В числе ПИ очень много загадок. Вернее это даже не загадки, а своего рода какая-то Истина, которую за всю историю человечества никто еще не разгадал…

Что такое число Пи? Число ПИ - математическая «константа», выражающая отношение длины окружности к её диаметру. Сначала по невежеству его (это отношение) считали равным трем, что было грубо приближенно, но им хватало. Но когда времена доисторические сменились временами древними (т.е. уже историческими), то удивлению пытливых умов не было предела: оказалось, что число три весьма неточно выражает это соотношение. С течением времени и развитием наук это число стали полагать равным двадцати двум седьмым.

Английский математик Август де Морган назвал как-то число ПИ “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа Пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений).

В процессе вычислений этих самых знаков было открыто множество разных научных методов и целых наук. Но самое главное – в десятичной части числа пи нет повторений, как в обычной периодической дроби, а число знаков после запятой у него – бесконечно. На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа пи повторений действительно нет. Есть основания полагать, что их нет вообще.

Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений – это значит, что последовательность знаков числа пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи – это и есть хаос, записанный цифрами. Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен.

В 1965-м году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых!

В десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр. Любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!

Ну и что? – спросите вы. А то. Прикиньте: если там есть ваш телефон (а он есть), то ведь там же есть и телефон той девушки, которая не захотела дать вам свой номер. Более того, там есть и номера кредиток, и даже все значения выигрышных номеров завтрашнего тиража лотереи. Да что там, вообще всех лотерей на много тысячелетий вперед. Вопрос в том, как их там отыскать…

Если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий. Это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания в числе ПИ не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то ВСЕ. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.

А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны. В том числе и Ваши статьи на сайтах. Получается, что это число (единственное разумное число во Вселенной!) и управляет нашим миром. Надо только рассмотреть побольше знаков, найти нужный участок и расшифровать его. Это чем-то сродни парадоксу со стадом шимпанзе, долбящем по клавиатуре. При достаточно долгом (можно даже оценить это время) эксперименте они напечатают все пьесы Шекспира.

Тут же напрашивается аналогия с периодически появляющимися сообщениями о том, что в Ветхом Завете, якобы, закодированы послания потомкам, поддающиеся прочтению с помощью хитроумных программ. Отметать сходу такую экзотическую особенность Библии не совсем мудро, кабаллисты веками занимаются поиском таких пророчеств, но хотелось бы привести сообщение одного исследователя, который с помощью компьютера нашел в Ветхом завете слова о том, что в Ветхом Завете нет никаких пророчеств. Скорее всего, в очень большом тексте, так же, как и в бесконечных цифрах числа ПИ, можно не только закодировать любую информацию, но и “найти” фразы, изначально не заложенные туда.

Для практики, в пределах Земли достаточно 11 знаков после точки. Тогда, зная, что радиус Земли равен 6400 км или 6,4*1012 миллиметров, получится, что мы, отбросив двенадцатую цифру в числе ПИ после точки при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете длины Земной орбиты при вращении вокруг Солнца (как известно, R=150*106 км = 1,5*1014 мм) для такой же точности достаточно использовать число ПИ с четырнадцатью знаками после точки, да что уж там мелочиться - диаметр нашей Галактики около 100.000 световых лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или 1018 км или 1030 мм., а еще в XVII веке были получены 34 знака числа ПИ, избыточные для таких расстояний, а их на данный момент вычислено до 12411-триллионного знака !!!

Отсутствие периодически повторяющихся цифр, а именно, исходя их формулы Длина окружности=Пи*D окружность не замыкается, так как нет конечного числа. Этот факт также может тесно быть связан с спиральным проявлением в нашей жизни …

Есть еще гипотеза о том, что все (или некоторые) универсальные постоянные (постоянная Планка, число Эйлера, универсальная гравитационная постоянная, заряд электрона и т.д.) со временем меняют свои значения, так как меняется кривизна пространства из-за перераспределения материи или по другим, не известным нам причинам.

Рискуя навлечь гнев просвещенного сообщества, можем предположить, что и рассматриваемое сегодня число ПИ, отражающее свойства Вселенной, может со временем меняться. Во всяком случае, никто не может нам запретить заново найти значение числа ПИ, подтвердив (или не подтвердив) имеющиеся значения.

10 интересных фактов про число ПИ

1. История числа насчитывает не одно тысячелетие, почти столько, сколько существует наука математика. Конечно, точное значение числа рассчитали не сразу. Поначалу отношение длины окружности к диаметру считали равным 3. Но с течением времени, когда начала развиваться архитектура, потребовалось более точное измерение. Кстати, число существовало, а вот буквенное обозначение оно получило только в начале XVIII века (1706 год) и происходит от начальных букв двух греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». Буквой «π» число наделил математик Джонс, а прочно вошла в математику она уже в 1737 году.

2. В разные эпохи и у разных народов число Пи имело разное значение. Например, в Древнем Египте оно равнялось 3,1604, у индусов оно приобрело значение 3,162, китайцы пользовались числом, равным 3,1459. С течением времени π рассчитывали все точнее, а когда появилась вычислительная техника, то есть компьютер, оно стало насчитывать более 4 миллиардов знаков.

3. Есть легенда, точнее так считают специалисты, что число Пи использовали при строительстве Вавилонской башни. Однако не гнев божий стал причиной ее обрушения, а неправильные расчеты при строительстве. Мол, древние мастера ошиблись. Подобная версия существует касательно храма Соломона.

4. Примечательно, что значение числа Пи пытались вводить даже на уровне государства, то есть посредством закона. В 1897 году в штате Индиана подготовили билль. Согласно документу Пи равнялось 3,2. Однако ученые вовремя вмешались и предотвратили таким образом ошибку. В частности, против билля выступил профессор Пердью, присутствовавший на законодательном собрании.

5. Интересно, что свое имя имеют несколько чисел в бесконечной последовательности Пи. Так, шесть девяток числа Пи носят имя американского физика. Как-то Ричард Фейнман читал лекцию и ошарашил публику замечанием. Он сказал, что хотел бы наизусть выучить цифры числа Пи до шести девяток только для того, чтобы под конец рассказа произнести шесть раз «девять», намекая на то, что его значение рационально. Тогда как на самом деле оно иррационально.

6. Математики всего мира не прекращают вести исследования, связанные с числом Пи. Оно буквально окутано некой тайной. Некоторые теоретики даже полагают, что в нем заключена вселенская истина. Чтобы обмениваться знаниями и новой информацией о Пи, организовали Пи-клуб. Вступить в него непросто, нужно иметь незаурядную память. Так, желающих стать членом клуба экзаменуют: человек должен по памяти рассказать как можно больше знаков числа Пи.

7. Придумали даже различные техники для запоминания числа Пи после запятой. Например, придумывают целые тексты. В них слова имеют то же количество букв, что и соответствующая цифра после запятой. Чтобы еще упростить запоминание такого длинного числа, сочиняют стихи по тому же принципу. Члены Пи-клуба частенько развлекаются таким образом, а заодно тренируют память и сообразительность. Например, такое хобби было у Майка Кейта, который восемнадцать лет назад придумал рассказ, каждое слово в котором равнялось почти четырем тысячам (3834) первых знаков числа Пи.

8. Есть даже люди, поставившие рекорды по запоминанию знаков Пи. Так, в Японии Акира Харагучи наизусть выучил больше восьмидесяти трех тысяч знаков. А вот отечественный рекорд не такой выдающийся. Житель Челябинска сумел наизусть произнести только две с половиной тысячи чисел после запятой числа Пи.

9. День числа Пи отмечают больше четверти века, с 1988 года. Однажды физик из научно-популярного музея в Сан-Франциско Ларри Шоу заметил, что 14 марта по написанию совпадает с числом Пи. В дате месяц и число образуют 3.14.

10. Есть любопытное совпадение. 14 марта родился великий ученый Альберт Эйнштейн, создавший, как известно, теорию относительности.

Если сравнить окружности отличных друг от друга размеров, то можно заметить следующее: размеры разных окружностей пропорциональны. А это значит, что при увеличении диаметра окружности в некоторое количество раз, увеличивается и длина этой окружности в такое же количество раз. Математически это записать можно так:

C 1		C 2
	=
d 1		d 2	(1)

где C1 и С2 – длины двух разных окружностей, а d1 и d2 – их диаметры.
Это соотношение работает при наличии коэффициента пропорциональности – уже знакомой нам константы π . Из отношения (1) можно сделать вывод: длина окружности C равна произведению диаметра этой окружности на независящий от окружности коэффициент пропорциональности π :

C = π d.

Также эту формулу можно записать в ином виде, выразив диаметр d через радиус R данной окружности:

С = 2π R.

Как раз эта формула и является проводником в мир окружностей для семиклассников.

Еще с древности люди пытались установить значение этой константы. Так, например, жители Месопотамии вычисляли площадь круга по формуле:

Откуда π = 3.

В древнем Египте значение для π было точнее. В 2000-1700 годах до нашей эры писец, именуемый Ахмесом, составил папирус, в котором мы находим рецепты разрешения различных практических задач. Так, например, для нахождения площади круга он использует формулу:

			8			2
S	=	(		d	)
			9

Из каких соображений он получил эту формулу? – Неизвестно. Вероятно, на основе своих наблюдений, впрочем, как это делали и другие древние философы.

По стопам Архимеда

Какое из двух числе больше 22/7 или 3.14 ?
- Они равны.
- Почему?
- Каждое из них равно π .
А. А. Власов. Из Экзаменационного билета.

Некоторы полагают, что дробь 22/7 и чисо π тождественно равны. Но это является заблуждением. Помимо вышеприведенного неверного ответа на экзамене (см. эпиграф) к этой группе можно также добавить одну весьма занимательную головоломку. Задание гласит: "переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным".

Решение будет таковым: нужно образовать "крышу" для двух вертикальных спичек слева, используя одну из вертикальных спичек в знаменателе справа. Получится визуальное изображение буквы π .

Многие знают, что приближение π = 22/7 определил древнегреческий математик Архимед. В честь этого часто такое приближение называют "Архимедовым" числом. Архимеду удалось не только установить приближенное значение для π, но также найти точность этого приближения, а именно – найти узкий числовой промежуток, которому принадлежит значение π . В одной из своих работ Архимед доказывает цепь неравенств, которая на современный лад выглядела бы так:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

можно записать проще: 3,140 909 < π < 3,1 428 265...

Как видим из неравенств, Архимед нашел довольно-таки точное значение с точностью до 0,002. Самое удивительно то, что он нашел два первых знака после запятой: 3,14... Именно такое значение чаще всего мы используем в несложных расчетах.

Практическое применение

Едут двое в поезде:
− Вот смотри, рельсы прямые, колеса круглые.
Откуда же стук?
− Как откуда? Колеса-то круглые, а площадь
круга пи эр квадрат, вот квадрат-то и стучит!

Как правило, знакомятся с этим удивительным числом в 6-7 классе, но более основательно им занимаются к концу 8-го класса. В этой части статьи мы приведем основные и самые важные формулы, которые пригодятся вам в решении геометрических задач, только для начала условимся принимать π за 3,14 для удобства подсчета.

Пожалуй, самая известная формула среди школьников, в которой используется π , это – формула длины и площади окружности. Первая – формула площади круга – записывается так:

	π *D 2*
*S=π R 2 =*
	4

где S – площадь окружности, R – ее радиус, D – диаметр окружности.

Длина окружности, или, как ее иногда называют, периметр окружности, вычисляют по формуле:

С = 2 π R = π d,

где C – длина окружности, R – радиус, d – диаметр окружности.

Понятно, что диаметр d равен двум радиусам R.

Из формулы длины окружности можно легко найти радиус окружности:

где D – диаметр, С – длина окружности, R – радиус окружности.

Это базовые формулы, знать которые должен каждый ученик. Также иногда приходится вычислять площадь не всей окружности, а только ее части – сектора. Поэтому представляем вам её – формулу для вычисления площади сектора окружности. Выглядит она так:

			α
S	=	*π R 2*
			360 ˚

где S – площадь сектора, R – радиус окружности, α – центральный угол в градусах.

Такое загадочное 3,14

И правда, оно загадочно. Потому что в честь этих магических цифр устраивают праздники, снимают фильмы, проводят общественные акции, пишут стихи и многое другое.

Например, в 1998 году вышел фильм американского режиссера Даррена Аронофски под названием "Пи". Фильм получил множество наград.

Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют "День числа Пи". К празднику люди подготавливают круглый торт, усаживаются за круглый стол и обсуждают число Пи, решают задачи и головоломки, связанные с Пи.

Вниманием это удивительное число не обошли и поэты, неизвестный написал:
Надо только постараться и запомнить всё как есть – три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть.

Давайте развлечемся!

Вашему вниманию предлагаются интересные ребусы с числом Пи. Разгадайте слова, какие зашифрованы ниже.

1. π р

2. π L

3. π k

Ответы: 1. Пир; 2. Надпил; 3. Писк.

История числа Пи начинается еще с Древнего Египта и идет параллельно с развитием всей математики. Мы же впервые встречаемся с этой величиной в стенах школы.

Число Пи является, пожалуй, самым загадочным из бесконечного множества других. Ему посвящены стихи, его изображают художники, о нем даже снят фильм. В нашей статье мы рассмотрим историю развития и вычисления, а также области применения константы Пи в нашей жизни.

Число Пи – это математическая константа равная отношению длины окружности к длине ее диаметра. Первоначально оно называлось лудольфово числом, а обозначать его буквой Пи было предложено британским математиком Джонсом в 1706 году. После работ Леонарда Эйлера в 1737 году это обозначение стало общепринятым.

Число Пи является иррациональным, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n - целые числа. Впервые это доказал Иоганн Ламберт в 1761 году.

История развития числа Пи насчитывает уже порядка 4000 лет. Еще древнеегипетским и вавилонским математикам было известно, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности и значение его равно чуть больше трех.

Архимед предложил математический способ вычисления Пи, в котором он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. По его расчетам Пи примерно равнялась 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Во II веке Чжан Хэн предложил два значения числа Пи: ≈ 3,1724 и ≈ 3,1622.

Индийские математики Ариабхата и Бхаскара нашли приблизительное значение 3,1416.

Самым точным приближением числа Пи на протяжении 900 лет было вычисление китайского математика Цзу Чунчжи, проведенное в 480-х годах. Он вывел, что Пи ≈ 355 / 113 , и показал, что 3,1415926 < Пи < 3,1415927.

До II тысячелетия было вычислено не более 10 цифр числа Пи. Лишь с развитием математического анализа, а особенно с открытием рядов, были осуществлены последующие крупные продвижения в вычислении константы.

В 1400-х годах Мадхава смог вычислить Пи=3,14159265359. Его рекорд удалось побить персидскому математику Аль-Каши в 1424 году. Он в своём труде «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа Пи, 16 из которых оказались верными.

Голландский математик Людольф ван Цейлен дошел в своих вычислениях до 20-ти чисел, отдав на это 10 лет жизни. После его смерти в его записях были обнаружены еще 15 цифр числа Пи. Он завещал, чтобы эти цифры были высечены на его надгробии.

С появлением компьютеров число Пи на сегодняшний день насчитывает несколько триллионов знаков и это не предел. Но, как подмечено в книге «Fractals for the Classroom», при всей важности числа Пи «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков».

В нашей жизни число Пи используется во многих научных областях. Физика, электроника, теория вероятностей, химия, строительство, навигация, фармакология - это лишь некоторые из них, которые просто невозможно представить себе без этого загадочного числа.

Хотите знать и уметь, больше и сами?

Мы предлагаем Вам обучение по направлениям: компьютеры, программы, администрирование, сервера, сети, сайтостроение, SEO и другое. Узнайте подробности сейчас!

По материалам сайта Calculator888.ru - Число Пи - значение, история, кто придумал .

Недавно на Хабре в одной статье упомянули про вопрос «Что было бы с миром, если бы число Пи равнялось 4?» Я решил слегка поразмышлять на эту тему, используя некоторые (пусть и не самые обширные) знания в соответствующих областях математики. Кому интересно – прошу под кат.

Чтобы представить такой мир, нужно математически реализовать пространство с иным соотношением длины окружности к ее диаметру. Это я и попытался сделать.

Попытка №1.

Оговорим сразу, что рассматривать я буду только двумерные пространства. Почему? Потому что окружность, собственно, определена в двумерном пространстве (если рассмотреть размерность n>2, то отношение меры (n-1)-мерной окружности к ее радиусу даже не будет константой).
Так что для начала я попытался придумать хоть какое-то пространство, где Пи не равно 3.1415… Для этого я взял метрическое пространство с метрикой, в которой расстояние между двумя точками равно максимуму среди модулей разности координат (т.е. расстояние Чебышева).

Какой же вид будет иметь единичная окружность в этом пространстве? Возьмем точку с координатами (0,0) за центр этой окружности. Тогда множество точек, расстояние (в смысле заданной метрики) от которых до центра равно 1, есть 4 отрезка, параллельных осям координат, образующих квадрат со стороной 2 и с центром в нуле.

Да, в некоторой метрике это - окружность!

Посчитаем здесь Пи. Радиус равен 1, тогда диаметр, соответственно, равен 2. Можно также рассмотреть определение диаметра как наибольшего расстояния между двумя точками, но даже так оно равно 2. Осталось найти длину нашей «окружности» в данной метрике. Это сумма длин всех четырех отрезков, которые в данной метрике имеют длину max(0,2)=2. Значит, длина окружности равна 4*2=8. Ну а тогда Пи здесь равно 8/2=4. Получилось! Но нужно ли сильно радоваться? Результат этот практически бесполезен, ведь рассматриваемое пространство абсолютно абстрактно, в нем даже не определены углы и повороты. Вы можете представить себе мир, где по факту не определен поворот, и где окружностью является квадрат? Я пытался, честно, но у меня не хватило воображения.

Радиус равен 1, а вот с нахождением длины этой «окружности» есть некоторые сложности. После некоторых поисков информации в интернете, я пришел к выводу, что в псевдоевклидовом пространстве такое понятие как «число Пи» вообще не может быть определено, что, безусловно, плохо.

Если кто-нибудь в комментариях расскажет мне, как формально считать длину кривой в псевдоевклидовом пространстве, я буду очень рад, ибо моих познаний в дифференциальной геометрии, топологии (а также усердного гугления) для этого не хватило.

Выводы:

Не знаю, можно ли писать о выводах после таких не сильно продолжительных исследований, но кое-что сказать можно. Во-первых, попытавшись представить пространство с иным числом Пи, я понял, что оно будет слишком абстрактно, чтобы быть моделью реального мира. Во-вторых, когда если попытаться придумать более удачную модель (похожую на наш, реальный мир), выходит, что число Пи останется неизменным. Если принять за данность возможность отрицательного квадрата расстояния (что для обычного человека - просто абсурд), то Пи не будет определено вовсе! Все это и наводит на мысль, что, возможно, мира с другим числом Пи и вовсе быть не могло? Ведь не зря же Вселенная именно такая, какая она есть. А может быть, это и реально, только обычной математики, физики и человеческого воображения для этого недостаточно. А вы как считаете?

Upd. Узнал точно. Длина кривой в псевдоевклидовом пространстве может быть определена только на каком-либо его евклидовом подпространстве. То есть, в частности, для получившейся в попытке N3 «окружности» вовсе не определено такое понятие как «длина». Соответственно, Пи там тоже посчитать нельзя.

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах (через число пи)	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)	sec (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.