Fiksuotos ašies atžvilgiu ("ašinis inercijos momentas") vadinamas dydžiu J a lygus visų masių sandaugų sumai n materialūs sistemos taškai į jų atstumo iki ašies kvadratus:
- m i- svoris i- taškas,
- r i- atstumas nuo i- taškas į ašį.
Ašinis inercijos momentas kūnas J a yra kūno, besisukančio aplink ašį, inercijos matas, kaip ir kūno masė yra jo judesio judesio inercijos matas.
Jei kūnas yra vienalytis, tai yra, jo tankis visur yra vienodas, tada
Huygenso-Šteinerio teorema
Inercijos momentas kieto kūno padėtis bet kurios ašies atžvilgiu priklauso ne tik nuo kūno masės, formos ir dydžio, bet ir nuo kūno padėties šios ašies atžvilgiu. Pagal Steinerio teoremą (Huygenso-Šteinerio teoremą), inercijos momentas kūnas J savavališkos ašies atžvilgiu yra lygi sumai inercijos momentasšis kūnas Jc ašies, einančios per kūno masės centrą, lygiagrečią nagrinėjamai ašiai, atžvilgiu ir kūno masės sandaugą m vienam kvadratiniam atstumui d tarp ašių:
kur yra bendra kūno masė.
Pavyzdžiui, strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per jo galą, yra:
Kai kurių kūnų ašiniai inercijos momentai
| kūnas | apibūdinimas | Ašies padėtis a | Inercijos momentas J a |
|---|---|---|---|
 |
Medžiagos masės taškas m | Ant atstumo r iš taško, fiksuotas | |
 |
Tuščiaviduris plonasienis cilindras arba spindulio žiedas r ir masės m | Cilindro ašis | |
 |
Tvirtas cilindro arba disko spindulys r ir masės m | Cilindro ašis | |
 |
Tuščiaviduris storasienis masės cilindras m su išoriniu spinduliu r2 ir vidinis spindulys r1 | Cilindro ašis | |
 |
Tvirtas cilindro ilgis l, spindulys r ir masės m | ||
 |
Tuščiavidurio plonasienio cilindro (žiedo) ilgis l, spindulys r ir masės m | Ašis yra statmena cilindrui ir eina per jo masės centrą | |
 |
Tiesus plono strypo ilgis l ir masės m | Ašis yra statmena strypui ir eina per jo masės centrą | |
 |
Tiesus plono strypo ilgis l ir masės m | Ašis yra statmena strypui ir eina per jo galą | |
 |
Plonasienė spindulio sfera r ir masės m | Ašis eina per sferos centrą | |
 |
rutulio spindulys r ir masės m | Ašis eina per rutulio centrą | |
 |
Kūgio spindulys r ir masės m | kūgio ašis | |
| Lygiašonis trikampis su aukščiu h, bazė a ir svorio m | Ašis yra statmena trikampio plokštumai ir eina per viršūnę | ||
| Statusis trikampis su kraštine a ir svorio m | Ašis yra statmena trikampio plokštumai ir eina per masės centrą | ||
| Kvadratas su šonu a ir svorio m | Ašis yra statmena kvadrato plokštumai ir eina per masės centrą |
Formulių išvedimas
Plonasienis cilindras (žiedas, lankas)
Formulės išvedimas
Kūno inercijos momentas lygus jį sudarančių dalių inercijos momentų sumai. Plonasienio cilindro padalijimas į elementus su mase dm ir inercijos momentus DJ I. Tada
Kadangi visi plonasienio cilindro elementai yra vienodu atstumu nuo sukimosi ašies, formulė (1) paverčiama forma
Storasienis cilindras (žiedas, lankas)
Formulės išvedimas
Tegul yra vienalytis žiedas su išoriniu spinduliu R, vidinis spindulys R 1, storas h ir tankis ρ. Sulaužykime plonais žiedeliais, kurių storis dr. Plono spindulio žiedo masė ir inercijos momentas r bus
Storojo žiedo inercijos momentą randame kaip integralą
Kadangi žiedo tūris ir masė yra vienodi
gauname galutinę žiedo inercijos momento formulę
Homogeninis diskas (vientisas cilindras)
Formulės išvedimas
Cilindras (diskas) yra žiedas, kurio vidinis spindulys yra nulinis ( R 1 = 0), gauname cilindro (disko) inercijos momento formulę:
kietas kūgis
Formulės išvedimas
Padalinkite kūgį į plonus storio skritulius dh, statmena kūgio ašiai. Tokio disko spindulys yra
kur R yra kūgio pagrindo spindulys, H yra kūgio aukštis, h yra atstumas nuo kūgio viršaus iki disko. Tokio disko masė ir inercijos momentas bus
Integruodami gauname
Tvirtas vienodas kamuolys
Formulės išvedimas
Padalinkite rutulį į plonus diskus dh, statmena sukimosi ašiai. Tokio disko, esančio aukštyje, spindulys h nuo sferos centro pagal formulę randame
Tokio disko masė ir inercijos momentas bus
Sferos inercijos momentą randame integruodami:
plonasienė sfera
Formulės išvedimas
Išvedimui naudojame vienalyčio spindulio rutulio inercijos momento formulę R:
Apskaičiuokime, kiek pasikeis rutulio inercijos momentas, jei esant pastoviam tankiui ρ jo spindulys padidės be galo maža verte dR.
Plonas strypas (ašis eina per centrą)
Formulės išvedimas
Padalinkite strypą į mažus ilgio fragmentus dr. Tokio fragmento masė ir inercijos momentas yra
Integruodami gauname
Plonas strypas (ašis eina per galą)
Formulės išvedimas
Perkeliant sukimosi ašį nuo strypo vidurio iki jos galo, strypo svorio centras ašies atžvilgiu pasislenka per atstumą l/2. Pagal Steinerio teoremą naujasis inercijos momentas bus lygus
Bedimensiniai planetų ir jų palydovų inercijos momentai
Didelę reikšmę planetų ir jų palydovų vidinės sandaros tyrimams turi jų bematis inercijos momentas. Bematis spindulio kūno inercijos momentas r ir masės m yra lygus jo inercijos momento aplink sukimosi ašį ir tos pačios masės medžiagos taško inercijos momento santykiui su fiksuota sukimosi ašimi, esančia tam tikru atstumu. r(lygus Ponas 2). Ši vertė atspindi masės pasiskirstymą gylyje. Vienas iš jo matavimo planetose ir palydovuose metodų yra nustatyti Doplerio poslinkį radijo signalui, kurį perduoda AMS, skriejant aplink tam tikrą planetą ar palydovą. Plonasienei sferai bematis inercijos momentas lygus 2/3 (~0,67), vienalyčio rutulio - 0,4 ir apskritai kuo mažesnis, tuo jo centre sutelkta didesnė kūno masė. Pavyzdžiui, Mėnulio bematis inercijos momentas yra artimas 0,4 (lygus 0,391), todėl daroma prielaida, kad jis yra santykinai vienalytis, jo tankis mažai kinta priklausomai nuo gylio. Žemės bematis inercijos momentas yra mažesnis nei vienalyčio rutulio (lygus 0,335), o tai yra argumentas tankios šerdies buvimui jame.
išcentrinis inercijos momentas
Kūno išcentriniai inercijos momentai stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos ašių atžvilgiu yra šie dydžiai:
kur x, y ir z- nedidelio kūno elemento koordinatės su tūriu dV, tankis ρ ir svorio dm.
OX ašis vadinama pagrindinė kūno inercijos ašis jeigu išcentriniai inercijos momentai Jxy ir Jxz vienu metu yra nulis. Per kiekvieną kūno tašką galima nubrėžti tris pagrindines inercijos ašis. Šios ašys yra viena kitai statmenos. Kūno inercijos momentai trijų pagrindinių inercijos ašių, nubrėžtų savavališkame taške, atžvilgiu O kūnai vadinami pagrindiniai kūno inercijos momentai.
Pagrindinės inercijos ašys, einančios per kūno masės centrą, vadinamos pagrindinės centrinės kūno inercijos ašys, o inercijos momentai apie šias ašis yra jo pagrindiniai centriniai inercijos momentai. Vienalyčio kūno simetrijos ašis visada yra viena pagrindinių jo centrinių inercijos ašių.
Geometrinis inercijos momentas
Geometrinis inercijos momentas – geometrinė vaizdo pjūvio charakteristika
kur yra atstumas nuo centrinės ašies iki bet kurios elementarios srities neutralios ašies atžvilgiu.
Geometrinis inercijos momentas nesusijęs su medžiagos judėjimu, jis tik atspindi pjūvio standumo laipsnį. Jis naudojamas skaičiuojant sukimosi spindulį, sijos įlinkį, sijų, stulpelių sekcijų parinkimą ir kt.
SI matavimo vienetas yra m 4 . Konstrukciniuose skaičiavimuose, literatūroje ir visų pirma valcuoto metalo asortimentuose jis nurodytas cm 4.
Iš jo išreiškiamas sekcijos modulis:
.| Geometriniai kai kurių figūrų inercijos momentai | |
|---|---|
| Stačiakampio aukštis ir plotis: | |
| Stačiakampė dėžutės sekcija, kurios aukštis ir plotis išilgai išorinių kontūrų ir , ir išilgai vidinio ir atitinkamai | |
| Apskritimo skersmuo | |
Centrinis inercijos momentas
Centrinis inercijos momentas(arba inercijos momentas apie tašką O) yra dydis
Centrinis inercijos momentas gali būti išreikštas pagrindiniais ašiniais arba išcentriniais inercijos momentais: .
Inercijos tenzorius ir inercijos elipsoidas
Kūno inercijos momentas apie savavališką ašį, einančią per masės centrą ir kurios kryptis nurodyta vieneto vektoriumi, gali būti pavaizduotas kvadratine (dvilinijine) forma:
(1),kur yra inercijos tenzorius. Inercijos tenzoriaus matrica yra simetriška, turi matmenis ir susideda iš išcentrinio momento komponentų:
.
Pasirinkus tinkamą koordinačių sistemą, inercijos tenzoriaus matricą galima redukuoti į įstrižainę. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti tenzoriaus matricos savosios reikšmės problemą:
,
kur yra stačiakampio perėjimo į savąjį inercijos tenzoriaus pagrindą. Savo pagrindu koordinačių ašys yra nukreiptos išilgai inercijos tenzoriaus pagrindinių ašių ir taip pat sutampa su pagrindinėmis inercijos tenzoriaus elipsoido pusašimis. Didumai yra pagrindiniai inercijos momentai. Išraiška (1) savo koordinačių sistemoje yra tokia:
iš kur atsiranda lygtis
Dažnai girdime posakius: „tai inertiška“, „judėk pagal inerciją“, „inercijos momentas“. Perkeltine prasme žodis „inercija“ gali būti interpretuojamas kaip iniciatyvos ir veiksmo trūkumas. Mus domina tiesioginė reikšmė.
Kas yra inercija
Pagal apibrėžimą inercija fizikoje tai kūnų gebėjimas išlaikyti ramybės arba judėjimo būseną, kai nėra išorinių jėgų.
Jei viskas aišku su pačia inercijos sąvoka intuityviu lygmeniu, tada inercijos momentas– atskiras klausimas. Sutikite, sunku mintyse įsivaizduoti, kas tai yra. Šiame straipsnyje sužinosite, kaip išspręsti pagrindines šios temos problemas "Inercijos momentas".
Inercijos momento nustatymas
Iš mokyklos programos žinoma, kad masė yra kūno inercijos matas. Jei stumsime du skirtingos masės vežimus, tada sunkesnį sustabdyti bus sunkiau. Tai yra, kuo didesnė masė, tuo didesnė išorinė įtaka reikalinga norint pakeisti kūno judėjimą. Laikomas reiškia transliacinį judėjimą, kai vežimėlis iš pavyzdžio juda tiesia linija.
Analogiškai su masės ir transliaciniu judesiu, inercijos momentas yra kūno inercijos matas sukimosi aplink ašį metu.
Inercijos momentas– skaliarinis fizikinis dydis, kūno inercijos matas besisukant aplink ašį. Žymima raide J ir sistemoje SI matuojamas kilogramais, padaugintas iš kvadratinio metro.
Kaip apskaičiuoti inercijos momentą? Yra bendra formulė, pagal kurią fizikoje apskaičiuojamas bet kurio kūno inercijos momentas. Jei kūnas suskaidomas į be galo mažus masės gabalėlius dm , tada inercijos momentas bus lygus šių elementariųjų masių sandaugų ir atstumo iki sukimosi ašies kvadrato sumai.
Tai yra bendroji inercijos momento formulė fizikoje. Materialiam masės taškui m , sukasi apie ašį per atstumą r iš jo ši formulė įgauna tokią formą:
Steinerio teorema
Nuo ko priklauso inercijos momentas? Nuo masės, sukimosi ašies padėties, kūno formos ir dydžio.
Huygenso-Steinerio teorema yra labai svarbi teorema, kuri dažnai naudojama sprendžiant problemas.
Beje! Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida
Huygenso-Steinerio teorema teigia:
Kūno inercijos apie savavališką ašį momentas yra lygus kūno inercijos momento apie ašį, einančią per masės centrą, lygiagrečią savavališkai ašiai, sumai, o kūno masės sandauga padauginta iš kūno masės kvadrato. atstumas tarp ašių.
Tiems, kurie nenori nuolat integruotis sprendžiant inercijos momento nustatymo problemas, pateikiame paveikslėlį, kuriame rodomi kai kurių vienarūšių kūnų inercijos momentai, kurie dažnai randami problemose:
Inercijos momento nustatymo problemos sprendimo pavyzdys
Panagrinėkime du pavyzdžius. Pirmoji užduotis – rasti inercijos momentą. Antroji užduotis – panaudoti Huygenso-Šteinerio teoremą.
1 uždavinys. Raskite vienalyčio disko, kurio masė m ir spindulys R, inercijos momentą. Sukimosi ašis eina per disko centrą.
Sprendimas:
Padalinkime diską į be galo plonus žiedus, kurių spindulys svyruoja nuo 0 prieš R ir apsvarstykite vieną tokį žiedą. Tegul jo spindulys yra r, ir masė dm. Tada žiedo inercijos momentas:
Žiedo masė gali būti pavaizduota taip:
Čia dz yra žiedo aukštis. Pakeiskite masę į inercijos momento formulę ir integruokite:
Rezultatas buvo absoliutaus plono disko ar cilindro inercijos momento formulė.
2 uždavinys. Tegul vėl yra diskas, kurio masė yra m, o spindulys R. Dabar reikia rasti disko inercijos momentą apie ašį, einančią per vieno iš jo spindulių vidurį.
Sprendimas:
Disko inercijos momentas apie ašį, einantį per masės centrą, žinomas iš ankstesnės užduoties. Taikome Steinerio teoremą ir randame:
Beje, mūsų tinklaraštyje galite rasti kitos naudingos medžiagos apie fiziką ir.
Tikimės, kad straipsnyje rasite ką nors naudingo. Jei apskaičiuojant inercijos tenzorių kyla sunkumų, nepamirškite apie studentų aptarnavimą. Mūsų ekspertai patars visais klausimais ir padės išspręsti problemą per kelias minutes.
Dabar apsvarstykite problemą inercijos momento nustatymasįvairūs kūnai. Generolas inercijos momento nustatymo formulė objektas z ašies atžvilgiu turi formą
Kitaip tariant, reikia pridėti visas mases, padauginus kiekvieną iš jos atstumo nuo ašies kvadrato (x 2 i + y 2 i). Atkreipkite dėmesį, kad tai galioja net trimačiam kūnui, nors atstumas yra toks „dvimatis“. Tačiau daugeliu atvejų apsiribosime dvimačiais kūnais.
Kaip paprastą pavyzdį panagrinėkime strypą, besisukantį apie ašį, einančią per jo galą ir statmeną jai (19.3 pav.). Dabar turime susumuoti visas mases, padaugintas iš atstumo x kvadratų (šiuo atveju visi y yra nuliai). Žinoma, sakydamas sumą aš turiu omenyje x 2 integralą, padaugintą iš masės „elementų“. Jei strypą padalinsime į dx ilgio gabalus, tai atitinkamas masės elementas bus proporcingas dx, o jei dx būtų viso strypo ilgis, tai jo masė būtų lygi M. Todėl
Inercijos momento matmuo visada yra lygus masei, padaugintam iš ilgio kvadrato, todėl vienintelė reikšminga reikšmė, kurią apskaičiavome, yra koeficientas 1/3.
O koks bus I inercijos momentas, jei sukimosi ašis eina per strypo vidurį? Norėdami jį rasti, vėl turime paimti integralą, bet jau diapazone nuo -1/2L iki +1/2L. Tačiau atkreipkite dėmesį į vieną šio atvejo bruožą. Tokį strypą, kurio ašis eina per centrą, galima įsivaizduoti kaip du strypus, kurių ašis eina per galą, kurių kiekvieno masė M/2, o ilgis L/2. Dviejų tokių strypų inercijos momentai yra lygūs vienas kitam ir apskaičiuojami pagal (19.5) formulę. Todėl viso strypo inercijos momentas yra
Taigi, meškerę daug lengviau susukti ties viduriu nei gale.
Galima, žinoma, ir toliau skaičiuoti kitų mus dominančių kūnų inercijos momentus. Bet kadangi tokiems skaičiavimams reikia daug patirties skaičiuojant integralus (tai labai svarbu savaime), jie kaip tokie mus mažai domina. Tačiau čia yra keletas labai įdomių ir naudingų teoremų. Tegul būna kūno ir mes norime jį pažinti inercijos momentas apie kurią nors ašį. Tai reiškia, kad mes norime rasti jo inerciją sukdami aplink šią ašį. Jei kūną pajudinsime už strypo, palaikančio jo masės centrą, kad jis nesisuktų sukdamasis aplink ašį (šiuo atveju jo neveikia jokie inercijos jėgų momentai, todėl kūnas nesisuks, kai jį pradėsime judinti) , tada norint jį pasukti reikia lygiai tokios pat jėgos, lyg visa masė būtų sutelkta masės centre, o inercijos momentas būtų tiesiog lygus I 1 = MR 2 c.m. , kur R c.m yra atstumas nuo masės centro iki sukimosi ašies. Tačiau ši formulė, žinoma, neteisinga. Tai nesuteikia teisingo kūno inercijos momento. Juk realiai sukant kūnas sukasi. Sukasi ne tik masės centras (tai duotų reikšmę I 1), bet ir pats kūnas masės centro atžvilgiu turi suktis. Taigi prie inercijos momento I 1 reikia pridėti I c - inercijos momentą apie masės centrą. Teisingas atsakymas yra tas, kad inercijos momentas apie bet kurią ašį yra
Ši teorema vadinama lygiagrečių ašių vertimo teorema. Tai labai lengvai įrodoma. Inercijos momentas apie bet kurią ašį yra lygus masių sumai, padaugintai iš x ir y kvadratų sumos, ty I \u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). Dabar sutelksime dėmesį į x, bet tą patį galima pasakyti ir apie y. Tegul x koordinatė yra tam tikro taško atstumas nuo pradžios; pažiūrėkime, kaip viskas pasikeis, jei matuojame atstumą x` nuo masės centro, o ne x nuo pradžios. Norėdami sužinoti, turime parašyti
x i = x` i + X c.m.
Sustatydami šią išraišką kvadratu, randame
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 cm.
Kas atsitiks, jei padauginsite jį iš m i ir susumuosite iš visų r? Išimdami konstantas iš sumavimo ženklo, randame
I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm i
Trečią sumą lengva apskaičiuoti; tai tik MX 2 ts.m. . Antrasis narys susideda iš dviejų veiksnių, kurių vienas yra Σm i x` i ; ji lygi masės centro x`-koordinatei. Bet tai turi būti nulis, nes x` matuojamas nuo masės centro, o šioje koordinačių sistemoje visų dalelių vidutinė padėtis, sverta pagal jų masę, yra lygi nuliui. Akivaizdu, kad pirmasis narys yra x dalis iš I c. Taigi gauname formulę (19.7).
Patikrinkime (19.7) formulę vienu pavyzdžiu. Tik patikrinkime, ar jis bus taikomas meškerei. Jau nustatėme, kad strypo inercijos momentas jo galo atžvilgiu turi būti lygus ML 2 /3. Ir strypo masės centras, žinoma, yra L/2 atstumu. Taigi turėtume gauti, kad ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Kadangi ketvirtadalis + dvyliktoji = trečdalis, nepadarėme jokios klaidos.
Beje, norint rasti inercijos momentą (19,5), visai nebūtina skaičiuoti integralo. Galima tiesiog daryti prielaidą, kad ji lygi ML 2 reikšmei, padaugintai iš nežinomo koeficiento γ. Po to galima panaudoti samprotavimus apie dvi puses ir gauti inercijos momento koeficientą 1/4γ (19.6). Naudodami lygiagrečių ašių vertimo teoremą, įrodome, kad γ=1/4γ + 1/4, iš kur γ=1/3. Visada galite rasti aplinkkelį!
Taikant lygiagrečios ašies teoremą, svarbu atsiminti, kad ašis I turi būti lygiagreti ašiai, apie kurią norime apskaičiuoti inercijos momentą.
Galbūt verta paminėti dar vieną savybę, kuri dažnai labai praverčia ieškant kai kurių tipų kūnų inercijos momento. Jį sudaro taip: jei turime plokščią figūrą ir trigubą koordinačių ašių, kurių pradžios taškas yra šioje plokštumoje, o z ašis nukreipta statmenai jai, tada šios figūros inercijos momentas apie z ašį yra lygus. prie x ir y ašių inercijos momentų sumos . Tai įrodyta gana paprastai. pastebėti, kad
Pavyzdžiui, vienalytės stačiakampės plokštės, kurios masė M, plotis ω ir ilgis L, inercijos momentas apie ašį, statmeną jai ir einančios per jos centrą, yra tiesiog
nes inercijos momentas apie ašį, esančią plokštės plokštumoje ir lygiagrečią jos ilgiui, yra lygus Mω 2 /12, ty lygiai toks pat kaip strypo, kurio ilgis ω, o inercijos momentas apie kitą ašį ta pati plokštuma lygi ML 2 / 12, tokia pati kaip ir L ilgio strypo.
Taigi, išvardinkime inercijos momento apie tam tikrą ašį, kurią vadinsime z ašimi, savybes:
1. Inercijos momentas yra
2. Jei objektas susideda iš kelių dalių, o kiekvienos iš jų inercijos momentas yra žinomas, tai bendras inercijos momentas yra lygus šių dalių inercijos momentų sumai.
3. Inercijos momentas apie bet kurią ašį yra lygus inercijos momentui apie lygiagrečią ašį, einantį per masės centrą, pridėjus visos masės sandaugą, padaugintą iš tos ašies atstumo nuo masės centro kvadrato.
4. Plokščios figūros inercijos momentas apie ašį, statmeną jos plokštumai, yra lygus inercijos momentų apie bet kurias kitas dvi viena kitai statmenas ašis, esančias figūros plokštumoje ir susikertančių su statmena ašimi, sumai.
Lentelėje. 19.1 pavaizduoti kai kurių elementariųjų figūrų, turinčių vienodą masės tankį, inercijos momentai ir lentelėje. 19.2 - kai kurių figūrų inercijos momentai, kuriuos galima gauti iš lentelės. 19.1 naudojant aukščiau išvardytas savybes.
Inercijos momentas
Norėdami apskaičiuoti inercijos momentą, turime mintyse padalinti kūną į pakankamai mažus elementus, kurių taškai gali būti laikomi esantys tame pačiame atstumu nuo sukimosi ašies, tada rasti kiekvieno elemento masės sandaugą kvadratu. jo atstumą nuo ašies ir galiausiai susumuokite visus gautus produktus. Akivaizdu, kad tai labai daug darbo reikalaujanti užduotis. Už skaičiavimą
taisyklingos geometrinės formos kūnų inercijos momentai, kai kuriais atvejais gali būti naudojami integralinio skaičiavimo metodai.
Kūno elementų inercijos momentų baigtinės sumos radimas bus pakeistas be galo didelio inercijos momentų skaičiaus, apskaičiuoto be galo mažiems elementams, suma:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (at ∆m → 0).
Apskaičiuokime vienalyčio disko arba kieto cilindro, kurio aukštis, inercijos momentą h apie savo simetrijos ašį
Padalinkime diską į elementus plonų koncentrinių žiedų pavidalu, kurių centrai yra jo simetrijos ašyje. Gauti žiedai turi vidinį skersmenį r ir išorės r + dr, ir aukštį h. Nes dr<< r
, tada galime manyti, kad visų žiedo taškų atstumas nuo ašies yra r.
Kiekvienam atskiram žiedui inercijos momentas
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
kur ΣΔm yra viso žiedo masė.
Žiedo garsumas 2prhdr. Jei disko medžiagos tankis ρ
, tada žiedo masė
ρ2prhdr.
Žiedinis inercijos momentas
i = 2πρval 3dr.
Norint apskaičiuoti viso disko inercijos momentą, reikia susumuoti žiedų inercijos momentus nuo disko centro ( r = 0) iki jo krašto ( r = R), ty apskaičiuokite integralą:
I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,
arba
I = (1/2)πρhR 4.
Bet disko masė m = ρπhR 2, Vadinasi,
I = (1/2) mR2.
Pateikiame (be skaičiavimo) kai kurių taisyklingos geometrinės formos kūnų, pagamintų iš vienalyčių medžiagų, inercijos momentus 
1.
Plonas žiedo inercijos momentas apie ašį, einantį per jo centrą statmenai jo plokštumai (arba plonasienio tuščiavidurio cilindro apie simetrijos ašį):
I = mR2.
2.
Storasienio cilindro inercijos momentas apie simetrijos ašį:
I = (1/2) m (R 1 2 – R 2 2)
kur R1− vidinis ir R2− išoriniai spinduliai.
3.
Disko inercijos momentas apie ašį, sutampančią su vienu iš jo skersmenų:
I = (1/4) mR2.
4.
Kietojo cilindro inercijos momentas apie ašį, statmeną generatoriui ir einanti per jos vidurį:
I \u003d m (R 2/4 + h 2/12)
kur R- cilindro pagrindo spindulys, h yra cilindro aukštis.
5.
Plono strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per jo vidurį:
I = (1/12) ml 2,
kur l yra strypo ilgis.
6.
Plono strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per vieną iš jo galų:
I = (1/3) ml 2
7. Rutulio inercijos momentas apie ašį, sutampančią su vienu iš jo skersmenų:
I = (2/5) mR2.
Jei žinomas kūno inercijos momentas apie ašį, einantį per jo masės centrą, tai inercijos momentą apie bet kurią kitą ašį, lygiagrečią pirmajai ašiai, galima rasti remiantis vadinamąja Huygenso-Steinerio teorema.
kūno inercijos momentas aš bet kurios ašies atžvilgiu yra lygus kūno inercijos momentui aš s apie ašį, lygiagrečią duotajai ir einanti per kūno masės centrą, pridėjus kūno masę m kartų atstumo kvadratu l tarp ašių:
I \u003d I c + ml 2.
Kaip pavyzdį apskaičiuojame spindulio rutulio inercijos momentą R ir svorio m pakabintas ant l ilgio sriegio ašies, einančios per pakabos tašką, atžvilgiu O. Siūlo masė yra maža, palyginti su rutulio mase. Nuo rutulio inercijos momento apie ašį, einantį per masės centrą Ic = (2/5) mR2, ir atstumas
tarp ašių ( l + R), tada inercijos momentas apie ašį, einantį per pakabos tašką:
I = (2/5) mR2 + m(l + R) 2.
Inercijos momento matmenys:
[I] = [m] × = ML 2.
| Parametrų pavadinimas | Reikšmė |
| Straipsnio tema: | Inercijos momentas |
| Rubrika (teminė kategorija) | Mechanika |
Apsvarstykite materialų tašką, kurio masė m, kuris yra atstumu r nuo fiksuotos ašies (26 pav.). Medžiagos taško inercijos momentas J aplink ašį paprastai vadinamas skaliariniu fizikiniu dydžiu, lygiu masės m ir atstumo r iki šios ašies kvadrato sandaugai:
J = ponas 2(75)
N materialių taškų sistemos inercijos momentas bus lygus atskirų taškų inercijos momentų sumai
(76)
Prie taško inercijos momento apibrėžimo
Jei masė erdvėje paskirstoma nuolat, tada sumavimas pakeičiamas integravimu. Kūnas yra padalintas į elementarius tūrius dv, kurių kiekvienas turi masę dm. Rezultatas yra tokia išraiška:
(77)
Kūno, kurio tūris yra vienalytis, tankis ρ yra pastovus, o elementariąją masę įrašius į formą
dm = ρdv, formulę (70) transformuojame taip:
(78)
Inercijos momento matmuo yra kg * m 2.
Kūno inercijos momentas yra kūno sukamojo judesio inercijos matas, lygiai taip pat, kaip kūno masė yra jo judesio judesio inercijos matas.
Inercijos momentas yra standaus kūno inercinių savybių matas sukimosi metu, priklausomai nuo masės pasiskirstymo sukimosi ašies atžvilgiu. Kitaip tariant, inercijos momentas priklauso nuo kūno masės, formos, matmenų ir sukimosi ašies padėties.
Bet kuris kūnas, nepaisant to, ar jis sukasi, ar ramybės būsenoje, turi inercijos momentą apie bet kurią ašį, kaip ir kūnas turi masę, nesvarbu, ar jis juda, ar ramybės būsenoje. Kaip ir masė, inercijos momentas yra adityvus dydis.
Kai kuriais atvejais teorinis inercijos momento skaičiavimas yra gana paprastas. Žemiau pateikiami kai kurių taisyklingos geometrinės formos kietų kūnų inercijos momentai apie ašį, einantį per svorio centrą.
Be galo plokščio disko, kurio spindulys R, inercijos momentas apie ašį, statmeną disko plokštumai:
Spindulio rutulio inercijos momentas R:
Ilgio strypo inercijos momentas L ašies, einančios per strypo vidurį statmenai jai, atžvilgiu:
Be galo plono spindulio lanko inercijos momentas R apie ašį, statmeną jos plokštumai:
Kūno inercijos apie savavališką ašį momentas apskaičiuojamas pagal Steinerio teoremą:
Kūno inercijos momentas apie savavališką ašį yra lygus inercijos momento apie ašį, einančią per masės centrą, lygiagrečią duotajam, sumai, o kūno masės sandauga padauginta iš atstumo tarp ašies kvadrato. ašys.
Naudodamiesi Šteinerio teorema, apskaičiuojame strypo su ilgiu inercijos momentą L apie ašį, einančią per jai statmeną galą (27 pav.).
Prie strypo inercijos momento skaičiavimo
Pagal Steinerio teoremą, strypo inercijos momentas apie O′O′ ašį yra lygus inercijos momentui apie OO ašį plius md 2. Iš čia gauname:
Akivaizdu: inercijos momentas skirtingų ašių atžvilgiu nėra vienodas, todėl sprendžiant sukamojo judėjimo dinamikos uždavinius, kiekvieną kartą reikia ieškoti kūno inercijos momento mus dominančios ašies atžvilgiu. atskirai. Taigi, pavyzdžiui, projektuojant techninius įrenginius, kuriuose yra besisukančių dalių (geležinkelio transporte, orlaivių konstrukcijoje, elektrotechnikoje ir kt.), Reikia žinoti šių dalių inercijos momentų reikšmes. Esant sudėtingai kūno formai, gali būti sunku atlikti teorinį jo inercijos momento skaičiavimą. Tokiais atvejais pageidautina empiriškai išmatuoti nestandartinės detalės inercijos momentą.
Jėgos F momentas taško O atžvilgiu
Inercijos momentas – samprata ir rūšys. Kategorijos „Inercijos momentas“ klasifikacija ir ypatumai 2017, 2018 m.
35 pav. Nubrėžkime savavališkas ašis Cx"y"z" per kūno masės centrą C, o per bet kurį tašką O ašyje Cx" - ašis Oxyz, kad Oy½½Сy", Oz½½Cz" (35 pav. ). Atstumą tarp ašių Cz "ir Oz pažymime d. Tada, kaip matyti iš paveikslo, bet kuriam kūno taškui arba, a. Pakeičiant ... .
Kūno inercijos momentas yra dydis, lemiantis jo inerciją sukimosi judesyje. Transliacinio judėjimo dinamikoje kūno inercijai visiškai būdinga jo masė. Paties kūno savybių įtaka sukimosi judesio dinamikai pasirodo sudėtingesnė, ... .
3 paskaita. Jėgos. Medžiagos taško ir mechaninės sistemos masė, impulsas. Transliacinio judėjimo dinamika inercinėse atskaitos sistemose. Mechaninės sistemos impulso kitimo dėsnis. Impulso tvermės dėsnis. Dinamika tiria kūnų judėjimą, atsižvelgdama į priežastis, ... .
Išanalizuokime standaus kūno inercijos momento formulę. Inercijos momentas priklauso nuo 1) kūno masės, 2) kūno formos ir matmenų, 3) sukimosi ašies padėties kūno atžvilgiu (2 pav.). 2a pav.2b Taigi, inercijos momentas yra kūno inercijos matas sukimosi metu,... .
Inercijos momentas apie bet kurią ašį yra lygus inercijos momentui apie centrinę ašį, lygiagrečią duotajai ašiai, pridėjus figūros ploto ir atstumo tarp ašių kvadrato sandaugą. Iš formulės matyti, kad inercijos momentas apie centrinę ašį yra mažesnis nei momentas ...
