Arba jau išspręstos išvestinės atžvilgiu, arba jos gali būti išspręstos išvestinės atžvilgiu .

Bendras intervalo tipo diferencialinių lygčių sprendimas X, kuris pateiktas, galima rasti imant abiejų šios lygybės pusių integralą.

Gauk .

Jei pažvelgsime į neapibrėžto integralo savybes, rasime norimą bendrąjį sprendimą:

y = F(x) + C,

kur F(x)- vienas iš funkcijos antidarinių f(x) tarp X, bet NUO yra savavališka konstanta.

Atkreipkite dėmesį, kad daugumoje užduočių intervalas X nenurodyti. Tai reiškia, kad sprendimas turi būti rastas kiekvienam. x, kuriai ir norima funkcija y, o pradinė lygtis turi prasmę.

Jei reikia apskaičiuoti tam tikrą diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą y(x0) = y0, tada apskaičiavus bendrąjį integralą y = F(x) + C, vis tiek reikia nustatyti konstantos reikšmę C=C0 naudojant pradinę sąlygą. Tai yra, konstanta C=C0 nustatoma iš lygties F(x 0) + C = y 0, o norimas konkretus diferencialinės lygties sprendimas bus toks:

y = F(x) + C0.

Apsvarstykite pavyzdį:

Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį, patikrinkite rezultato teisingumą. Raskime konkretų šios lygties sprendinį, kuris tenkintų pradinę sąlygą .

Sprendimas:

Integravę pateiktą diferencialinę lygtį, gauname:

.

Šį integralą imame integravimo dalimis metodu:

Tai., yra bendras diferencialinės lygties sprendinys.

Patikrinkime, ar rezultatas teisingas. Norėdami tai padaryti, rastą sprendimą pakeičiame į pateiktą lygtį:

.

Tai yra, prie pradinė lygtis virsta tapatybe:

todėl bendras diferencialinės lygties sprendinys buvo nustatytas teisingai.

Sprendimas, kurį radome, yra bendras kiekvienos tikrosios argumento vertės diferencialinės lygties sprendimas x.

Belieka apskaičiuoti konkretų ODE sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą. Kitaip tariant, reikia apskaičiuoti konstantos reikšmę NUO, kurioje lygybė bus teisinga:

.

.

Tada, pakeičiant C = 2Į bendrą ODE sprendimą gauname konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą:

.

Paprastoji diferencialinė lygtis Išvestinės atžvilgiu galima išspręsti 2 lygties dalis padalijus iš f(x). Ši transformacija bus lygiavertė, jei f(x) niekaip nenueina iki nulio x nuo diferencialinės lygties integravimo intervalo X.

Tikėtinos situacijos, kai dėl kai kurių argumento verčių x ∈ X funkcijas f(x) Ir g(x) tuo pačiu metu pasukti į nulį. Dėl panašių vertybių x bendrasis diferencialinės lygties sprendimas yra bet kuri funkcija y, kuris juose apibrėžtas, nes .

Jei kai kurioms argumento reikšmėms x ∈ X sąlyga yra įvykdyta, o tai reiškia, kad šiuo atveju ODE neturi sprendimų.

Visiems kitiems x nuo intervalo X iš transformuotos lygties nustatomas bendrasis diferencialinės lygties sprendinys.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1 pavyzdys

Raskime bendrą ODE sprendimą: .

Sprendimas.

Iš pagrindinių elementariųjų funkcijų savybių aišku, kad natūralaus logaritmo funkcija yra apibrėžta neneigiamoms argumento reikšmėms, todėl išraiškos sritis žurnalas (x+3) yra intervalas x > -3 . Taigi pateikta diferencialinė lygtis yra prasminga x > -3 . Su šiomis argumento reikšmėmis išraiška x + 3 neišnyksta, todėl ODE išvestinės atžvilgiu galima išspręsti padalijus 2 dalis iš x + 3.

Mes gauname .

Toliau integruojame gautą diferencialinę lygtį, išspręstą atsižvelgiant į išvestinę: . Norėdami paimti šį integralą, naudojame susumavimo metodą pagal diferencialo ženklą.

6.1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR APIBRĖŽIMAI

Sprendžiant įvairius matematikos ir fizikos, biologijos ir medicinos uždavinius, gana dažnai nepavyksta iš karto nustatyti funkcinės priklausomybės formulės, susiejančios tiriamą procesą apibūdinančius kintamuosius, forma. Paprastai reikia naudoti lygtis, kuriose, be nepriklausomo kintamojo ir nežinomos funkcijos, yra ir jo išvestiniai.

Apibrėžimas. Vadinama lygtis, susijusi su nepriklausomu kintamuoju, nežinoma funkcija ir įvairių eilių jos išvestinėmis diferencialas.

Nežinoma funkcija paprastai žymima y(x) arba tiesiog y, o jo dariniai yra y", y" ir tt

Galimi ir kiti žymėjimai, pavyzdžiui: jeigu y= x(t), tada x"(t), x""(t) yra jos dariniai ir t yra nepriklausomas kintamasis.

Apibrėžimas. Jei funkcija priklauso nuo vieno kintamojo, tai diferencialinė lygtis vadinama įprasta. Bendra forma Įprasta diferencialinė lygtis:

arba

Funkcijos F Ir f gali nebūti kai kurių argumentų, bet norint, kad lygtys būtų diferencinės, būtina turėti išvestinę.

Apibrėžimas.Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios į jį įtrauktos išvestinės eilės tvarka.

Pavyzdžiui, x 2 m.- y= 0, y" + sin x= 0 yra pirmos eilės lygtys ir y"+ 2 y"+ 5 y= x yra antros eilės lygtis.

Sprendžiant diferencialines lygtis, naudojama integravimo operacija, kuri yra susijusi su savavališkos konstantos atsiradimu. Jei taikomas integravimo veiksmas n kartų, tada, aišku, tirpale bus n savavališkos konstantos.

6.2. PIRMOSIOS NUOSTATOS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

Bendra forma pirmos eilės diferencialinė lygtis yra apibrėžtas išraiška

Lygtyje negali būti aiškiai nurodyta x Ir y, bet būtinai turi y“.

Jei lygtį galima parašyti kaip

tada gauname išvestinės atžvilgiu išspręstą pirmos eilės diferencialinę lygtį.

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinės lygties (6.3) (arba (6.4)) bendrasis sprendinys yra sprendinių aibė , kur NUO yra savavališka konstanta.

Diferencialinės lygties sprendimo grafikas vadinamas integralinė kreivė.

Pateikiant savavališką konstantą NUO skirtingas vertes, galima gauti konkrečius sprendimus. Ant paviršiaus xOy bendrasis sprendimas yra integralinių kreivių šeima, atitinkanti kiekvieną konkretų sprendimą.

Jei nustatysite tašką A(x0, y0), per kurią turi praeiti integralinė kreivė, tada, kaip taisyklė, iš funkcijų aibės galima išskirti vieną – konkretų sprendimą.

Apibrėžimas.Privatus sprendimas Diferencialinės lygties sprendimas yra jos sprendimas, kuriame nėra savavališkų konstantų.

Jeigu yra bendras sprendimas, tada nuo sąlygos

galite rasti nuolatinį NUO. Būklė vadinama pradinė būklė.

Problema rasti konkretų diferencialinės lygties (6.3) arba (6.4) sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą adresu paskambino Koši problema. Ar ši problema visada turi sprendimą? Atsakymas pateiktas šioje teoremoje.

Koši teorema(sprendinio egzistavimo ir unikalumo teorema). Įveskite diferencialinę lygtį y"= f(x, y) funkcija f(x, y) ir ji

dalinė išvestinė apibrėžtas ir kai kuriose nenutrūkstamas

srityse D, kuriame yra taškas Tada rajone D egzistuoja

vienintelis lygties sprendimas, tenkinantis pradinę sąlygą adresu

Koši teorema teigia, kad tam tikromis sąlygomis egzistuoja unikali integralo kreivė y= f(x), einantis per tašką Taškai, kuriuose netenkinamos teoremos sąlygos

Katės vadinamos ypatingas. Pertraukos šiuose taškuose f(x, y) arba.

Arba kelios integralinės kreivės eina per vienaskaitos tašką, arba nė vienos.

Apibrėžimas. Jei formoje randamas sprendimas (6.3), (6.4). f(x, y, c)= 0 neleidžiama y atžvilgiu, tada jis vadinamas bendras integralas diferencialinė lygtis.

Koši teorema tik garantuoja, kad sprendimas egzistuoja. Kadangi nėra vieno sprendimo rasti metodą, nagrinėsime tik kai kuriuos pirmos eilės diferencialinių lygčių tipus, kuriuos galima integruoti kvadratai.

Apibrėžimas. Diferencialinė lygtis vadinama integruojamas kvadratais, jeigu jos sprendimo paieška redukuojama į funkcijų integravimą.

6.2.1. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Apibrėžimas. Pirmos eilės diferencialinė lygtis vadinama lygtimi su atskiriami kintamieji,

Dešinė lygties pusė (6.5) yra dviejų funkcijų sandauga, kurių kiekviena priklauso tik nuo vieno kintamojo.

Pavyzdžiui, lygtis yra lygtis su atskyrimu

perduodant kintamuosius
ir lygtis

negali būti pavaizduotas formoje (6.5).

Turint omenyje , perrašome (6.5) kaip

Iš šios lygties gauname diferencialinę lygtį su atskirtais kintamaisiais, kurioje diferencialuose yra funkcijos, kurios priklauso tik nuo atitinkamo kintamojo:

Integruodami terminą po termino turime

kur C = C 2 - C 1 yra savavališka konstanta. Išraiška (6.6) yra bendrasis lygties (6.5) integralas.

Abi (6.5) lygties dalis padalijus iš , galime prarasti tuos sprendinius, kuriems Tikrai, jei adresu

tada akivaizdžiai yra (6.5) lygties sprendimas.

1 pavyzdys Raskite tenkinantį lygties sprendimą

sąlyga: y= 6 val x= 2 (y(2) = 6).

Sprendimas. Pakeiskime prie" už tada . Padauginkite abi puses iš

dx, kadangi tolimesnėje integracijoje pasitraukti neįmanoma dx vardiklyje:

o tada padalijus abi dalis iš gauname lygtį,

kurias galima integruoti. Mes integruojame:

Tada ; stiprindami gauname y = C . (x + 1) - ob-

sprendimas.

Remdamiesi pradiniais duomenimis, nustatome savavališką konstantą, pakeisdami jas į bendrą sprendimą

Pagaliau gauname y= 2(x + 1) yra tam tikras sprendimas. Apsvarstykite dar kelis lygčių su atskiriamais kintamaisiais sprendimo pavyzdžius.

2 pavyzdys Raskite lygties sprendimą

Sprendimas. Turint omenyje , mes gauname .

Integruodami abi lygties puses, turime

kur

3 pavyzdys Raskite lygties sprendimą Sprendimas. Abi lygties dalis padalijame iš tų faktorių, kurie priklauso nuo kintamojo, kuris nesutampa su kintamuoju po diferencialiniu ženklu, t.y. ir integruoti. Tada gauname

ir, galiausiai

4 pavyzdys Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.Žinodami, ką gausime. Skyrius-

lim kintamieji. Tada

Integruodami gauname

komentuoti. 1 ir 2 pavyzdžiuose norima funkcija y išreikštas aiškiai (bendras sprendimas). 3 ir 4 pavyzdžiuose – netiesiogiai (bendrasis integralas). Ateityje sprendimo forma nebus patikslinta.

5 pavyzdys Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

6 pavyzdys Raskite lygties sprendimą patenkinti

sąlyga y(e)= 1.

Sprendimas. Rašome lygtį formoje

Abi lygties puses padauginus iš dx ir toliau, gauname

Integruodami abi lygties puses (dešinės pusės integralas paimamas dalimis), gauname

Bet pagal sąlygą y= 1 val x= e. Tada

Pakeiskite rastas reikšmes NUOį bendrą sprendimą:

Gauta išraiška vadinama tam tikru diferencialinės lygties sprendimu.

6.2.2. Pirmos eilės vienarūšės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinė lygtis vadinama vienalytis jei jį galima pavaizduoti kaip

Pateikiame vienalytės lygties sprendimo algoritmą.

1. Vietoj to yĮveskite naują funkciją Tada taigi

2. Kalbant apie funkciją u lygtis (6.7) įgauna formą

y., pakeitimas sumažina vienalytę lygtį į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.

3. Išspręsdami (6.8) lygtį, pirmiausia randame u, o tada y= ux.

1 pavyzdys išspręsti lygtį Sprendimas. Rašome lygtį formoje

Mes atliekame pakeitimą:
Tada

Pakeiskime

Padauginkite iš dx: Padalinti iš x ir toliau tada

Integravę abi lygties dalis atitinkamų kintamųjų atžvilgiu, turime

arba, grįždami prie senųjų kintamųjų, pagaliau gauname

2 pavyzdysišspręsti lygtį Sprendimas.Leisti būti tada

Padalinkite abi lygties puses iš x2: Atidarykime skliaustus ir pakeiskime terminus:

Pereinant prie senų kintamųjų, gauname galutinį rezultatą:

3 pavyzdysRaskite lygties sprendimą su salyga

Sprendimas.Atliekamas standartinis pakeitimas mes gauname

arba

arba

Taigi konkretus sprendimas turi formą 4 pavyzdys Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.

5 pavyzdysRaskite lygties sprendimą Sprendimas.

Savarankiškas darbas

Raskite diferencialinių lygčių su atskiriamais kintamaisiais sprendimą (1-9).

Raskite vienalyčių diferencialinių lygčių sprendimą (9-18).

6.2.3. Kai kurios pirmosios eilės diferencialinių lygčių taikymas

Radioaktyvaus skilimo problema

Ra (radžio) skilimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas jo turimai masei. Raskite Ra radioaktyvaus skilimo dėsnį, jei žinoma, kad pradiniu momentu buvo Ra ir Ra pusinės eliminacijos laikas yra 1590 metų.

Sprendimas. Tegul šiuo metu masė Ra būna x= x(t) g ir Tada Ra skilimo greitis yra

Pagal užduotį

kur k

Atskirdami paskutinės lygties kintamuosius ir integruodami, gauname

kur

Norėdami nustatyti C Mes naudojame pradinę sąlygą: .

Tada ir todėl,

Proporcingumo koeficientas k nustatoma pagal papildomą sąlygą:

Mes turime

Iš čia ir norimą formulę

Bakterijų dauginimosi greičio problema

Bakterijų dauginimosi greitis yra proporcingas jų skaičiui. Iš pradžių buvo 100 bakterijų. Per 3 valandas jų skaičius padvigubėjo. Raskite bakterijų skaičiaus priklausomybę nuo laiko. Kiek kartų per 9 valandas padidės bakterijų skaičius?

Sprendimas. Leisti būti x- bakterijų skaičius šiuo metu t. Tada, atsižvelgiant į būklę,

kur k- proporcingumo koeficientas.

Iš čia Iš sąlygos žinoma, kad . Reiškia,

Iš papildomos sąlygos . Tada

Reikalinga funkcija:

Taigi, at t= 9 x= 800, t.y. per 9 valandas bakterijų skaičius išaugo 8 kartus.

Užduotis padidinti fermento kiekį

Alaus mielių kultūroje aktyvaus fermento augimo greitis yra proporcingas pradiniam jo kiekiui. x. Pradinis fermento kiekis a padvigubėjo per valandą. Raskite priklausomybę

x(t).

Sprendimas. Pagal sąlygą proceso diferencialinė lygtis turi formą

iš čia

Bet . Reiškia, C= a ir tada

Taip pat žinoma, kad

Vadinasi,

6.3. ANTROS EIOS DIFFERENCINĖS LYGTYBĖS

6.3.1. Pagrindinės sąvokos

Apibrėžimas.Antros eilės diferencialinė lygtis vadinamas ryšys, jungiantis nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos pirmąją bei antrąją išvestines.

Ypatingais atvejais lygtyje x gali nebūti, adresu arba y". Tačiau antros eilės lygtyje būtinai turi būti y". Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip:

arba, jei įmanoma, tokia forma, kuri leidžiama antrajam dariniui:

Kaip ir pirmosios eilės lygties atveju, antros eilės lygtis gali turėti bendrąjį ir tam tikrą sprendinį. Bendras sprendimas atrodo taip:

Privataus sprendimo paieška

pradinėmis sąlygomis – duota

numeris) skambinama Koši problema. Geometriškai tai reiškia, kad reikia rasti integralo kreivę adresu= y(x), einantis per tam tikrą tašką ir šiame taške turintis liestinę, kuri yra apie

šakės su teigiama ašies kryptimi Jautis nurodytas kampas. e. (6.1 pav.). Koši problema turi unikalų sprendimą, jei (6.10) lygties dešinė pusė, neiš anksto

yra nenutrūkstamas ir turi ištisines dalines išvestines tu, tu" kurioje nors pradinio taško kaimynystėje

Norėdami rasti pastovų įtrauktas į konkretų sprendimą, būtina leisti sistemą

Ryžiai. 6.1. integralinė kreivė

I. Paprastosios diferencialinės lygtys

1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį x, norima funkcija y ir jo dariniai arba diferencialai.

Simboliškai diferencialinė lygtis parašyta taip:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferencialinė lygtis vadinama įprasta, jei norima funkcija priklauso nuo vieno nepriklausomo kintamojo.

Išspręsdami diferencialinę lygtį vadinama tokia funkcija, kuri šią lygtį paverčia tapatybe.

Diferencialinės lygties tvarka yra šios lygties aukščiausios išvestinės eilės tvarka

Pavyzdžiai.

1. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį

Šios lygties sprendimas yra funkcija y = 5 ln x. Iš tiesų, pakeičiant y"į lygtį gauname tapatybę.

O tai reiškia, kad funkcija y = 5 ln x– yra šios diferencialinės lygties sprendinys.

2. Apsvarstykite antros eilės diferencialinę lygtį y" – 5y" + 6y = 0. Funkcija yra šios lygties sprendimas.

Tikrai,.

Pakeitę šias išraiškas į lygtį, gauname: , - tapatybę.

Ir tai reiškia, kad funkcija yra šios diferencialinės lygties sprendimas.

Diferencialinių lygčių integravimas yra diferencialinių lygčių sprendimų paieškos procesas.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas vadinama formos funkcija , kuri apima tiek nepriklausomų savavališkų konstantų, kiek yra lygties tvarka.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendiniu, gautu iš bendro sprendimo skirtingoms savavališkų konstantų skaitinėms vertėms. Savavališkų konstantų reikšmės randamos esant tam tikroms pradinėms argumento ir funkcijos reikšmėms.

Tam tikro diferencialinės lygties sprendinio grafikas vadinamas integralinė kreivė.

Pavyzdžiai

1. Raskite konkretų pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimą

xdx + ydy = 0, jei y= 4 val x = 3.

Sprendimas. Integruodami abi lygties puses, gauname

komentuoti. Savavališka konstanta C, gauta integruojant, gali būti pavaizduota bet kokia forma, patogia tolimesnėms transformacijoms. Šiuo atveju, atsižvelgiant į kanoninę apskritimo lygtį, savavališką konstantą С patogu pavaizduoti formoje .

yra bendras diferencialinės lygties sprendinys.

Tam tikras lygties sprendimas, tenkinantis pradines sąlygas y = 4 val x = 3 randamas iš bendrosios, pradines sąlygas pakeitus bendruoju sprendiniu: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Į bendrąjį sprendinį pakeitę C=5, gauname x2+y2 = 5 2 .

Tai yra specialus diferencialinės lygties sprendimas, gautas iš bendrojo sprendimo tam tikromis pradinėmis sąlygomis.

2. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį

Šios lygties sprendimas yra bet kuri formos funkcija, kur C yra savavališka konstanta. Iš tiesų, pakeisdami lygtis, gauname: , .

Todėl ši diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių, nes skirtingoms konstantos C reikšmėms lygybė nustato skirtingus lygties sprendinius.

Pavyzdžiui, tiesioginiu pakeitimu galima patikrinti, ar funkcijos veikia yra lygties sprendiniai.

Problema, kurioje reikia rasti tam tikrą lygties sprendimą y" = f(x, y) tenkinantis pradinę sąlygą y(x0) = y0, vadinama Koši problema.

Lygties sprendimas y" = f(x, y), atitinkantys pradinę sąlygą, y(x0) = y0, vadinamas Koši problemos sprendimu.

Koši uždavinio sprendimas turi paprastą geometrinę reikšmę. Iš tiesų, pagal šiuos apibrėžimus, išspręsti Koši problemą y" = f(x, y) su salyga y(x0) = y0, reiškia lygties integralinės kreivės radimą y" = f(x, y) kuris eina per tam tikrą tašką M0 (x0,y 0).

II. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

2.1. Pagrindinės sąvokos

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis yra formos lygtis F(x,y,y") = 0.

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis apima pirmąją išvestinę ir neapima aukštesnės eilės išvestinių.

Lygtis y" = f(x, y) vadinama pirmosios eilės lygtimi, išspręsta išvestinės atžvilgiu.

Bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurioje yra viena savavališka konstanta.

Pavyzdys. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį.

Šios lygties sprendimas yra funkcija .

Iš tiesų, šią lygtį pakeitę jos verte, gauname

t.y 3x = 3x

Todėl funkcija yra bendras bet kurios konstantos C lygties sprendimas.

Raskite konkretų šios lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą y(1)=1 Pradinių sąlygų pakeitimas x = 1, y = 1į bendrąjį lygties sprendinį gauname iš kur C=0.

Taigi, mes gauname konkretų sprendimą iš bendrojo, pakeisdami į šią lygtį gautą reikšmę C=0 yra privatus sprendimas.

2.2. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais yra tokios formos lygtis: y"=f(x)g(y) arba per diferencialus, kur f(x) Ir g(y) suteikiamos funkcijos.

Tiems y, kuriam , lygtis y"=f(x)g(y) yra lygiavertis lygčiai kuriame kintamasis y yra tik kairėje pusėje, o kintamasis x yra tik dešinėje. Jie sako: „lygybėje y"=f(x)g(y atskiriant kintamuosius.

Tipo lygtis vadinama atskirtųjų kintamųjų lygtimi.

Integravus abi lygties dalis įjungta x, mes gauname G(y) = F(x) + C yra lygties bendrasis sprendinys, kur G(y) Ir F(x) yra kai kurie antidariniai, atitinkamai, funkcijų ir f(x), C savavališka konstanta.

Pirmos eilės diferencialinės lygties su atskiriamais kintamaisiais sprendimo algoritmas

1 pavyzdys

išspręskite lygtį y" = xy

Sprendimas. Funkcijos išvestinė y" pakeisti

mes atskiriame kintamuosius

Integruokime abi lygybės dalis:

2 pavyzdys

2yy" = 1-3x 2, jei y 0 = 3 adresu x0 = 1

Tai atskirta kintamųjų lygtis. Pavaizduokime jį diferencialais. Norėdami tai padaryti, perrašome šią lygtį į formą Iš čia

Integruodami abi paskutinės lygybės dalis, randame

Pradinių reikšmių pakeitimas x 0 = 1, y 0 = 3 rasti NUO 9=1-1+C, t.y. C = 9.

Todėl norimas dalinis integralas bus arba

3 pavyzdys

Parašykite kreivės, einančios per tašką, lygtį M(2;-3) ir turintys liestinę su nuolydžiu

Sprendimas. Pagal būklę

Tai yra atskiriama kintamųjų lygtis. Padalinę kintamuosius, gauname:

Integravę abi lygties dalis, gauname:

Naudojant pradines sąlygas, x=2 Ir y=-3 rasti C:

Todėl norima lygtis turi formą

2.3. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra formos lygtis y" = f(x)y + g(x)

kur f(x) Ir g(x)- kai kurios nurodytos funkcijos.

Jeigu g(x)=0 tada tiesinė diferencialinė lygtis vadinama vienalyte ir turi tokią formą: y" = f(x)y

Jei tada lygtis y" = f(x)y + g(x) vadinamas heterogenišku.

Bendrasis tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y pateikiama pagal formulę: kur NUO yra savavališka konstanta.

Visų pirma, jei C \u003d 0, tada sprendimas yra y=0 Jei tiesinė vienalytė lygtis turi formą y" = ky kur k yra tam tikra konstanta, tada jos bendrasis sprendinys turi formą: .

Bendrasis tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y + g(x) pateikta pagal formulę ,

tie. yra lygi atitinkamos tiesinės vienalytės lygties bendrojo sprendinio ir šios lygties konkretaus sprendinio sumai.

Tiesinei nehomogeninei formos lygčiai y" = kx + b,

kur k Ir b- kai kurie skaičiai ir konkretus sprendimas bus pastovi funkcija . Todėl bendras sprendimas turi formą .

Pavyzdys. išspręskite lygtį y" + 2y +3 = 0

Sprendimas. Lygtį pavaizduojame formoje y" = -2y - 3 kur k=-2, b=-3 Bendras sprendimas pateikiamas formule .

Todėl kur C yra savavališka konstanta.

2.4. Pirmosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas Bernulio metodu

Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygties bendro sprendimo radimas y" = f(x)y + g(x) redukuoja į dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais sprendimą, naudojant pakaitalą y=uv, kur u Ir v- nežinomos funkcijos iš x. Šis sprendimo būdas vadinamas Bernulio metodu.

Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimo algoritmas

y" = f(x)y + g(x)

1. Įveskite pakaitalą y=uv.

2. Išskirkite šią lygybę y"=u"v + uv"

3. Pakaitalas y Ir y"į šią lygtį: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) arba u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Sugrupuokite lygties narius taip u išimkite jį iš skliaustų:

5. Iš skliausto, prilygindami jį nuliui, raskite funkciją

Tai yra atskiriama lygtis:

Padalinkite kintamuosius ir gaukite:

Kur . .

6. Pakeiskite gautą reikšmę vį lygtį (iš 4 punkto):

ir raskite funkciją Tai yra atskiriama lygtis:

7. Bendrąjį sprendimą parašykite tokia forma: , t.y. .

1 pavyzdys

Raskite konkretų lygties sprendimą y" = -2y +3 = 0 jeigu y = 1 adresu x=0

Sprendimas. Išspręskime tai pakeisdami y=uv,.y"=u"v + uv"

Pakeičiant y Ir y"į šią lygtį gauname

Grupuodami antrąjį ir trečiąjį dėmenis kairėje lygties pusėje, išimame bendrą koeficientą u iš skliaustų

Išraišką skliausteliuose prilyginame nuliui ir išsprendę gautą lygtį randame funkciją v = v(x)

Gavome lygtį su atskirtais kintamaisiais. Integruojame abi šios lygties dalis: Raskite funkciją v:

Pakeiskite gautą vertę vį lygtį gauname:

Tai atskirta kintamųjų lygtis. Integruojame abi lygties dalis: Raskime funkciją u = u(x,c) Raskime bendrą sprendimą: Raskime tam tikrą lygties sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas y = 1 adresu x=0:

III. Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys

3.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Antros eilės diferencialinė lygtis yra lygtis, turinti ne aukštesnes nei antrosios eilės išvestines. Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip: F(x,y,y,y") = 0

Bendras antros eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurią sudaro dvi savavališkos konstantos C1 Ir C2.

Konkretus antrosios eilės diferencialinės lygties sprendimas yra kai kurių savavališkų konstantų verčių sprendimas, gautas iš bendrosios. C1 Ir C2.

3.2. Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastovūs santykiai.

Antros eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais vadinama formos lygtimi y" + py" + qy = 0, kur p Ir q yra pastovios vertės.

Antros eilės vienalyčių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo algoritmas

1. Parašykite diferencialinę lygtį tokia forma: y" + py" + qy = 0.

2. Sudarykite jos charakteristikos lygtį, pažymėdami y" skersai r2, y" skersai r, y 1: r2 + pr +q = 0

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimo pavyzdžiai.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą eiliniam pasauliečiui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo siaubingos ir sunkiai įsisavinamos. Uuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip aš visa tai išgyvenčiau?!

Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės neteisingas, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS YRA PAPRASTOS IR NET LINKSINGOS. Ką reikia žinoti ir mokėti spręsti diferencialines lygtis? Norėdami sėkmingai studijuoti difuzorus, turite mokėti integruotis ir diferencijuoti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė Ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau neblogų integracijos įgūdžių, tada tema praktiškai įvaldyta! Kuo daugiau įvairių tipų integralų galėsite išspręsti, tuo geriau. Kodėl? Reikia daug integruotis. Ir atskirti. Taip pat labai rekomenduojama išmokti rasti.

95% atvejų bandomuosiuose darbuose yra 3 pirmos eilės diferencialinių lygčių tipai: atskiriamas lygtis, kurią aptarsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys Ir tiesinės nehomogeninės lygtys. Pradedantiesiems studijuoti difuzorius patariu perskaityti pamokas tokia seka, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius, nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys, kurios redukuoja į vienarūšes.

Yra dar retesnių diferencialinių lygčių tipų: lygtys suminiuose diferencialuose, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Iš paskutinių dviejų tipų svarbiausios yra lygtys bendruosiuose diferencialuose, nes be šio DE, svarstau apie naują medžiagą - dalinė integracija.

Jei liko tik diena ar dvi, tada itin greitam paruošimui valgyti žaibo kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti – eime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys:. Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia surasti skaičių rinkinys kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį: . Kad būtų smagu, patikrinkime, pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas rastas teisingai.

Difuzijos yra išdėstytos panašiai!

Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis ;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė: .

Kai kuriose pirmos eilės lygtyse gali nebūti „x“ arba (ir) „y“, tačiau tai nėra būtina – svarbu kad DU buvo pirmasis vedinys ir neturėjo aukštesnio laipsnio vediniai - , ir kt.

Ką reiškia ? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų rinkinys kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą ( yra savavališka konstanta), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna amunicija. Kur pradėti sprendimas?

Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Primename sudėtingą užrašymą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. Būtent tai valdo difuzoriuose!

Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma suskaidyti kintamuosius? Ką reiškia atskirti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "žaidimai", bet dešinėje pusėje organizuoti tik x. Kintamųjų atskyrimas atliekamas „mokyklinių“ manipuliacijų pagalba: skliausteliuose, terminų perkėlimas iš dalies į dalį su ženklo keitimu, veiksnių perkėlimas iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visiški karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Šiame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami apvertimo koeficientais pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje – tik „Žaidimas“, dešinėje – tik „X“.

Kitas etapas - diferencialinių lygčių integravimas. Tai paprasta, ant abiejų dalių pakabiname integralus:

Žinoma, reikia imti integralus. Šiuo atveju jie yra lentelėse:

Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Čia yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (nes konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai). Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „y“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas numanomame forma. Netiesioginis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas. Tai yra bendrasis integralas.

Atsakymas tokia forma yra gana priimtinas, bet ar yra geresnis pasirinkimas? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

Prašau, prisiminkite pirmąją techniką, tai labai įprasta ir dažnai naudojama atliekant praktines užduotis: jei po integravimo dešinėje pusėje atsiranda logaritmas, tai daugeliu atvejų (bet jokiu būdu ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.

T.y, VIETOJ dažniausiai rašomi įrašai .

Kam to reikia? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „y“. Mes naudojame logaritmų savybę . Tokiu atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Atsakymus į daugelį diferencialinių lygčių gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai, imame rastą sprendimą ir jį išskiriame:

Tada išvestinę pakeičiame į pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas atitinka lygtį, kurią reikėjo patikrinti.

Pateikdami konstantą skirtingas vertes, galite gauti begalinį skaičių privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų , , ir kt. tenkina diferencialinę lygtį .

Kartais vadinamas bendrasis sprendimas funkcijų šeima. Šiame pavyzdyje bendras sprendimas yra linijinių funkcijų šeima, o tiksliau, tiesioginių proporcingumo šeima.

Išsamiai aptarus pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į keletą naivių klausimų apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mums pavyko atskirti kintamuosius. Ar visada įmanoma tai padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamieji negali būti atskirti. Pavyzdžiui, in vienarūšės pirmos eilės lygtys pirmiausia reikia pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, tiesinėje nehomogeninėje pirmos eilės lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius triukus ir metodus. Atskiriamos kintamųjų lygtys, kurias svarstome pirmoje pamokoje, yra paprasčiausias diferencialinių lygčių tipas.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra integralų, kurių negalima imti. Tačiau tokius DE galima apytiksliai išspręsti naudojant specialius metodus. D'Alembert ir Cauchy garantuoja... ...ugh, lurkmore. Aš ką tik daug skaičiau, beveik pridėjau „iš kito pasaulio“.

3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu . Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra, išreikšti "y" aiškiai išreikšta forma? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip aš čia galiu išreikšti "y"?! Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti rašomas kaip bendrasis integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir nerangiai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma

4) ...kol kas gal užteks. Pirmajame pavyzdyje mes susitikome dar vienas svarbus momentas, bet kad „manekenų“ neapimčiau naujos informacijos lavina, tai paliksiu iki kitos pamokos.

Neskubėkime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir kitas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal sąlygą, kurią reikia rasti privatus sprendimas DE, kuris tenkina nurodytą pradinę sąlygą. Toks klausinėjimas dar vadinamas Cauchy problema.

Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų būti gėdinga, svarbiausia, kad ji turi pirmąją išvestinę.

Išvestinę perrašome reikiama forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima suskirstyti: berniukus į kairę, mergaites į dešinę:

Integruojame lygtį:

Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su akcentine žvaigžde, faktas, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.

Dabar mes bandome paversti bendrąjį integralą į bendrą sprendimą (išreikškite „y“ aiškiai). Prisimename seną, gerą, mokyklą: . Tokiu atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip ne košerinė, todėl dažniausiai nuleidžiama iš dangaus į žemę. Detaliau, tai atsitinka taip. Naudodamiesi laipsnių savybe, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, pakeiskite ją raide:

Prisiminkite, kad konstantos „griovimas“ yra antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra toks: Tokia graži eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat paprasta.

Kokia užduotis? Reikia pasiimti toks konstantos reikšmė sąlygai tenkinti .

Galite tai išdėstyti įvairiais būdais, bet suprantamiausias, ko gero, bus toks. Bendrajame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „y“ – dviem:



T.y,

Standartinė dizaino versija:

Dabar rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
– Tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkime. Konkretaus sprendimo patikrinimas susideda iš dviejų etapų:

Pirmiausia reikia patikrinti, ar rastas konkretus sprendimas tikrai tenkina pradinę sąlygą? Vietoj „x“ pakeičiame nulį ir pamatome, kas atsitiks:
- taip, tikrai, buvo gautas dvejetas, o tai reiškia, kad pradinė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:

Pakeiskite pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė.

Išvada: konkretus sprendimas rastas teisingai.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma:

Vertinant, ar kintamuosius galima atskirti? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę su ženklo pakeitimu:

Ir apverčiame veiksnius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis:

Turiu jus perspėti, artėja teismo diena. Jei gerai neišmokote neapibrėžtieji integralai, išsprendė kelis pavyzdžius, tada nebėra kur dėtis – dabar turite juos įvaldyti.

Kairiosios pusės integralą rasti lengva, su kotangento integralu mes dirbame su standartine technika, kurią aptarėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas Praėjusiais metais:

Dešinėje pusėje yra logaritmas, ir pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.

Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tik logaritmus, tai visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Per žinomos savybės maksimaliai „supakuoti“ logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai:

Pakuotė sukomplektuota, kad būtų barbariškai suplyšusi:

Ar galima išreikšti „y“? Gali. Abi dalys turi būti kvadratinės.

Bet tu neprivalai.

Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti į galią arba įsišaknyti, tada Daugeliu atvejų turėtumėte susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendro integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog siaubingai - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome kaip bendrąjį integralą. Manoma, kad gera forma pateikti ją formoje, tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: bet kurios lygties bendrasis integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutapo su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.

Bendrasis integralas taip pat patikrinamas gana lengvai, svarbiausia, kad būtų galima rasti netiesiogiai apibrėžtos funkcijos išvestinė. Išskirkime atsakymą:

Abu terminus padauginame iš:

Ir dalijame iš:

Pradinė diferencialinė lygtis buvo gauta tiksliai, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą. Paleiskite patikrinimą.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys.

Primenu, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo radimas;
2) rasti reikiamą konkretų sprendimą.

Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį Nr. 2), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad konkretus rastas sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas paprastai atitinka diferencialinę lygtį.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą , tenkinantis pradinę sąlygą . Paleiskite patikrinimą.

Sprendimas: Pirma, suraskime bendrą sprendimą.Šioje lygtyje jau yra paruošti diferencialai ir , tai reiškia, kad sprendimas yra supaprastintas. Kintamųjų atskyrimas:

Integruojame lygtį:

Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos sumavimo po diferencialo ženklu metodas:

Gautas bendrasis integralas, ar galima sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendimą? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai yra nereikalingi:

(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime konkretų sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „y“ – dviejų logaritmą:

Labiau pažįstamas dizainas:

Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkite: Pirmiausia patikrinkite, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas iš viso tenkina diferencialinę lygtį. Randame išvestinę:

Pažvelkime į pradinę lygtį: – jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeičiame pradine lygtimi :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas rastas teisingai.

Antrasis tikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties išreikškite išvestinę, tam visas dalis padalijame iš:

O transformuotame DE pakeičiame gautą konkrečią sprendinį ir rastą išvestinę . Dėl supaprastinimų taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Išreikškite atsakymą kaip bendrąjį integralą.

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač arbatinukui), kad kintamuosius galima atskirti. Apsvarstykite sąlyginį pavyzdį: . Čia reikia išimti veiksnius iš skliaustų: ir atskirti šaknis:. Kaip elgtis toliau, aišku.

2) Pačios integracijos sunkumai. Integralai dažnai atsiranda ne iš paprasčiausių, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzorių bus sunku. Be to, logika „kadangi diferencialinė lygtis paprasta, tegul integralai būna sudėtingesni“ yra populiari tarp rinkinių ir žinynų rengėjų.

3) Transformacijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada yra aiškios pradedantiesiems. Pažvelkime į kitą hipotetinį pavyzdį: . Jame visus terminus patartina padauginti iš 2: . Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: . Taip, ir kadangi dešinėje pusėje yra logaritmas, patartina konstantą perrašyti į kitą konstantą: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos:

Kokia erezija? Štai klaidos! Griežtai kalbant, taip. Tačiau žvelgiant iš esmės, klaidų nėra, nes dėl kintamosios konstantos transformacijos vis tiek gaunama kintamoji konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: . Formaliai vėl yra klaida - dešinėje turėtų būti parašyta . Tačiau neoficialiai numanoma, kad „minus ce“ vis dar yra konstanta ( kuri lygiai taip pat įgauna bet kokias vertybes!), todėl dėti "minusą" nėra prasmės ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi vengti neatsargaus požiūrio ir vis tiek jas konvertuodamas nustatysiu skirtingus konstantų indeksus.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Paleiskite patikrinimą.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Kintamųjų atskyrimas:

Mes integruojame:

Konstanta čia neturi būti apibrėžta logaritmu, nes nieko gero iš to nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patikrinkite: išskirkite atsakymą (numanoma funkcija):

Atsikratome trupmenų, tam abu terminus padauginame iš:

Gauta pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite konkretų DE sprendimą.
,

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia jūs gaunate bendrą integralą ir, teisingiau, reikia sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o privatus integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Paprastoji diferencialinė lygtis vadinama lygtimi, susiejančia nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis nįsakyme nebūtinai turi būti aiškiai nurodyta funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmos iki n eilės tvarka ir nepriklausomas kintamasis. Jame gali nebūti kai kurių eilučių išvestinių, funkcijos, nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijų; (2) lygtyje – antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje - nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtis aiškiai apima visas išvestines, funkciją ir nepriklausomą kintamąjį.

Išspręsdami diferencialinę lygtį vadinama bet kokia funkcija y = f(x), kurią pakeitus į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Šią lygtį užrašome forma . Sprendimas yra surasti funkciją pagal jos išvestinę. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antidarinys už, t.y.

Štai kas yra duotosios diferencialinės lygties sprendimas . keičiasi joje C, gausime skirtingus sprendimus. Išsiaiškinome, kad pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinių yra be galo daug.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir kuriame yra n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas jo sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Abi lygties puses integruojame tiek kartų, kad diferencialinės lygties tvarka būtų lygi.

,

.

Dėl to mes gavome bendrą sprendimą -

pateikta trečios eilės diferencialinė lygtis.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, vietoj savavališkų koeficientų pakeičiame jų vertes ir gauname

.

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tada tokia problema vadinama Cauchy problema . Vertės ir pakeičiamos į bendrąjį lygties sprendinį ir randama savavališkos konstantos reikšmė C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio pagal sąlygą .

Sprendimas. Į bendrąjį sprendimą pakeičiame pradinės sąlygos reikšmes y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome Koši uždavinio sprendimą duotai pirmos eilės diferencialinei lygčiai:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia turėti gerų įgūdžių integruojant ir paimant išvestines, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad iš karto būtų galima integruoti abi puses.

.

Integravimo metodą taikome keičiant kintamąjį (pakeitimas). Leisk tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija ("obuolys" - kvadratinės šaknies ištraukimas arba, kas yra tas pats - pakėlimas iki galios "viena sekundė", o "malta mėsa" - pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

.

Tai yra šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties bendras sprendimas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, tai yra kintamojo x. Išspręsti šią bėdą padės mokyklos suole nepamirštos (tačiau bet kas jas turi) žinios apie proporcijas. Tai yra kitas pavyzdys.