Рассчитывать балку на изгиб
можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки
на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.
После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:
Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке
и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.
Для пластичных материалов
(сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала
, а для хрупких
(чугун) – пределу прочности
. Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.
Давайте рассмотрим пару примеров:
1. [i]Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.
На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине , то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:
P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН
М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м
По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.
Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.
б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа
После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.
45.34 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.
2. [i]Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).
Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные...
...– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.
Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.
Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?
Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.
Исходные данные:
F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики
d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка
E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3
[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки стали Ст3
Граничные условия:
Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)
Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)
V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)
V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)
Расчет:
1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):
Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3
2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н
Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н
3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:
V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44˚
4.
Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0 Поперечная сила: Qy (z) = -R1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 м:
Qy (0) = -R1 = -450 н Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад Vy (0) = V (0) = 0 мм z = 0,6 м:
Qy (0,6) = -R1 = -450 н Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб. 5.
Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2 Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix) z = 1,2 м:
Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н Мx (1,2) = 0 н*м Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0.00764 рад Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м 6.
Строим эпюры, используя данные полученные выше. 7.
Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями: σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2 σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2 По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров. Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети. Прошу УВАЖАЮЩИХ
труд автора ПОДПИСАТЬСЯ
на анонсы статей.
86 комментариев на «Расчет балки на изгиб — «вручную»!»
Изгиб
- вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб
возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым
. Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой
или чистый косой изгиб
. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой
или поперечный косой изгиб
. Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом. Wikimedia Foundation
.
2010
.
У этого термина существуют и другие значения, см. Стержень. Стержень тело удлиненной формы, два размера которого (высота и ширина) малы по сравнению с третьим размером (длиной) В таком же значении иногда используют термин «брус», а… … Википедия
осесимметричный изгиб круглой пластинки
- Деформированное состояние осесимметричной круглой пластинки, при котором срединная плоскость переходит в поверхность вращения. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической… … цилиндрический изгиб пластинки
- Деформированное состояние пластинки, при котором срединная плоскость переходит в цилиндрическую поверхность. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1970 г.]… … Справочник технического переводчика
Плита пластина, нагруженная перпендикулярно её плоскости и работающая преимущественно на изгиб из собственной плоскости. Плоскость, которая делит толщину пластины пополам, называется срединной плоскостью плиты. Поверхность, в которую… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Брус. Брус (в механике материалов и конструкций) модель тела, у которого один из размеров гораздо больше двух других. При расчётах брус заменяют его продольной осью. В строительной механике… … Википедия
косой изгиб
- Деформация бруса, при которой силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных центральных осей его поперечного сечения. Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN asymmetric bending … Справочник технического переводчика
плоский изгиб
- Деформация бруса, при которой все нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой. Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN flat bending … Справочник технического переводчика
прямой изгиб
- Деформация бруса, при которой линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения совпадает с одной из его главных центральных осей. Тематики строительная механика, сопротивление… … Справочник технического переводчика
РОДЫ
- РОДЫ. Содержание: I. Определение понятия. Изменения в организме во время Р. Причины наступления Р..................... 109 II. Клиническое течение физиологических Р. . 132 Ш. Механика Р. ................. 152 IV. Ведение Р.................. 169 V … Большая медицинская энциклопедия
Механик Императорской Академии Наук, член Императорского Вольного экономического общества. Сын мещанина Нижнего Новгорода, род. в Нижнем Новгороде 10 апреля 1735 г., ум. там же 30 июля 1818 г. Кулибин предназначался отцом торговать мукой, но он с … Большая биографическая энциклопедия
Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб
Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок
Построение эпюр Q и М по уравнениям
Построение эпюр Q и М по характерным сечениям (точкам)
Расчёты на прочность при прямом изгибе балок
Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок
Понятие о центре изгиба
Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия
деформации балок и условия их жёсткости
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
Метод непосредственного интегрирования
Примеры определения перемещений в балках методом
непосредственного интегрирования
Физический смысл постоянных интегрирования
Метод начальных параметров (универсальное уравнение
изогнутой оси балки).
Примеры определения перемещений в балке по методу начальных
параметров
Определение перемещений по методу Мора.
Правило А.К. Верещагина. Вычисление интеграла Мора по правилу А.К. Верещагина
Примеры определения перемещений посредством интеграла Мора
Библиографический список
Прямой изгиб.
Плоский поперечный изгиб.
1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов
для балок
Прямым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечных
сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент
и поперечная сила. В частном случае, поперечная сила может быть равна нулю,
тогда изгиб называется чистым.
При плоском поперечном изгибе все силы расположены в одной из главных
плоскостей инерции стержня и перпендикулярны его продольной оси, в той же
плоскости расположены моменты (рис. 1.1, а,б).
Рис. 1.1
Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна
алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил,
действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила в
сечении m-n балки (рис. 1.2, а) считается положительной, если равнодействующая
внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, и отрицательной –
в противоположном случае (рис. 1.2, б).
Рис. 1.2
Вычисляя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева
от сечения, берут со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус,
если вниз. Для правой части балки – наоборот.
5
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен
алгебраической сумме моментов относительно центральной оси z сечения всех
внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Изгибающий момент в сечении m-n балки (рис. 1.3, а) считается положительным,
если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по
стрелке часов, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в
противоположном случае (рис. 1.3, б).
Рис. 1.3
При вычислении изгибающего момента в данном сечении моменты внешних
сил, лежащие слева от сечения, считаются положительными, если они направлены
по ходу часовой стрелки. Для правой части балки – наоборот. Удобно определять
знак изгибающего момента по характеру деформации балки. Изгибающий момент
считается положительным, если в рассматриваемом сечении отсечённая часть балки
изгибается выпуклостью вниз, т. е. растягиваются нижние волокна. В
противоположном случае изгибающий момент в сечении отрицательный.
Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью
нагрузки q существуют дифференциальные зависимости.
1. Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна
интенсивности распределенной нагрузки, т.е.
. (1.1)
2. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна
поперечной силе, т. е.
. (1.2)
3. Вторая производная по абсциссе сечения равна интенсивности
распределённой нагрузки, т. е.
. (1.3)
Распределенную нагрузку, направленную вверх, считаем положительной.
Из дифференциальных зависимостей между М, Q, q вытекает ряд важных
выводов:
1. Если на участке балки:
а) поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает;
б) поперечная сила отрицательна, то изгибающий момент убывает;
в) поперечная сила равна нулю, то изгибающий момент имеет постоянное
значение (чистый изгиб);
6
г) поперечная сила проходит через нуль, меняя знак с плюса на минус,
max
M M, в противоположном случае M Mmin.
2. Если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует, то поперечная
сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
3. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то
поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по
закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия
нагрузки (в случае построения эпюры М со стороны растянутых волокон).
4. В сечении под сосредоточенной силой эпюра Q имеет скачок (на величину
силы), эпюра М - излом в сторону действия силы.
5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок,
равный значению этого момента. На эпюре Q это не отражается.
При сложном нагружении балки строят эпюры поперечных сил Q и
изгибающих моментов М. Эпюрой Q(M) называется график, показывающий закон
изменения поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки. На основе
анализа эпюр М и Q устанавливают опасные сечения балки.
Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх, а отрицательные –
вниз от базисной линии, проводимой параллельно продольной оси балки.
Положительные ординаты эпюры М откладываются вниз, а отрицательные – вверх,
т. е. эпюра М строится со стороны растянутых волокон. Построение эпюр Q и М для
балок следует начинать с определения опорных реакций. Для балки с одним
защемленным и другим свободным концами построение эпюр Q и М можно
начинать от свободного конца, не определяя реакций в заделке.
1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям
Балка разбивается на участки, в пределах которых функции для изгибающего
момента и поперечной силы остаются постоянными (не имеют разрывов).
Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил, пар сил и
места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом участке
берется произвольное сечение на расстоянии х от начала координат, и для этого
сечения составляются уравнения для Q и М. По этим уравнениям строятся эпюры Q
и M.
Пример 1.1
Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для заданной
балки (рис. 1.4,а).
Решение:
1. Определение реакций опор. Составляем уравнения равновесия:
из которых получаем
Реакции опор определены правильно. Балка имеет четыре участка
Рис. 1.4
нагружения: СА, AD, DB, BE.
2. Построение эпюры Q. Участок СА. На участке СА 1проводим
произвольное сечение 1-1 на расстоянии x1 от левого конца балки. Определяем Q
как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 1-1:
Знак минус взят потому, что сила, действующая слева от сечения, направлена
вниз. Выражение для Q не зависит от переменной x1. Эпюра Q на этом участке
изобразится прямой, параллельной оси абсцисс. Участок AD. На участке проводим
произвольное сечение 2-2 на расстоянии x2 от левого конца балки.
Определяем Q2 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих
слева от сечения 2-2:
8
Величина Q постоянна на участке (не зависит от переменной x2). Эпюра Q на
участке представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Участок DB. На
участке проводим произвольное сечение 3-3 на расстоянии x3 от правого конца
балки. Определяем Q3 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих
справа от сечения 3-3:
Полученное выражение есть уравнение наклонной прямой линии.
Участок BE. На участке проводим сечение 4-4 на расстоянии x4 от правого
конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил,
действующих справа от сечения 4-4:
4 Здесь знак плюс взят потому, что равнодействующая нагрузка справа от
сечения 4-4 направлена вниз.
По полученным значениям строим эпюры Q (рис. 1.4, б).
3. Построение эпюры М. Участок м1. Определяем изгибающий
момент в сечении 1-1 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева
от сечения 1-1.
– уравнение прямой.
Участок A 3Определяем изгибающий момент в сечении 2-2 как
алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 2-2.
– уравнение прямой.
Участок DB 4Определяем изгибающий момент в сечении 3-3 как
алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 3-3.
– уравнение квадратной параболы.
9
Находим три значения на концах участка и в точке с координатой xk , где
Участок BE 1Определяем изгибающий момент в сечении 4-4 как
алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 4-4.
– уравнение квадратной параболы
находим три значения M4:
По полученным значениям строим эпюру М (рис. 1.4, в).
На участках CA и AD эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси
абсцисс, а на участках DB и BE – наклонными прямыми. В сечениях C, A и B на
эпюре Q имеют место скачки на величину соответствующих сил, что служит
проверкой правильности построения эпюры Q.
На участках, где Q 0, моменты возрастают слева направо. На участках,
гдеQ 0, моменты убывают. Под сосредоточенными силами имеются изломы в
сторону действия сил. Под сосредоточенным моментом имеет место скачок на
величину момента. Это указывает на правильность построения эпюры М.
Пример 1.2
Построить эпюры Q и М для балки на двух опорах, нагруженной
распределенной нагрузкой, интенсивность которой меняется по линейному закону
(рис. 1.5, а).
Решение
Определение реакций опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна
площади треугольника, представляющего собой эпюру нагрузки
и приложена в центре тяжести этого треугольника. Составляем суммы моментов
всех сил относительно точек А и В:
Построение эпюры Q. Проведем произвольное сечение на расстоянии x от
левой опоры. Ордината эпюры нагрузки, соответствующая сечению, определяется
из подобия треугольников
Равнодействующая той части нагрузки, которая распложена слева от
сечения
Поперечная сила в сечении равна
Поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы
Приравнивая уравнение поперечной силы нулю, находим абсциссу того
сечения, в котором эпюра Q переходит через нуль:
Эпюра Q представлена на рис. 1.5, б. Изгибающий момент в произвольном
сечении равен
Изгибающий момент изменяется по закону кубической параболы:
Максимальное значение изгибающий момент имеет в сечении, где 0, т. е.
при
Эпюра М представлена на рис. 1.5, в.
1.3. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям
(точкам)
Используя дифференциальные зависимости между М, Q, q и выводы,
вытекающие из них, целесообразно строить эпюры Q и М по характерным сечениям
(без составления уравнений). Применяя этот способ, вычисляют значения Q и М в
характерных сечениях. Характерными сечениями являются граничные сечения
участков, а также сечения, где данный внутренний силовой фактор имеет
экстремальное значение. В пределах между характерными сечениями очертание
12
эпюры устанавливается на основе дифференциальных зависимостей между М, Q, q и
выводами, вытекающими из них.
Пример 1.3
Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на рис. 1.6, а.
Рис. 1.6.
Решение:
Построение эпюр Q и М начинаем от свободного конца балки, при этом
реакции в заделке можно не определять. Балка имеет три участка нагружения: АВ,
ВС, CD. На участках АВ и ВС распределенная нагрузка отсутствует. Поперечные
силы постоянны. Эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс.
Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра М ограничена
прямыми, наклонными к оси абсцисс. На участке CD имеется равномерно
распределенная нагрузка. Поперечные силы изменяются по линейному закону, а
изгибающие моменты – по закону квадратной параболы с выпуклостью в сторону
действия распределенной нагрузки. На границе участков АВ и ВС поперечная сила
изменяется скачкообразно. На границе участков ВС и CD скачкообразно изменяется
изгибающий момент.
1. Построение эпюры Q.
Вычисляем значения поперечных сил Q в граничных сечениях участков:
По результатам расчетов строим эпюру Q для балки (рис. 1, б). Из эпюры Q
следует, что поперечная сила на участке CD равна нулю в сечении, отстоящем на
расстоянии qa a
q от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент
имеет максимальное значение.
2. Построение эпюры М.
Вычисляем значения изгибающих моментов в граничных сечениях участков:
При мaаксимальный момент на участке
По результатам расчетов строим эпюру М (рис. 5.6, в).
Пример 1.4
По заданной эпюре изгибающих моментов (рис. 1.7, а) для балки (рис.
1.7, б) определить действующие нагрузки и построить эпюру Q. Кружком
обозначена вершина квадратной параболы.
Решение:
Определим нагрузки, действующие на балку. Участок АС загружен равномерно
распределённой нагрузкой, так как эпюра М на этом участке – квадратная парабола.
В опорном сечении В к балке приложен сосредоточенный момент, действующий по
часовой стрелке, так как на эпюре М имеем скачок вверх на величину момента. На
участке СВ балка не нагружена, т. к. эпюра М на этом участке ограничена
наклонной прямой. Реакция опоры В определяется из условия, что изгибающий
момент в сечении С равен нулю, т. е.
Для определения интенсивности распределенной нагрузки составим выражение
для изгибающего момента в сечении А как сумму моментов сил справа и
приравняем к нулю
Теперь определим реакцию опоры А. Для этого составим выражение для
изгибающих моментов в сечении как сумму моментов сил слева
Расчетная схема балки с нагрузкой показана на рис. 1.7, в. Начиная с левого
конца балки, вычисляем значения поперечных сил в граничных сечениях участков:
Эпюра Q представлена на рис. 1.7, г. Рассмотренная задача может быть решена
путем составления функциональных зависимостей для М, Q на каждом участке.
Выберем начало координат на левом конце балки. На участке АС эпюра М
выражается квадратной параболой, уравнение которой имеет вид
Постоянные а, b, с находим из условия, что парабола проходит через три точки
с известными координатами:
Подставляя координаты точек в уравнение параболы, получим:
Выражение для изгибающего момента будет
Дифференцируя функцию М1, получим зависимость для поперечной cилы
После дифференцирования функции Q получим выражение для интенсивности
распределённой нагрузки
На участке СВ выражение для изгибающего момента представляется в виде
линейной функции
Для определения постоянных а и b используем условия, что данная прямая
проходит через две точки, координаты которых известны
Получим два уравнения: ,b
из которых имеем a 20.
Уравнение для изгибающего момента на участке СВ будет
После двукратного дифференцирования М2 найдём
По найденным значениям М и Q строим эпюры изгибающих моментов и
поперечных сил для балки. Помимо распределённой нагрузки к балке
прикладываются сосредоточенные силы в трех сечениях, где на эпюре Q имеются
скачки и сосредоточенные моменты в том сечении, где на эпюре М имеется скачок.
Пример 1.5
Для балки (рис. 1.8, а) определить рациональное положение шарнира С, при
котором наибольший изгибающий момент в пролете равен изгибающему моменту в
заделке (по абсолютной величине). Построить эпюры Q и М.
Решение
Определение реакций опор. Несмотря на то, что общее число опорных связей
равно четырем, балка статически определима. Изгибающий момент в шарнире С
равен нулю, что позволяет составить дополнительное уравнение: сумма моментов
относительно шарнира всех внешних сил, действующих по одну сторону от этого
шарнира, равна нулю. Составим сумму моментов всех сил справа от шарнира С.
Эпюра Q для балки ограничена наклонной прямой, так как q = const.
Определяем значения поперечных сил в граничных сечениях балки:
Абсцисса xK сечения, где Q = 0, определяется из уравнения
откуда
Эпюра М для балки ограничена квадратной параболой. Выражения для
изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0, и в заделке записываются
соответственно так:
Из условия равенства моментов
получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра х:
Реальное значение x2x 1,029 м. Определяем численные значения поперечных
сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки
На рис.1.8, б показана эпюра Q, а на рис. 1.8, в – эпюра М.
Рассмотренную задачу можно было решить способом расчленения шарнирной
балки на составляющие ее элементы, как это показано на рис. 1.8, г. В начале
определяются реакции опор VC и VB . Строятся эпюры Q и М для подвесной балки
СВ от действия приложенной к ней нагрузки. Затем переходят к основной балке АС,
нагрузив ее дополнительной силой VC , являющейся силой давления балки СВ на
балку АС. После чего строят эпюры Q и М для балки АС.
1.4. Расчеты на прочность при прямом изгибе балок
Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям. При прямом
изгибе балки в поперечных сечениях ее возникают нормальные и касательные
напряжения (рис. 1.9).
18
Рис. 1.9
Нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом, касательные
напряжения связаны с поперечной силой. При прямом чистом изгибе касательные
напряжения равны нулю. Нормальные напряжения в произвольной точке
поперечного сечения балки определяются по формуле
(1.4)
где M – изгибающий момент в данном сечении;
Iz – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z;
y – расстояние от точки, где определяется нормальное напряжение, до
нейтральной оси z.
Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и
достигают наибольшей величины в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси
Если сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 1.11), то
Рис. 1.11
наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы и определяются
по формуле,
– осевой момент сопротивления сечения при изгибе.
Для прямоугольного сечения шириной b высотой h:
(1.7)
Для круглого сечения диаметра d:
(1.8)
Для кольцевого сечения
– соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Для балок
из пластичных материалов наиболее рациональными являются симметричные
20
формы сечений (двутавровое, коробчатое, кольцевое). Для балок из хрупких
материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию,
рациональными являются сечения, несимметричные относительно нейтральной оси
z (тавр., П-образное, несимметричный двутавр). Для балок постоянного сечения из
пластичных материалов при симметричных формах сечений условие прочности
записывается так:
(1.10)
где Mmax – максимальный изгибающий момент по модулю; – допускаемое напряжение для материала.
Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при
несимметричных формах сечений условие прочности записывается в следующем
виде:
(1.11)
Для балок из хрупких материалов с сечениями, несимметричными
относительно нейтральной оси, в случае, если эпюра М однозначна (рис. 1.12),
нужно
записать два условия прочности
– расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек
соответственно растянутой и сжатой зон опасного сечения; P – допускаемые напряжения соответственно на растяжение и сжатие.
Рис.1.12.
21
Если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков (рис. 1.13), то
помимо проверки сечения 1-1, где действуетMmax, необходимо произвести расчет по
наибольшим растягивающим напряжениям для сечения 2-2 (с наибольшим
моментом противоположного знака).
Рис. 1.13
Наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям в ряде случаев
приходится делать проверку прочности балки по касательным напряжениям.
Касательные напряжения в балки вычисляются по формуле Д. И. Журавского
(1.13)
где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки;
Szотс – статический момент относительно нейтральной оси площади части
сечения, расположенной по одну сторону прямой, проведенной через данную точку
и параллельной оси z;
b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки;
Iz – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z.
Во многих случаях максимальные касательные напряжения возникают на
уровне нейтрального слоя балки (прямоугольник, двутавр, круг). В таких случаях
условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде, (1.14)
где Qmax – наибольшая по модулю поперечная сила;
– допускаемое касательное напряжение для материала.
Для прямоугольного сечения балки условие прочности имеет вид
(1.15)
А – площадь поперечного сечения балки.
Для круглого сечения условие прочности представляется в виде
(1.16)
Для двутаврового сечения условие прочности записывается так:
(1.17)
где Szо,тmсax – статический момент полусечения относительно нейтральной оси;
d – толщина стенки двутавра.
Обычно размеры поперечного сечения балки определяются из условия
прочности по нормальным напряжениям. Проверка прочности балок по
касательным напряжениям производится в обязательном порядке для коротких
балок и балок любой длинны, если вблизи опор имеются сосредоточенные силы
большой величины, а также для деревянных, клёпанных и сварных балок.
Пример 1.6
Проверить прочность балки коробчатого сечения (рис. 1.14) по нормальным и
касательным напряжениям, если МПа.
Построить эпюры в опасном сечении балки.
Рис. 1.14
Решение
23
1. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям. Рассматривая левую
часть балки, получим
Эпюра поперечных сил представлена на рис. 1.14,в.
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.14, г.
2. Геометрические характеристики поперечного сечения
3. Наибольшие нормальные напряжения в сечение С, где действует Mmax (по
модулю): МПа.
Максимальные нормальные напряжения в балке практически равны допускаемым.
4. Наибольшие касательные напряжения в сечении С (или А), где действует
max
Q (по модулю):
Здесь – статический момент площади полусечения
относительно нейтральной оси;
b2 см – ширина сечения на уровне нейтральной оси.
5. Касательные напряжения в точке (в стенке) в сечении С:
Рис. 1.15
Здесь Szomc 834,5 108 см3 – статический момент площади части сечения,
расположенной выше линии, проходящей через точку K1;
b2 см – толщина стенки на уровне точки K1. Эпюры и для сечения С
балки показаны рис. 1.15.
Пример 1.7
Для балки, показанной на рис. 1.16, а, требуется:
1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным
сечениям (точкам).
2. Определить размеры поперечного сечения в виде круга, прямоугольника и
двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, сравнить площади
сечений.
3. Проверить подобранные размеры сечений балок по касательным напряжения.
Дано:
Решение:
1. Определяем реакции опор балки
Проверка:
2. Построение эпюр Q и М. Значения поперечных сил в характерных сечениях
балки
25
Рис. 1.16
На участках CA и AD интенсивность нагрузки q = const. Следовательно, на этих
участках эпюра Q ограничивается прямыми, наклонными к оси. На участке DB
интенсивность распределенной нагрузки q = 0, следовательно, на этом участке
эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси х. Эпюра Q для балки показана
на рис. 1.16,б. Значения изгибающих моментов в характерных сечениях балки:
На втором участке определяем абсциссу x2 сечения, в котором Q = 0:
Максимальный момент на втором участке
Эпюра М для балки показана на рис. 1.16, в.
2. Составляем условие прочности по нормальным напряжениям
откуда определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения
из выражения
определяемый требуемый диаметр d балки круглого
сечения
Площадь круглого сечения
Для балки прямоугольного сечения
Требуемая высота сечения
Площадь прямоугольного сечения
Определяем требуемый номер двутавровой балки. По таблицам ГОСТ 8239-89
находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления 597см3, которое соответствует двутавру № 33 с характеристиками: A z 9840 см4.
Проверка на допуск:
(недогрузка на 1 % от допустимого 5 %) ближайший
двутавр № 30 (W 2 см3) приводит к значительной перегрузке (более 5%).
Окончательно принимаем двутавр № 33.
Сравниваем площади круглого и прямоугольного сечений с наименьшей
площадью А двутавра:
Из трех рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое
сечение.
3. Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении
27
двутавровой балки (рис. 1.17, а):
Нормальные напряжения в стенке около полки двутаврового сечения балки
Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки показана на
рис. 1.17, б.
5. Определяем наибольшие касательные напряжения для подобранных сечений
балки.
а) прямоугольное сечение балки:
б) круглое сечение балки:
в) двутавровое сечение балки:
Касательные напряжения в стенке около полки двутавра в опасном сечении А
(справа) (в точке 2):
Эпюра касательных напряжений в опасных сечениях двутавра показана на рис.
1.17,в. Максимальные касательные напряжения в балке не превышают допускаемых
напряжений
Пример 1.8
Определить допускаемую нагрузку на балку (рис. 1.18, а), если60МПа,
размеры поперечного сечения заданы (рис. 1.19, а).
Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки при
допускаемой нагрузке.
Рис 1.18
1. Определение реакций опор балки. Ввиду симметрии системы
2. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям. Поперечные силы в
характерных сечениях балки:
Эпюра Q для балки показана на рис. 5.18, б.
Изгибающие моменты в характерных сечениях балки
Для второй половины балки ординаты М – по осям симметрии. Эпюра М для
балки показана на рис. 1.18, б.
3.Геометрические характеристики сечения (рис. 1.19).
Разбиваем фигуру на два простейших элемента: двутавр – 1 и прямоугольник –
2.
Рис. 1.19
По сортаменту для двутавра № 20 имеем
Для прямоугольника:
Статический момент площади сечения относительно оси z1
Расстояние от оси z1 до центра тяжести сечения
Момент инерции сечения относительно главной центральной оси z всего
сечения по формулам перехода к параллельным осям
4. Условие прочности по нормальным напряжениям для опасной точки «а»
(рис. 1.19) в опасном сечении I (рис. 1.18):
После подстановки числовых данных
5. При допускаемой нагрузке в опасном сечении нормальные напряжения в
точках «а» и «b» будут равны:
Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения 1-1 показана на рис.
1.19, б.
Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м. Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют. Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики: Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y. Из первого уравнения находим момент в заделке : Из второго уравнения – вертикальную реакцию : Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления. В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов. Сечение 1.
Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением. Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим. Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс». В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс». Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз. Сечение 2.
По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому Сечение 3.
Закрывая правую часть балки, найдем Сечение 4.
Закроем листком левую часть балки. Тогда По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в). Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН. На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид: где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен: Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле Принимаем мм. Тогда «Перенапряжение» составляет что допускается. Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле где – площадь поперечного сечения. Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом. Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м. Рис. 3.13 Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: . Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики: Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины. Делаем проверку: . Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс: то есть верно. Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а). Сечение 1.
Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением. Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому Сечение 2.
По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой). Сечение 3.
Закроем правую часть. Получим Сечение 4.
Закрываем листком правую часть балки. Тогда Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому То есть все верно. Сечение 5.
По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь Сечение 6.
Опять закроем левую часть балки. Получим По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в). Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН. На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.Статьи с близкой тематикой
Отзывы
См. также
Ссылки
Смотреть что такое "Изгиб (механика)" в других словарях:
Книги
Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб
Рис. 3.12Решение задачи "прямой поперечный изгиб"
Определяем опорные реакции
кН.
кН·м.
кН; кН·м.
кН;
кН·м.
кН·м.
.Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки
,
.
кН·см.
см.
кН/см2 кН/см2.
,Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям
,
кН. Тогда
кН/см2 кН/см2,Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2
Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб
Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема
Решение примера задачи на прямой изгиб
Определяем опорные реакции
;
кН.Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов
кН.
кН·м.
кН;
кН·м.
кН;
