Цели урока:

• научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
• воспитывать умение работать в парах;
• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
• помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения (сформулировать теорему)?

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а 0 х n + а 1 х n-1 + …+ а n-1 х+ а n . Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Частное g(х)=в 0 х n-1 + в n х n-2 +…+в n-2 х + в n-1 , где в 0 =а 0 , в n =св n-1 +а n , n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= св n-1 +а n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в 0 , в 1 , в 2 ,… нижней строки являются коэффициентами частного.

Например: Разделить многочлен Р(х)= х 3 -2х+3 на х-2.

Получаем, что х 3 -2х+3=(х-2) (х 2 +2х+2) + 7.

4. Закрепление изученного материала

Пример 1: Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен Р(х)=2х4-7х 3 -3х 2 +5х-1.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена -1: 1; -1. Составим таблицу:

X = -1 – корень

Р(х)= (х+1) (2х 3 -9х 2 +6х -1)

Проверим 1/2.

Следовательно, многочлен Р(х) можно представить в виде

Р(х)= (х+1) (х-1/2) (х 2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х 2 - 4х +1)

Пример 2: Решить уравнение 2х 4 - 5х 3 + 5х 2 - 2 = 0

Так как сумма коэффициентов многочлена, записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

Получаем Р(х)=(х-1) (2х 3 -3х 2 =2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2.

Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2.

Ответ: 1; -1/2.

Пример 3: Решить уравнение 5х 4 – 3х 3 – 4х 2 -3х+ 5 = 0.

Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 - корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х 2 -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х 2 -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.

Карточка 1

1. Разложите на множители многочлен: х 4 +3х 3 -5х 2 -6х-8
2. Решите уравнение: 27х 3 -15х 2 +5х-1=0

Карточка 2

1. Разложите на множители многочлен: х 4 -х 3 -7х 2 +13х-6
2. Решите уравнение: х 4 +2х 3 -13х 2 -38х-24=0

Карточка 3

1. Разложите на множители: 2х 3 -21х 2 +37х+24
2. Решите уравнение: х 3 -2х 2 +4х-8=0

Карточка 4

1. Разложите на множители: 5х 3 -46х 2 +79х-14
2. Решите уравнение: х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0

5. Подведение итогов

Проверка знаний при решении в парах осуществляется на уроке путем узнавания способа действия и названия ответа.

Домашнее задание:

Решите уравнения:

а) х 4 -3х 3 +4х 2 -3х+1=0

б) 5х 4 -36х 3 +62х 2 -36х+5=0

в) х 4 +х 3 +х+1=4х 2

г) х 4 +2х 3 -х-2=0

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа 10 класс (углубленное изучение математики): Просвещение, 2005.
2. У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Системы счисления и их применение.

Слайд 3

Горнер Вильямc Джордж (1786-22.9.1837)-английский математик. Родился в Бристоле. Учился и работал там же, затем в школах Бата. Основные труды по алгебре. В 1819г. опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини-Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII в.) Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен х-а.

Слайд 4

СХЕМА ГОРНЕРА

Способ деления многочлена n-й степени на линейный двучленх - а, основанный на том, что коэффициенты неполного частного и остатокr связаны с коэффициентами делимого многочлена и с а формулами:

Слайд 5

Вычисления по схеме Горнера располагают в таблицу:

Пример 1. Разделить Неполное частное равно х3-х2+3х - 13 и остаток равен 42=f(-3).

Слайд 6

Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.

Слайд 7

Пример2.

Докажем, что многочлен Р(х)=х4-6х3+7х-392 делится на х-7,и найдем частное от деления. Решение. Используя схему Горнера, найдем Р(7): Отсюда получаем Р(7)=0, т.е. остаток при делении многочлена на х-7 равен нулю и, значит, многочлен Р(х) кратен (х-7).При этом числа во второй строке таблицы являются коэффициентами частного от деления Р(х) на (х-7), поэтому Р(х)=(х-7)(х3+х2+7х+56).

Слайд 8

Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), где Q(x) − многочлен второй степени

Слайд 9

Полученные числа 1, −3, −8 являются коэффициентами многочлена, который получается при делении исходного многочлена на x – 2. Значит, результат деления: 1 · x2 + (–3)x + (–8) = x2 – 3x – 8. Степень многочлена, полученного в результате деления, всегда на 1 меньше, чем степень исходного. Итак: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Схема Горнера - способ деления многочлена

$$P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$$

на бином $x-a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число $a$, взятое из бинома $x-a$:

После деления многочлена n-ой степени на бином $x-a$, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n-1$. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.

Пример №1

Разделить $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, используя схему Горнера.

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, расположенные по убыванию степеней переменной $x$. Заметьте, что данный многочлен не содержит $x$ в первой степени, т.е. коэффициент перед $x$ в первой степени равен 0. Так как мы делим на $x-1$, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число $5$, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: $1\cdot 5+5=10$:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: $1\cdot 10+1=11$:

Для пятой ячейки получим: $1\cdot 11+0=11$:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естественно, что так как степень исходного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ равнялась четырём, то степень полученного многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю, то единица является корнем многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$.

Пример №2

Разделить многочлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ по схеме Горнера.

Сразу оговорим, что выражение $x+3$ нужно представить в форме $x-(-3)$. В схеме Горнера будет учавствовать именно $-3$. Так как степень исходного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:

Полученный результат означает, что

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4$$

В этой ситуации остаток от деления $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ равна $4$. Или, что то самое, значение многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ равно $4$. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой $x=-3$ в заданный многочлен:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель - найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, - до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.

Пример №3

Найти все целочисленные корни многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, используя схему Горнера.

Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед $x^6$) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ и $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Проверим, к примеру, число $1$:

Как видите, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=1$ равно $192$ (последнее число в второй строке), а не $0$, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение $x=-1$. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение $1$, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.

Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.

Итак, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=-1$ равно нулю, т.е. число $-1$ есть корень этого многочлена. После деления многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бином $x-(-1)=x+1$ получим многочлен $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:

\begin{equation}x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45) \end{equation}

Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, - числа $45$. Попробуем ещё раз проверить число $-1$. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:

Итак, число $-1$ является корнем многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Этот результат можно записать так:

\begin{equation}x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end{equation}

Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:

\begin{equation}\begin{aligned} & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^4-22x^2+24x+45)\end{aligned}\end{equation}

Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^4-22x^2+24x+45$, - естественно, среди делителей его свободного члена (числа $45$). Проверим еще раз число $-1$:

Число $-1$ является корнем многочлена $x^4-22x^2+24x+45$. Этот результат можно записать так:

\begin{equation}x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end{equation}

С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:

\begin{equation}\begin{aligned} & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3+24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^2-21x+45)\end{aligned}\end{equation}

Теперь ищем корни многочлена $x^3-x^2-21x+45$. Проверим еще раз число $-1$:

Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число $3$:

В остатке ноль, посему число $3$ - корень рассматриваемого многочлена. Итак, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Теперь равенство (5) можно переписать так.

С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены , то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) - алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов \(f(x) \) и \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), существуют единственные полиномы \(q(x) \) и \(r(x) \), такие что
\(\frac{f(x)}{g(x)} = q(x)+\frac{r(x)}{g(x)} \)
причем \(r(x) \) имеет более низкую степень, чем \(g(x) \).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного \(q(x) \) и остатка \(r(x) \) для заданных делимого \(f(x) \) и ненулевого делителя \(g(x) \)

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
\(\large \frac{x^3-12x^2-42}{x-3} \)

Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой \((x^3/x = x^2) \)

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) \)

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5. Повторяем шаг 4.

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен \(q(x)=x^2-9x-27 \) - частное деления многочленов, а \(r(x)=-123 \) - остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
или
\(\large{\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}} = x^2-9x-27 + \large{\frac{-123}{x-3}} \)