begalinį pertrūkį tam tikrame vidiniame integravimo srities taške ( cÎ( a; b)) Kituose atkarpos taškuose [ a; b] funkcija laikoma tęstine.

Tada, jei ribos ir egzistuoja ir yra baigtinės, tai sakome, kad integralas suartėja ir yra lygus

. (8.22)
2) Tegul vienintelis funkcijos nutrūkimo taškas f(x) sutampa su tašku a

. (8.23)
3) Tegul vienintelis funkcijos nutrūkimo taškas f(x) sutampa su tašku b. Tada, jei riba egzistuoja ir yra baigtinė, tada sakome, kad integralas suartėja ir yra lygus

. (8.24)
Visur daroma prielaida, kad e > 0 ir d > 0.

8.12 uždavinys. Apskaičiuokite netinkamą integralą.

Sprendimas. x= 2. Todėl

8.13 uždavinys. Apskaičiuokite netinkamą integralą.

Sprendimas. Integrandas taške turi antrojo tipo nenutrūkstamumą x= 0 (integracijos srities viduje). Vadinasi,

Pirmoji riba egzistuoja ir yra baigtinė, bet antroji riba lygi begalybei ( ties ). Todėl šis integralas skiriasi.

9 skyrius

§9.1. Apibrėžimas n-dimensinė Euklido erdvė R n .

Prieš pradedant tyrinėti kelių kintamųjų funkcijas, pravartu supažindinti su sąvoka n-dimensinė erdvė bet kokiam n = 1, 2, 3,… .

2 taškas x n-dimensinė erdvė (vektorius) yra sutvarkyta kolekcija n realūs skaičiai.

Skambina numeriu i- vektoriaus koordinatė .

2 Atstumas tarp dviejų taškų n-dimensinė erdvė ir nustatoma pagal formulę:

Atstumas nuo taško iki taško x vadinamas vektoriaus moduliu x ir yra žymimas. Iš (9.1) formulės išplaukia, kad .

AT n-dimensinė erdvė, natūraliai įvedama skaliarinės sandaugos sąvoka:

Kampas tarp vektorių x ir y galima nustatyti pagal formulę:

Kaip ir anksčiau, vektoriai x ir y yra statmenos tada ir tik tada, kai jų taškinė sandauga yra lygi nuliui.

2Visų taškų surinkimas n-dimensinė erdvė, kurioje atstumas apibrėžiamas pagal formulę (9.1) ir skaliarinė sandauga vadinama n-dimensinė Euklido vektorinė erdvė ir žymima .

Kada n= 1 tarpas sutampa su linija, tuo atveju n= 2 - su plokštuma, o tuo atveju n= 3 – su tarpu.

2 Leiskite ir . Visų taškų rinkinys toks, kad , vadinamas n- matmenų rutulys, kurio centras yra taškas x arba e- taško kaimynystė x erdvėje ir žymimas .

Koordinačių forma šis apibrėžimas atrodo taip:

Tiesios linijos atveju, t.y. adresu n= 1, taško kaimynystė yra intervalas, kurio centras yra spindulio taške e. Lėktuvo atveju, t.y. adresu n= 2, taško kaimynystė yra atviras apskritimas, kurio centras yra spindulio taške e. Kosmoso atveju, t.y. adresu n= 3 taško kaimynystė yra atviras rutulys, kurio centras yra spindulio taške e.

§9.2. Kelių kintamųjų funkcijos apimtis. Tęstinumas

2 funkcija n kintamieji vadinama tokia taisykle (dėsniu), pagal kurią kiekviena aibė, susidedanti iš n kintamieji, paimti iš tam tikros srities D n-dimensinė erdvė , priskiriamas vienas skaičius z. Paprasčiausiu atveju.

2 2 kintamųjų funkcija yra taisyklė (dėsnis), pagal kurią kiekvienas taškas M(x; y) priklausantis kokiai nors sričiai D lėktuvas xOy, priskiriamas vienas numeris z.

Aibė erdvės taškų su koordinatėmis sudaro tam tikrą paviršių (9.1 pav.), kylančią virš ploto. D(geometrinė dviejų kintamųjų funkcijos reikšmė).

2 Regionas D, kuriai sukonstruota aukščiau pateikta atitiktis, vadinama funkcijos sritimi.

9.1 problema. Raskite funkcijos apimtį

Sprendimas. Norimas apibrėžimo sritis yra taškų rinkinys plokštumoje xOy, tenkinantis nelygybių sistemą . Nelygybės ir pakeiskite jų ženklą į priešingą (atitinkamai) šių eilučių sankirtoje: x = y ir x = 0, y= 0. Šios linijos pertraukia plokštumą xOy 6 regionams. Paeiliui, pakeisdami savavališkus taškus iš kiekvienos srities į sistemą, įsitikiname, kad (1) ir (3) regionų sąjunga yra pradinės funkcijos apibrėžimo sritis. Be to, tiesioginis x = y, išskyrus tašką (0; 0), yra įtrauktas į apibrėžimo sritį ir eilutes x= 0 ir y= 0 – neįtraukta (9.2 pav.).

2 Teritorijos uždarymas yra erdvės taškų rinkinys , kurio bet kurioje kaimynystėje yra šios srities taškų D.

Tegu pvz. D– tam tikra atvira (riba neįtraukta) plotas plokštumoje xOy. Tada regionas bus uždarytas, jei į regioną D pritvirtinkite jos kraštą G .

2 Leiskite tam tikroje srityje D lėktuvas xOy suteikta funkcija , Ir tegul yra tam tikras regiono uždarymo taškas D(). Skaičius BET vadinama funkcijos riba taške M 0, jei bet koks skaičius e> 0 yra toks skaičius δ > 0, kuri visiems taškams, išskyrus tašką M 0 ir nutolęs nuo jo mažiau nei δ , nelygybė tenkinama.

2 Funkcija taške vadinama tęstine, jei ji apibrėžta šiame taške () ir įvyksta lygybė.

§9.3. Dviejų kintamųjų funkcijos lygio linijos

2 linijos lėktuve xOy, pateiktos lygtimis , kur NUO yra savavališka konstanta, vadinamos funkcijos lygio linijomis.

Lygio linijos – tai paviršiaus, tam tikros funkcijos ir plokštumos susikirtimo linijos z = C, lygiagrečiai plokštumai xOy. Lygių linijų pagalba galite ištirti paviršiaus formą, kurią suteikia funkcija.

9.2 pavyzdys. Raskite lygio linijas ir nustatykite lygties pateiktą paviršiaus formą.

Lygių linijų lygtys šiuo atveju turi formą . Pas C< 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy). At C= 0 tik vienas taškas tenkina lygio linijos lygtį x = 0, y= 0 (su plokštuma xOy paviršius susikerta tik ištakoje). At C> 0 lygio linijos yra elipsės su pusiau ašimis ir . Lygio linijos, atitinkančios skirtingas reikšmes NUO, parodyta pav. 9.3. Lygties pateiktas paviršius vadinamas elipsiniu paraboloidu (9.4 pav.).

§9.4. Pirmosios eilės daliniai išvestiniai

Įsileiskite į kokią nors sritį D lėktuvas xOy funkcija yra duota ir yra tam tikras srities taškas D.

x

, (9.2)

2 Dalinė funkcijos išvestinė taške kintamojo atžvilgiu y(žymimas arba ) vadinamas

, (9.3)
jei duotoji riba egzistuoja ir yra baigtinė.

2 Dalinė funkcijos išvestinė n kintamieji taškas po kintamojo x i paskambino

, (9.4)
jei duotoji riba egzistuoja ir yra baigtinė.

Kaip matyti iš (9.2) - (9.4) formulių, dalinės išvestinės nustatomos taip pat, kaip buvo nustatyta vieno kintamojo funkcijos išvestinė. Skaičiuojant ribą, tik vienas iš kintamųjų didinamas, kiti kintamieji nedidinami ir išlieka pastovūs. Todėl dalinės išvestinės gali būti skaičiuojamos pagal tas pačias taisykles kaip ir paprastosios išvestinės, visus laisvuosius kintamuosius (išskyrus tą, kurio atžvilgiu atliekama diferenciacija) traktuojant kaip konstantas.

9.3 problema. Raskite dalinius funkcijų išvestinius

Sprendimas. .

9.4 problema. Raskite funkcijos dalines išvestines.

Sprendimas. Atskiriant šią funkciją kintamojo atžvilgiu x naudojame laipsnio funkcijos diferenciacijos taisyklę, o kai randame dalinę išvestinę kintamojo atžvilgiu y– eksponentinės funkcijos diferenciacijos taisyklė:

9.5 uždavinys. Apskaičiuokite funkcijos dalines išvestines taške .

Sprendimas. Taikydami kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę, randame dalines išvestines

Taško koordinates pakeičiant dalinėmis išvestinėmis M, mes gauname

§9.5. Kelių kintamųjų gradiento funkcija.
Kryptinė išvestinė

2 Funkcijos gradientas taške yra vektorius, sudarytas iš tam tikros funkcijos dalinių išvestinių, apskaičiuotų tam tikrame taške:

2 Funkcijos išvestinė taške vektoriaus kryptimi yra šios funkcijos gradiento vektoriaus projekcija, apskaičiuota taške M 0, šia kryptimi

Apskaičiavę vektoriaus projekciją į vektorių pagal (2.6) formulę, gauname

. (9.7)
Pastebėjus, kad kur a yra kampas, kurį vektorius sudaro su ašimi JAUTIS, gauname dar vieną formulę išvestinei vektoriaus krypties atžvilgiu apskaičiuoti

9.6 problema. Raskite funkcijos gradientą taške M 0 (4; 2) ir išvestinę vektoriaus kryptimi

Sprendimas. Raskime dalines išvestines

Apskaičiuokite dalinių išvestinių reikšmes taške M 0:

Funkcijos gradientas taške M 0 randame pagal formulę (9.5):

9.7 problema. Taške M 0 (0; 1) apskaičiuokite funkcijos išvestinę antrojo koordinačių kampo bisektoriaus kryptimi.

Sprendimas. Raskime funkcijos dalines išvestines:

Apskaičiuokite dalinių išvestinių vertes ir funkcijos gradientą taške M 0:

Funkcijos taške išvestinė M 0 antrojo koordinačių kampo bisektoriaus kryptimi (ši kryptis yra su ašimi JAUTIS kampas a= 135°) randame pagal (9.8) formulę:

§9.6. Kelių kintamųjų funkcijos diferencialas
ir jo taikymas apytiksliems skaičiavimams

1 Jei taške funkcija turi ištisines dalines išvestines ir , tada jos bendras prieaugis einant iš taško M 0 iki taško gali būti pavaizduotas taip:

, (9.9)
kur , .

2 Išraiška vadinama visuminiu funkcijos skirtumu taške .

Iš (9.9) formulės išplaukia, kad funkcijos diferencialas yra pagrindinė tiesinė visos funkcijos prieaugio dalis. Pakankamai mažam D x ir D y išraiška yra daug mažesnė už diferencialą ir gali būti nepaisoma. Taigi gauname tokią apytikslę formulę:

. (9.10)
komentuoti. Formulė (9.10) gali būti naudojama apytiksliai funkcijų reikšmėms apskaičiuoti tik pakankamai arti taško esančiuose taškuose. Kuo mažesnė reikšmė, tuo tikslesnė reikšmė, rasta pagal (9.9) formulę.

9.8 pavyzdys. Apskaičiuokite apytiksliai naudodami skirtumą.

Panagrinėkime funkciją. Būtina apskaičiuoti vertę z 1 šios funkcijos taške ( x 1 ; y 1) = (0,09; 6,95). Naudokime apytikslę formulę (9.9), tašku pasirinkdami tašką (0; 7). Tada D x = x 1 – x 0 = 0,09 - 0 = 0,09, D y =y 1 – y 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.

Vadinasi,

§9.7. Aukštesnių eilių daliniai išvestiniai produktai

Įsileisti į teritoriją D pateikta funkcija, turinti ištisines dalines išvestines ir šioje srityje. Taigi, rajone D gavome dvi naujas nuolatines dviejų kintamųjų funkcijas ir . Jei tam tikru regiono tašku D funkcijos ir turi dalines išvestines tiek kintamojo atžvilgiu x, ir keičiant y, tada šios išvestinės vadinamos funkcijos antros eilės išvestinėmis. Jie žymimi taip:

1 Jei tam tikru regiono tašku D funkcija turi ištisines mišrias išvestines ir , tada taške šios išvestinės yra lygios: . D , turi būti įvykdytos šios sąlygos: D = 32 – 9 = 23.

Kadangi diskriminantas yra didesnis už nulį, tada taške M funkcija turi ekstremumą. Būtent vietinis minimumas, nes BET ir NUO Virš nulio. Kuriame

Netinkami pirmosios rūšies integralai. Tiesą sakant, tai yra tas pats apibrėžtasis integralas, tačiau tais atvejais, kai integralai turi begalinę viršutinę arba apatinę integravimo ribą arba abi integracijos ribos yra begalinės.

Netinkami antrojo tipo integralai. Tiesą sakant, tai yra tas pats apibrėžtasis integralas, tačiau tais atvejais, kai integralas imamas iš neapribotų funkcijų, integrandas neturi integracijos baigtiniame atkarpos taškų skaičiuje, besisukančioje į begalybę.

Palyginimui.Įvedant apibrėžtojo integralo sąvoką buvo daroma prielaida, kad funkcija f(x) tęsiasi atkarpoje [ a, b], o integravimo intervalas yra baigtinis, tai yra, jį riboja skaičiai, o ne begalybė. Dėl kai kurių užduočių reikia atsisakyti šių apribojimų. Taip atsiranda netinkami integralai.

Netinkamo integralo geometrinė reikšmė pasirodo visai paprasta. Kai funkcijos grafikas y = f(x) yra virš ašies Jautis, apibrėžtasis integralas išreiškia kreivinės trapecijos, apribotos kreive, plotą y = f(x) , abscisės ir ordinatės x = a , x = b. Savo ruožtu netinkamas integralas išreiškia neribotos (begalinės) kreivinės trapecijos, esančios tarp eilučių, plotą y = f(x) (nuotrauka apačioje raudona) x = a ir abscisių ašį.

Netinkami integralai apibrėžiami panašiai ir kitiems begaliniams intervalams:

Begalinės kreivinės trapecijos plotas gali būti baigtinis skaičius, tokiu atveju netinkamas integralas vadinamas konvergentiniu. Plotas taip pat gali būti begalinis, tokiu atveju netinkamas integralas vadinamas divergentiniu.

Integralo ribos naudojimas vietoj paties netinkamo integralo. Norint apskaičiuoti netinkamą integralą, reikia naudoti apibrėžtojo integralo ribą. Jei ši riba egzistuoja ir yra baigtinė (nelygu begalybei), tai netinkamas integralas vadinamas konvergentiniu, kitu atveju jis yra divergentinis. Kintamasis po ribos ženklu priklauso nuo to, ar mes susiduriame su netinkamu pirmosios ar antrosios rūšies integralu. Sužinokime apie tai dabar.

Netinkami pirmosios rūšies integralai – su begalinėmis ribomis ir jų konvergencija

Netinkami integralai su begaline viršutine riba

Taigi, netinkamo integralo įrašas skiriasi nuo įprasto apibrėžtojo integralo tuo, kad viršutinė integravimo riba yra begalinė.

Apibrėžimas. Netinkamas integralas su begaline viršutine integravimo riba iš ištisinės funkcijos f(x) tarp a prieš ∞ vadinama šios funkcijos integralo riba su viršutine integravimo riba b ir apatinė integracijos riba a su sąlyga, kad viršutinė integracijos riba auga neribotą laiką, t.y.

.

Jei ši riba egzistuoja ir yra lygi tam tikram skaičiui, o ne begalybei, tada netinkamas integralas vadinamas konvergentiniu, o jo reikšme laikomas skaičius, lygus ribai. Priešingu atveju netinkamasis integralas vadinamas divergentiniu ir jam nepriskiriama jokia vertė.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite netinkamą integralą(jei jis susilieja).

Sprendimas. Remdamiesi netinkamo integralo apibrėžimu, randame

Kadangi riba egzistuoja ir yra lygi 1, tada duota netinkamas integralas konverguoja ir yra lygus 1.

Toliau pateiktame pavyzdyje integrandas yra beveik toks pat kaip 1 pavyzdyje, tik x laipsnis yra ne du, o raidė alfa, o užduotis yra ištirti netinkamą integralą konvergencijai. Tai yra, dar reikia atsakyti į klausimą: prie kokių alfa verčių šis netinkamas integralas susilieja, o prie kokių – skiriasi?

2 pavyzdys. Ištirkite netinkamo integralo konvergenciją(apatinė integravimo riba yra didesnė už nulį).

Sprendimas. Tarkime, pirmiausia tai, tada

Gautoje išraiškoje pereiname prie ribos ties :

Nesunku pastebėti, kad riba dešinėje egzistuoja ir yra lygi nuliui, kai t.y., o neegzistuoja, kai t.y.

Pirmuoju atveju, tai yra, kai . Jei tada ir neegzistuoja.

Mūsų tyrimo išvada yra tokia: netinkamas integralas konverguoja ir skiriasi adresu .

Taikant tiriamam netinkamo integralo tipui Niutono-Leibnizo formulė , galime gauti tokią labai panašią formulę:

.

Tai apibendrinta Niutono-Leibnizo formulė.

3 pavyzdys. Apskaičiuokite netinkamą integralą(jei jis susilieja).

Egzistuoja šio integralo riba:

Antrasis integralas, kuris yra pradinį integralą išreiškianti suma:

Taip pat egzistuoja šio integralo riba:

.

Randame dviejų integralų sumą, kuri yra ir pradinio netinkamo integralo su dviem begalinėmis ribomis vertė:

Netinkami antrojo tipo integralai - iš neribotų funkcijų ir jų konvergencijos

Tegul funkcija f(x) nustatytas segmente nuo a prieš b ir jai neribota. Tarkime, kad taške funkcija eina į begalybę b , o visuose kituose atkarpos taškuose jis yra tęstinis.

Apibrėžimas. Netinkamas funkcijos integralas f(x) segmente nuo a prieš b vadinama šios funkcijos integralo riba su viršutine integravimo riba c , jei kai stengiamasi c į b funkcija didėja neribotai, ir taške x = b funkcija neapibrėžta, t.y.

.

Jei ši riba egzistuoja, tada netinkamas antrosios rūšies integralas vadinamas konvergentiniu, kitu atveju divergentiniu.

Naudodami Niutono-Leibnizo formulę išvedame.