Šiame straipsnyje mes parodysime, kaip kampo ir skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijoje. Čia kalbėsime apie žymėjimą, pateiksime įrašų pavyzdžių, pateiksime grafines iliustracijas. Apibendrinant, mes lyginame sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus trigonometrijoje ir geometrijoje.
Puslapio naršymas.
Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas
Stebėkime, kaip mokykliniame matematikos kurse formuojasi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento sąvokos. Geometrijos pamokose pateikiamas stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas. O vėliau tiriama trigonometrija, kuri reiškia sukimosi kampo ir skaičiaus sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą. Pateikiame visus šiuos apibrėžimus, pateikiame pavyzdžių ir pateikiame reikiamas pastabas.
Smailusis kampas stačiakampiame trikampyje
Iš geometrijos eigos žinomi stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai. Jie pateikiami kaip stačiojo trikampio kraštinių santykis. Pateikiame jų formuluotes.
Apibrėžimas.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis.
Apibrėžimas.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Apibrėžimas.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.
Apibrėžimas.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentė yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis.
Čia taip pat įvedamas sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento žymėjimas - atitinkamai sin, cos, tg ir ctg.
Pavyzdžiui, jei ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C, tai smailiojo kampo A sinusas yra lygus priešingos kojos BC santykiui su hipotenuze AB, tai yra sin∠A=BC/AB.
Šie apibrėžimai leidžia apskaičiuoti smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes iš žinomų stačiojo trikampio kraštinių ilgių, taip pat iš žinomų sinuso, kosinuso verčių, liestinė, kotangentas ir vienos iš kraštinių ilgis, raskite kitų kraštinių ilgius. Pavyzdžiui, jei žinotume, kad stačiakampiame trikampyje kojos AC yra 3, o hipotenuzė AB yra 7, tai smailiojo kampo A kosinusą galėtume apskaičiuoti pagal apibrėžimą: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Sukimosi kampas
Trigonometrijoje jie pradeda žiūrėti į kampą plačiau – įveda sukimosi kampo sąvoką. Sukimosi kampas, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja rėmeliais nuo 0 iki 90 laipsnių, sukimosi kampas laipsniais (ir radianais) gali būti išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi nuo −∞ iki +∞.
Šioje šviesoje sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai nebėra smailusis kampas, o savavališko dydžio kampas – sukimosi kampas. Jie pateikiami per taško A 1 x ir y koordinates, į kuriuos, pasisukus kampu α aplink tašką O - stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžia, patenka vadinamasis pradinis taškas A(1, 0). ir vieneto apskritimo centras.
Apibrėžimas.
Sukimosi kampo sinusasα yra taško A 1 ordinatė, tai yra sinα=y .
Apibrėžimas.
sukimosi kampo kosinusasα vadinama taško A 1 abscise, tai yra cosα=x .
Apibrėžimas.
Sukimosi kampo liestinėα yra taško A 1 ordinatės ir jo abscisių santykis, tai yra, tgα=y/x .
Apibrėžimas.
Sukimosi kampo kotangentasα – taško A 1 abscisių santykis su jo ordinatėmis, tai yra ctgα=x/y .
Sinusas ir kosinusas apibrėžiami bet kuriam kampui α, nes visada galime nustatyti taško abscisę ir ordinatę, kuri gaunama pasukus pradinį tašką kampu α. O tangentas ir kotangentas nėra apibrėžti jokiam kampui. Tokiems kampams α, kuriuose pradinis taškas eina į tašką su nuline abscise (0, 1) arba (0, −1) , liestinė neapibrėžta, o tai vyksta kampuose 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Iš tiesų, esant tokiems sukimosi kampams, išraiška tgα=y/x neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Kalbant apie kotangentą, jis neapibrėžtas tokiems kampams α, kuriuose pradžios taškas eina į tašką, kurio ordinatė yra nulinė (1, 0) arba (−1, 0) , o tai yra 180° k , k kampų atveju. ∈Z (π k rad).
Taigi sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems sukimosi kampams, liestinė apibrėžiama visiems kampams, išskyrus 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), o kotangentas yra visiems kampams, išskyrus 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Mums jau žinomi žymėjimai atsiranda apibrėžimuose sin, cos, tg ir ctg, jie taip pat naudojami žymėti sukimosi kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą (kartais galite rasti žymėjimą tan ir cot, atitinkantį liestinę ir kotangentas). Taigi 30 laipsnių sukimosi kampo sinusas gali būti parašytas kaip sin30°, įrašai tg(−24°17′) ir ctgα atitinka sukimosi kampo liestinę −24° 17 minučių ir sukimosi kampo α kotangentą. . Prisiminkite, kad rašant kampo radianinį matą, užrašas „rad“ dažnai praleidžiamas. Pavyzdžiui, trijų pi radų sukimosi kampo kosinusas paprastai žymimas cos3 π .
Apibendrinant šią pastraipą, verta paminėti, kad kalbant apie sukimosi kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą, frazė „sukimosi kampas“ arba žodis „sukimas“ dažnai praleidžiama. Tai yra, vietoj frazės „sukimosi kampo sinusas alfa“ dažniausiai vartojamas posakis „alfa kampo sinusas“ arba dar trumpesnis – „alfa sinusas“. Tas pats pasakytina apie kosinusą, tangentą ir kotangentą.
Taip pat tarkime, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka ką tik pateiktus sukimosi kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus, kurie svyruoja nuo 0 iki 90 laipsnių. Mes tai pagrįsime.
Skaičiai
Apibrėžimas.
Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, lygus sukimosi kampo sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui atitinkamai t radianais.
Pavyzdžiui, 8 π kosinusas pagal apibrėžimą yra skaičius, lygus 8 π rad kampo kosinusui. O kampo kosinusas 8 π rad lygus vienetui, todėl skaičiaus 8 π kosinusas lygus 1.
Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo būdas. Jį sudaro tai, kad kiekvienam realiajam skaičiui t priskiriamas vienetinio apskritimo taškas, kurio centras yra stačiakampės koordinačių sistemos pradžioje, o sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates. Pakalbėkime apie tai išsamiau.
Parodykime, kaip nustatoma realiųjų skaičių ir apskritimo taškų atitiktis:
- skaičiui 0 priskiriamas pradžios taškas A(1, 0) ;
- teigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei apeisime apskritimą nuo pradžios taško prieš laikrodžio rodyklę ir eisime t ilgio taku;
- neigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei apvažiuosime apskritimą nuo pradžios taško pagal laikrodžio rodyklę ir eisime |t| .
Dabar pereikime prie skaičiaus t sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Tarkime, kad skaičius t atitinka apskritimo tašką A 1 (x, y) (pavyzdžiui, skaičius &pi/2; atitinka tašką A 1 (0, 1) ).
Apibrėžimas.
Skaičiaus sinusas t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatė, tai yra sint=y .
Apibrėžimas.
Skaičiaus kosinusas t vadinama vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, abscise, tai yra kaina=x .
Apibrėžimas.
Skaičiaus liestinė t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės ir abscisių santykis, tai yra tgt=y/x. Kitoje lygiavertėje formuluotėje skaičiaus t liestinė yra šio skaičiaus sinuso ir kosinuso santykis, ty tgt=sint/cost .
Apibrėžimas.
Skaičiaus kotangentas t yra abscisių santykis su vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės, tai yra, ctgt=x/y. Kita formuluotė yra tokia: skaičiaus t liestinė yra skaičiaus t kosinuso ir skaičiaus t sinuso santykis: ctgt=kaina/sint .
Atkreipiame dėmesį, kad ką tik pateikti apibrėžimai atitinka šio poskyrio pradžioje pateiktą apibrėžimą. Iš tiesų, vienetinio apskritimo taškas, atitinkantis skaičių t, sutampa su tašku, gautu sukant pradinį tašką t radianų kampu.
Taip pat verta paaiškinti šį dalyką. Tarkime, kad turime sin3 įrašą. Kaip suprasti, ar kalbama apie skaičiaus 3 sinusą, ar apie 3 radianų sukimosi kampo sinusą? Paprastai tai aišku iš konteksto, kitu atveju tikriausiai nesvarbu.
Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos
Pagal ankstesnėje pastraipoje pateiktus apibrėžimus, kiekvienas sukimosi kampas α atitinka tiksliai apibrėžtą sinα reikšmę, taip pat cosα reikšmę. Be to, visi sukimosi kampai, išskyrus 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), atitinka reikšmes tgα ir, išskyrus 180° k , k∈Z (π k rad ) yra ctgα reikšmės. Todėl sinα, cosα, tgα ir ctgα yra kampo α funkcijos. Kitaip tariant, tai yra kampinio argumento funkcijos.
Panašiai galime kalbėti apie skaitinio argumento sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento funkcijas. Iš tiesų, kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka tiksliai apibrėžtą sint reikšmę, taip pat kaštus. Be to, visi skaičiai, išskyrus π/2+π·k , k∈Z atitinka reikšmes tgt , o skaičiai π·k , k∈Z atitinka reikšmes ctgt .
Vadinamos funkcijos sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas pagrindinės trigonometrinės funkcijos.
Iš konteksto paprastai aišku, kad kalbame apie kampinio argumento arba skaitinio argumento trigonometrines funkcijas. Kitu atveju nepriklausomą kintamąjį galime laikyti ir kampo matu (kampo argumentu), ir skaitiniu argumentu.
Tačiau mokykloje daugiausia tiriamos skaitinės funkcijos, tai yra funkcijos, kurių argumentai ir atitinkamos funkcijų reikšmės yra skaičiai. Todėl jei kalbame apie funkcijas, patartina trigonometrines funkcijas laikyti skaitinių argumentų funkcijomis.
Geometrijos ir trigonometrijos apibrėžimų jungtis
Jei atsižvelgsime į sukimosi kampą α nuo 0 iki 90 laipsnių, tada sukimosi kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento apibrėžimo trigonometrijos duomenys visiškai atitinka sinuso, kosinuso apibrėžimus. , stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė ir kotangentas, kurios pateiktos geometrijos kurse. Pagrįskime tai.
Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje Oxy nubrėžkite vienetinį apskritimą. Atkreipkite dėmesį į pradžios tašką A(1, 0) . Pasukime jį kampu α nuo 0 iki 90 laipsnių, gausime tašką A 1 (x, y) . Numeskime statmeną A 1 H nuo taško A 1 į Ox ašį.
Nesunku pastebėti, kad stačiakampiame trikampyje kampas A 1 OH lygus sukimosi kampui α, šiam kampui gretimos kojos OH ilgis lygus taško A 1 abscisei, tai yra |OH |=x, kampui priešingos kojos A 1 H ilgis lygus taško A 1 ordinatėms, tai yra |A 1 H|=y , o hipotenuzės ilgis OA 1 lygus vienetui , nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys. Tada pagal geometrijos apibrėžimą smailiojo kampo α sinusas stačiakampiame trikampyje A 1 OH yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzos santykiui, tai yra sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Ir pagal trigonometrijos apibrėžimą, sukimosi kampo α sinusas yra lygus taško A 1 ordinatei, tai yra sinα=y. Tai rodo, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso apibrėžimas yra lygiavertis sukimosi kampo α sinuso apibrėžimui α nuo 0 iki 90 laipsnių.
Panašiai galima parodyti, kad smailiojo kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka sukimosi kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus.
Bibliografija.
- Geometrija. 7-9 klasės: studijos. bendrajam lavinimui institucijos / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kiti]. – 20-asis leidimas. M.: Išsilavinimas, 2010. - 384 p.: iliustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelovas A.V. Geometrija: Proc. 7-9 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. V. Pogorelovas. - 2 leidimas - M.: Švietimas, 2001. - 224 p.: iliustr. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra ir elementariosios funkcijos: Vadovėlis vidurinės mokyklos 9 klasių mokiniams / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redagavo fizinių ir matematikos mokslų daktaras O. N. Golovinas – 4 leidimas. Maskva: Švietimas, 1969 m.
- Algebra: Proc. 9 ląstelėms. vid. mokykla / Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Teljakovskis.- M.: Švietimas, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovičius A. G. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 14 val. 1 dalis: vadovėlis švietimo įstaigoms (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4-asis leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai /[Yu. M. Kolyaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; red. A. B. Žižčenka. - 3 leidimas. - I .: Švietimas, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla - 3 leidimas. - M.: Švietimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.
Paprastų sąvokų supratimas: sinusas ir kosinusas ir skaičiavimas kosinuso kvadratas ir sinuso kvadratas.
Sinusas ir kosinusas tiriami trigonometrijoje (mokslas apie trikampius su stačiu kampu).
Todėl pirmiausia prisiminkime pagrindines stačiojo trikampio sąvokas:
Hipotenuzė- pusė, kuri visada yra priešais stačią kampą (90 laipsnių kampas). Hipotenuzė yra ilgiausia stačiakampio trikampio kraštinė.
Likusios dvi stačiojo trikampio kraštinės vadinamos kojos.
Taip pat atminkite, kad trys trikampio kampai visada sudaro 180°.
Dabar pereikime prie kampo alfa kosinusas ir sinusas (∠α)(todėl galite pavadinti bet kurį nestačią kampą trikampyje arba naudoti kaip simbolį x - "x", o tai nekeičia esmės).
Kampo alfa sinusas (sin ∠α)- tai požiūris priešingas koja (pusė priešinga atitinkamam kampui) į hipotenuzą. Jei pažvelgsite į figūrą, tada sin ∠ABC = AC / BC
Kampo alfa kosinusas (cos ∠α)- požiūris gretimas iki kojos kampo iki hipotenuzės. Dar kartą pažvelgus į aukščiau esantį paveikslą, cos ∠ABC = AB / BC
Ir tik priminsiu: kosinusas ir sinusas niekada nebus didesni už vieną, nes bet kuris ritinys yra trumpesnis už hipotenuzą (o hipotenuzė yra ilgiausia bet kurio trikampio kraštinė, nes ilgiausia kraštinė yra priešais didžiausią trikampio kampą) .
Kosinusas kvadratas, sinusas kvadratas
Dabar pereikime prie pagrindinių trigonometrinių formulių: kosinuso kvadrato ir sinuso kvadrato apskaičiavimas.
Norėdami juos apskaičiuoti, turėtumėte prisiminti pagrindinę trigonometrinę tapatybę:
sin 2 α + cos 2 α = 1(vieno kampo sinuso kvadratas plius kosinuso kvadratas visada lygus vienetui).
Iš trigonometrinės tapatybės darome išvadas apie sinusą:
sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α
sinuso kvadrato alfa yra lygus vienetui atėmus dvigubo kampo alfa kosinusą ir visa tai padalinta iš dviejų.
sin2α = (1 – cos(2α)) / 2
Iš trigonometrinio tapatumo darome išvadas apie kosinusą:
cos 2 α \u003d 1 - sin 2 α
arba sudėtingesnė formulės versija: kosinuso kvadratas alfa yra lygus vienetui plius dvigubo kampo alfa kosinusui ir taip pat viską padalinti iš dviejų.
cos2α = (1 + cos(2α)) / 2
Šios dvi sudėtingesnės sinuso kvadrato ir kosinuso kvadrato formulės taip pat vadinamos „trigonometrinių funkcijų kvadratų galios sumažinimu“. Tie. buvo antras laipsnis, nuleistas į pirmą ir skaičiavimai tapo patogesni.
Trigonometrija yra matematikos šaka, tirianti trigonometrines funkcijas ir jų panaudojimą geometrijoje. Trigonometrijos raida prasidėjo senovės Graikijos laikais. Viduramžiais Artimųjų Rytų ir Indijos mokslininkai labai prisidėjo prie šio mokslo raidos.
Šis straipsnis skirtas pagrindinėms trigonometrijos sąvokoms ir apibrėžimams. Jame aptariami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Paaiškinta ir iliustruota jų reikšmė geometrijos kontekste.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Iš pradžių trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra kampas, apibrėžimai buvo išreikšti stačiojo trikampio kraštinių santykiu.
Trigonometrinių funkcijų apibrėžimai
Kampo sinusas (sin α) yra kojos, esančios priešingos šiam kampui, santykis su hipotenuze.
Kampo kosinusas (cos α) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Kampo liestinė (t g α) yra priešingos kojos santykis su gretima.
Kampo kotangentas (c t g α) yra gretimos ir priešingos kojos santykis.
Šie apibrėžimai pateikiami stačiojo trikampio smailiam kampui!
Pateikime iliustraciją.
Trikampyje ABC su stačiu kampu C kampo A sinusas yra lygus kojos BC ir hipotenuzės AB santykiui.
Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai leidžia apskaičiuoti šių funkcijų reikšmes pagal žinomus trikampio kraštinių ilgius.
Svarbu atsiminti!
Sinuso ir kosinuso reikšmių diapazonas: nuo -1 iki 1. Kitaip tariant, sinuso ir kosinuso reikšmės yra nuo -1 iki 1. Tangento ir kotangento reikšmių diapazonas yra visa skaičių eilutė, tai yra šios funkcijos gali turėti bet kokią reikšmę.
Aukščiau pateikti apibrėžimai susiję su smailiais kampais. Trigonometrijoje įvedama sukimosi kampo samprata, kurios reikšmė, skirtingai nuo smailaus kampo, neribojama rėmeliais nuo 0 iki 90 laipsnių.. Sukimosi kampas laipsniais arba radianais išreiškiamas bet kokiu realiu skaičiumi nuo - ∞ iki + ∞.
Šiame kontekste galima apibrėžti savavališko dydžio kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą. Įsivaizduokite vienetinį apskritimą, kurio centras yra Dekarto koordinačių sistemos pradžioje.
Pradinis taškas A su koordinatėmis (1 , 0) sukasi aplink vienetinio apskritimo centrą tam tikru kampu α ir eina į tašką A 1 . Apibrėžimas pateikiamas per taško A 1 (x, y) koordinates.
Sukimosi kampo sinusas (sinusas).
Sukimosi kampo α sinusas yra taško A 1 (x, y) ordinatė. sinα = y
Sukimosi kampo kosinusas (cos).
Sukimosi kampo α kosinusas yra taško A 1 (x, y) abscisė. cos α = x
Sukimosi kampo liestinė (tg).
Sukimosi kampo liestinė α yra taško A 1 (x, y) ordinatės ir jo abscisės santykis. t g α = y x
Sukimosi kampo kotangentas (ctg).
Sukimosi kampo α kotangentas yra taško A 1 (x, y) abscisių ir jo ordinatės santykis. c t g α = x y
Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiam sukimosi kampui. Tai logiška, nes taško abscisė ir ordinatė po pasukimo gali būti nustatomos bet kokiu kampu. Kitokia situacija yra su tangentu ir kotangentu. Liestinė neapibrėžiama, kai taškas po sukimo eina į tašką su nuline abscise (0 , 1) ir (0 , - 1). Tokiais atvejais liestinės t g α = y x išraiška tiesiog neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Panaši situacija ir su kotangentu. Skirtumas tas, kad kotangentas neapibrėžiamas tais atvejais, kai taško ordinatė išnyksta.
Svarbu atsiminti!
Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems kampams α.
Liestinė apibrėžta visiems kampams, išskyrus α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Kotangentas apibrėžiamas visiems kampams, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Spręsdami praktinius pavyzdžius nesakykite „sukimosi kampo sinuso α“. Žodžiai „sukimosi kampas“ tiesiog praleisti, o tai reiškia, kad iš konteksto jau aišku, kas yra ant kortos.
Skaičiai
O kaip su skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimu, o ne sukimosi kampu?
Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas
Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t vadinamas skaičius, kuris atitinkamai lygus sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui in t radianas.
Pavyzdžiui, 10 π sinusas yra lygus 10 π rad sukimosi kampo sinusui.
Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo būdas. Panagrinėkime tai išsamiau.
Bet koks tikrasis skaičius t vienetinio apskritimo taškas sutampa su centru, esančiu stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžioje. Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas apibrėžiami šio taško koordinatėmis.
Apskritimo pradžios taškas yra taškas A su koordinatėmis (1 , 0).
teigiamas skaičius t
Neigiamas skaičius t atitinka tašką, į kurį judės pradžios taškas, jei jis judės prieš laikrodžio rodyklę aplink apskritimą ir praeis taku t .
Dabar, kai nustatytas ryšys tarp skaičiaus ir apskritimo taško, pereiname prie sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo.
Skaičiaus t sinusas (sinusas).
Skaičiaus sinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatė t. sin t = y
Kosinusas (cos) iš t
Skaičiaus kosinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško abscisė t. cos t = x
T liestinė (tg).
Skaičiaus liestinė t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatės ir abscisių santykis t. t g t = y x = sin t cos t
Pastarieji apibrėžimai atitinka ir neprieštarauja šio skyriaus pradžioje pateiktam apibrėžimui. Taškas apskritime, atitinkančiame skaičių t, sutampa su tašku, į kurį eina pradžios taškas, pasukus per kampą t radianas.
Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos
Kiekviena kampo α reikšmė atitinka tam tikrą šio kampo sinuso ir kosinuso reikšmę. Kaip ir visi kampai α, išskyrus α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) atitinka tam tikrą liestinės reikšmę. Kotangentas, kaip minėta aukščiau, yra apibrėžtas visiems α, išskyrus α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Galime sakyti, kad sin α , cos α , t g α , c t g α yra kampo alfa funkcijos arba kampinio argumento funkcijos.
Panašiai galima kalbėti apie sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kaip skaitinio argumento funkcijas. Kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka konkrečią skaičiaus sinuso arba kosinuso reikšmę t. Visi skaičiai, išskyrus π 2 + π · k , k ∈ Z, atitinka liestinės reikšmę. Kotangentas panašiai apibrėžiamas visiems skaičiams, išskyrus π · k , k ∈ Z.
Pagrindinės trigonometrijos funkcijos
Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrinės funkcijos.
Iš konteksto dažniausiai aišku, su kokiu trigonometrinės funkcijos argumentu (kampiniu ar skaitiniu argumentu) mes susiduriame.
Grįžkime prie duomenų pačioje apibrėžimų pradžioje ir kampo alfa, kuris yra intervale nuo 0 iki 90 laipsnių. Trigonometriniai sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai visiškai atitinka geometrinius apibrėžimus, pateiktus stačiojo trikampio kraštinių santykiu. Parodykime.
Paimkite vienetinį apskritimą, kurio centras yra stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Pradinį tašką A (1, 0) pasukime iki 90 laipsnių kampu ir iš gauto taško A 1 (x, y) nubrėžkime statmenai x ašiai. Gautame stačiakampyje kampas A 1 O H lygus sukimosi kampui α, kojelės O H ilgis lygus taško A 1 abscisei (x, y) . Kojos, esančios priešais kampą, ilgis yra lygus taško A 1 (x, y) ordinatėms, o hipotenuzės ilgis yra lygus vienetui, nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys.
Pagal geometrijos apibrėžimą, kampo α sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Tai reiškia, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso apibrėžimas per kraštinių santykį yra lygiavertis sukimosi kampo α sinuso apibrėžimui, kai alfa yra diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių.
Panašiai galima parodyti kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų atitiktį.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento sąvokos yra pagrindinės trigonometrijos – matematikos šakos – kategorijos ir yra neatsiejamai susijusios su kampo apibrėžimu. Norint turėti šį matematikos mokslą, reikia įsiminti ir suprasti formules bei teoremas, taip pat išlavintas erdvinis mąstymas. Štai kodėl trigonometriniai skaičiavimai dažnai sukelia sunkumų moksleiviams ir studentams. Norėdami juos įveikti, turėtumėte geriau susipažinti su trigonometrinėmis funkcijomis ir formulėmis.
Trigonometrijos sąvokos
Norėdami suprasti pagrindines trigonometrijos sąvokas, pirmiausia turite nuspręsti, kas yra stačiakampis trikampis ir apskritimo kampas ir kodėl su jais susieti visi pagrindiniai trigonometriniai skaičiavimai. Trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90 laipsnių, yra stačiakampis. Istoriškai šią figūrą dažnai naudojo architektūros, navigacijos, meno, astronomijos žmonės. Atitinkamai, tyrinėdami ir analizuodami šio paveikslo savybes, žmonės priėjo prie atitinkamų jo parametrų santykio skaičiavimo.
Pagrindinės kategorijos, susijusios su stačiakampiais trikampiais, yra hipotenuzė ir kojos. Hipotenuzė yra trikampio kraštinė, kuri yra priešinga stačiajam kampui. Atitinkamai, kojos yra kitos dvi pusės. Bet kurio trikampio kampų suma visada yra 180 laipsnių.
Sferinė trigonometrija yra trigonometrijos dalis, kuri nėra mokoma mokykloje, tačiau mokslininkai ją naudoja taikomuosiuose moksluose, tokiuose kaip astronomija ir geodezija. Sferinės trigonometrijos trikampio ypatybė yra ta, kad jo kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių.
Trikampio kampai
Stačiakampiame trikampyje kampo sinusas yra kojos, esančios priešingos norimam kampui, santykis su trikampio hipotenuze. Atitinkamai, kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Abi šios vertės visada turi mažesnę reikšmę nei viena, nes hipotenuzė visada yra ilgesnė už koją.
Kampo liestinė yra vertė, lygi priešingos kojos ir gretimos norimo kampo kojos santykiui arba sinuso ir kosinuso santykiui. Savo ruožtu kotangentas yra norimo kampo gretimos kojos ir priešingos kakteto santykis. Kampo kotangentą taip pat galima gauti padalijus vienetą iš liestinės vertės.
vieneto ratas
Vienetinis apskritimas geometrijoje yra apskritimas, kurio spindulys lygus vienetui. Toks apskritimas sukonstruotas Dekarto koordinačių sistemoje, kai apskritimo centras sutampa su pradžios tašku, o spindulio vektoriaus pradinė padėtis nustatoma pagal teigiamą X ašies kryptį (abscisių ašį). Kiekvienas apskritimo taškas turi dvi koordinates: XX ir YY, tai yra abscisės ir ordinatės koordinates. Pasirinkę bet kurį apskritimo tašką XX plokštumoje ir numetę nuo jo statmeną į abscisių ašį, gauname stačiakampį trikampį, suformuotą spinduliu į pasirinktą tašką (žymime jį raide C), statmeną nubrėžtą X ašis (susikirtimo taškas žymimas raide G), o abscisių ašies segmentas tarp pradžios (taškas žymimas raide A) ir susikirtimo taško G. Gautas trikampis ACG yra stačiakampis trikampis, įrašytas apskritimas, kur AG yra hipotenuzė, o AC ir GC yra kojos. Kampą tarp apskritimo spindulio AC ir abscisių ašies atkarpos su žymėjimu AG apibrėžiame kaip α (alfa). Taigi, cos α = AG/AC. Atsižvelgiant į tai, kad AC yra vienetinio apskritimo spindulys ir jis lygus vienetui, paaiškėja, kad cos α=AG. Panašiai sin α=CG.
Be to, žinant šiuos duomenis, galima nustatyti apskritimo taško C koordinatę, nes cos α=AG, o sin α=CG, tai reiškia, kad taškas C turi duotas koordinates (cos α; sin α). Žinodami, kad liestinė yra lygi sinuso ir kosinuso santykiui, galime nustatyti, kad tg α \u003d y / x ir ctg α \u003d x / y. Atsižvelgiant į kampus neigiamoje koordinačių sistemoje, galima apskaičiuoti, kad kai kurių kampų sinuso ir kosinuso reikšmės gali būti neigiamos.
Skaičiavimai ir pagrindinės formulės
Trigonometrinių funkcijų reikšmės
Atsižvelgdami į trigonometrinių funkcijų per vienetinį apskritimą esmę, galime išvesti šių funkcijų reikšmes kai kuriems kampams. Vertės pateiktos žemiau esančioje lentelėje.
Paprasčiausios trigonometrinės tapatybės
Lygtys, kuriose po trigonometrinės funkcijos ženklu yra nežinoma reikšmė, vadinamos trigonometrinėmis. Tapatybės su reikšme sin x = α, k yra bet koks sveikasis skaičius:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Tapatybės su reikšme cos x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Tapatybės su reikšme tg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Tapatybės, kurių reikšmė ctg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Liejamos formulės
Ši pastovių formulių kategorija žymi metodus, kuriais galite pereiti nuo formos trigonometrinių funkcijų prie argumento funkcijų, ty konvertuoti bet kokios reikšmės kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą į atitinkamus kampo rodiklius. intervalas nuo 0 iki 90 laipsnių, kad būtų patogiau skaičiuoti.
Kampo sinuso funkcijų mažinimo formulės atrodo taip:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Kampo kosinusui:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Aukščiau pateiktas formules galima naudoti laikantis dviejų taisyklių. Pirma, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip vertė (π/2 ± a) arba (3π/2 ± a), funkcijos reikšmė pasikeičia:
- iš nuodėmės į cos;
- iš cos į nuodėmę;
- nuo tg iki ctg;
- nuo ctg iki tg.
Funkcijos reikšmė lieka nepakitusi, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π ± a) arba (2π ± a).
Antra, sumažintos funkcijos ženklas nesikeičia: jei iš pradžių buvo teigiamas, toks ir lieka. Tas pats pasakytina apie neigiamas funkcijas.
Papildymo formulės
Šios formulės išreiškia dviejų sukimosi kampų sumos ir skirtumo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes pagal jų trigonometrines funkcijas. Kampai paprastai žymimi α ir β.
Formulės atrodo taip:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Šios formulės galioja bet kokiems kampams α ir β.
Dvigubo ir trigubo kampo formulės
Dvigubo ir trigubo kampo trigonometrinės formulės yra formulės, kurios atitinkamai susieja kampų 2α ir 3α funkcijas su kampo α trigonometrinėmis funkcijomis. Išvesta iš papildymo formulių:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα – 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α – 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Perėjimas nuo sumos prie produkto
Atsižvelgiant į tai, kad 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), supaprastinus šią formulę, gauname tapatybę sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Panašiai sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Perėjimas nuo produkto prie sumos
Šios formulės išplaukia iš sumos perėjimo į sandaugą tapatybių:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Sumažinimo formulės
Šiose tapatybėse sinuso ir kosinuso kvadratinės ir kubinės galios gali būti išreikštos daugybinio kampo pirmojo laipsnio sinusu ir kosinusu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universalus pakaitalas
Universaliosios trigonometrinės pakeitimo formulės išreiškia trigonometrines funkcijas pusės kampo liestine.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), o x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 – tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), o x \u003d π + 2πn.
Ypatingi atvejai
Toliau pateikiami konkretūs paprasčiausių trigonometrinių lygčių atvejai (k yra bet koks sveikasis skaičius).
Privatus sine:
| sin x reikšmė | x reikšmė |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk arba 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk arba -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk arba 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk arba -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk arba 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk arba -2π/3 + 2πk |
Kosinuso koeficientai:
| cos x vertė | x reikšmė |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privatus liestine:
| tg x reikšmė | x reikšmė |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangentiniai koeficientai:
| ctg x vertė | x reikšmė |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoremos
Sinuso teorema
Yra dvi teoremos versijos – paprasta ir išplėstinė. Paprastoji sinuso teorema: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šiuo atveju a, b, c yra trikampio kraštinės, o α, β, γ yra atitinkamai priešingi kampai.
Išplėstinė sinuso teorema savavališkam trikampiui: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šioje tapatybėje R žymi apskritimo, į kurį įrašytas nurodytas trikampis, spindulį.
Kosinuso teorema
Tapatybė rodoma taip: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulėje a, b, c yra trikampio kraštinės, o α yra kampas, priešingas kraštinei a.
Tangento teorema
Formulė išreiškia ryšį tarp dviejų kampų liestinių ir priešingų kraštinių ilgio. Kraštinės pažymėtos a, b, c, o atitinkami priešingi kampai yra α, β, γ. Liestinės teoremos formulė: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangentės teorema
Į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį susieja su jo kraštinių ilgiu. Jei a, b, c yra trikampio kraštinės, o atitinkamai A, B, C yra jų priešingi kampai, r yra įbrėžto apskritimo spindulys, o p yra trikampio pusės perimetras, tai tokios tapatybės laikyti:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Programos
Trigonometrija yra ne tik teorinis mokslas, susijęs su matematinėmis formulėmis. Jo savybes, teoremas ir taisykles praktikoje naudoja įvairios žmogaus veiklos šakos – astronomija, oro ir jūrų navigacija, muzikos teorija, geodezija, chemija, akustika, optika, elektronika, architektūra, ekonomika, mechanikos inžinerija, matavimo darbai, kompiuterinė grafika, kartografija, okeanografija ir daugelis kitų.
Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrijos sąvokos, kuriomis galite matematiškai išreikšti santykį tarp kampų ir trikampio kraštinių ilgių ir per tapatybes, teoremas ir taisykles rasti norimus dydžius.
Viena iš matematikos šakų, su kuria moksleiviai susiduria su didžiausiais sunkumais, yra trigonometrija. Nieko nuostabaus: norint laisvai įsisavinti šią žinių sritį, reikia erdvinio mąstymo, gebėjimo pagal formules rasti sinusus, kosinusus, liestines, kotangentus, supaprastinti išraiškas ir mokėti naudoti skaičių pi skaičiavimuose. Be to, įrodinėjant teoremas reikia mokėti taikyti trigonometriją, o tam reikia arba išvystytos matematinės atminties, arba gebėjimo išvesti sudėtingas logines grandines.
Trigonometrijos ištakos
Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia reikia išsiaiškinti, ką trigonometrija daro apskritai.
Istoriškai stačiakampiai trikampiai buvo pagrindinis šios matematikos mokslo skyriaus tyrimo objektas. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes naudojant dvi puses ir vieną kampą arba du kampus ir vieną pusę. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti statydami pastatus, naviguodami, astronomijoje ir net mene.
Pirmas lygmuo
Iš pradžių žmonės kalbėjo apie kampų ir kraštinių santykį tik stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti šios matematikos dalies naudojimo kasdieniame gyvenime ribas.
Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien pradedamos nuo stačiakampių trikampių, po kurių įgytas žinias mokiniai panaudoja fizikoje ir spręsdami abstrakčias trigonometrines lygtis, su kuriomis darbas pradedamas vidurinėje mokykloje.
Sferinė trigonometrija
Vėliau, mokslui pasiekus kitą išsivystymo lygį, sferinėje geometrijoje pradėtos naudoti formulės su sinusu, kosinusu, tangentu, kotangentu, kur galioja skirtingos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Ši dalis mokykloje nėra studijuojama, tačiau būtina žinoti apie jos egzistavimą, bent jau todėl, kad žemės paviršius ir bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus „lanko formos“ trimatė erdvė.
Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Būtent su tokiomis formomis susiduria sferinė geometrija, naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.
Taisyklingas trikampis
Šiek tiek išmokę trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti su jų pagalba ir kokias formules naudoti.
Pirmas žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Ji pati ilgiausia. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jo skaitinė reikšmė yra lygi kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.
Pavyzdžiui, jei dvi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.
Dvi likusios pusės, sudarančios stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma stačiakampėje koordinačių sistemoje yra 180 laipsnių.
Apibrėžimas
Galiausiai, gerai suprasdami geometrinį pagrindą, galime pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo.
Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. y. pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia.Nesvarbu, kokios ilgio koja yra, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, vadinasi, jų santykis visada bus mažesnis nei vienas. Taigi, jei atsakydami į problemą gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas akivaizdžiai neteisingas.
Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. Tas pats rezultatas duos sinuso padalijimą iš kosinuso. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padalijame iš hipotenuzės, po to padaliname iš antrosios pusės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį santykį kaip ir liestinės apibrėžime.
Kotangentas atitinkamai yra kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalinę vienetą iš liestinės.
Taigi, mes apsvarstėme apibrėžimus, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, ir galime nagrinėti formules.
Paprasčiausios formulės
Trigonometrijoje neapsieisite be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Ir būtent to reikia sprendžiant problemas.
Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau ji taupo laiką, jei norite sužinoti kampo, o ne kraštinės, reikšmę.
Daugelis mokinių neprisimena antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklinius uždavinius: vieneto ir kampo liestinės kvadrato suma lygi vienai, padalytai iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: juk tai tas pats teiginys, kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, dėl paprasto matematinio veiksmo trigonometrinė formulė tampa visiškai neatpažįstama. Atminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, konvertavimo taisykles ir kelias pagrindines formules, bet kuriuo metu galite savarankiškai išvesti reikiamas sudėtingesnes formules ant popieriaus lapo.
Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas
Dar dvi formulės, kurias turite išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso reikšmėmis kampų sumai ir skirtumui. Jie parodyti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju pridedama porinė sinuso ir kosinuso sandauga.
Taip pat yra formulių, susijusių su dvigubo kampo argumentais. Jie yra visiškai išvesti iš ankstesnių - kaip praktika, pabandykite juos gauti patys, paimdami alfa kampą, lygų beta kampui.
Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima konvertuoti, kad būtų sumažintas sinuso, kosinuso, tangento alfa laipsnis.
Teoremos
Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.
Sinuso teorema teigia, kad padalijus kiekvienos trikampio kraštinės ilgį iš priešingo kampo vertės, gauname tą patį skaičių. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžto apskritimo spinduliams, tai yra apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.
Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš greta esančio kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.
Klaidos dėl neatidumo
Net ir žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas, nesunku suklysti dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, susipažinkime su populiariausiomis iš jų.
Pirma, neturėtumėte konvertuoti įprastų trupmenų į dešimtainius, kol negausite galutinio rezultato – galite palikti atsakymą kaip paprastąją trupmeną, nebent sąlyga nurodo kitaip. Tokio transformavimo negalima pavadinti klaida, tačiau reikia atminti, kad kiekviename užduoties etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, pagal autoriaus sumanymą, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite laiką nereikalingiems matematiniams veiksmams. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų ar dviejų šaknis, nes jos atsiranda atliekant užduotis kiekviename žingsnyje. Tas pats pasakytina ir apie „bjaurių“ skaičių apvalinimą.
Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir parodysite visišką dalyko nesupratimą. Tai blogiau nei neatsargus klaida.
Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Atsiminkite šias reikšmes, nes 30 laipsnių sinusas yra lygus 60 kosinusui ir atvirkščiai. Juos nesunku sumaišyti, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.
Taikymas
Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos taikomosios reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai sąvokos, kurių dėka galite apskaičiuoti atstumą iki tolimų žvaigždžių, numatyti meteorito kritimą, nusiųsti tyrimo zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk trigonometrija vienokia ar kitokia forma naudojama visur – nuo muzikos iki medicinos.
Pagaliau
Taigi jūs esate sinusas, kosinusas, tangentas. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.
Visa trigonometrijos esmė susiveda į tai, kad nežinomi parametrai turi būti skaičiuojami iš žinomų trikampio parametrų. Iš viso yra šeši parametrai: trijų kraštinių ilgiai ir trijų kampų dydžiai. Visas užduočių skirtumas slypi tame, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.
Dabar žinote, kaip rasti sinusą, kosinusą, liestinę pagal žinomus kojų ilgius arba hipotenuzą. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kitą, kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis trigonometrinės problemos tikslas yra rasti įprastos lygties arba lygčių sistemos šaknis. O čia tau padės eilinė mokyklinė matematika.
