Definícia lineárnej funkcie
Uveďme definíciu lineárnej funkcie
Definícia
Funkcia v tvare $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, sa nazýva lineárna funkcia.
Graf lineárnej funkcie je priamka. Číslo $k$ sa nazýva sklon priamky.
Keď $b=0$, lineárna funkcia sa nazýva funkcia priamej úmernosti $y=kx$.
Zvážte obrázok 1.
Ryža. 1. Geometrický význam sklonu priamky
Zvážte trojuholník ABC. Vidíme, že $ВС=kx_0+b$. Nájdite priesečník priamky $y=kx+b$ s osou $Ox$:
\ \
Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nájdite pomer týchto strán:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
Na druhej strane $\frac(BC)(AC)=tg\uhol A$.
Môžeme teda vyvodiť nasledujúci záver:
Záver
Geometrický význam koeficientu $k$. Uhlový koeficient priamky $k$ sa rovná dotyčnici uhla sklonu tejto priamky k osi $Ox$.
Štúdium lineárnej funkcie $f\left(x\right)=kx+b$ a jej grafu
Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.
- $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx+b\vpravo))"=k>0$. V dôsledku toho sa táto funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Graf (obr. 2).
Ryža. 2. Grafy funkcie $y=kx+b$, pre $k > 0$.
Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k
- Definičnou doménou sú všetky čísla.
- Rozsah hodnôt sú všetky čísla.
- $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcia nie je párna ani nepárna.
- Pre $x=0,f\vľavo(0\vpravo)=b$. Keď $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.
Priesečníky so súradnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$
- $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Preto funkcia nemá žiadne inflexné body.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Graf (obr. 3).
Uvažujme funkciu y=k/y. Grafom tejto funkcie je priamka, ktorá sa v matematike nazýva hyperbola. Celkový pohľad na hyperbolu je znázornený na obrázku nižšie. (V grafe je znázornená funkcia y sa rovná k delená x, pre ktorú sa k rovná jednej.)
Je vidieť, že graf pozostáva z dvoch častí. Tieto časti sa nazývajú vetvy hyperboly. Za zmienku tiež stojí, že každá vetva hyperboly sa približuje jedným zo smerov bližšie a bližšie k súradnicovým osám. Súradnicové osi sa v tomto prípade nazývajú asymptoty.
Vo všeobecnosti sa akékoľvek priame čiary, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nedosahuje, nazývajú asymptoty. Hyperbola, podobne ako parabola, má osi symetrie. Pre hyperbolu znázornenú na obrázku vyššie je to priamka y=x.
Teraz sa pozrime na dva bežné prípady hyperboly. Grafom funkcie y = k/x pre k ≠0 bude hyperbola, ktorej vetvy sa nachádzajú buď v prvom a treťom súradnicovom uhle, pre k>0, alebo v druhom a štvrtom súradnicovom uhle, vidlička<0.
Základné vlastnosti funkcie y = k/x, pre k>0
Graf funkcie y = k/x, pre k>0
5. y>0 pri x>0; y6. Funkcia klesá na intervale (-∞;0) aj na intervale (0;+∞).
10. Rozsah hodnôt funkcie sú dva otvorené intervaly (-∞;0) a (0;+∞).
Základné vlastnosti funkcie y = k/x, pre k<0
Graf funkcie y = k/x, pri k<0
1. Bod (0;0) je stredom symetrie hyperboly.
2. Súradnicové osi - asymptoty hyperboly.
4. Definičný obor funkcie je všetky x okrem x=0.
5. y>0 pri x0.
6. Funkcia sa zvyšuje na intervale (-∞;0) aj na intervale (0;+∞).
7. Funkcia nie je obmedzená ani zdola, ani zhora.
8. Funkcia nemá maximálnu ani minimálnu hodnotu.
9. Funkcia je spojitá na intervale (-∞;0) a na intervale (0;+∞). Má medzeru pri x=0.
Pojem numerickej funkcie. Metódy určenia funkcie. Vlastnosti funkcií.
Číselná funkcia je funkcia, ktorá pôsobí z jedného číselného priestoru (množiny) do iného číselného priestoru (množiny).
Tri hlavné spôsoby definovania funkcie: analytická, tabuľková a grafická.
1. Analytický.
Metóda špecifikácie funkcie pomocou vzorca sa nazýva analytická. Táto metóda je hlavná v podložke. analýzy, ale v praxi to nie je pohodlné.
2. Tabuľkový spôsob určenia funkcie.
Funkciu je možné zadať pomocou tabuľky obsahujúcej hodnoty argumentov a ich zodpovedajúce hodnoty funkcií.
3. Grafický spôsob určenia funkcie.
O funkcii y=f(x) sa hovorí, že je daná graficky, ak je skonštruovaný jej graf. Tento spôsob zadávania funkcie umožňuje určiť hodnoty funkcie len približne, pretože zostrojenie grafu a nájdenie funkčných hodnôt na ňom je spojené s chybami.
Vlastnosti funkcie, ktoré treba brať do úvahy pri konštrukcii jej grafu:
1) Definičný obor funkcie.
doména funkcie, teda tie hodnoty, ktoré môže nadobudnúť argument x funkcie F =y (x).
2) Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií.
Funkcia sa nazýva zvyšovanie na uvažovanom intervale, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie y(x). To znamená, že ak sú z uvažovaného intervalu prevzaté dva ľubovoľné argumenty x 1 a x 2 a x 1 > x 2, potom y(x 1) > y(x 2).
Funkcia sa nazýva klesajúca na uvažovanom intervale, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie y(x). To znamená, že ak sa z uvažovaného intervalu prevezmú dva ľubovoľné argumenty x 1 a x 2 a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Funkčné nuly.
Body, v ktorých funkcia F = y (x) pretína os x (získame ich riešením rovnice y(x) = 0), sa nazývajú nuly funkcie.
4) Párne a nepárne funkcie.
Funkcia sa nazýva párna, ak pre všetky hodnoty argumentov z rozsahu
y(-x) = y(x).
Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.
Funkcia sa nazýva nepárna, ak pre všetky hodnoty argumentu z domény definície
y(-x) = -y(x).
Graf párnej funkcie je symetrický podľa počiatku.
Mnohé funkcie nie sú párne ani nepárne.
5) Periodicita funkcie.
Funkcia sa nazýva periodická, ak existuje číslo P také, že pre všetky hodnoty argumentu z oblasti definície
y(x + P) = y(x).
Lineárna funkcia, jej vlastnosti a graf.
Lineárna funkcia je funkciou formy y = kx + b, definované na množine všetkých reálnych čísel.
k– sklon (skutočné číslo)
b– fiktívny výraz (skutočné číslo)
X- nezávislá premenná.
· V špeciálnom prípade, ak k = 0, dostaneme konštantnú funkciu y = b, ktorej grafom je priamka rovnobežná s osou Ox prechádzajúca bodom so súradnicami (0; b).
· Ak b = 0, potom dostaneme funkciu y = kx, čo je priama úmernosť.
o Geometrický význam koeficientu b je dĺžka segmentu, ktorý priamka odreže pozdĺž osi Oy, počítajúc od začiatku.
o Geometrický význam koeficientu k je uhol sklonu priamky voči kladnému smeru osi Ox, vypočítaný proti smeru hodinových ručičiek.
Vlastnosti lineárnej funkcie:
1) Definičný obor lineárnej funkcie je celá reálna os;
2) Ak k ≠ 0, potom rozsah hodnôt lineárnej funkcie je celá reálna os.
Ak k = 0, potom rozsah hodnôt lineárnej funkcie pozostáva z čísla b;
3) Rovnomernosť a nepárnosť lineárnej funkcie závisí od hodnôt koeficientov k a b.
a) b ≠ 0, k = 0, teda y = b – párne;
b) b = 0, k ≠ 0, teda y = kx – nepárne;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, teda y = kx + b je funkciou všeobecného tvaru;
d) b = 0, k = 0, preto y = 0 je párna aj nepárna funkcia.
4) Lineárna funkcia nemá vlastnosť periodicity;
5) Priesečníky so súradnicovými osami:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, teda (-b/k; 0) je priesečník s osou x.
Oy: y = 0k + b = b, teda (0; b) je priesečník s ordinátou.
Komentujte. Ak b = 0 ak = 0, potom funkcia y = 0 zaniká pre akúkoľvek hodnotu premennej x. Ak b ≠ 0 ak = 0, potom funkcia y = b nezaniká pre žiadnu hodnotu premennej x.
6) Intervaly konštantného znamienka závisia od koeficientu k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – kladné na x od (-b/k; +∞),
y = kx + b – záporné pre x od (-∞; -b/k).
b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – kladné na x od (-∞; -b/k),
y = kx + b – záporné pre x z (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b je kladné v celej oblasti definície,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Intervaly monotónnosti lineárnej funkcie závisia od koeficientu k.
k > 0, preto y = kx + b rastie v celej oblasti definície,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Funkcia y = ax 2 + bx + c, jej vlastnosti a graf.
| Funkcia y = ax 2 + bx + c (a, b, c sú konštanty, a ≠ 0) sa nazýva kvadratický V najjednoduchšom prípade y = ax 2 (b = c = 0) je graf zakrivená čiara prechádzajúca počiatkom. Krivka slúžiaca ako graf funkcie y = ax 2 je parabola. Každá parabola má os symetrie tzv os paraboly. Bod O priesečníka paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly. |
 |
| Graf môžeme zostrojiť podľa nasledujúcej schémy: 1) Nájdite súradnice vrcholu paraboly x 0 = -b/2a; yo = y(x 0). 2) Zostrojíme ešte niekoľko bodov, ktoré patria do paraboly, pri zostrojení môžeme použiť symetrie paraboly voči priamke x = -b/2a. 3) Spojte označené body hladkou čiarou. Príklad. Nakreslite graf funkcie b = x 2 + 2x - 3. Riešenia. Grafom funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor. Súradnica vrcholu paraboly x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, jej ordináty y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Takže vrchol paraboly je bod (-1; -4). Zostavme tabuľku hodnôt pre niekoľko bodov, ktoré sa nachádzajú napravo od osi symetrie paraboly - priamka x = -1. Vlastnosti funkcie.
|
>>Matematika: Lineárna funkcia a jej graf
Lineárna funkcia a jej graf
Algoritmus na zostavenie grafu rovnice ax + by + c = 0, ktorý sme sformulovali v § 28, sa matematikom pri všetkej jeho prehľadnosti a istote veľmi nepáči. Zvyčajne robia nároky na prvé dva kroky algoritmu. Prečo, hovoria, riešiť rovnicu dvakrát pre premennú y: najprv ax1 + by + c = O, potom ax1 + by + c = O? Nie je lepšie okamžite vyjadriť y z rovnice ax + by + c = 0, potom bude jednoduchšie vykonávať výpočty (a čo je najdôležitejšie, rýchlejšie)? Skontrolujme to. Najprv zvážime rovnica 3x - 2r + 6 = 0 (pozri príklad 2 z § 28).
Zadaním x špecifických hodnôt je ľahké vypočítať zodpovedajúce hodnoty y. Napríklad, keď x = 0, dostaneme y = 3; pri x = -2 máme y = 0; pre x = 2 máme y = 6; pre x = 4 dostaneme: y = 9.
Vidíte, ako ľahko a rýchlo sa našli body (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) a (4; 9), ktoré boli zvýraznené v príklade 2 z § 28.
Rovnakým spôsobom by sa dala previesť rovnica bx - 2y = 0 (pozri príklad 4 z § 28) do tvaru 2y = 16 -3x. ďalej y = 2,5x; nie je ťažké nájsť body (0; 0) a (2; 5), ktoré spĺňajú túto rovnicu.
Nakoniec rovnicu 3x + 2y - 16 = 0 z toho istého príkladu možno transformovať do tvaru 2y = 16 -3x a potom nie je ťažké nájsť body (0; 0) a (2; 5), ktoré jej vyhovujú.
Pozrime sa teraz na tieto transformácie vo všeobecnej forme.
Lineárnu rovnicu (1) s dvoma premennými x a y je teda možné vždy transformovať do tvaru
y = kx + m,(2) kde k,m sú čísla (koeficienty) a .
Tento konkrétny typ lineárnej rovnice budeme nazývať lineárna funkcia.
Pomocou rovnosti (2) je ľahké určiť konkrétnu hodnotu x a vypočítať zodpovedajúcu hodnotu y. Nech napr.
y = 2x + 3. Potom:
ak x = 0, potom y = 3;
ak x = 1, potom y = 5;
ak x = -1, potom y = 1;
ak x = 3, potom y = 9 atď.
Zvyčajne sú tieto výsledky prezentované vo forme tabuľky:
Hodnoty y z druhého riadku tabuľky sa nazývajú hodnoty lineárnej funkcie y = 2x + 3 v bodoch x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.
V rovnici (1) sú premenné hnu rovnaké, ale v rovnici (2) nie sú: jednej z nich - premennej x priraďujeme konkrétne hodnoty, pričom hodnota premennej y závisí od zvolenej hodnoty premennej x. Preto zvyčajne hovoríme, že x je nezávislá premenná (alebo argument), y je závislá premenná.
Všimnite si, že lineárna funkcia je špeciálny druh lineárnej rovnice s dvoma premennými. Graf rovnice y - kx + m, ako každá lineárna rovnica s dvoma premennými, je priamka - nazýva sa aj grafom lineárnej funkcie y = kx + m. Platí teda nasledujúca veta.
Príklad 1 Zostrojte graf lineárnej funkcie y = 2x + 3.
Riešenie. Urobme si tabuľku:
V druhej situácii nezávislá premenná x, ktorá rovnako ako v prvej situácii označuje počet dní, môže nadobúdať iba hodnoty 1, 2, 3, ..., 16. Ak x = 16, potom pomocou vzorca y = 500 - 30x zistíme : y = 500 - 30 16 = 20. To znamená, že už na 17. deň nebude možné vyskladniť 30 ton uhlia, keďže k tomuto dňu už len 20 ton zostane v sklade a proces odvozu uhlia sa bude musieť zastaviť. Preto rafinovaný matematický model druhej situácie vyzerá takto:
y = 500 - ZOD:, kde x = 1, 2, 3, .... 16.
V tretej situácii nezávislý premenlivý x môže teoreticky nadobudnúť akúkoľvek nezápornú hodnotu (napríklad hodnota x = 0, hodnota x = 2, hodnota x = 3,5 atď.), ale prakticky turista nemôže kráčať konštantnou rýchlosťou bez spánku a odpočinku za akúkoľvek sumu času. Takže sme potrebovali urobiť rozumné obmedzenia pre x, povedzme 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
Pripomeňme, že geometrický model neprísnej dvojitej nerovnosti 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .
Dohodnime sa, že namiesto slovného spojenia „x patrí do množiny X“ (čítaj: „prvok x patrí do množiny X“, e je znakom príslušnosti) napíšeme. Ako vidíte, naše zoznamovanie sa s matematickým jazykom neustále prebieha.
Ak by sa lineárna funkcia y = kx + m mala brať do úvahy nie pre všetky hodnoty x, ale iba pre hodnoty x z určitého číselného intervalu X, potom píšu:
Príklad 2. Vytvorte graf lineárnej funkcie:
Riešenie, a) Zostavme tabuľku pre lineárnu funkciu y = 2x + 1
Zostrojme body (-3; 7) a (2; -3) v súradnicovej rovine xOy a narysujme cez ne priamku. Toto je graf rovnice y = -2x: + 1. Ďalej vyberte úsečku spájajúcu zostrojené body (obr. 38). Tento segment je grafom lineárnej funkcie y = -2x+1, kdexe [-3, 2].
Zvyčajne hovoria toto: na úsečku [- 3, 2] sme nakreslili lineárnu funkciu y = - 2x + 1.
b) Ako sa tento príklad líši od predchádzajúceho? Lineárna funkcia je rovnaká (y = -2x + 1), čo znamená, že ako jej graf slúži rovnaká priamka. Ale buď opatrný! - tentoraz x e (-3, 2), t.j. hodnoty x = -3 a x = 2 sa neberú do úvahy, nepatria do intervalu (- 3, 2). Ako sme označili konce intervalu na súradnicovej čiare? Svetlé kruhy (obr. 39), o tom sme hovorili v § 26. Podobne body (- 3; 7) a B; - 3) budú musieť byť na výkrese označené svetlými krúžkami. To nám pripomenie, že sa berú len tie body priamky y = - 2x + 1, ktoré ležia medzi bodmi označenými krúžkami (obr. 40). Niekedy však v takýchto prípadoch používajú skôr šípky ako svetelné kruhy (obr. 41). To nie je zásadné, hlavnou vecou je pochopiť, čo sa hovorí.
Príklad 3 Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty lineárnej funkcie na segmente.
Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu
Zostrojme body (0; 4) a (6; 7) na súradnicovej rovine xOy a narysujme cez ne priamku - graf lineárnej funkcie x (obr. 42).
Túto lineárnu funkciu musíme uvažovať nie ako celok, ale na segmente, t.j. pre x e.
Zodpovedajúci segment grafu je na výkrese zvýraznený. Poznamenávame, že najväčšia ordináta bodov patriacich do vybranej časti sa rovná 7 - to je najväčšia hodnota lineárnej funkcie na segmente. Zvyčajne sa používa nasledujúci zápis: y max =7.
Poznamenávame, že najmenšia ordináta bodov patriacich k časti čiary zvýraznenej na obrázku 42 sa rovná 4 – to je najmenšia hodnota lineárnej funkcie na segmente.
Zvyčajne sa používa nasledujúci zápis: y meno. = 4.
Príklad 4. Nájdite y naib a y naim. pre lineárnu funkciu y = -1,5x + 3,5
a) na segmente; b) na intervale (1,5);
c) v polovičnom intervale.
Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu y = -l,5x + 3,5:
Zostrojme body (1; 2) a (5; - 4) v súradnicovej rovine xOy a narysujme cez ne priamku (obr. 43-47). Vyberme na zostrojenej priamke časť zodpovedajúcu hodnotám x zo segmentu (obr. 43), z intervalu A, 5) (obr. 44), z polovičného intervalu (obr. 47).
a) Pomocou obrázku 43 je ľahké usúdiť, že y max = 2 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 1) a y min. = - 4 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 5).
b) Pomocou obrázku 44 sme dospeli k záveru: táto lineárna funkcia nemá ani najväčšie, ani najmenšie hodnoty v danom intervale. prečo? Faktom je, že na rozdiel od predchádzajúceho prípadu sú oba konce segmentu, v ktorých boli dosiahnuté najväčšie a najmenšie hodnoty, vylúčené z úvahy.
c) Pomocou obrázku 45 sme dospeli k záveru, že y max. = 2 (ako v prvom prípade) a lineárna funkcia nemá minimálnu hodnotu (ako v druhom prípade).
d) Pomocou obrázku 46 dospejeme k záveru: y max = 3,5 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 0) a y max. neexistuje.
e) Pomocou obrázku 47 dospejeme k záveru: y max = -1 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 3) a y max neexistuje.
Príklad 5. Vytvorte graf lineárnej funkcie
y = 2x - 6. Pomocou grafu odpovedzte na nasledujúce otázky:
a) pri akej hodnote x bude y = 0?
b) pre aké hodnoty x bude y > 0?
c) pri akých hodnotách x bude y< 0?
Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu y = 2x-6:
Cez body (0; - 6) a (3; 0) vedieme priamku - graf funkcie y = 2x - 6 (obr. 48).
a) y = 0 pri x = 3. Graf pretína os x v bode x = 3, toto je bod s ordinátou y = 0.
b) y > 0 pre x > 3. V skutočnosti, ak x > 3, potom sa priamka nachádza nad osou x, čo znamená, že súradnice zodpovedajúcich bodov priamky sú kladné.
c) pri< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A
Upozorňujeme, že v tomto príklade sme použili graf na riešenie:
a) rovnica 2x - 6 = 0 (dostali sme x = 3);
b) nerovnosť 2x - 6 > 0 (dostali sme x > 3);
c) nerovnosť 2x - 6< 0 (получили х < 3).
Komentujte. V ruštine sa ten istý objekt často nazýva inak, napríklad: „dom“, „budova“, „štruktúra“, „chata“, „zámok“, „kasáreň“, „chatrč“, „chata“. V matematickom jazyku je situácia približne rovnaká. Povedzme, že rovnosť s dvoma premennými y = kx + m, kde k, m sú špecifické čísla, sa dá nazvať lineárnou funkciou, dá sa nazvať lineárnou rovnicou s dvoma premennými x a y (alebo s dvoma neznámymi x a y), dá sa nazvať vzorec, dá sa nazvať vzťahom spájajúcim x a y, nakoniec sa dá nazvať závislosť medzi x a y. Nezáleží na tom, hlavnou vecou je pochopiť, že vo všetkých prípadoch hovoríme o matematickom modeli y = kx + m
.
Zoberme si graf lineárnej funkcie znázornený na obrázku 49, a. Ak sa pohybujeme po tomto grafe zľava doprava, súradnice bodov na grafe sa neustále zväčšujú, ako keby sme „šplhali do kopca“. V takýchto prípadoch matematici používajú termín zvýšenie a hovoria toto: ak k>0, potom lineárna funkcia y = kx + m rastie.
Zoberme si graf lineárnej funkcie znázornený na obrázku 49, b. Ak sa pohybujeme po tomto grafe zľava doprava, potom súradnice bodov na grafe neustále klesajú, akoby sme „šli z kopca“. V takýchto prípadoch matematici používajú termín pokles a hovoria toto: ak k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.
Lineárna funkcia v živote
Teraz si zhrňme túto tému. Už sme sa zoznámili s takým pojmom, ako je lineárna funkcia, poznáme jej vlastnosti a naučili sme sa zostavovať grafy. Tiež ste zvážili špeciálne prípady lineárnych funkcií a naučili ste sa, od čoho závisí relatívna poloha grafov lineárnych funkcií. Ukazuje sa však, že s týmto matematickým modelom sa neustále stretávame aj v našom každodennom živote.
Zamyslime sa nad tým, aké skutočné životné situácie sú spojené s takou koncepciou, ako sú lineárne funkcie? A tiež, medzi akými veličinami alebo životnými situáciami je možné stanoviť lineárny vzťah?
Mnohí z vás pravdepodobne celkom nechápu, prečo potrebujú študovať lineárne funkcie, pretože je nepravdepodobné, že by to bolo užitočné v neskoršom živote. Tu sa však hlboko mýlite, pretože s funkciami sa stretávame stále a všade. Pretože aj bežný mesačný nájom je funkcia, ktorá závisí od mnohých premenných. A tieto premenné zahŕňajú plochu, počet obyvateľov, tarify, spotrebu elektriny atď.
Samozrejme, najčastejšie príklady lineárnych funkcií závislosti, s ktorými sme sa stretli, sú na hodinách matematiky.
Vy a ja sme riešili problémy, kde sme zisťovali vzdialenosti prejdené autami, vlakmi alebo chodcami pri určitej rýchlosti. Ide o lineárne funkcie času pohybu. Ale tieto príklady sú použiteľné nielen v matematike, sú prítomné aj v našom každodennom živote.
Obsah kalórií v mliečnych výrobkoch závisí od obsahu tuku a takáto závislosť je zvyčajne lineárna funkcia. Napríklad, keď sa zvýši percento tuku v kyslej smotane, zvýši sa aj obsah kalórií v produkte.
Teraz urobme výpočty a nájdime hodnoty k a b riešením systému rovníc:
Teraz odvodíme vzorec závislosti:
V dôsledku toho sme získali lineárny vzťah.
Poznať rýchlosť šírenia zvuku v závislosti od teploty je možné zistiť pomocou vzorca: v = 331 +0,6t, kde v je rýchlosť (v m/s), t je teplota. Ak nakreslíme graf tohto vzťahu, uvidíme, že bude lineárny, to znamená, že bude predstavovať priamku.
A takéto praktické využitie poznatkov pri aplikácii lineárnej funkčnej závislosti možno vymenovať ešte dlho. Počnúc poplatkami za telefón, dĺžkou a rastom vlasov a dokonca aj prísloviami v literatúre. A tento zoznam pokračuje ďalej a ďalej.
Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie
A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie
Inštrukcie
Existuje niekoľko spôsobov riešenia lineárnych funkcií. Uveďme si najviac z nich. Najčastejšie používanou metódou je postupná substitučná metóda. V jednej z rovníc je potrebné vyjadriť jednu premennú inou a dosadiť ju do inej rovnice. A tak ďalej, kým v jednej z rovníc nezostane iba jedna premenná. Aby ste to vyriešili, musíte na jednej strane znamienka rovnosti ponechať premennú (môže byť s koeficientom) a na druhej strane znamienka rovnosti všetky číselné údaje, pričom nezabudnite zmeniť znamienko čísla na opačnú pri prenose. Po vypočítaní jednej premennej ju dosaďte do iných výrazov a pokračujte vo výpočtoch pomocou rovnakého algoritmu.
Zoberme si napríklad lineárny systém funkcie pozostávajúce z dvoch rovníc:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Je vhodné vyjadriť x z druhej rovnice:
x=y+2.
Ako vidíte, pri prechode z jednej časti rovnosti do druhej sa zmenilo znamienko y a premenných, ako bolo popísané vyššie.
Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice, čím z nej vylúčime premennú x:
2*(y+2)+y-7=0.
Rozšírenie zátvoriek:
2r+4+y-7=0.
Dáme dokopy premenné a čísla a spočítame ich:
3u-3=0.
Presunieme ho na pravú stranu rovnice a zmeníme znamienko:
3r=3.
Po vydelení celkovým koeficientom dostaneme:
y=1.
Výslednú hodnotu dosadíme do prvého výrazu:
x=y+2.
Dostaneme x = 3.
Ďalším spôsobom, ako vyriešiť podobné, je pridať dve rovnice po členoch, aby ste získali novú rovnicu s jednou premennou. Rovnica sa dá vynásobiť určitým koeficientom, hlavnou vecou je vynásobiť každý člen rovnice a nezabudnúť a potom jednu rovnicu pridať alebo odčítať. Táto metóda je veľmi ekonomická pri hľadaní lineárneho funkcie.
Zoberme si už známy systém rovníc s dvoma premennými:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Je ľahké si všimnúť, že koeficient premennej y je v prvej a druhej rovnici identický a líši sa iba znamienkom. To znamená, že keď tieto dve rovnice sčítame po členoch, dostaneme novú, ale s jednou premennou.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Číselné údaje prenesieme na pravú stranu rovnice a zmeníme znamienko:
3x=9.
Nájdeme spoločný faktor rovný koeficientu v x a vydelíme ním obe strany rovnice:
x=3.
Výsledok možno nahradiť do ktorejkoľvek zo systémových rovníc na výpočet y:
x-y-2=0;
3-u-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.
Údaje môžete vypočítať aj vytvorením presného grafu. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť nuly funkcie. Ak sa jedna z premenných rovná nule, potom sa takáto funkcia nazýva homogénna. Po vyriešení takýchto rovníc získate dva body potrebné a dostatočné na zostrojenie priamky - jeden z nich bude umiestnený na osi x, druhý na osi y.
Zoberieme ľubovoľnú rovnicu systému a dosadíme tam hodnotu x=0:
2*0+y-7=0;
Dostaneme y=7. Teda prvý bod, nazvime ho A, bude mať súradnice A(0;7).
Na výpočet bodu ležiaceho na osi x je vhodné dosadiť hodnotu y=0 do druhej rovnice sústavy:
x-0-2=0;
x=2.
Druhý bod (B) bude mať súradnice B (2;0).
Získané body označíme na súradnicovej mriežke a nakreslíme cez ne priamku. Ak to vykreslíte pomerne presne, ďalšie hodnoty x a y sa dajú vypočítať priamo z toho.
