Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и .

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

в котором r - расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать I A = kml 2 , где l - длина стержня, k - коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера I A = I C + m (l /2) 2 . Величину I C можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ , длина каждого из которых равна l /2, масса m /2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, I C = km (l/ 2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

I Z = mR 2 , (4.17)

где R - радиус кольца. Ввиду симметрии I X = I У .

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Рис. 4.5 Рис. 4.6

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr . Площадь такого кольца dS = 2 prdr . Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dI z = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 - площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки . Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О : q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm . Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ - до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x , у , z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х , Y , Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

I X = m (y 2 + z 2), I У = m (z 2 + x 2),

I Z = m (x 2 + y 2).

Сложим эти три равенства, получим I X + I У + I Z = 2m (x 2 + у 2 + z 2).

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R - расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

I X + I У + I Z = 2θ. (4.19)

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками .

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии I X = I Y = I Z = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Момент инерции
Рубрика (тематическая категория)	Механика

Рассмотрим материальную точку массой m , которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инœерции J материальной точки относительно оси принято называть скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr 2 (75)

Момент инœерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инœерции отдельных точек

(76)

К определœению момента инœерции точки

В случае если масса распределœена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объёмы dv, каждый из которых обладает массой dm. В результате получается следующее выражение:

(77)

Для однородного по объёму тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

(78)

Размерность момента инœерции – кг*м 2 .

Момент инœерции тела является мерой инœертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инœертности при поступательном движении.

Момент инœерции - это мера инœертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределœения массы относительно оси вращения . Иными словами, момент инœерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инœерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инœерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инœерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инœерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инœерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

Момент инœерции шара радиуса R :

Момент инœерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инœерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инœерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера:

Момент инœерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инœерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инœерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инœерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инœерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инœерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:

Очевидно: момент инœерции неодинаков относительно разных осœей, и в связи с этим, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инœерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, к примеру, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на желœезнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инœерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инœерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инœерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

Момент инерции - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Момент инерции" 2017, 2018.

- Момент инерции тела относительно произвольной оси.

Рис.35 Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx"y"z", а через лю­бую точку О на оси Сх" - оси Oxyz, такие, что Оy½½Сy", Oz½½Cz" (рис. 35). Расстояние между осями Cz" и Оz обозначим через d. Тогда но, как видно из рисунка, для любой точки тела или, а. Подставляя... .

- Момент инерции тела

Момент инерции тела – величина, определяющая его инертность во вращательном движении. В динамике поступательного движения инерцию тела полностью характеризует его масса. Влияние собственных свойств тела на динамику вращательного движения оказывается более сложным,... .

- Лекция 4-5. Момент силы относительно неподвижной точки и оси. Момент инерции, момент импульса материальной точки и механической системы относительно неподвижной точки и оси.

Лекция 3. Силы. Масса, импульс материальной точки и механической системы. Динамика поступательного движения в инерциальных системах отсчета. Закон изменения импульса механической системы. Закон сохранения импульса. Динамика изучает движение тел с учетом причин,... .

- Момент инерции твердого тела.

Проанализируем формулу для момента инерции твердого тела. Момент инерции зависит от 1) массы тела, 2) формы и размеров тела, 3) положения оси вращения относительно тела (рис 2) Рис. 2а Рис.2б Итак, момент инерции есть мера инертности тела при вращательном движении,... .

- Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Из формулы видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент...

Момент инерции
 Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения. Очевидно, это весьма трудоемкая задача. Для подсчета
моментов инерции тел правильной геометрической формы можно воспользоваться в ряде случаев приемами интегрального исчисления.
 Нахождение конечной суммы моментов инерции элементов тела заменим суммированием бесконечно большого числа моментов инерции, вычисленных для бесконечно малых элементов:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm . (при Δm → 0) .
 Вычислим момент инерции однородного диска или сплошного цилиндра высотой h относительно его оси симметрии

Расчленим диск на элементы в виде тонких концентрических колец с центрами на оси его симметрии. Полученные кольца имеют внутренний диаметр r и внешний r + dr , а высоту h . Так как dr << r , то можем считать, что расстояние всех точек кольца от оси равно r .
 Для каждого отдельно взятого кольца момент инерции
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm ,
где ΣΔm − масса всего кольца.
Объем кольца 2πrhdr . Если плотность материала диска ρ , то масса кольца
ρ2πrhdr .
Момент инерции кольца
i = 2πρhr 3 dr .
 Чтобы подсчитать момент инерции всего диска, надо просуммировать моменты инерции колец от центра диска (r = 0 ) до края его (r = R ), т. е. вычислить интеграл:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr ,
или
I = (1/2)πρhR 4 .
Но масса диска m = ρπhR 2 , следовательно,
I = (1/2)mR 2 .
 Приведем (без вычисления) моменты инерции для некоторых тел правильной геометрической формы, выполненных из однородных материалов


 1. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии):
I = mR 2 .
 2. Момент инерции толстостенного цилиндра относительно оси симметрии:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
где R 1 − внутренний и R 2 − внешний радиусы.
 3. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (1/4)mR 2 .
 4. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
где R − радиус основания цилиндра, h − высота цилиндра.
 5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:
I = (1/12)ml 2 ,
где l − длина стержня.
 6. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:
I = (1/3)ml 2
 7. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (2/5)mR 2 .

Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании так называемой теоремы Гюйгенса-Штейнера.
 Момент инерции тела I относительно любой оси равен моменту инерции тела I с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс масса тела m , умноженная на квадрат расстояния l между осями:
I = I c + ml 2 .
 В качестве примера подсчитаем момент инерции шара радиуса R и массой m , подвешенного на нити длиной l, относительно оси, проходящей через точку подвеса О . Масса нити мала по сравнению с массой шара. Так как момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс I c = (2/5)mR 2 , а расстояние
между осями (l + R ), то момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2 .
Размерность момента инерции:
[I] = [m] × = ML 2 .

Момент инерции тела относительно оси и относительно точки. Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси. Чтобы найти момент инерции тела (с непрерывным распределением вещества) относительно оси, надо мысленно разбить его на такие малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой бесконечно малой массыdm =  dV . Тогда момент инерции тела относительно оси равен интегралу по объёму тела:

где r – расстояние элементаdm до оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто упрощается, если предварительно вычислить его момент инерции относительно точки  . Он вычисляется по формуле, аналогичной (1):

(2)

где r – расстояние элементаdm до выбранной точки (относительно которой вычисляется ). Пусть эта точка является началом системы координатX , Y , Z (рис. 1). Квадраты расстояний элементаdm до координатных осейX , Y , Z и до начала координат равны соответственноy 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 . Моменты инерции тела относительно осейX , Y , Z и относительно начала координат

Из этих соотношений следует, что

Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трёх любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, равна удвоенному моменту инерции тела относительно этой точки.

Момент инерции тонкого кольца. Все элементы кольцаdm (рис. 2) находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу кольцаR , от его оси симметрии (осьY) и от его центра. Момент инерции кольца относительно осиY

(4)

Момент инерции тонкого диска. Пусть тонкий однородный диск массыm с концентрическим отверстием (рис. 3) имеет внутренний и внешний радиусыR 1 иR 2 . Мысленно разобьём диск на тонкие кольца радиусаr , толщиныdr . Момент инерции такого кольца относительно осиY (рис. 3, она перпендикулярна рисунку и не показана), в соответствии с (4):

Момент инерции диска:

(6)

В частности, полагая в (6) R 1 = 0, R 2 = R , получим формулу для вычисления момента инерции тонкого сплошного однородного диска относительно его оси:

Момент инерции диска относительно его оси симметрии не зависит от толщины диска . Поэтому по формулам (6) и (7) можно вычислять моменты инерции соответствующих цилиндров относительно их осей симметрии.

Момент инерции тонкого диска относительно его центра также вычисляется по формуле (6),  = J y , а моменты инерции относительно осейX иZ равны между собой,J x = J z . Поэтому, в соответствии с (3): 2 J x + J y = 2 J y , J x = J y /2, или

(8)

Момент инерции цилиндра. Пусть имеется полый симметричный цилиндр массыm , длины h , внутренний и внешний радиусы которого равныR 1 и R 2 . Найдём его момент инерции относительно осиZ , проведенной через центр масс перпендикулярно оси цилиндра (рис. 4). Для этого мысленно разобьём его на диски бесконечно малой толщиныdy . Один из таких дисков, массойdm = mdy / h , расположенный на расстоянииy от начала координат, показан на рис. 4. Его момент инерции относительно осиZ , в соответствии с (8) и теоремой Гюйгенса – Штейнера

Момент инерции всего цилиндра

Момент инерции цилиндра относительно оси Z  (оси вращения маятника) найдём по теореме Гюйгенса – Штейнера

где d – расстояние от центра масс цилиндра до осиZ  . В работе 16 этот момент инерции обозначен какJ ц

(11)

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида у = ах + b , чтобы сумма квадратов отклонений  у i (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (метод «наименьших квадратов» ), т.е. чтобы величина

(1)