Pavyzdys

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ir tt

Proporcingumo koeficientas

Pastovus proporcingų dydžių santykis vadinamas proporcingumo koeficientas. Proporcingumo koeficientas parodo, kiek vieno dydžio vienetų patenka į kito dydžio vienetą.

Tiesioginis proporcingumas

Tiesioginis proporcingumas- funkcinė priklausomybė, kai koks nors dydis priklauso nuo kito dydžio taip, kad jų santykis išlieka pastovus. Kitaip tariant, šie kintamieji keičiasi proporcingai, lygiomis dalimis, tai yra, jei argumentas pasikeitė du kartus bet kuria kryptimi, tada funkcija taip pat pasikeičia du kartus ta pačia kryptimi.

Matematiškai tiesioginis proporcingumas parašytas kaip formulė:

f(x) = ax,a = const

Atvirkštinis proporcingumas

Atvirkštinė proporcija- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės padidėjimas (argumentas) sukelia proporcingą priklausomos reikšmės (funkcijos) sumažėjimą.

Matematiškai atvirkštinis proporcingumas parašytas kaip formulė:

Funkcijos savybės:

Šaltiniai

Wikimedia fondas. 2010 m.

• Antrasis Niutono dėsnis
• Kulono barjeras

Pažiūrėkite, kas yra „tiesioginis proporcingumas“ kituose žodynuose:

tiesioginis proporcingumas- - [A.S. Goldbergas. Anglų rusų energetikos žodynas. 2006] Temos energija apskritai LT tiesioginis santykis … Techninis vertėjo vadovas

tiesioginis proporcingumas- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. tiesioginis proporcingumas vok. direkte Proporcionalitat, f rus. tiesioginis proporcingumas, f pranc. Proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCINGUMAS- (iš lot. proporcingas proporcingas, proporcingas). Proporcingumas. Užsienio žodžių žodynas, įtrauktas į rusų kalbą. Chudinovas A.N., 1910. PROPORCINGUMAS otlat. proporcingas, proporcingas. Proporcingumas. 25000 paaiškinimas… … Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

PROPORCINGUMAS- PROporcingumas, proporcingumas, pl. ne, moteris (knyga). 1. išsiblaškymas daiktavardis į proporcingą. Dalių proporcingumas. Kūno proporcingumas. 2. Toks santykis tarp dydžių, kai jie yra proporcingi (žr. proporcingas ... Ušakovo aiškinamasis žodynas

Proporcingumas- Du vienas nuo kito priklausomi dydžiai vadinami proporcingais, jei jų reikšmių santykis nesikeičia .. Turinys 1 2 pavyzdys Proporcingumo koeficientas... Vikipedija

PROPORCINGUMAS- PROporcingumas, ir, žmonos. 1. žr. proporcingas. 2. Matematikoje: toks santykis tarp dydžių, kai vienam iš jų padidėjus, toks pat dydžiu pasikeičia ir kitas. Tiesioginis p. (kai pjaunama padidinus vieną vertę ... ... Aiškinamasis Ožegovo žodynas

proporcingumo- ir; ir. 1. į proporcingą (1 skaitmuo); proporcingumo. P. dalys. P. kūno sudėjimą. P. atstovavimas parlamente. 2. Matematika. Priklausomybė tarp proporcingai besikeičiančių dydžių. Proporcingumo koeficientas. Tiesioginis p. (kuriame su ... ... enciklopedinis žodynas

Proporcingumas yra santykis tarp dviejų dydžių, kai pasikeitus vienam iš jų, kitas pasikeičia tokiu pat kiekiu.

Proporcingumas yra tiesioginis ir atvirkštinis. Šioje pamokoje apžvelgsime kiekvieną iš jų.

Pamokos turinys

Tiesioginis proporcingumas

Tarkime, kad automobilis važiuoja 50 km/h greičiu. Prisimename, kad greitis – tai atstumas, nuvažiuotas per laiko vienetą (1 valandą, 1 minutę arba 1 sekundę). Mūsų pavyzdyje automobilis juda 50 km / h greičiu, tai yra, per vieną valandą jis nuvažiuos penkiasdešimties kilometrų atstumą.

Nubraižykime automobilio nuvažiuotą atstumą per 1 val.

Leiskite automobiliui važiuoti dar valandą tuo pačiu penkiasdešimties kilometrų per valandą greičiu. Tada paaiškėja, kad automobilis nuvažiuos 100 km

Kaip matyti iš pavyzdžio, padvigubėjus laikui, nuvažiuotas atstumas padidėjo tiek pat, ty dvigubai.

Teigiama, kad tokie kiekiai kaip laikas ir atstumas yra tiesiogiai proporcingi. Ryšys tarp šių dydžių vadinamas tiesioginis proporcingumas.

Tiesioginis proporcingumas yra santykis tarp dviejų dydžių, kai padidinus vieną iš jų, kitas padidėja ta pačia suma.

ir atvirkščiai, jei viena reikšmė sumažėja tam tikrą skaičių kartų, tai kita sumažėja tiek pat.

Tarkime, kad iš pradžių buvo planuota automobiliu 100 km nuvažiuoti per 2 valandas, tačiau nuvažiavus 50 km, vairuotojas nusprendė padaryti pertrauką. Tada paaiškėja, kad sumažinus atstumą per pusę, laikas sumažės tiek pat. Kitaip tariant, sumažėjus nuvažiuotam atstumui, laikas sumažės tuo pačiu veiksniu.

Įdomi tiesiogiai proporcingų dydžių savybė yra ta, kad jų santykis visada yra pastovus. Tai yra, keičiant tiesiogiai proporcingų dydžių reikšmes, jų santykis išlieka nepakitęs.

Nagrinėjamame pavyzdyje atstumas iš pradžių buvo lygus 50 km, o laikas – viena valanda. Atstumo ir laiko santykis yra skaičius 50.

Bet judėjimo laiką padidinome 2 kartus, todėl jis buvo lygus dviem valandoms. Dėl to nuvažiuotas atstumas padidėjo tiek pat, tai yra tapo lygus 100 km. Šimto kilometrų ir dviejų valandų santykis vėl yra 50

Skambinama numeriu 50 tiesioginio proporcingumo koeficientas. Tai rodo, koks atstumas yra per valandą judėjimo. Šiuo atveju koeficientas vaidina judėjimo greičio vaidmenį, nes greitis yra nuvažiuoto atstumo ir laiko santykis.

Proporcijas galima sudaryti iš tiesiogiai proporcingų kiekių. Pavyzdžiui, koeficientai ir proporcijos:

Penkiasdešimt kilometrų yra susiję su viena valanda, kaip šimtas kilometrų yra susiję su dviem valandomis.

2 pavyzdys. Perkamų prekių kaina ir kiekis yra tiesiogiai proporcingi. Jei 1 kg saldainių kainuoja 30 rublių, tai 2 kg tų pačių saldainių kainuos 60 rublių, 3 kg – 90 rublių. Padidėjus perkamų prekių savikainai, tiek pat padidėja ir jos kiekis.

Kadangi prekės vertė ir jos kiekis yra tiesiogiai proporcingi, jų santykis visada yra pastovus.

Užrašykime trisdešimties rublių ir vieno kilogramo santykį

Dabar parašykime, kam lygus šešiasdešimties rublių ir dviejų kilogramų santykis. Šis santykis vėl bus lygus trisdešimt:

Čia tiesioginio proporcingumo koeficientas yra skaičius 30. Šis koeficientas parodo, kiek rublių už kilogramą saldumynų. Šiame pavyzdyje koeficientas vaidina vieno kilogramo prekių kainos vaidmenį, nes kaina yra prekės kainos ir kiekio santykis.

Atvirkštinis proporcingumas

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. Atstumas tarp dviejų miestų yra 80 km. Motociklininkas išvažiavo iš pirmojo miesto, o 20 km/h greičiu antrąjį miestą pasiekė per 4 val.

Jei motociklininko greitis buvo 20 km/h, tai reiškia, kad kas valandą jis nuvažiuodavo dvidešimties kilometrų atstumą. Pavaizduokime paveiksle motociklininko nuvažiuotą atstumą ir jo judėjimo laiką:

Grįžtant motociklininko greitis siekė 40 km/h, toje pačioje kelionėje jis praleido 2 valandas.

Nesunku pastebėti, kad pasikeitus greičiui tiek pat pakito ir judėjimo laikas. Be to, jis pasikeitė priešinga kryptimi - tai yra, greitis padidėjo, o laikas, priešingai, sumažėjo.

Tokie kiekiai kaip greitis ir laikas vadinami atvirkščiai proporcingais. Ryšys tarp šių dydžių vadinamas atvirkštinis proporcingumas.

Atvirkštinis proporcingumas yra dviejų dydžių santykis, kai vienam iš jų padidėjus, kitas sumažėja ta pačia suma.

ir atvirkščiai, jei viena reikšmė sumažėja tam tikrą skaičių kartų, tai kita padidėja tiek pat.

Pavyzdžiui, jei važiuojant atgal motociklininko greitis buvo 10 km/h, tai jis tuos pačius 80 km įveiktų per 8 valandas:

Kaip matyti iš pavyzdžio, sumažėjus greičiui, kelionės laikas pailgėjo tuo pačiu veiksniu.

Atvirkščiai proporcingų dydžių ypatumas yra tas, kad jų sandauga visada yra pastovi. Tai yra, keičiant atvirkščiai proporcingų dydžių reikšmes, jų produktas išlieka nepakitęs.

Nagrinėjamame pavyzdyje atstumas tarp miestų buvo 80 km. Keičiant motociklininko greitį ir laiką šis atstumas visada išliko nepakitęs.

Šį atstumą motociklininkas 20 km/h greičiu galėtų įveikti per 4 valandas, o 40 km/h greičiu – per 2 valandas, o 10 km/h greičiu – per 8 valandas. Visais atvejais greičio ir laiko sandauga buvo lygi 80 km

Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos Vkontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Šiandien pažiūrėsime, kokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais, kaip atrodo atvirkštinio proporcingumo grafikas ir kuo visa tai gali būti jums naudinga ne tik matematikos pamokose, bet ir už mokyklos sienų.

Tokios skirtingos proporcijos

Proporcingumasįvardykite du dydžius, kurie yra vienas nuo kito priklausomi.

Priklausomybė gali būti tiesioginė ir atvirkštinė. Todėl santykis tarp dydžių apibūdina tiesioginį ir atvirkštinį proporcingumą.

Tiesioginis proporcingumas- tai toks ryšys tarp dviejų dydžių, kai vieno iš jų padidėjimas arba sumažėjimas lemia kito padidėjimą arba sumažėjimą. Tie. jų požiūris nesikeičia.

Pavyzdžiui, kuo daugiau pastangų įdėsite ruošdamiesi egzaminams, tuo aukštesni bus jūsų pažymiai. Arba kuo daugiau daiktų pasiimi su savimi į žygį, tuo sunkiau neštis kuprinę. Tie. pastangų, skirtų ruošiantis egzaminams, kiekis yra tiesiogiai proporcingas gautiems pažymiams. O į kuprinę sukrautų daiktų skaičius yra tiesiogiai proporcingas jos svoriui.

Atvirkštinis proporcingumas- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės sumažėjimas arba padidėjimas kelis kartus (tai vadinamas argumentu) sukelia proporcingą (t. y. tokiu pat dydžiu) priklausomos reikšmės padidėjimą arba sumažėjimą (tai vadinama funkcija).

Iliustruojame paprastu pavyzdžiu. Norite nusipirkti obuolių turguje. Obuoliai ant prekystalio ir pinigų suma jūsų piniginėje yra atvirkščiai susiję. Tie. kuo daugiau obuolių perkate, tuo mažiau pinigų lieka.

Funkcija ir jos grafikas

Atvirkštinio proporcingumo funkciją galima apibūdinti kaip y = k/x. Kuriame x≠ 0 ir k≠ 0.

Ši funkcija turi šias savybes:

1. Jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Diapazonas yra visi realūs skaičiai, išskyrus y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Jis neturi didžiausių ar minimalių verčių.
4. Yra nelyginis ir jo grafikas yra simetriškas kilmei.
5. Neperiodinis.
6. Jo grafikas nekerta koordinačių ašių.
7. Neturi nulių.
8. Jeigu k> 0 (ty argumentas didėja), funkcija proporcingai mažėja kiekviename jos intervale. Jeigu k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Didėjant argumentui ( k> 0) funkcijos neigiamos reikšmės yra intervale (-∞; 0), o teigiamos reikšmės yra intervale (0; +∞). Kai argumentas mažėja ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Atvirkštinės proporcingumo funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Pavaizduota taip:

Atvirkštinės proporcinės problemos

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į keletą užduočių. Jie nėra pernelyg sudėtingi, o jų sprendimas padės įsivaizduoti, kas yra atvirkštinė proporcija ir kuo šios žinios gali būti naudingos kasdieniame gyvenime.

Užduotis numeris 1. Automobilis važiuoja 60 km/h greičiu. Jam prireikė 6 valandų, kad pasiektų tikslą. Kiek laiko jam prireiks įveikti tą patį atstumą, jei judės dvigubai greičiau?

Pradėti galime užrašydami formulę, kuri nusako laiko, atstumo ir greičio ryšį: t = S/V. Sutikite, tai mums labai primena atvirkštinio proporcingumo funkciją. Ir tai rodo, kad laikas, kurį automobilis praleidžia kelyje, ir jo judėjimo greitis yra atvirkščiai proporcingi.

Norėdami tai patikrinti, suraskime V 2, kuris pagal sąlygą yra 2 kartus didesnis: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Tada apskaičiuojame atstumą pagal formulę S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Dabar nesunku sužinoti laiką t 2, kurio iš mūsų reikia pagal uždavinio sąlygą: t 2 = 360/120 = 3 valandos.

Kaip matote, kelionės laikas ir greitis išties yra atvirkščiai proporcingi: 2 kartus didesniu nei originaliu greičiu automobilis kelyje praleis 2 kartus mažiau laiko.

Šios problemos sprendimas taip pat gali būti parašytas kaip proporcija. Kodėl mes kuriame tokią diagramą:

↓ 60 km/h – 6 val

↓120 km/h – x h

Rodyklės rodo atvirkštinį ryšį. Ir jie taip pat siūlo, kad sudarant proporciją reikia apversti dešinę įrašo pusę: 60/120 \u003d x / 6. Iš kur gauname x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 valandas.

Užduotis numeris 2. Ceche dirba 6 darbuotojai, kurie su tam tikru darbo kiekiu susidoroja per 4 valandas. Jei darbuotojų skaičius sumažės perpus, kiek laiko užtruks, kol likę darbuotojai atliks tą patį darbų kiekį?

Problemos sąlygas rašome vaizdinės diagramos forma:

↓ 6 darbuotojai - 4 val

↓ 3 darbuotojai - x val

Parašykime tai kaip proporciją: 6/3 = x/4. Ir gauname x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 valandas. Jei darbuotojų bus 2 kartus mažiau, likusieji skirs 2 kartus daugiau laiko visam darbui atlikti.

Užduotis numeris 3. Į baseiną veda du vamzdžiai. Per vieną vamzdį vanduo patenka 2 l / s greičiu ir užpildo baseiną per 45 minutes. Per kitą vamzdį baseinas bus užpildytas per 75 minutes. Kaip greitai šiuo vamzdžiu vanduo patenka į baseiną?

Pirmiausia visus mums duotus kiekius pagal problemos būklę sujungsime į tuos pačius matavimo vienetus. Norėdami tai padaryti, išreiškiame baseino užpildymo greitį litrais per minutę: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Kadangi iš sąlygos, kad baseinas užpildomas lėčiau per antrą vamzdį, tai reiškia, kad vandens pritekėjimo greitis yra mažesnis. Atvirkštinės proporcijos akivaizdoje. Išreikškime mums nežinomą greitį x ir sudarykime tokią schemą:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Ir tada mes sudarysime proporciją: 120 / x \u003d 75/45, iš kur x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

Uždavinyje baseino pripildymo greitis išreiškiamas litrais per sekundę, savo atsakymą pateikime ta pačia forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Užduotis numeris 4. Vizitinės kortelės spausdinamos nedidelėje privačioje spaustuvėje. Spaustuvės darbuotojas dirba 42 vizitinių kortelių greičiu per valandą ir dirba pilnu etatu – 8 val. Jei jis dirbtų greičiau ir atspausdintų 48 vizitines korteles per valandą, kiek greičiau jis galėtų grįžti namo?

Mes einame patikrintu būdu ir sudarome schemą pagal problemos sąlygą, nurodydami norimą reikšmę kaip x:

↓ 42 vizitinės kortelės/val. – 8 val

↓ 48 vizitinės kortelės/val. – xh

Prieš mus – atvirkščiai proporcingas santykis: kiek kartų daugiau vizitinių kortelių atspausdina spaustuvės darbuotojas per valandą, tiek pat laiko jam prireiks tam pačiam darbui atlikti. Žinodami tai, galime nustatyti proporciją:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 valandos.

Taigi, darbus atlikęs per 7 valandas, spaustuvės darbuotojas namo galėjo vykti valanda anksčiau.

Išvada

Mums atrodo, kad šios atvirkštinio proporcingumo problemos yra tikrai paprastos. Tikimės, kad dabar jūs taip pat jas laikote. O svarbiausia – žinios apie atvirkščiai proporcingą kiekių priklausomybę jums tikrai gali praversti ne kartą.

Ne tik matematikos pamokose ir egzaminuose. Bet net ir tada, kai ruošiatės į kelionę, apsipirkti, nuspręsti per atostogas užsidirbti ir pan.

Pasakykite mums komentaruose, kokius atvirkštinio ir tiesioginio proporcingumo pavyzdžius pastebite aplink save. Tegul tai būna žaidimas. Pamatysite, kaip tai įdomu. Nepamirškite šiuo straipsniu „pasidalyti“ socialiniuose tinkluose, kad galėtų žaisti ir jūsų draugai bei klasės draugai.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

§ 129. Preliminarūs paaiškinimai.

Žmogus nuolat susiduria su įvairiausiais kiekiais. Darbuotojas ir darbuotojas stengiasi atvykti į servisą, dirbti iki tam tikro laiko, pėstysis trumpiausiu keliu skuba pasiekti tam tikrą vietą, garo šildymo šaltinis nerimauja, kad temperatūra katile pamažu kyla, verslo vadovas kuria planus sumažinti gamybos savikainą ir kt.

Tokių pavyzdžių būtų galima pateikti bet kokį skaičių. Laikas, atstumas, temperatūra, kaina – visa tai įvairūs kiekiai. Pirmoje ir antroje šios knygos dalyse susipažinome su keletu ypač paplitusių dydžių: ploto, tūrio, svorio. Studijuodami fiziką ir kitus mokslus susiduriame su daugybe dydžių.

Įsivaizduokite, kad esate traukinyje. Kartkartėmis žiūrite į laikrodį ir pastebite, kiek laiko jau buvote kelyje. Pavyzdžiui, jūs sakote, kad nuo jūsų traukinio išvykimo praėjo 2, 3, 5, 10, 15 valandų ir tt Šie skaičiai rodo skirtingus laiko tarpus; jos vadinamos šio dydžio (laiko) reikšmėmis. Arba žiūrite pro langą ir sekate kelių stulpus, kad pamatytumėte atstumą, kurį nuvažiuoja jūsų traukinys. Prieš jus mirksi skaičiai 110, 111, 112, 113, 114 km. Šie skaičiai rodo įvairius atstumus, kuriuos traukinys nuvažiavo nuo išvykimo vietos. Jie taip pat vadinami vertėmis, šį kartą su kita reikšme (kelias arba atstumas tarp dviejų taškų). Taigi viena reikšmė, pavyzdžiui, laikas, atstumas, temperatūra, gali įgauti bet kurią skirtingos vertybės.

Atkreipkite dėmesį į tai, kad žmogus beveik niekada nelaiko tik vienos vertybės, o visada sieja ją su kokiomis nors kitomis vertybėmis. Jis turi vienu metu susidoroti su dviem, trim ir daugiau kiekių. Įsivaizduokite, kad į mokyklą turite patekti iki 9 valandos. Pažiūri į laikrodį ir pamatai, kad turi 20 minučių. Tada greitai nuspręsite, ar važiuoti tramvajumi, ar turėsite laiko iki mokyklos nueiti pėsčiomis. Pagalvojęs nusprendžiate vaikščioti. Atkreipkite dėmesį, kad tuo metu, kai galvojote, sprendėte kokią nors problemą. Ši užduotis tapo paprasta ir pažįstama, nes tokias problemas sprendžiate kiekvieną dieną. Jame greitai palyginote kelias vertybes. Jūs žiūrėjote į laikrodį, vadinasi, atsižvelgėte į laiką, tada mintyse įsivaizdavote atstumą nuo namų iki mokyklos; galiausiai palyginote du dydžius: savo žingsnio greitį ir tramvajaus greitį ir padarėte išvadą, kad per tam tikrą laiką (20 minučių) turėsite laiko nueiti. Iš šio paprasto pavyzdžio matote, kad mūsų praktikoje kai kurie dydžiai yra tarpusavyje susiję, tai yra, jie priklauso vienas nuo kito

Dvyliktame skyriuje buvo pasakyta apie vienarūšių dydžių santykį. Pavyzdžiui, jei vienas segmentas yra 12 m, o kitas 4 m, tada šių atkarpų santykis bus 12:4.

Sakėme, kad tai yra dviejų vienarūšių dydžių santykis. Kitaip tariant, tai yra dviejų skaičių santykis vienas vardas.

Dabar, kai mes labiau susipažinome su dydžiais ir įvedėme kiekio vertės sąvoką, santykio apibrėžimą galime išdėstyti nauju būdu. Tiesą sakant, kai svarstėme du 12 m ir 4 m segmentus, kalbėjome apie vieną reikšmę – ilgį, o 12 m ir 4 m buvo tik dvi skirtingos šios vertės reikšmės.

Todėl ateityje, kai pradėsime kalbėti apie santykį, atsižvelgsime į dvi vieno iš kai kurių dydžių reikšmes, o vienos kiekio vertės santykis su kita to paties dydžio reikšme bus vadinamas padalijimo koeficientu. pirmąją reikšmę antrąja.

§ 130. Kiekiai yra tiesiogiai proporcingi.

Apsvarstykite problemą, kurios sąlyga apima du dydžius: atstumą ir laiką.

1 užduotis. Tiesia linija judantis kūnas kas sekundę tolygiai kerta 12 cm. Nustatykite kūno nueitą kelią per 2, 3, 4, ..., 10 sekundžių.

Padarykime lentelę, pagal kurią būtų galima stebėti laiko ir atstumo kitimą.

Lentelė suteikia mums galimybę palyginti šias dvi verčių eilutes. Iš to matome, kad kai pirmojo dydžio (laiko) reikšmės palaipsniui didėja 2, 3, ..., 10 kartų, tada antrojo dydžio (atstumo) reikšmės taip pat padidėja 2, 3, ..., 10 kartų. Taigi, kai vieno dydžio reikšmės padidėja kelis kartus, kito dydžio reikšmės padidėja tiek pat, o kai vieno dydžio reikšmės sumažėja kelis kartus, kito dydžio reikšmės sumažėja ta pati suma.

Dabar apsvarstykite problemą, kuri apima du tokius kiekius: medžiagos kiekį ir jos kainą.

2 užduotis. 15 m audinio kainavo 120 rublių. Apskaičiuokite šio audinio kainą keliems kitiems lentelėje nurodytiems skaitiklių kiekiams.

Iš šios lentelės matome, kaip palaipsniui didėja prekės vertė, priklausomai nuo jos kiekio padidėjimo. Nepaisant to, kad šioje problemoje atsiranda visiškai skirtingi dydžiai (pirmoje problemoje – laikas ir atstumas, o čia – prekių kiekis ir jo savikaina), vis dėlto šių dydžių elgesyje galima rasti didelį panašumą.

Išties, viršutinėje lentelės eilutėje yra skaičiai, nurodantys audinio metrų skaičių, po kiekvienu iš jų parašytas skaičius, išreiškiantis atitinkamo prekių kiekio savikainą. Net paviršutiniškas žvilgsnis į šią lentelę rodo, kad skaičiai tiek viršutinėje, tiek apatinėje eilutėse didėja; atidžiau panagrinėjus lentelę ir lyginant atskirus stulpelius, paaiškėja, kad visais atvejais antrojo dydžio reikšmės padidėja tuo pačiu koeficientu kaip ir pirmojo padidėjimo reikšmės, t.y., jei pirmojo dydžio reikšmė padidėjo, tarkime, 10 kartų, tada antrosios reikšmės reikšmė taip pat padidėjo 10 kartų.

Jei pažvelgsime į lentelę iš dešinės į kairę, pamatysime, kad nurodytos kiekių reikšmės sumažės tiek pat kartų. Šia prasme pirmoji ir antroji užduotis yra besąlygiškai panašios.

Dydžių poros, kurias sutikome pirmoje ir antroje uždaviniuose, vadinamos tiesiogiai proporcingas.

Taigi, jei du dydžiai yra tarpusavyje susiję taip, kad vieno iš jų vertei padidėjus (sumažinus) kelis kartus, kito vertė padidėja (sumažėja) tiek pat, tai tokie dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingais.

Jie taip pat sako apie tokius kiekius, kad jie yra tarpusavyje susiję tiesiogiai proporcinga priklausomybe.

Gamtoje ir mus supančioje aplinkoje tokių kiekių yra daug. Štai keletas pavyzdžių:

1. Laikas dirbti (dieną, dvi dienas, tris dienas ir pan.) ir pajamos gautas per šį laiką dienos darbo užmokesčio.

2. Apimtis bet koks objektas, pagamintas iš vienalytės medžiagos, ir svorisšį elementą.

§ 131. Tiesiogiai proporcingų dydžių savybė.

Paimkime užduotį, kurią sudaro du dydžiai: darbo laikas ir uždarbis. Jei dienos uždarbis yra 20 rublių, tai 2 dienų uždarbis bus 40 rublių ir tt Patogiausia sudaryti lentelę, kurioje tam tikras uždarbis atitiks tam tikrą dienų skaičių.

Žvelgdami į šią lentelę matome, kad abu dydžiai įgavo 10 skirtingų reikšmių. Kiekviena pirmosios vertės reikšmė atitinka tam tikrą antrosios vertės reikšmę, pavyzdžiui, 40 rublių atitinka 2 dienas; 5 dienos atitinka 100 rublių. Lentelėje šie skaičiai parašyti vienas po kito.

Mes jau žinome, kad jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tai kiekvienas iš jų, besikeičiant, didėja tiek pat, kiek didėja kitas. Iš to iš karto išplaukia: jei imsime bet kurių dviejų pirmojo dydžio verčių santykį, tada jis bus lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui. Iš tikrųjų:

Kodėl tai vyksta? Bet kadangi šios vertės yra tiesiogiai proporcingos, tai yra, kai viena iš jų (laikas) padidėjo 3 kartus, tada kita (uždarbis) padidėjo 3 kartus.

Todėl padarėme tokią išvadą: jei paimsime bet kurias dvi pirmojo dydžio reikšmes ir padalinsime jas vieną iš kitos, o po to padalysime vieną iš kitos atitinkamas antrojo dydžio vertes, tada abiem atvejais bus gautas vienas ir tas pats skaičius, t.y., tas pats ryšys. Tai reiškia, kad abu santykius, kuriuos rašėme aukščiau, galima susieti lygybės ženklu, t.y.

Neabejotina, kad jei imtume ne šiuos santykius, o kitus ir neteisinga tvarka, o priešinga kryptimi, gautume ir santykių lygybę. Iš tiesų, mes apsvarstysime savo kiekių reikšmes iš kairės į dešinę ir imsime trečiąją ir devintąją vertes:

60:180 = 1 / 3 .

Taigi galime parašyti:

Tai reiškia tokią išvadą: jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų pirmojo dydžio verčių santykis yra lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui.

§ 132. Tiesioginio proporcingumo formulė.

Padarykime įvairių saldumynų kiekių savikainos lentelę, jei 1 kg jų kainuoja 10,4 rublio.

Dabar darykime taip. Paimkime bet kurį antros eilutės skaičių ir padalinkime jį iš atitinkamo pirmosios eilutės skaičiaus. Pavyzdžiui:

Matote, kad koeficiente visą laiką gaunamas tas pats skaičius. Todėl duotai tiesiogiai proporcingų dydžių porai koeficientas, padalijus bet kurią vieno dydžio vertę iš atitinkamos kito dydžio vertės, yra pastovus skaičius (ty nesikeičiantis). Mūsų pavyzdyje šis koeficientas yra 10,4. Šis pastovus skaičius vadinamas proporcingumo koeficientu. Šiuo atveju ji išreiškia matavimo vieneto, t.y., vieno kilogramo prekės, kainą.

Kaip rasti ar apskaičiuoti proporcingumo koeficientą? Norėdami tai padaryti, turite paimti bet kurią vieno kiekio vertę ir padalyti ją iš atitinkamos kitos vertės.

Šią savavališką vieno dydžio reikšmę pažymėkime raide adresu , o atitinkama kito dydžio reikšmė – raidė X , tada proporcingumo koeficientas (jį žymime Į) rasti padalijus:

Šioje lygybėje adresu - dalomas X - daliklis ir Į- dalinys, o kadangi pagal dalybos savybę dividendas yra lygus dalikliui, padaugintam iš dalinio, galime parašyti:

y= K x

Gauta lygybė vadinama tiesioginio proporcingumo formulė. Naudodami šią formulę galime apskaičiuoti bet kokį vieno iš tiesiogiai proporcingų dydžių verčių skaičių, jei žinome atitinkamas kito dydžio reikšmes ir proporcingumo koeficientą.

Pavyzdys. Iš fizikos žinome, kad svoris R bet kurio kūno yra lygus jo savitajam sunkiui d padaugintas iš šio kūno tūrio V, t.y. R = d V.

Paimkite penkis įvairaus dydžio geležies luitus; Žinodami geležies savitąjį svorį (7.8), galime apskaičiuoti šių ruošinių svorius pagal formulę:

R = 7,8 V.

Palyginus šią formulę su formule adresu = Į X , mes tai matome y= R, x = V, ir proporcingumo koeficientą Į= 7,8. Formulė ta pati, tik raidės skiriasi.

Pagal šią formulę sudarykime lentelę: tegul 1-ojo ruošinio tūris yra 8 kubiniai metrai. cm, tada jo svoris yra 7,8 8 \u003d 62,4 (g). 2-ojo ruošinio tūris yra 27 kubiniai metrai. cm Jo svoris yra 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Lentelė atrodys taip:

Šioje lentelėje trūkstamus skaičius apskaičiuokite patys naudodami formulę R= d V.

§ 133. Kiti uždavinių su tiesiogiai proporcingais dydžiais sprendimo būdai.

Ankstesnėje pastraipoje išsprendėme problemą, kurios sąlyga apėmė tiesiogiai proporcingus dydžius. Šiuo tikslu anksčiau išvedėme tiesioginio proporcingumo formulę ir tada taikėme šią formulę. Dabar parodysime du kitus panašių problemų sprendimo būdus.

Padarykime užduotį pagal skaitinius duomenis, pateiktus ankstesnės pastraipos lentelėje.

Užduotis. 8 kubinių metrų tūrio ruošinys. cm sveria 62,4 g Kiek svers 64 kubinių metrų tūrio ruošinys? cm?

Sprendimas. Geležies svoris, kaip žinote, yra proporcingas jo tūriui. Jei 8 kub. cm sveria 62,4 g, tada 1 kub. cm svers 8 kartus mažiau, t.y.

62,4: 8 = 7,8 (g).

64 kubinių metrų tūrio ruošinys. cm svers 64 kartus daugiau nei ruošinys 1 kub. cm, t.y.

7,8 64 = 499,2 (g).

Mes išsprendėme savo problemą sumažindami iki vienybės. Šio pavadinimo reikšmė pateisinama tuo, kad norėdami jį išspręsti, pirmajame klausime turėjome rasti tūrio vieneto svorį.

2. Proporcingumo metodas. Išspręskime tą pačią problemą naudodami proporcijų metodą.

Kadangi geležies svoris ir jos tūris yra tiesiogiai proporcingi dydžiai, dviejų vieno kiekio (tūrio) reikšmių santykis yra lygus dviejų atitinkamų kito kiekio (masės) dydžių santykiui, t.y.

(laiškas R pažymėjome nežinomą ruošinio svorį). Iš čia:

(G).

Problema išspręsta proporcijų metodu. Tai reiškia, kad norint ją išspręsti, dalis buvo sudaryta iš į sąlygą įtrauktų skaičių.

§ 134. Kiekiai yra atvirkščiai proporcingi.

Apsvarstykite šią problemą: „Penki mūrininkai gali iškloti mūrines namo sienas per 168 dienas. Nustatykite, per kiek dienų 10, 8, 6 ir tt mūrininkai galėtų atlikti tą patį darbą.

Jei 5 mūrininkai per 168 dienas nugriaus namo sienas, tai (esant tokiam pačiam darbo našumui) 10 mūrininkų galėtų tai padaryti dvigubai greičiau, nes vidutiniškai 10 žmonių atlieka dvigubai daugiau darbų nei 5 žmonės.

Padarykime lentelę, pagal kurią būtų galima stebėti darbo valandų ir darbo valandų skaičiaus kitimą.

Pavyzdžiui, norėdami sužinoti, kiek dienų užtruks 6 darbuotojai, pirmiausia turite apskaičiuoti, kiek dienų užtruks vienas darbuotojas (168 5 = 840), o tada šeši darbuotojai (840: 6 = 140). Žvelgdami į šią lentelę matome, kad abu dydžiai įgavo šešias skirtingas reikšmes. Kiekviena pirmojo dydžio reikšmė tiksliau atitinka; antrosios reikšmės reikšmė, pavyzdžiui, 10 atitinka 84, skaičius 8 – skaičių 105 ir t.t.

Jei apsvarstysime abiejų verčių reikšmes iš kairės į dešinę, pamatysime, kad viršutinės vertės reikšmės didėja, o apatinės vertės mažėja. Didėjimui ir mažėjimui galioja toks įstatymas: darbuotojų skaičiaus reikšmės didėja tiek kartų, kiek mažėja praleisto darbo laiko reikšmės. Dar paprasčiau, šią mintį galima išreikšti taip: kuo daugiau darbuotojų įdarbinama bet kuriame versle, tuo mažiau laiko jiems reikia tam tikram darbui atlikti. Du dydžiai, su kuriais susidūrėme šioje problemoje, vadinami atvirkščiai proporcingas.

Taigi, jei du dydžiai yra tarpusavyje sujungti taip, kad vieno iš jų vertei padidėjus (sumažinus) kelis kartus, kito vertė sumažėja (padidėja) tiek pat, tai tokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais.

Tokių dalykų gyvenime yra daug. Pateikime pavyzdžių.

1. Jei už 150 rublių. reikia nusipirkti kelių kilogramų saldainių, tuomet saldainių skaičius priklausys nuo vieno kilogramo kainos. Kuo didesnė kaina, tuo mažiau prekių galima nusipirkti už šiuos pinigus; tai matyti iš lentelės:

Kelis kartus pabrangus saldumynams, tiek pat mažėja ir kilogramų saldainių, kuriuos galima nusipirkti už 150 rublių, skaičius. Šiuo atveju du dydžiai (prekės svoris ir jo kaina) yra atvirkščiai proporcingi.

2. Jei atstumas tarp dviejų miestų yra 1200 km, tai jį galima įveikti skirtingu laiku, priklausomai nuo judėjimo greičio. Yra įvairių susisiekimo būdų: pėsčiomis, arkliu, dviračiu, laivu, automobiliu, traukiniu, lėktuvu. Kuo mažesnis greitis, tuo daugiau laiko reikia judėti. Tai matyti iš lentelės:

Kelis kartus padidinus greitį, judėjimo laikas sumažėja tiek pat. Vadinasi, tam tikromis sąlygomis greitis ir laikas yra atvirkščiai proporcingi.

§ 135. Atvirkščiai proporcingų dydžių savybė.

Paimkime antrą pavyzdį, kurį nagrinėjome ankstesnėje pastraipoje. Ten turėjome reikalų su dviem dydžiais – judėjimo greičiu ir laiku. Jei apsvarstysime šių dydžių vertes lentelėje iš kairės į dešinę, pamatysime, kad pirmojo dydžio (greičio) reikšmės didėja, o antrojo (laiko) reikšmės mažėja, ir greitis didėja tuo pačiu koeficientu, kai mažėja laikas. Nesunku suprasti, kad jei parašysite bet kokių vieno kiekio verčių santykį, tada jis nebus lygus kito kiekio atitinkamų verčių santykiui. Iš tiesų, jei imsime ketvirtosios viršutinės vertės ir septintosios vertės santykį (40: 80), tada jis nebus lygus apatinės vertės ketvirtosios ir septintos vertės santykiui (30:15). ). Tai galima parašyti taip:

40:80 nėra lygus 30:15 arba 40:80 =/= 30:15.

Bet jei vietoj vieno iš šių koeficientų imsime priešingą, tada gausime lygybę, tai yra, iš šių santykių bus galima sudaryti proporciją. Pavyzdžiui:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta, galime padaryti tokią išvadą: jei du dydžiai yra atvirkščiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų vieno dydžio verčių santykis yra lygus atvirkštiniam kito dydžio atitinkamų verčių santykiui.

§ 136. Atvirkštinio proporcingumo formulė.

Apsvarstykite problemą: „Yra 6 skirtingų dydžių ir skirtingų rūšių šilko audinio gabalai. Visos dalys vienodos kainos. Viename gabale 100 m audinio už 20 rublių kainą. vienam metrui. Kiek metrų yra kiekvienoje iš likusių penkių dalių, jei šių dalių audinio metras kainuoja atitinkamai 25, 40, 50, 80, 100 rublių? Norėdami išspręsti šią problemą, sukurkime lentelę:

Turime užpildyti tuščius langelius viršutinėje šios lentelės eilutėje. Pirmiausia pabandykime nustatyti, kiek metrų yra antrame gabale. Tai galima padaryti tokiu būdu. Iš problemos būklės žinoma, kad visų dalių kaina yra vienoda. Pirmojo gabalo kainą nustatyti nesunku: jis turi 100 m, o kiekvienas metras kainuoja 20 rublių, tai reiškia, kad pirmame šilko gabale už 2000 rublių. Kadangi antrame šilko gabale yra tiek pat rublių, tada padalijus 2000 rublių. vieno metro kaina, tai yra 25, randame antrojo gabalo vertę: 2000: 25 = 80 (m). Lygiai taip pat surasime visų kitų gabalų dydį. Lentelė atrodys taip:

Nesunku pastebėti, kad tarp skaitiklių skaičiaus ir kainos yra atvirkštinis ryšys.

Jei patys atliksite reikiamus skaičiavimus, pastebėsite, kad kiekvieną kartą, kai turėsite padalyti skaičių 2000 iš 1 m kainos. Ir atvirkščiai, jei dabar pradėsite gabalo dydį metrais dauginti iš 1 m kainos, visada gaus skaičių 2000. ir to buvo galima tikėtis, nes kiekvienas gabalas kainuoja 2000 rublių.

Iš to galime padaryti tokią išvadą: tam tikrai atvirkščiai proporcingų dydžių porai bet kurios vieno dydžio vertės sandauga su atitinkama kito dydžio verte yra pastovus skaičius (ty nesikeičiantis).

Mūsų uždavinyje šis produktas lygus 2000. Patikrinkite, ar ankstesniame uždavinyje, kuriame buvo kalbama apie judėjimo greitį ir laiką, reikalingą persikelti iš vieno miesto į kitą, taip pat buvo pastovus tos problemos skaičius (1 200).

Atsižvelgiant į visa tai, kas buvo pasakyta, lengva išvesti atvirkštinio proporcingumo formulę. Pažymėkite tam tikrą vieno dydžio reikšmę raide X , o atitinkama kitos reikšmės reikšmė – raidė adresu . Tada, remiantis aukščiau nurodytu darbu X ant adresu turi būti lygus kokiai nors pastoviai vertei, kurią žymime raide Į, t.y.

x y = Į.

Šioje lygybėje X - daugiklis, adresu - daugiklis ir K- darbas. Pagal daugybos savybę daugiklis yra lygus sandaugai, padalytai iš daugiklio. Reiškia,

Tai atvirkštinio proporcingumo formulė. Naudodami jį galime apskaičiuoti bet kokį vieno iš atvirkščiai proporcingų dydžių verčių skaičių, žinodami kito reikšmes ir pastovų skaičių Į.

Apsvarstykite kitą problemą: „Vieno rašinio autorius paskaičiavo, kad jei jo knyga būtų įprasto formato, tai ji būtų 96 puslapių, o jei kišeninė – 300 puslapių. Jis išbandė įvairias parinktis, pradėjo nuo 96 puslapių, o tada gavo 2500 raidžių puslapyje. Tada jis paėmė žemiau esančioje lentelėje nurodytą puslapių skaičių ir vėl apskaičiavo, kiek raidžių bus puslapyje.

Pabandykime paskaičiuoti, kiek raidžių bus puslapyje, jei knyga turi 100 puslapių.

Visoje knygoje yra 240 000 raidžių, nes 2 500 96 = 240 000.

Atsižvelgdami į tai, naudojame atvirkštinio proporcingumo formulę ( adresu - raidžių skaičius puslapyje X - puslapių skaičius):

Mūsų pavyzdyje Į= 240 000, todėl

Taigi, puslapyje yra 2400 raidžių.

Panašiai sužinome, kad jei knygoje yra 120 puslapių, raidžių skaičius puslapyje bus:

Mūsų lentelė atrodys taip:

Likusias ląsteles užpildykite patys.

§ 137. Kiti uždavinių su atvirkščiai proporcingais dydžiais sprendimo būdai.

Ankstesnėje pastraipoje išsprendėme uždavinius, apimančius atvirkščiai proporcingus dydžius. Anksčiau išvedėme atvirkštinio proporcingumo formulę ir tada pritaikėme šią formulę. Dabar parodysime du kitus tokių problemų sprendimo būdus.

1. Sumažinimo iki vienybės metodas.

Užduotis. 5 tekintojai gali atlikti kai kuriuos darbus per 16 dienų. Per kiek dienų 8 tekintojai gali atlikti šį darbą?

Sprendimas. Tarp vartytojų skaičiaus ir darbo laiko yra atvirkštinis ryšys. Jei per 16 dienų darbus atliks 5 tekintotojai, tai vienam žmogui tam prireiks 5 kartus daugiau laiko, t.y.

5 tekintojai atlieka darbą per 16 dienų,

1 tekintotojas jį atliks per 16 5 = 80 dienų.

Problema klausia, per kiek dienų 8 tekintojai atliks darbą. Akivaizdu, kad jie darbą atliks 8 kartus greičiau nei 1 tekintojas, t.y

80: 8 = 10 (dienos).

Tai problemos sprendimas redukavimo į vienybę metodu. Čia visų pirma reikėjo nustatyti vieno darbuotojo darbo atlikimo laiką.

2. Proporcingumo metodas. Išspręskime tą pačią problemą antruoju būdu.

Kadangi tarp darbininkų skaičiaus ir darbo laiko yra atvirkštinis ryšys, galime rašyti: 5 tekintojų darbo trukmė naujas tekintojų skaičius (8) 8 tekintojų darbo trukmė buvęs tekintojų skaičius (5 ) Norimą darbo trukmę pažymėkime raide X ir žodžiais išreikšta dalimi pakeiskite reikiamus skaičius:

Ta pati problema išspręsta proporcijų metodu. Norėdami ją išspręsti, turėjome sudaryti proporciją skaičių, įtrauktų į problemos sąlygą.

Pastaba. Ankstesnėse pastraipose nagrinėjome tiesioginio ir atvirkštinio proporcingumo klausimą. Gamta ir gyvenimas mums pateikia daugybę tiesioginių ir atvirkštinių kiekių proporcijų pavyzdžių. Tačiau reikia pažymėti, kad šios dvi priklausomybės rūšys yra tik paprasčiausios. Kartu su jais egzistuoja ir kiti, sudėtingesni kiekių santykiai. Be to, nereikėtų manyti, kad jei bet kurie du dydžiai didėja vienu metu, tai būtinai tarp jų yra tiesioginis proporcingumas. Tai toli gražu nėra tiesa. Pavyzdžiui, geležinkelių kainos didėja didėjant atstumui: kuo toliau keliaujame, tuo daugiau mokame, tačiau tai nereiškia, kad kaina proporcinga atstumui.