I. Harflar bilan bir qatorda raqamlar, arifmetik amallarning belgilari va qavslar ham ishlatilishi mumkin bo'lgan ifodalar algebraik ifodalar deyiladi.

Algebraik ifodalarga misollar:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Algebraik ifodadagi harf har xil raqamlar bilan almashtirilishi mumkinligi sababli, harf o‘zgaruvchi, algebraik ifodaning o‘zi esa o‘zgaruvchili ifoda deyiladi.

II. Agar algebraik ifodada harflar (o'zgaruvchilar) ularning qiymatlari bilan almashtirilsa va belgilangan amallar bajarilsa, natijada olingan raqam algebraik ifodaning qiymati deb ataladi.

Misollar. Ifodaning qiymatini toping:

1) a = -2 uchun a + 2b -c; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8 da; y=-5; z = 6.

Yechim.

1) a = -2 uchun a + 2b -c; b = 10; c = -3,5. O'zgaruvchilar o'rniga biz ularning qiymatlarini almashtiramiz. Biz olamiz:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8 da; y=-5; z = 6. Belgilangan qiymatlarni almashtiramiz. Esda tutingki, manfiy sonning moduli uning qarama-qarshi soniga, musbat sonning moduli esa bu raqamning o'ziga teng. Biz olamiz:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Algebraik ifoda mantiqiy bo'lgan harfning (o'zgaruvchining) qiymatlari harfning (o'zgaruvchining) haqiqiy qiymatlari deb ataladi.

Misollar. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida ifoda mantiqiy emas?

Yechim. Biz bilamizki, nolga bo'lish mumkin emas, shuning uchun bu iboralarning har biri kasrning maxrajini nolga aylantiradigan harf (o'zgaruvchi) qiymati bilan mantiqiy bo'lmaydi!

1-misolda), bu qiymat a = 0. Darhaqiqat, agar a o'rniga 0 ni almashtirsak, u holda 6 raqamini 0 ga bo'lish kerak bo'ladi, lekin buni amalga oshirish mumkin emas. Javob: a = 0 bo'lganda 1) ifoda mantiqiy emas.

2-misolda) x = 4 da maxraj x - 4 = 0, shuning uchun bu qiymat x = 4 va qabul qilinishi mumkin emas. Javob: 2) ifoda x = 4 uchun ma'noga ega emas.

3-misolda) maxraj x = -2 uchun x + 2 = 0 ga teng. Javob: 3) ifoda x = -2 da mantiqiy emas.

4-misolda) maxraj 5 -|x| |x| uchun = 0 = 5. Va beri |5| = 5 va |-5| \u003d 5, keyin siz x \u003d 5 va x \u003d -5 ni olmaysiz. Javob: 4) ifoda x = -5 va x = 5 uchun ma'noga ega emas.
IV. Agar o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari uchun ushbu ifodalarning mos qiymatlari teng bo'lsa, ikkita ifoda bir xil teng deb ataladi.

Misol: 5 (a - b) va 5a - 5b bir xil, chunki 5 (a - b) = 5a - 5b tengligi a va b ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'ladi. Tenglik 5 (a - b) = 5a - 5b o'ziga xoslikdir.

Identifikatsiya unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun amal qiladigan tenglikdir. Sizga allaqachon ma'lum bo'lgan identifikatsiyalarga misollar, masalan, qo'shish va ko'paytirish xususiyatlari, taqsimlash xususiyati.

Bir iborani unga teng bo'lgan boshqasi bilan almashtirish bir xil o'zgartirish yoki oddiygina ifodani o'zgartirish deyiladi. O'zgaruvchilari bo'lgan ifodalarni bir xil o'zgartirishlar raqamlar ustida amallar xossalari asosida amalga oshiriladi.

Misollar.

a) ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, ifodani bir xil tengga aylantiring:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Yechim. Ko'paytirishning taqsimlovchi xususiyatini (qonunini) eslang:

(a+b) c=a c+b c(qo‘shishga nisbatan ko‘paytirishning distributiv qonuni: ikki sonning yig‘indisini uchinchi raqamga ko‘paytirish uchun har bir hadni shu songa ko‘paytirish va natijalarni qo‘shish mumkin).
(a-b) c=a c-b c(ayirish bo'yicha ko'paytirishning distributiv qonuni: ikki sonning ayirmasini uchinchi raqamga ko'paytirish uchun siz bu kamaytirilgan va ajratilgan songa ko'paytirishingiz va birinchi natijadan ikkinchisini ayirishingiz mumkin).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) qo‘shishning kommutativ va assotsiativ xossalari (qonunlari) yordamida ifodani bir xil tengga aylantiring:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Yechim. Biz qo'shish qonunlarini (xususiyatlarini) qo'llaymiz:

a+b=b+a(joy almashtirish: shartlarni qayta tartibga solishdan yig'indi o'zgarmaydi).
(a+b)+c=a+(b+c)(assotsiativ: ikki hadning yig'indisiga uchinchi sonni qo'shish uchun birinchi raqamga ikkinchi va uchinchi sonlarni qo'shish mumkin).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

v) ko'paytirishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlari (qonunlari) yordamida ifodani bir xil tengga aylantiring:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2y · (-bir); 9) 3a · (-3) · 2s.

Yechim. Ko'paytirish qonunlarini (xususiyatlarini) qo'llaymiz:

a b=b a(oʻzgartirish: omillarning almashinishi mahsulotni oʻzgartirmaydi).
(a b) c=a (b c)(kombinativ: ikki raqamning mahsulotini uchinchi raqamga ko'paytirish uchun siz birinchi raqamni ikkinchi va uchinchi raqamga ko'paytirishingiz mumkin).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2y · (-1) = 7y.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Agar algebraik ifoda kamaytiriladigan kasr sifatida berilgan bo'lsa, u holda kasrni kamaytirish qoidasidan foydalanib, uni soddalashtirish mumkin, ya'ni. unga teng bo'lgan oddiyroq ifoda bilan almashtiring.

Misollar. Kasrni qisqartirish orqali soddalashtiring.

Yechim. Kasrni kamaytirish deganda uning ayiruvchi va maxrajini noldan boshqa bir xil songa (ifoda) bo'lish tushuniladi. 10 kasr) ga kamaytiriladi 3b; kasr 11) ga kamaytiring a va kasr 12) ga kamaytiring 7n. Biz olamiz:

Formulalarni shakllantirish uchun algebraik ifodalardan foydalaniladi.

Formula ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilar orasidagi munosabatni ifodalovchi tenglik sifatida yozilgan algebraik ifodadir. Misol: siz bilgan yo'l formulasi s=v t(s - bosib o'tgan masofa, v - tezlik, t - vaqt). Yana qanday formulalarni bilganingizni eslang.

1 sahifadan 1 1

Ushbu maqolada matematik ifodalarning qiymatlarini qanday topish mumkinligi muhokama qilinadi. Keling, oddiy sonli ifodalardan boshlaylik va keyin ularning murakkabligi ortib borayotgan holatlarni ko'rib chiqamiz. Oxirida biz harf belgilari, qavslar, ildizlar, maxsus matematik belgilar, darajalar, funktsiyalar va boshqalarni o'z ichiga olgan ifodani beramiz. Butun nazariya, an'anaga ko'ra, ko'p va batafsil misollar bilan ta'minlanadi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Raqamli ifodaning qiymatini qanday topish mumkin?

Raqamli ifodalar, jumladan, masalaning shartini matematik tilda tasvirlashga yordam beradi. Umuman olganda, matematik ifodalar juda oddiy bo'lishi mumkin, ular juft sonlar va arifmetik belgilardan iborat yoki juda murakkab, funktsiyalar, darajalar, ildizlar, qavslar va boshqalarni o'z ichiga oladi. Vazifaning bir qismi sifatida ko'pincha ifoda qiymatini topish kerak bo'ladi. Buni qanday qilish haqida quyida muhokama qilinadi.

Eng oddiy holatlar

Bu ifodada raqamlar va arifmetikadan boshqa hech narsa bo'lmagan holatlar. Bunday ifodalarning qiymatlarini muvaffaqiyatli topish uchun sizga arifmetik amallarni qavslarsiz bajarish tartibi, shuningdek, turli raqamlar bilan operatsiyalarni bajarish qobiliyati haqida ma'lumot kerak bo'ladi.

Agar ifoda faqat sonlar va arifmetik belgilarni o'z ichiga olgan bo'lsa " + " , " · " , " - " , " ÷ " , u holda amallar chapdan o'ngga quyidagi tartibda bajariladi: birinchi navbatda ko'paytirish va bo'lish, keyin qo'shish va ayirish. Keling, misollar keltiraylik.

1-misol. Raqamli ifodaning qiymati

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 ifoda qiymatlarini topish kerak bo'lsin.

Avval ko‘paytirish va bo‘lish amallarini bajaramiz. Biz olamiz:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Endi ayirib, yakuniy natijaga erishamiz:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2-misol. Raqamli ifodaning qiymati

Hisoblab chiqamiz: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Birinchidan, biz kasrlarni aylantirish, bo'lish va ko'paytirishni amalga oshiramiz:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Endi qo'shish va ayirish amallarini bajaramiz. Keling, kasrlarni guruhlarga ajratamiz va ularni umumiy maxrajga keltiramiz:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Istalgan qiymat topiladi.

Qavslar bilan ifodalangan ifodalar

Agar ifoda qavslarni o'z ichiga olsa, ular ushbu ifodadagi harakatlar tartibini aniqlaydi. Birinchidan, qavs ichidagi harakatlar, keyin esa qolganlari bajariladi. Keling, buni misol bilan ko'rsatamiz.

3-misol. Raqamli ifodaning qiymati

0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) ifoda qiymatini toping.

Ifodada qavslar mavjud, shuning uchun avval biz qavs ichida ayirish amalini bajaramiz va shundan keyingina ko'paytiramiz.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Qavslar ichida qavslar bo'lgan iboralarning qiymati xuddi shu printsip bo'yicha topiladi.

4-misol. Raqamli ifodaning qiymati

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 qiymatini hisoblaymiz.

Biz harakatlarni eng ichki qavslardan boshlab, tashqi qavslarga o'tkazamiz.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Qavslar bilan ifodalangan qiymatlarni topishda asosiy narsa harakatlar ketma-ketligiga rioya qilishdir.

Ildizli ifodalar

Qiymatlarini topishimiz kerak bo'lgan matematik ifodalar ildiz belgilarini o'z ichiga olishi mumkin. Bundan tashqari, iboraning o'zi ildiz belgisi ostida bo'lishi mumkin. Bunday holatda qanday bo'lish kerak? Avval siz ildiz ostidagi ifodaning qiymatini topishingiz kerak, so'ngra olingan raqamdan ildizni chiqarib olishingiz kerak. Iloji bo'lsa, raqamli iboralarda ildizlardan xalos bo'lish, raqamli qiymatlar bilan almashtirilgan ma'qul.

5-misol. Raqamli ifodaning qiymati

Ifodaning qiymatini ildizlar bilan hisoblaymiz - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Birinchidan, biz radikal ifodalarni hisoblaymiz.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Endi biz butun ifodaning qiymatini hisoblashimiz mumkin.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Ko'pincha, ildizlari bo'lgan iboraning qiymatini topish uchun birinchi navbatda asl ifodani o'zgartirish kerak bo'ladi. Buni boshqa misol bilan tushuntirib beraylik.

6-misol. Raqamli ifodaning qiymati

3 + 1 3 - 1 - 1 nima

Ko'rib turganingizdek, bizda ildizni aniq qiymat bilan almashtirish imkoniyati yo'q, bu esa hisoblash jarayonini murakkablashtiradi. Biroq, bu holda siz qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llashingiz mumkin.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Shunday qilib:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Quvvatli ifodalar

Agar iborada kuchlar mavjud bo'lsa, boshqa barcha harakatlarga o'tishdan oldin ularning qiymatlarini hisoblash kerak. Ko'rsatkichning o'zi yoki daraja asosi ifodalar bo'ladi. Bunda avval ushbu ifodalarning qiymati, keyin esa daraja qiymati hisoblanadi.

7-misol. Raqamli ifodaning qiymati

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 ifodaning qiymatini toping.

Biz tartibda hisoblashni boshlaymiz.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Faqat qo'shish operatsiyasini bajarish va ifoda qiymatini bilish qoladi:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Bundan tashqari, ko'pincha darajaning xususiyatlaridan foydalangan holda ifodani soddalashtirish tavsiya etiladi.

8-misol. Raqamli ifodaning qiymati

Quyidagi ifodaning qiymatini hisoblaymiz: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Ko'rsatkichlar yana shundayki, ularning aniq raqamli qiymatlarini olish mumkin emas. Qiymatini topish uchun asl ifodani soddalashtiring.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Kasrli ifodalar

Agar ifoda kasrlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, unda bunday ifodani hisoblashda undagi barcha kasrlar oddiy kasrlar sifatida ko'rsatilishi va ularning qiymatlari hisoblanishi kerak.

Agar kasrning numeratori va maxrajida ifodalar mavjud bo'lsa, avval ushbu ifodalarning qiymatlari hisoblab chiqiladi va kasrning yakuniy qiymati yoziladi. Arifmetik amallar standart tartibda bajariladi. Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

9-misol. Raqamli ifodaning qiymati

Tarkibida kasrlar mavjud ifodaning qiymati topilsin: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Ko'rib turganingizdek, asl ifodada uchta kasr mavjud. Keling, avval ularning qiymatlarini hisoblaylik.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Keling, ifodamizni qayta yozamiz va uning qiymatini hisoblaymiz:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Ko'pincha, ifodalarning qiymatlarini topishda kasrlarni kamaytirish qulay. Aytilmagan qoida mavjud: uning qiymatini topishdan oldin, barcha hisob-kitoblarni eng oddiy holatlarga qisqartirgan holda, har qanday ifodani maksimal darajada soddalashtirish yaxshidir.

10-misol. Raqamli ifodaning qiymati

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 ifodani hisoblaymiz.

Biz beshning ildizini to'liq chiqara olmaymiz, lekin transformatsiyalar orqali asl ifodani soddalashtira olamiz.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Asl ifoda quyidagi shaklni oladi:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Keling, ushbu ifodaning qiymatini hisoblaymiz:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Logarifmli ifodalar

Ifodada logarifmlar mavjud bo'lganda, ularning qiymati, agar iloji bo'lsa, boshidan boshlab hisoblanadi. Masalan, log 2 4 + 2 4 ifodasida log 2 4 o'rniga shu logarifmning qiymatini darhol yozishingiz va keyin barcha amallarni bajarishingiz mumkin. Biz olamiz: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Raqamli ifodalarni logarifm belgisi ostida va uning asosida ham topish mumkin. Bunday holda, birinchi qadam ularning qiymatlarini topishdir. Log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 ifodasini olaylik. Bizda ... bor:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Logarifmning aniq qiymatini hisoblashning iloji bo'lmasa, ifodani soddalashtirish uning qiymatini topishga yordam beradi.

11-misol. Raqamli ifodaning qiymati

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 ifoda qiymatini toping.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.

Logarifmlarning xossalariga ko'ra:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Logarifmlarning xususiyatlarini yana qo'llagan holda, ifodadagi oxirgi kasr uchun biz quyidagilarni olamiz:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Endi siz asl ifodaning qiymatini hisoblashga o'tishingiz mumkin.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Trigonometrik funksiyali ifodalar

Bu ifodada sinus, kosinus, tangens va kotangensning trigonometrik funktsiyalari, shuningdek, ularga teskari bo'lgan funktsiyalar mavjud. Boshqa barcha arifmetik amallarni bajarishdan oldin qiymatdan hisoblab chiqiladi. Aks holda, ifoda soddalashtiriladi.

12-misol. Raqamli ifodaning qiymati

Ifodaning qiymatini toping: t g 2 4 p 3 - sin - 5 p 2 + cosp.

Birinchidan, biz ifodaga kiritilgan trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblaymiz.

gunoh - 5 p 2 \u003d - 1

Ifodadagi qiymatlarni almashtiring va uning qiymatini hisoblang:

t g 2 4 p 3 - sin - 5 p 2 + cosp \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Ifodaning qiymati topiladi.

Ko'pincha, trigonometrik funktsiyalarga ega bo'lgan ifodaning qiymatini topish uchun uni birinchi navbatda aylantirish kerak. Keling, misol bilan tushuntiramiz.

13-misol. Raqamli ifodaning qiymati

cos 2 p 8 - sin 2 p 8 cos 5 p 36 cos p 9 - sin 5 p 36 sin p 9 - 1 ifodaning qiymatini topish kerak.

O'zgartirish uchun biz qo'sh burchakning kosinusu va yig'indining kosinusu uchun trigonometrik formulalardan foydalanamiz.

cos 2 p 8 - sin 2 p 8 cos 5 p 36 cos p 9 - sin 5 p 36 sin p 9 - 1 = cos 2 p 8 cos 5 p 36 + p 9 - 1 = cos p 4 cos - p = 1 - 1 = 0.

Raqamli ifodaning umumiy holati

Umumiy holda, trigonometrik ifoda yuqorida tavsiflangan barcha elementlarni o'z ichiga olishi mumkin: qavslar, darajalar, ildizlar, logarifmlar, funktsiyalar. Keling, bunday iboralarning qiymatlarini topishning umumiy qoidasini tuzamiz.

Ifodaning qiymatini qanday topish mumkin

1. Ildizlar, kuchlar, logarifmlar va boshqalar. qiymatlari bilan almashtiriladi.
2. Qavslar ichidagi amallar bajariladi.
3. Qolgan qadamlar chapdan o'ngga tartibda amalga oshiriladi. Avval - ko'paytirish va bo'lish, keyin - qo'shish va ayirish.

Keling, bir misol keltiraylik.

14-misol. Raqamli ifodaning qiymati

Ifodaning qiymati qanday ekanligini hisoblab chiqamiz - 2 sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Bu ifoda ancha murakkab va mashaqqatli. Biz yuqorida tavsiflangan barcha holatlarga moslashishga harakat qilib, bunday misolni tanlaganimiz tasodif emas. Bunday ifodaning qiymatini qanday topish mumkin?

Ma'lumki, murakkab kasr shaklining qiymatini hisoblashda birinchi navbatda kasrning hisoblagichi va maxrajining qiymatlari mos ravishda alohida topiladi. Biz ushbu ifodani ketma-ket o'zgartiramiz va soddalashtiramiz.

Avvalo, 2 sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 + 3 radikal ifodasining qiymatini hisoblaymiz. Buning uchun sinusning qiymatini va trigonometrik funktsiyaning argumenti bo'lgan ifodani topish kerak.

p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 = p 6 + 2 2 p + 3 p 5 = p 6 + 2 5 p 5 = p 6 + 2 p

Endi siz sinusning qiymatini bilib olishingiz mumkin:

sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 = sin p 6 + 2 p = sin p 6 = 1 2 .

Biz radikal ifodaning qiymatini hisoblaymiz:

2 sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 + 3 = 4 = 2.

Kasrning maxraji bilan hamma narsa osonroq:

Endi biz butun kasrning qiymatini yozishimiz mumkin:

2 sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Buni hisobga olib, biz butun ifodani yozamiz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Yakuniy natija:

2 sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Bunday holda, biz ildizlar, logarifmlar, sinuslar va boshqalar uchun aniq qiymatlarni hisoblashimiz mumkin edi. Agar buning iloji bo'lmasa, siz matematik o'zgarishlar orqali ulardan xalos bo'lishga harakat qilishingiz mumkin.

Ifodalarni ratsional usullarda hisoblash

Raqamli qiymatlar izchil va aniq hisoblanishi kerak. Bu jarayonni raqamlar bilan operatsiyalarning turli xossalaridan foydalangan holda ratsionalizatsiya qilish va tezlashtirish mumkin. Masalan, omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng ekanligi ma'lum. Bu xossani hisobga olsak, darhol aytishimiz mumkinki, 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 p 4 0 ifodasi nolga teng. Bunday holda, yuqoridagi maqolada tavsiflangan tartibda amallarni bajarish kerak emas.

Teng sonlarni ayirish xossasidan foydalanish ham qulay. Hech qanday amallarni bajarmasdan, 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 ifodaning qiymati ham nolga teng bo'lishini buyurish mumkin.

Jarayonni tezlashtirishga imkon beradigan yana bir usul - atamalar va omillarni guruhlash va qavs ichidan umumiy omilni olish kabi bir xil o'zgarishlardan foydalanish. Kasrlar bilan ifodalarni hisoblashning oqilona yondashuvi - bu son va maxrajdagi bir xil ifodalarni kamaytirishdir.

Masalan, 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 ifodasini olaylik. Qavs ichidagi amallarni bajarmasdan, lekin kasrni qisqartirish orqali ifodaning qiymati 1 3 ga teng deb aytishimiz mumkin.

O'zgaruvchilar bilan ifodalarning qiymatlarini topish

Harflar va o'zgaruvchilarning ma'lum berilgan qiymatlari uchun to'g'ridan-to'g'ri ifoda va o'zgaruvchilar bilan ifodaning qiymati topiladi.

O'zgaruvchilar bilan ifodalarning qiymatlarini topish

To'g'ridan-to'g'ri ifoda va o'zgaruvchilari bo'lgan ifodaning qiymatini topish uchun siz harflar va o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlarini asl ifodaga almashtirishingiz kerak, so'ngra natijada olingan raqamli ifodaning qiymatini hisoblashingiz kerak.

15-misol. O'zgaruvchilarga ega ifodaning qiymati

x = 2, 4 va y = 5 berilgan 0, 5 x - y ifoda qiymatini hisoblang.

O'zgaruvchilarning qiymatlarini ifodaga almashtiramiz va hisoblaymiz:

0.5 x - y = 0.5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

Ba'zan ifodani unga kiritilgan harflar va o'zgaruvchilarning qiymatlaridan qat'i nazar, uning qiymatini oladigan tarzda o'zgartirish mumkin. Buning uchun iloji bo'lsa, bir xil o'zgartirishlar, arifmetik amallarning xususiyatlari va boshqa barcha mumkin bo'lgan usullardan foydalangan holda ifodadagi harflar va o'zgaruvchilardan xalos bo'lish kerak.

Masalan, x + 3 - x ifodasi aniq 3 qiymatiga ega va bu qiymatni hisoblash uchun x qiymatini bilish shart emas. Ushbu ifodaning qiymati x o'zgaruvchisining barcha qiymatlari uchun uning haqiqiy qiymatlari oralig'idan uchtaga teng.

Yana bir misol. X x ifodaning qiymati barcha musbat x lar uchun bittaga teng.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Birinchi daraja

Ifodani konvertatsiya qilish. Batafsil nazariya (2019)

Ifodani konvertatsiya qilish

Ko'pincha biz ushbu noxush iborani eshitamiz: "ifodani soddalashtiring". Odatda, bu holatda bizda shunday yirtqich hayvon bor:

"Ha, ancha oson", deymiz, lekin bunday javob odatda ishlamaydi.

Endi men sizga bunday vazifalardan qo'rqmaslikni o'rgataman. Bundan tashqari, dars oxirida siz ushbu misolni (shunchaki!) oddiy raqamga soddalashtirasiz (ha, bu harflar bilan do'zaxga).

Ammo bu darsni boshlashdan oldin, siz kasrlar va ko'paytmali ko'phadlar bilan ishlashni bilishingiz kerak. Shuning uchun, birinchi navbatda, agar siz ilgari bunday qilmagan bo'lsangiz, "" va "" mavzularini o'zlashtirishingizga ishonch hosil qiling.

O'qingmi? Ha bo'lsa, siz tayyorsiz.

Asosiy soddalashtirish operatsiyalari

Endi biz iboralarni soddalashtirish uchun ishlatiladigan asosiy usullarni tahlil qilamiz.

Ulardan eng oddiyi

1. O'xshashni keltirish

Nima o'xshash? Siz buni 7-sinfda, matematikada birinchi marta raqamlar o'rniga harflar paydo bo'lganida boshdan kechirgansiz. Xuddi shu harf qismi bilan atamalar (monomiallar) o'xshash. Masalan, yig'indida, kabi shartlar are and.

Esingizdami?

O'xshash atamalarni keltirish bir-biriga o'xshash bir nechta atamalarni qo'shish va bitta atama olish demakdir.

Lekin qanday qilib harflarni birlashtira olamiz? - deb so'raysiz.

Agar siz harflar qandaydir ob'ektlar ekanligini tasavvur qilsangiz, buni tushunish juda oson. Misol uchun, xat stuldir. Keyin ifoda nima? Ikki stul va uchta stul, qancha bo'ladi? To'g'ri, stullar: .

Endi ushbu ifodani sinab ko'ring:

Adashib qolmaslik uchun turli harflar turli ob'ektlarni bildirsin. Misol uchun, - bu (odatdagidek) stul, va - bu stol. Keyin:

stullar stollar stul stollari stullar stullar stollar

Bunday atamalardagi harflar ko'paytiriladigan raqamlar deyiladi koeffitsientlar. Masalan, monomialda koeffitsient teng. Va u tengdir.

Shunday qilib, shunga o'xshash narsalarni olib kelish qoidasi:

Misollar:

Shunga o'xshash narsalarni keltiring:

Javoblar:

2. (va o'xshash, chunki, shuning uchun bu atamalar bir xil harf qismiga ega).

2. Faktorizatsiya

Bu odatda ifodalarni soddalashtirishning eng muhim qismidir. Shunga o'xshashlarni berganingizdan so'ng, ko'pincha natijada hosil bo'lgan ifoda faktorlarga ajratilishi kerak, ya'ni mahsulot sifatida taqdim etiladi. Bu kasrlarda ayniqsa muhimdir: axir, kasrni kamaytirish uchun hisoblagich va maxraj ko'paytma sifatida ifodalanishi kerak.

Siz "" mavzusida iboralarni faktoring qilishning batafsil usullarini ko'rib chiqdingiz, shuning uchun bu erda siz o'rgangan narsalarni eslab qolishingiz kerak. Buning uchun bir nechtasini hal qiling misollar(hisobga olinadi):

Yechimlar:

3. Fraksiyani qisqartirish.

Xo'sh, hisoblagich va maxrajning bir qismini kesib tashlab, ularni hayotingizdan chiqarib tashlashdan ko'ra yaxshiroq nima bo'lishi mumkin?

Bu qisqartmaning go'zalligi.

Hammasi oddiy:

Agar hisoblagich va maxraj bir xil omillarni o'z ichiga olsa, ularni qisqartirish, ya'ni kasrdan olib tashlash mumkin.

Bu qoida kasrning asosiy xususiyatidan kelib chiqadi:

Ya'ni, qisqartirish operatsiyasining mohiyati shundan iborat Kasrning son va maxrajini bir xil songa (yoki bir xil ifoda bilan) ajratamiz.

Kasrni kamaytirish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) son va maxraj faktorizatsiya qilish

2) agar sanoq va maxraj tarkibida bo'lsa umumiy omillar, ular o'chirilishi mumkin.

Menimcha, printsip aniqmi?

Men sizning e'tiboringizni qisqartirishdagi odatiy xatoga qaratmoqchiman. Garchi bu mavzu oddiy bo'lsa-da, lekin ko'p odamlar buni tushunmay, hamma narsani noto'g'ri qilishadi kesish- bu degani bo'lmoq soni va maxraji bir xil son.

Agar hisob yoki maxraj yig'indi bo'lsa, qisqartmalar mavjud emas.

Masalan: siz soddalashtirishingiz kerak.

Ba'zilar buni qilishadi: bu mutlaqo noto'g'ri.

Yana bir misol: kamaytirish.

"Eng aqlli" buni qiladi:.

Ayting-chi, bu erda nima bo'ldi? Ko'rinishidan: - bu multiplikator, shuning uchun siz kamaytirishingiz mumkin.

Lekin yo'q: - bu sanoqda faqat bitta hadning koeffitsienti, lekin hisoblagichning o'zi umuman ko'rsatkichlarga ajralmagan.

Mana yana bir misol: .

Bu ifoda omillarga ajratiladi, ya'ni siz kamaytirishingiz mumkin, ya'ni pay va maxrajni quyidagiga, keyin esa:

Siz darhol quyidagilarga bo'lishingiz mumkin:

Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun ifoda faktorlangan yoki yo'qligini aniqlashning oson usulini eslang:

Ifodaning qiymatini hisoblashda oxirgi bajariladigan arifmetik amal "asosiy" hisoblanadi. Ya'ni, agar siz harflar o'rniga ba'zi (har qanday) raqamlarni almashtirsangiz va ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilsangiz, u holda oxirgi amal ko'paytirish bo'lsa, unda biz mahsulotga ega bo'lamiz (ifoda omillarga bo'linadi). Agar oxirgi amal qo'shish yoki ayirish bo'lsa, bu ifoda faktorlarga ajratilmaganligini anglatadi (shuning uchun kamaytirilishi mumkin emas).

Uni tuzatish uchun o'zingiz hal qiling misollar:

Javoblar:

1. Umid qilamanki, siz darhol kesishga shoshilmadingiz va? Bu kabi birliklarni "kamaytirish" hali ham etarli emas edi:

Birinchi qadam faktorizatsiya bo'lishi kerak:

4. Kasrlarni qo`shish va ayirish. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish hammaga ma'lum bo'lgan amaldir: biz umumiy maxrajni qidiramiz, har bir kasrni etishmayotgan ko'paytmaga ko'paytiramiz va sonlarni qo'shamiz / ayitamiz. Keling, eslaylik:

Javoblar:

1. va maxrajlari ko‘paytma, ya’ni umumiy omillarga ega emas. Shuning uchun bu raqamlarning LCM ko'paytmasiga teng. Bu umumiy maxraj bo'ladi:

2. Bu yerda umumiy maxraj:

3. Bu erda, birinchi navbatda, aralash kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz, keyin esa - odatdagi sxema bo'yicha:

Agar kasrlarda harflar bo'lsa, bu boshqa masala, masalan:

Oddiydan boshlaylik:

a) maxrajlarda harflar bo‘lmaydi

Bu erda hamma narsa oddiy sonli kasrlar bilan bir xil: biz umumiy maxrajni topamiz, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiramiz va hisoblagichlarni qo'shamiz / ayitamiz:

Endi numeratorda siz shunga o'xshashlarni, agar mavjud bo'lsa, olib kelishingiz va ularni koeffitsientga kiritishingiz mumkin:

O'zingiz sinab ko'ring:

b) maxrajlarda harflar bor

Keling, harflarsiz umumiy maxrajni topish tamoyilini eslaylik:

Avvalo, biz umumiy omillarni aniqlaymiz;

Keyin barcha umumiy omillarni bir marta yozamiz;

va ularni umumiy emas, balki boshqa barcha omillar bilan ko'paytiring.

Maxrajlarning umumiy omillarini aniqlash uchun avval ularni oddiy omillarga ajratamiz:

Biz umumiy omillarni ta'kidlaymiz:

Endi biz umumiy omillarni bir marta yozamiz va ularga umumiy bo'lmagan (tagi chizilmagan) omillarni qo'shamiz:

Bu umumiy maxrajdir.

Keling, harflarga qaytaylik. Maxrajlar aynan bir xil tarzda berilgan:

Biz maxrajlarni omillarga ajratamiz;

umumiy (bir xil) ko‘paytiruvchilarni aniqlash;

barcha umumiy omillarni bir marta yozing;

Biz ularni umumiy emas, balki boshqa barcha omillar bilan ko'paytiramiz.

Shunday qilib, tartibda:

1) maxrajlarni omillarga ajrating:

2) umumiy (bir xil) omillarni aniqlang:

3) barcha umumiy omillarni bir marta yozing va ularni boshqa barcha (tagi chizilmagan) omillarga ko'paytiring:

Demak, umumiy maxraj shu yerda. Birinchi kasrni ko'paytirish kerak, ikkinchisini - quyidagicha:

Aytgancha, bitta hiyla bor:

Masalan: .

Biz maxrajlarda bir xil omillarni ko'ramiz, faqat barchasi turli ko'rsatkichlarga ega. Umumiy maxraj quyidagicha bo'ladi:

darajada

darajada

darajada

darajada.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz:

Qanday qilib kasrlar bir xil maxrajga ega bo'ladi?

Kasrning asosiy xususiyatini eslaylik:

Bir xil sonni kasrning pay va maxrajidan ayirish (yoki qo‘shish) mumkinligi hech qayerda aytilmagan. Chunki bu haqiqat emas!

O'zingiz ko'ring: masalan, har qanday kasrni oling va raqam va maxrajga bir nechta son qo'shing, masalan, . Nima o'rganildi?

Shunday qilib, yana bir qat'iy qoida:

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirganingizda, faqat ko'paytirish amalidan foydalaning!

Lekin olish uchun nimani ko'paytirish kerak?

Bu erda va ko'paytiring. Va ko'paytiring:

Koeffitsientlarga ajratish mumkin bo'lmagan iboralar "elementar omillar" deb ataladi. Masalan, elementar omil. - ham. Ammo - yo'q: u omillarga bo'linadi.

Ifoda haqida nima deyish mumkin? Bu boshlang'ichmi?

Yo'q, chunki uni faktorlarga ajratish mumkin:

(siz "" mavzusida faktorizatsiya haqida o'qigansiz).

Shunday qilib, siz harflar bilan ifodani ajratadigan elementar omillar raqamlarni ajratadigan oddiy omillarning analogidir. Va biz ular bilan ham xuddi shunday qilamiz.

Har ikkala maxrajning ham omili borligini ko‘ramiz. U kuchdagi umumiy maxrajga boradi (nima uchun esingizdami?).

Ko'paytiruvchi elementardir va ularda umumiylik yo'q, ya'ni birinchi kasrni unga ko'paytirish kerak bo'ladi:

Yana bir misol:

Yechim:

Vahima ichida bu denominatorlarni ko'paytirishdan oldin, ularni qanday qilib faktorga kiritish haqida o'ylash kerakmi? Ularning ikkalasi ham quyidagilarni ifodalaydi:

Yaxshi! Keyin:

Yana bir misol:

Yechim:

Odatdagidek, biz maxrajlarni faktorlarga ajratamiz. Birinchi maxrajda biz uni oddiygina qavs ichidan chiqaramiz; ikkinchisida - kvadratlar farqi:

Ko'rinib turibdiki, umumiy omillar yo'q. Ammo diqqat bilan qarasangiz, ular allaqachon juda o'xshash ... Va haqiqat:

Shunday qilib, yozamiz:

Ya'ni, shunday bo'ldi: qavs ichida biz atamalarni almashtirdik va shu bilan birga, kasr oldidagi belgi teskari tomonga o'zgardi. E'tibor bering, buni tez-tez qilishingiz kerak bo'ladi.

Endi biz umumiy maxrajga kelamiz:

Tushundim? Endi tekshiramiz.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Javoblar:

Bu erda yana bir narsani esga olishimiz kerak - kublar farqi:

E'tibor bering, ikkinchi kasrning maxrajida "yig'indi kvadrati" formulasi mavjud emas! Yig'indining kvadrati quyidagicha ko'rinadi:

A - yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati: undagi ikkinchi a'zo birinchi va oxirgining ko'paytmasi, ularning ikki barobar ko'paytmasi emas. Yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati kublar farqining kengayishi omillaridan biridir:

Agar allaqachon uchta kasr bo'lsa-chi?

Ha, xuddi shunday! Avvalo, biz maxrajdagi omillarning maksimal soni bir xil ekanligiga ishonch hosil qilamiz:

E'tibor bering: agar siz bitta qavs ichidagi belgilarni o'zgartirsangiz, kasr oldidagi belgi teskarisiga o'zgaradi. Ikkinchi qavsdagi belgilarni almashtirsak, kasr oldidagi belgi yana teskari bo'ladi. Natijada, u (kasr oldidagi belgi) o'zgarmadi.

Birinchi maxrajni umumiy maxrajda to‘liq yozamiz, so‘ngra unga hali yozilmagan barcha omillarni ikkinchidan, keyin uchinchidan (agar ko‘proq kasr bo‘lsa va hokazo) qo‘shamiz. Ya'ni, bu shunday bo'ladi:

Hmm ... Kasrlar bilan nima qilish kerakligi aniq. Ammo ikkalasi haqida nima deyish mumkin?

Hammasi oddiy: kasrlarni qanday qo'shishni bilasiz, to'g'rimi? Shunday qilib, siz deuce kasrga aylanishiga ishonch hosil qilishingiz kerak! Esingizda bo'lsin: kasr - bu bo'linish amalidir (agar siz to'satdan unutgan bo'lsangiz, hisoblagich maxrajga bo'linadi). Va raqamni bo'lishdan osonroq narsa yo'q. Bunday holda, raqamning o'zi o'zgarmaydi, lekin kasrga aylanadi:

Aynan nima kerak!

5. Kasrlarni ko‘paytirish va bo‘lish.

Xo'sh, eng qiyin qismi endi tugadi. Va oldimizda eng oddiy, lekin ayni paytda eng muhimi:

Jarayon

Raqamli ifodani hisoblash tartibi qanday? Esda tutingki, bunday iboraning qiymatini hisobga olgan holda:

Hisobladingizmi?

Bu ishlashi kerak.

Xullas, eslataman.

Birinchi qadam darajani hisoblashdir.

Ikkinchisi - ko'paytirish va bo'lish. Agar bir vaqtning o'zida bir nechta ko'paytirish va bo'linish mavjud bo'lsa, ularni istalgan tartibda bajarishingiz mumkin.

Va nihoyat, qo'shish va ayirish amallarini bajaramiz. Yana, har qanday tartibda.

Lekin: qavs ichidagi ifoda tartibsiz baholanadi!

Agar bir nechta qavslar bir-biriga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, biz birinchi navbatda qavslarning har biridagi ifodani baholaymiz, so'ngra ularni ko'paytiramiz yoki bo'lamiz.

Qavslar ichida boshqa qavslar bo'lsa-chi? Keling, o'ylab ko'raylik: qavs ichida qandaydir ifoda yozilgan. Ifodani baholashda birinchi navbatda nima qilish kerak? To'g'ri, qavslarni hisoblang. Xo'sh, biz buni aniqladik: birinchi navbatda biz ichki qavslarni hisoblaymiz, keyin hamma narsa.

Shunday qilib, yuqoridagi ifoda uchun harakatlar tartibi quyidagicha (joriy harakat qizil rang bilan ajratilgan, ya'ni men hozir bajarayotgan harakat):

OK, hammasi oddiy.

Lekin bu harflar bilan ifodalash bilan bir xil emas, shunday emasmi?

Yo'q, xuddi shunday! Faqat arifmetik amallar o'rniga algebraik amallarni, ya'ni oldingi bo'limda tasvirlangan amallarni bajarish kerak: o'xshash olib kelish, kasrlarni qo'shish, kasrlarni kamaytirish va hokazo. Yagona farq polinomlarni faktoring qilish harakati bo'ladi (biz uni kasrlar bilan ishlashda tez-tez ishlatamiz). Ko'pincha, faktorizatsiya qilish uchun siz i dan foydalanishingiz yoki oddiy koeffitsientni qavsdan olib tashlashingiz kerak.

Odatda bizning maqsadimiz ifodani mahsulot yoki qism sifatida ifodalashdir.

Masalan:

Keling, ifodani soddalashtiraylik.

1) Avval qavs ichidagi ifodani soddalashtiramiz. U erda biz kasrlar farqiga egamiz va bizning maqsadimiz uni mahsulot yoki qism sifatida ko'rsatishdir. Shunday qilib, biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va qo'shamiz:

Bu iborani yanada soddalashtirishning iloji yo'q, bu erda barcha omillar elementardir (bu nimani anglatishini hali ham eslaysizmi?).

2) Biz olamiz:

Kasrlarni ko'paytirish: nima osonroq bo'lishi mumkin.

3) Endi siz qisqartirishingiz mumkin:

OK, endi hammasi tugadi. Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi?

Yana bir misol:

Ifodani soddalashtiring.

Birinchidan, uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling va shundan keyingina yechimga qarang.

Avvalo, protsedurani aniqlaymiz. Birinchidan, qavs ichidagi kasrlarni qo'shamiz, ikkita kasr o'rniga bittasi chiqadi. Keyin kasrlarni bo'linishni qilamiz. Xo'sh, biz natijani oxirgi kasr bilan qo'shamiz. Men bosqichlarni sxematik tarzda raqamlayman:

Endi men butun jarayonni ko'rsataman, joriy harakatni qizil rangga bo'yaman:

Va nihoyat, men sizga ikkita foydali maslahat beraman:

1. Agar shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish kerak. Qaysi vaqtda bizda shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish tavsiya etiladi.

2. Kasrlarni kamaytirish uchun ham xuddi shunday: kamaytirish imkoniyati paydo bo'lishi bilanoq, uni ishlatish kerak. Istisno - siz qo'shadigan yoki ayiradigan kasrlar: agar ular hozir bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, qisqartirishni keyinroq qoldirish kerak.

O'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan ba'zi vazifalar:

Va boshida va'da berdi:

Yechimlar (qisqacha):

Agar siz hech bo'lmaganda dastlabki uchta misolni bajargan bo'lsangiz, unda siz mavzuni o'zlashtirgan deb hisoblang.

Endi o'rganishga!

FOTOLARNI AYLANTIRISH. XULOSA VA ASOSIY FORMULA

Asosiy soddalashtirish operatsiyalari:

• O'xshashlarni olib kelish: kabi atamalarni qo'shish (kamaytirish) uchun ularning koeffitsientlarini qo'shish va harf qismini belgilash kerak.
• Faktorizatsiya: umumiy omilni qavs ichidan olish, qo‘llash va h.k.
• Fraksiyani kamaytirish: kasrning ayiruvchisi va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilishi yoki bo'linishi mumkin, undan kasrning qiymati o'zgarmaydi.
  1) son va maxraj faktorizatsiya qilish
  2) agar ayiruvchi va maxrajda umumiy ko‘rsatkichlar bo‘lsa, ularni kesib tashlash mumkin.

  MUHIM: faqat multiplikatorlarni kamaytirish mumkin!

• Kasrlarni qo'shish va ayirish:
  ;
• Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish:
  ;

Raqamli, harfli ifodalar va oʻzgaruvchili ifodalar mavzusini oʻrganishda tushunchaga eʼtibor qaratish lozim. ifoda qiymati. Ushbu maqolada biz raqamli ifodaning qiymati nima va o'zgaruvchilarning tanlangan qiymatlari bilan to'g'ridan-to'g'ri ifoda va o'zgaruvchilar bilan ifodaning qiymati nima deb ataladigan savolga javob beramiz. Ushbu ta'riflarni aniqlashtirish uchun biz misollar keltiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Raqamli ifodaning qiymati nima?

Raqamli ifodalar bilan tanishish deyarli maktabdagi matematikaning birinchi darslaridan boshlanadi. Deyarli darhol "raqamli ifodaning qiymati" tushunchasi kiritiladi. U arifmetik belgilar (+, -, ·, :)) bilan bog'langan sonlardan tuzilgan ifodalarni bildiradi. Keling, tegishli ta'rifni beraylik.

Ta'rif.

Raqamli ifodaning qiymati- bu asl sonli ifodadagi barcha amallarni bajargandan so'ng olinadigan raqam.

Masalan, 1+2 raqamli ifodani ko'rib chiqing. Amalga oshirilgandan so'ng biz 3 raqamini olamiz, bu sonli ifodaning qiymati 1+2 .

Ko'pincha "raqamli iboraning qiymati" iborasida "raqamli" so'zi tushiriladi va ular shunchaki "iboraning qiymati" deyishadi, chunki qaysi ibora nazarda tutilganligi hali ham aniq.

Yuqoridagi ifoda ma’nosining ta’rifi o‘rta maktabda o‘rganiladigan murakkabroq shakldagi sonli ifodalarga ham tegishli. Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, qiymatlarini aniqlab bo'lmaydigan raqamli iboralarga duch kelishingiz mumkin. Buning sababi, ba'zi iboralarda qayd etilgan harakatlarni bajarish mumkin emas. Masalan, shuning uchun biz 3:(2−2) ifoda qiymatini aniqlay olmaymiz. Bunday sonli ifodalar deyiladi mantiqiy bo'lmagan iboralar.

Amalda ko'pincha raqamli ifoda emas, balki uning qiymati qiziq. Ya'ni, bu iboraning qiymatini aniqlashdan iborat vazifa paydo bo'ladi. Bunday holda, ular odatda ifoda qiymatini topish kerakligini aytadilar. Ushbu maqolada har xil turdagi sonli ifodalarning qiymatini topish jarayoni batafsil tahlil qilinadi va echimlarning batafsil tavsifi bilan ko'plab misollar ko'rib chiqiladi.

Harf va oʻzgaruvchan iboralarning maʼnosi

Raqamli iboralar bilan bir qatorda ular harfiy iboralarni, ya'ni raqamlar bilan bir qatorda bir yoki bir nechta harflar mavjud bo'lgan iboralarni o'rganadilar. To'g'ridan-to'g'ri iboradagi harflar turli raqamlarni anglatishi mumkin va agar harflar bu raqamlar bilan almashtirilsa, u holda harfiy ifoda songa aylanadi.

Ta'rif.

To'g'ridan-to'g'ri ifodadagi harflar o'rnini bosadigan raqamlar deyiladi bu harflarning ma'nosi, va natijada olingan sonli ifodaning qiymati deyiladi harflarning qiymatlari berilgan so'zma-so'z ifodaning qiymati.

Shunday qilib, to'g'ridan-to'g'ri iboralar uchun nafaqat to'g'ridan-to'g'ri iboraning ma'nosi haqida, balki harflarning berilgan (berilgan, ko'rsatilgan va hokazo) qiymatlari uchun to'g'ridan-to'g'ri iboraning ma'nosi haqida gapiriladi.

Keling, bir misol keltiraylik. 2·a+b harfiy ifodasini olaylik. a va b harflarining qiymatlari berilsin, masalan, a=1 va b=6 . Asl ifodadagi harflarni ularning qiymatlari bilan almashtirsak, 2 1+6 ko'rinishdagi sonli ifodani olamiz, uning qiymati 8 ga teng. Shunday qilib, 8 raqami a=1 va b=6 harflarining qiymatlari berilgan 2·a+b harfiy ifodasining qiymatidir. Agar boshqa harf qiymatlari berilgan bo'lsa, biz ushbu harf qiymatlari uchun harfiy ifodaning qiymatini olamiz. Masalan, a=5 va b=1 bilan biz 2 5+1=11 qiymatiga egamiz.

O‘rta maktabda algebra fanini o‘rganayotganda harflar tarkibidagi harflar turli ma’no olishiga yo‘l qo‘yiladi, bunday harflar o‘zgaruvchi, harfiy ifodalar esa o‘zgaruvchili ifodalar deb ataladi. Ushbu ifodalar uchun o'zgaruvchilarning tanlangan qiymatlari uchun o'zgaruvchilar bilan ifoda qiymati tushunchasi kiritiladi. Keling, nima ekanligini aniqlaylik.

Ta'rif.

O'zgaruvchilarning tanlangan qiymatlari uchun o'zgaruvchilar bilan ifodaning qiymati o'zgaruvchilarning tanlangan qiymatlarini asl ifodaga almashtirgandan so'ng olinadigan raqamli ifodaning qiymati chaqiriladi.

Keling, aytilgan ta'rifni misol bilan tushuntiramiz. 3·x·y+y ko‘rinishdagi x va y o‘zgaruvchilari bo‘lgan ifodani ko‘rib chiqaylik. Keling, x=2 va y=4 ni olaylik, bu o'zgaruvchi qiymatlarni asl ifodaga almashtiramiz, 3 2 4+4 sonli ifodani olamiz. Bu ifodaning qiymatini hisoblaymiz: 3 2 4+4=24+4=28 . Topilgan qiymat 28 - o'zgaruvchilarning x=2 va y=4 tanlangan qiymatlari bilan 3·x·y+y o'zgaruvchilari bilan original ifodaning qiymati.

Agar siz o'zgaruvchilarning boshqa qiymatlarini tanlasangiz, masalan, x=5 va y=0 , u holda o'zgaruvchilarning ushbu tanlangan qiymatlari 3 5 0+0=0 ga teng o'zgaruvchilar bilan ifoda qiymatiga mos keladi.

Shuni ta'kidlash mumkinki, ba'zida o'zgaruvchilarning turli xil tanlangan qiymatlari uchun ifodaning teng qiymatlari olinishi mumkin. Masalan, x=9 va y=1 uchun 3 x y+y ifodaning qiymati 28 ga teng (chunki 3 9 1+1=27+1=28 ) va yuqorida bir xil qiymat ifoda ekanligini ko‘rsatdik. o'zgaruvchilar x=2 va y=4 ga ega.

O'zgaruvchan qiymatlar o'zlariga mos ravishda tanlanishi mumkin qabul qilinadigan qiymatlar diapazonlari. Aks holda, ushbu o'zgaruvchilarning qiymatlarini asl ifodaga almashtirish mantiqiy bo'lmagan raqamli ifodaga olib keladi. Misol uchun, agar siz x=0 ni tanlasangiz va bu qiymatni 1/x ifodasiga almashtirsangiz, siz 1/0 raqamli ifodani olasiz, bu mantiqiy emas, chunki nolga bo'linish aniqlanmagan.

Faqat qiymatlari ularning tarkibiy o'zgaruvchilari qiymatlariga bog'liq bo'lmagan o'zgaruvchilarga ega iboralar mavjudligini qo'shish kerak. Masalan, 2+x−x ko‘rinishdagi x o‘zgaruvchisi bo‘lgan ifodaning qiymati bu o‘zgaruvchining qiymatiga bog‘liq emas, u x o‘zgaruvchisining amaldagi qiymatlar diapazonidan tanlangan istalgan qiymati uchun 2 ga teng, bu holda barcha haqiqiy sonlar to'plami.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Matematika: o'qish. 5 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / N. Ya. Vilenkin, V. I. Joxov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 b.: kasal. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: darslik 7 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 17-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 240 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Raqamli ifoda sonlarni arifmetik amallar va qavslar bilan birgalikda yozishdir. Ifodada oʻzgaruvchilar sonlar bilan birga qoʻllanilsa va butun ifoda maʼno bilan tuzilgan boʻlsa, u algebraik (harf) ifoda deyiladi. Agar ifoda to'g'ridan-to'g'ri, hosilaviy, teskari va boshqa trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olsa, u holda ifoda trigonometrik deyiladi. Turli iboralardan foydalangan holda ko'plab misollar va topshiriqlar maktab matematika kursida batafsil bayon etilgan.

Eslash kerak bo'lgan asosiy narsalar:

1. Sonli ifodaning qiymati bu ifodada arifmetik amallarni bajarish natijasida olingan son bo'ladi. Asosiysi, arifmetik amallarni izchil bajarish. Butun operatsiyani soddalashtirish uchun qadamlarni raqamlash mumkin. Agar ifoda qavslarni o'z ichiga olsa, u holda birinchi navbatda qavs ichidagi belgiga mos keladigan amalni bajaramiz. Eksponentsiya keyingi qadam bo'ladi. Keyingi navbatda biz ko'paytirish yoki bo'linishni amalga oshiramiz va faqat oxirida qo'shish va ayirish.

Endi 5+20*(60-45) sonli ifodaning qiymatini topamiz. Keling, avval qavslarni olib tashlaylik. Harakatni bajarib, 60-45=15 ni olamiz. Endi bizda 5+20*15 bor. Keyingi harakat 20 * 15 = 300 ni ko'paytirishdir. Va oxirgi harakat qo'shimcha bo'ladi, biz uni bajaramiz va yakuniy natijani olamiz 5 + 300 = 305.

2. Ma'lum burchak ostida? Trigonometrik ifodalar bilan ishlashda sizga ifodani soddalashtirishga yordam beradigan asosiy trigonometrik formulalarni bilish kerak bo'ladi. cos 12 ifodaning qiymati topilsin? cos 18? - gunoh 12? gunoh 18? Bu ifodani soddalashtirish uchun cos (? +?) = cos formulasidan foydalanamiz? chunki? - gunohmi? gunoh?, keyin biz cos 12 ni olamiz? cos 18? - gunoh 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. O‘zgaruvchili ifodalar. Shuni esda tutish kerakki, algebraik ifodaning qiymati bevosita o'zgaruvchiga bog'liq. O'zgaruvchilar yunon yoki lotin alifbosi harflari bilan belgilanishi mumkin. Bizda algebraik ifodaning berilgan parametrlari mavjud bo‘lganda, avvalo uni soddalashtirishimiz kerak. Shundan so'ng, berilgan o'zgaruvchilarni almashtirish va arifmetik amallarni bajarish kerak. Natijada, berilgan o'zgaruvchilar bilan biz algebraik ifodaning qiymati bo'lgan raqamni olamiz. 3(a+y)+2(3a+2y) ifoda qiymatini a=4 va y=5 bilan topish kerak bo‘lgan misolni ko‘rib chiqing. Bu ifodani soddalashtiring va 3a+3y+6a+4y=9a+7y hosil qiling. Endi siz o'zgaruvchilarning qiymatini almashtirishingiz va hisoblashingiz kerak, olingan natija ifoda qiymati bo'ladi. Demak, a=4 bo‘lgan 9a+7y va y=5 bo‘lsa, 36+35=71 bo‘ladi. E'tibor bering, algebraik ifodalar har doim ham ma'noga ega emas. Masalan, 15:(b-4) ifodasi b =4 dan boshqa har qanday b uchun ma'no beradi.