Differensial tenglamalarn-chi tartib.

Agar tenglama eng yuqori hosilaga nisbatan echiladigan bo'lsa, u (1) ko'rinishga ega bo'ladi. Shuningdek, n-tartibli tenglama n ta birinchi tartibli tenglamalar tizimi sifatida ifodalanishi mumkin.

(3)

n-tartibli tenglama uchun sistema uchun mavjudlik va yagonalik teoremasining shartlari (1)~(2)~(3) dan beri bajariladi.

Buyurtmani pasaytirishning eng oddiy holatlari.

Tenglama kerakli funktsiyani va tartibgacha hosilasini o'z ichiga olmaydi k -1 shu jumladan , ya'ni

Bunday holda, buyurtmani pastga tushirish mumkin
almashtirish. Agar bu tenglamadan ifodalasak, u holda y yechimni k marta integrallanuvchi funksiya bilan aniqlash mumkin p.

Misol.
.

Noma'lum o'zgaruvchiga ega bo'lmagan tenglama

(5)

Bunday holda, buyurtmani almashtirish orqali bittaga qisqartirish mumkin.

Misol.
.

Tenglamaning chap tomoni

(6)

ba'zi differensial ifodaning hosilasidir ( n -1) tartib .
. Agar
- demak, oxirgi tenglamaning yechimi mavjud. Biz (6) tenglamaning birinchi integralini oldik va echilayotgan tenglamaning darajasini bittaga tushirdik.

Izoh. Ba'zan (6) ning chap tomoni (n-1) tartibli differensial tenglamaning hosilasiga aylanadi.
shuning uchun bu erda qo'shimcha yechim paydo bo'lishi mumkin (teskari nolga) yoki agar biz yechimni yo'qotishimiz mumkin uzluksiz funksiya.

Misol.

Tenglama

(7)

ga nisbatan bir hil va uning hosilalari .

Yoki , ko'rsatkich qayerda
bir xillik shartlaridan aniqlanadi.

Bu tenglamaning tartibini quyidagi bilan almashtirib bittaga qisqartirish mumkin: .

Agar bu munosabatlarni (7) ga almashtirsak va funksiyaning bir jinsliligini hisobga olsak F , keyin oxirida biz olamiz: .

Misol.
.

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar,

buyurtmani qisqartirish imkonini beradi.

O'zgartirish
.

Agar (8) tenglamani eng yuqori hosilaga nisbatan yechish mumkin bo'lsa, u holda tenglama
o'zgaruvchiga nisbatan ikki marta integratsiyalangan x.

Siz parametrni kiritishingiz va (8) tenglamani uning parametrik ko'rinishi bilan almashtirishingiz mumkin:
. Differensiallar uchun nisbatdan foydalanish:
, biz olamiz: va

II .
(9)

Parametrik ko'rinishdan foydalanamiz:

III.
. (10)

Buyurtmani o'zgartirish orqali kamaytirishingiz mumkin:
.

Agar (10) tenglama eng yuqori hosilaga nisbatan echiladigan bo'lsa
, keyin o'ng va chap tomonlarni ko'paytiring
. Biz quyidagilarni olamiz: Bu ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglama:
.

(10) tenglamani uning parametrik tasviri bilan almashtirish mumkin: . Differensialning xususiyatlaridan foydalanamiz:

Misol.
.

Chiziqli differensial tenglamalarn-chi tartib.

Ta'rif. Chiziqli differensial tenglamalar n -chi tartib shakldagi tenglamalar deyiladi:
. (1)

Agar koeffitsientlar davomli
, keyin shaklning har qanday boshlang'ich qiymatlari yaqinida:, qaerda intervalga tegishli bo'lsa, bu boshlang'ich qiymatlar yaqinida shartlar qondiriladi borliq va yagonalik teoremalari. (1) tenglamaning chiziqliligi va bir jinsliligi har qanday transformatsiyada saqlanadi
, qayerda ixtiyoriy n marta differentsiallanuvchi funksiyadir. Va
. Noma'lum funktsiyaning chiziqli va bir jinsli o'zgarishi ostida chiziqlilik va bir xillik saqlanib qoladi.

Chiziqli differentsial operatorni kiritamiz: , keyin (1) ni quyidagicha yozish mumkin:
. Vronskiyning aniqlovchisi
quyidagicha ko'rinadi:

, qayerda - (1) tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari.

Teorema 1. Agar chiziqli mustaqil funksiyalar
uzluksiz chiziqli bir jinsli (1) tenglamaning yechimidir
koeffitsientlar
, keyin Vronskiy determinanti
segmentning biron bir nuqtasida yo'qolmaydi
.

Teorema 2. Uzluksiz chiziqli bir jinsli (1) tenglamaning umumiy yechimi
koeffitsientlar
yechimlarning chiziqli birikmasi bo'ladi , ya'ni
(2), qayerda
segmentda chiziqli mustaqil
maxsus echimlar (1).

(chiziqli differensial tenglamalar tizimi misolida isbotlangan)

Natija. Chiziqli mustaqil yechimlarning maksimal soni (1) uning tartibiga teng.

(1) tenglamaning bitta ahamiyatsiz maxsus yechimini bilish -
, almashtirishni amalga oshirishingiz mumkin
va tenglamaning chiziqliligini va bir jinsliligini saqlagan holda tartibini pasaytiring. Odatda bu almashtirish ikkiga bo'linadi. Bu chiziqli bir hil tasvir bo'lgani uchun (1) ning chiziqliligi va bir xilligini saqlaydi, ya'ni (1) shaklga keltirilishi kerak. Qaror
tufayli
mos keladigan yechim
, va shuning uchun
. Almashtirish orqali
, tartib bilan tenglama olamiz
.

Lemma. (3)

(3) va (4) ko'rinishdagi ikkita tenglama, bunda Q i va P i umumiy fundamental yechimlar tizimiga ega bo'lgan funktsiyalarda uzluksiz bo'ladi, ya'ni. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Lemmaga asoslanib, y 1 y 2 …y n yechimlarning fundamental tizimi chiziqli bir jinsli tenglamani (3) to‘liq aniqlaydi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.

y 1 y 2 …y n fundamental yechimlar sistemasiga ega bo‘lgan (3) tenglama shakli topilsin. Har qanday yechim y(x) (3) tenglama chiziqli ravishda asosiy yechimlar tizimiga bog'liq, ya'ni W=0. Oxirgi ustunda Wronskiy determinantini kengaytiramiz.

Tenglama (5) - berilgan fundamental yechimlar sistemasi bilan kerakli chiziqli differensial tenglama. Biz (5) W ga bo'lishimiz mumkin u  x nolga teng emas. Keyin:

(*)

Determinantni differentsiallash qoidasiga ko‘ra, aniqlovchining hosilasi i=1,2...n determinantlar yig‘indisiga teng bo‘lib, ularning har birining i-qatori asliyatning i-qatorining hosilasiga teng. aniqlovchi. Bu yig‘indida oxirgisidan tashqari barcha determinantlar nolga teng (chunki ularning har biri ikkita bir xil qatorga ega), oxirgisi esa (*) ga teng. Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

, keyin:
(6)

(7)

Ta'rif. (6) va (7) formulalar chaqiriladi Ostrogradskiy-Liuvil formulalari.

Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamani integrallash uchun (7) dan foydalanamiz. Va (8) tenglamaning y 1 yechimlaridan birini bilib olaylik.

(7) ga binoan (8) ning har qanday yechimi quyidagi munosabatni qondirishi kerak:

(9)

Integrallashtiruvchi omil usulidan foydalanamiz.

Bilan chiziqli bir jinsli tenglamalar

doimiy koeffitsientlar.

Agar chiziqli bir hil tenglamada barcha koeffitsientlar doimiy bo'lsa,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

u holda xususiy yechimlarni (1) quyidagicha aniqlash mumkin: y=e kx, bu yerda k doimiy.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Ta'rif. (3) - xarakterli tenglama.

Eritma shakli (1) xarakteristik tenglamaning (3) ildizlari bilan aniqlanadi.

1). Barcha ildizlar haqiqiy va aniq. , keyin:

2). Agar barcha koeffitsientlar haqiqiy bo'lsa, unda ildizlar murakkab konjugat bo'lishi mumkin .

k 1 =+i k 2 =-i

Keyin echimlar quyidagicha ko'rinadi:

Teoremaga ko'ra: haqiqiy koeffitsientli operator murakkab konjugatli yechimlarga ega bo'lsa, ularning haqiqiy va xayoliy qismlari ham yechim hisoblanadi. Keyin:

Misol.

Biz yechimni shaklda ifodalaymiz
, u holda xarakteristik tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

, biz ikkita yechimga ega bo'lamiz:

u holda kerakli funksiya:

3). Bir nechta ildizlar mavjud: k i ko'plik bilan  i . Bunday holda, turli xil echimlar soni
n dan kichik bo'ladi, shuning uchun etishmayotgan chiziqli mustaqil echimlarni boshqa shaklda izlash kerak. Masalan:

Isbot:

Aytaylik, k i =0, agar uni (3) ga almashtirsak, u holda shuni olamiz:

- maxsus echimlar (3).

k i 0 bo‘lsin, o‘zgartirish kiritamiz
(6)

(6) ni (1) ga almashtirib, z ga nisbatan doimiy koeffitsientli (7) n-darajali chiziqli bir jinsli tenglamani olamiz.

Ildizlar (3) xarakteristik tenglamaning (7) ildizlaridan k i atamasi bilan farqlanadi.

(8)

Agar k=k i bo‘lsa, bu k (7) tenglamaning ildizi p=0 bo‘lgan yechimiga mos keladi, ya’ni. z= ko‘rinishdagi yechimlarga mos keladi
, u holda y=- (1) tenglamaning yechimi. Va umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi:

k i uchun yechim



Eyler tenglamasi.

Ta'rif. Shakl tenglamasi:

a i -doimiy koeffitsientlar deyiladi Eyler tenglamasi.

x=e t ni almashtirish orqali Eyler tenglamasi doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli tenglamaga keltiriladi.

Yechimlarni y=x k ko‘rinishida qidirishingiz mumkin, keyin ular quyidagicha ko‘rinadi:

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar.

Agar 0 (x)0 bo'lsa, (1) tenglamani ushbu koeffitsientga bo'lsak, biz quyidagilarni olamiz:

.

Agar b da i va f uzluksiz bo'lsa, u holda (2) mos keladigan boshlang'ich shartlarni qondiradigan yagona yechimga ega bo'ladi. Agar (2) dan eng yuqori hosilalarni aniq ifodalasak, u holda o'ng tomoni borlik va yagonalik teoremasini qanoatlantiradigan tenglamani olamiz. L operatori chiziqli bo'lgani uchun, bu (2) uchun quyidagi to'g'ri ekanligini bildiradi:

1).
- yechim (2) agar bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi (2) va mos keladigan bir jinsli tenglamaning yechimidir.

2). Agar - yechimlar
, keyin
tenglamaning yechimi
.

2-xususiyat superpozitsiya printsipi bo'lib, u uchun amal qiladi
qator bo'lsa
- birlashadi va tan oladi m-katta atama bo‘yicha farqlash.

3) operator tenglamasi berilsin
, bu erda L - koeffitsientli operator , hammasi - haqiqiy. U va V funktsiyalari ham haqiqiydir. Agar bu tenglama yechimga ega bo'lsa
, u holda y ning xayoliy va haqiqiy qismlari bir xil tenglamaning yechimi bo'ladi:
va
. Bundan tashqari, ularning har biri yechimga mos keladi.

Teorema. Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimin-buyurtma
segmentida [a, b] sharti bilan barcha koeffitsientlar
va o'ng tomoni
- uzluksiz funksiyalar, bir jinsli tizimga mos keladigan umumiy yechim yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin
va bir hil bo'lmagan ma'lum bir yechim -
.

Bular. yechim
.

Agar bir hil bo'lmagan tizimning alohida echimlarini aniq tanlashning iloji bo'lmasa, siz usuldan foydalanishingiz mumkin. doimiyning o'zgarishlari . Biz yechimni quyidagi shaklda qidiramiz:

(3)

qayerda
bir hil tizimli yechimlar,
- noma'lum funktsiyalar.

Jami noma'lum xususiyatlar
- n. Ular dastlabki tenglamani (2) qondirishi kerak.

y(x) ifodani (2) tenglamaga qo‘yib, faqat bitta noma’lum funksiyani aniqlash shartlariga erishamiz. Qolgan (n-1)-quduq funktsiyalarini aniqlash uchun qo'shimcha (n-1)-lekin qo'shimcha shart kerak, ularni o'zboshimchalik bilan tanlash mumkin. Biz ularni shunday tanlaymizki, yechim (2) - y(x) xuddi shunday ko'rinadi
doimiylar edi.

,

beri
o'zini doimiylar kabi tuting
, bu va degan ma'noni anglatadi
.

Bu. (n-1)-lekin (1) tenglamaga qo'shimcha shartni olamiz. Agar hosilalarning ifodasini (1) tenglamaga almashtirsak va olingan barcha shartlarni hisobga olsak va y i mos keladigan bir jinsli sistemaning yechimi ekanligini hisobga olsak, u holda oxirgi shartni olamiz.
.

Keling, tizimga o'tamiz:

(3)

(3) sistemaning determinanti (W) dir. Vronskiyning aniqlovchisi, va beri y i bir jinsli sistemaning yechimlari, demak W0 dan.

Misol. Bir jinsli bo'lmagan tenglama

, mos keladigan bir jinsli tenglama

Biz shaklda yechim izlayapmizy= e kx . Xarakteristik tenglamak 2 +1=0, ya'ni.k 1,2 =  i

y= e ix = cos x + i gunoh x, umumiy qaror -

Keling, doimiy o'zgartirish usulidan foydalanamiz:

uchun shartlar
:

, bu yozishga teng:

Demak:

n-chi tartib

Teorema. Agar y 0- bir jinsli tenglamaning yechimi L[y]=0, y 1- mos keladigan bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi L[y] = f(x), keyin summa y0+y1 bu bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimidir.

Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimining tuzilishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi.

Teorema. Agar Y- tenglamaning maxsus yechimi L[y] = f(x) uzluksiz koeffitsientlar bilan, mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimidir L[y] = 0, keyin bu bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi formula bilan aniqlanadi

Izoh. Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini yozish uchun ushbu tenglamaning qandaydir xususiy yechimini va mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish kerak.

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar n

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing n- doimiy koeffitsientli tartib

qayerda a 1, a 2, …, a n haqiqiy sonlardir. Tegishli bir jinsli tenglamani yozamiz

Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi formula bilan aniqlanadi

Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi y 0 Biz aniq bir yechim topishimiz mumkin Y Quyidagi eng oddiy hollarda noaniq koeffitsientlar usuli bilan topish mumkin:

Umumiy holatda ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi.

Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing n-o'zgaruvchan koeffitsientli tartib

Agar ushbu tenglamaning ma'lum bir yechimini topish qiyin bo'lib chiqsa, lekin mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ma'lum bo'lsa, u holda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini topish mumkin. ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli.

Tegishli bir jinsli tenglama bo'lsin

umumiy yechimga ega

Shaklda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi izlanadi

qayerda y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x) umumiy yechimiga kiritilgan bir jinsli tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari va C 1 (x), C2(x), …, C n (x)- noma'lum funktsiyalar. Ushbu funktsiyalarni topish uchun biz ularni ba'zi shartlarga bog'laymiz.

Keling, hosilani topamiz

Biz ikkinchi qavsdagi yig'indi nolga teng bo'lishini talab qilamiz, ya'ni

Keling, ikkinchi hosilani topamiz

va biz buni talab qilamiz

Xuddi shu jarayonni davom ettirsak, biz olamiz

Bunday holda, ikkinchi qavsdagi yig'indini yo'q qilishni talab qilish mumkin emas, chunki funktsiyalar C 1 (x), C2(x), …, C n (x) allaqachon bo'ysungan n-1 shartlar, lekin dastlabki bir jinsli bo'lmagan tenglamani qondirish ham zarur.

Chiziqli differensial tizimlar tenglamalar.

Differensial tenglamalar sistemasi deyiladi chiziqli, noma'lum funksiyalar va ularning hosilalariga nisbatan chiziqli bo'lsa. Tizim n-1-tartibli chiziqli tenglamalar quyidagicha yoziladi:

Tizimning koeffitsientlari const.

Ushbu tizimni matritsa shaklida yozish qulay:

bu yerda bitta argumentga bog'liq noma'lum funksiyalarning ustun vektori.

Bu funksiyalarning hosilalarining ustun vektori.

Erkin shartlarning ustun vektori.

Koeffitsient matritsasi.

1-teorema: Agar barcha matritsa koeffitsientlari bo'lsa A ba'zi bir intervalda va , keyin har bir m ning ba'zi qo'shnilarida uzluksizdir. TSIE shartlari bajariladi. Shuning uchun har bir bunday nuqta orqali faqat bitta integral egri chiziq mavjud.

Darhaqiqat, bu holda tizimning o'ng qismlari argumentlar to'plami bo'yicha uzluksiz va ularning qisman hosilalari (A matritsa koeffitsientlariga teng) cheklangan bo'lib, yopiq oraliqdagi uzluksizlik tufayli.

SLDE ni hal qilish usullari

1. Differensial tenglamalar tizimini noma'lumlarni bitta tenglamaga olib tashlash orqali kamaytirish mumkin.

Misol: Tenglamalar tizimini yeching: (1)

Yechim: istisno qilish z bu tenglamalardan. Birinchi tenglamadan biz bor. Ikkinchi tenglamaga almashtirib, biz soddalashtirilgandan keyin olamiz: .

Bu tenglamalar tizimi (1) bitta ikkinchi tartibli tenglamaga keltiriladi. Bu tenglama topilgandan keyin y, topilishi kerak z, tenglikdan foydalanish.

2. Noma'lumlarni yo'q qilish orqali tenglamalar tizimini echishda odatda yuqori tartibli tenglama olinadi, shuning uchun ko'p hollarda tizimni topish orqali echish qulayroqdir. integrallashgan kombinatsiyalar.

Davomi 27b

Misol: Tizimni hal qilish

Yechim:

Bu sistemani Eyler usuli bilan yechamiz. Xarakteristikani topish uchun determinantni yozamiz

tenglamalar: , (tizim bir hil bo'lgani uchun uning notrivial yechimga ega bo'lishi uchun bu determinant nolga teng bo'lishi kerak). Biz xarakterli tenglamani olamiz va uning ildizlarini topamiz:

Umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi: ;

- xos vektor.

Biz yechimni yozamiz: ;

- xos vektor.

Biz yechimni yozamiz: ;

Biz umumiy yechimni olamiz: .

Keling, tekshiramiz:

ni toping va ushbu tizimning birinchi tenglamasiga almashtiring, ya'ni. .

Biz olamiz:

- haqiqiy tenglik.

Chiziqli farq. n-tartibli tenglamalar. n-tartibli bir jinsli chiziqli tenglamaning umumiy yechimi haqidagi teorema.

n-tartibli chiziqli differensial tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir: (1)

Agar ushbu ur-ii koeffitsientida bo'lsa, unga bo'linib, biz tenglamaga kelamiz: (2) .

Odatda, turdagi tenglamalar (2). Faraz qilaylik, tenglamada. (2) barcha koeffitsientlar va shuningdek f (x) ma'lum bir intervalda davom etadi (a, b). Keyin, TSIE ga ko'ra, tenglama (2) dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega: , , …, for. Bu erda - intervaldan istalgan nuqta (a,b), va barchasi har qanday berilgan raqamlardir. Tenglama (2) TS&E ni qondiradi , shuning uchun yo'q maxsus qarorlar.

Def.: maxsus nuqtalar = 0 bo'lgan nuqtalardir.

Chiziqli tenglamaning xossalari:

1. Mustaqil o'zgaruvchining har qanday o'zgarishi ostida chiziqli tenglama chiziqli bo'lib qoladi.
2. Chiziqli tenglama istalgan funktsiyaning har qanday chiziqli o'zgarishi uchun shunday bo'lib qoladi.

Def.: agar tenglamada bo'lsa (2) qo'yish f (x) = 0, u holda biz quyidagi shakldagi tenglamani olamiz: (3) , deb ataladi bir jinsli tenglama bir jinsli bo'lmagan tenglamaga nisbatan (2).

Chiziqli differentsial operatorni ko'rib chiqaylik: (4). Ushbu operatordan foydalanib, tenglamalarni qisqa shaklda qayta yozish mumkin (2) va (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operator (4) quyidagi oddiy xususiyatlarga ega:

Ushbu ikki xususiyatdan biz natijani chiqarishimiz mumkin: .

Funktsiya y=y(x) bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimidir (2), agar L(y(x))=f(x), keyin f (x) tenglamaning yechimi deyiladi. Shunday qilib, tenglamaning yechimi (3) funksiya deb ataladi y(x), agar L(y(x))=0 ko'rib chiqilgan intervallarda.

O'ylab ko'ring. bir jinsli chiziqli tenglama: , L(y)=f(x).

Aytaylik, biz qandaydir tarzda ma'lum bir yechim topdik, keyin .

Biz yangi noma'lum funktsiyani kiritamiz z formula bo'yicha: , bu erda ma'lum bir yechim.

Uni tenglamaga almashtiring: , qavslarni oching va: ni oling.

Olingan tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Dastlabki tenglamaning xususiy yechimi bo'lgani uchun , keyin .

Shunday qilib, biz ga nisbatan bir hil tenglamaga erishdik z. Bu bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi chiziqli birikma hisoblanadi: , bu yerda funksiyalar - bir jinsli tenglama yechimlarining asosiy tizimini tashkil qiladi. O'rnini bosish z almashtirish formulasida biz quyidagilarni olamiz: (*) funksiya uchun y asl tenglamaning noma'lum funktsiyasidir. Asl tenglamaning barcha yechimlari (*) da bo'ladi.

Shunday qilib, bir hil bo'lmagan linning umumiy yechimi. Tenglama bir jinsli chiziqli tenglamaning umumiy yechimi va bir jinsli boʻlmagan tenglamaning qandaydir xususiy yechimi yigʻindisi sifatida ifodalanadi.

(boshqa tomonda davom etadi)

30. Dif ning yechimi uchun borlik va yagonalik teoremasi. tenglamalar

Teorema: Agar tenglamaning o'ng tomoni to'rtburchakda uzluksiz bo'lsa va chegaralangan bo‘lib, Lipschitz shartini ham qanoatlantiradi: , N=const, u holda boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan va segmentda aniqlangan yagona yechim mavjud. , qayerda.

Isbot:

To'liq metrik bo'shliqni ko'rib chiqing BILAN, nuqtalari segmentda aniqlangan barcha mumkin bo'lgan y(x) uzluksiz funksiyalardir , uning grafiklari to'rtburchak ichida joylashgan va masofa tenglik bilan aniqlanadi: . Bu bo'shliq ko'pincha matematik tahlilda ishlatiladi va deyiladi yagona konvergentsiya fazosi, chunki bu fazoning metrikasidagi konvergentsiya bir xil.

Farqni almashtiring. Ekvivalent integral tenglamaga berilgan boshlang'ich shartli tenglama: va operatorni ko'rib chiqing Ay), bu tenglamaning o'ng tomoniga teng: . Bu operator har bir uzluksiz funktsiyani tayinlaydi

Lipschitz tengsizligidan foydalanib, biz masofani yozishimiz mumkin. Endi biz shunday ni tanlaymiz, ular uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi: .

Bu shunday tanlanishi kerakki, keyin. Shunday qilib, biz buni ko'rsatdik.

Qisqartirish xaritalash printsipiga ko'ra, bitta nuqta yoki bir xil bo'lgan yagona funktsiya - berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi differensial tenglamaning yechimi mavjud.

To'g'ridan-to'g'ri integratsiya yo'li bilan yechilgan tenglamalar

Quyidagi shakldagi differentsial tenglamani ko'rib chiqing:
.
Biz n marta integratsiya qilamiz.
;
;
va boshqalar. Siz formuladan ham foydalanishingiz mumkin:
.
To'g'ridan-to'g'ri echilgan differensial tenglamalarga qarang integratsiya >>>

y bog'liq o'zgaruvchini aniq o'z ichiga olmagan tenglamalar

O'zgartirish tenglama tartibini bittaga kamaytirilishiga olib keladi. Bu erdan funksiya mavjud.
Aniq funksiyaga ega boʻlmagan yuqori tartibli differensial tenglamalarga qarang > > >

Aniq mustaqil o'zgaruvchi x bo'lmagan tenglamalar

.
ning funktsiyasi deb hisoblaymiz. Keyin
.
Xuddi shunday, qolgan hosilalar uchun. Natijada tenglamaning tartibi bittaga qisqaradi.
Aniq o'zgaruvchiga ega bo'lmagan yuqori tartibli differentsial tenglamalarga qarang > > >

y, y ′, y ′ ′, ... ga nisbatan bir jinsli tenglamalar.

Ushbu tenglamani yechish uchun biz almashtirishni amalga oshiramiz
,
ning funksiyasi qayerda. Keyin
.
Xuddi shunday, biz hosilalarni o'zgartiramiz va hokazo. Natijada tenglamaning tartibi bittaga qisqaradi.
Funksiya va uning hosilalariga nisbatan bir hil boʻlgan yuqori tartibli differensial tenglamalarga qarang. > > >

Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar

O'ylab ko'ring n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama:
(1) ,
mustaqil o'zgaruvchining funktsiyalari qayerda. Bu tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimi bo‘lsin. U holda (1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
(2) ,
ixtiyoriy konstantalar qayerda. Funktsiyalarning o'zi qaror qabul qilishning asosiy tizimini tashkil qiladi.
Asosiy qarorlar tizimi n-tartibli chiziqli bir jinsli tenglama bu tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimidir.

O'ylab ko'ring n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama:
.
Bu tenglamaning muayyan (har qanday) yechimi bo'lsin. Keyin umumiy yechim:
,
bir jinsli (1) tenglamaning umumiy yechimi bu yerda.

Doimiy koeffitsientli va ularga qisqartirilgan chiziqli differensial tenglamalar

Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli tenglamalar

Bu shakldagi tenglamalar:
(3) .
Mana haqiqiy raqamlar. Bu tenglamaning umumiy yechimini topish uchun fundamental yechimlar sistemasini tashkil etuvchi n ta chiziqli mustaqil yechim topishimiz kerak. Keyin umumiy yechim (2) formula bilan aniqlanadi:
(2) .

Biz shaklda yechim izlayapmiz. olamiz xarakterli tenglama:
(4) .

Agar bu tenglama mavjud bo'lsa turli xil ildizlar, u holda asosiy yechimlar tizimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.

Agar mavjud bo'lsa murakkab ildiz
,
keyin murakkab konjugat ildiz ham mavjud. Bu ikki ildiz va yechimlarga mos keladi, ular murakkab yechimlar oʻrniga fundamental tizimga kiradi va.

Ko'p ildizlar ko'paytmalar chiziqli mustaqil echimlarga mos keladi:.

Ko'p murakkab ildizlar ko'plik va ularning murakkab konjugat qiymatlari chiziqli mustaqil echimlarga mos keladi:
.

Maxsus bir jinsli bo'lmagan chiziqli bir jinsli tenglamalar

Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing
,
s darajali polinomlar qayerda 1 va s 2 ; - doimiy.

Birinchidan, (3) bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qidiramiz. Agar xarakteristik tenglama (4) ildizni o'z ichiga olmaydi, keyin biz quyidagi shaklda ma'lum bir yechim izlayapmiz:
,
qayerda
;
;
s ning eng kattasi 1 va s 2 .

Agar xarakteristik tenglama (4) ildizi bor ko'plik, keyin biz quyidagi shaklda ma'lum bir yechim qidiramiz:
.

Shundan so'ng biz umumiy yechimga ega bo'lamiz:
.

Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar

Bu erda uchta mumkin bo'lgan yechim mavjud.

1) Bernoulli usuli.
Birinchidan, biz bir jinsli tenglamaning har qanday nolga teng bo'lmagan yechimini topamiz
.
Keyin almashtirishni amalga oshiramiz
,
bu yerda x o‘zgaruvchining funksiyasi. Biz u uchun differensial tenglamani olamiz, u faqat u ning x ga nisbatan hosilalarini o'z ichiga oladi. Almashtirish n tenglamani beradi - 1 - birinchi buyurtma.

2) Chiziqli almashtirish usuli.
Keling, almashtirishni amalga oshiramiz
,
bu yerda (4) xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri. Natijada doimiy tartibli koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamani olamiz. Ushbu almashtirishni ketma-ket qo'llash orqali biz dastlabki tenglamani birinchi tartibli tenglamaga keltiramiz.

3) Lagranj konstantalarini o'zgartirish usuli.
Bu usulda birinchi navbatda bir jinsli (3) tenglamani yechamiz. Uning yechimi quyidagicha ko'rinadi:
(2) .
Quyida biz konstantalar x o'zgaruvchining funksiyasi deb faraz qilamiz. Keyin asl tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
,
noma'lum funktsiyalar qayerda. Dastlabki tenglamani almashtirib, ba'zi cheklovlarni qo'yib, biz funksiyalar shaklini topish mumkin bo'lgan tenglamalarni olamiz.

Eyler tenglamasi

U doimiy almashtirish koeffitsientlari bilan chiziqli tenglamaga keltiriladi:
.
Biroq, Eyler tenglamasini yechish uchun bunday almashtirishni amalga oshirishning hojati yo'q. Shaklda bir hil tenglamaning yechimini darhol izlash mumkin
.
Natijada, biz doimiy koeffitsientli tenglama bilan bir xil qoidalarga ega bo'lamiz, unda siz o'zgaruvchining o'rniga almashtirishingiz kerak.

Adabiyotlar:
V.V. Stepanov, Differensial tenglamalar kursi, "LCI", 2015 yil.
N.M. Gyunter, R.O. Kuzmin, Oliy matematika bo'yicha muammolar to'plami, "Lan", 2003 yil.