Tiesioginės integracijos būdu išspręstos lygtys

Apsvarstykite šią diferencialinę lygtį:
.
Integruojame n kartų.
;
;
ir taip toliau. Taip pat galite naudoti formulę:
.
Žr. Diferencialines lygtis, kurias galima išspręsti tiesiogiai integracija >>>

Lygtys, kuriose nėra tiesiogiai priklausomo kintamojo y

Pakeitimas sumažina lygties tvarką vienu. Čia yra funkcija iš .
Žr. Diferencialinės lygtys aukštesnių kategorijų, kuriose nėra aiškiai nurodytos funkcijos >>>

Lygtys, kurios tiesiogiai neapima nepriklausomo kintamojo x

.
Manome, kad tai yra funkcija. Tada
.
Panašiai ir dėl kitų išvestinių priemonių. Dėl to lygties tvarka sumažėja vienu.
Žr. Aukštesnių kategorijų diferencialines lygtis, kuriose nėra aiškaus kintamojo > > >

Lygtys, vienalytės y, y′, y′′, ...

Norėdami išspręsti šią lygtį, atliekame pakeitimą
,
kur yra funkcija . Tada
.
Panašiai transformuojame išvestines ir kt. Dėl to lygties tvarka sumažėja vienu.
Žr. aukštesnės eilės diferencialines lygtis, kurios yra vienalytės funkcijos ir jos išvestinių atžvilgiu >>>

Aukštesnių laipsnių tiesinės diferencialinės lygtys

Pasvarstykime n-osios eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis:
(1) ,
kur yra nepriklausomo kintamojo funkcijos. Tegul yra n tiesiškai nepriklausomų šios lygties sprendinių. Tada bendras (1) lygties sprendimas turi tokią formą:
(2) ,
kur yra savavališkos konstantos. Pačios funkcijos sudaro esminę sprendimų sistemą.
Fundamentali sprendimų sistema n-osios eilės tiesinės vienalytės lygties yra n tiesiškai nepriklausomų šios lygties sprendinių.

Pasvarstykime tiesinė nehomogeninė n-osios eilės diferencialinė lygtis:
.
Tegul yra tam tikras (bet koks) šios lygties sprendimas. Tada bendras sprendimas turi tokią formą:
,
kur yra bendras homogeninės lygties (1) sprendinys.

Tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais ir į jas redukuojamos

Tiesinės vienalytės lygtys su pastoviais koeficientais

Tai yra šios formos lygtys:
(3) .
Čia yra tikri skaičiai. Norėdami rasti bendrą šios lygties sprendimą, turime rasti n tiesiškai nepriklausomų sprendinių, kurie sudaro pagrindinę sprendinių sistemą. Tada bendras sprendimas nustatomas pagal (2) formulę:
(2) .

Mes ieškome sprendimo formoje. Mes gauname charakteristikos lygtis:
(4) .

Jei ši lygtis turi įvairios šaknys, tada pagrindinė sprendinių sistema turi tokią formą:
.

Jei galima sudėtinga šaknis
,
tada taip pat egzistuoja sudėtinga konjuguota šaknis. Šios dvi šaknys atitinka sprendimus ir , kuriuos įtraukiame į pagrindinę sistemą vietoj kompleksinių sprendimų ir .

Daugybė šaknų dauginiai atitinka tiesiškai nepriklausomus sprendinius: .

Daugybė sudėtingų šaknų dauginiai ir jų sudėtingos konjuguotos reikšmės atitinka tiesiškai nepriklausomus sprendimus:
.

Tiesinės nehomogeninės lygtys su specialia nevienalyte dalimi

Apsvarstykite formos lygtį
,
kur yra s laipsnių daugianariai 1 ir s 2 ; - nuolatinis.

Pirmiausia ieškome bendro homogeninės lygties (3) sprendinio. Jei charakteristikos lygtis (4) nėra šaknies, tada ieškome konkretaus sprendimo tokia forma:
,
Kur
;
;
s – didžiausias iš s 1 ir s 2 .

Jei charakteristikos lygtis (4) turi šaknį daugumą, tada ieškome konkretaus sprendimo formoje:
.

Po to gauname bendrą sprendimą:
.

Tiesinės nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais

Čia yra trys galimi sprendimai.

1) Bernulli metodas.
Pirma, randame bet kokį nulinį homogeninės lygties sprendimą
.
Tada atliekame pakeitimą
,
kur yra kintamojo x funkcija. Gauname u diferencialinę lygtį, kurioje yra tik u išvestinės x atžvilgiu. Atlikdami pakeitimą, gauname lygtį n - 1 - įsakymas.

2) Tiesinio pakeitimo metodas.
Padarykime pakaitalą
,
kur yra viena iš charakteristikų lygties (4) šaknų. Dėl to gauname tiesinę nehomogeninę lygtį su pastoviais eilės koeficientais. Nuosekliai taikydami šį pakeitimą, pradinę lygtį sumažiname iki pirmos eilės lygties.

3) Lagranžo konstantų kitimo metodas.
Šiuo metodu pirmiausia išsprendžiame homogeninę lygtį (3). Jo sprendimas atrodo taip:
(2) .
Toliau darome prielaidą, kad konstantos yra kintamojo x funkcijos. Tada pradinės lygties sprendimas turi tokią formą:
,
kur nežinomos funkcijos. Pakeitę pradinę lygtį ir nustatę tam tikrus apribojimus, gauname lygtis, iš kurių galime rasti funkcijų tipą.

Eilerio lygtis

Jis redukuojamas į tiesinę lygtį su pastoviais koeficientais pakeičiant:
.
Tačiau norint išspręsti Eulerio lygtį, tokio pakeitimo atlikti nereikia. Formoje galite iš karto ieškoti vienalytės lygties sprendimo
.
Dėl to gauname tas pačias taisykles kaip ir lygčiai su pastoviais koeficientais, kuriose vietoj kintamojo reikia pakeisti .

Nuorodos:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, „LKI“, 2015 m.
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, „Lan“, 2003 m.

Linijinės diferencialinės sistemos lygtys.

Diferencialinių lygčių sistema vadinama linijinis, jeigu jis tiesinis nežinomų funkcijų ir jų išvestinių atžvilgiu. sistema n-1-osios eilės tiesinės lygtys parašytos tokia forma:

Sistemos koeficientai yra pastovūs.

Šią sistemą patogu rašyti matricine forma: ,

kur yra nežinomų funkcijų stulpelio vektorius, priklausantis nuo vieno argumento.

Šių funkcijų išvestinių stulpelių vektorius.

Laisvųjų narių stulpelio vektorius.

Koeficientų matrica.

1 teorema: Jei visi matricos koeficientai A yra tęstiniai tam tikru intervalu ir , Tada tam tikroje kiekvieno m kaimynystėje. TS&E sąlygos yra įvykdytos. Vadinasi, per kiekvieną tokį tašką eina viena integralioji kreivė.

Iš tiesų šiuo atveju dešiniosios sistemos pusės yra ištisinės argumentų aibės atžvilgiu, o jų dalinės išvestinės (lygios matricos A koeficientams) yra ribotos dėl tęstinumo uždarame intervale.

SLD sprendimo metodai

1. Diferencialinių lygčių sistema gali būti sumažinta iki vienos lygties, pašalinus nežinomuosius.

Pavyzdys: Išspręskite lygčių sistemą: (1)

Sprendimas: Neįtraukti z iš šių lygčių. Iš pirmosios lygties turime . Pakeitus antrąja lygtimi, supaprastinus gauname: .

Ši lygčių sistema (1) redukuota į vieną antros eilės lygtį. Iš šios lygties radę y, reikėtų rasti z, naudojant lygybę.

2. Sprendžiant lygčių sistemą pašalinant nežinomuosius, dažniausiai gaunama aukštesnės eilės lygtis, todėl daugeliu atvejų sistemą patogiau išspręsti ieškant integruoti deriniai.

Tęsinys 27b

Pavyzdys: Išspręskite sistemą

Sprendimas:

Išspręskime šią sistemą naudodami Eilerio metodą. Užrašykime determinantą charakteristikai rasti

lygtis: , (kadangi sistema yra vienalytė, kad ji turėtų netrivialų sprendimą, šis determinantas turi būti lygus nuliui). Gauname charakteringą lygtį ir randame jos šaknis:

Bendras sprendimas yra toks: ;

- savasis vektorius.

Užrašome sprendimą: ;

- savasis vektorius.

Užrašome sprendimą: ;

Gauname bendrą sprendimą: .

Patikrinkime:

suraskime : ir pakeiskime pirmąja šios sistemos lygtimi, t.y. .

Mes gauname:

- tikra lygybė.

Linijinis skirtumas. n-osios eilės lygtis. Nehomogeninės n-osios eilės tiesinės lygties bendrojo sprendimo teorema.

N-osios eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra tokios formos lygtis: (1)

Jei ši lygtis turi koeficientą, tada padalijus iš jo gauname lygtį: (2) .

Paprastai lygtys tipo (2). Tarkime, kad ur-i (2) visi šansai, taip pat f(x) nuolatinis tam tikru intervalu (a, b). Tada, pagal TS&E, lygtis (2) turi unikalų sprendimą, kuris tenkina pradines sąlygas: , , …, for . Čia - bet kuris taškas iš intervalo (a, b), ir visi – bet kokie nurodyti skaičiai. Lygtis (2) tenkina TC&E , todėl neturi specialūs sprendimai.

Def.: specialus taškai yra tie, kuriuose =0.

Tiesinės lygties savybės:

1. Tiesinė lygtis išlieka tokia bet kokiam nepriklausomo kintamojo pokyčiui.
2. Tiesinė lygtis išlieka tokia bet kokiam norimos funkcijos tiesiniam pokyčiui.

Numatyta: jei lygtyje (2) įdėti f(x)=0, tada gauname formos lygtį: (3) , kuris vadinamas vienalytė lygtis nehomogeninės lygties atžvilgiu (2).

Pristatykime tiesinį diferencialinį operatorių: (4). Naudodami šį operatorių galite trumpai perrašyti lygtį (2) Ir (3): L(y)=f(x), L(y)=0. operatorius (4) turi šias paprastas savybes:

Iš šių dviejų savybių galima padaryti išvadą: .

Funkcija y=y(x) yra nehomogeninės lygties sprendimas (2), Jeigu L(y(x))=f(x), Tada f(x) vadinamas lygties sprendiniu. Taigi lygties sprendimas (3) vadinama funkcija y(x), Jei L(y(x))=0 aptartais intervalais.

Apsvarstykite nehomogeninė tiesinė lygtis: , L(y)=f(x).

Tarkime, kad tam tikru būdu radome konkretų sprendimą, tada .

Pristatykime naują nežinomą funkciją z pagal formulę: , kur yra tam tikras sprendimas.

Pakeiskime jį į lygtį: , atidarykite skliaustus ir gaukite: .

Gautą lygtį galima perrašyti taip:

Kadangi yra ypatingas pradinės lygties sprendimas, tada .

Taigi mes gavome vienalytę lygtį atžvilgiu z. Bendras šios vienalytės lygties sprendimas yra tiesinis derinys: , kur funkcijos - sudaro pagrindinę homogeninės lygties sprendinių sistemą. Pakeitimas zį pakeitimo formulę gauname: (*) funkcijai y– nežinoma pradinės lygties funkcija. Visi pradinės lygties sprendiniai bus pateikti (*).

Taigi bendras nehomogeninės linijos sprendimas. lygtis pavaizduota kaip homogeninės tiesinės lygties bendrojo sprendinio ir tam tikro nehomogeninės lygties sprendinio suma.

(tęsinys kitoje pusėje)

30. Diferencialo sprendinio egzistavimo ir unikalumo teorema. lygtys

Teorema: Jei dešinioji lygties pusė yra ištisinė stačiakampyje ir yra ribotas, taip pat tenkina Lipschitz sąlygą: , N=const, tada yra unikalus sprendimas, kuris tenkina pradines sąlygas ir yra apibrėžtas segmente , Kur.

Įrodymas:

Apsvarstykite visą metrinę erdvę SU, kurių taškai yra visos galimos tolydžios funkcijos y(x), apibrėžtos intervale , kurių grafikai yra stačiakampio viduje, o atstumas nustatomas pagal lygybę: . Ši erdvė dažnai naudojama matematinėje analizėje ir vadinama vienodos konvergencijos erdvė, nes šios erdvės metrikos konvergencija yra vienoda.

Pakeiskime diferencialą. lygtis su nurodytomis pradinėmis sąlygomis į ekvivalentinę integralinę lygtį: ir atsižvelgti į operatorių A(y), lygus dešiniajai šios lygties pusei: . Šis operatorius priskiria kiekvienai nuolatinei funkcijai

Naudodamiesi Lipšico nelygybe, galime parašyti, kad atstumas . Dabar išsirinkime vieną, kuriai galiotų ši nelygybė: .

Turėtumėte pasirinkti taip, kad tada. Taip mes parodėme, kad.

Pagal susitraukimo atvaizdavimo principą yra vienas taškas arba, kas yra tas pats, viena funkcija – diferencialinės lygties sprendimas, tenkinantis pateiktas pradines sąlygas.

n– įsakymas

Teorema. Jeigu y 0- vienalytės lygties sprendimas L[y]=0, y 1- atitinkamos nehomogeninės lygties sprendimas L[y] = f(x), tada suma y 0 +y 1 yra šios nehomogeninės lygties sprendimas.

Nehomogeninės lygties bendrojo sprendinio struktūra nustatoma pagal tokią teoremą.

Teorema. Jeigu Y- konkretus lygties sprendimas L[y] = f(x) su nuolatiniais koeficientais, - atitinkamos homogeninės lygties bendrasis sprendimas L[y] = 0, tada šios nehomogeninės lygties bendrasis sprendimas nustatomas pagal formulę

komentuoti. Norint užrašyti bendrą tiesinės nehomogeninės lygties sprendinį, reikia rasti tam tikrą šios lygties sprendinį ir bendrą atitinkamos vienalytės lygties sprendimą.

Tiesinės nehomogeninės lygtys n

Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę lygtį n-toji eilė su pastoviais koeficientais

Kur a 1, a 2, …, a n- realūs skaičiai. Parašykime atitinkamą vienalytę lygtį

Bendrasis nehomogeninės lygties sprendinys nustatomas pagal formulę

Bendrasis vienalytės lygties sprendimas y 0 galime rasti konkretų sprendimą Y galima rasti neapibrėžtųjų koeficientų metodu šiais paprastais atvejais:

Bendruoju atveju naudojamas savavališkų konstantų keitimo metodas.

Savavališkų konstantų kitimo metodas

Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę lygtį n-toji eilė su kintamaisiais koeficientais

Jei sunku rasti konkretų šios lygties sprendimą, bet bendras atitinkamos homogeninės lygties sprendimas yra žinomas, tada galima rasti bendrą nehomogeninės lygties sprendimą savavališkų konstantų kitimo metodas.

Tegu atitinkama vienalytė lygtis

turi bendrą sprendimą

Bendro nehomogeninės lygties sprendinio ieškosime formoje

Kur y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x) yra tiesiškai nepriklausomi vienarūšės lygties, įtrauktos į jos bendrąjį sprendinį, sprendiniai, ir C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- nežinomos funkcijos. Norėdami rasti šias funkcijas, nustatykime joms tam tikras sąlygas.

Raskime išvestinę

Mes reikalaujame, kad suma antrajame skliaustelyje būtų lygi nuliui, tai yra

Raskime antrąją išvestinę

ir mes to reikalausime

Tęsdami panašų procesą, gauname

Šiuo atveju negalima reikalauti, kad antrajame skliaustelyje esanti suma išnyktų, nes funkcijos C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) jau pavaldūs n-1 sąlygomis, bet vis tiek turite patenkinti pradinę nehomogeninę lygtį.