a)

Sprendimas.

Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas – brėžinio konstravimas.

Padarykime piešinį:

Lygtis y=0 nustato x ašį;

- x=-2 ir x=1 - tiesus, lygiagretus ašiai OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, kurios viršūnė yra taške (0;2).

komentuoti. Parabolei sukonstruoti pakanka rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus, t.y. dėjimas x=0 rasti sankirtą su ašimi OU ir išspręsdami atitinkamą kvadratinę lygtį, raskite sankirtą su ašimi Oi .

Parabolės viršūnę galima rasti naudojant formules:

Galite piešti linijas ir tašką po taško.

Intervale [-2;1] funkcijos grafikas y=x 2 +2 esančios virš ašies Jautis , Štai kodėl:

Atsakymas: S \u003d 9 kvadratiniai vienetai

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus įvestos apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių aiškiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimi Oi?

b) Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=-e x , x=1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas.

Padarykime piešinį.

Jei kreivinė trapecija visiškai po ašimi Oi , tada jo plotą galima rasti pagal formulę:

Atsakymas: S=(e-1) kv.vnt.“ 1,72 kv.vnt

Dėmesio! Nepainiokite dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusės plokštumose.

Su) Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Sprendimas.

Pirmiausia reikia padaryti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskite parabolės susikirtimo taškus ir tiesioginis Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis.

Išsprendžiame lygtį:

Taigi apatinė integracijos riba a=0 , viršutinė integracijos riba b = 3 .

Nutiesiame duotas tieses: 1. Parabolė - viršūnė taške (1;1); ašies susikirtimo Oi - taškais (0;0) ir (0;2). 2. Tiesi linija - 2-ojo ir 4-ojo koordinačių kampų pusiausvyra. O dabar Dėmesio! Jei segmente [ a;b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kokiai nors ištisinei funkcijai g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti pagal formulę: . Ir nesvarbu, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAUSIA (kitos diagramos atžvilgiu), o kuri yra PO. Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Galima tieses statyti taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų nustatymo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios).

Norimą figūrą riboja parabolė iš viršaus ir tiesia linija iš apačios.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: S \u003d 4,5 kv.vnt

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio konstravimą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai bus daug aktualesnis klausimas. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikų atmintį ir bent jau sugebėti sukurti tiesią liniją ir hiperbolę.

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir atkarpos ištisinės funkcijos grafikas, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau abscisė:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaitiniu požiūriu lygus tam tikram integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę.

Kalbant apie geometriją, apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą . Integrandas apibrėžia kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali užbaigti brėžinį), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas užduoties teiginys. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas – brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.

Kuriant projektą rekomenduoju tokią tvarką: Pirmas geriau konstruoti visas eilutes (jei yra) ir tik po to- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Funkcijų grafikus kurti pelningiau kryptingai.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Padarykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus įvestos apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių aiškiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu kreivinė trapecija išsidėsčiusi po ašimi(arba bent jau ne aukščiau duota ašis), tada jos plotą galima rasti pagal formulę:

Tokiu atveju:

Dėmesio! Nepainiokite dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių problemų pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, apatinė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.

Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų nustatymo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžtame prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia statyti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

O dabar darbo formulė: Jei intervale yra kokia nors nepertraukiama funkcija didesnis arba lygus tam tikrą ištisinę funkciją, tada figūros plotą, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir tiesės, galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAU(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė iš viršaus ir tiesia linija iš apačios.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva.(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai įvyksta „gedimas“, kad reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad jame figūros plotas apskaičiuojamas naudojant du apibrėžtuosius integralus.

Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesių linijų grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Dabar kreipiamės į integralinio skaičiavimo taikymą. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. Kaip naudoti apibrėžtąjį integralą plokštumos figūros plotui apskaičiuoti. Galiausiai tie, kurie ieško prasmės aukštojoje matematikoje – tegul jie ją randa. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai įvertinti vasarnamį su pagrindinėmis funkcijomis ir rasti jo plotą naudodami tam tikrą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai.

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio konstravimą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai bus daug aktualesnis klausimas. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus atmintyje ir bent jau turėti galimybę nutiesti tiesę, parabolę ir hiperbolę. Tai galima padaryti (daug kam to reikia) pasitelkus metodinę medžiagą ir straipsnį apie geometrines grafų transformacijas.

Tiesą sakant, visi yra susipažinę su problema rasti sritį naudojant apibrėžtą integralą nuo mokyklos laikų, todėl mes eisime šiek tiek į priekį nuo mokyklos mokymo programos. Šio straipsnio gali iš viso nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentą kankina nekenčiamas bokštas su entuziazmu, įsisavindamas aukštosios matematikos kursą.

Šio seminaro medžiaga pateikiama paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.

Pradėkime nuo kreivinės trapecijos.

Kreivinė trapecija vadinama plokščia figūra, apribota ašies , tiesių linijų ir atkarpos, kuri nekeičia ženklo šiame intervale, ištisinės funkcijos grafiku. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau abscisė:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaitiniu požiūriu lygus tam tikram integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą . Integrandas apibrėžia kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali užbaigti brėžinį), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas užduoties teiginys. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas – brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.

Kuriant projektą rekomenduoju tokią tvarką: Pirmas geriau konstruoti visas eilutes (jei yra) ir tik po to- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Funkcijų grafikus kurti pelningiau taškas po taško, su taškinės konstrukcijos technika galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti medžiagos, kuri yra labai naudinga mūsų pamokai - kaip greitai sukurti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Padarykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Kreivinės trapecijos neperėsiu, akivaizdu, apie kokią sritį čia kalbama. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Kam sunku apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ir pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus įvestos apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai, akivaizdu, kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , ir ašis

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu kreivinė trapecija išsidėsčiusi po ašimi(arba bent jau ne aukščiau duota ašis), tada jos plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:

Dėmesio! Nepainiokite dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių problemų pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, apatinė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Įvairių diagramų taškinio kūrimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų nustatymo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžtame prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia statyti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Kartoju, kad naudojant taškinę konstravimą, integracijos ribos dažniausiai nustatomos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė: Jei intervale yra kokia nors nepertraukiama funkcija didesnis arba lygus tam tikrą ištisinę funkciją, tada figūros plotą, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir tiesės, galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAU(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė iš viršaus ir tiesia linija iš apačios.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis. . Kadangi ašis nurodoma lygtimi , o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada kirvius

O dabar keli nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, kurį sudaro linijos , .

Sprendžiant ploto skaičiavimo uždavinius naudojant tam tikrą integralą, kartais nutinka juokingas incidentas. Brėžinys padarytas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl ​​neatidumo ... rado netinkamos figūros plotą, taip tavo paklusnus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

…Eh, piešinys išėjo kvailas, bet atrodo, kad viskas įskaitoma.

Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva.(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai įvyksta „gedimas“, kad reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad jame figūros plotas apskaičiuojamas naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesių linijų grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

Pereikime prie dar vienos prasmingos užduoties.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokyklinėje“ formoje ir nubrėžkime tašką po taško:

Iš brėžinio matyti, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba? Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti. Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką iš viso nesupratome?

Tokiais atvejais tenka skirti daugiau laiko ir analitiškai išgryninti integracijos ribas.

Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:


,

Tikrai,.

Tolesnis sprendimas yra nereikšmingas, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys lengviausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje apsvarstysime dvi užduotis sunkesnėmis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,

Sprendimas: pieškite šią figūrą brėžinyje.

Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį ir perdariau paveikslėlį, atsiprašau, ne karšta. Ne piešinys, trumpai tariant, šiandien tokia diena =)

Konstruojant tašką po taško, būtina žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) leidžiama sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame grafikai ir integravimo ribos turi būti atvaizduoti iš esmės teisingai.

Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: - "x" keičiasi iš nulio į "pi". Priimame tolesnį sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl:

Kaip svetainėje įterpti matematines formules?

Jei kada nors prireiks prie tinklalapio pridėti vieną ar dvi matematines formules, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių, kuriuos Wolfram Alpha automatiškai generuoja, pavidalu. Be paprastumo, šis universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemose. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet morališkai pasenęs.

Tačiau jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią „JavaScript“ biblioteką, kuri rodo matematinius žymėjimus žiniatinklio naršyklėse naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, galite greitai prijungti prie savo svetainės MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) įkelkite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas yra sudėtingesnis ir reikalaujantis daug laiko ir leis paspartinti jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba iš dokumentacijos puslapio:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų ir arba iškart po žymos . Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai seka ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įvesite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įklijuosite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prijungti „MathJax“ yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją anksčiau pateikto įkėlimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasiruošę į savo tinklalapius įdėti matematines formules.

Bet koks fraktalas statomas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Pasirodo, rinkinys susideda iš 20 likusių mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą neribotą laiką, gauname Menger kempinę.

Šiame straipsnyje sužinosite, kaip naudojant integralinius skaičiavimus rasti linijomis apribotos figūros plotą. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai tik baigtas tam tikrų integralų tyrimas ir atėjo laikas pradėti praktikoje įgytų žinių geometrinę interpretaciją.

Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto suradimo naudojant integralus problemą:

• Gebėjimas taisyklingai braižyti brėžinius;
• Gebėjimas išspręsti apibrėžtąjį integralą naudojant gerai žinomą Niutono-Leibnizo formulę;
• Galimybė „pamatyti“ pelningesnį sprendimą – t.y. suprasti, kaip tuo ar kitu atveju bus patogiau vykdyti integraciją? Išilgai x ašies (OX) ar y ašies (OY)?
• Na, kur be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti to kito tipo integralus, ir teisingus skaitinius skaičiavimus.

Figūros, apribotos linijomis, ploto skaičiavimo problemos sprendimo algoritmas:

1. Mes statome piešinį. Patartina tai padaryti ant popieriaus lapo narve, dideliu mastu. Virš kiekvieno grafiko pieštuku pasirašome šios funkcijos pavadinimą. Grafikų parašas daromas tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavus norimos figūros grafiką, daugeliu atvejų iš karto bus aišku, kokios integravimo ribos bus naudojamos. Taigi problemą išsprendžiame grafiškai. Tačiau atsitinka taip, kad ribų reikšmės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, pereikite prie antrojo veiksmo.

2. Jei integravimo ribos nėra aiškiai nustatytos, randame grafikų susikirtimo taškus tarpusavyje ir pažiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas sutampa su analitiniu.

3. Toliau reikia išanalizuoti piešinį. Priklausomai nuo to, kaip yra išdėstyti funkcijų grafikai, yra įvairių būdų, kaip rasti figūros plotą. Apsvarstykite įvairius pavyzdžius, kaip rasti figūros plotą naudojant integralus.

3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti kreivinės trapecijos plotą. Kas yra kreivinė trapecija? Tai plokščia figūra, kurią riboja x ašis (y = 0), tiesus x = a, x = b ir bet kuri kreivė ištisinė intervale nuo a prieš b. Tuo pačiu metu šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau x ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus apibrėžtajam integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnizo formulę:

1 pavyzdys y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kokios linijos apibrėžia figūrą? Mes turime parabolę y = x2 - 3x + 3, kuris yra virš ašies OI, tai neneigiama, nes visi šios parabolės taškai yra teigiami. Toliau pateiktos tiesios linijos x = 1 ir x = 3 kurie eina lygiagrečiai ašiai OU, yra figūrą ribojančios linijos kairėje ir dešinėje. Na y = 0, ji yra x ašis, kuri riboja figūrą iš apačios. Gauta figūra yra užtamsinta, kaip matyti paveikslėlyje kairėje. Tokiu atveju galite nedelsiant pradėti spręsti problemą. Prieš mus yra paprastas kreivinės trapecijos pavyzdys, kurį mes išsprendžiame naudodami Niutono-Leibnizo formulę.

3.2. Ankstesniame 3.1 punkte buvo analizuojamas atvejis, kai kreivinė trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tokios pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnizo formulės pridedamas minusas. Kaip išspręsti tokią problemą, mes svarstysime toliau.

2 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Šiame pavyzdyje turime parabolę y=x2+6x+2, kuris kilęs iš po ašies OI, tiesus x=-4, x=-1, y=0. Čia y = 0 riboja norimą figūrą iš viršaus. Tiesioginis x = -4 ir x = -1 tai yra ribos, per kurias bus skaičiuojamas apibrėžtasis integralas. Figūros ploto suradimo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su pavyzdžiu numeriu 1. Skirtumas tik tas, kad pateikta funkcija nėra teigiama, o intervale viskas taip pat yra tęstinis. [-4; -1] . Ką reiškia ne teigiamas? Kaip matyti iš paveikslo, figūra, esanti duotame x ribose, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti sprendžiant problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnizo formulę, tik su minuso ženklu pradžioje.

Straipsnis nebaigtas.