Fibonačis Leonardo iš Pizos (lot. Leonardo Pisano, Piza, apie 1170 m. – apie 1250 m.) – pirmasis stambus viduramžių Europos matematikas. Jis geriau žinomas slapyvardžiu Fibonacci, kuris itališkai reiškia „gimė geras sūnus“ (Figlio Buono Nato Ci).

Mažai žinoma apie Fibonačio egzistavimą. Netgi tiksli jo gimimo data nežinoma. Manoma, kad Fibonacci gimė 1170 m

Leonardo Fibonacci buvo garsus italų matematikas, garsėjo savo gebėjimu skaičiuoti. Vieną dieną jam išaušo ir jis atrado paprastą skaičių seką, kurių santykiai apibūdino natūralias visų visatos kūnų proporcijas!

Leonardo Fibonacci buvo puikus viduramžių matematikas. Jo matematinio darbo vaisiai naudojami daugelyje mokslų, meno ir kasdieniame gyvenime iki šiol.

Leonardo Fibonačio nuopelnas yra Fibonačio skaičių serija. Manoma, kad ši serija buvo žinoma Rytuose, tačiau būtent Leonardo Fibonacci paskelbė šią skaičių seriją knygoje „Liber Abaci“ (tai padarė norėdamas pademonstruoti triušių populiacijos dauginimąsi).

Elliottas rašė: "Gamtos dėsnis apima svarbiausią elementą – ritmą. Gamtos dėsnis yra ne tam tikra sistema, ne žaidimo rinkoje metodas, o reiškinys, kuris, matyt, būdingas bet kurio žmogaus eigai. jo taikymas prognozuojant yra revoliucinis.

Ši galimybė numatyti kainų pokyčius priverčia daugybę analitikų dirbti dieną ir naktį. Daugiausia dėmesio skirsime gebėjimui prognozuoti ir bandysime išsiaiškinti, ar tai įmanoma, ar ne. Pristatydamas savo požiūrį, Elliottas buvo labai konkretus. Jis rašė: „Bet kokiai žmogaus veiklai būdingi trys išskirtiniai bruožai: forma, laikas ir požiūris, ir visiems jiems taikoma Fibonačio sumavimo seka“.

Fibonačio seka, visiems žinoma iš filmo „Da Vinčio kodas“ – tai skaičių serija, kurią kaip mįslę apibūdino italų matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas Fibonačio vardu, XIII amžiuje. Trumpai mįslės esmė:

Kažkas patalpino porą triušių tam tikroje uždaroje erdvėje, norėdamas sužinoti, kiek porų triušių gims per metus, jei triušių prigimtis yra tokia, kad kiekvieną mėnesį triušių pora išaugina dar vieną porą, ir susilaukti palikuonių pasirodo sulaukus dviejų mėnesių.

Apmąstydamas šią temą, Fibonacci sukūrė tokią skaičių seką.

Skaičių serija 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir kt. žinoma kaip Fibonačio serija. Skaičių sekos ypatumas yra tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių 2 + 3 = 5 sumai; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 ir tt, o gretimų serijos skaičių santykis artėja prie auksinio padalijimo santykio. Taigi, 21:34 = 0,617 ir 34:55 = 0,618. Šis santykis žymimas simboliu F. Tik šis santykis – 0,618: 0,382 – suteikia nenutrūkstamą tiesios linijos atkarpos padalijimą auksiniu pjūviu, jį didinant arba sumažinant iki begalybės, kai mažesnė atkarpa yra susijusi su didesniu kaip didesnis yra viskam.

Fibonacci taip pat nagrinėjo praktinius prekybos poreikius: koks yra mažiausias svarelių skaičius, kuriuo galima pasverti prekę? Fibonačis įrodo, kad tokia svorių sistema yra optimali: 1, 2, 4, 8, 16...

Ši seka turi keletą matematinių ypatybių, kurias reikia paliesti. Ši seka asimptotiškai (artėja vis lėčiau) linkusi į kažkokį pastovų ryšį. Tačiau šis santykis yra neracionalus, tai yra skaičius, kurio trupmeninėje dalyje yra begalinė, nenuspėjama dešimtainių skaitmenų seka. To tiksliai išreikšti negalima.

Taigi bet kurio sekos nario santykis su ankstesniuoju svyruoja aplink skaičių 1,618, kartais jį viršydamas, kartais nepasiekdamas. Santykis su kitu panašiai artėja prie skaičiaus 0,618, kuris yra atvirkščiai proporcingas 1,618. Jei sekos elementus padalinsime iš vieneto, gausime skaičius 2,618 ir 0,382, kurie taip pat yra atvirkščiai proporcingi. Tai yra vadinamieji Fibonačio koeficientai.

Gamta tarsi išsprendžia problemą iš dviejų pusių vienu metu ir sumuoja rezultatus. Kai tik jis iš viso gauna 1, jis pereina į kitą dimensiją, kur viską pradeda kurti nuo pradžių. Bet tada ji turi sukurti šį auksinį pjūvį pagal tam tikrą taisyklę. Gamta aukso pjūvį panaudoja ne iš karto. Ji gauna tai nuosekliomis iteracijomis ir naudoja kitą seriją, kad sukurtų auksinę dalį, Fibonačio seriją.

Nuostabios Fibonacci serijos savybės taip pat pasireiškia pačiuose skaičiuose, kurie yra šios serijos nariai. Fibonačio serijos narius išdėliojame vertikaliai, o po to į dešinę mažėjančia tvarka užrašome natūraliuosius skaičius.

21 20 19 18 17 16 15 14 13

34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34

Kiekviena eilutė prasideda ir baigiasi Fibonačio skaičiumi, ty kiekvienoje eilutėje yra tik du tokie skaičiai. „mėlyni“ skaičiai – 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 turi ypatingų savybių (antrasis Fibonačio serijos hierarchijos lygis):

(5-4)/(4-3) = 1/1

(8-7)/(7-5) = 1/2 ir (8-6)/(6-5) = 2/1

(13-11)/(11-8) = 2/3 ir (13-10)/(10-8) = 3/2

(21-18)/(18-13) = 3/5 ir (21-16)/(1b-13) = 5/3

(34-29)/(29-21) = 5/8 ir (34-26)/(26-21) = 8/5

(55-47)/(47-34) = 8/13 ir (55-42)/(42-34) = 13/8

Gavome trupmeninę Fibonačio seriją, kuri galbūt „išpažįsta“ kolektyvinius elementariųjų dalelių ir cheminių elementų atomų sukimus.

Pavaizduokime šiuos skaičius kaip likučių seką

Kodėl visa tai? Taigi artėjame prie vieno paslaptingiausių gamtos reiškinių. Fibonacci iš esmės nieko naujo neatrado, jis tiesiog priminė pasauliui tokį reiškinį kaip Aukso pjūvis, kuris savo svarba nenusileidžia Pitagoro teoremai.

Mes išskiriame visus mus supančius objektus, įskaitant formą. Vieni mėgstame labiau, kiti mažiau, kai kurie visiškai atstumia akį. Kartais susidomėjimą gali padiktuoti gyvenimiška situacija, o kartais – stebimo objekto grožis. Simetriška ir proporcinga forma, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir sukelia grožio bei harmonijos pojūtį. Holistinis įvaizdis visada susideda iš skirtingų dydžių dalių, kurios yra tam tikrame santykyje viena su kita ir visuma. Auksinis pjūvis yra aukščiausia visumos ir jos dalių tobulumo apraiška moksle, mene ir gamtoje.

Jei paprastas pavyzdys, tai aukso pjūvis yra segmento padalijimas į dvi dalis tokiu santykiu, kuriame didesnė dalis yra susijusi su mažesne, o jų suma (visas segmentas) - su didesne.

Jei visą atkarpą c imsime 1, tai atkarpa a bus lygi 0,618, atkarpa b - 0,382, tik tokiu būdu bus įvykdyta Aukso pjūvio sąlyga (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). C ir a santykis yra 1,618, o c ir b yra 2,618. Tai visi tie patys, mums jau žinomi Fibonačio koeficientai.

Žinoma, yra auksinis stačiakampis, auksinis trikampis ir net auksinis stačiakampis. Žmogaus kūno proporcijos daugeliu atžvilgių yra artimos aukso pjūviui.

Tačiau įdomiausia prasideda, kai sujungiame įgytas žinias. Paveiksle aiškiai parodytas ryšys tarp Fibonačio sekos ir auksinio santykio. Pradedame nuo dviejų pirmojo dydžio kvadratų. Iš viršaus pridedame antrojo dydžio kvadratą. Dažome šalia kvadrato, kurio kraštinė lygi ankstesnių dviejų, trečiojo dydžio, kraštinių sumai. Pagal analogiją atsiranda penkto dydžio kvadratas. Ir taip toliau, kol neatsibosta, svarbiausia, kad kiekvieno kito kvadrato kraštinės ilgis būtų lygus dviejų ankstesnių kraštinių ilgių sumai. Matome eilę stačiakampių, kurių kraštinių ilgiai yra Fibonačio skaičiai, ir, kaip bebūtų keista, jie vadinami Fibonačio stačiakampiais.

Jei per savo kvadratų kampus nubrėžtume lygią liniją, gautume tik Archimedo spiralę, kurios žingsnio padidėjimas visada yra vienodas.

„Fibonacci“ serija yra ne tik matematinė dėlionė, su ja susiduriame kiekvieną dieną kasdieniame gyvenime:

Ir ne tik moliusko kiaute galite rasti Archimedo spiralių, bet ir daugelyje gėlių ir augalų, jie tiesiog nėra tokie akivaizdūs.

Apvalkalas spiralės pavidalu - apvalkalo forma sudomino Archimedą ir jis išsiaiškino, kad apvalkalo garbanų ilgio padidėjimas yra pastovi reikšmė ir lygi 1,618.

Alavijas daugialapis.

Romanesco brokoliai.

Saulėgrąžos: saulėgrąžų sėklos taip pat yra išdėstytos spirale.

Kankorėžis.

Augalų augimas taip pat vyksta pagal Fibonačio skaičių seriją - nuo kamieno nukrypsta šaka, ant kurios atsiranda lapas, tada įvyksta ilgas išstūmimas ir vėl pasirodo lapas, tačiau jis jau yra trumpesnis nei ankstesnis. Tada vėl išmetimas, bet jis taip pat trumpesnis nei ankstesnis. Šiame paveikslėlyje pirmasis išskirtinis rodiklis yra 100%, antrasis – 62%, trečias – 38% (prekyboje naudojami Fibonačio lygiai) ir t.t. Su žiedlapių ilgiu viskas atrodo lygiai taip pat.

Driežas - jei driežą padalinsite į uodegą ir kūną, tada jų santykis bus nuo 0,62 iki 0,38.

Piramidės – piramidės krašto ilgis yra 783,3 pėdos, o piramidės aukštis – 484,4 pėdos. Šonkaulio ilgio ir piramidės aukščio santykis yra 1,618.

Kaip matote, Fibonačio skaičių serija yra plačiai atstovaujama mūsų gyvenime: gyvų būtybių struktūroje, struktūrose, jos pagalba aprašoma net Galaktikų struktūra. Visa tai liudija Fibonačio skaičių serijos matematinės mįslės universalumą.

Ir tada laikas prisiminti Aukso pjūvį! Ar šiose nuotraukose pavaizduoti gražiausi ir harmoningiausi gamtos kūriniai? Ir tai dar ne viskas. Atidžiau pažvelgę ​​galite rasti panašių įvairių formų modelių.

Žinoma, teiginys, kad visi šie reiškiniai yra paremti Fibonačio seka, skamba per garsiai, tačiau tendencija yra ant veido. Be to, pati seka toli gražu nėra tobula, kaip ir visa kita šiame pasaulyje.

Yra spėliojama, kad Fibonačio seka yra gamtos bandymas prisitaikyti prie fundamentalesnės ir tobulesnės logaritminės sekos auksinės pjūvio, kuri praktiškai yra ta pati, tik prasideda iš niekur ir niekur nedingsta. Kita vertus, gamtai būtinai reikia kažkokios ištisos pradžios, nuo kurios galėtum atsispirti, ji negali iš nieko sukurti kažko. Pirmųjų Fibonačio sekos narių santykiai yra toli nuo aukso pjūvio. Bet kuo toliau juo judame, tuo labiau šie nukrypimai išsilygina. Norint nustatyti bet kokią seką, pakanka žinoti tris jos terminus, einančius vieną po kito. Bet ne auksinei sekai, jai užtenka dviejų, tai geometrinė ir aritmetinė progresija vienu metu. Galite manyti, kad tai yra visų kitų sekų pagrindas.

Kiekvienas auksinės logaritminės sekos narys yra auksinio santykio (z) laipsnis. Dalis eilutės atrodo maždaug taip: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Jei Auksinio santykio reikšmę suapvalintume iki trijų skaičių po kablelio, gautume z=1,618, tai seka atrodys taip: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; vienas; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Kiekvieną kitą terminą galima gauti ne tik padauginus ankstesnįjį iš 1,618, bet ir sudėjus du ankstesnius. Taigi, eksponentinis sekos augimas užtikrinamas tiesiog pridedant du gretimus elementus. Tai serija be pradžios ir pabaigos, ir būtent į tokią bando atrodyti Fibonačio seka. Turėdamas aiškiai apibrėžtą pradžią, jis siekia idealo, niekada jo nepasiekdamas. Toks gyvenimas.

Ir vis dėlto dėl visko, kas matyta ir perskaityta, kyla gana natūralūs klausimai:

Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra šis visatos architektas, kuris bandė ją padaryti tobulą? Ar kada nors buvo taip, kaip jis norėjo? Ir jei taip, kodėl nepavyko? Mutacijos? Laisvas pasirinkimas? Kas bus toliau? Ar ritė sukasi ar atsisuka?

Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite kitą. Jei tai išspręsite, gausite du naujus. Susitvarkyk su jais, atsiras dar trys. Jas išsprendę, įsigysite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, tada trylika, 21, 34, 55...

Fibonacci serijos ir aukso pjūvio taikomoji vertė nusipelno atskiros svetainės. Dabar tik pasakysiu, kad, pavyzdžiui, Fibonačio serijos elementai naudojami slenkamiesiems vidurkiams apskaičiuoti (jau nekalbant apie triušių populiacijos augimą), o pasaulio meno šedevruose yra Aukso pjūvis.

Tuo tarpu atminkite, kad Fibonacci yra legendinė matematikos, ekonomikos ir finansų figūra; jis paskelbė arabiškus skaitmenis ir pristatė stebuklingą skaičių seriją.

serijos Fibonačio numeris

pagal B. Biggso knygą „gyvatvorė išlindo iš rūko“

Apie Fibonačio skaičius ir prekybą

Įvadas į temą trumpai pereikime prie techninės analizės. Trumpai tariant, techninės analizės tikslas yra numatyti būsimą turto kainos judėjimą remiantis praeities istoriniais duomenimis. Garsiausia jos šalininkų formuluotė – į kainą jau įtraukta visa reikalinga informacija. Techninės analizės įgyvendinimas prasidėjo plėtojant spekuliacijas akcijomis ir tikriausiai iki šiol nebuvo iki galo baigtas, nes galimai žada neribotą uždarbį. Labiausiai žinomi techninės analizės metodai (terminai) yra palaikymo ir pasipriešinimo lygiai, japoniškos žvakidės, skaičiai, skelbiantys kainų pasikeitimą ir kt.

Situacijos paradoksas, mano nuomone, slypi toliau – dauguma aprašytų metodų tapo taip plačiai paplitę, kad, nepaisant jų veiksmingumo įrodymų bazės trūkumo, jie tikrai turėjo galimybę paveikti rinkos elgesį. Todėl net skeptikai, naudojantys esminius duomenis, turėtų atsižvelgti į šias sąvokas vien dėl to, kad į jas atsižvelgia labai daug kitų žaidėjų („technikų“). Techninė analizė gali puikiai pasiteisinti istorijoje, tačiau praktiškai niekam nepavyksta su ja užsidirbti stabilių pinigų - daug lengviau praturtėti išleidžiant didelį tiražą knygą „Kaip tapti milijonieriumi naudojant techninę analizę“ ...

Šia prasme išsiskiria Fibonačio teorija, kuri taip pat naudojama prognozuojant skirtingų laikotarpių kainas. Jos pasekėjai paprastai vadinami „bangininkais“. Jis išsiskiria tuo, kad atsirado ne kartu su rinka, o daug anksčiau – net prieš 800 metų. Kitas jos bruožas yra tai, kad teorija atsispindėjo beveik kaip pasaulinė samprata, skirta viskam ir viskam aprašyti, o rinka yra tik ypatingas jos taikymo atvejis. Teorijos efektyvumas ir egzistavimo trukmė suteikia jai tiek naujų šalininkų, tiek naujų bandymų ja remiantis sukurti mažiausiai prieštaringą ir visuotinai pripažintą rinkų elgesio aprašymą. Tačiau, deja, teorija nepažengė toliau nei atskiros sėkmingos rinkos prognozės, kurias galima prilyginti sėkmei.

Fibonačio teorijos esmė

Fibonačis nugyveno ilgą gyvenimą, ypač savo laiką, kurį paskyrė daugelio matematinių problemų sprendimui, suformuluodamas jas savo dideliame darbe „Sąskaitų knyga“ (XIII a. pradžia). Jį visada domino skaičių mistika – jis tikriausiai buvo ne mažiau genialus nei Archimedas ar Euklidas. Su kvadratinėmis lygtimis susijusias problemas kėlė ir iš dalies išsprendė dar prieš Fibonacci, pavyzdžiui, garsusis mokslininkas ir poetas Omaras Khayyamas; tačiau Fibonacci suformulavo triušių dauginimosi problemą, kurios išvados jam atnešė tai, kas leido šimtmečius neprarasti jo vardo.

Trumpai tariant, užduotis yra tokia. Vietoje, iš visų pusių aptvertoje siena, buvo pastatyta triušių pora, ir bet kuri triušių pora kiekvieną mėnesį, pradedant nuo antrojo gyvavimo mėnesio, užaugina kitą porą. Šiuo atveju triušių dauginimasis laike bus aprašytas seka: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ir kt. Matematiniu požiūriu seka pasirodė tiesiog unikali, nes ji turėjo daugybę išskirtinių savybių:

• bet kurių dviejų iš eilės einančių skaičių suma yra kitas sekos skaičius;

• kiekvieno skaičiaus sekoje, pradedant nuo penkto, santykis su ankstesniu yra 1,618;

• skirtumas tarp bet kurio skaičiaus kvadrato ir skaičiaus dviejų pozicijų kairėje kvadrato bus Fibonačio skaičius;

• gretimų skaičių kvadratų suma bus Fibonačio skaičius, kuris yra dvi pozicijos po didžiausio iš kvadratinių skaičių

Iš šių išvadų įdomiausia yra antroji, nes joje naudojamas skaičius 1,618, žinomas kaip „auksinis pjūvis“. Šį skaičių žinojo senovės graikai, kurie jį naudojo statydami Partenoną (beje, kai kurių šaltinių teigimu, Centrinis bankas tarnavo graikams). Ne mažiau įdomus faktas, kad skaičių 1,618 gamtoje galima rasti tiek mikro, tiek makro masteliu – nuo ​​spiralinių posūkių ant sraigės kiauto iki didelių kosminių galaktikų spiralių. Gizos piramidėse, kurias sukūrė senovės egiptiečiai, projektavimo metu taip pat buvo keli Fibonacci serijos parametrai iš karto. Akiai maloniausiai atrodo stačiakampis, kurio viena kraštinė yra 1,618 karto didesnė už kitą – tokį santykį savo paveikslams naudojo Leonardo da Vinci, o kalbant kasdieniškiau, kartais juo kurdavo langus ar durų angas. Netgi banga, kaip paveiksle straipsnio pradžioje, gali būti pavaizduota kaip Fibonačio spiralė.

Laukinėje gamtoje Fibonačio seka yra ne mažiau paplitusi – ją galima rasti naguose, dantyse, saulėgrąžose, voratinkliuose ir netgi dauginasi bakterijos. Jei pageidaujama, nuoseklumas yra beveik viskas, įskaitant žmogaus veidą ir kūną. Ir vis dėlto yra nuomonė, kad daugelis teiginių, kuriuose Fibonačio skaičiai randami gamtos ir istorijos reiškiniuose, yra neteisingi - tai yra paplitęs mitas, kuris dažnai pasirodo esąs netikslus norimam rezultatui.

Fibonačio skaičiai finansų rinkose

R.Elliotas buvo vienas pirmųjų, glaudžiausiai įsitraukusių į Fibonačio skaičių taikymą finansų rinkai. Jo darbas nebuvo veltui ta prasme, kad rinkos aprašymai, naudojant Fibonačio teoriją, dažnai vadinami „Elliot bangomis“. Rinkų plėtra čia buvo pagrįsta žmogaus vystymosi modeliu iš superciklų su trimis žingsniais į priekį ir dviem žingsniais atgal. Tai, kad žmonija vystosi nelinijiškai, akivaizdu beveik kiekvienam – Senovės Egipto žinios ir atomistinis Demokrito mokymas viduramžiais buvo visiškai prarasti, t.y. maždaug po 2000 metų; XX amžius sukėlė tokį siaubą ir žmogaus gyvenimo nereikšmingumą, kurį sunku buvo įsivaizduoti net graikų punų karų laikais. Tačiau net jei priimtume žingsnių teoriją ir jų skaičių kaip teisingą, kiekvieno žingsnio dydis lieka neaiškus, todėl Elioto bangos yra panašios į nuspėjamą galvų ir uodegų galią. Atspirties taškas ir teisingas bangų skaičiaus apskaičiavimas buvo ir, matyt, bus pagrindinė teorijos silpnybė.

Nepaisant to, teorija turėjo vietinių pasisekimų. Bobas Pretcheris, kurį galima laikyti Elioto mokiniu, teisingai numatė devintojo dešimtmečio pradžios bulių rinką, o lūžio taškas buvo 1987 m. Tai tikrai įvyko, po kurio Bobas akivaizdžiai pasijuto genijumi – bent jau kitų akimis jis neabejotinai tapo investicijų guru. Prechterio Elliott Wave Theorist prenumerata tais metais išaugo iki 20 000,Tačiau dešimtojo dešimtmečio pradžioje jis sumažėjo, nes tolesnė prognozuojama Amerikos rinkos „pražūtis ir niūrumas“ nusprendė šiek tiek palaukti. Tačiau tai pasiteisino Japonijos rinkai, ir daugelis teorijos šalininkų, kurie ten vėlavo, prarado arba savo, arba savo įmonių klientų kapitalą. Lygiai taip pat ir su tokia pačia sėkme jie dažnai bando teoriją pritaikyti prekybai užsienio valiutų rinkoje.

Teorija apima įvairius prekybos laikotarpius – nuo ​​savaitės, dėl ko ji panaši į standartines techninės analizės strategijas, iki skaičiavimo dešimtmečiams, t.y. patenka į fundamentalių prognozių teritoriją. Tai įmanoma dėl bangų skaičiaus kitimo. Aukščiau paminėtos teorijos silpnybės leidžia jos šalininkams kalbėti ne apie bangų gedimą, o apie jų pačių klaidingus jų skaičiaus apskaičiavimus ir neteisingą pradinės padėties apibrėžimą. Tai tarsi labirintas – net ir turėdamas tinkamą žemėlapį, iš jo gali išeiti tik tada, kai tiksliai supranti, kur esi. Priešingu atveju kortelė yra nenaudinga. Ellioto bangų atveju yra požymių, leidžiančių abejoti ne tik jūsų buvimo vietos teisingumu, bet ir paties žemėlapio teisingumu.

išvadas

Banginė žmonijos raida turi realų pagrindą – viduramžiais infliacijos ir defliacijos bangos keitėsi viena su kita, kai gana ramų taikų gyvenimą pakeitė karai. Fibonačio sekos stebėjimas gamtoje, bent jau kai kuriais atvejais, taip pat nekelia abejonių. Todėl kiekvienas žmogus turi teisę duoti savo atsakymą į klausimą, kas yra Dievas: matematikas ar atsitiktinių skaičių generatorius. Mano asmeninė nuomonė yra tokia, kad nors visą žmonijos istoriją ir rinkas galima pavaizduoti bangų koncepcijoje, niekas negali numatyti kiekvienos bangos aukščio ir trukmės.

Tuo pačiu metu 200 metų Amerikos rinkos stebėjimas ir daugiau nei 100 metų likusių rodo, kad akcijų rinka auga, išgyvena įvairius augimo ir sąstingio laikotarpius. Šio fakto visiškai pakanka norint gauti ilgalaikį uždarbį akcijų rinkoje, nesinaudojant prieštaringai vertinamomis teorijomis ir patikint jiems daugiau kapitalo, nei turėtų būti pagrįsta pagrįsta rizika.

Leonardo Fibonacci yra vienas didžiausių viduramžių matematikų. Viename iš savo darbų „Skaičiavimo knygoje“ Fibonacci aprašė indoarabų skaičiavimą ir jo naudojimo pranašumus prieš romėnišką.

Apibrėžimas
Fibonačio skaičiai arba Fibonačio seka yra skaitinė seka, turinti daugybę savybių. Pavyzdžiui, dviejų gretimų skaičių suma sekoje suteikia kito reikšmę (pavyzdžiui, 1+1=2; 2+3=5 ir t.t.), kas patvirtina vadinamųjų Fibonačio koeficientų egzistavimą. , t.y pastovūs santykiai.

Fibonačio seka prasideda taip: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

2.

Pilnas Fibonačio skaičių apibrėžimas

3.


Fibonačio sekos savybės

4.

1. Didėjant serijos numeriui, kiekvieno skaičiaus santykis su kitu vis labiau linkęs į 0,618. Kiekvieno skaičiaus santykis su ankstesniu siekia 1,618 (atvirkščiai – 0,618). Skaičius 0,618 vadinamas (FI).

2. Kiekvieną skaičių dalijant iš kito, skaičius 0,382 gaunamas per vienetą; atvirkščiai – atitinkamai 2,618.

3. Taip parinkę santykius, gauname pagrindinę Fibonačio koeficientų aibę: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


Ryšys tarp Fibonačio sekos ir „aukso pjūvio“

6.

Fibonačio seka asimptotiškai (artėja vis lėčiau) linkusi į kažkokį pastovų santykį. Tačiau šis santykis yra neracionalus, tai yra skaičius, kurio trupmeninėje dalyje yra begalinė, nenuspėjama dešimtainių skaitmenų seka. To tiksliai išreikšti negalima.

Jei kuris nors Fibonačio sekos narys yra padalintas iš prieš tai buvusio (pavyzdžiui, 13:8), rezultatas bus vertė, kuri svyruos apie neracionalią reikšmę 1,61803398875... ir po kurio laiko ją viršys arba nepasieks. tai. Tačiau net ir praleidus tam amžinybę, neįmanoma tiksliai žinoti santykio iki paskutinio skaitmens po kablelio. Trumpumo dėlei pateiksime jį 1.618 forma. Specialūs šio santykio pavadinimai buvo pradėti duoti dar prieš tai, kai Luca Pacioli (viduramžių matematikas) pavadino jį Dieviškąja proporcija. Tarp šiuolaikinių jo pavadinimų yra tokių kaip auksinis santykis, aukso vidurkis ir besisukančių kvadratų santykis. Kepleris šį santykį pavadino vienu iš „geometrijos lobių“. Algebroje jis paprastai žymimas graikiška raide phi

Įsivaizduokime aukso pjūvį segmento pavyzdyje.

Apsvarstykite atkarpą su galais A ir B. Tegul taškas C padalina atkarpą AB taip, kad

AC/CB = CB/AB arba

AB/CB = CB/AC.

Galite įsivaizduoti taip: A--C---B

7.

Auksinė pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi taip pat, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnė dalis yra susijusi su didesniu, kaip didesnė su viskuo.

8.

Auksinio pjūvio atkarpos išreiškiamos begaline neracionalia trupmena 0,618 ..., jei AB imamas kaip vienetas, AC = 0,382 .. Kaip jau žinome, skaičiai 0,618 ir 0,382 yra Fibonačio sekos koeficientai.

9.

Fibonačio proporcijos ir aukso pjūvis gamtoje ir istorijoje

10.


Svarbu pažymėti, kad Fibonacci tarsi priminė žmonijai jo seką. Jį žinojo senovės graikai ir egiptiečiai. Iš tiesų, nuo tada Fibonačio koeficientais aprašyti modeliai buvo aptikti gamtoje, architektūroje, vaizduojamajame mene, matematikoje, fizikoje, astronomijoje, biologijoje ir daugelyje kitų sričių. Tiesiog nuostabu, kiek konstantų galima apskaičiuoti naudojant Fibonačio seką ir kaip jos terminai atsiranda daugybėje kombinacijų. Tačiau neperdedant galima teigti, kad tai ne tik skaičių žaidimas, o pati svarbiausia kada nors atrasta matematinė gamtos reiškinių išraiška.

11.

Toliau pateikti pavyzdžiai rodo keletą įdomių šios matematinės sekos pritaikymų.

12.

1. Korpusas susuktas spirale. Jei jį išskleisite, gausite šiek tiek prastesnį ilgį nei gyvatės ilgis. Nedidelis dešimties centimetrų kiautas turi 35 cm ilgio spiralę, Archimedo dėmesį patraukė spirale susisukusio kiauto forma. Faktas yra tas, kad apvalkalo tūrių matavimų santykis yra pastovus ir lygus 1,618. Archimedas ištyrė kriauklių spiralę ir išvedė spiralės lygtį. Pagal šią lygtį nubrėžta spiralė vadinama jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama inžinerijoje.

2. Augalai ir gyvūnai. Net Gėtė pabrėžė gamtos polinkį į spirališkumą. Spiralinis ir spiralinis lapų išsidėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas seniai. Spiralė buvo matyti saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose, ananasuose, kaktusuose ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas atskleidė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad lapų išdėstyme ant saulėgrąžų sėklų šakos, kankorėžių, pasireiškia Fibonacci serija, taigi ir aukso pjūvio dėsnis. Voras sukasi savo tinklą spirale. Uraganas sklinda spirale. Išsigandusi šiaurės elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė yra susukta į dvigubą spiralę. Gėtė spiralę pavadino „gyvenimo kreive“.

Tarp pakelės žolių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo šaka. Štai pirmasis lapas. Procesas stipriai išsviedžia į erdvę, sustoja, paleidžia lapą, bet yra trumpesnis už pirmąjį, vėl išsviedžia į erdvę, bet mažesnės jėgos, paleidžia dar mažesnį lapą ir vėl išmetimas. Jei pirmasis išskirtinis dydis yra 100 vienetų, tada antrasis yra lygus 62 vienetams, trečiasis yra 38, ketvirtasis yra 24 ir pan. Žiedlapių ilgis taip pat priklauso nuo aukso pjūvio. Augdamas, užkariaujant erdvę, augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai auksiniam pjūviui.

Driežas yra gyvas. Drieže iš pirmo žvilgsnio užfiksuojamos mūsų akiai malonios proporcijos - jo uodegos ilgis yra susijęs su likusios kūno dalies ilgiu nuo 62 iki 38.

Tiek augalų, tiek gyvūnų pasaulyje atkakliai prasiveržia gamtos formavimosi tendencija – simetrija augimo ir judėjimo krypties atžvilgiu. Čia auksinis pjūvis atsiranda dalių proporcijose, statmenose augimo krypčiai. Gamta atliko padalijimą į simetriškas dalis ir auksines proporcijas. Dalimis pasireiškia visumos struktūros pasikartojimas.

Pierre'as Curie mūsų amžiaus pradžioje suformulavo daugybę gilių simetrijos idėjų. Jis teigė, kad negalima svarstyti jokio kūno simetrijos neatsižvelgus į aplinkos simetriją. Auksinės simetrijos raštai pasireiškia elementariųjų dalelių energetiniuose perėjimuose, kai kurių cheminių junginių struktūroje, planetinėse ir kosminėse sistemose, gyvų organizmų genų struktūrose. Šie modeliai, kaip nurodyta pirmiau, yra atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia bioritmais ir smegenų funkcionavimu bei vizualiniu suvokimu.

3. Erdvė. Iš astronomijos istorijos žinoma, kad XVIII amžiaus vokiečių astronomas I. Ticijus, naudodamas šią seriją (Fibonacci), atstumuose tarp Saulės sistemos planetų rado dėsningumą ir tvarką.

Tačiau vienas atvejis, kuris atrodė prieštaraujantis įstatymui: tarp Marso ir Jupiterio nebuvo planetos. Tikslus šios dangaus srities stebėjimas leido atrasti asteroido juostą. Tai atsitiko po Ticijaus mirties XIX amžiaus pradžioje.

Fibonacci serija yra plačiai naudojama: jos pagalba jie reprezentuoja gyvų būtybių architektoniką ir žmogaus sukurtas struktūras bei Galaktikų struktūrą. Šie faktai liudija skaičių serijos nepriklausomumą nuo jos pasireiškimo sąlygų, o tai yra vienas iš jos universalumo požymių.

4. Piramidės. Daugelis bandė įminti Gizos piramidės paslaptis. Kitaip nei kitos Egipto piramidės, tai ne kapas, o greičiau neišsprendžiamas skaitinių kombinacijų galvosūkis. Nuostabus piramidės architektų išradingumas, įgūdžiai, laikas ir darbas, kurį jie panaudojo statydami amžinąjį simbolį, rodo itin didelę žinutės, kurią jie norėjo perduoti ateities kartoms, svarbą. Jų era buvo ikiraštinga, ikihieroglifinė, o simboliai buvo vienintelė priemonė fiksuoti atradimus. Raktą į geometrinę-matematinę Gizos piramidės paslaptį, kuri taip ilgai buvo paslaptis žmonijai, iš tikrųjų Herodotui atidavė šventyklos žyniai, kurie pranešė, kad piramidė buvo pastatyta taip, kad kiekvienos iš jų plotas. jo veidų buvo lygus jo aukščio kvadratui.

Trikampio plotas

356 x 440 / 2 = 78320

kvadratinis plotas

280 x 280 = 78400

Gizos piramidės pagrindo krašto ilgis yra 783,3 pėdos (238,7 m), piramidės aukštis - 484,4 pėdos (147,6 m). Pagrindo krašto ilgis, padalintas iš aukščio, lemia santykį Ф=1,618. 484,4 pėdų aukštis atitinka 5813 colių (5-8-13) – tai skaičiai iš Fibonačio sekos. Šie įdomūs pastebėjimai rodo, kad piramidės konstrukcija remiasi santykiu Ф=1,618. Kai kurie šiuolaikiniai mokslininkai linkę aiškinti, kad senovės egiptiečiai jį pastatė vien tam, kad perduotų žinias, kurias norėjo išsaugoti ateities kartoms. Intensyvūs Gizos piramidės tyrimai parodė, kokios plačios tuo metu buvo matematikos ir astrologijos žinios. Visose vidinėse ir išorinėse piramidės proporcijose skaičius 1,618 vaidina pagrindinį vaidmenį.

Piramidės Meksikoje. Ne tik Egipto piramidės buvo pastatytos laikantis tobulų aukso pjūvio proporcijų, toks pat reiškinys aptiktas ir Meksikos piramidėse. Kyla mintis, kad ir Egipto, ir Meksikos piramides maždaug tuo pačiu metu statė bendros kilmės žmonės.

Fibonačio seka, visiems žinoma iš filmo „Da Vinčio kodas“ – tai skaičių serija, kurią kaip mįslę apibūdino italų matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas Fibonačio vardu, XIII amžiuje. Trumpai mįslės esmė:

Kažkas patalpino porą triušių tam tikroje uždaroje erdvėje, norėdamas sužinoti, kiek porų triušių gims per metus, jei triušių prigimtis yra tokia, kad kiekvieną mėnesį triušių pora išaugina dar vieną porą, ir susilaukti palikuonių pasirodo sulaukus dviejų mėnesių.

Fibonačio seka ir triušiai
Rezultatas yra skaičių eilutė: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, kur triušių porų skaičius per kiekvieną iš dvylikos mėnesių rodomas kableliais atskirtas. . Tęsti galima neribotą laiką. Jo esmė ta, kad kiekvienas kitas skaičius yra ankstesnių dviejų suma.

Ši serija turi keletą matematinių ypatybių, kurias reikia paliesti. Jis asimptotiškai (artėja vis lėčiau) linkęs į kažkokį pastovų santykį. Tačiau šis santykis yra neracionalus, tai yra skaičius, kurio trupmeninėje dalyje yra begalinė, nenuspėjama dešimtainių skaitmenų seka. To tiksliai išreikšti negalima.

Taigi bet kurio serijos nario santykis su ankstesniuoju svyruoja apie skaičių 1,618, kartais jį viršydamas, kartais nepasiekdamas. Santykis su kitu panašiai artėja prie skaičiaus 0,618, kuris yra atvirkščiai proporcingas 1,618. Jei elementus padalinsime į vieną, gausime skaičius 2,618 ir 0,382, kurie taip pat yra atvirkščiai proporcingi. Tai yra vadinamieji Fibonačio koeficientai.

Kodėl visa tai?

Taigi artėjame prie vieno paslaptingiausių gamtos reiškinių. Išmanusis Leonardo, tiesą sakant, nieko naujo neatrado, jis tiesiog priminė pasauliui tokį reiškinį kaip Aukso pjūvis, kuris savo svarba nėra prastesnis už Pitagoro teoremą.

Mes išskiriame visus mus supančius objektus, įskaitant formą. Vieni mėgstame labiau, kiti mažiau, kai kurie visiškai atstumia akį. Kartais susidomėjimą gali padiktuoti gyvenimiška situacija, o kartais – stebimo objekto grožis. Simetriška ir proporcinga forma, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir sukelia grožio bei harmonijos pojūtį. Holistinis įvaizdis visada susideda iš skirtingų dydžių dalių, kurios yra tam tikrame santykyje viena su kita ir visuma. Auksinis pjūvis yra aukščiausia visumos ir jos dalių tobulumo apraiška moksle, mene ir gamtoje.

Jei paprastas pavyzdys, tai aukso pjūvis yra segmento padalijimas į dvi dalis tokiu santykiu, kuriame didesnė dalis yra susijusi su mažesne, o jų suma (visas segmentas) - su didesne.

Aukso pjūvis – iškirpti
Jei visą atkarpą c imsime 1, tai atkarpa a bus lygi 0,618, atkarpa b - 0,382, tik tokiu būdu bus įvykdyta Aukso pjūvio sąlyga (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). C ir a santykis yra 1,618, o c ir b yra 2,618. Tai visi tie patys, mums jau žinomi Fibonačio koeficientai.

Žinoma, yra auksinis stačiakampis, auksinis trikampis ir net auksinis stačiakampis. Žmogaus kūno proporcijos daugeliu atžvilgių yra artimos aukso pjūviui.

Aukso santykis ir žmogaus kūnas


Vaizdas: marcus-frings.de

Fibonačio seka – animacija

Tačiau įdomiausia prasideda, kai sujungiame įgytas žinias. Paveiksle aiškiai parodytas ryšys tarp Fibonačio sekos ir auksinio santykio. Pradedame nuo dviejų pirmojo dydžio kvadratų. Iš viršaus pridedame antrojo dydžio kvadratą. Dažome šalia kvadrato, kurio kraštinė lygi ankstesnių dviejų, trečiojo dydžio, kraštinių sumai. Pagal analogiją atsiranda penkto dydžio kvadratas. Ir taip toliau, kol neatsibosta, svarbiausia, kad kiekvieno kito kvadrato kraštinės ilgis būtų lygus dviejų ankstesnių kraštinių ilgių sumai. Matome eilę stačiakampių, kurių kraštinių ilgiai yra Fibonačio skaičiai, ir, kaip bebūtų keista, jie vadinami Fibonačio stačiakampiais.

Jei per savo kvadratų kampus nubrėžtume lygią liniją, gautume tik Archimedo spiralę, kurios žingsnio padidėjimas visada yra vienodas.

Fibonačio spiralė

Ar tai nieko neprimena?

Nuotraukų kreditas: ethanhein „Flickr“.

Ir ne tik moliusko kiaute galite rasti Archimedo spiralių, bet ir daugelyje gėlių ir augalų, jie tiesiog nėra tokie akivaizdūs.

Daugialapis alavijas:


Nuotrauka: brewbooks „Flickr“.

Brokoliai Romanesco:


Nuotrauka: beart.org.uk

Saulėgrąžos:


Nuotrauka: esdrascalderan „Flickr“.

Kankorėžis:


Nuotrauka: manj98 „Flickr“.

Ir tada laikas prisiminti Aukso pjūvį! Ar šiose nuotraukose pavaizduoti gražiausi ir harmoningiausi gamtos kūriniai? Ir tai dar ne viskas. Atidžiau pažvelgę ​​galite rasti panašių įvairių formų modelių.

Žinoma, teiginys, kad visi šie reiškiniai yra paremti Fibonačio seka, skamba per garsiai, tačiau tendencija yra ant veido. Be to, ji pati toli gražu nėra tobula, kaip ir visa kita šiame pasaulyje.

Spėliojama, kad Fibonačio serija yra gamtos bandymas prisitaikyti prie fundamentalesnės ir tobulesnės auksinės pjūvio logaritminės sekos, kuri yra beveik tokia pati, tik prasideda iš niekur ir niekur nedingsta. Kita vertus, gamtai būtinai reikia kažkokios ištisos pradžios, nuo kurios galėtum atsispirti, ji negali iš nieko sukurti kažko. Pirmųjų Fibonačio sekos narių santykiai yra toli nuo aukso pjūvio. Bet kuo toliau juo judame, tuo labiau šie nukrypimai išsilygina. Norint nustatyti bet kurią seriją, pakanka žinoti tris jos narius, einančius vieną po kito. Bet ne auksinei sekai, jai užtenka dviejų, tai geometrinė ir aritmetinė progresija vienu metu. Galite manyti, kad tai yra visų kitų sekų pagrindas.

Kiekvienas auksinės logaritminės sekos narys yra auksinio santykio (z) laipsnis. Dalis eilutės atrodo maždaug taip: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Jei Auksinio santykio reikšmę suapvalintume iki trijų skaičių po kablelio, gautume z=1,618, tai seka atrodys taip: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; vienas; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Kiekvieną kitą terminą galima gauti ne tik padauginus ankstesnįjį iš 1,618, bet ir sudėjus du ankstesnius. Taigi eksponentinis augimas pasiekiamas tiesiog pridedant du gretimus elementus. Tai serija be pradžios ir pabaigos, ir būtent į tokią bando atrodyti Fibonačio seka. Turėdamas aiškiai apibrėžtą pradžią, jis siekia idealo, niekada jo nepasiekdamas. Toks gyvenimas.

Ir vis dėlto dėl visko, kas matyta ir perskaityta, kyla gana natūralūs klausimai:
Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra šis visatos architektas, kuris bandė ją padaryti tobulą? Ar kada nors buvo taip, kaip jis norėjo? Ir jei taip, kodėl nepavyko? Mutacijos? Laisvas pasirinkimas? Kas bus toliau? Ar ritė sukasi ar atsisuka?

Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite kitą. Jei tai išspręsite, gausite du naujus. Susitvarkyk su jais, atsiras dar trys. Jas išsprendę, įsigysite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, tada trylika, 21, 34, 55...