Mierou uhla medzi rovinami je ostrý uhol tvorený dvoma priamkami ležiacimi v týchto rovinách a vedenými kolmo na priamku ich priesečníka.

Konštrukčný algoritmus

1. Z ľubovoľného bodu K sa ku každej z daných rovín vedú kolmice.
2. Otáčaním okolo nivelačnej čiary sa určí uhol γ° s vrcholom v bode K.
3. Vypočítajte uhol medzi rovinami ϕ° = 180 – γ° za predpokladu, že γ° > 90°. Ak γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Na obrázku je znázornený prípad, keď sú roviny α a β dané stopami. Všetky potrebné konštrukcie boli vykonané podľa algoritmu a sú popísané nižšie.

Riešenie

1. Na ľubovoľnom mieste na výkrese označíme bod K. Z neho spustíme kolmice m a n na roviny α a β. Smer projekcií m a n je nasledujúci: m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β.
2. Skutočnú veľkosť ∠γ° určíme medzi priamkami m a n. Aby sme to urobili, okolo frontálnej f otočíme rovinu uhla s vrcholom K do polohy rovnobežnej s frontálnou rovinou priemetu. Polomer otáčania R bodu K sa rovná veľkosti prepony pravouhlého trojuholníka O""K""K 0, ktorého strana je K""K 0 = y K – y O .
3. Požadovaný uhol je ϕ° = ∠γ°, pretože ∠γ° je ostrý.

Na obrázku nižšie je znázornené riešenie problému, v ktorom je potrebné nájsť uhol γ° medzi rovinami α a β daný rovnobežkami a pretínajúcimi sa priamkami.

Riešenie

1. Smer priemetov horizontál h 1, h 2 a čiel f 1, f 2 prislúchajúcich rovinám α a β určíme v poradí označenom šípkami. Z ľubovoľného bodu K na námestí. α a β vynecháme kolmice e a k. V tomto prípade e""⊥f""1, e"⊥h"1 a k""⊥f""2, k"⊥h"2.
2. Definujeme ∠γ° medzi priamkami e a k. Za týmto účelom nakreslite vodorovnú čiaru h 3 a okolo nej otočíme bod K do polohy K 1, v ktorej sa △CKD stane rovnobežným s horizontálnou rovinou a bude sa na nej odrážať v prirodzenej veľkosti - △C"K" 1D ". Priemet stredu otáčania O" je nakreslený na h" 3 kolmo na K"O". Polomer R určíme z pravouhlého trojuholníka O"K"K 0, ktorého strana K"K 0 = Z O – Z K.
3. Hodnota požadovanej hodnoty je ∠ϕ° = ∠γ°, pretože uhol γ° je ostrý.

Veta

Uhol medzi rovinami nezávisí od výberu roviny rezu.

Dôkaz.

Nech existujú dve roviny α a β, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky c. Narysujme rovinu γ kolmú na priamku c. Potom rovina γ pretína roviny α a β pozdĺž priamok a a b. Uhol medzi rovinami α a β sa rovná uhlu medzi priamkami a a b.
Zoberme si ďalšiu rovinu rezu γ`, kolmú na c. Potom rovina γ` pretína roviny α a β pozdĺž priamok a` a b`.
Pri rovnobežnom posune sa priesečník roviny γ s priamkou c dostane do priesečníka roviny γ` s priamkou c. v tomto prípade, podľa vlastnosti paralelného prekladu, čiara a pôjde do čiary a`, b - do čiary b`. preto sú uhly medzi priamkami a a b, a` a b` rovnaké. Veta bola dokázaná.

Tento článok je o uhle medzi rovinami a o tom, ako ho nájsť. Najprv je uvedená definícia uhla medzi dvoma rovinami a je uvedené grafické znázornenie. Potom sa analyzoval princíp hľadania uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami pomocou súradnicovej metódy a získal sa vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami pomocou známych súradníc normálových vektorov týchto rovín. Na záver sú uvedené podrobné riešenia typických problémov.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi rovinami - definícia.

Pri prezentovaní materiálu budeme využívať definície a pojmy uvedené v článkoch: rovina v priestore a priamka v priestore.

Uveďme argumenty, ktoré nám umožnia postupne sa priblížiť k určeniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Dostaňme dve pretínajúce sa roviny a . Tieto roviny sa pretínajú pozdĺž priamky, ktorú označujeme písmenom c. Zostrojme rovinu prechádzajúcu bodom M rovno c a kolmo na čiaru c. V tomto prípade bude rovina pretínať roviny a. Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú a as a, a priamka, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú a ako b. Očividne rovno a A b pretínajú v bode M.

Je ľahké ukázať, že uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a A b nezávisí od umiestnenia bodu M na priamke c cez ktorý rovina prechádza.

Zostrojme rovinu kolmú na priamku c a odlišné od lietadla. Rovina je pretínaná rovinami a po priamkach, ktoré označujeme 1 A b 1 resp.

Zo spôsobu konštrukcie rovín vyplýva, že priamky a A b kolmo na čiaru c, a rovno 1 A b 1 kolmo na čiaru c. Keďže rovno a A 1 c, potom sú paralelné. Rovnako tak rovno b A b 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, preto sú paralelné. Tak je možné vykonať paralelný prenos roviny do roviny, v ktorej je priamka 1 sa zhoduje s priamkou a a priamku b s rovnou čiarou b 1. Preto uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami 1 A b 1 rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa čiarami a A b.

To dokazuje, že uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a A b, ležiace v pretínajúcich sa rovinách a , nezávisí od výberu bodu M cez ktorý rovina prechádza. Preto je logické brať tento uhol ako uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Teraz môžete vyjadriť definíciu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a.

Definícia.

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami c lietadlá a je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami a A b, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú s rovinou kolmou na priamku c.

Definícia uhla medzi dvoma rovinami môže byť daná trochu inak. Ak na priamke s, pozdĺž ktorého sa roviny a pretínajú, označte bod M a nakreslite cez ňu rovné čiary A A b, kolmo na čiaru c a ležiace v rovinách, respektíve potom uhol medzi priamkami A A b predstavuje uhol medzi rovinami a . Zvyčajne sa v praxi vykonávajú práve takéto konštrukcie, aby sa dosiahol uhol medzi rovinami.

Keďže uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami nepresahuje , z uvedenej definície vyplýva, že miera uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je vyjadrená reálnym číslom z intervalu. V tomto prípade sa nazývajú pretínajúce sa roviny kolmý, ak je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. Uhol medzi rovnobežnými rovinami buď nie je určený vôbec, alebo sa považuje za rovný nule.

Začiatok stránky

Nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Zvyčajne pri hľadaní uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami musíte najskôr vykonať dodatočné konštrukcie, aby ste videli pretínajúce sa priame čiary, uhol medzi ktorými sa rovná požadovanému uhlu, a potom tento uhol spojiť s pôvodnými údajmi pomocou testov rovnosti, podobnosti testy, kosínusová veta alebo definície sínusu, kosínusu a tangens uhla. Na stredoškolskom kurze geometrie sa vyskytujú podobné problémy.

Ako príklad uveďme riešenie úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na rok 2012 (podmienka bola zámerne zmenená, ale to nemá vplyv na princíp riešenia). V ňom ste len museli nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB = 3, AD = 2, AA1 = 7 a bodka E rozdeľuje stranu AA 1 vo vzťahu 4 Komu 3 , počítajúc od bodu A ABC A POSTEĽ 1.

Najprv urobme kresbu.

Urobme ďalšie konštrukcie, aby sme „videli“ uhol medzi rovinami.

Najprv definujme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú ABC A POSTEĽ 1. Bodka IN– to je jeden z ich spoločných bodov. Nájdime druhý spoločný bod týchto rovín. Priamy D.A. A D 1 E ležať v rovnakej rovine PRIDAŤ 1 a nie sú rovnobežné, ale preto sa pretínajú. Na druhej strane rovno D.A. leží v rovine ABC a priamku D 1 E- v lietadle POSTEĽ 1, teda priesečník čiar D.A. A D 1 E bude spoločným bodom rovín ABC A POSTEĽ 1. Pokračujme teda rovno D.A. A D 1 E predtým, než sa pretnú, bod ich priesečníka označíme písmenom F. Potom B.F.– priamka, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú ABC A POSTEĽ 1.

Zostáva zostrojiť dve priamky ležiace v rovinách ABC A POSTEĽ 1 respektíve prechádza cez jeden bod na priamke B.F. a kolmo na čiaru B.F., - uhol medzi týmito priamkami bude podľa definície rovný požadovanému uhlu medzi rovinami ABC A POSTEĽ 1. Poďme na to.

Bodka A je projekcia bodu E do lietadla ABC. Nakreslite čiaru pretínajúcu čiaru v pravom uhle VF v bode M. Potom rovno AM je projekcia čiary JESŤ do lietadla ABC, a podľa vety o troch kolmiciach.

Teda požadovaný uhol medzi rovinami ABC A POSTEĽ 1 rovná .

Z pravouhlého trojuholníka vieme určiť sínus, kosínus alebo tangens tohto uhla (a teda aj samotného uhla). AEM, ak poznáme dĺžky jeho dvoch strán. Zo stavu je ľahké zistiť dĺžku AE: od bodu E rozdeľuje stranu AA 1 vo vzťahu 4 Komu 3 , počítajúc od bodu A a dĺžka strany AA 1 rovná 7 , To AE = 4. Nájdeme inú dĺžku AM.

Ak to chcete urobiť, zvážte pravouhlý trojuholník ABF s pravým uhlom A, Kde AM je výška. Podľa podmienok AB = 2. Dĺžka strany AF môžeme zistiť z podobnosti pravouhlých trojuholníkov DD 1 F A AEF:

Podľa Pytagorovej vety z trojuholníka ABF nájdeme . Dĺžka AM nájsť cez oblasť trojuholníka ABF: na jednej strane oblasť trojuholníka ABF rovná sa na druhej strane odkiaľ .

Teda z pravouhlého trojuholníka AEM máme .

Potom požadovaný uhol medzi rovinami ABC A POSTEĽ 1 sa rovná (všimnite si, že ).

V niektorých prípadoch je na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami vhodné zadať pravouhlý súradnicový systém Oxyz a použite súradnicovú metódu. Zastavme sa tam.

Stanovme si úlohu: nájdite uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a . Označme požadovaný uhol ako .

Budeme predpokladať, že v danom pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz poznáme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín a alebo máme možnosť ich nájsť. Nech je normálový vektor roviny a nech je normálový vektor roviny. Ukážeme si, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a cez súradnice normálových vektorov týchto rovín.

Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú ako c. Cez bod M na priamke c nakreslite rovinu kolmú na čiaru c. Rovina pretína roviny a pozdĺž priamych čiar a A b respektíve rovné a A b pretínajú v bode M. Podľa definície je uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa čiarami a A b.

Odložme od veci M v rovine normálové vektory a roviny a . V tomto prípade vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku a a vektor je na priamke, ktorá je kolmá na priamku b. V rovine je teda vektor normálnym vektorom priamky a, - vektor normálnej čiary b.

V článku o hľadaní uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sme dostali vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradníc normálových vektorov. Teda kosínus uhla medzi čiarami a A b a v dôsledku toho kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami a nachádza sa podľa vzorca , kde a sú normálové vektory rovín a, resp. Potom uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami sa vypočíta ako .

Vyriešme predchádzajúci príklad pomocou súradnicovej metódy.

Vzhľadom k tomu, obdĺžnikový rovnobežnosten ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB = 3, AD = 2, AA1 = 7 a bodka E rozdeľuje stranu AA 1 vo vzťahu 4 Komu 3 , počítajúc od bodu A. Nájdite uhol medzi rovinami ABC A POSTEĽ 1.

Pretože strany pravouhlého rovnobežnostena v jednom vrchole sú kolmé v pároch, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém Oxyz takto: začiatok je zarovnaný s vrchom S a súradnicové osi Vôl, Oj A Oz ukazovať do strán CD, C.B. A CC 1 resp.

Uhol medzi rovinami ABC A POSTEĽ 1 možno nájsť pomocou súradníc normálových vektorov týchto rovín pomocou vzorca , kde a sú normálové vektory rovín ABC A POSTEĽ 1 resp. Určme súradnice normálových vektorov.

Od lietadla ABC sa zhoduje so súradnicovou rovinou Oxy, potom je jeho normálový vektor súradnicový vektor, teda .

Ako normálny vektor roviny POSTEĽ 1 môžete vziať vektorový súčin vektorov a následne súradnice vektorov a možno ich nájsť pomocou súradníc bodov IN, E A D 1(ako je napísané v článku, súradnice vektora cez súradnice bodov jeho začiatku a konca) a súradnice bodov IN, E A D 1 v zavedenom súradnicovom systéme určíme z podmienok úlohy.

Samozrejme, . Od zisťujeme zo súradníc bodov (v prípade potreby pozri článok rozdelenie segmentu v danom pomere). Potom andOxyz rovnice a .

Keď sme študovali všeobecnú rovnicu priamky, zistili sme, že koeficienty A, IN A S predstavujú zodpovedajúce súradnice normálového vektora roviny. Teda a sú normálové vektory rovín a, resp.

Do vzorca nahradíme súradnice normálových vektorov rovín, aby sme vypočítali uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami:

Potom . Keďže uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami nie je tupý, pomocou základnej trigonometrickej identity nájdeme sínus uhla: .

Článok hovorí o hľadaní uhla medzi rovinami. Po zadaní definície poskytneme grafické znázornenie a zvážime podrobný spôsob hľadania súradníc pomocou metódy. Získame vzorec pre pretínajúce sa roviny, ktorý obsahuje súradnice normálových vektorov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materiál bude používať údaje a koncepty, ktoré boli predtým študované v článkoch o rovine a čiare vo vesmíre. Najprv je potrebné prejsť k úvahám, ktoré nám umožňujú určitý prístup k určovaniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Sú dané dve pretínajúce sa roviny γ 1 a γ 2. Ich priesečník dostane označenie c. Konštrukcia roviny χ je spojená s priesečníkom týchto rovín. Rovina χ prechádza bodom M ako priamka c. Priesečník rovín γ 1 a γ 2 sa vykoná pomocou roviny χ. Označenie priamky pretínajúcej γ 1 a χ berieme ako priamku a a priamku pretínajúcej γ 2 a χ ako priamku b. Zistili sme, že priesečník priamok a a b dáva bod M.

Poloha bodu M neovplyvňuje uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b a bod M leží na priamke c, ktorou prechádza rovina χ.

Je potrebné zostrojiť rovinu χ 1 kolmú na priamku c a odlišnú od roviny χ. Priesečník rovín γ 1 a γ 2 pomocou χ 1 dostane označenie priamok a 1 a b 1.

Je vidieť, že pri konštrukcii χ a χ 1 sú priamky a a b kolmé na priamku c, potom a 1, b 1 ležia kolmo na priamku c. Nájdením priamok a a a 1 v rovine γ 1 s kolmosťou na priamku c ich môžeme považovať za rovnobežné. Rovnakým spôsobom umiestnenie b a b 1 v rovine γ 2 s kolmosťou na priamku c naznačuje ich rovnobežnosť. To znamená, že je potrebné vykonať paralelný prenos roviny χ 1 na χ, kde dostaneme dve zhodné priamky a a a 1, b a b 1. Zistíme, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b 1 sa rovná uhlu pretínajúcich sa priamok a a b.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Toto tvrdenie dokazuje skutočnosť, že medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b je uhol, ktorý nezávisí od polohy bodu M, teda od priesečníka. Tieto čiary sú umiestnené v rovinách γ 1 a γ 2. V skutočnosti môže byť výsledný uhol považovaný za uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Prejdime k určeniu uhla medzi existujúcimi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2.

Definícia 1

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 nazývaný uhol tvorený priesečníkom priamok a a b, kde roviny γ 1 a γ 2 sa pretínajú s rovinou χ kolmou na priamku c.

Zvážte obrázok nižšie.

Rozhodnutie možno podať aj inou formou. Keď sa roviny γ 1 a γ 2 pretínajú, kde c je priamka, na ktorej sa pretínali, označte bod M, cez ktorý veďte priamky a a b kolmé na priamku c ležiace v rovinách γ 1 a γ 2, potom uhol medzi priamky a a b budú uhlom medzi rovinami. V praxi je to použiteľné pre konštrukciu uhla medzi rovinami.

Pri pretínaní sa vytvorí uhol, ktorého hodnota je menšia ako 90 stupňov, to znamená, že miera uhla platí na intervale tohto typu (0, 90). Zároveň sa tieto roviny nazývajú kolmé, ak v priesečníku sa vytvorí pravý uhol.Uhol medzi rovnobežnými rovinami sa považuje za rovný nule.

Zvyčajný spôsob, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami, je vykonať dodatočné konštrukcie. Pomáha to určiť presnosť, a to sa dá urobiť pomocou znakov rovnosti alebo podobnosti trojuholníka, sínusov a kosínusov uhla.

Uvažujme o riešení problémov pomocou príkladu z úloh Jednotnej štátnej skúšky bloku C 2.

Príklad 1

Daný obdĺžnikový hranol A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, kde strana A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, bod E rozdeľuje stranu A A 1 v pomere 4:3. Nájdite uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Riešenie

Pre prehľadnosť je potrebné urobiť výkres. Chápeme to

Vizuálna reprezentácia je potrebná na uľahčenie práce s uhlom medzi rovinami.

Určíme priamku, pozdĺž ktorej dôjde k priesečníku rovín A B C a B E D 1. Bod B je spoločný bod. Treba nájsť ďalší spoločný priesečník. Uvažujme priamky D A a D 1 E, ktoré sa nachádzajú v rovnakej rovine A D D 1. Ich umiestnenie nenaznačuje rovnobežnosť, to znamená, že majú spoločný priesečník.

Priamka DA sa však nachádza v rovine A B C a D 1 E v B E D 1. Z toho dostaneme priame čiary D A A D 1 E majú spoločný priesečník, ktorý je spoločný pre roviny A B C a B E D 1. Označuje priesečník čiar D A a D1E písmeno F. Z toho dostaneme, že B F je priamka, pozdĺž ktorej sa roviny A B C a B E D 1 pretínajú.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Na získanie odpovede je potrebné zostrojiť priamky ležiace v rovinách A B C a B E D 1 prechádzajúce bodom ležiacim na priamke B F a kolmým na ňu. Potom sa výsledný uhol medzi týmito priamkami považuje za požadovaný uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Z toho môžeme vidieť, že bod A je priemetom bodu E do roviny A B C. Je potrebné nakresliť priamku pretínajúcu priamku B F v pravom uhle v bode M. Je vidieť, že priamka A M je priemet. priamky E M na rovinu A B C, na základe vety o tých kolmiciach A M ⊥ B F . Zvážte obrázok nižšie.

∠ A ME je požadovaný uhol tvorený rovinami A B C a B E D 1. Z výsledného trojuholníka A E M môžeme nájsť sínus, kosínus alebo tangens uhla a potom samotný uhol, len ak sú známe jeho dve strany. Podmienkou máme, že dĺžku A E nájdeme takto: priamka A A 1 sa delí bodom E v pomere 4:3, čo znamená, že celková dĺžka priamky je 7 dielov, potom A E = 4 diely. Nájdeme A M.

Je potrebné zvážiť pravouhlý trojuholník A B F. Máme pravý uhol A s výškou A M. Z podmienky A B = 2 potom zistíme dĺžku A F podľa podobnosti trojuholníkov D D 1 F a A E F. Dostaneme, že A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Je potrebné nájsť dĺžku strany B F trojuholníka A B F pomocou Pytagorovej vety. Dostaneme, že B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Dĺžka strany A M sa nachádza cez oblasť trojuholníka A B F. Máme, že plocha sa môže rovnať S A B C = 1 2 · A B · A F a S A B C = 1 2 · B F · A M .

Dostaneme, že A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Potom môžeme nájsť hodnotu tangens uhla trojuholníka A E M. Dostaneme:

t g ∠ A ME = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Požadovaný uhol získaný priesečníkom rovín A B C a B E D 1 sa rovná a rc t g 5, potom pri zjednodušení získame a r c t g 5 = a rc sin 30 6 = a rc cos 6 6.

odpoveď: a r c t g 5 = a rc sin 30 6 = a rc cos 6 6 .

Niektoré prípady zisťovania uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sú špecifikované pomocou súradnicovej roviny O x y z a súradnicovej metódy. Poďme sa na to pozrieť bližšie.

Ak je zadaná úloha, kde je potrebné nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2, označíme požadovaný uhol ako α.

Potom daný súradnicový systém ukazuje, že máme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín γ 1 a γ 2. Potom označíme, že n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z je normálový vektor roviny γ 1 a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - pre rovina γ 2. Uvažujme o podrobnom určení uhla medzi týmito rovinami podľa súradníc vektorov.

Je potrebné označiť priamku, pozdĺž ktorej sa roviny γ 1 a γ 2 pretínajú s písmenom c. Na priamke c máme bod M, cez ktorý vedieme rovinu χ kolmú na c. Rovina χ pozdĺž priamok a a b pretína roviny γ 1 a γ 2 v bode M. z definície vyplýva, že uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 sa rovná uhlu pretínajúcich sa priamok a a b patriacich týmto rovinám.

V rovine χ nakreslíme normálové vektory z bodu M a označíme ich n 1 → a n 2 → . Vektor n 1 → leží na priamke kolmej na priamku a a vektor n 2 → leží na priamke kolmej na priamku b. Odtiaľto dostaneme, že daná rovina χ má normálový vektor priamky a rovný n 1 → a pre priamku b rovný n 2 →. Zvážte obrázok nižšie.

Odtiaľto získame vzorec, pomocou ktorého môžeme pomocou súradníc vektorov vypočítať sínus uhla pretínajúcich sa čiar. Zistili sme, že kosínus uhla medzi priamkami a a b je rovnaký ako kosínus medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 je odvodený zo vzorca cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kde platí, že n 1 → = ( n 1 x, n 1 y, n 1 z) a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) sú súradnice vektorov znázornených rovín.

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami sa vypočíta pomocou vzorca

α = ar c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Príklad 2

Podľa podmienky je daný rovnobežnosten A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , kde A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7 a bod E rozdeľuje stranu A A 1 4: 3. Nájdite uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Riešenie

Z podmienky je zrejmé, že jeho strany sú párovo kolmé. To znamená, že je potrebné zaviesť súradnicový systém O x y z s vrcholom v bode C a súradnicovými osami O x, O y, O z. Je potrebné nastaviť smer na príslušné strany. Zvážte obrázok nižšie.

Pretínajúce sa roviny A B C A B E D 1 tvoria uhol, ktorý možno nájsť pomocou vzorca α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, v ktorých n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) sú normálové vektory tieto lietadlá. Je potrebné určiť súradnice. Z obrázku vidíme, že súradnicová os O x y sa zhoduje s rovinou A B C, to znamená, že súradnice normálového vektora k → sa rovnajú hodnote n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Normálový vektor roviny B E D 1 sa považuje za vektorový súčin B E → a B D 1 →, kde ich súradnice sú určené súradnicami krajných bodov B, E, D 1, ktoré sú určené na základe podmienok problém.

Dostaneme, že B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Pretože A E E A 1 = 4 3, zo súradníc bodov A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 nájdeme E 2, 3, 4. Zistili sme, že B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Nájdené súradnice je potrebné dosadiť do vzorca na výpočet uhla cez kosínus oblúka. Dostaneme

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a rc cos 6 6 6 = a rc cos 6 6

Súradnicová metóda poskytuje podobný výsledok.

odpoveď: a r c cos 6 6 .

Posledný problém sa uvažuje s cieľom nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami s existujúcimi známymi rovnicami rovín.

Príklad 3

Vypočítajte sínus, kosínus uhla a hodnotu uhla, ktorú zvierajú dve pretínajúce sa priamky, ktoré sú definované v súradnicovom systéme O x y z a dané rovnicami 2 x - 4 y + z + 1 = 0 a 3 y - z - 1 = 0.

Riešenie

Pri štúdiu témy všeobecnej rovnej priamky tvaru A x + B y + C z + D = 0 sa ukázalo, že A, B, C sú koeficienty rovné súradniciam normálového vektora. To znamená, že n 1 → = 2, - 4, 1 a n 2 → = 0, 3, - 1 sú normálové vektory daných čiar.

Do vzorca na výpočet požadovaného uhla pretínajúcich sa rovín je potrebné dosadiť súradnice normálových vektorov rovín. Potom to dostaneme

α = a rc cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a rc cos 13 210

Odtiaľ máme, že kosínus uhla má tvar cos α = 13 210. Potom uhol pretínajúcich sa čiar nie je tupý. Dosadením do goniometrickej identity zistíme, že hodnota sínusu uhla sa rovná výrazu. Poďme to spočítať a zistiť

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

odpoveď: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a rc sin 41 210.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pri riešení geometrických úloh v priestore sa často stretávame s takými, kde je potrebné vypočítať uhly medzi rôznymi priestorovými objektmi. V tomto článku sa budeme zaoberať otázkou hľadania uhlov medzi rovinami a medzi nimi a priamkou.

Rovná čiara v priestore

Je známe, že absolútne akúkoľvek priamku v rovine možno definovať nasledujúcou rovnosťou:

Tu a a b sú niektoré čísla. Ak si pomocou rovnakého výrazu predstavíme priamku v priestore, dostaneme rovinu rovnobežnú s osou z. Na matematické určenie priestorovej čiary sa používa iná metóda riešenia ako v dvojrozmernom prípade. Spočíva v použití pojmu „vektor smeru“.

Príklady riešenia úloh na určenie uhla priesečníka rovín

Vedieť, ako nájsť uhol medzi rovinami, vyriešime nasledujúci problém. Dané dve roviny, ktorých rovnice majú tvar:

3* x + 4 * y - z + 3 = 0;

X - 2 * y + 5 * z + 1 = 0

Aký je uhol medzi rovinami?

Aby ste odpovedali na otázku problému, nezabudnite, že koeficienty spojené s premennými v rovnici všeobecnej roviny sú súradnicami vodiaceho vektora. Pre tieto roviny máme tieto súradnice ich normál:

n1¯(3; 4; -1);

n 2 ¯ (-1; -2; 5)

Teraz nájdeme skalárny súčin týchto vektorov a ich modulov, máme:

(n1¯ * n2¯) = -3-8-5 = -16;

|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;

|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Teraz môžete nájdené čísla nahradiť vzorcom uvedeným v predchádzajúcom odseku. Dostaneme:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Výsledná hodnota zodpovedá ostrému uhlu priesečníka rovín špecifikovanému v probléme.

Teraz sa pozrime na ďalší príklad. Sú dané dve roviny:

Pretínajú sa? Zapíšme si hodnoty súradníc ich smerových vektorov, vypočítajme ich skalárny súčin a moduly:

n1°(1; 1; 0);

n2°(3; 3; 0);

(n1¯ * n2¯) = 3 + 3 + 0 = 6;

|n 1 ¯| = √2;

|n 2 ¯| = √18

Potom je uhol priesečníka:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Tento uhol naznačuje, že roviny sa nepretínajú, ale sú rovnobežné. Skutočnosť, že sa navzájom nezhodujú, je ľahké skontrolovať. Ak to chcete urobiť, vezmite ľubovoľný bod patriaci prvému z nich, napríklad P(0; 3; 2). Nahradením jeho súradníc do druhej rovnice dostaneme:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

To znamená, že bod P patrí len do prvej roviny.

Dve roviny sú teda rovnobežné, keď sú ich normály také.

Ploché a rovné

Pri zvažovaní relatívnej polohy medzi rovinou a priamkou existuje o niečo viac možností ako pri dvoch rovinách. Táto skutočnosť je spôsobená skutočnosťou, že priamka je jednorozmerný objekt. Priamka a rovina môžu byť:

• vzájomne rovnobežné, v tomto prípade rovina nepretína priamku;
• druhá môže patriť do roviny, pričom bude s ňou tiež rovnobežná;
• oba objekty sa môžu pretínať pod určitým uhlom.

Uvažujme najskôr o poslednom prípade, pretože si vyžaduje zavedenie konceptu priesečníkového uhla.

Priamka a rovina, hodnota uhla medzi nimi

Ak rovina pretína priamku, nazýva sa vzhľadom na ňu naklonená. Priesečník sa zvyčajne nazýva základňa naklonenej čiary. Na určenie uhla medzi týmito geometrickými objektmi je potrebné spustiť rovnú kolmicu z akéhokoľvek bodu na rovinu. Potom priesečník kolmice s rovinou a priesečník naklonenej priamky s ňou tvoria priamku. Ten sa nazýva projekcia pôvodnej priamky na uvažovanú rovinu. Sharp a jeho projekcia je želaná.

Trochu mätúca definícia uhla medzi rovinou a naklonenou rovinou bude objasnená na obrázku nižšie.

Uhol ABO je tu uhol medzi priamkou AB a rovinou a.

Ak chcete zapísať vzorec, zvážte príklad. Nech existuje priamka a rovina, ktoré sú opísané rovnicami:

(x; y; z) = (x 0; y0; z 0) + X* (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D = 0

Môžete ľahko vypočítať požadovaný uhol pre tieto objekty, ak nájdete skalárny súčin medzi smerovými vektormi priamky a roviny. Výsledný ostrý uhol by sa mal odpočítať od 90 o, potom sa získa medzi priamkou a rovinou.

Vyššie uvedený obrázok ukazuje opísaný algoritmus na nájdenie príslušného uhla. Tu β je uhol medzi normálou a priamkou a α je medzi priamkou a jej priemetom do roviny. Je vidieť, že ich súčet je 90 o.

Vyššie bol uvedený vzorec, ktorý odpovedá na otázku, ako nájsť uhol medzi rovinami. Teraz dáme zodpovedajúci výraz pre prípad priamky a roviny:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √ (A 2 + B 2 + C 2)))

Modul vo vzorci umožňuje vypočítať iba ostré uhly. Funkcia arksínus sa objavila namiesto arkozínu vďaka použitiu zodpovedajúceho redukčného vzorca medzi goniometrickými funkciami (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problém: rovina pretína priamku

Teraz si ukážeme, ako s daným vzorcom pracovať. Poďme vyriešiť problém: musíme vypočítať uhol medzi osou y a rovinou danou rovnicou:

Táto rovina je znázornená na obrázku.

Je vidieť, že pretína osi y a z v bodoch (0; -12; 0) a (0; 0; 12) a je rovnobežná s osou x.

Smerový vektor priamky y má súradnice (0; 1; 0). Vektor kolmý na danú rovinu je charakterizovaný súradnicami (0; 1; -1). Aplikujeme vzorec pre uhol priesečníka priamky a roviny, dostaneme:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o

Problém: priamka rovnobežná s rovinou

Teraz budeme riešiť problém podobný predchádzajúcemu, ktorého otázka je položená inak. Známe sú rovnice roviny a priamky:

x + y - z - 3 = 0;

(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ* (0; 2; 2)

Je potrebné zistiť, či sú tieto geometrické objekty navzájom rovnobežné.

Máme dva vektory: smerová čiara sa rovná (0; 2; 2) a smerná rovina sa rovná (1; 1; -1). Nájdeme ich skalárny súčin:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Výsledná nula udáva, že uhol medzi týmito vektormi je 90 o, čo dokazuje rovnobežnosť priamky a roviny.

Teraz skontrolujeme, či je táto čiara iba rovnobežná alebo leží aj v rovine. Ak to chcete urobiť, vyberte ľubovoľný bod na priamke a skontrolujte, či patrí do roviny. Zoberme si napríklad λ = 0, potom bod P(1; 0; 0) patrí do priamky. Do rovnice dosadíme rovinu P:

Bod P nepatrí do roviny, a preto v nej neleží celá úsečka.

Kde je dôležité poznať uhly medzi uvažovanými geometrickými objektmi?

Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov nie sú len teoretického záujmu. Často sa používajú na určenie dôležitých fyzikálnych veličín skutočných trojrozmerných útvarov, ako je hranol alebo pyramída. Pri výpočte objemov obrazcov a plôch ich plôch je dôležité vedieť určiť uhol medzi rovinami. Navyše, ak v prípade priameho hranola nie je možné tieto vzorce použiť na určenie uvedených množstiev, potom sa ich použitie pre akýkoľvek typ pyramídy ukáže ako nevyhnutné.

Nižšie zvážime príklad použitia uvedenej teórie na určenie rohov pyramídy so štvorcovou základňou.

Pyramída a jej rohy

Na obrázku nižšie je znázornená pyramída, na základni ktorej leží štvorec so stranou a. Výška postavy je h. Musíte nájsť dva uhly:

• medzi bočným povrchom a základňou;
• medzi bočným rebrom a základňou.

Na vyriešenie problému musíte najskôr zaviesť súradnicový systém a určiť parametre zodpovedajúcich vrcholov. Obrázok ukazuje, že počiatok sa zhoduje s bodom v strede štvorcovej základne. V tomto prípade je základná rovina opísaná rovnicou:

To znamená, že pre ľubovoľné x a y je hodnota tretej súradnice vždy nula. Bočná rovina ABC pretína os z v bode B(0; 0; h) a os y v bode so súradnicami (0; a/2; 0). Nepretína os x. To znamená, že rovnicu roviny ABC možno zapísať takto:

y/(a/2) + z/h = 1 alebo

2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vector AB¯ je bočná hrana. Súradnice jeho začiatku a konca sú rovnaké: A(a/2; a/2; 0) a B(0; 0; h). Potom súradnice samotného vektora:

Našli sme všetky potrebné rovnice a vektory. Teraz zostáva použiť uvažované vzorce.

Najprv vypočítame uhol v pyramíde medzi rovinami základne a strany. Zodpovedajúce normálové vektory sú rovné: n 1 ¯ (0; 0; 1) an 2 ¯ (0; 2*h; a). Potom bude uhol:

α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))

Uhol medzi rovinou a hranou AB sa bude rovnať:

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

Zostáva nahradiť špecifické hodnoty pre stranu základne a a výšku h, aby ste získali požadované uhly.

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.