Labiau vizualiai grafiškai pavaizduoti laukus, be įtempimo linijų, naudojami vienodo potencialo arba ekvipotencialūs paviršiai. Kaip rodo pavadinimas, ekvipotencialus paviršius yra tas, kuriame visi taškai turi tą patį potencialą. Jei potencialas pateikiamas kaip x, y, z funkcija, tada ekvipotencialaus paviršiaus lygtis yra:

Lauko stiprumo linijos yra statmenos ekvipotencialiems paviršiams.

Įrodykime šį teiginį.

Tegul linija ir jėgos linija sudaro tam tikrą kampą (1.5 pav.).

Pereikime iš taško 1 į tašką 2 palei bandomąją įkrovimo liniją. Šiuo atveju lauko pajėgos atlieka darbą:

. (1.5)

Tai reiškia, kad bandomojo krūvio perkėlimo išilgai potencialo paviršiaus darbas yra lygus nuliui. Tą patį darbą galima apibrėžti ir kitaip – ​​kaip krūvio sandaugą pagal bandomąjį krūvį veikiančio lauko stiprumo modulį, poslinkio dydį ir kampo tarp vektoriaus ir poslinkio vektoriaus kosinusą, t.y. kampo kosinusas (žr. 1.5 pav.):

.

Darbo vertė nepriklauso nuo jo apskaičiavimo būdo, pagal (1.5) lygi nuliui. Tai reiškia, kad ir, atitinkamai, , kuris turėjo būti įrodytas.

Ekvipotencialų paviršių galima nubrėžti per bet kurį lauko tašką. Todėl tokių paviršių galima sukonstruoti be galo daug. Tačiau sutarėme paviršius atlikti taip, kad dviejų gretimų paviršių potencialų skirtumas visur būtų vienodas. Tada pagal ekvipotencialių paviršių tankį galima spręsti apie lauko stiprumo dydį. Iš tiesų, kuo tankesni yra ekvipotencialūs paviršiai, tuo greičiau keičiasi potencialas judant išilgai normalios į paviršių.

1.6,a paveiksle pavaizduoti taškinio krūvio lauko ekvipotencialūs paviršiai (tiksliau, jų susikirtimas su brėžinio plokštuma). Atsižvelgiant į pokyčio pobūdį, ekvipotencialūs paviršiai tampa tankesni artėjant prie krūvio. 1.6b paveiksle pavaizduoti dipolio lauko ekvipotencialūs paviršiai ir įtempimo linijos. Iš 1.6 pav. matyti, kad tuo pačiu metu naudojant ekvipotencialų paviršių ir įtempimo linijas, lauko vaizdas yra ypač aiškus.

Vienodam laukui ekvipotencialūs paviršiai akivaizdžiai reiškia vienodai išdėstytų plokštumų, statmenų lauko stiprumo krypčiai, sistemą.

1.8. Lauko stiprumo ir potencialo ryšys

(galimas gradientas)

Tegul yra savavališkas elektrostatinis laukas. Šiame lauke nubrėžiame du potencialių lygių paviršius taip, kad jie vienas nuo kito skirtųsi potencialu pagal vertę dφ(1.7 pav.)

Įtempimo vektorius nukreipiamas išilgai normalios į paviršių. Normaliosios krypties kryptis yra tokia pati kaip x ašies kryptis. Ašis x nubrėžtas iš taško 1 kerta paviršių 2 punkte.

Skyrius dx reiškia trumpiausią atstumą tarp taškų 1 ir 2. Darbas, atliktas, kai krūvis juda šia atkarpa:

Kita vertus, tą patį darbą galima parašyti taip:

Sulyginę šias dvi išraiškas, gauname:

kur dalinis išvestinis simbolis pabrėžia, kad diferencijavimas atliekamas tik atsižvelgiant į x. Panašių samprotavimų kartojimas ašims y Ir z, galime rasti vektorių:

, (1.7)

kur yra koordinačių ašių vienetiniai vektoriai x, y, z.

Vektorius, apibrėžtas išraiška (1.7), vadinamas skaliariniu gradientu φ . Jam kartu su pavadinimu taip pat naudojamas pavadinimas. ("nabla") reiškia simbolinį vektorių, vadinamą Hamiltono operatoriumi

Ekvipotencialus paviršius ekvipotencialų paviršių

paviršius, kurio visi taškai turi tą patį potencialą. Ekvipotencialų paviršius yra statmenas lauko linijoms. Laidininko paviršius elektrostatikoje yra ekvipotencialus paviršius.

ekvipotencialų paviršių

ekvipotencialus paviršius, paviršius, kurio visuose taškuose yra potencialas (cm. POTENCIALUS (fizikoje)) elektrinis laukas turi tą pačią reikšmę j= const. Plokštumoje šie paviršiai yra ekvipotencialaus lauko linijos. Naudojamas grafiškai parodyti potencialų pasiskirstymą.
Ekvipotencialūs paviršiai yra uždari ir nesikerta. Ekvipotencialių paviršių vaizdas atliekamas taip, kad potencialų skirtumai tarp gretimų ekvipotencialių paviršių būtų vienodi. Šiuo atveju tose srityse, kur ekvipotencinių paviršių linijos tankesnės, lauko stiprumas yra didesnis.
Tarp bet kurių dviejų taškų ekvipotencialiame paviršiuje potencialų skirtumas yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad jėgos vektorius bet kuriame krūvio trajektorijos taške išilgai ekvipotencialaus paviršiaus yra statmenas greičio vektoriui. Todėl įtampos linijos (cm. ELEKTROS LAUKO STIPRIS) elektrostatiniai laukai yra statmeni ekvipotencialiniam paviršiui. Kitaip tariant: ekvipotencialus paviršius yra statmenas jėgos linijoms (cm. ELEKTROS LAIDAI) laukas, o elektrinio lauko stiprumo vektorius E visada yra statmenas ekvipotencialiems paviršiams ir visada nukreiptas potencialo mažėjimo kryptimi. Elektrinio lauko jėgų darbas bet kokiam krūviui judant išilgai ekvipotencialaus paviršiaus lygus nuliui, nes?j = 0.
Taškinio elektros krūvio lauko ekvipotencialūs paviršiai yra sferos, kurių centre yra krūvis. Vienodo elektrinio lauko ekvipotencialūs paviršiai yra plokštumos, statmenos įtempimo linijoms. Laidininko paviršius elektrostatiniame lauke yra ekvipotencialus paviršius.

enciklopedinis žodynas. 2009 .

Pažiūrėkite, kas yra „ekvipotencialus paviršius“ kituose žodynuose:

Paviršius, kurio visi taškai turi tą patį potencialą. Ekvipotencialų paviršius yra statmenas lauko linijoms. Laidininko paviršius elektrostatikoje yra ekvipotencialų paviršius... Didysis enciklopedinis žodynas

Paviršius, visi taškai į spiečius turi tą patį potencialą. Pavyzdžiui, laidininko paviršius elektrostatikoje E. p. Fizikos enciklopedinis žodynas. Maskva: Sovietų enciklopedija. Vyriausiasis redaktorius A. M. Prokhorovas. 1983... Fizinė enciklopedija

ekvipotencialų paviršių- - [Ja.N. Luginskis, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirovas. Anglų rusų elektrotechnikos ir energetikos žodynas, Maskva, 1999] Elektros inžinerijos temos, pagrindinės sąvokos EN lygaus potencialo paviršiuslygios energijos paviršiaus ekvipotencialas ... ... Techninis vertėjo vadovas

Elektrinio dipolio ekvipotencialūs paviršiai (tamsiai pavaizduoti jų skerspjūviai pagal figūros plokštumą; spalva sąlyginai perteikia potencialo vertę skirtinguose taškuose, didžiausios vertės yra violetinė ir raudona, n ... Vikipedija

ekvipotencialų paviršių- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ekvipotencialus paviršius vok. Äquipotentialfläche, f rus. ekvipotencialus paviršius, fpranc. paviršiaus depotencinė konstanta, f; paviršiaus d'égal potentiel, f; paviršius… … Fizikos terminalų žodynas

Vienodo potencialo paviršius, kurio visi taškai turi tą patį potencialą. Pavyzdžiui, laidininko paviršius elektrostatikoje E. p. Jėgos lauke jėgos linijos yra normalios (statmenos) E. p ... Didžioji sovietinė enciklopedija

- (iš lot. aequus lygus ir potencialus) geom. taškų vieta lauke, akiai atitinka tą pačią potencialo reikšmę. E. p. yra statmenos jėgos linijoms. Ekvipotencialas yra, pavyzdžiui, laidininko paviršius elektrostatinėje ... ... Didelis enciklopedinis politechnikos žodynas

Ekvipotencialūs paviršiai ir elektrostatinio lauko linijos.

Norėčiau sugebėti vizualizuoti elektrostatinį lauką. Skaliarinio potencialo laukas gali būti geometriškai pavaizduotas kaip rinkinys ekvipotencialūs paviršiai ( plokščiu atveju - linijos) arba lygūs paviršiai, kaip juos vadina matematikai:

Kiekvienam tokiam paviršiui galioja ši sąlyga (pagal apibrėžimą!):

(*)

Šią sąlygą pavaizduojame lygiaverčiu žymėjimu:

Čia priklauso nagrinėjamam paviršiui, vektorius yra statmenas paviršiaus elementui (nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui būtent pagal šią sąlygą). Turime galimybę nustatyti vienetinį normalųjį vektorių nagrinėjamam paviršiaus elementui:

Grįžę prie fizikos, darome tokią išvadą elektrostatinio lauko stiprumo vektorius yra statmenas šio lauko ekvipotencialiniam paviršiui!

Sąvokos „skaliarinis lauko gradientas“ matematinis turinys:

Vektoriaus kryptis yra ta kryptis, kuria funkcija didėja greičiausiai;

Tai yra funkcijos prieaugis, tenkantis ilgio vienetui didžiausio didėjimo kryptimi.

Kaip sukurti ekvipotencialų paviršių?

Tegul ekvipotencialų paviršius, gautas pagal lygtį (*), eina per erdvės tašką su koordinatėmis ( x, y, z). Pavyzdžiui, nustatykime savavališkai mažus dviejų koordinačių poslinkius x=>x+dx Ir y=>y+dy. Iš lygties (*) nustatome reikiamą poslinkį dz, kad galutinis taškas liktų svarstomame ekvipotencialiame paviršiuje. Tokiu būdu galite „patekti“ į norimą paviršiaus tašką.

Vektorinio lauko jėgos linija.

Apibrėžimas. Lauko linijos liestinė sutampa su vektoriumi, kuris apibrėžia nagrinėjamą vektoriaus lauką.

Vektorius ir vektorius yra ta pačia kryptimi (t. y. lygiagrečiai vienas kitam), jei

Koordinačių žymėjime turime:

Nesunku pastebėti, kad santykiai galioja:

Jūs galite gauti tą patį rezultatą, jei užrašykite dviejų vektorių lygiagretumo sąlygą naudodami jų kryžminę sandaugą:

Taigi, turime vektorinį lauką. Apsvarstykite elementarų vektorių kaip vektorinio lauko lauko linijos elementas.

Pagal lauko linijos apibrėžimą turi būti tenkinami šie santykiai:

(**)

Taip atrodo lauko linijos diferencialinės lygtys. Analitinį šios lygčių sistemos sprendimą galima gauti labai retais atvejais (taškinio krūvio laukas, pastovus laukas ir kt.). Tačiau grafiškai nubrėžti jėgos linijų šeimą nėra sunku.

Tegul jėgos linija eina per tašką su koordinatėmis ( x, y, z). Įtempių vektoriaus projekcijų į koordinačių kryptis šioje vietoje reikšmės mums žinomos. Mes pasirenkame savavališkai mažą maišymą, pvz. x=>x+dx. Pagal lygtis (**) nustatome reikiamus poslinkius dy Ir dz. Taigi mes persikėlėme į gretimą lauko linijos tašką, todėl statybos procesas gali būti tęsiamas.

NB! (Nota Bene!). Jėgos linija iki galo neapsprendžia įtempimo vektoriaus. Jei lauko linijoje nustatyta teigiama kryptis, įtempimo vektorius gali būti nukreiptas teigiama arba neigiama kryptimi (bet išilgai linijos!). Lauko linija nenustato nagrinėjamo vektoriaus lauko vektoriaus modulio (t. y. jo reikšmės).

Įvestų geometrinių objektų savybės:

Elektrostatinį lauką galima apibūdinti jėgos ir potencialo išlyginimo linijų deriniu.

jėgos linija - tai lauke mintyse nubrėžta linija, prasidedanti nuo teigiamai įkrauto kūno ir baigiant neigiamą krūvį turintį kūną, nubrėžta taip, kad jos liestinė bet kuriame lauko taške nurodytų įtempimo kryptį tame taške.

Jėgos linijos užsidaro ant teigiamų ir neigiamų krūvių ir negali užsidaryti pačios.

Pagal ekvipotencialų paviršių suprasti lauko taškų, turinčių tokį patį potencialą, rinkinį ().

Jei elektrostatinį lauką pjauna sekantinė plokštuma, tada pjūvyje bus matomi plokštumos susikirtimo su ekvipotencialiais paviršiais pėdsakai. Šie pėdsakai vadinami potencialų išlyginimo linijomis.

Ekvipotencialios linijos yra uždarytos savaime.

Jėgos linijos ir potencialo išlyginimo linijos susikerta stačiu kampu.

R
Apsvarstykite ekvipotencialų paviršių:

(kadangi taškai yra ant ekvipotencialaus paviršiaus).

- skaliarinis produktas

Elektrostatinio lauko linijos prasiskverbia pro ekvipotencialų paviršių 90 0 kampu, tada kampas tarp vektorių
yra 90 laipsnių, o jų taškinė sandauga yra 0.

Ekvipotencialų linijos lygtis

Apsvarstykite jėgos liniją:

H
elektrostatinio lauko stiprumas nukreipiamas tangentiškai lauko linijai (žr. lauko linijos apibrėžimą), kelio elementas taip pat nukreiptas , taigi kampas tarp šių dviejų vektorių lygus nuliui.

arba

Lauko linijos lygtis

Gradiento talpa

Gradiento talpa yra potencialo didėjimo greitis trumpiausia kryptimi tarp dviejų taškų.

Tarp dviejų taškų yra tam tikras potencialų skirtumas. Jei šis skirtumas yra padalintas iš trumpiausio atstumo tarp paimtų taškų, tada gauta vertė apibūdins potencialo kitimo greitį trumpiausio atstumo tarp taškų kryptimi.

Potencialo gradientas rodo didžiausio potencialo didėjimo kryptį, skaitiniu požiūriu yra lygus intensyvumo moduliui ir yra neigiamai nukreiptas jo atžvilgiu.

Apibrėžiant gradientą svarbūs du punktai:

Kryptis, kuria paimami du šalia esantys taškai, turi būti tokia, kad pokyčio greitis būtų didžiausias.

Kryptis tokia, kad skaliarinė funkcija ta kryptimi didėja.

Dekarto koordinačių sistemai:

Potencialų kitimo greitis X, Y, Z ašių kryptimi:

;
;

Du vektoriai yra lygūs tik tada, kai jų projekcijos yra lygios viena kitai. Įtempimo vektoriaus projekcija ašyje X yra lygi potencialo kitimo greičio projekcijai išilgai ašies X paimtas su priešingu ženklu. Panašiai ir kirviams Y Ir Z.

;
;
.

Cilindrinėje koordinačių sistemoje potencialaus gradiento išraiška bus tokia.

Ryšys tarp įtampos ir potencialo.

Potencialiame lauke yra ryšys tarp potencialios (konservatyvios) jėgos ir potencialios energijos

kur ("nabla") yra Hamiltono operatorius.

Tiek, kiek tada

Minuso ženklas rodo, kad vektorius E nukreiptas potencialo mažėjimo kryptimi.

Grafiniam potencialo pasiskirstymui pavaizduoti naudojami ekvipotencialūs paviršiai – paviršiai, kurių visuose taškuose potencialas turi vienodą reikšmę.

Ekvipotencialūs paviršiai dažniausiai atliekami taip, kad potencialų skirtumai tarp dviejų gretimų potencialų paviršių būtų vienodi. Tada ekvipotencialių paviršių tankis aiškiai apibūdina lauko stiprumą skirtinguose taškuose. Ten, kur šie paviršiai tankesni, lauko stiprumas yra didesnis. Punktyrinė linija paveiksle rodo jėgos linijas, ištisinės linijos rodo ekvipotencinių paviršių pjūvius: teigiamam taškiniam krūviui (a), dipoliui (b), dviem to paties pavadinimo krūviams (c), įkrautam metalui. sudėtingos konfigūracijos laidininkas (d).

Už taškinį mokestį – potencialas todėl ekvipotencialūs paviršiai yra koncentrinės sferos. Kita vertus, įtempimo linijos yra radialinės tiesios linijos. Todėl įtempimo linijos yra statmenos ekvipotencialiems paviršiams.

Galima parodyti, kad visais atvejais vektorius E yra statmenas ekvipotencialiems paviršiams ir visada nukreiptas potencialo mažėjimo kryptimi.

Svarbiausių simetrinių elektrostatinių laukų vakuume skaičiavimo pavyzdžiai.

1. Elektrinio dipolio elektrostatinis laukas vakuume.

Elektrinis dipolis (arba dvigubas elektros stulpas) yra dviejų absoliučiai lygių priešingų taškinių krūvių (+q, -q) sistema, kurių atstumas l yra daug mažesnis už atstumą iki nagrinėjamų lauko taškų (l<< r).

Dipolio ranka l yra vektorius, nukreiptas išilgai dipolio ašies nuo neigiamo krūvio iki teigiamo ir lygus atstumui tarp jų.

Dipolio elektrinis momentas re yra vektorius, krypties sutapimas su dipolio pečiu ir lygus krūvio modulio sandaugai |q| aš petys:

Tegul r yra atstumas iki taško A nuo dipolio ašies vidurio. Tada, atsižvelgiant į tai

2) Lauko stiprumas taške B statmena atkurtas į dipolio ašį nuo jo vidurio ties

Taškas B yra vienodu atstumu nuo dipolio krūvių +q ir -q, todėl lauko potencialas taške B lygus nuliui. Vektorius Yb nukreiptas priešais vektoriui l.

3) Išoriniame elektriniame lauke dipolio galus veikia jėgų pora, kuri linkusi sukti dipolį taip, kad dipolio elektrinis momentas pasisuks lauko E kryptimi (a pav. )).

Išoriniame vienodame lauke jėgų poros momentas lygus M = qElsin a arba Išoriniame nehomogeniniame lauke (c pav.) dipolio galus veikiančios jėgos nėra vienodos o jų rezultantas linkęs perkelti dipolį į lauko sritį su didesniu intensyvumu – dipolis traukiamas į stipresnio lauko sritį.

2. Tolygiai įkrautos begalinės plokštumos laukas.

Begalinė plokštuma, įkrauta pastoviu paviršiaus tankiu Įtempimo linijos yra statmenos nagrinėjamai plokštumai ir nukreiptos iš jos į abi puses.

Gauso paviršiumi imame cilindro paviršių, kurio generatoriai statmeni įkrautai plokštumai, o pagrindai lygiagrečiai įkrautai plokštumai ir guli priešingose ​​jos pusėse vienodais atstumais.

Kadangi cilindro generatricos yra lygiagrečios įtempimo linijoms, įtempimo vektoriaus srautas per cilindro šoninį paviršių yra lygus nuliui, o bendras srautas per cilindrą yra lygus srautų per jo pagrindus sumai. 2ES. Įkrovimas cilindro viduje yra. Pagal Gauso teoremą kur:

E nepriklauso nuo cilindro ilgio, t.y. lauko stiprumas bet kokiu atstumu yra vienodas absoliučia verte. Toks laukas vadinamas homogeniniu.

Potencialų skirtumas tarp taškų, esančių x1 ir x2 atstumu nuo plokštumos, yra lygus

3. Dviejų begalinių lygiagrečių priešingai įkrautų plokštumų, kurių absoliučios vertės paviršiaus krūvio tankiai yra vienodi σ>0 ir - σ, laukas.

Iš ankstesnio pavyzdžio matyti, kad pirmosios ir antrosios plokštumų intensyvumo vektoriai E 1 ir E 2 yra lygūs absoliučia verte ir nukreipti visur statmenai plokštumoms. Todėl erdvėje už plokštumų jie kompensuoja vienas kitą, o erdvėje tarp plokštumų – bendrą įtampą . Todėl tarp plokštumų

(dielektrikoje.).

Laukas tarp plokštumų yra vienodas. Galimas skirtumas tarp plokštumų.
(dielektrikoje ).

4. Vienodai įkrauto sferinio paviršiaus laukas.

Sferinis R spindulio paviršius, kurio bendras krūvis q, yra tolygiai įkrautas paviršiaus tankiu

Kadangi krūvių sistema, taigi ir pats laukas, yra centre simetriškas sferos centro atžvilgiu, įtempimo linijos nukreiptos radialiai.

Kaip Gauso paviršių pasirenkame r spindulio sferą, kuri turi bendrą centrą su įkrauta sfera. Jei r>R, tai visas krūvis q patenka į paviršiaus vidų. Pagal Gauso teoremą, iš kur

Dėl r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Galimas skirtumas tarp dviejų taškų, esančių r 1 ir r 2 atstumu nuo rutulio centro

(r1 >R,r2 >R), yra lygus

Už įkrautos sferos laukas yra toks pat kaip taškinio krūvio q laukas, esantis sferos centre. Įkrautos sferos viduje nėra lauko, todėl potencialas visur toks pat ir kaip paviršiuje