5.Порядок оценивания линейной эконометрической модели из изолированного уравнения в Excel. Смысл выходной статистической информации сервиса Регрессия. (10) стр 41

6.Спецификация и оценивание мнк эконометрических моделей нелинейных по параметрам. (30) стр.24-25,

7. Классическая парная регресионная модель. Спецификация модели. Теорема Гаусса-Маркова.

8. Метод наименьших квадратов: алгоритм метода, условия применения.

9.Идентификация отдельных уравнений системы одновременных уравнений: порядковое условие. (30)

Необходимое условие идентифицируемости

10.Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов. (10)

11.Фиктивные переменные: определение, назначение, типы.

12.Автокорреляция случайного возмущения. Причины. Последствия.

13.Алгоритм проверки значимости регрессора в парной регрессионной модели.

14.Интервальная оценка ожидаемого значения зависимой переменной в парной регрессионной модели.

15. Тест Чоу на наличие структурных изменений в регрессионной модели. (20) стр. 59,60

16. Алгоритм проверки адекватности парной регрессионной модели. (20) стр. 37, 79

17. Коэффициент детерминации в парной регрессионной модели.

18. Оценка параметров множественной регрессионной модели методом наименьших квадратов.

20. Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины. Последствия. Тест gq(20)

21.Фиктивная переменная наклона: назначение; спецификация регрессионной модели с фиктивной переменной наклона; значение параметра при фиктивной переменной. (20) стр.65

22..Алгоритм теста Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений. (20) стр 33

23. Структурная и приведённая формы спецификации эконометрических моделей.

24. Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины. Последствия. Алгоритм теста Голдфельда-Квандта на наличие или отсутствие гетероскедастичности случайных возмущений.

Алгоритм теста Голдфелда-Квандта на наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных возмущений.

25. Спецификация и оценивание мнк эконометрических моделей нелинейных по параметрам.

26. Способы корректировки гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов

27.Проблема мультиколлинеарности в моделях множественной регрессии.Признаки мультиколлениарности.

28.Что такое логит,тобит,пробит.

29. Что такое Метод наибольшего правдоподобия стр. 62.

30. Что такое стационарный процесс?

31.Свойства временных рядов.

32.Модели ar и var .

33. Идентифицируемость системы.

34. Настройка модели с системой одновременных уравнений.

35.Что такое метод Монте-Карло стр 53

36.Оценить качество модели по f, gq, dw (линейнные).Стр.33, 28-29

37. Оценка погрешностей параметров эконометрической модели методом Монте-Карло.

38. Отражение в модели влияния неучтённых факторов. Предпосылки теоремы Гаусса-Маркова.

39.Модели временных рядов. Свойства рядов цен акций на бирже (20) с.93.

40. Ожидаемое значение случайной переменной, её дисперсия и среднее квадратическое отклонение. (20) с.12-21

41. Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов с использованием сервиса Поиск решения.

42. Проверка статистических гипотез, t-статистика Стьюдента, доверительная вероятность и доверительный интервал, критические значения статистики Стьюдента. Что такое “толстые хвосты”?

43.Проблема мультиколлинеарности в моделях множественной регрессии. Признаки мультиколлинеарности

44. Частные коэффициенты детерминации.

46. Экономический смысл коэффициентов линейного и степенного уравнений регрессии.

47.Оценка коэффициентов модели Самуэльсона-Хикса

48. Ошибки от включения в модель незначимых переменных или исключения значимых.С.80

49. Исследование множественной регрессионной модели с.74-79.

50. Мультиколлинеарность: чем плоха, как обнаружить и как бороться.

51. Признаки стационарности стохастического процесса. Что такое «Белый шум»? с.100

52. Структурная и приведённая формы спецификации эконометрических моделей.

53. Алгоритм проверки значимости регрессора в парной регрессионной модели. По t-статистике, по f-статистике.

54.Свойства рядов цен на фондовом рынке. Принципы построения портфеля Марковица с.93,102

55.Динамическая модель из одновременных линейных уравнений (привести пример) с.105.

56. Метод наибольшего правдоподобия: принципы и целесообразность использования

57. Этапы исследования модели множественной регрессии с.74-79.

30. Что такое стационарный процесс?

Стационарность - свойство процесса не менять свои характеристики со временем. Имеет смысл в нескольких разделах науки. Стационарность случайного процесса означает неизменность во времени его вероятностных закономерностей

Временной ряд – это конечная реализация стохастического процесса: генерации набора случайных переменных Y(t).

Стохастический процесс может быть стационарным и нестационарным. Процесс является стационарным, если

1. Математическое ожидание значений переменных не меняется.

2. Математическое ожидание дисперсий переменных не меняется.

3. Нет периодических флуктуаций.

Распознавание стационарности:

1. График: систематический рост или убывание, волны и зоны высокой волатильности (дисперсии) в длинном ряде сразу видны.

2. Автокорреляция (убывает при росте лага)

3. Тесты тренда: проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента при t.

4. Специальные тесты, включённые в пакеты компьютерных программ Stata,

31.Свойства временных рядов.

Эконометрическую модель можно построить, используя три типа исходных данных:

Данные, характеризующие совокупность различных объек­тов в определенный момент (период) времени: cross sectional data , “пространственные”;

Данные, характеризующие один объект за ряд последова­тельных моментов

(периодов) времени: временные ряды, time series ;

данные, характеризующие совокупность различных объек­тов за ряд последова­тельных моментов времени: panel data , “панельные”.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Он формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно условно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию (тренд ) ряда;

факторы, формирующие циклические колебания ряда, например сезонный, недельный; для рядов цен на фондовом рынке характерны непериодические колебания;

случайные факторы.

Модели, которые построены по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных периодов, называются моделями временных рядов.

Каждый уровень временного ряда может формироваться их трендовой (Т), циклической или сезонной компоненты (S), а также случайной (E) компоненты.

Модели, где временной ряд представлен в виде суммы перечисленных компонентов называются аддитивными, если в виде произведения – мультипликативными моделями.

Аддитивная модель имеет вид : Y=T+S+E

Мультипликативная модель имеет вид : Y=T*S*E

Построение модели временного ряда :

производят выравнивание временного ряда (например методом скользящей средней); 2. Рассчитывают значения сезонной компоненты; 3. Устраняют сезонную компоненту и получают выровненный ряд; 4. Проводят аналитическое выравнивание уровней (T и E) и расчет значений Е с использованием полученного уравнения тренда; 5. Расчитывают значения Т и Е; 6. Расчитывают абсолютные и относительные ошибки.

Построение аналитической функции при моделировании тренда в любой задаче по эконометрике на временные ряды называют аналитическим выравниванием временного ряда и в основном применяются функции: линейная, степенная, гиперболическая, параболическая и т.д.

Параметры тренда определяются как и в случае линейной регрессии методом МНК, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной – уровни временного ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение коэффициента детерминации, критерии Фишера и Стьюдента.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени. Для определения автокорреляции остатков используется критерий Дарбина-Уотсона:

Временной ряд – это датированная целочисленными моментами времени t экономическая переменная. Эта переменная служит количественной характеристикой некоторого экономического объекта, поэтому изменение этой переменной во времени определяется факторами, оказывающими воздействие на данный объект с ходом времени.

Все факторы делятся на 3 класса. 1 класс: факторы («вековые» воздействия), результирующее влияние которых на данный объект на протяжении длительного отрезка времени не изменяют своего направления. Они порождают монотонную составляющую (тенденцию или тренд). 2 класс: факторы (циклические воздействия), результирующее влияние которых на объект совершает законченный круг в течение некоторого фиксированного промежутка времени T. 3 класс: факторы (случайные воздействия),результирующее влияние которых на объект с высокой скоростью меняет направление и интенсивность. 3 Класс факторов позволяют интерпретировать величину в каждый период времени как случайную переменную

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».

Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 17.1.1).

В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающих колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т. д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени.

На рис. 17.1.2 изображено семейство реализаций явно нестационарного случайного процесса - процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времени.

Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Например, процесс наводки перекрестия авиационного прицела на цель есть явно нестационарный процесс, если цель за короткое время с большой и резко меняющейся угловой скоростью проходит поле зрения прицела. В этом случае колебания оси прицела относительно цели не успевают установиться в некотором стабильном режиме; процесс начинается и заканчивается, не успев приобрести стационарный характер. Напротив, процесс наводки перекрестия прицела па неподвижную или движущуюся с постоянной угловой скоростью цель через некоторое время после начала слежения приобретает стационарный характер.

Вообще, как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии - с так называемого «переходного процесса». После затухания переходного процесса система обычно переходит на установившийся режим, и тогда случайные процессы, протекающие в ней, могут считаться стационарными.

Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарных. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время). Элементы этой теории и будут изложены в данной главе.

Случайная функция называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси ).

В данном элементарном изложении теории случайных функций мы совсем не пользуемся такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:

. (17.1.1)

Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции всегда можно перейти к центрированной случайной функции , для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и, следовательно, удовлетворяет условию (17.1.1). Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не мешает нам изучать его как стационарный процесс.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, - это условие постоянства дисперсии:

. (17.1.2)

Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию (рис. 17.1.3).

Положим в выражении и рассмотрим - корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени . Очевидно, если случайный процесс действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси мы взяли участок , а должен зависеть только от длины этого участка. Например, для участков и на рис. 17.1.3, имеющих одну и ту же длину , значения корреляционной функции и должны быть одинаковыми. Вообще, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от положения первого аргумента на оси абсцисс, а только от промежутка между первым и вторым аргументами:

. (17.1.3)

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что условие (17.1.2), требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия (17.1.3). Действительно, полагая в формуле (17.1.3) имеем

Таким образом, условие (17.1.3) есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция.

Поэтому в дальнейшем мы под стационарной случайной функцией будем понимать такую случайную функцию, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов и , а только от разности между ними. Чтобы не накладывать специальных условий на математическое ожидание, мы будем рассматривать только центрированные случайные функции.

Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии:

.

Отсюда для стационарного процесса, полагая , имеем:

, (17.1.5)

т. е. корреляционная функция есть четная функция своего аргумента. Поэтому обычно корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента (рис. 17.1.4).

На практике, вместо корреляционной функции , часто пользуются нормированной корреляционной функцией

где - постоянная дисперсия стационарного процесса. Функция есть не что иное, как коэффициент корреляции между сечениями случайной функции, разделенными интервалом по времени. Очевидно, что .

В качестве примеров рассмотрим два образца приблизительно стационарных случайных процессов и построим их характеристики.

Пример 1. Случайная функция задана совокупностью 12 реализаций (рис. 17.1.5).

а) Найти ее характеристики , , и нормированную корреляционную функцию . б) Приближенно рассматривая случайную функцию как стационарную, найти ее характеристики.

Решение. Так как случайная функция меняется сравнительно плавно, можно брать сечения не очень часто, например через 0,4 сек. Тогда случайная функция будет сведена к системе семи случайных величин, отвечающих сечениям . Намечая эти сечения на графике и снимая с графика значения случайной функции в этих сечениях, получим таблицу (табл. 17.1.1).

Таблица 17.1.1

№ реализации

На графике рис. 17.1.5 математическое ожидание показано жирной линией.

Далее находим оценки для элементов корреляционной матрицы: дисперсий и корреляционных моментов. Вычисления удобнее всего производить по следующей схеме. Для вычисления статистической дисперсии суммируются квадраты чисел, стоящих в соответствующем столбце; сумма делится на ; из результата вычитается квадрат соответствующего математического ожидания. Для получения несмещенной оценки результат множится на поправку . Аналогично оцениваются корреляционные моменты. Для вычисления статистического момента, отвечающего двум заданным сечениям, перемножаются числа, стоящие в соответствующих столбцах; произведении складываются алгебраически; полученная сумма делится на ; из результата вычитается произведение соответствующих математических ожиданий; для получения несмещенной оценки корреляционного момента результат множится на . При выполнении расчетов на счетной машине или арифмометре промежуточные результаты умножений не записываются, а непосредственно суммируются. Полученная таким способом корреляционно матрица системы случайных величин - она же таблица значений корреляционной функции - приведена в таблице 17.1.2.

Таблица 17.1.2.

По главной диагонали таблицы стоят оценки дисперсий:

Извлекая из этих величин квадратные корни, найдем зависимость среднего квадратического отклонения от времени:

Деля значения, стоящие в табл. 17.1.2, на произведения соответствующих средних квадратических отклонений, получим таблицу значений нормированной корреляционной функции (табл. 17.1.3).

Таблица 17.1.3

важный специальный класс случайных процессов (См. Случайный процесс), часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X (t ) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X (t ) при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X (t 1 ) и X (t 2 ) зависит только от продолжительности промежутка времени t 2 -t 1 , т. е. распределения пар величин {X (t 1 ), X (t 2 )} и {X (t 1 + s ), X (t 2 + s )} одинаковы при любых t 1 , t 2 и s и т. д.).

Схема С. с. п. с хорошим приближением описывает многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями. Так, например, пульсации силы тока или напряжения в электрической цепи (электрический «шум») можно рассматривать как С. с. п., если цепь эта находится в стационарном режиме, т. е. если все её макроскопические характеристики и все условия, вызывающие протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в точке турбулентного течения представляют собой С. с. п., если не меняются общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является установившимся), и т.д. Эти и другие примеры С. с. п., встречающиеся в физике (в частности, гео- и астрофизике), механике и технике, стимулировали развитие исследований в области С. с. п.; при этом существенными оказались также и некоторые обобщения понятия С. с. п. (например, понятия случайного процесса со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого С. с. п. и однородного случайного поля).

В математической теории С. с. п. основную роль играют моменты распределении вероятностей значений процесса X (t ), являющиеся простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны моменты первых двух порядков: среднее значение С. с. п. EX (t ) = m - математическое ожидание случайной величины X (t ) и корреляционная функция С. с. п. EX (t 1 ) X (t 2 )= B (t 2 -t 1 ) - математическое ожидание произведения X (t 1 ) X (t 2 ) (просто выражающееся через дисперсию величин X (t ) и коэффициент корреляции между X (t 1 ) и X (t 2 ); см. Корреляция). Во многих математических исследованиях, посвященных С. с. п., вообще изучаются только те их свойства, которые полностью определяются одними лишь характеристиками m и В (τ) (т. н. корреляционная теория С. с. п.). В этой связи случайные процессы X (t ), имеющие постоянное среднее значение EX (t ) = m и корреляционную функцию В (t 2 , t 1 ) = EX (t 1 ) X (t 2 ), зависящую только от t 2 - t 1 , часто называют С. с. п. в широком смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики которых не меняются с течением времени, в таком случае называются С. с. п. в узком смысле).

Большое место в математической теории С. с. п. занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса X (t ) и его корреляционной функции B (t 2 -t 1 ) = В (τ) в интеграл Фурье, или Фурье - Стилтьеса (см. Фурье интеграл). Основную роль при этом играет теорема Хинчина, согласно которой корреляционная функция С. с. п. X (t ) всегда может быть представлена в виде

где F (λ) - монотонно неубывающая функция λ (а интеграл справа - это интеграл Стилтьеса); если же В (τ) достаточно быстро убывает при |τ|→∞ (как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X (t ) понимается на самом деле разность X (t ) - m ), то интеграл в правой части (1) обращается в обычный интеграл Фурье:

где f (λ) = F’ (λ) - неотрицательная функция. Функция F (λ) называемая спектральной функцией С. с. п. X (t ), а функция F (λ) [в случаях, когда имеет место равенство (2)] - его спектральной плотностью. Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X (t ) допускает Спектральное разложение вида

где Z (λ) - случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой С. с. п. X (t ) как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная функция F (λ) и спектральная плотность f (λ) определяют распределение средней энергии входящих в состав X (t ) гармонических колебаний по спектру частот λ (в связи с чем в прикладных исследованиях функция f (λ) часто называется также энергетическим спектром или спектром мощности С. с. п. X (t )).

Выделение понятия С. с. п. и получение первых относящихся к нему математических результатов являются заслугой Е. Е. Слуцкого (См. Слуцкий) и относятся к концу 20-х и началу 30-х гг. 20 в. В дальнейшем важные работы по теории С. с. п. были выполнены А. Я. Хинчиным, А. Н. Колмогоровым, Г. Крамером, Н. Винером и др.

Лит.: Слуцкий Е. Е., Избр. тр., М., 1960; Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с, 42-51; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы), 2 изд., М., 1973; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971; Хеннан Э., Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974.

А. М. Яглом.

• - ф-ция непрерывного времени,значение к-рой в каждый момент является случайной величиной, т....

  Физическая энциклопедия

• - комплекснозначная случайная функция действительного параметра t, допускающая представление в виде стохастического интеграла где - случайный процесс. Приращения в задают случайные "амплитуду" и "фазу"...

  Математическая энциклопедия

• - стохастический процесс, являющийся измеримым Х=Xt) относительно опциональнойs -алгебры= А. Н. Ширяев...

  Математическая энциклопедия

• - стохастический процесс, являющийся измеримым относительно предсказуемойs -алгебры А. Н. Ширяев...

  Математическая энциклопедия

• - однородный во времени случайный процесс,- случайный процесс X, статистич...

  Математическая энциклопедия

• - случайный процесс, вероятностные характеристики к-рого могут изменяться по ходу наблюдений в зависимости от поставленной цели, заключающейся в минимизации того или иного функционала, определяющего качество...

  Математическая энциклопедия

• - случайный процесс, вероятностные характеристики к-рого не меняются с течением времени...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - он же вероятностный, или стохастический, процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов...

  Начала современного Естествознания

• - функция 2-х аргументов X= X; - множество элементарных событий, - параметр, обычно интерпретируемый как время. Для каждого tX - функция только ω и представляет собой случайную величину. Для фиксированного ω...

  Геологическая энциклопедия

• - вероятностный, стохастический, - процесс, течение к-рого может быть различным в зависимости от случая и для к-рого существует вероятность того или иного течения...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - Смотри стационарный процесс...

  Энциклопедический словарь по металлургии

• - функция, которая при изменении параметра времени принимает случайное значение...

  Словарь бизнес терминов

• - процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером С. п. может служить Броуновское движение...
• - важный специальный класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники...

  Большая Советская энциклопедия

• - СЛУЧАЙНЫЙ процесс, процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения...
• - СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ процесс - случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени...

  Большой энциклопедический словарь

"Стационарный случайный процесс" в книгах

6. Случайный инструментарий

Из книги Эволюция: Триумф идеи автора Циммер Карл

6. Случайный инструментарий Изменение и ограничения в эволюции животныхИз всех различий между нами и нашими амебоподобными предками, жившими миллиард лет назад, самое главное состоит в том, что у нас есть тело. Мы состоим не из одной, а из триллионов клеток. И этот

Стационарный фонтан

Из книги Бассейны, пруды и фонтаны. Строительство, эксплуатация, ремонт автора Назарова Валентина Ивановна

Стационарный фонтан Стационарные фонтаны, как правило, более габаритные, чем плавающие, и при их устройстве больше внимания уделяется декоративному оформлению конструкции. Эти агрегаты требуют ровного дна и надежного основания для своего насоса. Если водоем

Выход на стационарный режим

Из книги Инерция страха. Социализм и тоталитаризм автора Турчин Валентин Фёдорович

Выход на стационарный режим Максим испытывал такое отчаяние, словно вдруг обнаружил, что его обитаемый остров населен на самом деле не людьми, а куклами... Перед ним была огромная машина, слишком простая, чтобы эволюционировать, и слишком огромная, чтобы можно было

Стационарный (настенноконсольный) кран

Из книги Большая энциклопедия техники автора Коллектив авторов

Стационарный (настенноконсольный) кран Стационарный (настенно-консольный) кран – устройство для подъема грузов. Может быть поворотным и неповоротным. Грузоподъемность настенно-консольного поворотного крана – около 3 т, вылет стрелы – 3-6 м. Грузоподъемность

1.7. Инфракрасный электронный стационарный детектор движения Swan Quad

Из книги автора

1.7. Инфракрасный электронный стационарный детектор движения Swan Quad Сенсорный, с защитой от срабатывания сигнализации на животных, с 4-импульсным пироэлектрическим оповещением и возможностью включения освещения внутри и вне дома, в комплекте без установочного кронштейна. БСЭ

81. Стационарный процесс. Стационарный временной ряд. Белый шум

Из книги Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике автора Яковлева Ангелина Витальевна

81. Стационарный процесс. Стационарный временной ряд. Белый шум Временной ряд называется детерминированным, если значения уровней временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, являющейся реализацией исследуемого процесса.Временной ряд

Стационарный компьютер

Из книги Компьютер для тех, кому за… автора Грибова Оксана

Стационарный компьютер Это старый, верный и надежный друг. За ним комфортно работается. К тому же, время от времени можно проводить его апгрейд.На стационарном компьютере может быть большой монитор и здесь очень удобно работать с графикой.Правда, есть у стационарного

Мобильный и стационарный компьютеры. В чем разница?

Из книги 33 лучшие программы для ноутбука [Популярный самоучитель] автора Пташинский Владимир

Мобильный и стационарный компьютеры. В чем разница? Мы уже выяснили, что разница в цене мобильного и стационарного компьютеров весьма сомнительна. Конечно, топовые модели ноутбуков, а также сверхлегкие мобильные компьютеры значительно превосходят по цене настольные

Стационарный

Из книги 36 и 6 правил здоровых зубов автора Сударикова Нина Александровна

Стационарный Его еще часто называют семейным ирригатором. Работает от бытовой электоросети с напряжением 220 вольт. Каждый такой ирригатор выпускается с различным количеством насадок. Лучше покупать ирригатор с насадками для каждого члена семьи. Насадки, как и зубные

Помощь завода флоту. Стационарный электромагнитный трал Сооружение электроподстанции

Из книги Размагничивание кораблей Черноморского флота в годы Великой Отечественной войны автора Панченко Виктор Дмитриевич

Помощь завода флоту. Стационарный электромагнитный трал Сооружение электроподстанции В первые дни июля я ознакомился с проделанной работой по размагничиванию кораблей. Мне хотелось заниматься этим с учеными из ЛФТИ и со специалистами из НТК ВМФ. С некоторыми из них я

Определение [ | ]

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T {\displaystyle X_{t}(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\quad t\in T} ,

где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .

Терминология [ | ]

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация [ | ]

• Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями , если для любого набора t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , где n > 2 {\displaystyle n>2} , а t 1 < t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1}, случайные величины (X t 2 − X t 1) {\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})} , (X t 3 − X t 2) {\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})} , … {\displaystyle \ldots } , (X t n − X t n − 1) {\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .

Траектория случайного процесса [ | ]

Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} | ]

Стационарным случайным процессом называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени, т. е. при сохранении постоянной разности.

Можно сказать, что стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным стационарным или установившимся процессам в автоматических системах. Например, при рассмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится, если перенести начало отсчета на какую-нибудь величину. При этом сохранят свои значения такие характеристики, как частота, амплитуда, среднеквадратичное значение и т. п.

В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т. е. плотность вероятности не зависит от времени:

Отсюда получаем вдоль всего случайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая (см. рис. 11.12), будет прямая (рис. 11.13), подобно постоянному смещению средней линии обычных периодических

колебаний. Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе, определяемое также будет все время одинаковым, подобно постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от средней линии.

Аналогичным образом и двумерная плотность вероятности также будет «дна и та же для одного и того же промежутка времени - между любыми (рис. 11.13), т. е.

и также для -мерной плотности вероятности.

Задание всех этих функций распределения плотности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненными и характеристиками процесса.

Прежде чем перейти к ним, отметим два важных для практики свойства.

1. Ограничиваясь только стационарными случайными процессами, можно будет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки автоматических систем при случайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее при рассмотрении регулярных воздействий, когда определялись динамические свойства систем регулирования по величине динамических ошибок в установившемся периодическом режиме.

2. Стационарные случайные процессы обладают замечательным свойством, которое известно под названием эргодической гипотезы.

Для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е. практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности

В самом деле, поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются (например, то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее но времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).

Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодической теореме.

Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного процесса будет

Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков - дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.

Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями. Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса.