Корреляционные моменты, коэффициент корреляции - это числовые характеристики, тесно связанные во введенным выше понятием случайной величины, а точнее с системой случайных величин. Поэтому для введения и определения их значения и роли необходимо пояснить понятие системы случайных величин и некоторые свойства присущие им.

Два или более случайные величины, описывающих некоторое явление называю

т системой или комплексом случайных величин.

Первые начальные моменты представляют собой математические ожидания величин Х и Y, входящих в систему

σ1,0=mx σ0,1=my.

Совокупность математических ожиданий mx , my представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание точки (Х, Y).

Важную роль на практике играют также вторые центральные моменты систем. Два из них представляют собой дисперсии величин Х и Y

характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ox и Oy.

Особую роль играет второй смещенный центральный момент:

называемый корреляционным моментом (иначе - "моментом связи")случайных величин Х и Y.

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин Х и Y, еще и связь между ними. Для того, чтобы убедиться в этом отметим, что корреляционный момент независимых случайных величин равен нулю.

Заметим, что корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Поэтому для характеристики связи между величинами (Х;Y) в чистом виде переходят от момента Kxy к характеристике

где σx, σy - средние квадратичные отклонения величин Х и Y. Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин Х и Y.

Согласно определениям момента корреляции и коэффициента корреляции

. (6.37)

Пусть имеется выборка . Выборочным коэффициентом корреляции называется оценка истинного коэффициента, полученная по формуле

. (6.38)

Здесь , , - выборочные средние значения и дисперсии. Выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной. Отсюда после вычисления возникает необходимость проверки гипотезы о значимости полученной оценки. Проверяется гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции против альтернативы о неравенстве нулю коэффициента корреляции. Для проверки гипотезы против альтернативы используют статистику

Известно , что эта статистика имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Введем уровень значимости для решения и тогда решающее правило принимает вид

. (6.40)

Здесь - квантиль распределения Стьюдента уровня (1-) с степенями свободы.

Для графической оценки корреляционной связи двух случайных переменных строят так называемые диаграммы рассеяния

Коэффициент корреляции определяет тесноту линейной корреляционной связи между двумя случайными переменными x и y. Однако корреляционная связь между переменными не обязательно является линейной. Поставим задачу описания корреляционной связи в самом общем виде. Выясним меняется ли одна случайная величина (y) при изменении другой случайной величины (x). Рассмотрим плоскость (xy), на которой заданы эти величины. На оси x укажем k точек в интересующем нас диапазоне значений и для каждой j-й точки этого диапазона измерим q раз значение переменной y. В результате получаем k диапазонов (групп) для величины y, в каждом из которых имеется q отсчетов. Значения y внутри отдельной группы будем рассматривать как самостоятельную совокупность и для нее найдем внутригрупповую среднюю и внутригрупповую дисперсию соответственно:

. (6.41)

(Отметим, что в пределах данного пункта используется формула для вычисления смещенной оценки дисперсии.)

Найдем среднюю арифметическую внутригрупповых дисперсий

, (6.42)

а также среднее значение по всей совокупности точек

. (6.43)

Запишем выражение для расчета межгрупповой дисперсии, описывающей рассеяние групповых средних относительно средней по всей совокупности точек

, (6.44)

и выражение для расчета общей дисперсии, описывающей рассеяние отдельных точек относительно среднего по всей совокупности

(6.45)

Если переменная y связана с x функциональной зависимостью, то определенному значению x соответствует определенное значение y и в каждой группе содержатся q одинаковых чисел. Это означает, что внутригрупповая дисперсия равна нулю и на основание (6.51)

Если же переменные x и y связаны корреляционной зависимостью, то

На основание данного важного свойства соотношения межгрупповой и общей дисперсий вводится мера оценки тесноты корреляционной связи

Ковариация и коэффициент корреляции.

Между случайными величинами может существовать функциональная или стохастическая (вероятностная) зависимость. Стохастическая зависимость проявляется в том, что условный закон распределения одной случайной величины изменяется в зависимости от значений, принимаемых другой случайной величиной. Одной из характеристик стохастической зависимости двух случайных величин является ковариация случайных величин.

Ковариацией случайных величин (X ,Y ) называется число равное математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин X и Y от своих математических ожиданий:

Иногда ковариацию называют корреляционным моментом или вторым смешанным центральным моментом случайных величин (X ,Y ).

Используя определение математического ожидания, получим:

для дискретного распределения

для непрерывного распределения

При Y = X ковариация совпадает с дисперсией Х .

Величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. Это затрудняет сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин. Для устранения этого недостатка вводится новая числовая характеристика – коэффициент корреляции , который является

безразмерной величиной.

Для его вычисления заменим отклонения случайных величин от математических ожиданий их нормированными отклонениями, т.е.

Свойства коэффициента корреляции :

Пусть t – переменная величина в смысле математического анализа. Рассмотрим дисперсию случайной величины D (Y – tX ) как функцию переменной t .

По свойству дисперсии . Дискриминант в этом случае должен быть меньше либо равен нулю, т.е.

Откуда получим

2. Модуль коэффициента корреляции не меняется при линейных преобразованиях случайных переменных: , где , , – произвольные числа.

3. , тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейно, т.е. существуют такие числа a, b, что .

Если , то рассматриваемый в п.1 дискриминант равен нулю, а поэтому при некотором значение . Следовательно, величина и для некоторого С справедливо равенство , что требовалось доказать.

4. Если X и Y статистически независимы, то .

Свойства 2,4 проверяются непосредственно.

4.5.2. Коррелированность и зависимость системы случайных величин .

Необходимым условием независимости случайных величин X и Y является равенство нулю их корреляционного момента (или коэффициента корреляции). Однако равенство (или ) есть только необходимое, но недостаточное условие независимости.

Пример 1.

На рисунке изображены точки, лежащие на параболе , а .

В связи с этим вводится более узкое понятие некоррелированности (если ) или коррелированности (если ) случайных величин. Поэтому независимость случайных величин означает и некоррелированность () и, наоборот, коррелированность () – зависимость .

В общем случае, когда , точки (X,Y) будут разбросаны вокруг прямой тем более тесно, чем больше величина . Таким образом, коэффициент корреляции характеризует не любую зависимость между X и Y , а степень тесноты линейной зависимости между ними.

Так, в частности, даже при , т.е. при полном отсутствии линейной зависимости, между X и Y может существовать сколь угодно сильная статистическая и даже нелинейная функциональная зависимость (см. пример1).

При значениях говорят о положительной корреляции между X и Y , означающей, что обе переменные имеют одинаковую тенденцию к возрастанию или убыванию. При говорят об отрицательной корреляции, означающей противоположную тенденцию в изменении случайных величин X и Y , т.е. одна возрастает, а другая убывает или наоборот.

Если случайные величины X и Y распределены нормально, то из их некоррелированности следует и их независимость, так как

Если , то .

Для вычисления коэффициента корреляции продолжим пример 2 из §4.1. Воспользуемся формулой

.

M (X ×Y )=(-200)×(-100)×0,2 + (-200)×0×0,1 + (-200)×(100)×0,05 + 0×(-100)×0,05 + 0×0×0,25 + 0×100×0,02 + 200×(-100)×0,01 + 200×0×0,02 + 200×100×0,3 = 8800$;

; ;

.

Пример 2. Закон распределения системы двух случайных величин задан таблицей распределения

X Y
-1	0,01	0,06	0,05	0,04
	0,04	0,24	0,15	0,07
	0,05	0,01	0,01	0,09

Найти одномерные (маргинальные) законы распределения X и Y , их математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции между X и Y .

Решение. Вероятности возможных значений дискретной случайной величины Х , входящей в систему, определяются формулой

, к =1, 2, 3, 4.

Поэтому одномерное распределение величины Х имеет следующий вид

Математические ожидания случайных величин X и Y :

M (X )=1,6; M (Y )=0,18.

Дисперсии случайных величин X и Y :

D (X )=0,84; D (Y )=0,47.

Коэффициент корреляции между X и Y вычисляется по формуле

; ;

; ;

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение многомерной случайной величины и функции распределения вероятностей.

2. Что называется совместным распределением двумерной дискретной случайной величины (X ,Y )? Как оно записывается?

3. Как по известному совместному распределению двумерной случайной величины (X ,Y ) найти маргинальные распределения составляющих X и Y ?

4. Что называется условным распределением составляющей X двумерной дискретной величины (X ,Y )?

5. Что называется ковариацией?

6. Что называется коэффициентом корреляции?

7. Укажите свойства коэффициента корреляции.

8. Чему равен коэффициент корреляции случайных величин X и Y = 1 – 2X ?

9. В какую величину превращается ковариация двух случайных величин X и Y , если X = Y ?

10. Равносильны ли понятия независимости и некоррелированности?

Задачи

4.1. На двух различных рынках города продаются три типа автомобилей (А,В,С). Ниже приведены данные о числе проданных автомобилей за год:

Найти следующие вероятности: Р (а, А ), P (a, B ), P (a, C ), P (b, A ), P (b, B ), P (b,С ), P (A ), P (a/A ), P (A/a ). Составить таблицу совместных вероятностей.

4.2. Отдыхающие на некотором курорте являются, как правило, бизнесменами (B )или людьми свободных профессий (P )(адвокатами, художниками, врачами и т.д.). Владелец курорта хочет установить, не выгоднее ли ему будет выпускать рекламу двух видов, а не одного. Для этого он поручил своему рекламному отделу подготовить рекламу двух типов – одну для бизнесменов (тип I), другую – для людей свободных профессий (тип II). Реклама была подготовлена, материалы разосланы возможным клиентам, и было получено 800 заявок. Они распределились следующим образом.

а). Найдите вероятности P (B,I ); P (B,II ); P (I/B ).

Для характеристики корреляционной зависимости между вели­чинами используются коррекляционный момент и коэффициент корреляции.

О п р е д е л е н и е 2. Корреляционным моментом µ xy случайных ве­личин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используется выражение

(3.12)

а для непрерывных – выражение

(3.13)

З а м е ч а н и е. Корреляционный момент µ xy может быть пере­писан в виде

(3.14)

Действительно, используя свойства математического ожидания (см. §§ 2.2; 2.6), имеем

Т е о р е м а. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно замечанию

а так как Х и Y независимые случайные величины, то (см. §§ 2.2; 2.6)

и, значит, µ xy =0.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y,т.е. его величина зависит от единиц измерения случайных величин. Поэтому для одних и тех же двух величин величина корреляцион­ного момента может иметь различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины. Для устранения этого недостатка условились за меру связи (зависимости) двух слу­чайных величин X и Yпринять безразмерную величину

где σ х =σ(Х), σ y =σ(Y), называемую коэффициентом корреляции.

П р и м е р 1. Пусть двумерная дискретная случайная величи­на (X,Y)задана законом распределения:

и, значит,

Сложив же вероятности по столбцам, найдем вероятности воз­можных значений Y:

Отсюда закон распределения Y:

Y
p	1\3	1\2	1\6

и, значит,

Следовательно,

Таким образом, коэффициент корреляции

Т е о р е м а. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин не превосходит произведения их средних квадратических отклонений:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введя в рассмотрение случайную величи­ну где найдем ее дисперсию. Имеем

(любая дисперсия неотрицательна). Отсюда

Введя случайную величину , аналогично найдем

В результате имеем

О п р е д е л е н и е 2. Случайные величины X и Y называются некоррелированными, если = 0, и коррелированными, если

П р и м е р 1. Независимые случайные величины Х и Y являются некоррелированными, так как в силу соотношения (3.12) = 0.

П р и м е р 2. Пусть случайные величины Х и Y связаны линей­ной зависимостью Найдем коэффициент корреля­ции. Имеем:

Таким образом, коэффициент корреляции случайных величин, свя­занных линейной зависимостью, равен ±1 (точнее, =1, если А>0 и =-1, если А<0).

Отметим некоторые свойства коэффициента корреляции.

Из примера 1 следует:

1) Если X и Y - независимые случайные величины, то коэффи­циент корреляции равен нулю.

Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. (Доказательство см. в работе .)

2)Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосхо­дит единицы:

Действительно, разделив обе части неравенства (3.16) на произ­ведение , приходим к искомому неравенству.

3) Как видно из формулы (3.15) с учетом формулы (3.14), ко­эффициент корреляции характеризует относительную величину отклонения математического ожидания произведения от про­изведения математических ожиданий М(Х) М(Y) величин X и Y. Так как это отклонение имеет место только для зависимых вели­чин, то можно сказать, чтокоэффициент корреляции характеризует тесноту зависимости между X и Y.

3. Линейная корреляция. Этот вид корреляционной зависимости встречается довольно часто.

О п р е д е л е н и е. Корреляционная зависимость между случай­ными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии и являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; их называют прямыми регрессии.

Выведем уравнения прямой регрессии Y на X, т.е. найдем коэф­фициент линейной функции

Обозначим М(Х) = а, М(Y) = b, М[(Х - а) 2 ] = , М[(Y –b 2)] = . С использованием свойств МО (§§ 2.2; 2.6) находим:

М(Y) = М = М(АХ + В)= АМ(Х) + В,

т.е. b = Аа + В, откуда В=b-Аа.

М(ХY) = М[Хg(Х)\ = М(АХ 2 + ВХ) = АМ(Х 2) + ВМ(Х) = АМ(Х 2) + (b- Аа)а,

или, согласно свойству 1 дисперсии (§§ 2.3; 2.6),

Полученный коэффициент называется коэффициентом регрессии Y на X и обозначается через :

Таким образом, уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

Аналогично можно получить уравнение прямой регрессии X на Y

4 страницы (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Фрагмент текста работы

где

для дискретных случайных величин Хи У и

, y)dxdy

для непрерывных случайных величин,

Корреляционный момент служит для характеристики связи между случайными величинами. В частности, для независимых случайных величин Х и У корреляционный момент Сху равен нулю.

По определению корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей величин Х и У. Это значит, что величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. Например, если при измерении величин Х и У в сантиметрах получилось С». 2 см2, то при измерении Х и У в миллиметрах получим Сху = 200 мм2. Такая зависимость корреляционного момента от единиц измерения затрудняет сравнение различных систем случайных величин. Чтобы устранить этот недостаток, вводится безразмерная характеристика rry связи между величинами Х и У, называемая коэффициентом корреляции:

Если случайные величины Х и У независимы, то r», = О. Если же случайные величины Хи У связаны точной линейной зависимостью У = ах + Ь, то rxy= l при а>О и Ъ. = - при а z О. Вообще же справедливо двойное неравенство -1 S rxyS

Свойство независимости двух случайных величин Х и У в общем случае не равносильно их некоррелированности (т.е. равенству rn. = 0). Однако для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины это так.

Закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, Л задан следующей таблицей

) законы распределения случайных величин Х и У;

2) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что У = 1;

3) математические ожидания ИХ), Ц У) и центр рассеивания;

4) дисперсии D(X) и ДУЭ;

5) корреляционный момент Сду и коэффициент корреляции Ъ.

1. Сложив вероятности по строкам, получаем вероятности возможных значений случайной величины Х: = 0,4, p(l) = 0,2, р(4) = 0,4. Следовательно, закон распределения величины Х имеет следующий вид

Проверка: 0,4 + 1.

Сложив вероятности по столбцам, получаем вероятности возможных значений случайной величины У: = 0,1, p(l) = 0,3, АЗ) = 0,6. Напишем закон распределения величины У

Проверка: (),l + 0,3 + 0,6 =

2.
Найдем условные вероятности для случайной величины Х при условии, что У = У-2 = 1: p(-l f 1) = -Р12

Так как распределения (Х 1 У = 1) имеет следующую таблицу

З. Исходя из определения, вычисляем математические ожидания:

5. Составим таблицу системы чентривжанных случайных величин

х, У, где У=У-т = У -1,9

Вычислим корреляционный момент:

(-3,9) 0-2,4 (-0,9)

Система двух непрерывных случайных величин (Х, У) имеет равномерное распределение в области D = «х, у) - S х S 3, О S у S х + l} .

) плотность распределения;

2) вероятность Ч Х, У) с попадания в область

3) плотностиЛ(х) и Ку) распределения случайных величин Х и У, а также условные плотности и y(ylx);

4) функции и F20) распределения случайных величин Х и У;

5) математические ожидания М(Х), и центр рассеивания;

6) дисперсии и Ц У);

7) корреляционный момент Сл. и коэффициент корреляции

1. По условию функция плотности имеет вид а, если -lSxS3 и 0SySx+l, О, если (х, у) Е Д

Для нахождения параметра а воспользуемся соотношением f(x, y)dy.dy = , где обл5сть интегрирования D изображена на рис. 7.

Область D ограничена слева и справа прямыми х = -1 и х = 3, а снизу и сверху - прямыми О и У2(х) = х + 1. Переходя к повторному интегралу, имеем:

3

fady= гаур Х +1 Д = fa(x + l)dx =

8а. Так как 8а = 1, ТО а з- и функция ПлОтнОсТи 8

имеет вид

-, если

О, если (х,у) Е).

2. Изобразим область G, которая представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (2, О) (см. рис. 8). Так как функция Ах, у) равна нулю вне

3. Найдем плотностиЛ(х) илу):

поэтому

Следовательно,

Для О S у S 4 аналогично получаем

Определение:

Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Напомним, что приведенное выражение является элементом формулы дисперсии суммы двух случайных величин:

Замечание:

Корреляционный момент может быть представлен в виде:

Доказательство:

Теорема:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен 0

Доказательство:

Согласно замечанию:

Но для независимых случайных величин

Тогда для независимых случайных величин и :

Определение:

Безразмерная величина называется коэффициентом корреляции.

Теорема:

Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин не превосходит произведения их средних квадратических отклонений:

Доказательство:

Введем в рассмотрение случайную величину и найдем ее дисперсию:

Так как любая дисперсия неотрицательная

Аналогично введем случайную величину и найдем, что:

Определение:

Случайные величины и называются некоррелированными, если , и коррелированными, если .

Теорема:

Коэффициент корреляции случайных величин, связанных линейной зависимостью, равен .

Доказательство:

Найдем коэффициент корреляции:

Отметим некоторые свойства коэффициента корреляции.

1. Из примера 1 следует, что если - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0.

Заметим, что обратное утверждение неверно.

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции в общем случае не превосходит единицы:

Доказательство следует из доказанной ранее формулы для корреляционного момента:

Разделим обе части неравенства на произведение и получим

3. Коэффициент корреляции характеризует относительную (в долях ) величину отклонения математического ожидания произведения от произведения математических ожиданий величин . Так как такое отклонение имеет место только для зависимых величин, то можно сказать, что коэффициент корреляции характеризует тесноту зависимости между и .

Это утверждение следует из доказанного ранее равенства: . Приведем корреляционный момент к коэффициенту корреляции:

Куликов А. А. Форекс для начинающих. Справочник биржевого спекулянта – СПб.: Питер, 2007; Коммерсантъ № 62 от 13.04.2007 – Мировая торговля замедлится.

Bachelier L. Theorie de la speculation. //Annales de l"Ecole Normale Superieure. 1900. V. 17. P. 21-86. Описание идей Л. Бушелье, их судьба и их современная критика содержатся в книгах: Мандельброт Б. Непослушные рынке, фрактальная революция в финансах – пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2006; Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков – пер. с франц. – М.: Издательство «И-трейд», 2008.

Cootner Paul H. The Random Character of Stock Market Prices – Cambridge, MA, MIT Press

Harry M. Markowitz, Portfolio Selection, Journal of Finance, 7, no 1 (March 1952), pp, 79-81.

В представленном разделе используются материалы следующих книг: Шарп У. Ф.., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997; Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1996; Ширяев В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – Учебное пособие – М.: КомКнига, 2007; Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007; Коростелева М. В. Методы анализа рынка капитала – СПб.: Питер, 2003.

Тобин Дж. обратил внимание на недостаточность показателей математических ожиданий и дисперсии для сравнения портфелей (См. Ширяев В. И. Модели финансовых рынков… - стр. 18-19). Тем не менее, их применение оправдано своей конструктивностью.

См. Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 238-241 или Ширяев В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – Учебное пособие – М.: КомКнига, 2007, стр. 17.

См. Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1996, стр. 343. Обсуждение альтернативных мер риска, например, приведение к нормальному типу так называемого логнормального распределения можно найти в книге: Шарп У. Ф.., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997, стр. 179-181.

См. Бромвич М. Ук. Соч. стр. 342.

Считают, что первым шагом в создании теории полезности было формулирование так называемого Санкт-Петербургского парадокса. Любопытно, что сформулировал этот парадокс Николай Бернулли, а объяснение дал ему Даниил Бернулли - См.: Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия / Д. Бернулли; пер. А. Нардовой // Вехи экономической мысли / сост. и общ. ред. В. М. Гальперина. Спб., 1993. Т. 1: Теория потребительского поведения и спроса. С. 11-27.

Полезные материалы по теории полезности можно найти в книгах, посвященных теории игр, в частности: Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения - Пер. с англ. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961; Нейман фон Джон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение - Пер. с англ. - М.: Наука, 1970.

См. Приложение к модели Г. Марковица

См. в книге Ширяева В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – М.: КомКнига, 2007, стр. 25-26.

Аналитическую формулировку модели Марковица можно найти в книгах: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 21-22; Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 288.

Нами использованна формулировка, предложенная в книге: Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 256-257.

См. в книге: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 16-18 (раздел «Модель Марковица»).

См.:Шарп У. Ук. соч. стр. 213-218, 226-228, стр. 271 – о связи и отличиях рыночной модели и модели САРМ; также Аскинадзи В. М. и др. Ук. соч., стр. 278-294; Ширяев В. В. Ук. соч., стр. 47-58

См.: Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции –пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997, стр 316-337.

См.: Оценка бизнеса – под ред. Грязновой А.Г., Федотовой М.А. – М.: Финансы и статистика, 2007, стр. 199

См: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, глава 3.

См. Мандельброт Б., Хадсон Р. Л. Непослушные рынки: фрактальная революция в финансах – пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2006, 187 стр.

См. там же, стр. 34-39.

См.: Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков – пер. с франц. – М.: Издательство «И-трейд», 2008, стр. 19-22.

Это раздел основан, главным образом, на материалах книги: Экономическая теория (New Palgraiv) – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2004, стр. 263-273 – глава Гипотеза эффективного рынка, автор - Бертон Мэлкил (Berton G, Malkiel). Ссылки на авторов различных исследований также сделаны по материалам этой статьи. См. также: Бертон Мэлкил «Случайная прогулка по Уолл-Стрит – пер. с англ. - Минск: Попурри, 2006. Последняя книга издается уже 30 лет. Любопытно, что в конце 90-х годов вышла иная книга: Эндрю Лоу. Неслучайная прогулка по Уолл-Стрит. Б. Мелкил является, в целом, сторонником гипотезы эффективного рынка, а Эндрю Лоу – наоборот.

См.: Чеботарев Ю.Н. Случайность и Неслучайность биржевых цен – М.: СмартБук; И-трейд, 2008, 198.

Инвариантность - неизменность какой-либо величины при изменении физических условий или по отношению к некоторым преобразованиям, например, преобразованиям координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (релятивистская инвариантность). Практически строгое описание «случайного блуждания» в наиболее простой версии «винеровского процесса» можно найти в книге: Шаповал А.Б. Инвестиции: математические методы – Учебное пособие – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 42-43.

Случайный процесс называется винеровским, если выполнены следующие условия:

1) Процесс начинается с нуля, то есть;

2) Случайная величина имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией равной для любого момента времени;

3) Для произвольных непересекающихся интервалов и случайные величины и независимы.

Вообще, пособие Шаповала А.Б. мы рекомендуем для ознакомления с математическими моделями портфельного анализа, оценки опционов. Изложение достаточно строгое для практики и краткое (96 стр.), но вводит в современную теорию финансов. В главе о портфельном анализе мы в значительной мере используем

См. материал из Википедии:

Последовательность случайных величин называется мартингалов с дискретным временем, если:

Пусть дана другая последовательность случайных величин. Тогда последовательность случайных величин называется мартингалом относительно или -мартингалом, если:

Пусть дана последовательность случайных величин. Тогда последовательность случайных величин называется суб(супер) мартингалом относительно, если:

Этот эффект можно объяснить налоговым влиянием. В конце года инвесторы сбрасывают акции, в первую очередь, мелких фирм для имитации убыточности и облегчения налоговых платежей, цены акций падают, а в январе они могут вернуться даже с излишком вверх – См.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 316-317.

Эффект уик-энда, эффект понедельника не имеет однозначного объяснения. Эффект говорит о том, что цены акций в понедельник ниже, чем вечером в пятницу. В книге «Случайная прогулка по Уолл-Стрит» Бертон Мэлкил уточняет эффект: цены акций утром в понедельник немного выше, чем вечером в пятницу, а к вечеру понедельника они понижаются, так что доходность становится относительно отрицательной. Поэтому следует покупать акции в понедельник вечером. Но проверка эффекта, проведенная автором по материалам Нью-Йоркской фондовой биржи с мая по июль 2002 года показала, что эффект проявился лишь в восьми уик-эндах из тринадцати.

Стратегию «купил и держи» реализуют так называемые «индексные фонды», которые держат структуру своих вложений в соответствии с популярными биржевыми индексами. По данным информационного портала «Вложи.ру», в России в 2007 году действовало 11 ПИФов как индексные фонды. Первый российский индексный фонд был образован в 2003 году. В США такие фонды действуют уже 30 лет. Российские фонды ориентируются на индексы ММВБ или РТС (после модификации в 2006 году индекс РТС стал учитывать и ликвидность бумаг, что требуется для правильной работы индексного фонда). Строго следовать индексам индексные фонды, конечно, не могут, так как было бы нерационально вносить изменения во вложения непрерывно. См. материалы об индексных фондах на портале частного инвестора «Вложи.ру»: http://www.vlozhi.ru/

Дробление акций снижает их номинальную стоимость, в результате чего она становится более доступной мелким акционерам. Расширение рынка акций может повысить к ним интерес и, соответственно, увеличить спрос на них, а значит, и рыночную стоимость акций

Эффективность взаимных фондов относительно эффективности индексных акций за 1980-1990 годы см.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 238. В 80-е годы взаимные фонды обгоняли индекс S&P 500, в 90-е годы – отставали. Там же и другие современные материалы по эффективности взаимных фондов. Например, по данным с 1968 по 2002 годы проведено сопоставление доли наличности в активах взаимных фондов и индекса S&P 500. Сопоставление показало, что доля наличности в активах фондов была высока именно в те моменты, когда индекс был низок, то есть когда надо было, наоборот, тратить наличные деньги на покупку акций – стр. 244-248.

Результаты расчетов см.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 235.

См. номера журнала «Финанс» за 2009-2010 годы.

См. Элдер А. Как играть и выигрывать на бирже: Психология. Технический анализ. Контроль над капиталом – М.: Альпина Бизнес Бук, 2007, стр. 29-35.

См.: Дамодаран А. Инвестиционные байки: разоблачение мифов о безпроигрышных биржевых стратегиях – пер. с англ. СПб.: Питер, 2007, стр. 396-428.

См.: Хэгстром Р. Дж. Инвестирование. Последнее свободное искусство – пер. с англ. – М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2005.

Сравнение среднегодовой доходности и риска (квадратичного отклонения доходности) акций компаний крупных и мелких за период с 1926-2001 показало, что среднегодовая доходность акций мелких компаний – 17.5%, а крупных – 12.4 при риске 35.3 и 20.8%% соответственно. Среднеожидаемый ежемесячный доход за период 1963-1990 годы также показывает зависимость от размера компании. В то же время в 90-е годы ситуация изменилась, большие доходы стали давать компании с высокой капитализацией. Дело, по-видимому, в том, что выросла доля институциональных инвесторов, работающих с акциями крупных компаний, и акции мелкий компаний потеряли часть ликвидности – См. Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 265, 333-334.

Данные за 80-е годы показывают, что акции с низким коэффициентом доходности (отношение цены акции к чистой прибыли компании) показывали более высокую доходность. Аналогично, акции с низким оотношением цены к стоимости активов фирмы дают обычно большую доходность – См. Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 334-340.

Доказательства приведены по материалам книги: Бромвич Майкл. Анализ экономической эффективности капиталовложений – М.: ИНФРА-М, 1996.

См. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятности – М.: Наука, 1969, стр. 179 (глава 5. Числовые характеристики случайных величин)