Instrukcija

Užrašykite pateiktą logaritminę išraišką. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada išraiška rašoma: ln b yra natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, iš dividendo išvestinės sandaugos, padauginto iš daliklio funkcijos, reikia atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš daliklio funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeigu duota kompleksinė funkcija, tai reikia padauginti vidinės funkcijos išvestinę ir išorinės išvestinę. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

Naudodamiesi aukščiau pateikta informacija, galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Taip pat yra užduočių, skirtų išvestinei taške apskaičiuoti. Tegu funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę duotame taške y"(1)=8*e^0=8

Susiję vaizdo įrašai

Naudingi patarimai

Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Taip sutaupysite daug laiko.

Šaltiniai:

• pastovioji išvestinė

Taigi, kuo skiriasi neracionali lygtis nuo racionalios? Jei nežinomas kintamasis yra po kvadratinės šaknies ženklu, tada lygtis laikoma neracionalia.

Instrukcija

Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų pusių pakėlimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmiausia reikia atsikratyti ženklo. Techniškai šis metodas nėra sunkus, tačiau kartais gali kilti problemų. Pavyzdžiui, lygtis v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Tokią lygtį nesunku išspręsti; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vienetą, o dešinėje ir kairėje pusėje bus išraiškos, kurios neturi prasmės, tai yra. Tokia reikšmė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos dalių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis pradinėje lygtyje.

Apsvarstykite kitą.
2x+vx-3=0
Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkėlimo junginiai lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vx=y. Atitinkamai gausite tokią lygtį kaip 2y2+y-3=0. Tai yra įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vx=1; vx \u003d -3/2. Antroji lygtis neturi šaknų, iš pirmosios matome, kad x=1. Nepamirškite apie būtinybę patikrinti šaknis.

Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas tikslas. Taigi, paprasčiausių aritmetinių veiksmų pagalba bus išspręsta užduotis.

Jums reikės

• - popierius;
• - Parkeris.

Instrukcija

Paprasčiausios tokios transformacijos yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos (skirtumo) kubas). Be to, yra daug trigonometrinių formulių, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

Iš tiesų, dviejų narių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius du kartus pirmojo ir antrojo sandaugai plius antrojo kvadratui, tai yra (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Supaprastinkite abu

Bendrieji sprendimo principai

Pakartokite iš matematinės analizės arba aukštosios matematikos vadovėlio, kuris yra neabejotinas integralas. Kaip žinote, apibrėžtojo integralo sprendimas yra funkcija, kurios išvestinė duos integrandą. Ši funkcija vadinama antiderivatine. Pagal šį principą konstruojami pagrindiniai integralai.
Pagal integrando formą nustatykite, kuris iš lentelės integralų tinka šiuo atveju. Ne visada tai įmanoma iš karto nustatyti. Dažnai lentelės forma tampa pastebima tik po kelių transformacijų, siekiant supaprastinti integrandą.

Kintamojo pakeitimo metodas

Jei integrandas yra trigonometrinė funkcija, kurios argumentas yra polinomas, pabandykite naudoti kintamųjų keitimo metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite daugianarį integrando argumente nauju kintamuoju. Remdamiesi naujojo ir senojo kintamojo santykiu, nustatykite naujas integracijos ribas. Išskirdami šią išraišką, raskite naują skirtumą . Taigi gausite naują senojo integralo formą, artimą ar net atitinkančią bet kurią lentelę.

Antrosios rūšies integralų sprendimas

Jei integralas yra antrojo tipo integralas, vektoriaus integrando forma, tuomet turėsite naudoti taisykles, kaip pereiti nuo šių integralų prie skaliarinių. Viena iš tokių taisyklių yra Ostrogradskio ir Gauso santykis. Šis dėsnis leidžia pereiti nuo tam tikros vektorinės funkcijos rotoriaus srauto į trigubą integralą per tam tikro vektoriaus lauko divergenciją.

Integracijos ribų pakeitimas

Radus antidarinį, būtina pakeisti integracijos ribas. Pirma, viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antidarinio išraiška. Jūs gausite tam tikrą numerį. Tada iš gauto skaičiaus atimkite kitą skaičių, gautą apatinę antidarinio ribą. Jei viena iš integravimo ribų yra begalybė, tai pakeičiant ją į antiderivatinę funkciją, reikia pereiti prie ribos ir rasti, į ką linksta išraiška.
Jei integralas yra dvimatis arba trimatis, tuomet turėsite pavaizduoti geometrines integracijos ribas, kad suprastumėte, kaip apskaičiuoti integralą. Iš tiesų, tarkime, trimačio integralo atveju, integravimo ribos gali būti ištisos plokštumos, ribojančios integruojamą tūrį.

Kas yra logaritmas?

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač – lygtys su logaritmais.

Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netiki? Gerai. Dabar kokias 10–20 minučių jūs:

1. Suprask kas yra logaritmas.

2. Išmokite išspręsti visą eksponentinių lygčių klasę. Net jei apie juos negirdėjote.

3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.

Be to, tam jums reikės tik žinoti daugybos lentelę ir tai, kaip skaičius pakeliamas iki laipsnio ...

Jaučiu, kad abejoji... Na, laikykis! Pirmyn!

Pirmiausia mintyse išspręskite šią lygtį:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Palyginti su

galima nustatyti užduotį surasti bet kurį iš trijų skaičių iš kitų dviejų pateiktų. Duota a, o tada N randama eksponentiniu būdu. Jei duota N, o tada a randama ištraukus laipsnio x šaknį (arba eksponenciją). Dabar apsvarstykite atvejį, kai, esant a ir N, reikia rasti x.

Tegu skaičius N yra teigiamas: skaičius a yra teigiamas ir nelygus vienetui: .

Apibrėžimas. Skaičiaus N logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti a, kad gautumėte skaičių N; logaritmas žymimas

Taigi lygybėje (26.1) eksponentas randamas kaip N logaritmas bazei a. Įrašai

turi tą pačią reikšmę. Lygybė (26.1) kartais vadinama pagrindine logaritmų teorijos tapatybe; iš tikrųjų jis išreiškia logaritmo sąvokos apibrėžimą. Pagal šį apibrėžimą logaritmo a pagrindas visada yra teigiamas ir skiriasi nuo vienybės; logaritminis skaičius N yra teigiamas. Neigiami skaičiai ir nulis neturi logaritmų. Galima įrodyti, kad bet kuris skaičius, turintis tam tikrą bazę, turi tiksliai apibrėžtą logaritmą. Todėl lygybė reiškia. Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga čia yra esminė, kitaip išvada nebūtų pagrįsta, nes lygybė galioja bet kurioms x ir y reikšmėms.

1 pavyzdys. Rasti

Sprendimas. Norėdami gauti skaičių, turite padidinti bazę 2 iki galios Todėl.

Spręsdami tokius pavyzdžius galite įrašyti tokia forma:

2 pavyzdys. Rasti .

Sprendimas. Mes turime

1 ir 2 pavyzdžiuose nesunkiai radome norimą logaritmą, pateikdami logaritminį skaičių kaip bazės laipsnį su racionaliuoju eksponentu. Bendruoju atveju, pavyzdžiui, ir pan., to padaryti negalima, nes logaritmas turi neracionalią reikšmę. Atkreipkime dėmesį į vieną su šiuo teiginiu susijusį klausimą. 12 dalyje mes pateikėme galimybę nustatyti bet kurią tikrosią tam tikro teigiamo skaičiaus laipsnį. Tai buvo būtina norint įvesti logaritmus, kurie apskritai gali būti neracionalūs skaičiai.

Apsvarstykite kai kurias logaritmų savybes.

Savybė 1. Jeigu skaičius ir bazė lygūs, tai logaritmas lygus vienetui, ir atvirkščiai, jei logaritmas lygus vienetui, tai skaičius ir bazė yra lygūs.

Įrodymas. Tegul Pagal logaritmo apibrėžimą, mes turime ir iš kur

Ir atvirkščiai, tegul Tada pagal apibrėžimą

Savybė 2. Vienybės logaritmas bet kuriam pagrindui lygus nuliui.

Įrodymas. Pagal logaritmo apibrėžimą (bet kurios teigiamos bazės nulinė galia lygi vienetui, žr. (10.1)). Iš čia

Q.E.D.

Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei , tada N = 1. Iš tiesų, mes turime .

Prieš nurodydami tokią logaritmų savybę, sutikime teigti, kad du skaičiai a ir b yra toje pačioje trečiojo skaičiaus c pusėje, jei jie abu yra didesni už c arba mažesni už c. Jei vienas iš šių skaičių yra didesnis už c, o kitas yra mažesnis už c, tada sakome, kad jie yra priešingose ​​c pusėse.

Savybė 3. Jei skaičius ir bazė yra toje pačioje vienybės pusėje, tada logaritmas yra teigiamas; jei skaičius ir bazė yra priešingose ​​vienybės pusėse, tada logaritmas yra neigiamas.

3 savybės įrodymas grindžiamas tuo, kad a laipsnis yra didesnis už vienetą, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas, arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas. Laipsnis yra mažesnis už vieną, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas, arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas.

Yra keturi atvejai, į kuriuos reikia atsižvelgti:

Apsiribojame pirmojo iš jų analize, likusias skaitytojas apsvarstys pats.

Tegu tada lygybės rodiklis nėra nei neigiamas, nei lygus nuliui, todėl jis yra teigiamas, t.y., kurį reikėjo įrodyti.

3 pavyzdys. Sužinokite, kurie iš šių logaritmų yra teigiami, o kurie neigiami:

Sprendimas, a) kadangi skaičius 15 ir pagrindas 12 yra toje pačioje įrenginio pusėje;

b) , nes 1000 ir 2 yra toje pačioje įrenginio pusėje; tuo pačiu metu nebūtina, kad bazė būtų didesnė už logaritminį skaičių;

c), nes 3,1 ir 0,8 yra priešingose ​​vienybės pusėse;

G); kodėl?

e) ; kodėl?

Tokios savybės 4-6 dažnai vadinamos logaritmo taisyklėmis: jos leidžia, žinant kai kurių skaičių logaritmus, rasti kiekvieno jų sandaugos, koeficiento, laipsnio logaritmus.

4 savybė (produkto logaritmo taisyklė). Kelių teigiamų skaičių sandaugos logaritmas tam tikroje bazėje yra lygus šių skaičių logaritmų sumai toje pačioje bazėje.

Įrodymas. Tegu pateikiami teigiami skaičiai.

Jų sandaugos logaritmui rašome lygybę (26.1), apibrėžiančią logaritmą:

Iš čia randame

Palyginę pirmosios ir paskutinės išraiškos eksponentus, gauname reikiamą lygybę:

Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga yra būtina; dviejų neigiamų skaičių sandaugos logaritmas turi prasmę, bet šiuo atveju gauname

Apskritai, jei kelių veiksnių sandauga yra teigiama, tai jos logaritmas yra lygus šių veiksnių modulių logaritmų sumai.

5 savybė (datinio logaritmo taisyklė). Teigiamų skaičių dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų, paimtų toje pačioje bazėje. Įrodymas. Nuosekliai rasti

Q.E.D.

Savybė 6 (laipsnio logaritmo taisyklė). Bet kurio teigiamo skaičiaus laipsnio logaritmas yra lygus to skaičiaus logaritmui, padaugintam iš eksponento.

Įrodymas. Dar kartą įrašome pagrindinę numerio tapatybę (26.1):

Q.E.D.

Pasekmė. Teigiamo skaičiaus šaknies logaritmas yra lygus šaknies skaičiaus logaritmui, padalytam iš šaknies eksponento:

Šios išvados pagrįstumą galime įrodyti pateikdami kaip ir naudodami 6 savybę.

4 pavyzdys. Logaritmas a pagrindu:

a) (manoma, kad visos b, c, d, e reikšmės yra teigiamos);

b) (manoma, kad ).

Sprendimas, a) Šioje išraiškoje patogu perduoti trupmeninius laipsnius:

Remdamiesi lygybėmis (26.5)-(26.7) dabar galime parašyti:

Pastebime, kad su skaičių logaritmais atliekamos paprastesnės operacijos nei su pačiais skaičiais: dauginant skaičius jų logaritmai pridedami, dalijant – atimami ir t.t.

Štai kodėl skaičiavimo praktikoje buvo naudojami logaritmai (žr. 29 skyrių).

Veiksmas, atvirkštinis logaritmui, vadinamas potenciavimu, būtent: potencija yra veiksmas, kuriuo šis skaičius randamas pagal pateiktą skaičiaus logaritmą. Iš esmės stiprinimas nėra joks ypatingas veiksmas: jis susijęs su bazės pakėlimu iki laipsnio (lygaus skaičiaus logaritmui). Terminas „potencijavimas“ gali būti laikomas termino „eksponentavimas“ sinonimu.

Potencuojant būtina naudoti taisykles, kurios yra atvirkštinės logaritmo taisyklėms: logaritmų sumą pakeisti sandaugos logaritmu, logaritmų skirtumą – koeficiento logaritmu ir tt Ypač jei yra bet koks veiksnys prieš logaritmo ženklą, tada stiprinimo metu jis turi būti perkeltas į rodiklio laipsnius po logaritmo ženklu.

5 pavyzdys. Raskite N, jei žinoma, kad

Sprendimas. Atsižvelgiant į ką tik nurodytą potenciavimo taisyklę, koeficientai 2/3 ir 1/3, esantys prieš logaritmų ženklus dešinėje šios lygybės pusėje, bus perkelti į eksponentus, esančius šių logaritmų ženklais; mes gauname

Dabar logaritmų skirtumą pakeičiame koeficiento logaritmu:

norėdami gauti paskutinę šios lygybių grandinės trupmeną, išlaisvinome ankstesnę trupmeną nuo vardiklio neracionalumo (25 skyrius).

Savybė 7. Jei bazė didesnis už vieną, tai didesnio skaičiaus logaritmas didesnis (o mažesnio mažesnis), jei mažesnis už vienetą, tai didesnio skaičiaus logaritmas yra mažesnis (o mažesnio). vienas turi didesnį).

Ši savybė taip pat suformuluota kaip nelygybių logaritmo taisyklė, kurios abi dalys yra teigiamos:

Paimant nelygybių, kurių bazė yra didesnė už vienetą, logaritmas išsaugomas nelygybės ženklas, o imant logaritmą, kurio bazė mažesnė už vieną, nelygybės ženklas apverčiamas (taip pat žr. 80 punktą).

Įrodymas pagrįstas 5 ir 3 savybėmis. Apsvarstykite atvejį, kai If , tada ir, imant logaritmą, gauname

(a ir N/M yra toje pačioje vienybės pusėje). Iš čia

Toliau pateikiamas a atvejis, skaitytojas tai išsiaiškins pats.

pagrindinės savybės.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

tuo pačiu pagrindu

log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra 2,7 ir du kartus už Levo Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Logaritmų pavyzdžiai

Paimkite išraiškų logaritmą

1 pavyzdys
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pagal savybes 3,5 apskaičiuojame

2.

3.

4. kur .

2 pavyzdys Raskite x if

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritmų formulės. Logaritmai yra sprendimų pavyzdžiai.

Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju mums padės formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad šio laipsnio skaičius b suteiktų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra Vieningo valstybinio egzamino užduotis 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. logaa = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a iš tos bazės yra lygus vienetui.
2. loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti tokią galią x (), kuriai esant lygybė yra teisinga

Pagrindinės logaritmo savybės

Aukščiau pateiktos savybės turi būti žinomos, nes jų pagrindu beveik visos problemos ir pavyzdžiai išsprendžiami remiantis logaritmais. Likusios egzotiškos savybės gali būti išvestos matematiškai manipuliuojant šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuojant logaritmų sumos ir skirtumo formules (3.4) tenka susidurti gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie įprasti logaritmai yra tie, kurių bazė yra net dešimt, eksponentinė arba dviženklė.
Dešimties bazinis logaritmas paprastai vadinamas baziniu dešimties logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš protokolo matyti, kad pagrindai protokole nėra surašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio pagrindas yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra 2,7 ir du kartus už Levo Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus dviejų bazių logaritmas yra

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal priklausomybę

Aukščiau pateiktos medžiagos pakanka, kad galėtumėte išspręsti daugybę problemų, susijusių su logaritmais ir logaritmais. Siekdamas įsisavinti medžiagą, pateiksiu tik kelis įprastus pavyzdžius iš mokyklos programos ir universitetų.

Logaritmų pavyzdžiai

Paimkite išraiškų logaritmą

1 pavyzdys
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pagal savybes 3,5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumų savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

4. kur .

Iš pažiūros sudėtinga išraiška, naudojanti daugybę taisyklių, supaprastinama iki formos

Logaritmo verčių radimas

2 pavyzdys Raskite x if

Sprendimas. Skaičiavimui taikome 5 ir 13 savybes iki paskutinio termino

Pakeisti įraše ir apraudoti

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pirmas lygis.

Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkite kintamojo logaritmą, kad užrašytumėte logaritmą per terminų sumą

Tai tik pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, mes išplėsime jūsų žinias kitai ne mažiau svarbiai temai - logaritminėms nelygybėms ...

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju mums padės formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad šio laipsnio skaičius b suteiktų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra Vieningo valstybinio egzamino užduotis 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. logaa = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a iš tos bazės yra lygus vienetui.
2. loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

kilęs iš jo apibrėžimo. Ir taip skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a apibrėžiamas kaip eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).

Iš šios formuluotės matyti, kad skaičiavimas x=log a b, yra lygiavertis lygties sprendimui kirvis=b. Pavyzdžiui, log 2 8 = 3 nes 8 = 2 3 . Logaritmo formuluotė leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a lygus Su. Taip pat aišku, kad logaritmo tema yra glaudžiai susijusi su skaičiaus galios tema.

Naudodami logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galite atlikti sudėjimo, atimties operacijos ir transformuotis visais įmanomais būdais. Tačiau atsižvelgiant į tai, kad logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia galioja savo specialios taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas.

Paimkite du logaritmus su ta pačia baze: žurnalas x ir prisijungti a y. Tada pašalinus galima atlikti sudėjimo ir atimties operacijas:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

žurnalas a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = žurnalas x 1 + žurnalas x 2 + žurnalas x 3 + ... + log a x k.

Nuo koeficiento logaritmo teoremos galima gauti dar vieną logaritmo savybę. Gerai žinoma, kad žurnalas a 1 = 0, todėl

žurnalas a 1 /b= žurnalas a 1 - rąstas a b= -log a b.

Taigi yra lygybė:

log a 1 / b = - log a b.

Dviejų abipusių skaičių logaritmai tuo pačiu pagrindu vienas nuo kito skirsis tik ženklu. Taigi:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.