Kirish

Ehtimollar nazariyasi matematikaning klassik tarmoqlaridan biridir. Bu uzoq tarixga ega. Fanning bu sohasiga asos solgan buyuk matematiklar. Men, masalan, Fermat, Bernoulli, Paskalni nomlayman. Keyinchalik ehtimollik nazariyasining rivojlanishi ko'plab olimlarning ishlarida aniqlangan. Ehtimollar nazariyasiga mamlakatimiz olimlari: P.L.Chebishev, A.M.Lyapunov, A.A.Markov, A.N.Kolmogorovlar katta hissa qo‘shdilar. Ehtimoliy va statistik usullar endi ilovalarga chuqur kiritilgan. Ular fizika, muhandislik, iqtisodiyot, biologiya va tibbiyotda qo'llaniladi. Ularning roli, ayniqsa, kompyuter texnologiyalarining rivojlanishi bilan bog'liq holda o'sdi.

Masalan, fizik hodisalarni o'rganish uchun kuzatishlar yoki tajribalar o'tkaziladi. Ularning natijalari odatda ba'zi kuzatiladigan miqdorlarning qiymatlari sifatida qayd etiladi. Tajribalarni takrorlaganimizda, ularning natijalarining tarqalishini topamiz. Misol uchun, ma'lum sharoitlarni (harorat, namlik va h.k.) saqlagan holda bir xil miqdordagi o'lchovlarni bir xil qurilma bilan takrorlash, biz kamida bir oz, lekin baribir bir-biridan farq qiladigan natijalarga erishamiz. Hatto bir nechta o'lchovlar ham keyingi o'lchovni aniq bashorat qilishga imkon bermaydi. Shu ma'noda ular o'lchov natijasi tasodifiy miqdor ekanligini aytishadi. Tasodifiy o'zgaruvchining yanada yorqin misoli - yutuqli lotereya chiptasining soni. Tasodifiy o'zgaruvchilarning boshqa ko'plab misollari mavjud. Shunga qaramay, baxtsiz hodisalar dunyosida ma'lum naqshlar topiladi. Bunday naqshlarni o'rganishning matematik apparati ehtimollar nazariyasi bilan ta'minlangan. Shunday qilib, ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalar va ular bilan bog'liq tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik tahlili bilan shug'ullanadi.

1. Tasodifiy o‘zgaruvchilar

Tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasi ehtimollik nazariyasi va uning qo'llanilishida asosiy hisoblanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar, masalan, zarning bir marta uloqtirilishida tushgan ballar soni, ma'lum vaqt oralig'ida parchalangan radiy atomlari soni, ma'lum vaqt oralig'ida telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar soni, to'g'ri tashkil etilgan texnologik jarayonga ega bo'lgan qismning ma'lum bir o'lchamining nominal qiymatidan chetga chiqish va boshqalar.

Shunday qilib, tasodifiy miqdor - bu tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan va qaysi biri oldindan ma'lum bo'lgan miqdordir.

Tasodifiy o'zgaruvchilarni ikki toifaga bo'lish mumkin.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu tajriba natijasida ma'lum bir ehtimollik bilan ma'lum qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan, hisoblanuvchi to'plamni (elementlari raqamlanishi mumkin bo'lgan to'plam) tashkil etadigan miqdor.

Bu to'plam ham chekli, ham cheksiz bo'lishi mumkin.

Misol uchun, nishonga birinchi urishdan oldin o'qlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir, chunki bu qiymat cheksiz sonli qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi - bu ma'lum bir chekli yoki cheksiz oraliqdan istalgan qiymatlarni olishi mumkin bo'lgan miqdor.

Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.

Tasodifiy o'zgaruvchini o'rnatish uchun uning qiymatini ko'rsatishning o'zi kifoya qilmaydi, shuningdek, ushbu qiymatning ehtimolini ko'rsatish kerak.

2. Yagona taqsimlash

Ox o'qining segmenti qandaydir qurilmaning masshtabi bo'lsin. Faraz qilaylik, ko'rsatgich masshtabning ma'lum bir segmentiga tegishi ehtimoli ushbu segment uzunligiga proportsional va segmentning masshtabdagi o'rniga bog'liq emas. Asbob ko'rsatkichining belgisi tasodifiy o'zgaruvchidir

segmentdan istalgan qiymatni olishi mumkin. Shunday qilib va (<) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и, а разность, - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем, keyin qayerda.

Shunday qilib

(1)

Endi tasodifiy miqdorning F (x) ehtimollik taqsimot funksiyasini topish oson

... Agar, u dan kam qiymatlarni qabul qilmaydi a. Keling. Ehtimollarni qo'shish aksiomasi bo'yicha. Biz qabul qilgan formula (1) ga ko'ra, biz bor , keyin biz olamiz

Nihoyat, agar

, keyin, chunki qiymatlar segmentda yotadi va shuning uchun oshmaydi b... Shunday qilib, biz quyidagi tarqatish funktsiyasiga kelamiz:

Funktsiya grafigi

rasmda ko'rsatilgan. bitta.

Biz ehtimollik taqsimotining zichligini formula bo'yicha topamiz. Agar

yoki keyin ... Agar, keyin

Tasodifiy hodisalarni o'rganish uchun ikkita tasodifiy o'zgaruvchidan foydalanish kerak bo'lganda X va Y birgalikda, biz tizim ( X, Y) ikkita tasodifiy o'zgaruvchining. Mumkin tizim qiymatlari ( X, Y) tasodifiy nuqtalar ( x, y) tizimning mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'ida.

Ularga kiritilgan tasodifiy miqdorlar turiga qarab diskret va uzluksiz tizimlarni farqlang.

Diskret tizimning taqsimot qonuni jadval yoki taqsimot funksiyasi ko'rinishida ko'rsatilgan.

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

Tizimni taqsimlash jadvali{X, Y) miqdorlar to‘plamini o‘z ichiga oladi xi, yj va P(xi, yj), qayerda P(xi, yj)= P(X = xi, Y = yj), n, m- tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni X, Y, mos ravishda.

Tizimni taqsimlash funktsiyasi{X, Y) shaklda berilgan:

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

Uzluksiz tizimning taqsimot qonuni ( X, Y) ifodalanishi mumkin tarqatish funktsiyasi F(x, y)yoki tarqalish zichligi ph(x, y):

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

Xususiy tarqatish tizimlari{X, Y) Tasodifiy o'zgaruvchilarning har biri uchun taqsimot qonunlari X va Y.

Agar X va Y Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar, keyin esa ehtimollar P(xi) va P(yj), ularning taqsimot qonunlarini topish uchun zarur bo'lgan formulalar taqsimot jadvalidan topiladi:

Uzluksiz tizimlar uchun ( X, Y) qisman taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega:

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

Shartli taqsimotlar belgilangan:

shartli ehtimollar P(xi / yj), P(yj / xi) diskret tizimlar uchun ( X, Y) va shartli taqsimot zichliklari ( x / y), (y / x) uzluksiz tizimlar uchun ( X, Y}:

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mustaqillik shartlari:

- diskret tizimlar uchun (8)

- uzluksiz tizimlar uchun (9)

Ushbu munosabatlar amalga oshirilganda, u quyidagicha bo'ladi:

(10) (11)

Uzluksiz tizimning mumkin bo'lgan qiymatlariga erishish ehtimoli{X, Y) mintaqaga ( D) formula bilan aniqlanadi:

(12)

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

3.1-misol

Tizimning taqsimot qonuni (X, Y) jadval bilan berilgan:

Majburiy:

a) X va Y ning qisman taqsimotlarini toping;

b) X = -1 da shartli taqsimot qonuni Y;

v) X va Y miqdorlarning bog'liqligini aniqlang?

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

Yechim:

a) X va Y ning qisman taqsimotlarini toping

b) X = -1 da shartli taqsimot qonuni Y. X = -1 uchun tasodifiy o'zgaruvchi Y quyidagi taqsimot qonuniga ega:

c) X va Y larning bog'liqligini aniqlang?

P (yj) va P (yj / X = -1) ehtimollik taqsimotlarining shartsiz va shartli qonunlarida har xil bo'lgani uchun, demak, X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liqdir.

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

3.2-misol

Berilgan tizim (X, Y) kvadratda bir xil taqsimlangan | x | + | y ​​|1 (22-rasmga qarang).

Aniqlang: a) X va Y ning alohida taqsimot qonunlarini; b) bu ​​tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liqmi?

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

Yechim:

Tarqatish qonuni (X, Y) quyidagi shaklga ega:

| x | ≤1 dagi zichlik quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Ma’ruza 6. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot qonunlari

Keyin (23-rasmga qarang):

Xuddi shunday,  (y) uchun biz quyidagilarni olamiz:

Mustaqillik sharti bajarilmaganligi sababli:

keyin X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq.

Tizimning raqamli xususiyatlariga ( X, Y) tegishli:

• X va Y tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xarakteristikalari:

mx, mening, Dx, Dy, sx, sy;

• shartli taqsimotlarning sonli xarakteristikalari:

mx / y, mening / x, Dx / y, Dy / x, sx / y, sy / x;

• tasodifiy miqdorlar munosabatining sonli xarakteristikalari:

Kxy va rxy

Ma’ruza 7. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari

Birinchi guruhning raqamli xarakteristikalari ilgari berilgan formulalar bilan aniqlanadi.

Uzluksiz tizimga nisbatan ikkinchi guruhning raqamli xarakteristikalari ( X, Y) formulalar bilan aniqlanadi:

Diskret tizimlar uchun ( X, Y) bu formulalar aniq.

Ma’ruza 7. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari

Miqdorlar Kxy va rxy orasidagi chiziqli korrelyatsiyaning xarakteristikalaridir X va Y; ular bog'liqliklar bilan belgilanadi:

qayerda Kxy- korrelyatsiya momenti yoki o'rtasidagi bog'lanish momenti X va Y;

orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti X va Y, -1  rx  1. (16)

Korrelyatsiya koeffitsienti orasidagi chiziqli korrelyatsiya darajasini tavsiflaydi X va Y.

Ma’ruza 7. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari

ostida korrelyatsiyaga bog'liqlik bog'liqlik, masalan, bitta tasodifiy o'zgaruvchining o'zgarishi bilan tushuniladi X, boshqa - Y uning matematik taxminlari o'zgaradi ( mening / x).

Qachon | rxy| = 1 o'rtasida chiziqli funktsional bog'lanish mavjud X va Y, da rxy= 0 tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y bog'liq bo'lmagan.

Agar X va Y mustaqil bo'lsa, ular o'zaro bog'liq emas. Agar rxy= 0, keyin tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y qaram bo'lishi mumkin.

Ma’ruza 7. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari

3.3-misol

3.1-misol sharoitida. aniqlang: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Yechim:

Ma’ruza 7. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari

3.4-misol

3.2-misol sharoitida. sistemaning son xarakteristikalarini aniqlash (X, Y).

Yechim:

Ma’ruza 7. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari

Bu intervalda bir xil taqsimlanish zichligi

(- (1- | x |), (1- | x |))

Xuddi shunday, siz mx / y, Dx / y uchun ifodalarni yozishingiz mumkin.

Umumiy holatda, tizimga kiritilgan tasodifiy o'zgaruvchilar ( X, Y), bog'liq bo'lsa, normal taqsimotning zichligi shaklga ega:

(17)

Qisman taqsimot quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

(18)

(19)

Ma’ruza 8. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining normal taqsimlanishi

Shartli zichliklar  ( x / y) va  ( y / x) normal taqsimotlar shakliga ega:

(20) (21)

qayerda

(22) (23)

(24) (25)

Ma’ruza 8. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining normal taqsimlanishi

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y mustaqil bo'lsa, zichlik ham quyidagi shaklni oladi:

Oddiy taqsimlangan tizimga zarba berish ehtimoli (X, Y)(mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar holatida X va Y) tomonlari koordinata o'qlariga parallel bo'lgan to'rtburchaklar shaklida Laplas funktsiyasi yordamida quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:

(27)

Ma’ruza 8. Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining normal taqsimlanishi

3.5-misol

Markaz koordinatalari bo'lgan to'rtburchak shaklidagi snaryadning nishonga tegish ehtimolini aniqlang: xc = 10 m, yc = 5 m. To'rtburchakning tomonlari koordinata o'qlariga parallel va teng: ho'kiz o'qi bo'ylab: 2 = 20 m, oy o'qi bo'ylab: 2k = 40 m.. Mo'ljallash nuqtasi koordinatalari: mx = 5m, my = 5m. O'q va oy o'qlari bo'ylab snaryadlarning tarqalish xususiyatlari mos ravishda teng: sx = 20. m, sy = 10 m.

Yechish: To‘rtburchakning maydonini D bilan belgilaymiz.

Keyin:

Mavzu 4. Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari

Ma’ruza 9. Bitta tasodifiy argument funksiyasining taqsimlanish qonuni

Funksiyaning taqsimot qonunini topish tartibi Y = y(X), qayerda X- 4.1-misolda keltirilgan diskret tasodifiy miqdor.

Iloji bo'lsa tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari X va Y funktsional bog'liqlik bilan bog'langan y = y(x), qayerda y(x) uzluksiz va differentsial bo'lib, tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni ma'lum X-, keyin tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni Y- qachon uchun y(x) uning mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'ida monoton ravishda ortadi yoki kamayadi, (1) formula bilan ifodalanadi:

Formulada (1) x(y) teskari funktsiyaga ega.

Funktsiya qachon bo'lsa y(x) bor n kamayish va o'sish sohalari, keyin bu formula (2) shaklida yoziladi.

Ma’ruza 9. Bitta tasodifiy argument funksiyasining taqsimlanish qonuni

4.1-misol

X tasodifiy o'zgaruvchisi taqsimot qonuniga ega:

Tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping

Yechish: funksiyaning mumkin bo‘lgan qiymatlarini toping

da = 0, 1, 2, 3.

Ular mos ravishda teng: 1, 2, 1, 0. Shuning uchun mumkin bo'lgan qiymatlar: 0, 1, 2.

Ma’ruza 9. Bitta tasodifiy argument funksiyasining taqsimlanish qonuni

Ushbu mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklarini topamiz:

Tarqatish qonuni Y:

Ma’ruza 9. Bitta tasodifiy argument funksiyasining taqsimlanish qonuni

4.2-misol

Tasodifiy miqdorning tarqalish zichligini toping va agar X tasodifiy o'zgaruvchisi intervalda bir xil taqsimlangan bo'lsa, uning grafigini tuzing.

Yechish: Funksiya grafigi

rasmda ko'rsatilgan. 24.

Ma’ruza 9. Bitta tasodifiy argument funksiyasining taqsimlanish qonuni

X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi taqsimot zichligiga ega:

Teskari x funksiyasini toping(y)va uning hosilasi:

Ma’ruza 9. Bitta tasodifiy argument funksiyasining taqsimlanish qonuni

Nihoyat, zichlik uchun quyidagi ifodani olamiz

Ushbu zichlikning syujeti

rasmda ko'rsatilgan. 25.

Ma’ruza 10. Tasodifiy kattaliklar funksiyasining sonli xarakteristikalari

Asosiy formulalar:

Ma’ruza 10. Tasodifiy kattaliklar funksiyasining sonli xarakteristikalari

Ma’ruza 10. Tasodifiy kattaliklar funksiyasining sonli xarakteristikalari

qayerda Xi- mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar;

Ma’ruza 10. Tasodifiy kattaliklar funksiyasining sonli xarakteristikalari

Ma’ruza 10. Tasodifiy kattaliklar funksiyasining sonli xarakteristikalari

Uchun n tasodifiy o'zgaruvchilar soni xarakteristikalari umumiy va korrelyatsiya matritsasi bilan belgilanadi:

Uchburchak matritsa ko'rinishidagi yozuv to'g'ri, chunki

Ma’ruza 10. Tasodifiy kattaliklar funksiyasining sonli xarakteristikalari

Korrelyatsiya matritsasi normallashtirilgan shaklda ifodalanishi mumkin, ya'ni. Korrelyatsiya koeffitsientlari matritsasi:

Ma’ruza 10. Tasodifiy kattaliklar funksiyasining sonli xarakteristikalari

4.3-misol

Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalarini aniqlang

agar

Yechim:

U tasodifiy o'zgaruvchisi X, Y va Z tasodifiy argumentlarining chiziqli funktsiyasidir. Shuning uchun ushbu bo'limdagi (11) va (17) formulalardan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari

Taqsimot qonuni tasodifiy o‘zgaruvchilar tizimini to‘liq tavsiflaydi, lekin uning murakkabligi tufayli uni amalda qo‘llash har doim ham qulay emas. Ko'pincha tizimni tashkil etuvchi tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xarakteristikalarini bilish kifoya, ular quyidagilarni o'z ichiga oladi: M [X], M [Y] matematik taxminlar, D [X], D [Y] dispersiyalari va standart og'ishlar. Ular quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi.

Komponentlarning dispersiyalarini qisqartirilgan formulalar yordamida ham hisoblash mumkin

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar nazariyasida muhim rolni tizimning tarkibiy qismlari o'rtasidagi chiziqli munosabatni tavsiflovchi korrelyatsiya momenti (kovariatsiya) o'ynaydi.

Korrelyatsiya momenti quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning diskret tizimlari uchun

Tasodifiy o'zgaruvchilarning uzluksiz tizimlari uchun

Korrelyatsiya momenti bilan bir qatorda korrelyatsiyaning o'lchovsiz xarakteristikasi - korrelyatsiya koeffitsienti qo'llaniladi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning har qanday tizimlari uchun

X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar korrelyatsiyasiz deyiladi

Mustaqil miqdorlar har doim o'zaro bog'liq emas.

Tizimga kiritilgan tasodifiy miqdorni taqsimlashning shartli qonuni boshqa tasodifiy miqdor ma'lum bir qiymatni olgan holda hisoblangan uning taqsimlanish qonunidir. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar tizimlari uchun shartli qonunlar komponentlarning shartli taqsimlanish zichligi bilan ifodalanadi.

Bundan tashqari, (6.9)

Qayerda

Tasodifiy miqdorlar sistemalarining bir xil va normal taqsimlanish qonunlari

Yagona qonun. Agar tizimga kiritilgan tasodifiy o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari D domenida joylashgan bo'lsa va tizimning ehtimollik zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa

u holda (X, Y) yagona taqsimot qonuniga bo'ysunadi.

Oddiy qonun. Agar tizimning taqsimlanish zichligi (X, Y) shaklga ega bo'lsa

matematik taxminlar qayerda; - ildiz-o'rtacha kvadrat og'ishlar va - korrelyatsiya koeffitsienti, u holda tizim normal taqsimot qonuniga bo'ysunadi.

Korrelyatsiyasiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun normal taqsimot zichligi

6.2-misol. Kelgusi yilda 3 ta korxona faoliyati rejalashtirilgan. Tizim (X, Y)

kompaniya raqami qayerda

Investitsiyalar miqdori (ming shartli pul birligida),

Jadvalda berilgan

X komponentning taqsimot qonuni shuni anglatadiki, investitsiyalar hajmidan qat'i nazar, birinchi korxonada 0,3 ehtimollik bilan, ikkinchisida - 0,2, uchinchisida - 0,5 ehtimollik bilan investitsiyalar bo'ladi. Y komponenti taqsimot qonuniga mos keladi

va bu shuni anglatadiki, korxona sonidan qat'i nazar, investitsiyalar hajmi 3 ming konv.ga teng bo'lishi mumkin. uy. birliklar 0,5 yoki 4 ming an'anaviy birlik ehtimoli bilan. 0,5 ehtimollik bilan.

Komponentlarning sonli xarakteristikalarini aniqlash uchun biz X va Y ning topilgan taqsimot qonunlaridan hamda diskret tizimlarning sonli xarakteristikalarini aniqlash formulalaridan foydalanamiz.

O'rtacha investitsiyalar hajmi;

O'rtacha investitsiyadan chetga chiqish

Kompaniya soni va investitsiyalar hajmi o'rtasidagi bog'liqlik

6.3-misol. Ishlab chiqarishda ma'lum bir davrda ikki xil xom ashyo ishlatilgan. X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar mos ravishda an'anaviy birliklarda ifodalangan xom ashyo hajmlari. Tizimning ehtimollik taqsimoti zichligi shaklga ega

Ikkita tasodifiy uzluksiz o'zgaruvchilar tizimini ko'rib chiqing. Ushbu tizimning ehtimollik zichligi funktsiyasi shaklga ega bo'lsa, bu tizimning taqsimot qonuni normal taqsimot qonunidir

. (1.18.35)

Ko'rsatish mumkinki, bu erda tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik taxminlari, ularning standart og'ishlari va miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsienti. (1.18.31) va (1.18.35) formulalar bo'yicha hisob-kitoblar beradi

. (1.18.36)

Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar korrelyatsiya qilinmasa, ular ham mustaqil ekanligini tushunish oson.

.

Shunday qilib, normal taqsimot qonuni uchun korrelyatsiyasizlik va mustaqillik ekvivalent tushunchalardir.

Agar, u holda tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liqdir. Shartli taqsimot qonunlari (1.18.20) formulalar bo'yicha hisoblanadi.

. (1.18.37)

Ikkala qonun ham (1.18.37) normal taqsimotlarni ifodalaydi. Darhaqiqat, biz, masalan, munosabatlarning ikkinchisini (1.18.37) shaklga aylantiramiz

.

Bu, albatta, normal taqsimlash qonuni, qaysi bor shartli kutish teng

, (1.18.38)

a an'anaviy standart og'ish formula bilan ifodalanadi

. (1.18.39)

E'tibor bering, miqdorni qat'iy belgilangan qiymatda taqsimlashning shartli qonunida faqat shartli matematik kutish bu qiymatga bog'liq, ammo emas. shartli dispersiya – .

Koordinata tekisligida (1.18.38) bog'liqlik to'g'ri chiziqdir

, (1.18.40)

qaysi deyiladi regressiya chizig'i ustida .

Qattiq qiymatdagi miqdorni shartli taqsimlash bilan bir xil tarzda o'rnatiladi

, (1.18.41)

shartli matematik kutish bilan normal taqsimot mavjud

, (1.18.42)

an'anaviy standart og'ish

. (1.18.43)

Bunday holda, regressiya chizig'i shaklga ega

. (1.18.44)

Regressiya chiziqlari (1.18.40) va (1.18.44) faqat qiymatlar o'rtasidagi munosabatlar chiziqli bo'lganda mos keladi. Agar va miqdorlari mustaqil bo'lsa, regressiya chiziqlari koordinata o'qlariga parallel bo'ladi.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu bo'limga tegishli:

Matematikadan ehtimollar nazariyasidan ma'ruza matnlari Matematik statistika

Oliy matematika va informatika kafedrasi .. maʼruza matni .. matematikadan ..

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmasangiz, bizning ish bazamizdagi qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lib chiqsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

Tvit

Ushbu bo'limdagi barcha mavzular:

Ehtimollar nazariyasi
Ehtimollar nazariyasi - tasodifiy massa hodisalarining qonuniyatlarini o'rganadigan matematikaning bo'limi. Bir hodisa tasodifiy deb ataladi, bu

Ehtimollikni statistik aniqlash
Hodisa - tasodifiy hodisa bo'lib, tajriba natijasida paydo bo'lishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin (ikki baholi hodisa). Voqealarni katta lotin harflari bilan ko'rsating

Elementar hodisalar fazosi
Ko'p voqealar qandaydir tajriba bilan bog'lansin, bundan tashqari: 1) tajriba natijasida bitta va faqat bittasi paydo bo'ladi.

Voqealar bo'yicha harakatlar
Ikki hodisaning yig'indisi va

O'zgartirishlar
Elementlarning turli xil almashinishlari soni belgilanadi

Turar joy
tomonidan elementlardan joylashtirish orqali

Kombinatsiyalar
Elementlarning birikmasi tomonidan

Mos kelmaydigan hodisalar uchun ehtimollarni qo'shish formulasi
Teorema. Ikki mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng. (bir

Ixtiyoriy hodisalar uchun ehtimollarni qo'shish formulasi
Teorema. Ikki hodisa yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga, ularning hosilasi ehtimolisiz tengdir.

Ehtimollarni ko'paytirish formulasi
Ikki voqea bo'lsin va berilgan. Bir voqeani ko'rib chiqing

Umumiy ehtimollik formulasi
Bir-biriga mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhi bo'lsin, ular gipoteza deb ataladi. Biror voqeani ko'rib chiqing

Gipotezalarning ehtimollik formulasi (Bayesian)
Yana bir bor o'ylab ko'ring - mos kelmaydigan farazlarning to'liq guruhi va voqea

Puassonning asimptotik formulasi
Sinovlar soni ko'p bo'lgan hollarda va voqea sodir bo'lish ehtimoli

Tasodifiy diskret o'zgaruvchilar
Tasodifiy miqdor tajriba takrorlanganda teng bo'lmagan sonli qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan miqdor deb ataladi. Tasodifiy o'zgaruvchiga diskret deyiladi,

Tasodifiy uzluksiz o'zgaruvchilar
Agar tajriba natijasida tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir segmentdan yoki butun real o'qdan istalgan qiymatni qabul qila olsa, u uzluksiz deyiladi. Qonun

Tasodifiy uzluksiz o'zgaruvchining ehtimollik zichligi funksiyasi
Mayli. Bir nuqtani ko'rib chiqing va unga o'sishlarni bering

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari
Tasodifiy diskret yoki uzluksiz miqdorlar, agar ularning taqsimot qonunlari ma'lum bo'lsa, to'liq berilgan hisoblanadi. Darhaqiqat, tarqatish qonunlarini bilib, siz har doim urish ehtimolini hisoblashingiz mumkin

Tasodifiy o'zgaruvchilarning kvantlari
Tasodifiy uzluksiz miqdor tartibining kvantili

Tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi
Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning o'rtacha qiymatini tavsiflaydi. Tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlari ushbu qiymat atrofida guruhlangan. Avval tasodifiy diskret o'zgaruvchini ko'rib chiqing

Tasodifiy o'zgaruvchilarning standart og'ishi va dispersiyasi
Avval tasodifiy diskret o'zgaruvchini ko'rib chiqing. Mod, median, kvantlar va matematik kutishning raqamli xarakteristikalari

Tasodifiy o'zgaruvchilar momentlari
Ehtimollar nazariyasida matematik kutish va dispersiyaga qo'shimcha ravishda, tasodifiy o'zgaruvchilar momentlari deb ataladigan yuqori tartiblarning sonli xarakteristikalari qo'llaniladi.

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari haqidagi teoremalar
Teorema 1. Tasodifiy bo'lmagan miqdorning matematik kutilishi shu miqdorning o'ziga teng. Isbot: ruxsat bering

Binomiy taqsimot qonuni

Puasson taqsimot qonuni
Tasodifiy diskret o'zgaruvchi qiymatlarni qabul qilsin

Yagona taqsimlash qonuni
Tasodifiy uzluksiz o'zgaruvchining yagona taqsimot qonuni ehtimollik zichligi funktsiyasi qonuni bo'lib, u

Oddiy taqsimot qonuni
Tasodifiy uzluksiz o'zgaruvchining normal taqsimot qonuni zichlik funktsiyasi qonunidir

Eksponensial taqsimot qonuni
Tasodifiy o'zgaruvchining eksponensial yoki eksponensial taqsimoti ehtimollik nazariyasining navbat nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi kabi ilovalarida qo'llaniladi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar tizimlari
Amalda, ehtimollar nazariyasini qo'llashda ko'pincha tajriba natijalari bitta tasodifiy o'zgaruvchi bilan emas, balki bir vaqtning o'zida bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar tomonidan tasvirlangan muammolarga duch keladi.

Ikki tasodifiy diskret o'zgaruvchilar tizimi
Ikkita tasodifiy diskret o'zgaruvchilar tizimni tashkil etsin. Tasodifiy qiymat

Ikki tasodifiy uzluksiz o'zgaruvchilar tizimi
Keling, tizim ikkita tasodifiy uzluksiz o'zgaruvchilar tomonidan shakllantirilsin. Ushbu tizimning taqsimot qonuni, ehtimol

Shartli taqsimot qonunlari
Let va bog'liq tasodifiy uzluksiz o'zgaruvchilar

Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari
Tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi tartibining boshlang'ich momenti

Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi
Ikki tasodifiy kattalikdagi sistema uchun olingan natijalarni tasodifiy miqdorlarning ixtiyoriy sonidan tashkil topgan tizimlar holatiga umumlashtirish mumkin. Tizim to'plam tomonidan shakllantirilsin

Ehtimollar nazariyasining chegaraviy teoremalari
Intizomning ehtimollik nazariyasining asosiy maqsadi tasodifiy massa hodisalarining qonuniyatlarini o'rganishdir. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, bir hil tasodifiy hodisalarning massasini kuzatish kashf etilgan

Chebishev tengsizligi
Matematik kutilgan tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing

Chebishev teoremasi
Agar tasodifiy o'zgaruvchilar juftlikdan mustaqil bo'lsa va cheklangan agregatlangan dispersiyalarga ega bo'lsa

Bernulli teoremasi
Tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan voqea sodir bo'lish chastotasi ehtimollik bilan hodisa ehtimoliga yaqinlashadi.

Markaziy chegara teoremasi
Tasodifiy o'zgaruvchilarni har qanday taqsimot qonunlari bilan qo'shganda, lekin agregatda cheklangan dispersiyalarga ega bo'lsa, taqsimot qonuni

Matematik statistikaning asosiy vazifalari
Yuqorida ko'rib chiqilgan ehtimollar nazariyasi qonunlari turli tasodifiy massa hodisalarida haqiqatda mavjud bo'lgan haqiqiy qonunlarning matematik ifodasidir. O'qish

Oddiy statistik agregat. Statistik taqsimot funksiyasi
Taqsimot qonuni noma'lum bo'lgan ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rib chiqing. bilan tajriba asosida talab qilinadi

Statistik seriyalar. chiziqli grafik
Ko'p sonli kuzatuvlar (yuzlab tartibda) bilan umumiy aholi statistik materiallarni yozib olish uchun noqulay va noqulay bo'ladi. Aniqlik va ixchamlik uchun statistik material

Statistik taqsimotning sonli xarakteristikalari
Ehtimollar nazariyasida tasodifiy o'zgaruvchilarning turli sonli xarakteristikalari ko'rib chiqildi: matematik kutish, dispersiya, turli tartiblarning boshlang'ich va markaziy momentlari. Shunga o'xshash raqamlar

Momentlar usuli bilan nazariy taqsimotni tanlash
Har qanday statistik taqsimot muqarrar ravishda cheklangan miqdordagi kuzatuvlar bilan bog'liq tasodifiylik elementlarini o'z ichiga oladi. Ko'p sonli kuzatishlar bilan tasodifiylikning ushbu elementlari tekislanadi,

Taqsimot qonunining shakli bo'yicha gipoteza ehtimolini tekshirish
Berilgan statistik taqsimot qandaydir nazariy egri chiziq bilan yaqinlashtirilsin yoki

Rozilik mezonlari
Keling, eng ko'p qo'llaniladigan moslik testlaridan birini - Pearson testini ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik

Noma'lum taqsimot parametrlari uchun nuqta taxminlari
p.p. 2.1. - 2.7 Biz matematik statistikaning birinchi va ikkinchi asosiy masalalarini yechish yo'llarini batafsil ko'rib chiqdik. Bular eksperimental ma'lumotlardan tasodifiy miqdorlarni taqsimlash qonuniyatlarini aniqlash vazifalari.

Matematik kutish va dispersiya uchun taxminlar
Noma'lum matematik taxminga ega tasodifiy o'zgaruvchiga ruxsat bering

Ishonch oralig'i. Ishonch ehtimoli
Amalda, tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha oz miqdordagi tajribalar bilan, noma'lum parametrni taxminiy almashtirish

Ehtimollar nazariyasi va uning qo'llanilishida ikki o'zgaruvchan normal taqsimot muhim rol o'ynaydi. Ikki o'lchovli normal tasodifiy o'zgaruvchining zichligi (X, Y) shaklga ega

Bu erda X va Y qiymatlarining matematik taxminlari; - X va Y qiymatlarining o'rtacha kvadrat og'ishlari; r - X va Y qiymatlarining korrelyatsiya koeffitsienti.

Faraz qilaylik, X va Y tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq emas, ya’ni r = 0. Keyin bizda:

(53)

Ikkita tasodifiy oʻzgaruvchi (X, Y) sistemasining taqsimlanish zichligi X va Y komponentlarining taqsimot zichliklari koʻpaytmasiga teng ekanligini aniqladik, yaʼni X va Y mustaqil tasodifiy miqdorlardir.

Shunday qilib, biz quyidagilarni isbotladik. teorema: normal taqsimlangan tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiyasizligi ularning mustaqilligini bildiradi ... Har qanday tasodifiy o'zgaruvchilarning mustaqilligi ularning o'zaro bog'liqligini nazarda tutganligi sababli, normal taqsimot holati uchun "korrelyatsiyasiz" va "mustaqil" qiymatlar atamalari ekvivalent degan xulosaga kelish mumkin.

Oddiy taqsimlangan ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchining tekislikning turli joylariga urilish ehtimoli formulalarini keltiramiz.

Komponentlari mustaqil bo'lgan tasodifiy vektor (X, Y) normal qonun (53) bo'yicha taqsimlansin. Keyin to'rtburchakda tasodifiy nuqtaga (X, Y) urish ehtimoli R, tomonlari koordinata o'qlariga parallel bo'lgan teng

y R d c x a b

(54)

qayerda Laplas funktsiyasidir. Ushbu funktsiya jadval shaklida keltirilgan.

Tasodifiy miqdorlar sistemasi (X, Y) normal qonunining taqsimlanish zichligi (52) ko rinishda berilgan bo lsin. Bu zichlik ellipslar bo'ylab doimiy bo'lib qolishi aniq:

bu erda C doimiy; shu asosda bunday ellipslar deyiladi teng ehtimolli ellipslar... Ko'rsatish mumkinki, ehtimollik teng ellips ichidagi nuqtaga (X, Y) urilish ehtimoli.

(56)

10-misol... X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va normal taqsimlangan s Tasodifiy nuqta (X, Y) halqaga tushish ehtimolini toping.

Yechim: X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lganligi sababli, ular korrelyatsiya qilinmaydi va shuning uchun r = 0. (C) ga almashtirib, biz olamiz

ya'ni teng ehtimolli ellips teng ehtimollik doirasiga aylangan. Keyin

Javob: 0,1242.

3.2. n o'lchovli normal taqsimotning umumiy holati

Tizimning normal taqsimlanish zichligi n tasodifiy o'zgaruvchilar quyidagi shaklga ega:

bu yerda C matritsaning determinanti - kovariatsiya matritsasiga teskari; - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X i - i-chi komponent n -o'lchovli normal tasodifiy vektor.

Har qanday o'lchamlar soni va tasodifiy o'zgaruvchilar o'rtasidagi har qanday bog'liqlik uchun normal qonunning barcha shakllari umumiy ifodadan kelib chiqadi. Xususan, uchun n = 2 kovariatsiya matritsasi:

(58)

uning aniqlovchisi ; kovariatsiya matritsasiga teskari bo'lgan C matritsasi shaklga ega

. (59)

C matritsaning elementlarini umumiy formulaga (57) almashtirib, tekislikda (52) normal taqsimot formulasini olamiz.

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil, keyin tizimning taqsimlanish zichligi ga teng

n = 2 uchun bu formula (53) ko'rinishni oladi.

3.2. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarning funktsiyalari. Chi-kvadrat, Student, Fisher-Snedecor taqsimotlari

Umumiy holatni ko'rib chiqing: normal taqsimlangan argumentlarning chiziqli funktsiyasi. n o'lchamli normal taqsimlangan tasodifiy vektor berilgan bo'lsin , tasodifiy o'zgaruvchi Y bu qiymatlarning chiziqli funktsiyasidir:

(61)

Y tasodifiy o'zgaruvchisi ham parametrlar bilan normal taqsimlanganligini ko'rsatish mumkin

(62)

(63)

bu yerda tasodifiy miqdorning matematik kutilishi - tasodifiy miqdorning dispersiyasi - va orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti.

11-misol. Tasodifiy miqdorning tarqalish zichligini yozing , agar tasodifiy o'zgaruvchilar va parametrlari bilan normal taqsimotga ega bo'lsa,,, ularning korrelyatsiya koeffitsienti.

Yechim... Muammoning sharti bo'yicha bizda: n = 2; ... Formuladan (62) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: Formuladan (63) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

U holda Y tasodifiy o'zgaruvchining kerakli taqsimot funksiyasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Mayli - nol matematik kutilma va birlik dispersiyasi bilan normal taqsimotga bo'ysunuvchi mustaqil tasodifiy miqdorlar, ya'ni standart normal taqsimot. Ushbu miqdorlarning kvadratlari yig'indisi bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi

. (64)

deb nomlangan CHI taqsimoti - erkinlik darajasi n bo'lgan kvadrat ”.

CI taqsimot zichligi - n = 2 erkinlik darajasi bo'lgan kvadrat

(65)

CI zichligi - n erkinlik darajasiga ega taqsimotning kvadrati quyidagi shaklga ega:

(66)

qayerda - Eylerning gamma funksiyasi. Erkinlik darajalari sonining ortishi bilan taqsimot normal taqsimot qonuniga yaqinlashadi (da n > 30, taqsimot deyarli odatdagidan farq qilmaydi). Matematik kutish - n erkinlik darajasiga ega bo'lgan taqsimotlar teng n va dispersiya 2 ga teng n .

n erkinlik darajasi bilan talaba taqsimoti St (n) tasodifiy miqdorning taqsimlanishi sifatida aniqlanadi

Bu erda Z - taqsimotga bog'liq bo'lmagan standart normal qiymat.

n erkinlik darajasi bilan Talaba taqsimotining zichligi quyidagi shaklga ega:

(68)

da matematik kutish 0 ga, dispersiya At ga teng, Talaba taqsimoti normalga yaqinlashadi (allaqachon da n > 30 normal taqsimotga deyarli to'g'ri keladi).

Fischer-Snedecor taqsimoti (yoki F-tarqatish) bilan va erkinlik darajalari tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi

(69)

Bu erda va tasodifiy o'zgaruvchilar - mos ravishda erkinlik darajasi va taqsimoti.

4. Yozma D.T. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika bo'yicha ma'ruza matnlari. - M .: Iris-press, 2004 yil.

1. Tasodifiy miqdorlar tizimlari va ularni belgilash usullari haqida asosiy ma'lumotlar. ... 3

1.1. Tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi tushunchasi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3

1.2. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi va uning

xususiyatlari. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4

1.3. Diskret ikki o'lchovli tasodifiy miqdor uchun ehtimollik taqsimoti qonuni. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7

1.4. Uzluksiz ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotining zichligi va uning xususiyatlari. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9

1.5. n ta tasodifiy miqdorlar tizimi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... o'n uch

2. Tasodifiy miqdorlarning bog'liqligi va mustaqilligi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14

2.1. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14

2.2. Shartli taqsimot qonunlari. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15

2.3. Tobelikning sonli xarakteristikalari. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... o'n to'qqiz

3. Tasodifiy miqdorlar tizimining normal taqsimlanishi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

3.1. Ikki o'zgaruvchan normal taqsimot. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

3.2. n o'lchovli normal taqsimotning umumiy holati. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24

3.3. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarning funktsiyalari. CHI taqsimoti - kvadrat, Student's, Fischer - Snedecor. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25

Adabiyotlar ro'yxati. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27

Bobkova Vera Aleksandrovna tomonidan tuzilgan

Tasodifiy o'zgaruvchilar tizimlari

Talabalarning mustaqil ishi uchun uslubiy ko'rsatmalar

Muharrir G.V.Kulikova

Chop etish uchun imzolangan 02.03.2010. Format 60x84. Yozish qog'ozi. Xizmat varaqini chop etish 1.63.

Uch.-tahrir 1.81-bet. Tiraj 50 nusxa.

GOU VPO Ivanovo davlat kimyoviy texnologiya universiteti

“IGXTU” Oliy kasb-hunar ta’limi davlat ta’lim muassasasi “Iqtisodiyot va moliya” kafedrasi matbaa uskunasida chop etilgan.

153000, Ivanovo, F. Engels shoh ko'chasi, 7