Kad būtų patogiau apsvarstyti laipsnio funkciją, nagrinėsime 4 atskirus atvejus: galios funkciją su natūraliuoju rodikliu, laipsnio funkciją su sveikuoju rodikliu, galios funkciją su racionaliuoju rodikliu ir galios funkciją su neracionaliuoju rodikliu.

Galios funkcija su natūraliu eksponentu

Pirmiausia pristatome laipsnio su natūraliuoju rodikliu sąvoką.

1 apibrėžimas

Realiojo skaičiaus $a$, kurio natūralusis rodiklis $n$, laipsnis yra skaičius, lygus $n$ faktorių sandaugai, kurių kiekvienas yra lygus skaičiui $a$.

1 paveikslas.

$a$ yra laipsnio pagrindas.

$n$ – eksponentas.

Dabar apsvarstykite galios funkciją su natūraliuoju rodikliu, jos savybes ir grafiką.

2 apibrėžimas

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ vadinama laipsnio funkcija su natūraliuoju rodikliu.

Kad būtų patogiau, atskirai apsvarstykite galios funkciją su lyginiu rodikliu $f\left(x\right)=x^(2n)$ ir laipsnio funkciją su nelyginiu eksponentu $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.

Laipsninės funkcijos su natūraliu lyginiu laipsniu savybės

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ yra lyginė funkcija.

Taikymo sritis – $ \

Funkcija mažėja kaip $x\in (-\infty ,0)$ ir didėja kaip $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0 $

Funkcija yra išgaubta visoje apibrėžimo srityje.

Elgesys taikymo srities pabaigoje:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafikas (2 pav.).

2 pav. Funkcijos $f\left(x\right)=x^(2n)$ grafikas

Laipsniškos funkcijos su natūraliuoju nelyginiu rodikliu savybės

Apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ yra nelyginė funkcija.

$f(x)$ yra tęstinis visoje apibrėžimo srityje.

Diapazonas yra visi realūs skaičiai.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

$f\left(x\right)0$, už $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija yra įgaubta $x\in (-\infty ,0)$ ir išgaubta $x\in (0,+\infty)$.

Grafikas (3 pav.).

3 pav. Funkcijos $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ grafikas

Galios funkcija su sveikuoju rodikliu

Pirmiausia pristatome laipsnio sąvoką su sveikuoju rodikliu.

3 apibrėžimas

Realiojo skaičiaus $a$ su sveikuoju rodikliu $n$ laipsnis nustatomas pagal formulę:

4 pav

Dabar apsvarstykite galios funkciją su sveikuoju rodikliu, jos savybes ir grafiką.

4 apibrėžimas

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ vadinama galios funkcija su sveikuoju rodikliu.

Jei laipsnis yra didesnis už nulį, tada pasiekiame laipsnio funkcijos atvejį su natūraliuoju rodikliu. Mes tai jau aptarėme aukščiau. Jei $n=0$ gauname tiesinę funkciją $y=1$. Paliekame ją apsvarstyti skaitytojui. Belieka atsižvelgti į laipsnio funkcijos su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybes

Laipsninės funkcijos su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybės

Taikymo sritis yra $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jei eksponentas lyginis, tada funkcija yra lyginė, jei nelyginė, tada funkcija nelyginė.

$f(x)$ yra tęstinis visoje apibrėžimo srityje.

Vertės diapazonas:

Jei rodiklis lyginis, tada $(0,+\infty)$, jei nelyginis, tada $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jei eksponentas yra nelyginis, funkcija sumažėja kaip $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jei eksponentas lygus, funkcija sumažėja kaip $x\in (0,+\infty)$. ir didėja kaip $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ visame domene

Galios funkcijos y = x p srityje galioja šios formulės:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Galios funkcijų savybės ir jų grafikai

Galios funkcija, kai rodiklis lygus nuliui, p = 0

Jei laipsnio funkcijos y = x p eksponentas yra lygus nuliui, p = 0 , tai laipsnio funkcija apibrėžiama visiems x ≠ 0 ir yra pastovi, lygi vienetui:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Galios funkcija su natūraliu nelyginiu rodikliu, p = n = 1, 3, 5, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis nelyginis rodiklis n = 1, 3, 5, ... . Tokį rodiklį galima parašyti ir taip: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2, 3, ... yra neneigiamas sveikasis skaičius. Žemiau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0 выпукла вверх
0 val< x < ∞ выпукла вниз
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
jei x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 1 , funkcija yra atvirkštinė sau: x = y
jei n ≠ 1, atvirkštinė funkcija yra n laipsnio šaknis:

Laipsnio funkcija su natūraliu lyginiu rodikliu, p = n = 2, 4, 6, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis lyginis rodiklis n = 2, 4, 6, ... . Tokį rodiklį galima parašyti ir taip: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius. Toliau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu lyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 2, 4, 6, ... reikšmėms.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
jei x ≤ 0 monotoniškai mažėja
jei x ≥ 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, x=0, y=0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
jei x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 2, kvadratinė šaknis:
jei n ≠ 2, n laipsnio šaknis:

Laipsnio funkcija su sveikuoju skaičiumi neigiamu eksponentu, p = n = -1, -2, -3, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios neigiamas sveikasis rodiklis n = -1, -2, -3, ... . Jei įdėsime n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius, tada jį galima pavaizduoti taip:

Laipsninės funkcijos y = x n grafikas su neigiamu sveikuoju rodikliu įvairioms eksponento n = -1, -2, -3, ... reikšmėms.

Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...

Žemiau pateiktos funkcijos y = x n su nelyginiu neigiamu rodikliu n = -1, -3, -5, ... savybės.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вверх
jei x > 0 : išgaubta žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -1,
už n< -2 ,

Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...

Žemiau pateikiamos funkcijos y = x n su lyginiu neigiamu rodikliu n = -2, -4, -6, ... savybės.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно возрастает
jei x > 0 : monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas: y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -2,
už n< -2 ,

Galios funkcija su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu , kur n yra sveikas skaičius, m > 1 yra natūralusis skaičius. Be to, n, m neturi bendrų daliklių.

Trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis

Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis: m = 3, 5, 7, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p apibrėžiama ir teigiamoms, ir neigiamoms x reikšmėms. Apsvarstykite tokių laipsnio funkcijų savybes, kai eksponentas p yra tam tikrose ribose.

p yra neigiamas, p< 0

Tegul racionalusis rodiklis (su nelyginiu vardikliu m = 3, 5, 7, ... ) yra mažesnis už nulį: .

Eksponentinių funkcijų grafikai su racionaliu neigiamu eksponentu įvairioms eksponento reikšmėms , kur m = 3, 5, 7, ... yra nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = -1, -3, -5, ...

Čia yra laipsnio funkcijos y = x p su racionaliu neigiamu eksponentu savybės, kur n = -1, -3, -5, ... yra nelyginis neigiamas sveikasis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вверх
jei x > 0 : išgaubta žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = -2, -4, -6, ...

Laipsninės funkcijos y = x p savybės su racionaliu neigiamu eksponentu , kur n = -2, -4, -6, ... yra lyginis neigiamas sveikas skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius .

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно возрастает
jei x > 0 : monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas: y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:

P reikšmė yra teigiama, mažesnė už vieną, 0< p < 1

Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju eksponentu (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nelyginis skaitiklis, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domenas: -∞ < x < +∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < +∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вниз
jei x > 0 : išgaubta aukštyn
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = -1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = 2, 4, 6, ...

Pateikiamos laipsnio funkcijos y = x p savybės su racionaliuoju rodikliu , esant 0 ribose.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domenas: -∞ < x < +∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< +∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно убывает
jei x > 0 : monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubta aukštyn, kai x ≠ 0
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ženklas: jei x ≠ 0, y > 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = 1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Rodiklis p didesnis už vienetą, p > 1

Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju rodikliu (p > 1 ) įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... yra nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = 5, 7, 9, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 5, 7, 9, ... yra nelyginis natūralusis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0 выпукла вверх
0 val< x < ∞ выпукла вниз
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = -1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = 4, 6, 8, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 4, 6, 8, ... yra lyginis natūralusis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 монотонно убывает
jei x > 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = 1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Trupmeninio rodiklio vardiklis lyginis

Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra lyginis: m = 2, 4, 6, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p nėra apibrėžta neigiamoms argumento reikšmėms. Jo savybės sutampa su laipsnio funkcijos su neracionaliuoju rodikliu savybėmis (žr. kitą skyrių).

Galios funkcija su neracionaliu rodikliu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su neracionaliuoju rodikliu p. Tokių funkcijų savybės skiriasi nuo tų, kurios buvo aptartos aukščiau, nes jos nėra apibrėžtos neigiamoms x argumento reikšmėms. Teigiamoms argumento reikšmėms savybės priklauso tik nuo eksponento p reikšmės ir nepriklauso nuo to, ar p yra sveikasis skaičius, racionalus ar neracionalus.

y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Galios funkcija su neigiamu p< 0

Domenas: x > 0
Kelios reikšmės: y > 0
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ribos: ;
privati ​​vertė: Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Galios funkcija su teigiamu rodikliu p > 0

Rodiklis yra mažesnis nei vienas 0< p < 1

Domenas: x ≥ 0
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas aukštyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Rodiklis yra didesnis nei vienas p > 1

Domenas: x ≥ 0
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.

). Dėl tikrosios bazės vertės X ir indikatorius a paprastai atsižvelgiama tik į tikrąsias S. f vertes. x a . Jie egzistuoja, bent jau visiems. x > 0; jeigu a - racionalusis skaičius su nelyginiu vardikliu, tada jie taip pat egzistuoja visiems x 0; jei racionaliojo skaičiaus vardiklis a net arba neracionalu, tada x a neturi jokios tikros prasmės x 0. Kai x = 0 galios funkcija x a yra nulis visiems a> 0 ir nėra apibrėžtas a 0; 0° neturi konkrečios reikšmės. S. f. (realiųjų reikšmių diapazone) yra unikalus, išskyrus tuos atvejus, kai a - racionalus skaičius, pavaizduotas neredukcine trupmena su lyginiu vardikliu: šiais atvejais jis yra dviejų reikšmių, o jo reikšmės tai pačiai argumento vertei X> 0 yra lygūs absoliučia verte, bet priešingi pagal ženklą. Paprastai tada atsižvelgiama tik į neneigiamą arba aritmetinę S. f reikšmę. Dėl X> 0 S. f. - didėja, jei a> 0 ir mažėja, jei a x = 0, jei 0 a x a)" = ax a-1 . Toliau,

Peržiūrėti funkcijas y \u003d cx a, kur Su- pastovus koeficientas, vaidina svarbų vaidmenį matematikoje ir jos taikymuose; adresu a= 1, šios funkcijos išreiškia tiesioginį proporcingumą (jų grafikai yra tiesės, einančios per pradžią, žr. pav. vienas), adresu a =-1 - atvirkštinis proporcingumas (grafai yra lygiakraštės hiperbolės, kurių centras yra pradžioje, o jų asimptotės yra koordinačių ašys, žr. pav. 2). Daugelis fizikos dėsnių matematiškai išreiškiami naudojant formos funkcijas y = cx a(žr. pav. 3); pavyzdžiui, y = cx 2 išreiškia tolygiai pagreitinto arba tolygiai lėto judėjimo dėsnį ( y - kelias, X - laikas, 2 c- pagreitis; pradinis atstumas ir greitis lygūs nuliui).

Kompleksiniame regione S. f. z a yra apibrėžta visiems z≠ 0 pagal formulę:

kur k= 0, ± 1, ± 2,... Jei a - sveikasis skaičius, tada S. f. z a yra nedviprasmiškas:

Jeigu a - racionalus (ir = p/q, kur R ir q koprime), tada S. f. z a priima q skirtingos reikšmės:

kur ε k = - laipsnio šaknys q iš vieneto: k = 0, 1, ..., q - 1. Jei a - neracionalus, tada S. f. z a – begalinė reikšmė: daugiklis ε α2κ π ι priima už skirtingus k skirtingos reikšmės. Su sudėtingomis S. f reikšmėmis. z a nustatoma pagal tą pačią formulę (*). Pavyzdžiui,

taip, kad visų pirma k = 0, ± 1, ± 2,...

Pagal pagrindinę vertę ( z a) 0 S. f. suprantama jo prasmė k = 0, jei -πz ≤ π (arba 0 ≤ arg z z a) = |z a|e ia arg z , (i) 0 \u003d e -π / 2 ir kt.

Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „Maitinimo funkcija“ kituose žodynuose:

Formos y = axn funkcija, kur a ir n yra bet kokie realieji skaičiai ... Didysis enciklopedinis žodynas

Galios funkcijos funkcija, kur (rodiklis) yra tikrasis skaičius ... Vikipedija

Funkcija formos y = axn, kur a ir p yra tikrosios. numeriai, S. f. apima daugybę gamtos dėsningumų. Ant pav. rodomi S. f grafikai. už n \u003d 1, 2, 3, 1/2 ir a \u003d 1. Į str. Maitinimo funkcija… Didelis enciklopedinis politechnikos žodynas

Funkcija formos y=axn, kur a ir n yra bet kokie realieji skaičiai. Paveikslėlyje pavaizduoti laipsnio funkcijos grafikai, kai n = 1, 2, 3, 1/2 ir a = 1. * * * GALINGOS FUNKCIJA GALINGOS FUNKCIJA, y = axn formos funkcija, kur a ir n yra bet kokie realieji skaičiai ... enciklopedinis žodynas

galios funkcija- laipsninės funkcijos statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. galios funkcija vok. Potenzfunktion, f rus. galios funkcija, f pranc. fonction puissance, f … Automatikos terminų žodynas

Funkcija y \u003d x a, kur a yra pastovus skaičius. Jei a yra sveikas skaičius, tada C. f. ypatingas racionalios funkcijos atvejis. Su sudėtingomis chi aC reikšmėmis. f. yra dviprasmiškas, jei a nėra sveikas skaičius. Dėl fiksuoto tikro. o skaičius x a yra laipsnis... Matematinė enciklopedija

Funkcija formos y = axn, kur a ir n yra bet kokie realieji skaičiai. Ant pav. rodomi S. f grafikai. kai n = 1, 2, 3, 1/2 ir a = 1... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

paklausos funkcija- Funkcija, parodanti, kaip kinta tam tikros prekės pardavimų apimtys, priklausomai nuo jos kainos, vienodomis rinkodaros pastangomis jį reklamuoti rinkai. paklausos funkcija Funkcija, kuri atspindi ... ... Techninis vertėjo vadovas

Paklausos funkcija- funkcija, atspindinti atskirų prekių ir paslaugų (vartojimo prekių) paklausos apimties priklausomybę nuo ją veikiančių veiksnių visumos. Siauresnis aiškinimas: F.s. išreiškia produkto paklausos ir kainos tarpusavio priklausomybę ... ... Ekonomikos ir matematikos žodynas

Y = 1 + x + x2 + x3 + ... yra apibrėžta tikrosioms arba sudėtingoms x reikšmėms, kurių moduliai yra mažesni už vieną. F. formos y \u003d p0xn + p1xn 1 + p2xn 2 + ... + pn 1x + pn, kur koeficientai, p0, p1, p2, ..., pn, šie skaičiai vadinami visa funkcija n oh ... ... Brockhauso ir Efrono enciklopedija

Knygos

• Lentelių komplektas. Algebra ir analizės pradžia. 11 klasė. 15 lentelių + metodika, . Lentelės atspausdintos ant storo poligrafinio kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm. Į rinkinį įeina brošiūra su metodinėmis rekomendacijomis mokytojams. Studijų albumas iš 15 lapų...

Pamoka ir pristatymas tema: "Galios funkcijos. Savybės. Grafikai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 11 klasei
Interaktyvus vadovas 9-11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvus vadovas 10-11 klasėms „Logaritmai“

Galios funkcijos, apibrėžimo sritis.

Vaikinai, paskutinėje pamokoje išmokome dirbti su skaičiais su racionaliuoju rodikliu. Šioje pamokoje mes apsvarstysime galios funkcijas ir apsiribosime tuo atveju, kai rodiklis yra racionalus.
Nagrinėsime šios formos funkcijas: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Pirmiausia panagrinėkime funkcijas, kurių eksponentas yra $\frac(m)(n)>1$.
Duokime konkrečią funkciją $y=x^2*5$.
Pagal apibrėžimą, kurį pateikėme paskutinėje pamokoje: jei $x≥0$, tai mūsų funkcijos sritis yra spindulys $(x)$. Pavaizduokime savo funkcijų grafiką schematiškai.

Funkcijos $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 savybės 2. Nėra nei lyginės, nei nelyginės.
3. Padidėja $$,
b) $(2,10)$,
c) ant spindulio $$.
Sprendimas.
Vaikinai, ar prisimenate, kaip 10 klasės segmente radome didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę?
Teisingai, mes panaudojome išvestinę. Išspręskime savo pavyzdį ir pakartokime algoritmą, kaip rasti mažiausią ir didžiausią reikšmę.
1. Raskite duotosios funkcijos išvestinę:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Išvestinė egzistuoja visoje pradinės funkcijos srityje, tada kritinių taškų nėra. Raskime stacionarius taškus:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 USD*\sqrt(x^3)=x^3$.
64 USD x ^ 3 = x ^ 6 USD.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ir $x_2=\sqrt(64)=4$.
Pateiktam segmentui priklauso tik vienas sprendimas $x_2=4$.
Sukurkime savo funkcijos verčių lentelę segmento galuose ir ekstremumo taške:
Atsakymas: $y_(vardas)=-862.65$ su $x=9$; $y_(maks.) = 38,4 $, jei $x = 4 $.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Sprendimas. Funkcijos $y=x^(\frac(4)(3))$ grafikas didėja, o funkcijos $y=24-x$ grafikas mažėja. Vaikinai, jūs ir aš žinome: jei viena funkcija didėja, o kita mažėja, tada jos susikerta tik viename taške, tai yra, turime tik vieną sprendimą.
Pastaba:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Tai reiškia, kad $х=8$ gavome teisingą lygybę $16=16$, tai yra mūsų lygties sprendimas.
Atsakymas: $x=8$.

Pavyzdys.
Nubraižykite funkciją: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Sprendimas.
Mūsų funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos $y=x^(\frac(3)(4))$ grafiko, perkeliant jį 3 vienetais į dešinę ir 2 vienetais aukštyn.

Pavyzdys. Parašykite tiesės $y=x^(-\frac(4)(5))$ liestinės lygtį taške $x=1$.
Sprendimas. Tangento lygtis nustatoma pagal mums žinomą formulę:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mūsų atveju $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Raskime išvestinę:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Paskaičiuokime:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Raskite liestinės lygtį:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Atsakymas: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Savarankiško sprendimo užduotys

1. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $y=x^\frac(4)(3)$ reikšmę segmente:
a) $$.
b) $(4.50)$.
c) ant spindulio $$.
3. Išspręskite lygtį: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Nubraižykite funkciją: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Parašykite tiesės $y=x^(-\frac(3)(7))$ liestinės lygtį taške $x=1$.