Jednoducho povedané, ide o rovnice, v ktorých je v menovateli aspoň jedna s premennou.

Napríklad:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Príklad nie zlomkové racionálne rovnice:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Ako sa riešia zlomkové racionálne rovnice?

Hlavná vec, ktorú si treba pamätať na zlomkové racionálne rovnice, je, že do nich musíte písať. A po nájdení koreňov nezabudnite skontrolovať ich prípustnosť. V opačnom prípade sa môžu objaviť cudzie korene a celé riešenie sa bude považovať za nesprávne.

Algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice:

Vypísať a "riešiť" ODZ.

Vynásobte každý člen v rovnici spoločným menovateľom a znížte výsledné zlomky. Menovatelia zmiznú.

Napíšte rovnicu bez otvárania zátvoriek.

Vyriešte výslednú rovnicu.

Nájdené korene skontrolujte pomocou ODZ.

Ako odpoveď zapíšte korene, ktoré prešli testom v kroku 7.

Nezapamätajte si algoritmus, 3-5 vyriešených rovníc - a bude si to pamätať sám.

Príklad . Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Riešenie:

odpoveď: \(3\).

Príklad . Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice \(=0\)

Riešenie:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cbodka 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapisujeme a „riešime“ ODZ. Rozbaľte \(x^2+7x+10\) do vzorca: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Našťastie \(x_1\) a \(x_2\) sme už našli.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Je zrejmé, že spoločný menovateľ zlomkov: \((x+2)(x+5)\). Vynásobíme ním celú rovnicu.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Zredukujeme zlomky
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Otváranie zátvoriek
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dávame podobné podmienky
\(2x^2+9x-5=0\)		Hľadanie koreňov rovnice
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Jeden z koreňov sa nezmestí pod ODZ, takže ako odpoveď zapíšeme iba druhý koreň.

odpoveď: \(\frac(1)(2)\).

Riešenie zlomkových racionálnych rovníc

Pomocník

Racionálne rovnice sú rovnice, v ktorých ľavá aj pravá strana sú racionálnymi výrazmi.

(Pripomeňme si: racionálne výrazy sú celočíselné a zlomkové výrazy bez radikálov vrátane operácií sčítania, odčítania, násobenia alebo delenia - napríklad: 6x; (m - n) 2; x / 3y atď.)

Zlomkovo-racionálne rovnice sa spravidla redukujú na tvar:

Kde P(X) a Q(X) sú polynómy.

Na vyriešenie takýchto rovníc vynásobte obe strany rovnice Q(x), čo môže viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto pri riešení zlomkových racionálnych rovníc je potrebné skontrolovať nájdené korene.

Racionálna rovnica sa nazýva celé číslo alebo algebraická, ak nemá delenie výrazom obsahujúcim premennú.

Príklady celej racionálnej rovnice:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
-=2x-10
4

Ak v racionálnej rovnici existuje delenie výrazom obsahujúcim premennú (x), potom sa rovnica nazýva zlomková racionálna.

Príklad zlomkovej racionálnej rovnice:

15
x + - = 5x - 17
X

Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne riešia takto:

1) nájdite spoločného menovateľa zlomkov a vynásobte ním obe časti rovnice;

2) vyriešiť výslednú celú rovnicu;

3) vylúčiť z koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa zlomkov na nulu.

Príklady riešenia celočíselných a zlomkových racionálnych rovníc.

Príklad 1. Vyriešte celú rovnicu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Riešenie:

Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. To je 6. Vydeľte 6 menovateľom a výsledok vynásobte čitateľom každého zlomku. Dostaneme rovnicu ekvivalentnú tejto rovnici:

3 (x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Keďže menovateľ je na ľavej aj pravej strane rovnaký, možno ho vynechať. Potom máme jednoduchšiu rovnicu:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Riešime to otvorením zátvoriek a zmenšením podobných výrazov:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Príklad vyriešený.

Príklad 2. Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Nájdeme spoločného menovateľa. Toto je x(x - 5). Takže:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Teraz sa opäť zbavíme menovateľa, keďže je rovnaký pre všetky výrazy. Zredukujeme podobné pojmy, rovnicu prirovnáme k nule a dostaneme kvadratickú rovnicu:

x 2 - 3 x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3 x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3 x - 10 = 0.

Po vyriešení kvadratickej rovnice nájdeme jej korene: -2 a 5.

Pozrime sa, či tieto čísla sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Pre x = –2 spoločný menovateľ x(x – 5) nezaniká. Takže -2 je koreň pôvodnej rovnice.

Pri x = 5 spoločný menovateľ zaniká a dva z troch výrazov strácajú svoj význam. Takže číslo 5 nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Odpoveď: x = -2

Viac príkladov

Príklad 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Odpoveď: -2,2; 6.

Príklad 2

Prezentácia a lekcia na tému: "Racionálne rovnice. Algoritmus a príklady riešenia racionálnych rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 8
Manuál k učebnici Makarychev Yu.N. Manuál k učebnici Mordkovich A.G.

Úvod do iracionálnych rovníc

Chlapci, naučili sme sa riešiť kvadratické rovnice. Ale matematika sa neobmedzuje len na nich. Dnes sa naučíme riešiť racionálne rovnice. Pojem racionálnych rovníc je v mnohom podobný pojmu racionálnych čísel. Len okrem čísel sme teraz zaviedli aj nejakú premennú $x$. A tak dostaneme výraz, v ktorom sú operácie sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania na celé číslo.

Nech je $r(x)$ racionálne vyjadrenie. Takýmto výrazom môže byť jednoduchý polynóm v premennej $x$ alebo pomer polynómov (zavádza sa operácia delenia, ako pri racionálnych číslach).
Zavolá sa rovnica $r(x)=0$ racionálna rovnica.
Akákoľvek rovnica v tvare $p(x)=q(x)$, kde $p(x)$ a $q(x)$ sú racionálne výrazy, bude tiež racionálna rovnica.

Zvážte príklady riešenia racionálnych rovníc.

Príklad 1
Vyriešte rovnicu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Riešenie.
Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ak by na ľavej strane rovnice boli zastúpené obyčajné čísla, potom by sme priviedli dva zlomky k spoločnému menovateľovi.
Urobme toto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dostali sme rovnicu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Zlomok je nula práve vtedy, ak je čitateľ zlomku nulový a menovateľ nenulový. Potom samostatne prirovnajte čitateľa k nule a nájdite korene čitateľa.
$3(x^2+2x-3)=0$ alebo $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Teraz skontrolujme menovateľ zlomku: $(x-3)*x≠0$.
Súčin dvoch čísel sa rovná nule, keď sa aspoň jedno z týchto čísel rovná nule. Potom: $x≠0$ alebo $x-3≠0$.
$x≠0$ alebo $x≠3$.
Korene získané v čitateli a menovateli sa nezhodujú. Takže ako odpoveď zapíšeme oba korene čitateľa.
Odpoveď: $x=1$ alebo $x=-3$.

Ak sa náhle jeden z koreňov čitateľa zhoduje s koreňom menovateľa, mal by sa vylúčiť. Takéto korene sa nazývajú cudzie!

Algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy obsiahnuté v rovnici naľavo od znamienka rovnosti.
2. Preveďte túto časť rovnice na algebraický zlomok: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Výsledný čitateľ prirovnajte k nule, čiže vyriešte rovnicu $p(x)=0$.
4. Priraďte menovateľa k nule a vyriešte výslednú rovnicu. Ak sa korene menovateľa zhodujú s koreňmi čitateľa, mali by byť z odpovede vylúčené.

Príklad 2
Vyriešte rovnicu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Riešenie.
Budeme riešiť podľa bodov algoritmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Prirovnajte čitateľa k nule: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Prirovnajte menovateľa k nule:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ a $x=-1$.
Jeden z koreňov $x=1$ sa zhodoval s koreňom čitateľa, potom ho v odpovedi nezapisujeme.
Odpoveď: $x=-1$.

Racionálne rovnice je vhodné riešiť metódou zmeny premenných. Poďme si to ukázať.

Príklad 3
Vyriešte rovnicu: $x^4+12x^2-64=0$.

Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x^2$.
Potom bude mať naša rovnica tvar:
$t^2+12t-64=0$ je obyčajná kvadratická rovnica.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 doláre.
Zavedme inverznú náhradu: $x^2=4$ alebo $x^2=-16$.
Korene prvej rovnice sú dvojice čísel $x=±2$. Druhý nemá korene.
Odpoveď: $x=±2$.

Príklad 4
Vyriešte rovnicu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riešenie.
Predstavme si novú premennú: $t=x^2+x+1$.
Potom bude mať rovnica tvar: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ďalej budeme konať podľa algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 doláre.
4. $t≠-2$ - korene sa nezhodujú.
Zavádzame spätnú substitúciu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Poďme riešiť každú rovnicu samostatne:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korene.
A druhá rovnica: $x^2+x-2=0$.
Korene tejto rovnice budú čísla $x=-2$ a $x=1$.
Odpoveď: $x=-2$ a $x=1$.

Príklad 5
Vyriešte rovnicu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x+\frac(1)(x)$.
potom:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ alebo $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dostali sme rovnicu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korene tejto rovnice sú dvojice:
$t=-3$ a $t=2$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Rozhodneme sa samostatne.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koreňom tejto rovnice je číslo $x=1$.
Odpoveď: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Úlohy na samostatné riešenie

Riešiť rovnice:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Na zjednodušenie tejto rovnice sa používa najmenší spoločný menovateľ. Táto metóda sa používa, keď nemôžete napísať danú rovnicu s jedným racionálnym výrazom na každej strane rovnice (a použite metódu krížového násobenia). Táto metóda sa používa, keď dostanete racionálnu rovnicu s 3 alebo viacerými zlomkami (v prípade dvoch zlomkov je lepšie krížové násobenie).

Nájdite najmenší spoločný menovateľ zlomkov (alebo najmenší spoločný násobok). NOZ je najmenšie číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné každým menovateľom.

• Niekedy je NOZ zjavným číslom. Napríklad, ak je daná rovnica: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, potom je zrejmé, že najmenší spoločný násobok čísel 3, 2 a 6 bude 6.
• Ak NOD nie je zrejmé, zapíšte si násobky najväčšieho menovateľa a nájdite medzi nimi taký, ktorý je násobkom aj ostatných menovateľov. NOD často nájdete jednoduchým vynásobením dvoch menovateľov dohromady. Napríklad, ak je daná rovnica x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, potom NOZ = 8*9 = 72.
• Ak jeden alebo viac menovateľov obsahuje premennú, potom je proces o niečo komplikovanejší (ale nie nemožný). NOZ je v tomto prípade výraz (obsahujúci premennú), ktorý je deliteľný každým menovateľom. Napríklad v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), pretože tento výraz je deliteľný každým menovateľom: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Vynásobte čitateľa aj menovateľa každého zlomku číslom, ktoré sa rovná výsledku delenia NOZ príslušným menovateľom každého zlomku. Keďže násobíte čitateľa aj menovateľa rovnakým číslom, v skutočnosti násobíte zlomok číslom 1 (napríklad 2/2 = 1 alebo 3/3 = 1).

• V našom príklade teda vynásobte x/3 2/2, aby ste dostali 2x/6, a vynásobte 1/2 3/3, aby ste dostali 3/6 (3x + 1/6 nie je potrebné násobiť, pretože menovateľ je 6).
• Podobne postupujte, keď je premenná v menovateli. V našom druhom príklade NOZ = 3x(x-1), takže 5/(x-1) krát (3x)/(3x) je 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x krát 3(x-1)/3(x-1), čím získate 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) vynásobte (x-1)/(x-1) a dostanete 2(x-1)/3x(x-1).

Nájdite x. Teraz, keď ste zlomky zredukovali na spoločného menovateľa, môžete sa menovateľa zbaviť. Ak to chcete urobiť, vynásobte každú stranu rovnice spoločným menovateľom. Potom vyriešte výslednú rovnicu, to znamená nájdite "x". Ak to chcete urobiť, izolujte premennú na jednej strane rovnice.

• V našom príklade: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Môžete pridať 2 zlomky s rovnakým menovateľom, takže rovnicu napíšte ako: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Vynásobte obe strany rovnice 6 a zbavte sa menovateľov: 2x+3 = 3x +1. Vyriešte a získajte x = 2.
• V našom druhom príklade (s premennou v menovateli) rovnica vyzerá (po redukcii na spoločného menovateľa): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Vynásobením oboch strán rovnice NOZ sa zbavíte menovateľa a dostanete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), alebo 15x = 3x - 3 + 2x -2, príp. 15x = x - 5 Vyriešte a dostanete: x = -5/14.

Smirnova Anastasia Yurievna

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.

Forma organizácie vzdelávacích aktivít: čelný, individuálny.

Účel lekcie: predstaviť nový typ rovníc - zlomkové racionálne rovnice, poskytnúť predstavu o algoritme na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.

Ciele lekcie.

Návod:

• tvorba konceptu zlomkovo racionálnej rovnice;
• zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule;
• naučiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc podľa algoritmu.

vyvíja sa:

• vytvárať podmienky na formovanie zručností aplikovať získané vedomosti;
• podporovať rozvoj kognitívneho záujmu študentov o predmet;
• rozvíjanie schopnosti študentov analyzovať, porovnávať a vyvodzovať závery;
• rozvoj zručností vzájomnej kontroly a sebakontroly, pozornosti, pamäti, ústneho a písomného prejavu, samostatnosti.

Pestovanie:

• vzdelávanie kognitívneho záujmu o predmet;
• výchova k samostatnosti pri riešení výchovných problémov;
• výchova vôle a vytrvalosti k dosiahnutiu konečných výsledkov.

Vybavenie: učebnica, tabuľa, farbičky.

Učebnica "Algebra 8". Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, editoval S.A.Telyakovsky. Moskovské „osvietenie“. 2010

Na túto tému je vyčlenených päť hodín. Táto lekcia je prvá. Hlavná vec je naštudovať si algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc a tento algoritmus vypracovať v cvičeniach.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Dnes by som rád začal našu lekciu štvorverším:
Aby sme uľahčili život všetkým
Čo by sa rozhodlo, čo by mohlo,
Úsmev, veľa šťastia všetkým
Bez ohľadu na to, aké problémy
Usmiali sme sa na seba, vytvorili si dobrú náladu a pustili sa do práce.

Rovnice sú napísané na tabuli, pozorne si ich prezrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

Rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú zlomkové racionálne vyjadrenia, sa nazývajú zlomkové racionálne rovnice. Čo si myslíte, že sa dnes na lekcii naučíme? Formulujte tému lekcie. Takže otvárame notebooky a zapisujeme si tému lekcie „Riešenie zlomkových racionálnych rovníc“.

2. Aktualizácia poznatkov. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý potrebujeme na preštudovanie novej témy. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

1. čo je rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)
2. Ako sa volá rovnica #1? ( Lineárne.) Metóda riešenia lineárnych rovníc. ( Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Prineste podobné podmienky. Nájdite neznámy multiplikátor).
3. Ako sa volá rovnica 3? ( Námestie.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. (P o vzorcoch)
4. Čo je to pomer? ( Rovnosť dvoch vzťahov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer pravdivý, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)
5. Aké vlastnosti sa používajú na riešenie rovníc? ( 1. Ak v rovnici prenesieme člen z jednej časti do druhej, pričom zmeníme jeho znamienko, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej. 2. Ak sa obe časti rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým nenulovým číslom, získa sa rovnica, ktorá je ekvivalentná danému.)
6. Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok je nula, keď je čitateľ nula a menovateľ je nenulový.)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Riešte rovnicu č.4 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

x 2 - 7 x + 12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Odpoveď: 3;4.

Riešením rovníc typu rovnica č.7 sa budeme zaoberať v nasledujúcich lekciách.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Žiaci sa doteraz s pojmom cudzieho koreňa nestretli, je pre nich naozaj veľmi ťažké pochopiť, prečo sa tak stalo. Ak nikto v triede nevie dať jasné vysvetlenie tejto situácie, potom učiteľ položí navádzacie otázky.

• Ako sa líšia rovnice č. 2 a 4 od rovníc č. 5.6? ( V rovniciach č.2 a 4 v menovateli čísla, č.5-6 - výrazy s premennou.)
• Čo je koreňom rovnice? ( Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva skutočnou rovnosťou.)
• Ako zistiť, či je číslo koreňom rovnice? ( Vykonajte kontrolu.)

Pri testovaní si niektorí študenti všimnú, že musia deliť nulou. Dospeli k záveru, že čísla 0 a 5 nie sú koreňmi tejto rovnice. Vynára sa otázka: existuje spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, ktorý túto chybu eliminuje? Áno, táto metóda je založená na podmienke, že zlomok sa rovná nule.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti samy formulujú algoritmus.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetko doľava.
2. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.
3. Vytvorte systém: zlomok je nula, keď čitateľ je nula a menovateľ nie je nula.
4. Vyriešte rovnicu.
5. Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.
6. Zapíšte si odpoveď.

4. Primárne pochopenie nového materiálu.

Pracovať v pároch. Študenti si sami vyberú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: č. 600(b, c); č. 601(a, e). Učiteľ kontroluje plnenie úlohy, odpovedá na vzniknuté otázky a poskytuje pomoc slabo prospievajúcim žiakom. Autotest: Odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 - cudzí koreň. Odpoveď: 3.

c) 2 - cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

5. Vyhlásenie domácej úlohy.

1. Prečítajte si bod 25 z učebnice, analyzujte príklady 1-3.
2. Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.
3. Riešte v zošitoch č. 600 (d, e); Č. 601 (g, h).

6. Zhrnutie lekcie.

Takže dnes v lekcii sme sa zoznámili s zlomkovými racionálnymi rovnicami, naučili sme sa, ako tieto rovnice riešiť rôznymi spôsobmi. Bez ohľadu na to, ako sa riešia zlomkové racionálne rovnice, čo treba mať na pamäti? V čom spočíva „prefíkanosť“ zlomkových racionálnych rovníc?

Ďakujem vám všetkým, lekcia sa skončila.