Kas yra integracija dalimis? Norėdami įvaldyti tokio tipo integraciją, pirmiausia prisiminkime produkto darinį:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Kyla klausimas: ką su tuo turi integralai? Dabar integruokime abi šios lygties puses. Taigi rašykime:

$\int(((\left(f\cdot g \right)))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\text(d)x))$

Bet kas yra insulto primityvus? Tai tik pati funkcija, kuri yra smūgio viduje. Taigi rašykime:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Šioje lygtyje siūlau išreikšti terminą. Mes turime:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Štai kas yra integravimo dalimis formulė. Taigi iš esmės keičiame išvestinę ir funkciją. Jei iš pradžių turėjome smūgio integralą, padaugintą iš kažko, tada gauname naujo kažko integralą, padaugintą iš smūgio. Tai visa taisyklė. Iš pirmo žvilgsnio ši formulė gali atrodyti sudėtinga ir beprasmė, tačiau iš tikrųjų ji gali labai supaprastinti skaičiavimus. Pažiūrėkime.

Integralų skaičiavimo pavyzdžiai

1 užduotis. Apskaičiuokite:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Perrašykime išraišką prieš logaritmą pridėdami 1:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Turime teisę tai padaryti, nes nei numeris, nei funkcija nepasikeis. Dabar palyginkime šią išraišką su tuo, ką parašėme formulėje. $(f)"$ vaidmuo yra 1, todėl rašome:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(lygiuoti)$

Visos šios funkcijos pateiktos lentelėse. Dabar, kai parašėme visus elementus, kurie yra įtraukti į mūsų išraišką, perrašysime šį integralą pagal integravimo pagal dalis formulę:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d) )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ pabaiga (lygiuoti)\]

Tai štai, integralas rastas.

2 užduotis. Apskaičiuokite:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Jei imsime $x$ kaip išvestinę, iš kurios dabar turime rasti antidarinį, gausime $((x)^(2))$, o galutinėje išraiškoje bus $((x)^(2)) ( (\tekstas(e))^(-x))$.

Akivaizdu, kad užduotis nėra supaprastinta, todėl veiksnius pakeisime integralo ženklu:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Dabar pristatykime žymėjimą:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\tekstas(e))^(-x))$

Atskirkite $((\text(e))^(-x))$:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ left(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Kitaip tariant, pirmiausia pridedamas „minusas“, o tada integruojamos abi pusės:

\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rodyklė dešinėn ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(-) x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(lygiuoti)\]

Dabar panagrinėkime funkciją $g$:

$g=x\rodyklė dešinėn (g)"=1$

Mes laikome integralą:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\tekstas(e))^(-x))+\int(((\tekstas(e))^(-x))\,\tekstas(d)x)=-x( (\tekstas(e))^(-x))-((\tekstas(e))^(-x))+C=-((\tekstas(e))^(-x))\left(x) +1 \right)+C \\\end(lygiuoti)$

Taigi, atlikome antrąjį integravimą dalimis.

3 užduotis. Apskaičiuokite:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Kas šiuo atveju turėtų būti laikoma $(f)"$ , o kas $g$? Jei $x$ veikia kaip išvestinė, tada $\frac(((x)^(2)))(2 ) $, o pirmasis faktorius niekur nedings - bus $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$. Todėl veiksnius sukeisime dar kartą:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ pabaiga(lygiuoti)$

Perrašome savo pradinę išraišką ir išplečiame ją pagal integravimo dalimis formulę:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(lygiuoti)\]

Viskas, trečia užduotis išspręsta.

Galiausiai, dar kartą pažvelkime į integravimo dalimis formulė. Kaip atrenkame, kuris iš veiksnių bus išvestinė, o kuris – tikroji funkcija? Čia yra tik vienas kriterijus: elementas, kurį išskirsime, turi arba suteikti „gražią“ išraišką, kuri vėliau bus sumažinta, arba diferenciacijos metu visai išnykti. Ši pamoka baigėsi.

Apsvarstykite funkcijas $u=u(x)$ ir $v=v(x)$, kurios turi ištisines išvestines . Pagal diferencialų savybes galioja ši lygybė:

$d(u v)=u d v+v d u$

Integravę paskutinės lygybės kairę ir dešinę dalis, gauname:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Rightarrow u v=\int u d v+\int v d u$

Gautą lygybę perrašome į formą:

$\int u d v=u v-\int v d u$

Ši formulė vadinama integravimas pagal dalių formulę. Su jo pagalba integralas $\int u d v$ gali būti sumažintas iki integralo $\int v d u$ radimo, kuris gali būti paprastesnis.

komentuoti

Kai kuriais atvejais integravimo pagal dalis formulė turi būti taikoma pakartotinai.

Integravimo pagal dalis formulę patartina taikyti šios formos integralams:

1) $\int P_(n)(x) e^(k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \sin (k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \cos (k x) d x$

Čia $P_(n)(x)$ yra $n$ laipsnio daugianario, $k$ yra tam tikra konstanta. Šiuo atveju daugianomas imamas kaip funkcija $u$, o likę faktoriai – $d v$. Šio tipo integralams integravimo pagal dalis formulė taikoma $n$ kartų.

Integralų sprendimo šiuo metodu pavyzdžiai

Pavyzdys

Pratimas. Raskite integralą $\int(x+1) e^(2 x) d x$

Sprendimas.

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(1)(2) \int e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^( 2 x))(2)-\frac(1)(2) \cdot \frac(1)(2) e^(2 x)+C=$

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C$

Atsakymas.$\int(x+1) e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C $

Pavyzdys

Pratimas. Raskite integralą $\int x^(2) \cos x d x$

Sprendimas.

$=x^(2) \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\right)=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\left(x^(2)-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

Atsakymas.$\int x^(2) \cos x d x=\left(x^(2)-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

2) $\int P_(n)(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_(n)(x) \arccos x d x$ ; $\int P_(n)(x) \ln x d x$

Čia daroma prielaida, kad $d v=P_(n)(x) d x$, o likę veiksniai yra $u$.

Pavyzdys

Pratimas. Raskite integralą $\int \ln x d x$

Sprendimas. Pradiniame integrale išskiriame funkcijas $u$ ir $v$, tada atliekame integravimą dalimis.

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

Atsakymas.$\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$

Pavyzdys

Pratimas. Raskite integralą $\int \arcsin x d x$

Sprendimas. Pradiniame integrale išskiriame funkcijas $u$ ir $v$, tada atliekame integravimą dalimis. Norint išspręsti šį integralą, ši operacija turi būti kartojama 2 kartus.

$=x \arcsin x-\int \frac(-t d t)(\sqrt(t^(2)))=x \arcsin x+\int \frac(t d t)(t)=x \arcsin x+\int d t= $

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

Atsakymas.$\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

3) $\int e^(k x+b) \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^(k x+b) \cos (c x+f) d x$

Šiuo atveju eksponentas arba trigonometrinė funkcija laikomi $u$. Vienintelė sąlyga – toliau taikant integravimo dalimis formulę, ta pati funkcija kaip ir funkcija $u$, tai yra atitinkamai eksponentinė arba trigonometrinė funkcija.

Pavyzdys

Pratimas. Raskite integralą $\int e^(2 x+1) \sin x d x$

Sprendimas. Pradiniame integrale išskiriame funkcijas $u$ ir $v$, tada atliekame integravimą dalimis.

$=-e^(2 x+1) \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac(e^(2 x+1))(2) d x=$

Šis metodas pagrįstas tokia formule: (*)

Leisti ir yra x funkcijos, turinčios nuolatines išvestines ir .

Yra žinoma, kad arba ; arba .

Integralai ir , nes darant prielaidą, kad funkcijos u ir v yra diferencijuojamos ir todėl tolydžios.

Formulė (*) vadinama integravimo dalimis formule.

Metodas, pagrįstas jo taikymu, vadinamas integravimo dalimis metodu.

Tai sumažina skaičiavimą iki kito integralo skaičiavimo: .

Integravimo dalimis metodo taikymas susideda iš to, kad pagal duoto integralo integralinę išraišką jie bando pavaizduoti sandaugos pavidalu, kur ir yra kai kurios x funkcijos, ir šios funkcijos parenkamos taip, kad buvo lengviau apskaičiuoti nei pradinis integralas. Kada skaičiuoti anksčiau rastos ir .

(kaip „v“ imame vieną iš originalių antidarinių, rastų iš dv, todėl ateityje skaičiuodami „v“ konstantą C žymėjime praleisime).

komentuoti. Apskaičiuojant integralinę išraišką, reikia suprasti, kas ir turi būti.

Deja, neįmanoma pateikti bendrų integralinės išraiškos faktoringo į faktorius „u“ ir „dv“ taisyklių. To galima išmokyti daug ir apgalvotai praktikuojant.

Turint visa tai, reikia turėti omenyje, kad buvo paprastesnis nei pradinis integralas.

6.6.22 pavyzdys.

Kartais, norint gauti galutinį rezultatą, integravimo pagal dalis taisyklė taikoma kelis kartus iš eilės.

Integravimo dalimis būdas patogus naudoti, žinoma, ne kiekvieną kartą, o galimybė jį panaudoti priklauso nuo patirties.

Skaičiuojant integralus, svarbu teisingai nustatyti, kuris integravimo metodas turėtų būti naudojamas (kaip ir ankstesniame pavyzdyje, trigonometrinis pakeitimas greičiau pasiekia tikslą).

Apsvarstykite dažniausiai pasitaikančius integralus, kurie apskaičiuojami integruojant dalimis.

1.Formos integralai :

kur yra sveikasis skaičius (x atžvilgiu) daugianario; a yra pastovus skaičius.

Jei trigonometrinės arba eksponentinės funkcijos sandauga yra algebrinė po integralo ženklu, tada algebrinė funkcija paprastai imama "u".

6.6.23 pavyzdys.

Atkreipkite dėmesį, kad kitas suskirstymas į veiksnius: neveda į tikslą.

Įrodytas
.

Gauname sudėtingesnį integralą.

2.Formos integralai :

kur yra daugianario.

Jei integralinis ženklas yra funkcijos logaritmo sandauga arba atvirkštinės trigonometrinės funkcijos sandauga su algebrine funkcija, tada funkcijos turėtų būti laikomos "u".

6.6.23 pavyzdys.

3.Formos integralai:

Čia galite naudoti bet kurį iš 2 galimų integralios išraiškos suskirstymo į veiksnius: „u“ galite naudoti ir .

Be to, apskaičiavus tokius integralus integravimo dalimis metodu, gaunamas pradinis integralas, tai yra, gaunama lygtis norimo integralo atžvilgiu.

6.6.24 pavyzdys Apskaičiuokite .

.

Integruojant dažnai reikia paeiliui taikyti pakeitimo metodą ir integravimo dalimis metodą.

6.6.25 pavyzdys.

Kai kurių funkcijų, turinčių kvadratinį trinarį, integravimas

1)

.

o tai yra lentelių integralai.

2) realiųjų skaičių koeficientai

skaitiklyje pasirenkame vardiklio išvestinę.

a,b,c yra realieji skaičiai

a) ; tada mes turime:

b) . Šiuo atveju prasminga svarstyti tik tada, kai diskriminuojantis trinamis teigiamas:

Dabar turime:

komentuoti. Praktikoje jie paprastai nenaudoja paruoštų rezultatų, bet mieliau kiekvieną kartą atlieka panašius skaičiavimus.

Pavyzdys.

4)

Skaitiklį transformuojame taip, kad iš jo būtų galima išskirti kvadratinio trinalio išvestinę:

Kadangi praktikoje nėra patogaus bendro neapibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodo, kartu su tam tikrais integravimo metodais (žr. ankstesnę paskaitą), turime apsvarstyti ir kai kurių konkrečių funkcijų klasių integravimo metodus, kurių integralai yra dažnai susiduriama praktikoje.

Tarp jų svarbiausia klasė yra racionaliųjų funkcijų klasė.

"Trupmeninių ir racionalių funkcijų integravimas"

Tinkamos racionaliosios trupmenos integravimas pagrįstas racionaliosios trupmenos išplėtimu į elementariųjų trupmenų sumą.

Elementariosios (paprastosios) trupmenos ir jų integravimas.

Apibrėžimas. Formos trupmenos: ; (1)

(2), kur

(tai yra, trinalio šaknys yra sudėtingos), vadinami elementariais.

Apsvarstykite elementariųjų trupmenų integravimą

2)

(kur leisti).

Apskaičiuojame integralą

(*)

Paskutinis integralas apskaičiuojamas naudojant rekursinę formulę.

Kartais integravimas dalimis leidžia gauti ryšį tarp neapibrėžto integralo, turinčio tam tikros funkcijos laipsnį, ir panašaus integralo, bet su mažesniu tos pačios funkcijos eksponentu. Tokie santykiai vadinami rekursinėmis formulėmis.

Pažymėti .

Mes turime:

Į paskutinį integralą įdedame:

Štai kodėl

kur

Taigi, mes priėjome prie rekursinės formulės: pakartotinis jos taikymas galiausiai veda prie „lentelės“ integralo:

Tada vietoj "t" ir "k" pakeičiame jų reikšmes.

6.6.26 pavyzdys.

(pagal pasikartojimo formulę).=

.

Racionalioji trupmena yra funkcija, atvaizduojama formoje ; kur ir yra polinomai su realiaisiais koeficientais.

Racionalioji trupmena vadinama tinkama, jei skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį.

Bet kuri tinkama racionalioji trupmena gali būti pavaizduota kaip baigtinio elementariųjų trupmenų skaičiaus suma.

Tinkamos trupmenos išskaidymas į elementariąsias nustatomas pagal šią teoremą, kurią svarstome be įrodymų.

Teorema . Jei trupmena - teisinga ir (jei trinaris neturi tikrųjų šaknų), tada tapatybė yra teisinga:

(aš)

Atkreipkite dėmesį, kad kiekviena tikroji daugianario „ “ daugybinė šaknis, pavyzdžiui, a, šioje plėtinyje atitinka elementariųjų formos (1) trupmenų sumą ir kiekvieną sudėtingų konjuguotų šaknų ir (tokių, kad ) daugybos „ “. atitinka (2) formos elementariųjų trupmenų sumą.

Norėdami atlikti plėtrą (I), turite išmokti nustatyti koeficientus .

Yra įvairių būdų juos rasti. Nagrinėsime neapibrėžtųjų koeficientų metodą ir dalinių reikšmių metodą.

Neapibrėžtas integralas

1Antivedinys ir neapibrėžtas integralas 1

2Paprasčiausios neapibrėžtinio integralo savybės. 3

3 pagrindinių integralų lentelė

2.1 Papildoma integralų lentelė 4

3 Kintamojo keitimas neapibrėžtame integralyje 5

3.1Formos ir funkcijų integravimo būdas (a≠ 0). 6

4 Integravimas dalimis neapibrėžtajame integrale 7

4.1Formos funkcijų integravimo būdas. 7

4.2 Formos funkcijų integravimo būdas: 8

5Racionaliųjų trupmenų integravimas 8

5.1 Paprasčiausių 4 tipo trupmenų integravimo būdas. vienuolika

6Iracionalių išraiškų integravimas 12

6.1 Trigonometrinių išraiškų integravimas 14

1. Antidarinis ir neapibrėžtas integralas

Išspręskite diferencialinę lygtį

intervale , t.y. rasti tokią funkciją, kad . Kadangi , (1) lygtis gali būti perrašyta diferencialais:

Bet koks tokios lygties sprendimas vadinamas antiderivatine funkcija. Taigi funkcija vadinama antiderivatinė funkcija intervale jei visiems . Atvejai ir (arba) nėra atmesti. Aišku, jei antideriatyvinis, tai ir antideriatyvinis. Mūsų užduotis yra rasti visus (1) lygties sprendinius. Dviejų kintamųjų funkcija vadinama bendruoju (1) lygties sprendimu arba, kitaip tariant, neapibrėžtas integralas funkcijos, jei, pakeisdami bet kurį skaičių, gauname tam tikrą (1) lygties sprendinį ir bet kuris konkretus (1) lygties sprendinys gaunamas tokiu būdu.

Neapibrėžtas integralas žymimas . Funkcija vadinama integrandu, diferencialas – integralu ir yra integralo ženklas (ištempta lotyniška raidė S, pirmoji žodžio Suma raidė yra suma). Kyla klausimas apie antidarinio ir neapibrėžto integralo egzistavimą. Skyriuje „Apibrėžtasis integralas“, § Niutono-Leibnizo formulė, bus įrodyta, kad tolydžios funkcijos antidarinė visada egzistuoja.

Lemma.Tegul jis yra vienodas visiems. Tada šiame intervale yra konstanta.

Įrodymas. Pažymėkime bet kurį tašką. Paimkime savavališką tašką ir skirtumui pritaikykime Lagrange'o teoremą: tam tikram taškui . Taigi lema įrodyta.□

Teorema apie antidarinius. Du tos pačios funkcijos antidariniai, apibrėžti intervale, skiriasi konstanta.

Įrodymas. Leisti ir būti antiderivatinėmis funkcijomis. Tada iš kur, prie lemos -- pastovus. Vadinasi, . □

Pasekmė. Jei yra funkcijos antidarinys, tada .

Atkreipkite dėmesį, kad jei imsime ne intervalą kaip ODZ funkciją, o, pavyzdžiui, tokį atjungtą rinkinį kaip dviejų intervalų sąjungą , tada bet kokia formos funkcija

turi nulinę išvestinę, taigi lema ir antidarinės teorema šiuo atveju nustoja galioti.

1. Paprasčiausios neapibrėžtinio integralo savybės.

1. Sumos integralas lygus integralų sumai:

2. Konstantą galima išimti iš integralo ženklo:

3. Integralo išvestinė lygi integrandui.

4. Skirtumas nuo integralo lygus integrandui.

5. (Tiesinis kintamųjų pokytis) Jei , tada (čia).

Pagrindinių integralų lentelė

Visų pirma,

Išskirtiniu atveju turime:

1. Papildoma integralų lentelė

1. Kintamojo pokytis neapibrėžtajame integrale

Išplėskime neapibrėžtinio integralo apibrėžimą bendresniu atveju: pagal apibrėžimą darome prielaidą . Taigi, pavyzdžiui

Teorema. Leisti būti diferencijuojama funkcija. Tada

Įrodymas. Leisti . Tada

kuri turėjo būti įrodyta.□

Konkrečiu atveju, kai gauname tiesinį kintamųjų pokytį (žr. 5 savybę, §1). (1) formulės taikymas „iš kairės į dešinę“ reikš kintamojo pasikeitimą. (1) formulės taikymas priešinga kryptimi, „iš dešinės į kairę“, vadinamas įvedimu po diferencialiniu ženklu.

Pavyzdžiai. BET.

1. Skaitiklyje pasirenkame kvadratinio trinalio išvestinę:

3. Norėdami apskaičiuoti pirmąjį integralą (2), naudojame įrašą po diferencialo ženklu:

Norėdami apskaičiuoti antrąjį integralą, kvadratiniame trinalyje pasirenkame visą kvadratą ir tiesiniu kintamųjų pasikeitimu sumažiname jį iki lentelės.

Formos integralai

Pavyzdžiai

1. Integravimas dalimis neapibrėžtajame integralu

Teorema. Skirtingoms funkcijoms ir mes turime ryšį

Įrodymas. Kairiosios ir dešiniosios formulės pusių integravimas , mes gauname:

Kadangi pagal apibrėžimą ir , formulė (1) seka.□

Pavyzdys.

Norėdami integruoti tokias funkcijas, mes dedame polinomą po diferencialo ženklu ir taikome integravimo pagal dalis formulę. Procedūra kartojama k kartų.

Pavyzdys.

1. Racionaliųjų trupmenų integravimas

Racionalioji trupmena vadinama formos funkcija , kur yra daugianariai. Jei , tada vadinama racionalioji trupmena teisinga. Priešingu atveju jis vadinamas negerai.

Šios racionalios trupmenos vadinamos paprasčiausiomis

(2 tipas)

(3 tipas)

(4 tipai) ,

1 teorema. Bet kuri trupmena gali būti išskaidyta į daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos sumą.

Įrodymas. Leisti būti netinkama racionali trupmena. Padalinkite skaitiklį iš vardiklio su likusia dalimi: Čia yra daugianariai ir Tada

Trupmena teisinga dėl nelygybės. □

2 teorema. Bet kuri tinkama racionali trupmena gali būti išskaidyta į paprasčiausių skaičių.

Dekompozicijos algoritmas.

a) Išplečiame tinkamos trupmenos vardiklį į neredukuojamų daugianario sandaugą (tiesinę ir kvadratinę su neigiamu diskriminantu):

Čia ir -- atitinkamų šaknų dauginiai.

b) Trupmeną išskaidome į paprasčiausių su neapibrėžtais koeficientais sumą pagal šiuos principus:

Tai darome kiekvienam tiesiniam ir kiekvienam kvadratiniam veiksniui.

c) Gautas plėtimasis dauginamas iš bendro vardiklio, o neapibrėžtieji koeficientai randami iš sąlygos, kad kairioji ir dešinioji dalys yra identiškos. Darbas su dviejų metodų deriniu

??? – algoritmo pagrindimas

Pavyzdžiai. A. Išskaidyti sumoje paprasčiausių

Iš to išplaukia, kad. Pakeitę šį santykį, iškart randame . Taigi

B. Išplėskite racionaliąją trupmeną sumoje paprasčiausių. Šios trupmenos išplėtimas neapibrėžtais koeficientais turi formą

Padauginus iš bendro vardiklio, gauname santykį

Pakeisdami čia randame kur . Pakeičiant randame . Sulyginę koeficientus ties , gauname sistemą

Iš čia ir . Sudėjus paskutinės sistemos lygybes, gauname ir . Tada ir

Vadinasi,

/**/ Užduotis. Apibendrinkite A pavyzdžio rezultatą ir įrodykite lygybę

1. Paprasčiausių 4-ojo tipo trupmenų integravimo metodas.

a) Atskirdami vardiklio išvestinę skaitiklyje, išplečiame integralą į dviejų integralų sumą.

b) Pirmasis iš gautų integralų, įvestas po diferencialo ženklu, taps lentelės pavidalu.

c) Antrajame vardiklyje pasirinkite visą kvadratą ir sumažinkite skaičiavimą iki formos integralo. Šiam integralui taikome šią rekursinę procedūrą

Paskutiniam integralui taikome integravimo pagal dalis formulę:

Taigi, jei paskirsime , tada

Tai rekursinė formulė integralams apskaičiuoti atsižvelgiant į pradinę reikšmę .

Pavyzdys

1. Iracionalių posakių integravimas

Formos integralai , kur m/n,...,r/s yra racionalieji skaičiai, turintys bendrą vardiklį k, pokyčiu redukuojami į racionaliosios funkcijos integralą

Tada racionalių išraiškų esmė, todėl po pakeitimo gauname racionaliosios trupmenos integralą:

Apskaičiavę šį integralą (žr. 4 paragrafą) ir atlikę atvirkštinį pakaitalą , gauname atsakymą.

Panašiai ir formos integralai

kur ad-bc≠ 0 ir k turi tą pačią reikšmę kaip aukščiau, yra redukuojami į racionaliosios trupmenos integralus pakeičiant

Pavyzdžiai. A. Apskaičiuokite integralą

B. Apskaičiuokite integralą

Paprastesnis tos pačios funkcijos integravimo metodas (bet reikalaujantis atspėti) yra toks:

1. Trigonometrinių išraiškų integravimas

Formos integralai visuotinio pokyčio dėka redukuojami į racionalios funkcijos integralus

taigi gauname racionaliosios išraiškos integralą

Ypatingais atvejais  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx ir R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, geriau naudoti atitinkamai pakaitalus. .

>> Integravimo metodai

Pagrindiniai integravimo metodai

Integralo, apibrėžtojo ir neapibrėžtinio integralo apibrėžimas, integralų lentelė, Niutono-Leibnizo formulė, integravimas dalimis, integralų skaičiavimo pavyzdžiai.

Neapibrėžtas integralas

Iškviečiama funkcija F(x), diferencijuojama duotame intervale X antidarinys funkcijai f(x) arba f(x) integralas, jei bet kuriai x ∈X lygybė galioja:

F "(x) = f(x). (8.1)

Visų tam tikros funkcijos antidarinių radimas vadinamas jos integracija. Neapibrėžtas funkcijos integralas f(x) duotame intervale X yra visų funkcijos f(x) antidarinių aibė; paskirtis -

Jei F(x) yra tam tikra funkcijos f(x) antidarinė, tai ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

kur C yra savavališka konstanta.

Integralų lentelė

Tiesiogiai iš apibrėžimo gauname pagrindines neapibrėžto integralo savybes ir lentelės integralų sąrašą:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lentelės integralų sąrašas

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8.=arcin x + C

10.=-ctg x + C

Kintamasis pakeitimas

Daugeliui funkcijų integruoti naudojamas kintamojo keitimo metodas arba pakaitalai, leidžiančios integralus atvesti į lentelės formą.

Jei funkcija f(z) yra ištisinė [α,β], funkcija z =g(x) turi ištisinę išvestinę ir α ≤ g(x) ≤ β, tada

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

be to, integravus dešinėje pusėje, reikia atlikti pakeitimą z=g(x).

Norėdami tai įrodyti, pakanka parašyti pradinį integralą tokia forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Pavyzdžiui:

1)

2) .

Integravimo dalimis būdas

Tegu u = f(x) ir v = g(x) yra tolydžios funkcijos. Tada pagal darbus

d(uv))= udv + vdu arba udv = d(uv) - vdu.

Išraiškos d(uv) antidarinys akivaizdžiai bus uv, todėl formulė vyksta:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ši formulė išreiškia taisyklę integravimas dalimis. Jis integruoja išraišką udv=uv"dx į išraiškos vdu=vu"dx integravimą.

Tegu, pavyzdžiui, reikia rasti ∫xcosx dx. Tegu u = x, dv = cosxdx, taigi du=dx, v=sinx. Tada

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Integravimo dalimis taisyklė yra labiau ribota nei kintamojo keitimas. Tačiau yra ištisos integralų klasės, pavyzdžiui,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax ir kiti, kurie tiksliai apskaičiuojami naudojant integravimą dalimis.

Apibrėžtasis integralas

Apibrėžtinio integralo sąvoka pristatoma taip. Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta intervale. Padalinkime atkarpą [a,b] į n dalys taškais a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Vadinama f(ξ i)Δ x i formos suma integralioji suma, o jo riba ties λ = maxΔx i → 0, jei ji egzistuoja ir yra baigtinė, vadinama apibrėžtasis integralas funkcijos f(x) of a prieš b ir žymimas:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) šiuo atveju vadinama integruoti į segmentą, vadinami skaičiai a ir b apatinė ir viršutinė integralo riba.

Šios savybės galioja apibrėžtam integralui:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Paskutinė nuosavybė vadinama vidutinės vertės teorema.

Tegul f (x) yra nuolatinis . Tada šiame segmente yra neapibrėžtas integralas

∫f(x)dx = F(x) + C

ir vyksta Niutono-Leibnizo formulė, kuris jungia apibrėžtąjį integralą su neapibrėžtuoju:

F(b) – F(a). (8.6)

Geometrinis aiškinimas: apibrėžtasis integralas yra kreivinės trapecijos plotas, kurį iš viršaus riboja kreivė y=f(x), tiesės x = a ir x = b ir ašies atkarpa Jautis.

Netinkami integralai

Integralai su begalinėmis ribomis ir nepertraukiamų (neribotų) funkcijų integralai vadinami netinkamas. Netinkami pirmosios rūšies integralai - tai integralai per begalinį intervalą, apibrėžtą taip:

(8.7)

Jei ši riba egzistuoja ir yra baigtinė, tada ji vadinama konvergentinis netinkamas f(x) integralas intervale [а,+ ∞), ir iškviečiama funkcija f(x). integruojamas begaliniu intervalu[a,+ ∞). Kitu atveju sakoma, kad integralas yra neegzistuoja arba skiriasi.

Netinkami integralai intervaluose (-∞,b] ir (-∞, + ∞) apibrėžiami panašiai:

Apibrėžkime neribotos funkcijos integralo sąvoką. Jei f(x) yra tolydis visoms reikšmėms x atkarpa , išskyrus tašką c, kuriame f(x) turi begalinį netolydumą, tada netinkamas antrojo tipo integralas f(x) svyruoja nuo a iki b vadinama suma:

jei šios ribos egzistuoja ir yra baigtinės. Pavadinimas:

Integralų skaičiavimo pavyzdžiai

3.30 pavyzdys. Apskaičiuokite ∫dx/(x+2).

Sprendimas. Pažymėkite t = x+2, tada dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

3.31 pavyzdys. Raskite ∫ tgxdx.

Sprendimas.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Tegu t=cosx, tada ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Pavyzdys3.32 . Raskite ∫dx/sinx

Sprendimas.

Pavyzdys3.33. Rasti.

Sprendimas. =

.

Pavyzdys3.34 . Raskite ∫arctgxdx.

Sprendimas. Integruojame dalimis. Pažymėkite u=arctgx, dv=dx. Tada du = dx/(x 2 +1), v=x, iš kur ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; nes
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Pavyzdys3.35 . Apskaičiuokite ∫lnxdx.

Sprendimas. Taikydami integravimo pagal dalis formulę, gauname:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Pavyzdys3.36 . Apskaičiuokite ∫e x sinxdx.

Sprendimas. Pažymėkite u = e x, dv = sinxdx, tada du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integralas ∫e x cosxdx taip pat integruojamas dalimis: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Mes turime:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Gavome santykį ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, iš kur 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Pavyzdys 3.37. Apskaičiuokite J = ∫cos(lnx)dx/x.

Sprendimas. Kadangi dx/x = dlnx, tai J= ∫cos(lnx)d(lnx). Pakeitę lnx į t, gauname lentelės integralą J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Pavyzdys 3.38 . Apskaičiuokite J = .

Sprendimas. Atsižvelgdami į tai, kad = d(lnx), pakeičiame lnx = t. Tada J = .