Kirish

Kundalik hayotda zamonaviy odam doimo raqamlarga duch keladi: biz do'konda avtobus va telefon raqamlarini eslaymiz.

biz xaridlar narxini hisoblaymiz, oilaviy byudjetimizni rubl va kopeklarda (rublning yuzdan bir qismi) ushlab turamiz va hokazo. Raqamlar, raqamlar. Ular hamma joyda biz bilan.

Raqam tushunchasi ham matematika, ham informatika fanining asosiy tushunchasidir. Bugungi kunda, 20-asrning eng oxirida, insoniyat raqamlarni yozish uchun asosan o'nlik sanoq tizimidan foydalanadi. Sanoq sistemasi nima?

Sanoq tizimi raqamlarni yozish (tasvirlash) usulidir.

Oldin mavjud boʻlgan va hozirda qoʻllanilayotgan turli sanoq sistemalari ikki guruhga boʻlinadi: pozitsion va nopozitsion. Eng mukammal pozitsion sanoq tizimlari, ya'ni. raqamlarni yozish tizimlari, bunda har bir raqamning raqam qiymatiga qo'shgan hissasi uning raqamni ifodalovchi raqamlar ketma-ketligidagi pozitsiyasiga (joyiga) bog'liq. Misol uchun, bizning odatiy o'nlik sistemamiz pozitsiondir: 34 raqamida 3 raqami o'nlik sonini ko'rsatadi va 30 raqamining qiymatiga "hissa qiladi", 304 raqamida esa xuddi shu 3 raqami yuzlik va sonlarni ko'rsatadi. 300 raqamining qiymatiga "hissa qo'shadi".

Har bir raqam uning raqam yozuvidagi o'rniga bog'liq bo'lmagan qiymatga to'g'ri keladigan sanoq tizimlari nopozitsiyali deyiladi.

Pozitsion sanoq sistemalari uzoq tarixiy rivojlanish natijasidir.

1. Sanoq sistemalari tarixi

• Birlik sanoq tizimi

Raqamlarni yozib olish zarurati juda qadimgi davrlarda, odamlar hisoblashni boshlaganlarida paydo bo'lgan. Qo'y kabi narsalarning soni qandaydir qattiq sirtga chiziqlar yoki seriflar chizish orqali tasvirlangan: tosh, loy, yog'och (qog'oz ixtiro qilinishidan oldin u juda va juda uzoqda edi). Bunday yozuvdagi har bir qo'y bir qatorga to'g'ri keldi. Arxeologlar paleolit ​​davriga oid (miloddan avvalgi 10 – 11 ming yillar) madaniy qatlamlarni qazish jarayonida bunday “yozuvlar”ni topishgan.

Olimlar raqamlarni yozishning bunday usulini birlik (“tayoq”) sanoq sistemasi deb atashgan. Unda raqamlarni yozish uchun faqat bitta turdagi belgi - "tayoq" ishlatilgan. Bunday sanoq sistemasidagi har bir raqam tayoqlardan tashkil topgan qator yordamida belgilandi, ularning soni belgilangan raqamga teng edi.

Raqamlarni yozishning bunday tizimining noqulayliklari va uni qo'llash cheklovlari aniq: yozilishi kerak bo'lgan son qancha ko'p bo'lsa, tayoqlar qatori shunchalik uzun bo'ladi. Ha, va ko'p sonni yozishda, qo'shimcha sonli tayoqlarni qo'yish yoki aksincha, ularni qo'shmasdan xato qilish oson.

Hisoblashni osonlashtirish uchun odamlar narsalarni 3, 5, 10 bo'laklarga guruhlashni boshladilar. Va yozib olishda ular bir nechta ob'ektlar guruhiga mos keladigan belgilardan foydalanganlar. Tabiiyki, barmoqlar hisoblashda ishlatilgan, shuning uchun birinchi belgilar 5 va 10 dona (birlik) ob'ektlar guruhini ko'rsatish uchun paydo bo'ldi. Shunday qilib, raqamlarni belgilash uchun qulayroq tizimlar paydo bo'ldi.

• Qadimgi Misrning oʻnlik nopozitsion sanoq sistemasi

Miloddan avvalgi III ming yillikning ikkinchi yarmida vujudga kelgan qadimgi Misr sanoq sistemasida 1, 10, 10 raqamlarini belgilash uchun maxsus raqamlardan foydalanilgan. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Misr sanoq tizimidagi raqamlar ushbu raqamlarning kombinatsiyasi sifatida yozilgan bo'lib, ularning har biri to'qqiz martadan ko'p bo'lmagan takrorlangan.

Misol. Qadimgi misrliklar 345 raqamini shunday yozishgan:

1-rasm Qadimgi Misr sanoq sistemasida sonni yozish

Qadimgi Misrning nopozitsion sanoq sistemasida raqamlarning belgilanishi:

2-rasm Birlik

3-rasm O'nlik

4-rasm Yuzlar

Shakl 5 Minglar

6-rasm O'n minglab

7-rasm Yuz minglab

Qadimgi Misr sanoq tizimlari ham, tayoqchalari ham qo'shishning oddiy printsipiga asoslangan edi, unga ko'raraqamning qiymati uni yozishda qatnashgan raqamlar qiymatlari yig'indisiga teng. Olimlar qadimgi Misr sanoq sistemasini o‘nlik nopozitsiyali sistemaga bog‘laydilar.

• Bobil (on oltilik) sanoq tizimi

Bu sanoq sistemasidagi sonlar ikki xil belgilardan iborat bo‘lgan: to‘g‘ri xanjar (8-rasm) birliklarni bildirish uchun xizmat qilgan, yotgan xanjar (9-rasm) o‘nliklarni bildirgan.

8-rasm To'g'ri xanjar

9-rasm Yotgan xanjar

Shunday qilib, 32 raqami quyidagicha yozilgan:

10-rasm Bobilning kichik kichik sanoq sistemasida 32 raqamini yozish

60 raqami yana bir xil belgi bilan (8-rasm) 1 bilan belgilandi. Xuddi shu belgi 3600 = 60 raqamlarini ko'rsatdi. 2 , 216000 = 60 3 va qolgan barcha darajalar 60 ga teng. Shuning uchun Bobil sanoq sistemasi sexagesimal deb nomlangan.

Raqamning qiymatini aniqlash uchun raqam tasvirini o'ngdan chapga raqamlarga bo'lish kerak edi. Bir xil belgilar guruhlari ("raqamlar") almashinishi raqamlarning almashinishiga to'g'ri keldi:

11-rasm Raqamni raqamlashtirish

Raqamning qiymati uni tashkil etuvchi "raqamlar" ning qiymatlari bilan aniqlangan, ammo har bir keyingi raqamdagi "raqamlar" oldingi raqamdagi bir xil "raqamlar" dan 60 baravar ko'p ekanligini hisobga olgan holda.

Bobilliklar 1 dan 59 gacha bo'lgan barcha raqamlarni o'nlik nopozitsion tizimda, butun sonni esa 60 tagacha bo'lgan pozitsion tizimda yozishgan.

Bobilliklar orasida raqamning qayd etilishi noaniq edi, chunki nolni bildiradigan "raqam" yo'q edi. 92 raqamining kiritilishi nafaqat 92 = 60 + 32, balki 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 va hokazolarni ham anglatishi mumkin. Aniqlash uchunraqamning mutlaq qiymatiqo'shimcha ma'lumotlar talab qilindi. Keyinchalik, bobilliklar etishmayotgan kichik kichik raqamni ko'rsatish uchun maxsus belgini (12-rasm) kiritdilar, bu bizga tanish bo'lgan o'nlik sanoq sistemasidagi raqamlar yozuvidagi 0 raqamining ko'rinishiga mos keladi. Ammo raqam oxirida bu belgi odatda qo'yilmagan, ya'ni bizning tushunchamizda bu belgi nolga teng emas edi.

12-rasm. Yo'qolgan kichik kichik raqam belgisi

Shunday qilib, endi 3632 raqamini quyidagicha yozish kerak edi:

13-rasm 3632 raqamini yozish

Bobilliklar ko'paytirish jadvalini hech qachon yodlashmagan, chunki bu deyarli imkonsiz edi. Hisoblashda ular tayyor ko'paytirish jadvallaridan foydalanganlar.

Oltita kichik Bobil tizimi pozitsion printsipga asoslangan bizga ma'lum bo'lgan birinchi sanoq sistemasidir. Bobil tizimi matematika va astronomiyaning rivojlanishida katta rol o'ynagan, ularning izlari hozirgi kungacha saqlanib qolgan. Shunday qilib, biz hali ham bir soatni 60 daqiqaga va bir daqiqani 60 soniyaga ajratamiz. Xuddi shu tarzda, bobilliklar misolida aylanani 360 qismga (gradus) ajratamiz.

• Rim raqamlar tizimi

Hozirgi kungacha saqlanib qolgan nopozitsion sanoq sistemasiga misol qilib, qadimgi Rimda ikki yarim ming yil avval qo‘llanilgan sanoq sistemasini keltirish mumkin.

Rim raqamlar tizimi 1 raqami uchun I (bir barmoq), 5 raqami uchun V (ochiq kaft), 10 raqami uchun X (ikki buklangan qo'l) belgilariga, shuningdek, 50, 100 raqamlari uchun maxsus belgilarga asoslanadi. 500 va 1000.

Vaqt o'tishi bilan oxirgi to'rtta raqamning yozuvi sezilarli darajada o'zgargan. Olimlarning ta'kidlashicha, dastlab 100 raqami ruscha Zh harfiga o'xshab uchta tire to'plamiga o'xshardi va 50 raqami uchun bu harfning yuqori yarmiga o'xshardi, keyinchalik u L belgisiga aylandi:

14-rasm 100 sonining o'zgarishi

100, 500 va 1000 raqamlarini belgilash uchun tegishli lotincha so'zlarning birinchi harflari ishlatila boshlandi (Centum - yuz, Demimille - yarim ming, Mille - ming).

Raqamni yozish uchun rimliklar nafaqat qo'shishni, balki asosiy raqamlarni ayirishni ham qo'llashgan. Bunday holda, quyidagi qoida qo'llaniladi.

Kattaroq belgining chap tomoniga qo'yilgan har bir kichikroq belgining qiymati kattaroq belgining qiymatidan ayiriladi.

Masalan, IX yozuvi 9 raqamini, XI yozuvi esa 11 raqamini bildiradi. 28 o‘nlik soni quyidagicha ifodalanadi:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

O'nlik 99 raqami quyidagi ko'rinishga ega:

15-rasm 99-raqam

Yangi raqamlarni yozishda kalit raqamlarni nafaqat qo'shish, balki ayirish ham mumkinligi sezilarli kamchilikka ega.Rim raqamlarida yozish sonni tasvirlashning yagonaligidan mahrum qiladi. Darhaqiqat, yuqoridagi qoidaga muvofiq, 1995 raqamini, masalan, quyidagi yo'llar bilan yozish mumkin:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) va boshqalar.

Rim raqamlarini yozishning yagona qoidalari hali ham mavjud emas, ammo ular uchun xalqaro standartni qabul qilish takliflari mavjud.

Hozirgi vaqtda Rim raqamlarining har qandayini ketma-ket uch martadan ko'p bo'lmagan bitta raqamda yozish tavsiya etiladi. Shunga asoslanib, raqamlarni Rim raqamlarida ko'rsatish uchun qulay bo'lgan jadval tuzildi:

Birliklar	O'nlab	yuzlab	minglab
	10 X	100C	1000M
2II	20XX	200CC	2000MM
3III	30XXX	300CC	3000MM
4IV	40XL	400 CD
	50 l	500D
6VI	60LX	600 DC
7 VII	70LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9IX	90XC	900 sm

1-jadval Rim raqamlari jadvali

Rim raqamlari juda uzoq vaqt davomida ishlatilgan. Hatto 200 yil oldin, ish qog'ozlarida raqamlar rim raqamlari bilan ko'rsatilishi kerak edi (oddiy arab raqamlarini soxtalashtirish oson deb ishonilgan).

Hozirgi vaqtda rim raqamlari tizimi qo'llanilmaydi, ba'zi istisnolar:

• Asrlar (XV asr va boshqalar), milodiy yillar belgilari e. (MCMLXXVII va boshqalar) va sanalarni ko'rsatishda oylar (masalan, 1.V.1975).
• Tartib sonlarning belgilanishi.
• Uchdan katta kichik tartibli hosilalar uchun belgi: yIV, yV va boshqalar.
• Kimyoviy elementlarning valentligini belgilash.
  • Slavyan sanoq tizimi

Ushbu raqamlash slavyan alifbo tizimi bilan birgalikda 9-asrda yunon rohiblari aka-uka Kiril (Konstantin) va Metyus tomonidan slavyanlar uchun muqaddas kitoblarning yozishmalari uchun yaratilgan. Raqamlarni yozishning bu shakli yunoncha raqamlar yozuviga to'liq o'xshashligi tufayli keng qo'llanilgan.

Birliklar		O'nlab		yuzlab

2-jadval Slavyan sanoq tizimi

Agar diqqat bilan qarasangiz, “a” dan keyin slavyan alifbosiga ko‘ra “b” harfi emas, “c” harfi kelganini, ya’ni faqat yunon alifbosidagi harflar qo‘llanilishini ko‘ramiz. 17-asrga qadar raqamlarni yozishning bu shakli zamonaviy Rossiya, Belorussiya, Ukraina, Bolgariya, Vengriya, Serbiya va Xorvatiya hududida rasmiy edi. Hozirgacha bu raqamlash pravoslav cherkov kitoblarida qo'llaniladi.

• Mayya sanoq tizimi

Ushbu tizim kalendar hisob-kitoblari uchun ishlatilgan. Kundalik hayotda mayyalar qadimgi Misrga o'xshash pozitsiyali bo'lmagan tizimdan foydalanganlar. Mayya raqamlarining o'zi ushbu tizim haqida tasavvur beradi, bu kvinar nopozitsion sanoq tizimidagi dastlabki 19 ta natural sonning rekordi sifatida talqin qilinishi mumkin. Murakkab raqamlarning shunga o'xshash printsipi Bobilning kichik kichik sonlar tizimida qo'llaniladi.

Mayya raqamlari nol (qobiq belgisi) va 19 ta murakkab raqamdan iborat edi. Bu raqamlar bir (nuqta) belgisi va besh (gorizontal chiziq) belgisidan tuzilgan. Masalan, 19 raqami uchun raqam uchta gorizontal chiziq ustidagi gorizontal qatorda to'rtta nuqta sifatida yozilgan.

16-rasm Mayya sanoq sistemasi

19 dan yuqori raqamlar 20 ning darajasida pastdan yuqoriga pozitsion printsipga muvofiq yoziladi. Masalan:

32 (1)(12) = 1×20 + 12 shaklida yozildi

429 (1)(1)(9) = 1x400 + 1x20 + 9

4805 sifatida (12)(0)(5) = 12x400 + 0x20 + 5

Ba'zan 1 dan 19 gacha raqamlarni yozish uchun xudolarning tasvirlari ham ishlatilgan. Bunday figuralar juda kam qo'llanilgan, faqat bir nechta monumental stelalarda saqlanib qolgan.

Pozitsion sanoq sistemasi bo'sh raqamlarni belgilash uchun noldan foydalanishni talab qiladi. Bizgacha yetib kelgan birinchi nol sanasi (Chiapa-de-Korso, Chiapasdagi 2-stelada) miloddan avvalgi 36-yilga tegishli. e. Yevroosiyodagi birinchi pozitsion sanoq sistemasi qadimgi Bobilda miloddan avvalgi 2000 yilda yaratilgan. e., dastlab nolga ega emas edi va keyinchalik nol belgisi faqat raqamning oraliq raqamlarida ishlatilgan, bu raqamlarning noaniq belgilariga olib keldi. Qadimgi xalqlarning pozitsion bo'lmagan sanoq sistemalarida, qoida tariqasida, nolga ega bo'lmagan.

Mayya taqvimining "uzoq sanashi" da 20 o'nlik sanoq tizimining o'zgarishi ishlatilgan, bunda ikkinchi raqam faqat 0 dan 17 gacha bo'lgan raqamlarni o'z ichiga olishi mumkin edi, shundan so'ng uchinchi raqamga bittasi qo'shildi. Shunday qilib, uchinchi toifadagi birlik 400 emas, balki 18 × 20 = 360 ni anglatardi, bu quyosh yilidagi kunlar soniga yaqin.

• Arab raqamlari tarixi

Bu bugungi kunda eng keng tarqalgan raqamlash. Uning uchun "arab" nomi mutlaqo to'g'ri emas, chunki ular uni arab davlatlaridan Evropaga olib kelishgan bo'lsa-da, u erda tug'ilgan emas edi. Ushbu raqamlashning haqiqiy tug'ilgan joyi Hindistondir.

Hindistonning turli qismlarida turli xil raqamlash tizimlari mavjud edi, lekin bir nuqtada ulardan biri ular orasida ajralib turardi. Unda raqamlar devanagari alifbosidan foydalangan holda qadimgi hind tili - sanskritdagi mos keladigan raqamlarning bosh harflariga o'xshardi.

Dastlab, bu belgilar 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000 raqamlarini ifodalagan; ularning yordami bilan boshqa raqamlar yozildi. Ammo keyinchalik maxsus belgi kiritildi - qalin nuqta yoki bo'sh oqimni ko'rsatadigan doira; va "Devanagari" raqamlash mahalliy o'nli tizimga aylandi. Bu o'tish qachon va qanday sodir bo'lganligi hali noma'lum. 8-asrning oʻrtalariga kelib pozitsion raqamlash tizimi keng qoʻllanila boshlandi. Shu bilan birga, u qo'shni mamlakatlarga: Indochina, Xitoy, Tibet, Markaziy Osiyoga kiradi.

Arab mamlakatlarida hind raqamlarining tarqalishida Muhammad Al Xorazmiy tomonidan 9-asr boshlarida tuzilgan qoʻllanma hal qiluvchi rol oʻynadi. 12-asrda Gʻarbiy Yevropada lotin tiliga tarjima qilingan. XIII asrda Hindistonda raqamlash Italiyada amalga oshirildi. Boshqa mamlakatlarda u 16-asrga kelib tarqaladi. Ovrupoliklar raqamlashni arablardan olib, uni “arabcha” deb atashgan. Tarixiy jihatdan noto'g'ri bo'lgan bu nom bugungi kungacha saqlanib qolgan.

"Raqam" (arabchada "syfr") so'zi ham arab tilidan o'zlashtirilgan bo'lib, tom ma'noda "bo'sh joy" degan ma'noni anglatadi (sanskritcha "sunya" so'zining tarjimasi xuddi shu ma'noga ega). Bu so'z bo'sh oqim belgisini nomlash uchun ishlatilgan va 15-asrda lotincha "nol" (nullum - hech narsa) atamasi paydo bo'lgan bo'lsa-da, 18-asrgacha bu ma'noni saqlab qoldi.

Hind raqamlarining shakli juda ko'p o'zgarishlarga duch keldi. Biz hozir ishlatayotgan shakl 16-asrda yaratilgan.

• Nol tarixi

Nol boshqacha. Birinchidan, nol - bo'sh bitni ko'rsatish uchun ishlatiladigan raqam; ikkinchidan, nol noodatiy son, chunki uni nolga bo'lish mumkin emas va nolga ko'paytirilganda har qanday son nolga aylanadi; uchinchidan, ayirish va qo'shish uchun nol kerak, aks holda, 5 dan 5 ayirilsa, qancha bo'ladi?

Nol birinchi marta qadimgi Bobil sanoq tizimida paydo bo'lgan, u raqamlarda etishmayotgan raqamlarni belgilash uchun ishlatilgan, ammo 1 va 60 kabi raqamlar xuddi shunday yozilgan, chunki ular sonning oxiriga nol qo'ymagan. Ularning tizimida nol matnda bo'sh joy vazifasini bajargan.

Buyuk yunon astronomi Ptolemeyni nol shaklining ixtirochisi deb hisoblash mumkin, chunki uning matnlarida fazo belgisi zamonaviy nol belgisini juda eslatuvchi yunoncha omikron harfi bilan almashtirilgan. Ammo Ptolemey nolni bobilliklar bilan bir xil ma'noda ishlatadi.

Milodiy 9-asrda Hindistondagi devor yozuvida. birinchi marta null belgi sonning oxirida paydo bo'ladi. Bu zamonaviy nol belgisi uchun umumiy qabul qilingan birinchi belgi. Bu uchta ma'noda nolni ixtiro qilgan hind matematiklari edi. Misol uchun, hind matematigi Brahmagupta eramizning 7-asrida. manfiy sonlar va nol bilan operatsiyalardan faol foydalana boshladi. Ammo u nolga bo'lingan raqam nolga teng ekanligini ta'kidladi, bu, albatta, xato, lekin haqiqiy matematik jasorat, bu hind matematiklari tomonidan yana bir ajoyib kashfiyotga olib keldi. Va XII asrda yana bir hind matematiki Bxaskara nolga bo'linganda nima sodir bo'lishini tushunishga yana bir urinib ko'radi. U shunday deb yozadi: "Nolga bo'lingan miqdor maxraji nolga teng bo'lgan kasrga aylanadi. Bu kasr cheksizlik deb ataladi".

Leonardo Fibonachchi o'zining "Liber abaci" (1202) asarida arabcha zefirumda 0 belgisini chaqiradi. Zefirum so'zi arabcha as-sifr so'zi bo'lib, u hindcha sunya, ya'ni bo'sh, nolning nomi edi. Zephirum so'zidan frantsuzcha nol (nol) va italyancha nol so'zlari paydo bo'lgan. Boshqa tomondan, ruscha raqam so'zi arabcha as-sifr so'zidan kelib chiqqan. 17-asrning o'rtalariga qadar bu so'z nolni bildirish uchun maxsus ishlatilgan. Lotincha nullus (yo'q) so'zi 16-asrda nol uchun ishlatilgan.

Nol - noyob belgi. Nol - sof mavhum tushuncha, insonning eng katta yutuqlaridan biri. Bu bizning atrofimizdagi tabiatda mavjud emas. Siz aqliy hisoblashda nolsiz ishonch bilan qilishingiz mumkin, ammo raqamlarni aniq qayd qilmasdan qilish mumkin emas. Bundan tashqari, nol boshqa barcha raqamlardan farqli o'laroq, cheksiz dunyoni anglatadi. Va agar "hamma narsa raqam" bo'lsa, unda hech narsa hamma narsa emas!

• Nopozitsion sanoq sistemasining kamchiliklari

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimlari bir qator muhim kamchiliklarga ega:

1. Katta raqamlarni yozish uchun doimiy ravishda yangi belgilarni kiritish zarurati mavjud.

2. Kasr va manfiy sonlarni ifodalash mumkin emas.

3. Arifmetik amallarni bajarish qiyin, chunki ularni bajarish algoritmlari mavjud emas. Xususan, barcha xalqlarda sanoq sistemalari bilan bir qatorda barmoq bilan sanash usullari bo‘lgan, yunonlarda esa abak sanoq taxtasi bo‘lgan - bu bizning hisoblarimiz kabi.

Lekin biz hali ham kundalik nutqda nopozitsion sanoq sistemasi elementlaridan foydalanamiz, xususan, o‘n emas, yuz o‘n, ming, million, milliard, trillion deymiz.

2. Ikkilik sanoq sistemasi.

Ushbu tizimda faqat ikkita raqam mavjud - 0 va 1. Bu erda 2 raqami va uning vakolatlari alohida rol o'ynaydi: 2, 4, 8 va boshqalar. Raqamning eng o'ngdagi raqami birlik sonini, keyingi raqam ikkilik sonini, keyingi raqam to'rtlik sonini va hokazo. Ikkilik sanoq sistemasi har qanday natural sonni kodlash - uni nollar va birliklar ketma-ketligi sifatida ifodalash imkonini beradi. Ikkilik shaklda siz nafaqat raqamlarni, balki boshqa har qanday ma'lumotlarni ham ko'rsatishingiz mumkin: matnlar, rasmlar, filmlar va audio yozuvlar. Ikkilik kodlash muhandislarni jalb qiladi, chunki uni texnik jihatdan amalga oshirish oson. Texnik amalga oshirish nuqtai nazaridan eng oddiylari ikki pozitsiyali elementlardir, masalan, elektromagnit o'rni, tranzistorli kalit.

• Ikkilik sanoq sistemasi tarixi

Muhandislar va matematiklar qidiruvning asosiga kompyuter texnologiyalari elementlarining ikkilik o'chirish xususiyatini qo'yishdi.

Masalan, ikki kutupli elektron qurilma - diodni olaylik. U faqat ikkita holatda bo'lishi mumkin: yoki elektr tokini o'tkazadi - "ochiq" yoki uni o'tkazmaydi - "qulflangan". Va tetik? Shuningdek, u ikkita barqaror holatga ega. Xotira elementlari bir xil printsip asosida ishlaydi.

Nima uchun ikkilik sanoq sistemasidan foydalanmaslik kerak? Axir, u faqat ikkita raqamga ega: 0 va 1. Va bu elektron mashinada ishlash uchun qulay. Va yangi mashinalar 0 va 1 yordamida hisoblashni boshladilar.

Ikkilik tizim elektron mashinalarning zamonaviy tizimi deb o'ylamang. Yo‘q, u ancha katta. Odamlar uzoq vaqtdan beri ikkilik hisob-kitoblarga qiziqishgan. Ayniqsa, 16-asr oxiridan 19-asr boshlarigacha uni sevishgan.

Leybnits ikkilik sistemani oddiy, qulay va chiroyli deb hisoblagan. Uning aytishicha, "ikkilar yordamida hisoblash... fan uchun asos bo'lib, yangi kashfiyotlar yaratadi... Raqamlar 0 va 1 bo'lgan eng oddiy tamoyillarga keltirilsa, hamma joyda ajoyib tartib paydo bo'ladi".

Olimning iltimosiga ko'ra, "diadik tizim" sharafiga - o'sha paytda ikkilik tizim deb atalgan - medal nokaut qilingan. Unda raqamlar bilan jadval va ular bilan eng oddiy harakatlar tasvirlangan. Medalning chetida: "Hamma narsani ahamiyatsiz holda olib kelish uchun bitta kifoya qiladi" yozuvi bo'lgan lenta bor edi.

Formula 1 Bitlardagi ma'lumotlar miqdori

• Ikkilik sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish

Raqamlarni ikkilikdan o'nli kasrga o'tkazish vazifasi ko'pincha kompyuter tomonidan hisoblangan yoki qayta ishlangan qiymatlar foydalanuvchi uchun tushunarli bo'lgan o'nlik raqamlarga aylantirilganda paydo bo'ladi. Ikkilik sonlarni o'nlik sanoqqa o'tkazish algoritmi juda oddiy (u ba'zan almashtirish algoritmi deb ham ataladi):

Ikkilik sonni oʻnlik sanoqqa oʻtkazish uchun bu sonni ikkilik sanoq sistemasi asosi darajalari va ikkilik sanoq raqamlaridagi mos keladigan raqamlar koʻpaytmalari yigʻindisi sifatida ifodalash kerak.

Masalan, siz 10110110 ikkilik sonini kasrga aylantirmoqchisiz. Bu raqam 8 ta raqam va 8 ta raqamga ega (raqamlar noldan boshlab hisoblanadi, bu eng kam ahamiyatli bitga to'g'ri keladi). Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan qoidaga muvofiq, biz uni 2-asos bilan kuchlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

10110110 2 = (1 2 7 )+(0 2 6 )+(1 2 5 )+(1 2 4 )+(0 2 3 )+(1 2 2 )+(1 2 1 )+(0 2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

Elektronikada shunga o'xshash konvertatsiyani amalga oshiradigan qurilma deyiladi dekoder (dekoder, inglizcha dekoder).

Dekoder - bu kirishlarga berilgan ikkilik kodni chiqishlardan biridagi signalga aylantiradigan sxema, ya'ni dekoder ikkilik koddagi raqamni dekodlaydi, uni chiqishda mantiqiy birlik sifatida ifodalaydi, ularning soni mos keladi. kasr soniga.

• Ikkilik sanoq sistemasidan o‘n oltilik sanoq sistemasiga o‘tkazish

O'n oltilik sonning har bir biti 4 bit ma'lumotni o'z ichiga oladi.

Shunday qilib, ikkilik butun sonni o'n oltilik songa aylantirish uchun uni o'ngdan boshlab to'rtta raqamdan (tetradalar) iborat guruhlarga bo'lish kerak va agar oxirgi chap guruhda to'rttadan kam raqam bo'lsa, uni chap tomonda nol bilan to'ldiring. Kasrli ikkilik sonni (to'g'ri kasr) o'n oltilik songa aylantirish uchun uni chapdan o'ngga tetradalarga bo'lish kerak va agar oxirgi o'ng guruhda to'rttadan kam raqam bo'lsa, uni o'ng tomonda nol bilan to'ldirishingiz kerak.

Keyin har bir guruhni ikkilik tetradalar va o'n oltilik raqamlarning oldindan tuzilgan yozishmalar jadvalidan foydalanib, o'n oltilik raqamga aylantirishingiz kerak.

Shestnad - terik raqam

Ikkilik tetrad

3-jadval O'n oltilik raqamlar va ikkilik tetradalar jadvali

• Ikkilik sanoq sistemasidan sakkizlik sanoq sistemasiga o‘tkazish

Ikkilik sonni sakkizlik tizimga aylantirish juda oddiy, buning uchun sizga kerak bo'ladi:

1. Ikkilik sonni eng kam ahamiyatli raqamlardan boshlab, triadalarga (3 ta ikkilik raqam guruhlari) ajrating. Agar oxirgi triadada uchta raqamdan kam bo'lsa (eng muhim raqamlar), biz uni chap tomonda nol bilan uchtaga to'ldiramiz.
   1. Ikkilik sonning har bir triadasi ostiga quyidagi jadvaldagi sakkizlik sonning tegishli raqamini yozing.

Sakkizlik raqam
ikkilik triada

4-jadval Sakkizlik sonlar va ikkilik triadalar jadvali

3. Sakkizlik sanoq sistemasi

Sakkizlik sanoq sistemasi 8 ta asosli pozitsion sanoq sistemasidir. Sakkizlik sistemada raqamlarni yozish uchun noldan yettigacha (0,1,2,3,4,5,6,7) 8 ta raqamdan foydalaniladi.

Ilova: sakkizlik tizim ikkilik va o'n oltilik tizimlar bilan bir qatorda raqamli elektronika va kompyuter texnologiyalarida qo'llaniladi, ammo bugungi kunda kamdan-kam qo'llaniladi (ilgari past darajadagi dasturlashda ishlatilgan, o'n oltilik tizim bilan almashtirilgan).

Sakkizlik tizimning elektron hisoblashda keng qo'llanilishi, sakkizlik tizimning 0 dan 7 gacha bo'lgan barcha raqamlari ikkilik uchlik sifatida taqdim etilgan oddiy jadval yordamida ikkilik va aksincha, oson o'tkazish bilan tavsiflanadi (jadval). 4).

• Sakkizlik sanoq sistemasi tarixi

Tarix: sakkizlik tizimining paydo bo'lishi barmoqlarni sanashning bunday texnikasi bilan bog'liq bo'lib, barmoqlar hisoblanmagan, ammo ular orasidagi bo'shliqlar (ularning faqat sakkiztasi bor).

1716 yilda Shvetsiya qiroli Karl XII mashhur shved faylasufi Emanuel Swedenborgni 10 o'rniga 64 ga asoslangan sanoq tizimini ishlab chiqishni taklif qildi. Biroq Shvetsiya qirolidan aqli past bo'lgan odamlar uchun bunday raqam bilan ishlash juda qiyin bo'ladi, deb hisoblardi. bir sanoq tizimi va asos sifatida raqam taklif 8. Tizim ishlab chiqilgan, lekin 1718 yilda Karl XII o'limi umumiy qabul, Swedenborg bu ish nashr emas, deb uning joriy etish oldini oldi.

• Sakkizlik sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish

Sakkizlik sonni oʻnli kasrga oʻtkazish uchun bu sonni sakkizlik sanoq sistemasi asosining darajalari koʻpaytmalari yigʻindisi sifatida sakkizlik sonning raqamlaridagi mos raqamlar bilan ifodalash kerak. [ 24]

Misol uchun, siz sakkizlik 2357 sonini o'nli kasrga aylantirmoqchisiz. Bu raqam 4 ta raqam va 4 ta raqamdan iborat (raqamlar noldan boshlab hisoblanadi, bu eng kam muhim bitga to'g'ri keladi). Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan qoidaga ko'ra, biz uni 8 asosli kuchlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

23578 = (2 83)+(3 82)+(5 81)+(7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126310

• Sakkizlik sanoq sistemasidan ikkilik sanoq sistemasiga o‘tkazish

Sakkizlikdan ikkilik sistemaga aylantirish uchun sonning har bir raqamini uchta ikkilik raqamli triadadan iborat guruhga aylantirish kerak (4-jadval).

• Sakkizlik sanoq sistemasidan o‘n oltilik sanoq sistemasiga o‘tkazish

O'n oltilik tizimdan ikkilik tizimga o'tkazish uchun sonning har bir raqamini tetradada uchta ikkilik raqamdan iborat guruhga aylantirish kerak (3-jadval).

3. O‘n oltilik sanoq sistemasi

Butun sonlar bazasidagi pozitsion sanoq sistemasi 16.

Odatda, 1010 dan 1510 gacha bo'lgan raqamlarni ifodalash uchun 0 dan 9 gacha bo'lgan o'nlik raqamlar va A dan F gacha bo'lgan lotin harflari o'n oltilik raqamlar sifatida ishlatiladi, ya'ni (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

U past darajadagi dasturlash va kompyuter hujjatlarida keng qo'llaniladi, chunki zamonaviy kompyuterlarda minimal xotira birligi 8 bitli bayt bo'lib, ularning qiymatlari qulay tarzda ikki o'n oltilik raqamda yoziladi.

Unicode standartida belgi raqamini kamida 4 ta raqamdan foydalangan holda o'n oltilik shaklda yozish odatiy holdir (agar kerak bo'lsa, bosh nol bilan).

O'n oltilik rang - uchta rang komponentini (R, G va B) o'n oltilik shaklda yozadi.

• O‘n oltilik sanoq sistemasi tarixi

O‘n oltilik sanoq sistemasi Amerikaning IBM korporatsiyasi tomonidan kiritilgan. IBM-mos keladigan kompyuterlar uchun dasturlashda keng qo'llaniladi. Minimal manzilli (kompyuter komponentlari o'rtasida yuboriladigan) axborot birligi bayt bo'lib, odatda 8 bitdan iborat (inglizcha bit - binary digit - binar digit, binary system digit) va ikki bayt, ya'ni 16 bit mashinani tashkil qiladi. so'z (buyruq). Shunday qilib, buyruqlarni yozish uchun 16 ta asosiy tizimdan foydalanish qulay.

• O‘n oltilik sanoq sistemasidan ikkilik sanoq sistemasiga o‘tkazish

Raqamlarni o'n oltilik tizimdan ikkilik tizimga o'tkazish algoritmi juda oddiy. Faqat har bir o'n oltilik raqamni ikkilik ekvivalenti bilan almashtirish kerak (musbat raqamlarda). Biz faqat shuni ta'kidlaymizki, har bir o'n oltilik sonni 4 tagacha (yuqori raqamlar yo'nalishi bo'yicha) to'ldiruvchi ikkilik raqam bilan almashtirish kerak.

• O‘n oltilik sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish

O'n oltilik sonni o'nlik kasrga aylantirish uchun bu raqamni o'n oltilik sanoq sistemasi asosi darajalari va o'n oltilik son raqamlaridagi mos keladigan raqamlar yig'indisi sifatida ifodalash kerak.

Misol uchun, siz F45ED23C o'n oltilik sonini kasrga aylantirmoqchisiz. Bu raqam 8 ta raqam va 8 ta raqamga ega (esda tutingki, raqamlar noldan boshlab hisoblanadi, bu eng kam muhim bitga to'g'ri keladi). Yuqoridagi qoidaga muvofiq, biz uni 16-bazi bilan vakolatlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

F45ED23C 16 = (15 16 7 )+(4 16 6 )+(5 16 5 )+(14 16 4 )+(13 16 3 )+(2 16 2 )+(3 16 1 )+(12 16 0 ) = 4099854908 10

• O‘n oltilik sanoq sistemasidan sakkizlik sanoq sistemasiga o‘tkazish

Odatda, sonlarni o‘n oltilik sistemadan sakkiztalikka o‘tkazishda avvalo o‘n oltilik sonni ikkilik sistemaga o‘zgartiring, so‘ngra uni eng kichik ahamiyatli bitdan boshlab triadalarga ajrating, so‘ngra uchliklarni sakkizlik sistemada mos keladigan ekvivalentlari bilan almashtiring (4-jadval).

Xulosa

Hozir dunyoning aksariyat davlatlarida turli tillarda gaplashishlariga qaramay, buni bir xil, “arab tilida” deb bilishadi.

Lekin har doim ham shunday emas edi. Taxminan besh yuz yil oldin, hatto ma'rifatli Evropada ham, Afrika yoki Amerikani hisobga olmaganda, bunday narsa yo'q edi.

Ammo shunga qaramay, odamlar qandaydir tarzda raqamlarni yozib olishdi. Har bir xalqning o'z raqamlarini qayd qilish tizimi yoki qo'shnisidan qarz olgan. Ba'zilar harflardan foydalangan, boshqalari - piktogramma, boshqalari - burmalar. Ba'zilar qulayroq edi, ba'zilari esa unchalik emas.

Hozirgi vaqtda biz o'nlik sanoq sistemasining boshqalarga nisbatan bir qator afzalliklariga ega bo'lishiga qaramay, turli xalqlarning turli xil sanoq tizimlaridan foydalanamiz.

Astronomiyada haligacha Bobilning kichik kichik sanoq tizimi qo'llaniladi. Uning izi bugungi kungacha saqlanib qolgan. Biz hali ham vaqtni oltmish soniyada, oltmish daqiqada soatlarda o'lchaymiz va u burchaklarni o'lchash uchun geometriyada ham qo'llaniladi.

Rim pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimi biz tomonidan paragraflar, bo'limlar va, albatta, kimyoda belgilash uchun ishlatiladi.

Kompyuter texnologiyasi ikkilik tizimdan foydalanadi. Aynan ikkita 0 va 1 raqamlaridan foydalanganligi sababli u kompyuterning ishlashining asosini tashkil qiladi, chunki u ikkita barqaror holatga ega: past yoki yuqori kuchlanish, oqim yoki oqim, magnitlangan yoki magnitlanmagan.Odamlar uchun binar. sanoq sistemasi qulay emas - kodning mashaqqatli yozilishi tufayli, lekin raqamlarni ikkilikdan o'nlik sanoqqa va aksincha o'zgartirish unchalik qulay emas, shuning uchun ular sakkizlik va o'n oltilik sanoq sistemalaridan foydalana boshladilar.

Chizmalar ro'yxati

Jadvallar ro'yxati

Formulalar

Adabiyotlar va manbalar ro'yxati

1. Berman N.G. "Hisob va raqam". OGIZ Gostekhizdat Moskva 1947 yil.
2. Brugsh G. Misr haqida hamma narsa - M:. "Oltin asr" ma'naviy birlik uyushmasi, 2000. - 627 b.
3. Vygodskiy M. Ya. Qadimgi dunyoda arifmetika va algebra - M .: Nauka, 1967.
4. Van der Waerden uyg'onish fani. Qadimgi Misr, Bobil va Gretsiya matematikasi / Per. maqsad bilan I. N. Veselovskiy. - M., 1959. - 456 b.
5. G. I. Gleyzer. Maktabda matematika tarixi. Moskva: Ma'rifat, 1964, 376 p.
6. Bosova L. L. Informatika: 6-sinf uchun darslik
7. Fomin S.V. Sanoq tizimlari, M.: Nauka, 2010
8. Barcha turdagi raqamlash va sanoq tizimlari (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
9. Matematik ensiklopedik lug'at. - M .: "Boyo'g'li. ensiklopediya», 1988. - S. 847
10. Talax V.N., Kuprienko S.A. Amerika asl. Mayya, fan (Aztek) va inklar tarixiga oid manbalar
11. Talax V.M. Mayya ierogliflari bilan tanishtirish
12. A.P.Yushkevich, Matematika tarixi, 1-jild, 1970 y.
13. I. Ya. Depman, Arifmetika tarixi, 1965 yil
14. L.Z.Shautsukova, "Savol va javoblarda informatika asoslari", "El-Fa" nashriyot markazi, Nalchik, 1994 y.
15. A. Kostinskiy, V. Gubailovskiy, Triune nol(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
16. 2007-2014 "Kompyuter tarixi" (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
17. Informatika. Asosiy kurs. / Ed. S.V.Simonovich. - Sankt-Peterburg, 2000 yil
18. Zaretskaya I.T., Kolodyajniy B.G., Gurjiy A.N., Sokolov A.Yu. Informatika: 10 - 11 katak uchun darslik. o'rta maktablar. - K .: Forum, 2001. - 496 b.
19. GlavSprav 2009–2014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
20. Informatika. Kompyuter texnologiyasi. Kompyuter texnologiyalari. / Qo'llanma, ed. O.I.Pushkarya. - "Akademiya" nashriyot markazi, Kiev, - 2001 y.
21. “Kompyuterlar va tizimlarning arifmetik asoslari” darsligi. 1-qism. Sanoq tizimlari
22. O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich "Kompyuter texnologiyalari kursi" o'rta maktab o'quvchilari uchun darslik
23. Kogon B.M. Elektron kompyuterlar va tizimlar.- M.: Energoatomizdat, 1985
24. Mayorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Mikrokompyuterlarga kirish, L .: Mashinostroenie, 1988 yil.
25. Fomin S.V. Sanoq tizimlari, M.: Nauka, 1987
26. Vygodskiy M.Ya. Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma, M.: Davlat texnik va nazariy adabiyotlar nashriyoti, 1956 yil.
27. Matematik ensiklopediya. M: "Sovet entsiklopediyasi" 1985 yil.
28. Shauman A. M. Mashina arifmetikasining asoslari. Leningrad, Leningrad universiteti nashriyoti. 1979 yil
29. Voroshchuk A.N. Raqamli kompyuterlar va dasturlash asoslari. M: "Fan" 1978 yil
30. Rolich Ch.N. - 2 dan 16 gacha, Minsk, "Oliy maktab", 1981 yil

Raqamlarni yozish uchun 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 va 7 raqamlaridan foydalaniladigan 8 asosli pozitsion sanoq tizimi.Shuningdek qarang: Pozitsion sanoq tizimlari Finam moliyaviy lugʻati ... Moliyaviy lug'at

- (sakkizlik yozuv) Raqamlarni ifodalash uchun 0 dan 7 gacha bo'lgan sakkizta raqamdan foydalanadigan sanoq tizimi.Demak, sakkizlik tizimdagi o'nlik 26 soni 32 sifatida yoziladi. ... Biznes atamalarining lug'ati

- - Telekommunikatsiya mavzulari, asosiy tushunchalar EN sakkizlik yozuv ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

sakkizlik sanoq sistemasi

sakkizlik tizim- aštuonetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. sakkizlik belgi; sakkizlik sanoq sistemasi; sakkizlik tizim; oktonar notation vok. Achtersystem, n; oktales Zahlsystem, n; Oktalschreibweise, f; Oktalsystem, n rus. sakkizlik tizim … Automatikos terminų žodynas

O‘n ikkilik sanoq sistemasi pozitsion sanoq sistemasi bo‘lib, butun asosi 12 ga teng. Amaldagi raqamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. -A va B, va t dan ... ... Vikipediya

- (o'n oltilik yozuv) Raqamlarni ifodalash uchun 0 dan 9 gacha bo'lgan o'nta raqam va A dan F harflaridan foydalanadigan sanoq tizimi. Masalan, 26 o'nlik soni bu tizimda 1A sifatida yoziladi. Jinsiy kichik sonlar ... ...da keng qo'llaniladi. Biznes atamalarining lug'ati

Hind madaniyatidagi sanoq tizimlari Arabcha sanoq tizimi Arab hind Tamil Birma Kxmer Lao Mo'g'ul Tai Sharqiy Osiyo sanoq tizimlari Xitoy Yapon Suzhou Koreya Vetnam Sanoq tayoqchalari ... ... Vikipediya

Sakkizlik sanoq sistemasi

Bazasi 8 bo'lgan pozitsion butun sonlar tizimi. U raqamlarni ifodalash uchun 0 dan 7 gacha bo'lgan raqamlardan foydalanadi.

Sakkizlik tizim ko'pincha raqamli qurilmalar bilan bog'liq sohalarda qo'llaniladi. Sakkizlik sonlarni ikkilik va aksincha, ikkilik uchlik bilan almashtirish orqali oson o'tkazish bilan tavsiflanadi. Ilgari u dasturlashda va umuman kompyuter hujjatlarida keng qo‘llanilgan bo‘lsa, hozirda deyarli to‘liq o‘n oltilik sistemaga almashtirildi.

O‘n oltilik sanoq sistemasi

(oltilik sonlar) 16-butun sonlar bazasidagi pozitsion sanoq sistemasidir. Odatda, 0 dan 9 gacha boʻlgan oʻnlik raqamlar oʻn oltilik raqamlar sifatida, A dan F gacha boʻlgan lotin harflari esa 10 10 dan 15 10 gacha boʻlgan raqamlarni belgilash uchun ishlatiladi, yaʼni (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

O'nlik sonlarni ularga va aksincha tarjima qilish qoidalari

·

Ikkilik sanoqdan o'nlik sanoqqa o'tkazish uchun 2 ta asosiy darajalarning quyidagi jadvalidan foydalaning:

Xuddi shunday, ikkilik nuqtadan boshlab, o'ngdan chapga o'ting. Har bir ikkilik birlik ostida uning ekvivalentini quyidagi qatorga yozing. Olingan o'nlik sonlarni qo'shing.Demak, 110001 ikkilik soni 49 o'nlik soniga teng.

Horner transformatsiyasi

Ushbu usul yordamida raqamlarni ikkilikdan o'nlik sanoqqa o'tkazish uchun siz chapdan o'ngga raqamlarni yig'ib, oldingi olingan natijani tizim asosiga ko'paytirishingiz kerak (bu holda, 2). Masalan, 1011011 ikkilik soni o‘nli kasrga shunday o‘tkaziladi: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2 +0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 Yaʼni oʻnlik sanoq sistemasida bu raqam 91 deb yoziladi. Yoki 101111 soni oʻnli kasrga oʻtkaziladi. tizim shunday: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23 *2+1=47 Ya'ni o'nlik sanoq sistemasida bu raqam 47 deb yoziladi.

Oʻnlik sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli raqamlarga oʻtkazish

Aytaylik, 19 raqamini ikkilik raqamga aylantirishimiz kerak. Siz quyidagi protseduradan foydalanishingiz mumkin:

• 19 /2 = 9 qoldiq 1
• 9/2 = 4, qoldiq 1
• 4 /2 = 2, qolgan 0
• 2 /2 = 1, qolgan 0
• 1/2 = 0, qolgan 1

Shunday qilib, biz har bir qismni 2 ga bo'lamiz va qolgan qismini ikkilik yozuvning oxiriga yozamiz. Biz dividend 0 ga teng bo'lguncha bo'linishni davom ettiramiz. Natijada biz ikkilik yozuvda 19 raqamini olamiz: 10011.

Kasrli ikkilik sonlarni kasrli sonlarga aylantirish

1011010.101 sonini kasr tizimiga o'tkazishingiz kerak. Keling, bu raqamni shunday yozamiz:

Kasrli kasr sonlarni ikkilik sistemaga aylantirish

Kasr sonni oʻnlik sanoq sistemasidan ikkilik sanoq tizimiga oʻtkazish quyidagi algoritm boʻyicha amalga oshiriladi:

• · Birinchidan, o'nli kasrning butun qismi ikkilik sanoq tizimiga o'tkaziladi;
• · Keyin o'nli kasrning kasr qismi ikkilik sanoq tizimining asosiga ko'paytiriladi;
• Hosil boʻlgan koʻpaytmada ikkilik sanoq sistemasida sonning oʻnli kasrdan keyingi birinchi raqamli qiymati sifatida qabul qilingan butun qism ajratiladi;
• · Agar olingan mahsulotning kasr qismi nolga teng bo'lsa yoki kerakli hisoblash aniqligiga erishilsa, algoritm tugaydi. Aks holda, hisob-kitoblar avvalgi bosqichdan davom etadi.

Misol: 206.116 kasrli kasr sonini kasrli ikkilik songa aylantirmoqchisiz.

Butun qismning tarjimasi ilgari tasvirlangan algoritmlarga muvofiq 206 10 =11001110 2 ni beradi; mahsulotning butun qismlarini kerakli kasr ikkilik sonning kasr nuqtasidan keyin raqamlarga qo'yib, kasr qismini 2-asosga ko'paytiramiz:

• 116 * 2 = 0.232
• 232 * 2 = 0.464
• 464 * 2 = 0.928
• 928 * 2 = 1.856
• 856 * 2 = 1.712
• 712 * 2 = 1.424
• 424 * 2 = 0.848
• 848 * 2 = 1.696
• 696 * 2 = 1.392
• 392 * 2 = 0.784

Biz olamiz: 206.116 10 \u003d 11001110.0001110110 2

· Sakkizlik sonlarni o'nli kasrga aylantirish.

Raqamlarni sakkizlikdan o'nlik sanoq tizimiga o'tkazish algoritmi men allaqachon bo'limda ko'rib chiqqan algoritmga o'xshaydi: Ikkilik sonlarni o‘nlik sonlarga o‘tkazish.

Sakkizlik sonni ikkilik songa aylantirish uchun sakkizlik sonning har bir raqamini ikkilik raqamlarning uchligi bilan almashtirish kerak.

Misol: 2541 8 = 010 101 100 001 = 010101100001 2

Sakkizlik sonlarni ikkilik sistemaga o'tkazish uchun jadval mavjud

· O'n oltilik tizimga aylantirish raqamlarni o'nligacha.

O‘n oltilik sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanoqli sanalarga aylantirish uchun bu sonni o‘n oltilik sanoq sistemasi asosi darajalari va o‘n oltilik son raqamlaridagi mos raqamlarning ko‘paytmalari yig‘indisi sifatida ifodalash zarur.

Misol uchun, siz 5A3 o'n oltilik sonini kasrga aylantirmoqchisiz. Bu raqam 3 ta raqamdan iborat. Yuqoridagi qoidaga muvofiq, biz uni 16-bazi bilan vakolatlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

5A3 16 = 3 16 0 +10 16 1 +5 16I= 3 1+10 16+5 256= 3+160+1280= 1443 10

Ko'p xonali ikkilik sonni o'n oltilik tizimga aylantirish uchun uni o'ngdan chapga tetradalarga bo'lish va har bir tetradani mos keladigan o'n oltilik raqam bilan almashtirish kerak.

Masalan:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Raqamni o'zgartirish jadvali

Mikroprotsessorda raqamlarni ifodalash uchun, ikkilik tizim.
Bunday holda, har qanday raqamli signal ikkita barqaror holatga ega bo'lishi mumkin: "yuqori daraja" va "past daraja". Ikkilik tizimda har qanday sonning tasviri uchun mos ravishda ikkita raqam qo'llaniladi: 0 va 1. Ixtiyoriy son x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m kabi ikkilik yozuvda yoziladi

x = an 2 n +a n-1 2 n-1 +…+a 1 2 1 +a 0 2 0 +a -1 2 -1 +a -2 2 -2 +…+a -m 2 -m

qayerda a i— ikkilik raqamlar (0 yoki 1).

Sakkizlik sanoq sistemasi

Sakkizlik sanoq sistemasida asosiy raqamlar 0 dan 7 gacha bo'lgan raqamlardir. Eng kichik ahamiyatga ega bitning 8 ta birligi eng muhim birlikka birlashtirilgan.

O‘n oltilik sanoq sistemasi

O'n oltilik sanoq tizimida asosiy raqamlar 0 dan 15 gacha bo'lgan raqamlardir. Bitta belgi bilan 9 dan katta asosiy raqamlarni belgilash uchun arab raqamlariga qo'shimcha ravishda 0 ... 9 o'n oltilik sanoq tizimida lotin alifbosi harflari qo'llaniladi:

10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16.

Masalan, o'n oltilik tizimdagi 175 10 raqami AF 16 sifatida yoziladi. Haqiqatan ham,

10 16 1 +15 16 0 =160+15=175

Jadvalda o'nlik, ikkilik, sakkizlik va o'n oltilik sanoq sistemalarida 0 dan 16 gacha raqamlar mavjud.

O'nlik	Ikkilik	sakkizlik	O'n oltilik
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Ikkilik-sakkizlik va ikkilik-on oltilik ayirboshlash

Ikkilik sanoq sistemasi mikroprotsessor apparati yordamida arifmetik amallarni bajarish uchun qulay, lekin odam idrok etishi uchun noqulay, chunki u ko'p sonli raqamlarni talab qiladi. Shuning uchun kompyuter texnikasida sonlarni ixchamroq tasvirlash uchun ikkilik sanoq sistemasidan tashqari sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalari ham keng qo‘llaniladi.

Sakkizlik sanoq tizimining uchta biti ikkilik sanoq sistemasida sakkizlik raqamlarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini amalga oshiradi: 0 (000) dan 7 (111) gacha. Ikkilik sonni sakkizlikka aylantirish uchun ikkilik raqamlarni butun va kasr qismlarini ajratuvchidan boshlab, ikki yo‘nalishda 3 ta raqamdan (uchlik) iborat guruhlarga birlashtirish kerak. Agar kerak bo'lsa, asl raqamning chap tomoniga ahamiyatsiz nol qo'shilishi kerak. Agar raqam kasr qismini o'z ichiga olgan bo'lsa, unda barcha triadalar to'ldirilgunga qadar uning o'ng tomoniga ahamiyatsiz nollarni ham qo'shish mumkin. Keyin har bir triada sakkizlik raqam bilan almashtiriladi.

Misol: 1101110.01 2 sonini sakkizlikka aylantiring.

Ikkilik raqamlarni o'ngdan chapga triadalarga birlashtiramiz. olamiz

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

Sakkizlik tizimdan ikkilik raqamga o'tkazish uchun har bir sakkizlik raqamni ikkilik kodiga yozish kerak:

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

O'n oltilik sanoq tizimining to'rt biti ikkilik sanoq tizimida o'n oltilik raqamlarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini amalga oshiradi: 0 (0000) dan F (1111) gacha. Ikkilik sonni o'n oltilik tizimga o'tkazish uchun ikkilik raqamlarni butun va kasr qismlarini ajratuvchidan boshlab, ikki yo'nalishda 4 ta raqam (tetrada) guruhlariga birlashtirish kerak. Agar kerak bo'lsa, asl raqamning chap tomoniga ahamiyatsiz nol qo'shilishi kerak. Agar raqam kasr qismini o'z ichiga olgan bo'lsa, unda barcha tetradlar to'ldirilgunga qadar uning o'ng tomoniga ahamiyatsiz nollar ham qo'shilishi kerak. Keyin har bir tetrad o'n oltilik raqam bilan almashtiriladi.

Misol: 1101110.11 2 sonini o'n oltilik tizimga o'tkazing.

Biz ikkilik raqamlarni o'ngdan chapga tetradalarga birlashtiramiz. olamiz

0110 1110.1100 2 = 6E,C 16.

Raqamni o'n oltilik sistemadan ikkilik raqamga o'tkazish uchun har bir o'n oltilik raqamni uning ikkilik kodiga yozish kerak.

Raqamli qurilmalarda raqamlarni, shuningdek, dasturlash jarayonida boshqa ma'lumotlarni ko'rsatish uchun bizga tanish bo'lgan o'nlik sanoq tizimi bilan bir qatorda boshqa tizimlar ham keng qo'llaniladi. Eng ko'p ishlatiladigan pozitsion sanoq tizimlarini ko'rib chiqing. Bunday sanoq tizimlaridagi raqamlar raqamlar ketma-ketligi (raqamlar raqamlari) bilan ifodalanadi:

… a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ...

Bu yerda a 0 , a 1 , . . . nolning raqamlarini, raqamning birinchi va boshqa raqamlarini bildiring.

Og'irlik toifadagi raqamga belgilanadi p k qayerda R - sanoq tizimining asosini; k - raqamlarning raqamlarini belgilashdagi indeksga teng bo'lgan raqam soni. Shunday qilib, yuqoridagi yozuv quyidagi miqdorni bildiradi:

N = …+ a 5 × p 5 + a 4 × p 4 + a 3 × p 3 + a 2 × p 2 + a 1 × p 1 + a 0 × p 0 + …

Raqamlarning raqamlarini ifodalash uchun, bir to'plam p turli belgilar. Ha, soat R = 10 (ya'ni, odatiy o'nlik sanoq tizimida) raqamlarning raqamlarini yozish uchun o'nta belgilar to'plami ishlatiladi: 0, 1, 2 ... .. raqam bilan ifodalangan) quyidagi miqdorni anglatadi:

Raqamlarni ifodalashning ushbu printsipidan foydalanish, lekin turli xil asosiy qiymatlarni tanlash R , Siz turli xil sanoq sistemalarini qurishingiz mumkin.

V ikkilik sanoq sistemasi radikal R = 2. Shunday qilib, raqamlarning raqamlarini yozish uchun faqat ikkita belgidan iborat to'plam talab qilinadi, ular 0 va 1 sifatida ishlatiladi.

Shuning uchun ikkilik sanoq sistemasida son 0 va 1 belgilar ketma-ketligi bilan ifodalanadi. Bu holda 1011101 2 yozuvi o‘nlik sanoq sistemasidagi quyidagi songa mos keladi:

V sakkizlik sanoq sistemasi radikal R = 8. Shuning uchun, raqamlarning raqamlarini ifodalash uchun sakkiz xil belgidan foydalanish kerak, ular uchun 0, 1, 2, ..., 7 tanlangan (esda tutingki, 8 va 9 belgilar bu erda ishlatilmaydi va ishlatilmasligi kerak). raqamlarning yozuvlarida uchraydi). Masalan, kasrdagi 735460 8 yozuvi quyidagi raqamga mos keladi:

ya'ni 735460 8 yozuvi etti marta 8 5 = 32768, uch marta 8 4 = 4096, besh marta 8 3 = 512, to'rt marta 8 2 = 64, olti marta 8 1 = 8 va nol marta 8 0 = ni o'z ichiga olgan raqamni bildiradi. 1.

V o'n oltilik sanoq tizimi radikal R = 16 va raqamlarning raqamlarini yozish uchun 16 ta belgidan iborat to'plamdan foydalanish kerak: 0, 1,2 ... .. 9, A, B, C, D, E, F. U 10 ta arab raqamlarini ishlatadi, zarur bo'lgan o'n oltitaga esa lotin alifbosining oltita bosh harfi bilan to'ldiriladi. Bunda o'nlik sanoq sistemasidagi A belgisi 10 ga, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15 ga mos keladi.

AB9C2F 16 yozuvi o'nli kasr yozuvidagi quyidagi raqamga mos keladi:

saqlash uchun n - raqamli uskunada bit raqamlari, siz o'z ichiga olgan qurilmalardan foydalanishingiz mumkin n elementlar, ularning har biri raqamning tegishli raqamining raqamini eslab qoladi. Eng oddiy usul ikkilik sanoq sistemasida ifodalangan raqamlarni saqlashdir. Ikkilik sonning har bir raqamining raqamini saqlash uchun bistable qurilmalar (masalan, flip-floplar) ishlatilishi mumkin. Ushbu barqaror holatlardan biriga 0 raqami, ikkinchisiga esa 1 raqami beriladi.