Svarstoma diskrečiųjų pasiskirstymo savybė sukelia didelių sunkumų sudarant ir naudojant tokius skirstinius, nes neįmanoma tiksliai išlaikyti tipinių skaitinių pasiskirstymo charakteristikų verčių. Visų pirma, tai pasakytina apie neparametrinių statistinių testų kritines vertes ir reikšmingumo lygius (žr. toliau), nes šių testų statistikos pasiskirstymas yra atskiras.

Kvantilė turi didelę reikšmę statistikoje R= ½. Jis vadinamas mediana (atsitiktinis kintamasis X arba jo paskirstymo funkcija F(x)) ir yra paskirtas Aš (X). Geometrijoje yra „medianos“ sąvoka - tiesi linija, einanti per trikampio viršūnę ir dalijanti jo priešingą kraštą per pusę. Matematinės statistikos mediana į pusę dalija ne trikampio kraštinę, o atsitiktinio dydžio skirstinį: lygybę F(x 0,5)= 0,5 reiškia, kad tikimybė patekti į kairę x 0,5 ir tikimybė patekti į dešinę x 0,5(arba tiesiai į x 0,5) yra lygūs vienas kitam ir lygūs ½, t.y.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Mediana nurodo pasiskirstymo „centrą“. Vienos iš šiuolaikinių sąvokų – stabilių statistinių procedūrų teorijos – požiūriu, mediana yra geresnė atsitiktinio dydžio charakteristika nei matematinis lūkestis. Apdorojant matavimo rezultatus eilės skalėje (žr. skyrių apie matavimo teoriją), galima naudoti medianą, bet ne matematinį lūkestį.

Atsitiktinių dydžių charakteristika, pvz., režimas, turi aiškią prasmę – atsitiktinio dydžio reikšmė (ar reikšmės), atitinkanti nuolatinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio vietinį maksimumą arba diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybės lokalų maksimumą. .

Jeigu x 0– atsitiktinio dydžio su tankiu režimas f(x), tada, kaip žinoma iš diferencialinio skaičiavimo, .

Atsitiktinis kintamasis gali turėti daug režimų. Taigi, vienodam paskirstymui (1) kiekvienas taškas X toks kad a< x < b , yra mada. Tačiau tai išimtis. Dauguma atsitiktinių dydžių, naudojamų tikimybiniuose statistiniuose sprendimų priėmimo ir kitų taikomųjų tyrimų metoduose, turi vieną režimą. Atsitiktiniai dydžiai, tankiai, skirstiniai, turintys vieną režimą, vadinami unimodaliniais.

Matematinis lūkestis dėl diskrečiųjų atsitiktinių dydžių su baigtiniu reikšmių skaičiumi aptariamas skyriuje „Įvykiai ir tikimybės“. Dėl nuolatinio atsitiktinio dydžio X tikėtina vertė M(X) tenkina lygybę

kuri yra (5) formulės analogas iš skyriaus „Įvykiai ir tikimybės“ 2 teiginio.

5 pavyzdys. Tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio lūkestis X lygus

Šiame skyriuje aptartiems atsitiktiniams dydžiams visos tos matematinių lūkesčių ir dispersijų savybės, kurios anksčiau buvo nagrinėjamos diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams su baigtiniu reikšmių skaičiumi, yra teisingos. Tačiau šių savybių įrodymų nepateikiame, nes jos reikalauja gilinimosi į matematines subtilybes, o tai nėra būtina tikimybinių-statistinių sprendimų priėmimo metodų supratimui ir kvalifikuotam taikymui.

komentuoti.Šiame vadovėlyje sąmoningai vengiama matematinių subtilybių, ypač susijusių su išmatuojamų aibių ir išmatuojamų funkcijų sąvokomis, įvykių algebra ir kt. Norintys įsisavinti šias sąvokas turėtų kreiptis į specializuotą literatūrą, ypač į enciklopediją.

Kiekviena iš trijų charakteristikų – matematinė prognozė, mediana, režimas – apibūdina tikimybių skirstinio „centrą“. „Centro“ sąvoka gali būti apibrėžta įvairiai – taigi trys skirtingos charakteristikos. Tačiau svarbios pasiskirstymo klasės – simetrinio unimodalinio – visos trys charakteristikos sutampa.

Pasiskirstymo tankis f(x)– simetrinio skirstinio tankis, jei yra skaičius x 0 toks kad

. (3)

Lygybė (3) reiškia, kad funkcijos grafikas y = f(x) simetriškas vertikalios linijos, einančios per simetrijos centrą, atžvilgiu X = X 0 . Iš (3) išplaukia, kad simetrinio skirstinio funkcija tenkina ryšį

(4)

Simetriškam pasiskirstymui su vienu režimu matematinė lūkestis, mediana ir režimas sutampa ir yra vienodi x 0.

Svarbiausias atvejis – simetrija apie 0, t.y. x 0= 0. Tada (3) ir (4) tampa lygybėmis

(6)

atitinkamai. Aukščiau pateikti ryšiai rodo, kad nebūtina pateikti simetrinių skirstinių visiems X, pakanka turėti staliukus x > x 0.

Atkreipkime dėmesį į dar vieną simetrinių skirstinių savybę, kuri nuolat naudojama tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo ir kituose taikomuosiuose tyrimuose. Nepertraukiamai paskirstymo funkcijai

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

Kur F– atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X. Jei paskirstymo funkcija F yra simetriškas apie 0, t.y. formulė (6) galioja, tada

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Dažnai vartojama kita aptariamo teiginio formuluotė: jeigu

.

Jei ir yra pasiskirstymo funkcijos eilės kvantiliai ir atitinkamai (žr. (2)), simetriški apie 0, tai iš (6) išplaukia, kad

Nuo padėties charakteristikų – matematinės lūkesčių, medianos, režimo – pereikime prie atsitiktinio dydžio sklaidos charakteristikų. X: dispersija, standartinis nuokrypis ir variacijos koeficientas v. Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių dispersijos apibrėžimas ir savybės buvo aptarti ankstesniame skyriuje. Dėl nuolatinių atsitiktinių dydžių

Standartinis nuokrypis yra neneigiama dispersijos kvadratinės šaknies reikšmė:

Variacijos koeficientas yra standartinio nuokrypio ir matematinio lūkesčio santykis:

Variacijos koeficientas taikomas, kai M(X)> 0. Jis matuoja skirtumą santykiniais vienetais, o standartinis nuokrypis – absoliučiais vienetais.

6 pavyzdys. Tolygiai paskirstytam atsitiktiniam dydžiui X Raskime dispersiją, standartinį nuokrypį ir variacijos koeficientą. Skirtumas yra:

Pakeitus kintamąjį galima rašyti:

Kur c = (b – a)/ 2. Todėl standartinis nuokrypis yra lygus, o variacijos koeficientas yra:

Kiekvienam atsitiktiniam dydžiui X nustatyti dar tris dydžius – centre Y, normalizuotas V ir duota U. Centruotas atsitiktinis kintamasis Y yra skirtumas tarp nurodyto atsitiktinio dydžio X ir jo matematinis lūkestis M(X), tie. Y = X – M(X). Centrinio atsitiktinio dydžio lūkestis Y lygi 0, o dispersija yra nurodyto atsitiktinio dydžio dispersija: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Paskirstymo funkcija F Y(x) centruotas atsitiktinis kintamasis Y susiję su paskirstymo funkcija F(x) originalus atsitiktinis dydis X santykis:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Šių atsitiktinių dydžių tankiai tenkina lygybę

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normalizuotas atsitiktinis dydis V yra tam tikro atsitiktinio dydžio santykis X iki jo standartinio nuokrypio, t.y. . Normalizuoto atsitiktinio dydžio lūkestis ir dispersija V išreikštas per charakteristikas X Taigi:

,

Kur v– pradinio atsitiktinio dydžio variacijos koeficientas X. Dėl paskirstymo funkcijos F V(x) ir tankis f V(x) normalizuotas atsitiktinis dydis V mes turime:

Kur F(x) – pradinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X, A f(x) – jo tikimybės tankis.

Sumažintas atsitiktinis dydis U yra centruotas ir normalizuotas atsitiktinis kintamasis:

.

Pateiktam atsitiktiniam dydžiui

Normalizuoti, centruoti ir redukuoti atsitiktiniai dydžiai yra nuolat naudojami tiek teoriniuose tyrimuose, tiek algoritmuose, programinės įrangos produktuose, norminėje, techninėje ir mokomojoje dokumentacijoje. Visų pirma, nes lygybės leidžia supaprastinti metodų pagrindimą, teoremų ir skaičiavimo formulių formulavimą.

Naudojamos atsitiktinių dydžių transformacijos ir bendresni. Taigi, jei Y = aX + b, Kur a Ir b– Tada kai kurie skaičiai

7 pavyzdys. Jei tada Y yra redukuotas atsitiktinis dydis, o formulės (8) transformuojamos į formules (7).

Su kiekvienu atsitiktiniu dydžiu X galite susieti daug atsitiktinių dydžių Y, pateikta pagal formulę Y = aX + b skirtinguose a> 0 ir b. Šis rinkinys vadinamas masto poslinkio šeima, sugeneruotas atsitiktinio dydžio X. Paskirstymo funkcijos F Y(x) sudaro skalės poslinkio skirstinių šeimą, kurią generuoja pasiskirstymo funkcija F(x). Vietoj Y = aX + b dažnai naudoja įrašymą

Skaičius Su vadinamas poslinkio parametru ir skaičiumi d- mastelio parametras. Formulė (9) tai rodo X– tam tikro kiekio matavimo rezultatas – patenka į U– to paties dydžio matavimo rezultatas, jei matavimo pradžia perkeliama į tašką Su, tada naudokite naują matavimo vienetą d kartų didesnis nei senasis.

Mastelio poslinkio šeimai (9) X pasiskirstymas vadinamas standartiniu. Tikimybiniuose statistiniuose sprendimų priėmimo ir kitų taikomųjų tyrimų metoduose naudojamas standartinis normaliasis skirstinys, standartinis Veibulo-Gnedenko skirstinys, standartinis gama skirstinys ir kt. (žr. toliau).

Taip pat naudojamos ir kitos atsitiktinių dydžių transformacijos. Pavyzdžiui, teigiamam atsitiktiniam dydžiui X svarsto Y= žurnalas X, kur lg X– skaičiaus dešimtainis logaritmas X. Lygybių grandinė

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

jungia paskirstymo funkcijas X Ir Y.

Apdorojant duomenis, naudojamos šios atsitiktinio dydžio charakteristikos X kaip tvarkos akimirkos q, t.y. matematiniai atsitiktinio dydžio lūkesčiai Xq, q= 1, 2, ... Taigi pats matematinis lūkestis yra 1 eilės momentas. Diskretiniam atsitiktiniam dydžiui eilės momentas q galima skaičiuoti kaip

Dėl nuolatinio atsitiktinio dydžio

Tvarkos akimirkos q dar vadinami pradiniais tvarkos momentais q, priešingai susijusioms charakteristikoms – centriniai tvarkos momentai q, pateikta pagal formulę

Taigi, dispersija yra pagrindinis 2 eilės momentas.

Normalusis skirstinys ir centrinės ribos teorema. Tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose dažnai kalbame apie normalųjį skirstinį. Kartais jie bando jį naudoti modeliuodami pradinių duomenų pasiskirstymą (šie bandymai ne visada pagrįsti – žr. toliau). Dar svarbiau, kad daugelis duomenų apdorojimo metodų yra pagrįsti tuo, kad apskaičiuotos vertės turi artimą normaliam pasiskirstymui.

Leisti X 1 , X 2 ,…, X n M(X i) = m ir dispersijos D(X i) = , i = 1, 2,…, n,... Kaip matyti iš ankstesnio skyriaus rezultatų,

Apsvarstykite sumažintą atsitiktinį kintamąjį U n už sumą , būtent,

Kaip matyti iš (7) formulių, M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(dėl vienodai paskirstytų terminų). Leisti X 1 , X 2 ,…, X n, … – nepriklausomi identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais M(X i) = m ir dispersijos D(X i) = , i = 1, 2,…, n,... Tada bet kuriam x yra riba

Kur F(x)– standartinio normaliojo skirstinio funkcija.

Daugiau apie funkciją F(x) –žemiau (skaitykite „fi iš x“, nes F– graikų didžioji raidė „phi“).

Centrinės ribos teorema (CLT) gavo savo pavadinimą, nes tai yra pagrindinis, dažniausiai naudojamas matematinis tikimybių teorijos ir matematinės statistikos rezultatas. CLT istorija trunka apie 200 metų – nuo ​​1730 m., kai anglų matematikas A. Moivre'as (1667-1754) paskelbė pirmąjį rezultatą, susijusį su CLT (žr. toliau apie Moivre-Laplace teoremą), iki XX ir 30 m. XX amžiuje, kai suomis J.W. Lindebergas, prancūzas Paulas Levy (1886-1971), jugoslavas V. Felleris (1906-1970), rusas A.Ya. Khinchinas (1894-1959) ir kiti mokslininkai gavo būtinas ir pakankamas sąlygas klasikinės centrinės ribos teoremos galiojimui.

Nagrinėjamos temos plėtojimas tuo nesibaigė – buvo tiriami atsitiktiniai dydžiai, kurie neturi dispersijos, t.y. tie, kuriems

(akademikas B.V. Gnedenko ir kt.), situacija, kai sumuojami sudėtingesnio pobūdžio atsitiktiniai dydžiai (tiksliau atsitiktiniai elementai) nei skaičiai (akademikai Ju.V.Prochorovas, A.A.Borovkovas ir jų bendražygiai) ir kt. .d.

Paskirstymo funkcija F(x) suteikia lygybė

,

kur yra standartinio normaliojo skirstinio tankis, kurio išraiška gana sudėtinga:

.

Čia =3,1415925… yra geometrijoje žinomas skaičius, lygus apskritimo ir skersmens santykiui, e = 2,718281828... - natūraliųjų logaritmų bazė (norėdami prisiminti šį skaičių, atkreipkite dėmesį, kad 1828 m. yra rašytojo L. N. Tolstojaus gimimo metai). Kaip žinoma iš matematinės analizės,

Apdorojant stebėjimo rezultatus normaliojo skirstinio funkcija skaičiuojama ne pagal pateiktas formules, o randama naudojant specialias lenteles ar kompiuterines programas. Geriausias „matematinės statistikos lenteles“ rusų kalba sudarė atitinkami SSRS mokslų akademijos nariai L. N. Bolševas ir N. V. Smirnovas.

Standartinio normaliojo skirstinio tankio forma išplaukia iš matematinės teorijos, kurios čia negalime nagrinėti, taip pat iš CLT įrodymo.

Iliustracijai pateikiame mažas paskirstymo funkcijos lenteles F(x)(2 lentelė) ir jo kvantiliai (3 lentelė). Funkcija F(x) simetriškas apie 0, tai atsispindi 2-3 lentelėje.

2 lentelė.

Standartinė normalaus pasiskirstymo funkcija.

Jei atsitiktinis dydis X turi paskirstymo funkciją F(x), Tai M(X) = 0, D(X) = 1. Šis teiginys yra įrodytas tikimybių teorijoje, remiantis tikimybių tankio tipu. Tai atitinka panašų teiginį apie sumažinto atsitiktinio dydžio charakteristikas U n, o tai visiškai natūralu, nes CLT teigia, kad neribotai padidėjus terminų skaičiui, paskirstymo funkcija U n linksta į standartinę normalaus pasiskirstymo funkciją F(x), ir bet kokiam X.

3 lentelė.

Standartinio normaliojo skirstinio kvantai.

Pateikiame normaliųjų skirstinių šeimos sampratą. Pagal apibrėžimą normalusis skirstinys yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymas X, kuriam redukuoto atsitiktinio dydžio skirstinys yra F(x). Kaip matyti iš bendrųjų mastelio poslinkių skirstinių šeimų savybių (žr. aukščiau), normalusis skirstinys yra atsitiktinio dydžio skirstinys.

Kur X– atsitiktinis dydis su pasiskirstymu F(X), ir m = M(Y), = D(Y). Normalus pasiskirstymas su poslinkio parametrais m ir paprastai nurodomas mastas N(m, ) (kartais naudojamas užrašas N(m, ) ).

Kaip matyti iš (8), normaliojo skirstinio tikimybės tankis N(m, ) Yra

Normalūs skirstiniai sudaro mastelio poslinkių šeimą. Šiuo atveju skalės parametras yra d= 1/ , ir poslinkio parametras c = - m/ .

Normaliojo skirstinio trečios ir ketvirtos eilės centriniams momentams galioja šios lygybės:

Šios lygybės sudaro klasikinių metodų, skirtų patikrinti, ar stebėjimai atitinka normalųjį pasiskirstymą, pagrindą. Šiais laikais paprastai rekomenduojama patikrinti normalumą naudojant kriterijų WŠapiro – Vilka. Normalumo tikrinimo problema aptariama toliau.

Jei atsitiktiniai dydžiai X 1 Ir X 2 turi paskirstymo funkcijas N(m 1 , 1) Ir N(m 2 , 2) atitinkamai tada X 1+ X 2 turi paskirstymą Todėl jei atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 ,…, X n N(m, ) , tada jų aritmetinis vidurkis

turi paskirstymą N(m, ) . Šios normalaus skirstinio savybės nuolat naudojamos įvairiuose tikimybiniuose ir statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose, ypač technologinių procesų statistiniame reguliavime ir kiekybiniais kriterijais pagrįstoje statistinėje priėmimo kontrolėje.

Naudojant normalųjį skirstinį, apibrėžiami trys skirstiniai, kurie dabar dažnai naudojami apdorojant statistinius duomenis.

Distribution (chi - square) – atsitiktinio dydžio pasiskirstymas

kur yra atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 ,…, X n nepriklausomi ir turi tą patį pasiskirstymą N(0,1). Šiuo atveju terminų skaičius, t.y. n, vadinamas chi kvadrato skirstinio „laisvės laipsnių skaičiumi“.

Paskirstymas t Stjudento t yra atsitiktinio dydžio skirstinys

kur yra atsitiktiniai dydžiai U Ir X nepriklausomas, U turi standartinį normalųjį pasiskirstymą N(0,1) ir X– chi pasiskirstymas – kvadratas c n laisvės laipsniai. Kuriame n vadinamas Studento skirstinio „laisvės laipsnių skaičiumi“. Tokį skirstymą 1908 metais įvedė anglų statistikas W. Gossetas, dirbęs alaus fabrike. Šioje gamykloje ekonominiams ir techniniams sprendimams priimti buvo taikomi tikimybiniai ir statistiniai metodai, todėl jos vadovybė uždraudė V. Gossetui savo vardu publikuoti mokslinius straipsnius. Tokiu būdu buvo apsaugotos komercinės paslaptys ir „know-how“ V. Gosseto sukurtais tikimybiniais ir statistiniais metodais. Tačiau jis turėjo galimybę publikuotis slapyvardžiu „Studentas“. Gosset-Student istorija rodo, kad dar šimtą metų Didžiosios Britanijos vadovai žinojo apie didesnį tikimybinių-statistinių sprendimų priėmimo metodų ekonominį efektyvumą.

Fišerio skirstinys yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymas

kur yra atsitiktiniai dydžiai X 1 Ir X 2 yra nepriklausomi ir turi chi kvadrato skirstinius su laisvės laipsnių skaičiumi k 1 Ir k 2 atitinkamai. Tuo pačiu metu pora (k 1 , k 2 ) – Fišerio paskirstymo „laisvės laipsnių“ pora, būtent, k 1 yra skaitiklio laisvės laipsnių skaičius ir k 2 – vardiklio laisvės laipsnių skaičius. Atsitiktinio dydžio F skirstinys pavadintas didžiojo anglų statistiko R. Fisherio (1890-1962), kuris jį aktyviai naudojo savo darbuose, vardu.

Specializuotoje literatūroje galima rasti chi kvadrato, Stjudento ir Fišerio pasiskirstymo funkcijų išraiškas, jų tankius ir charakteristikas, lenteles (žr., pvz.).

Kaip jau minėta, normalūs skirstiniai dabar dažnai naudojami tikimybiniuose modeliuose įvairiose taikomose srityse. Kodėl ši dviejų parametrų paskirstymo šeima yra tokia paplitusi? Ją paaiškina tokia teorema.

Centrinės ribos teorema(skirtingai paskirstytiems terminams). Leisti X 1 , X 2 ,…, X n,… - nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), ... ir dispersijos D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), ... atitinkamai. Leisti

Tada, jei yra tikros tam tikros sąlygos, užtikrinančios nedidelį bet kurio iš terminų indėlį U n,

bet kam X.

Mes čia neformuluosime aptariamų sąlygų. Jų galima rasti specializuotoje literatūroje (žr., pavyzdžiui,). „CPT veiklos sąlygų išaiškinimas yra iškilių Rusijos mokslininkų A. A. Markovo (1857–1922) ir ypač A. M. Lyapunovo (1857–1918) nuopelnas.

Centrinė ribinė teorema rodo, kad tuo atveju, kai matavimo (stebėjimo) rezultatas susidaro veikiant daugeliui priežasčių, kurių kiekviena įneša tik nedidelį indėlį, ir nustatomas bendras rezultatas. papildomai, t.y. pridedant, tada matavimo (stebėjimo) rezultato pasiskirstymas yra artimas normaliam.

Kartais manoma, kad norint, kad pasiskirstymas būtų normalus, pakanka, kad matavimo (stebėjimo) rezultatas X susidaro veikiant daugeliui priežasčių, kurių kiekviena turi nedidelę įtaką. Tai yra blogai. Svarbu, kaip šios priežastys veikia. Jei priedas, tada X turi maždaug normalųjį pasiskirstymą. Jeigu dauginamuoju būdu(t.y. atskirų priežasčių veiksmai dauginami ir nesumuojami), tada skirstymas X artima ne normaliai, o vadinamajai. logaritmiškai normalus, t.y. Ne X, o log X yra maždaug normalaus skirstinio. Jei nėra pagrindo manyti, kad veikia vienas iš šių dviejų galutinio rezultato formavimo mechanizmų (ar koks nors kitas gerai apibrėžtas mechanizmas), tai apie paskirstymą X nieko aiškaus pasakyti negalima.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad konkrečioje taikomoje užduotyje matavimo rezultatų (stebėjimų) normalumas, kaip taisyklė, negali būti nustatytas remiantis bendrais samprotavimais, jis turėtų būti tikrinamas naudojant statistinius kriterijus. Arba naudoti neparametrinius statistinius metodus, kurie nėra pagrįsti prielaidomis apie matavimo rezultatų (stebėjimų) pasiskirstymo funkcijų priklausomybę vienai ar kitai parametrų šeimai.

Tolydieji skirstiniai, naudojami tikimybiniuose ir statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose. Be normaliųjų skirstinių mastelio poslinkio šeimos, plačiai naudojamos dar kelios skirstinių šeimos – lognormalioji, eksponentinė, Weibull-Gnedenko, gama skirstiniai. Pažvelkime į šias šeimas.

Atsitiktinė vertė X turi lognormalųjį pasiskirstymą, jei atsitiktinis kintamasis Y= žurnalas X turi normalų pasiskirstymą. Tada Z= žurnalas X = 2,3026…Y taip pat turi normalų pasiskirstymą N(a 1 ,σ 1), kur ln X- natūralusis logaritmas X. Lognormalaus pasiskirstymo tankis yra:

Iš centrinės ribos teoremos išplaukia, kad sandauga X = X 1 X 2 … X n nepriklausomi teigiami atsitiktiniai dydžiai X i, i = 1, 2,…, n, laisvėje n galima aproksimuoti lognormaliu skirstiniu. Visų pirma, darbo užmokesčio ar pajamų formavimo multiplikacinis modelis lemia rekomendaciją darbo užmokesčio ir pajamų paskirstymus aproksimuoti logaritmiškai normaliais dėsniais. Rusijai ši rekomendacija pasirodė pagrįsta – tai patvirtina statistiniai duomenys.

Yra ir kitų tikimybinių modelių, vedančių į lognormalųjį dėsnį. Klasikinį tokio modelio pavyzdį pateikė A. N. Kolmogorovas, kuris iš fiziškai pagrįstos postulatų sistemos padarė išvadą, kad dalelių dydžiai smulkinant rūdos, anglies ir kt. rutuliniuose malūnuose turi lognormalų pasiskirstymą.

Pereikime prie kitos skirstinių šeimos, plačiai naudojamos įvairiuose tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo ir kituose taikomuosiuose tyrimuose – eksponentinių skirstinių šeimos. Pradėkime nuo tikimybinio modelio, kuris veda į tokius skirstinius. Norėdami tai padaryti, atsižvelkite į „įvykių srautą“, t.y. tam tikru laiko momentu vienas po kito vykstančių įvykių seka. Pavyzdžiai: skambučių srautas telefono stotyje; įrangos gedimų srautas technologinėje grandinėje; gaminio gedimų srautas gaminio testavimo metu; klientų užklausų srautas į banko skyrių; pirkėjų, besikreipiančių dėl prekių ir paslaugų, srautas ir kt. Įvykių srautų teorijoje galioja teorema, panaši į centrinę ribinę teoremą, tačiau kalbama ne apie atsitiktinių dydžių sumavimą, o apie įvykių srautų sumavimą. Mes laikome bendrą srautą, sudarytą iš daugybės nepriklausomų srautų, kurių nė vienas neturi vyraujančios įtakos bendram srautui. Pavyzdžiui, skambučių srautas, patenkantis į telefono stotį, susideda iš daugybės nepriklausomų skambučių srautų, kylančių iš atskirų abonentų. Įrodyta, kad tuo atveju, kai srautų charakteristikos nepriklauso nuo laiko, bendras srautas visiškai apibūdinamas vienu skaičiumi – srauto intensyvumu. Bendram srautui apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X- laiko intervalo tarp einančių įvykių trukmė. Jo paskirstymo funkcija turi formą

(10)

Šis skirstinys vadinamas eksponentine paskirstymu, nes (10) formulė apima eksponentinę funkciją e -λ x. Vertė 1/λ yra skalės parametras. Kartais taip pat įvedamas poslinkio parametras Su, atsitiktinio dydžio pasiskirstymas vadinamas eksponenciniu X + s, kur paskirstymas X pateikiama pagal (10) formulę.

Eksponentiniai skirstiniai yra ypatingas vadinamasis atvejis. Weibull - Gnedenko paskirstymai. Jie pavadinti inžinieriaus V. Weibull, kuris įvedė šiuos skirstinius į nuovargio testų rezultatų analizės praktiką, ir matematiko B. V. Gnedenko (1912-1995), gavusio tokius skirstinius kaip ribas tiriant maksimalų testo rezultatus. Leisti X- atsitiktinis dydis, apibūdinantis gaminio, kompleksinės sistemos, elemento (t. y. ištekliaus, veikimo laiką iki ribinės būsenos ir pan.) veikimo trukmę, įmonės veikimo trukmę ar gyvos būtybės gyvenimą ir kt. Gedimų intensyvumas vaidina svarbų vaidmenį

(11)

Kur F(x) Ir f(x) - atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija ir tankis X.

Apibūdinkime tipišką gedimo dažnio elgesį. Visą laiko intervalą galima suskirstyti į tris periodus. Pirmajame iš jų funkcija λ(x) turi dideles vertes ir aiškią tendenciją mažėti (dažniausiai mažėja monotoniškai). Tai galima paaiškinti tuo, kad atitinkamoje partijoje yra produktų vienetų su akivaizdžiais ir paslėptais defektais, dėl kurių šie gaminių vienetai gana greitai sugenda. Pirmasis laikotarpis vadinamas „įsilaužimo periodu“ (arba „įsilaužimu“). Tai paprastai apima garantinis laikotarpis.

Tada ateina normalaus veikimo laikotarpis, kuriam būdingas maždaug pastovus ir palyginti mažas gedimų dažnis. Gedimų pobūdis šiuo laikotarpiu yra staigus (avarijos, eksploatuojančio personalo klaidos ir kt.) ir nepriklauso nuo gaminio bloko veikimo trukmės.

Galiausiai paskutinis veikimo laikotarpis yra senėjimo ir susidėvėjimo laikotarpis. Gedimų pobūdis šiuo laikotarpiu yra negrįžtami fiziniai, mechaniniai ir cheminiai medžiagų pokyčiai, dėl kurių palaipsniui blogėja gaminio vieneto kokybė ir galutinai sugenda.

Kiekvienas laikotarpis turi savo funkcijų tipą λ(x). Panagrinėkime priklausomybės nuo galios klasę

λ(x) = λ 0bx b -1 , (12)

Kur λ 0 > 0 ir b> 0 – kai kurie skaitmeniniai parametrai. Vertybės b < 1, b= 0 ir b> 1 atitinka gedimų tipą atitinkamai įvažiavimo, įprasto veikimo ir senėjimo laikotarpiais.

Santykis (11) esant tam tikram nesėkmių dažniui λ(x)- funkcijos diferencialinė lygtis F(x). Iš diferencialinių lygčių teorijos išplaukia, kad

(13)

Pakeitę (12) į (13), gauname tai

(14)

(14) formule pateiktas skirstinys vadinamas Weibull – Gnedenko skirstiniu. Nes

tada iš (14) formulės išplaukia, kad kiekis A, pateiktas pagal (15) formulę, yra skalės parametras. Kartais įvedamas ir poslinkio parametras, t.y. Vadinamos Weibull-Gnedenko paskirstymo funkcijos F(x - c), kur F(x) yra pateikta formule (14), kai λ 0 ir b.

Weibull-Gnedenko pasiskirstymo tankis turi formą

(16)

Kur a> 0 – skalės parametras, b> 0 – formos parametras, Su- poslinkio parametras. Šiuo atveju parametras A iš (16) formulės yra susieta su parametru λ 0 iš (14) formulės pagal (15) formulėje nurodytą ryšį.

Eksponentinis skirstinys yra labai ypatingas Weibull-Gnedenko skirstinio atvejis, atitinkantis formos parametro reikšmę b = 1.

Weibull-Gnedenko skirstinys taip pat naudojamas kuriant tikimybinius situacijų modelius, kai objekto elgesį lemia „silpniausia grandis“. Yra analogija su grandine, kurios saugumas nustatomas pagal mažiausiai tvirtą grandį. Kitaip tariant, tegul X 1 , X 2 ,…, X n- nepriklausomi identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai,

X(1)=min( X 1, X 2,…, X n), X(n)=max( X 1, X 2,…, X n).

Daugelyje taikomų problemų jie atlieka svarbų vaidmenį X(1) Ir X(n) , ypač tiriant maksimalias galimas tam tikrų verčių vertes ("įrašus"), pavyzdžiui, draudimo išmokas ar nuostolius dėl komercinės rizikos, tiriant plieno elastingumo ir patvarumo ribas, daugybę patikimumo charakteristikų ir kt. . Parodyta, kad dideliems n skirstiniai X(1) Ir X(n) , kaip taisyklė, yra gerai aprašyti Weibull-Gnedenko skirstiniuose. Esminis indėlis į skirstinių tyrimą X(1) Ir X(n) prisidėjo sovietų matematikas B.V.Gnedenko. Ekonomikos, vadybos, technologijų ir kitose srityse gautų rezultatų panaudojimui skirti V. Weibull, E. Gumbel, V. B. darbai. Nevzorova, E.M. Kudlajevas ir daugelis kitų specialistų.

Pereikime prie gama skirstinių šeimos. Jie plačiai naudojami ekonomikoje ir vadyboje, patikimumo ir testavimo teorijoje ir praktikoje, įvairiose technologijos srityse, meteorologijoje ir kt. Visų pirma, daugelyje situacijų gama pasiskirstymas priklauso nuo tokių dydžių kaip bendras gaminio eksploatavimo laikas, laidžių dulkių dalelių grandinės ilgis, laikas, per kurį gaminys pasiekia ribinę būseną korozijos metu, veikimo laikas. k– atsisakymas, k= 1, 2, … ir tt Lėtinėmis ligomis sergančių pacientų gyvenimo trukmė ir laikas pasiekti tam tikrą efektą gydymo metu kai kuriais atvejais turi gama pasiskirstymą. Šis skirstinys labiausiai tinka paklausai apibūdinti ekonominiuose ir matematiniuose atsargų valdymo (logistikos) modeliuose.

Gama pasiskirstymo tankis turi formą

(17)

Tikimybių tankis (17) formulėje nustatomas pagal tris parametrus a, b, c, Kur a>0, b>0. Kuriame a yra formos parametras, b- mastelio parametras ir Su- poslinkio parametras. veiksnys 1/Γ(а) normalizuojasi, buvo pristatyta

Čia Γ(a)- viena iš specialiųjų matematikoje naudojamų funkcijų, vadinamoji „gama funkcija“, pagal kurią įvardijamas skirstinys, pateiktas pagal (17) formulę,

Esant fiksuotam A formulė (17) nurodo mastelio poslinkio skirstinių šeimą, kurią generuoja skirstinys su tankiu

(18)

Formos (18) skirstinys vadinamas standartiniu gama skirstiniu. Jis gaunamas iš (17) formulės b= 1 ir Su= 0.

Ypatingas gama skirstinių atvejis A= 1 yra eksponentinis skirstinys (su λ = 1/b). Su natūraliu A Ir Su=0 gama skirstiniai vadinami Erlango skirstiniais. Iš danų mokslininko K.A.Erlango (1878-1929), Kopenhagos telefonų kompanijos darbuotojo, studijavusio 1908-1922 m., darbų. pradėjo veikti telefono tinklai, pradėta kurti eilių teorija. Ši teorija nagrinėja tikimybinį ir statistinį sistemų, kuriose aptarnaujamas užklausų srautas, modeliavimą, kad būtų priimti optimalūs sprendimai. Erlang skirstiniai naudojami tose pačiose taikymo srityse, kuriose naudojami eksponentinis skirstinys. Tai pagrįsta šiuo matematiniu faktu: k nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma, kuri yra eksponentiškai paskirstyta su tais pačiais parametrais λ ir Su, turi gama pasiskirstymą su formos parametru a =k, mastelio parametras b= 1/λ ir poslinkio parametras kc. At Su= 0 gauname Erlang skirstinį.

Jei atsitiktinis dydis X turi gama skirstinį su formos parametru A toks kad d = 2 a- sveikasis skaičius, b= 1 ir Su= 0, tada 2 X turi chi kvadrato skirstinį su d laisvės laipsniai.

Atsitiktinė vertė X su gvmma pasiskirstymu turi šias charakteristikas:

Tikėtina vertė M(X) =ab + c,

Dispersija D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Variacijos koeficientas

Asimetrija

Perteklius

Normalusis skirstinys yra kraštutinis gama pasiskirstymo atvejis. Tiksliau, tegul Z yra atsitiktinis dydis, turintis standartinį gama pasiskirstymą, pateiktą pagal (18) formulę. Tada

bet kuriam realiam skaičiui X, Kur F(x)- standartinė normalaus pasiskirstymo funkcija N(0,1).

Taikomuosiuose tyrimuose naudojamos ir kitos parametrinės skirstinių šeimos, iš kurių žinomiausios yra Pirsono kreivių sistema, Edgeworth ir Charlier serijos. Į juos čia neatsižvelgiama.

Diskretus skirstiniai, naudojami tikimybiniuose ir statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose. Dažniausiai naudojamos trys diskrečiųjų skirstinių šeimos – binominis, hipergeometrinis ir Puasono, taip pat kai kurios kitos šeimos – geometrinė, neigiama dvinarė, daugianarė, neigiama hipergeometrinė ir kt.

Kaip jau minėta, binominis pasiskirstymas vyksta nepriklausomuose bandymuose, kurių kiekviename yra tikimybė R pasirodo įvykis A. Jei bendras bandymų skaičius n duota, tada testų skaičius Y, kuriame pasirodė įvykis A, turi binominį skirstinį. Binominiam skirstiniui tikimybė, kad jis bus priimtas kaip atsitiktinis kintamasis, yra Y vertybes y nustatoma pagal formulę

Derinių skaičius n elementai pagal y, žinomas iš kombinatorikos. Visiems y, išskyrus 0, 1, 2, …, n, mes turime P(Y= y)= 0. Binominis skirstinys su fiksuotu imties dydžiu n yra nurodytas parametru p, t.y. binominiai skirstiniai sudaro vieno parametro šeimą. Jie naudojami analizuojant imtinių tyrimų duomenis, ypač tiriant vartotojų pageidavimus, selektyvią produktų kokybės kontrolę pagal vieno etapo kontrolės planus, tiriant asmenų populiacijas demografijos, sociologijos, medicinos, biologijos ir kt. .

Jeigu Y 1 Ir Y 2 - nepriklausomi dvinariai atsitiktiniai dydžiai su tuo pačiu parametru p 0 , nustatytas iš mėginių su tūriais n 1 Ir n 2 atitinkamai tada Y 1 + Y 2 - binominis atsitiktinis dydis, kurio skirstinys (19) su R = p 0 Ir n = n 1 + n 2 . Ši pastaba praplečia dvinario skirstinio pritaikomumą, leisdama sujungti kelių testų grupių rezultatus, kai yra pagrindo manyti, kad tas pats parametras atitinka visas šias grupes.

Binominio skirstinio charakteristikos buvo apskaičiuotos anksčiau:

M(Y) = n.p., D(Y) = n.p.( 1- p).

Skyriuje „Įvykiai ir tikimybės“ įrodytas didelių skaičių dėsnis dvinariui atsitiktiniam dydžiui:

bet kam. Naudojant centrinę ribinę teoremą, didelių skaičių dėsnį galima patikslinti nurodant kiek Y/ n skiriasi nuo R.

De Moivre-Laplaso teorema. Bet kokiems skaičiams a ir b, a< b, mes turime

Kur F(X) yra standartinio normaliojo skirstinio funkcija, kai matematinė tikėtis 0 ir dispersija 1.

Norėdami tai įrodyti, pakanka naudoti reprezentaciją Y nepriklausomų atsitiktinių dydžių, atitinkančių atskirų testų rezultatus, sumos pavidalu, formulės M(Y) Ir D(Y) ir centrinės ribos teorema.

Ši teorema skirta šiam atvejui R= ½ įrodė anglų matematikas A. Moivre'as (1667-1754) 1730 m. Aukščiau pateiktoje formuluotėje 1810 m. jį įrodė prancūzų matematikas Pierre'as Simonas Laplasas (1749 - 1827).

Hipergeometrinis pasiskirstymas atsiranda selektyviai valdant baigtinę N tūrio objektų aibę pagal alternatyvų kriterijų. Kiekvienas valdomas objektas klasifikuojamas kaip turintis atributą A arba neturintys šios savybės. Hipergeometrinis skirstinys turi atsitiktinį kintamąjį Y, lygus objektų, turinčių atributą, skaičiui A atsitiktine tūrio imtimi n, Kur n< N. Pavyzdžiui, skaičius Y sugedę gaminio vienetai atsitiktiniu tūrio pavyzdžiu n nuo partijos tūrio N turi hipergeometrinį pasiskirstymą, jei n< N. Kitas pavyzdys – loterija. Tegul ženklas A bilietas yra ženklas „būti nugalėtoju“. Tegul bendras bilietų skaičius N, o kažkoks asmuo įsigijo n jų. Tada šio asmens laimėtų bilietų skaičius yra hipergeometrinis.

Hipergeometrinio skirstinio atveju tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis Y priims reikšmę y, turi tokią formą

(20)

Kur D– objektų, turinčių atributą, skaičius A, nagrinėjamame tūrio rinkinyje N. Kuriame y paima reikšmes iš max(0, n - (N - D)) iki min( n, D), Kiti dalykai y tikimybė formulėje (20) lygi 0. Taigi hipergeometrinis skirstinys nustatomas pagal tris parametrus – populiacijos tūrį N, objektų skaičius D joje, turėdamas aptariamą požymį A ir imties dydį n.

Paprasta atsitiktinė tūrio atranka n nuo bendro tūrio N yra imtis, gauta atsitiktinės atrankos būdu, kurioje bet kuri iš aibių n objektai turi tokią pat tikimybę būti atrinkti. Respondentų (kalbamųjų) imčių arba vienetinių prekių vienetų atsitiktinės atrankos metodai aptariami instrukcijų, metodiniuose ir norminiuose dokumentuose. Vienas iš atrankos būdų yra toks: objektai parenkami vienas iš kito ir kiekviename žingsnyje kiekvienas iš likusių rinkinio objektų turi tokią pačią galimybę būti pasirinktam. Literatūroje nagrinėjamų imčių tipui taip pat vartojami terminai „atsitiktinė imtis“ ir „atsitiktinė imtis be grąžinimo“.

Kadangi gyventojų apimtys (partija) N ir pavyzdžiai n paprastai yra žinomi, tada vertinamo hipergeometrinio skirstinio parametras yra D. Statistiniuose gaminių kokybės valdymo metoduose D– dažniausiai sugedusių vienetų skaičius partijoje. Taip pat domina pasiskirstymo charakteristika D/ N– defektų lygis.

Hipergeometriniam pasiskirstymui

Paskutinis dispersijos išraiškos veiksnys yra artimas 1, jei N>10 n. Jei padarysite pakaitalą p = D/ N, tada hipergeometrinio skirstinio matematinio lūkesčio ir dispersijos išraiškos virs dvinario skirstinio matematinio lūkesčio ir dispersijos išraiškomis. Tai nėra atsitiktinumas. Galima parodyti, kad

adresu N>10 n, Kur p = D/ N. Ribinis santykis galioja

ir šis ribojantis ryšys gali būti naudojamas, kai N>10 n.

Trečiasis plačiai naudojamas diskretinis skirstinys yra Puasono skirstinys. Atsitiktinis dydis Y turi Puasono skirstinį, jei

,

kur λ yra Puasono pasiskirstymo parametras ir P(Y= y)= 0 visiems kitiems y(jei y=0 jis žymimas 0! =1). Puasono paskirstymui

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Šis skirstinys pavadintas prancūzų matematiko S. D. Puasono (1781-1840) vardu, kuris pirmą kartą jį gavo 1837 m. Puasono skirstinys yra ribinis dvinario skirstinio atvejis, kai tikimybė R renginio įgyvendinimas nedidelis, bet bandymų skaičius n puiku ir n.p.= λ. Tiksliau, galioja ribinis ryšys

Todėl Puasono pasiskirstymas (senoje terminijoje „paskirstymo įstatymas“) dažnai dar vadinamas „retų įvykių dėsniu“.

Puasono skirstinys kilęs iš įvykių srauto teorijos (žr. aukščiau). Įrodyta, kad paprasčiausiam pastovaus intensyvumo Λ srautui per laiką įvykusių įvykių (skambučių) skaičius t, turi Puasono skirstinį su parametru λ = Λ t. Todėl tikimybė, kad per laiką t neįvyks joks įvykis, lygus e - Λ t, t.y. intervalo tarp įvykių ilgio pasiskirstymo funkcija yra eksponentinė.

Puasono skirstinys naudojamas analizuojant atrankinių vartotojų rinkodaros tyrimų rezultatus, apskaičiuojant statistinių priėmimo kontrolės planų eksploatacines charakteristikas esant mažoms defektų priėmimo lygio reikšmėms, apibūdinti statistiškai kontroliuojamo įrenginio gedimų skaičių. technologinis procesas per laiko vienetą, „paslaugų reikalavimų“ skaičius, gautas per laiko vienetą eilių sistemoje, statistiniai nelaimingų atsitikimų ir retų ligų modeliai ir kt.

Literatūroje nagrinėjami kitų parametrinių diskrečiųjų skirstinių šeimų aprašymai ir jų praktinio panaudojimo galimybės.

Kai kuriais atvejais, pavyzdžiui, tiriant kainas, produkcijos apimtis ar bendrą laiką tarp gedimų patikimumo problemose, pasiskirstymo funkcijos yra pastovios tam tikrais intervalais, į kuriuos negali patekti tiriamųjų atsitiktinių dydžių reikšmės.

Pateikiami atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo funkcijos ir nuolatinio atsitiktinio kintamojo tikimybių tankio apibrėžimai. Šios sąvokos aktyviai naudojamos straipsniuose apie svetainių statistiką. Nagrinėjami pasiskirstymo funkcijos ir tikimybių tankio apskaičiavimo pavyzdžiai naudojant MS EXCEL funkcijas..

Supažindinkime su pagrindinėmis statistikos sąvokomis, be kurių neįmanoma paaiškinti sudėtingesnių sąvokų.

Populiacija ir atsitiktinis dydis

Leiskite mums gyventojų(populiacija) N objektų, kurių kiekvienas turi tam tikrą skaitinės charakteristikos X reikšmę.

Bendrosios populiacijos (GS) pavyzdys yra panašių dalių, kurias gamina mašina, svorių rinkinys.

Kadangi matematinėje statistikoje bet kokia išvada daroma tik remiantis X charakteristikomis (abstrahuojantis nuo pačių objektų), tai šiuo požiūriu gyventojų reiškia N skaičių, tarp kurių bendru atveju gali būti identiškų.

Mūsų pavyzdyje GS yra tiesiog skaitinis dalių svorio verčių masyvas. X yra vienos iš dalių svoris.

Jei iš duotosios GS atsitiktinai pasirenkame vieną objektą, turintį charakteristiką X, tai X reikšmė yra atsitiktinis kintamasis. Pagal apibrėžimą bet koks atsitiktinė vertė Tai turi paskirstymo funkcija, kuris paprastai žymimas F(x).

Paskirstymo funkcija

Paskirstymo funkcija tikimybės atsitiktinis kintamasis X yra funkcija F(x), kurios reikšmė taške x yra lygi įvykio X tikimybei

F(x) = P(X

Paaiškinkime naudodami mūsų mašiną kaip pavyzdį. Nors mūsų mašina turėtų gaminti tik vieno tipo detales, akivaizdu, kad gaminamų dalių svoris šiek tiek skirsis viena nuo kitos. Tai įmanoma dėl to, kad gamyboje gali būti naudojamos skirtingos medžiagos, o apdirbimo sąlygos taip pat gali šiek tiek skirtis ir tt Sunkiausia mašinos dalis sveria 200 g, o lengviausia - 190 g Tikimybė, kad iki tikimybė, kad pasirinkta dalis X svers mažiau nei 200 g, lygi 1. Tikimybė, kad ji svers mažiau nei 190 g, lygi 0. Tarpinės reikšmės nustatomos pagal pasiskirstymo funkcijos formą. Pavyzdžiui, jei procesas nustatytas gaminti 195 g sveriančias dalis, pagrįstai galima daryti prielaidą, kad tikimybė pasirinkti lengvesnę nei 195 g dalį yra 0,5.

Tipiškas grafikas Paskirstymo funkcijos Nuolatinis atsitiktinis kintamasis parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje (violetinė kreivė, žr. failo pavyzdį):

MS EXCEL pagalba Paskirstymo funkcija paskambino Integralinis paskirstymo funkcija (KaupiamasisPaskirstymasFunkcija, CDF).

Štai keletas savybių Paskirstymo funkcijos:

• Paskirstymo funkcija F(x) pasikeičia intervale, nes jo reikšmės yra lygios atitinkamų įvykių tikimybei (pagal apibrėžimą tikimybė gali svyruoti nuo 0 iki 1);
• Paskirstymo funkcija– nemažėjanti funkcija;
• Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis paėmė reikšmę iš tam tikro diapazono tikimybės tankis lygus 1/(0,5-0)=2. Ir su parametru lambda=5, vertė tikimybės tankis taške x=0,05 yra 3,894. Tačiau tuo pat metu galite įsitikinti, kad bet kurio intervalo tikimybė, kaip įprasta, bus nuo 0 iki 1.

  Leiskite jums tai priminti pasiskirstymo tankis yra kilęs iš paskirstymo funkcijos, t.y. jo kitimo „greitis“: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx, kai Dx linkęs į 0, kur Dx=x2-x1. Tie. Tai, kad pasiskirstymo tankis>1 reiškia tik tai, kad paskirstymo funkcija auga gana greitai (tai akivaizdu pavyzdyje).

  Pastaba: plotas, esantis po visa kreive pasiskirstymo tankis, yra lygus 1.

  Pastaba: Prisiminkite, kad paskirstymo funkcija F(x) vadinama MS EXCEL funkcijose kumuliacinio pasiskirstymo funkcija. Šis terminas yra funkcijos parametruose, pavyzdžiui, NORM.DIST (x; vidurkis; standartinis_nuokrypis; integralas). Jei MS EXCEL funkcija turėtų grįžti paskirstymo funkcija, tada parametras integralas, d.b. nustatyti į TRUE. Jei reikia skaičiuoti tikimybės tankis, tada parametras integralas, d.b. MELAS.

  Pastaba: Dėl diskretiškas paskirstymas Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis tam tikrą reikšmę, taip pat dažnai vadinama tikimybių tankiu (tikimybės masės funkcija (pmf)). MS EXCEL pagalba tikimybės tankis netgi gali būti vadinama „tikimybių matavimo funkcija“ (žr. funkciją BINOM.DIST()).

  Tikimybių tankio skaičiavimas naudojant MS EXCEL funkcijas

  Aišku, kad norint apskaičiuoti tikimybės tankis tam tikrai atsitiktinio dydžio reikšmei reikia žinoti jo pasiskirstymą.

  Mes rasime tikimybės tankis kai N(0;1), kai x=2. Norėdami tai padaryti, turite parašyti formulę =NORMAL.ST.DIST(2,FALSE)=0,054 arba =NORMAL.DIST(2,0,1,FALSE).

  Leiskite jums tai priminti tikimybė kad nuolatinis atsitiktinis dydis ims konkrečią reikšmę x yra 0. Už nuolatinis atsitiktinis dydis X gali būti apskaičiuojamas tik pagal įvykio tikimybę, kad X imsis intervale (a; b) esančią reikšmę.

  Tikimybių skaičiavimas naudojant MS EXCEL funkcijas

  1) Raskime tikimybę, kad atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal (žr. paveikslėlį aukščiau), įgaus teigiamą reikšmę. Pagal nuosavybę Paskirstymo funkcijos tikimybė yra F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

  NORM..ST.SKYRIUS(9.999E+307,TRUE) -NORM.ST.DIST(0,TRUE) =1-0,5.
  Vietoj +∞ į formulę įvesta reikšmė yra 9,999E+307= 9,999*10^307, tai yra didžiausias skaičius, kurį galima įvesti į MS EXCEL langelį (arčiausiai +∞, taip sakant).

  2) Raskite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis pasiskirstys , įgavo neigiamą reikšmę. Pagal apibrėžimą Paskirstymo funkcijos tikimybė yra F(0)=0,5.

  MS EXCEL, norėdami rasti šią tikimybę, naudokite formulę =NORMAL.ST.DIST(0,TRUE) =0,5.

  3) Raskite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis pasiskirstys standartinis normalusis skirstinys, paims reikšmę, esančią intervale (0; 1). Tikimybė lygi F(1)-F(0), t.y. iš tikimybės pasirinkti X iš intervalo (-∞;1), reikia atimti tikimybę pasirinkti X iš intervalo (-∞;0). Programoje MS EXCEL naudokite formulę =NORM.ST.DIST(1,TRUE) – NORM.ST.DIST(0,TRUE).

  Visi aukščiau pateikti skaičiavimai susiję su atsitiktiniu dydžiu, paskirstytu standartinis normalus įstatymas N(0;1). Akivaizdu, kad tikimybės reikšmės priklauso nuo konkretaus pasiskirstymo. Straipsnyje raskite tašką, kuriam F(x) = 0,5, ir raskite šio taško abscisę. Taško =0 abscisė, t.y. tikimybė, kad atsitiktinis dydis X įgis reikšmę<0, равна 0,5.

  Programoje MS EXCEL naudokite formulę =NORM.ST.REV(0.5) =0.

  

  Vienareikšmiškai apskaičiuokite vertę atsitiktinis kintamasis leidžia monotoniškumo savybę paskirstymo funkcijos.

  Atvirkštinio paskirstymo funkcija apskaičiuoja , kurie naudojami, pavyzdžiui, kai . Tie. mūsų atveju skaičius 0 yra 0,5 kvantilis normalus skirstinys. Pavyzdiniame faile galite apskaičiuoti kitą kvantilisšis paskirstymas. Pavyzdžiui, 0,8 kvantilis yra 0,84.

  

  Anglų literatūroje atvirkštinio skirstymo funkcija dažnai vadinama procentinio taško funkcija (PPF).

  Pastaba: Skaičiuojant kvantiliai MS EXCEL naudojamos šios funkcijos: NORM.ST.INV(), LOGNORM.INV(), CHI2.INR(), GAMMA.INR() ir kt. Daugiau apie MS EXCEL pateiktus paskirstymus galite perskaityti straipsnyje.

  Paskirstymo funkcija yra pati bendriausia paskirstymo dėsnio patikslinimo forma. Jis naudojamas tiek diskretiesiems, tiek nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams nurodyti. Paprastai jis nurodomas. Paskirstymo funkcija nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis mažesnes reikšmes nei fiksuotas tikrasis skaičius, t.y. . Pasiskirstymo funkcija visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį tikimybiniu požiūriu. Ji taip pat vadinama kaupiamojo pasiskirstymo funkcija.

  Geometrinis skirstymo funkcijos aiškinimas yra labai paprastas. Jei atsitiktinis dydis laikomas atsitiktiniu tašku ašyje (6 pav.), kuris bandymo rezultatu gali užimti vieną ar kitą padėtį šioje ašyje, tai pasiskirstymo funkcija yra tikimybė, kad atsitiktinis taškas dėl to atsiras atsitiktinis taškas. iš testo nukris į kairę nuo taško.

  Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui , kuris gali turėti reikšmes,, ... ,, paskirstymo funkcija turi formą

  ,

  kur nelygybė po sumos ženklu reiškia, kad sumavimas apima visas tas vertes, kurios yra mažesnės. Iš šios formulės seka, kad diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra netolydus ir didėja šuoliais, kai eina per taškus,,...,, o šuolio dydis lygus atitinkamos reikšmės tikimybei (7 pav.). ). Visų pasiskirstymo funkcijos šuolių suma lygi vienetui.

  Ištisinis atsitiktinis dydis turi tolydžio skirstinio funkciją, šios funkcijos grafikas turi lygiosios kreivės formą (8 pav.).

  Ryžiai. 7. pav. 8.

  Panagrinėkime bendrąsias paskirstymo funkcijų savybes.

  1 nuosavybė. Paskirstymo funkcija yra neneigiama funkcija tarp nulio ir vieneto:

  Šios savybės pagrįstumas išplaukia iš to, kad pasiskirstymo funkcija apibrėžiama kaip atsitiktinio įvykio tikimybė, susidedanti iš to, kad.

  2 nuosavybė. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą, yra lygi skirtumui tarp pasiskirstymo funkcijos reikšmių šio intervalo galuose, t.y.

  Iš to išplaukia, kad bet kurios nuolatinio atsitiktinio dydžio individualios reikšmės tikimybė yra lygi nuliui.

  3 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra nemažėjanti funkcija, t.y., kada .

  4 nuosavybė. Esant minus begalybei pasiskirstymo funkcija lygi nuliui, o plius begalybeje pasiskirstymo funkcija yra viena, t.y.

  1 pavyzdys. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija pateikiama išraiška

  

  Raskite koeficientą ir nubraižykite grafiką. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis įgis intervalo reikšmę eksperimento rezultatas.

  Sprendimas. Kadangi nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra tolydi, gauname: . Iš čia. Funkcijų grafikas parodytas fig. 9.

  Remdamiesi antrąja paskirstymo funkcijos savybe, turime:

  .

  4. Tikimybių pasiskirstymo tankis ir jo savybės.

  Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra jo tikimybinė charakteristika. Tačiau jis turi trūkumą, kad iš jo sunku spręsti apie atsitiktinio dydžio pasiskirstymą mažoje vieno ar kito skaitinės ašies taško kaimynystėje. Aiškesnę idėją apie nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo pobūdį suteikia funkcija, vadinama atsitiktinio dydžio tikimybės pasiskirstymo tankiu arba diferencinio pasiskirstymo funkcija.

  Pasiskirstymo tankis lygi skirstinio funkcijos išvestinei, t.y.

  .

  Pasiskirstymo tankio reikšmė yra ta, kad jis parodo, kaip dažnai atsitiktinis dydis atsiranda tam tikroje taško kaimynystėje, kai eksperimentai kartojami. Kreivė, vaizduojanti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį, vadinama pasiskirstymo kreivė.

  Panagrinėkime pasiskirstymo tankio savybes.

  1 nuosavybė. Pasiskirstymo tankis yra neneigiamas, t.y.

  2 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija lygi tankio integralui intervale nuo iki, t.y.