DARI n tidak diketahui adalah sistem dengan bentuk:

di mana aij dan b i (i=1,…,m; b=1,…,n) adalah beberapa bilangan yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- nomor tidak dikenal. Dalam notasi koefisien aij indeks saya menentukan jumlah persamaan, dan yang kedua j adalah jumlah yang tidak diketahui di mana koefisien ini berada.

Sistem homogen - ketika semua anggota bebas dari sistem sama dengan nol ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), keadaan sebaliknya adalah sistem heterogen.

Sistem persegi - kapan nomornya m persamaan sama dengan bilangan n tidak dikenal.

Solusi sistem- mengatur n angka c 1 , c 2 , …, c n , sehingga substitusi dari semua c saya dari pada x saya menjadi sistem mengubah semua persamaannya menjadi identitas.

Sistem bersama - ketika sistem memiliki setidaknya satu solusi, dan sistem yang tidak kompatibel ketika sistem tidak memiliki solusi.

Sistem gabungan semacam ini (seperti yang diberikan di atas, biarlah (1)) dapat memiliki satu atau lebih solusi.

Solusi c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) dan c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) sistem sambungan tipe (1) akan berbagai, ketika bahkan 1 dari persamaan tidak terpenuhi:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Sistem gabungan tipe (1) akan yakin ketika hanya memiliki satu solusi; ketika suatu sistem memiliki setidaknya 2 solusi yang berbeda, itu menjadi kurang ditentukan. Ketika ada lebih banyak persamaan daripada yang tidak diketahui, sistemnya adalah didefinisikan ulang.

Koefisien untuk yang tidak diketahui ditulis sebagai matriks:

Itu disebut matriks sistem.

Angka-angka yang berada di ruas kanan persamaan, b 1 ,…,b m adalah anggota gratis.

Agregat n angka c 1 ,…,c n adalah solusi untuk sistem ini ketika semua persamaan sistem berubah menjadi persamaan setelah mengganti angka di dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih yang tidak diketahui yang sesuai x 1 ,…,x n.

Saat memecahkan sistem persamaan linier, 3 opsi mungkin muncul:

1. Sistem hanya memiliki satu solusi.

2. Sistem memiliki jumlah solusi yang tak terhingga. Sebagai contoh, . Solusi dari sistem ini adalah semua pasangan bilangan yang berbeda tandanya.

3. Sistem tidak memiliki solusi. Sebagai contoh, , jika ada solusi, maka x1 + x2 akan menjadi 0 dan 1 secara bersamaan.

Metode untuk memecahkan sistem persamaan linier.

Metode Langsung berikan algoritma yang dengannya solusi eksak ditemukan SLAU(sistem persamaan aljabar linier). Dan jika akurasinya mutlak, mereka akan menemukannya. Komputer listrik nyata, tentu saja, bekerja dengan kesalahan, jadi solusinya adalah perkiraan.

Secara umum, persamaan linear memiliki bentuk:

Persamaan memiliki solusi: jika setidaknya salah satu koefisien dalam yang tidak diketahui berbeda dari nol. Dalam hal ini, vektor berdimensi apa pun disebut solusi persamaan jika, ketika koordinatnya disubstitusi, persamaan menjadi identitas.

Karakteristik umum dari sistem persamaan yang diizinkan

Contoh 20.1

Jelaskan sistem persamaan.

Larutan:

1. Apakah ada persamaan yang tidak konsisten?(Jika koefisien, dalam hal ini persamaan memiliki bentuk: dan disebut kontroversial.)

• Jika suatu sistem berisi yang tidak konsisten, maka sistem tersebut tidak konsisten dan tidak memiliki solusi.

2. Temukan semua variabel yang diizinkan. (Yang tidak diketahui disebutdiizinkan untuk sistem persamaan, jika memasuki salah satu persamaan sistem dengan koefisien +1, dan tidak memasuki sisa persamaan (yaitu, masuk dengan koefisien sama dengan nol).

3. Apakah sistem persamaan diperbolehkan? (Sistem persamaan disebut diselesaikan, jika setiap persamaan sistem berisi yang tidak diketahui yang diselesaikan, di antaranya tidak ada yang bertepatan)

Yang tidak diketahui yang diizinkan, diambil satu per satu dari setiap persamaan sistem, bentuk set lengkap yang tidak diketahui yang diizinkan sistem. (dalam contoh kita adalah )

Yang tidak diketahui yang diizinkan termasuk dalam set lengkap juga disebut dasar(), dan tidak termasuk dalam set - Gratis ().

Dalam kasus umum, sistem persamaan yang diselesaikan memiliki bentuk:

Pada tahap ini, penting untuk memahami apa itu diselesaikan tidak diketahui(termasuk dalam dasar dan gratis).

Solusi Dasar Parsial Umum

Solusi umum dari sistem persamaan yang diizinkan adalah seperangkat ekspresi dari yang tidak diketahui yang diizinkan dalam istilah bebas dan tidak diketahui bebas:

Keputusan pribadi disebut solusi yang diperoleh dari umum untuk nilai spesifik dari variabel bebas dan tidak diketahui.

Solusi dasar adalah solusi khusus yang diperoleh dari solusi umum dengan nilai nol dari variabel bebas.

• Solusi dasar (vektor) disebut merosot, jika jumlah koordinat bukan nolnya kurang dari jumlah yang tidak diketahui yang diizinkan.
• Solusi dasar disebut tidak merosot, jika jumlah koordinat bukan nolnya sama dengan jumlah yang tidak diketahui yang diizinkan dari sistem yang termasuk dalam set lengkap.

Teorema (1)

Sistem persamaan yang diizinkan selalu konsisten(karena memiliki setidaknya satu solusi); Selain itu, jika sistem tidak memiliki bebas yang tidak diketahui,(yaitu, dalam sistem persamaan, semua yang diizinkan termasuk dalam basis) maka didefinisikan(memiliki solusi unik); jika ada setidaknya satu variabel bebas, maka sistem tidak terdefinisi(memiliki jumlah solusi yang tak terbatas).

Contoh 1. Temukan solusi umum, dasar, dan khusus untuk sistem persamaan:

Larutan:

1. Memeriksa apakah sistem diizinkan?

• Sistem diperbolehkan (karena masing-masing persamaan berisi yang tidak diketahui yang diizinkan)

2. Kami menyertakan yang tidak diketahui yang diizinkan dalam himpunan - satu dari setiap persamaan.

3. Kami menuliskan solusi umum, tergantung pada yang tidak diketahui yang diizinkan yang kami sertakan dalam set.

4. Kami menemukan solusi khusus. Untuk melakukan ini, kami menyamakan variabel bebas yang tidak kami sertakan dalam himpunan untuk menyamakan angka arbitrer.

Menjawab: keputusan pribadi(salah satu pilihan)

5. Menemukan solusi dasar. Untuk melakukan ini, kami menyamakan variabel bebas yang tidak kami sertakan dalam himpunan menjadi nol.

Transformasi dasar persamaan linear

Sistem persamaan linier direduksi menjadi sistem setara yang diizinkan dengan bantuan transformasi dasar.

Teorema (2)

Jika ada kalikan persamaan sistem dengan beberapa bilangan bukan nol, dan biarkan sisa persamaan tidak berubah, maka . (yaitu, jika Anda mengalikan sisi kiri dan kanan persamaan dengan angka yang sama, Anda mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan)

Teorema (3)

Jika sebuah tambahkan yang lain ke setiap persamaan sistem, dan biarkan semua persamaan lainnya tidak berubah, maka dapatkan sistem yang setara dengan yang diberikan. (yaitu, jika Anda menambahkan dua persamaan (menjumlahkan bagian kiri dan kanannya), Anda mendapatkan persamaan yang setara dengan datanya)

Akibat wajar dari Teorema (2 dan 3)

Jika sebuah tambahkan ke persamaan apa pun yang lain, dikalikan dengan angka tertentu, dan biarkan semua persamaan lainnya tidak berubah, maka kita mendapatkan sistem yang setara dengan yang diberikan.

Rumus untuk menghitung ulang koefisien sistem

Jika kita memiliki sistem persamaan dan ingin mengubahnya menjadi sistem persamaan yang diizinkan, metode Jordan-Gauss akan membantu kita dalam hal ini.

Transformasi Yordania dengan elemen menyelesaikan memungkinkan Anda untuk mendapatkan tidak diketahui diselesaikan untuk sistem persamaan dalam persamaan dengan nomor . (contoh 2).

Transformasi Jordan terdiri dari transformasi elementer dari dua jenis:

Katakanlah kita ingin membuat yang tidak diketahui dalam persamaan yang lebih rendah menjadi tidak diketahui yang diselesaikan. Untuk melakukan ini, kita harus membagi sehingga jumlahnya .

Contoh 2 Hitung ulang koefisien sistem

Saat membagi persamaan dengan angka dengan , koefisiennya dihitung ulang sesuai dengan rumus:

Untuk mengecualikan dari persamaan dengan angka , Anda perlu mengalikan persamaan dengan angka dengan dan menambahkan ke persamaan ini.

Teorema (4) Tentang pengurangan jumlah sistem persamaan.

Jika sistem persamaan berisi persamaan trivial, maka persamaan tersebut dapat dikeluarkan dari sistem, dan akan diperoleh sistem yang ekuivalen dengan yang asli.

Teorema (5) Tentang ketidakcocokan sistem persamaan.

Jika suatu sistem persamaan mengandung persamaan yang tidak konsisten, maka sistem tersebut tidak konsisten.

Algoritma metode Jordan-Gauss

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metode Jordan-Gauss terdiri dari sejumlah langkah dengan tipe yang sama, yang masing-masing melakukan tindakan dalam urutan berikut:

1. Memeriksa apakah sistem tidak konsisten. Jika suatu sistem mengandung persamaan yang tidak konsisten, maka sistem tersebut tidak konsisten.
2. Kemungkinan mengurangi jumlah persamaan diperiksa. Jika sistem berisi persamaan sepele, itu dicoret.
3. Jika sistem persamaan diperbolehkan, maka tuliskan solusi umum sistem dan, jika perlu, solusi khusus.
4. Jika sistem tidak diizinkan, maka dalam persamaan yang tidak mengandung yang tidak diketahui yang diizinkan, elemen penyelesaian dipilih dan transformasi Jordan dilakukan dengan elemen ini.
5. Kemudian kembali ke poin 1.

Contoh 3 Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Jordan-Gauss.

Menemukan: dua solusi umum dan dua solusi dasar yang sesuai

Larutan:

Perhitungannya ditunjukkan pada tabel berikut ini:

Tindakan pada persamaan ditampilkan di sebelah kanan tabel. Panah menunjukkan ke persamaan mana persamaan dengan elemen penyelesaian dikalikan dengan faktor yang cocok ditambahkan.

Tiga baris pertama dari tabel berisi koefisien yang tidak diketahui dan bagian kanan dari sistem asli. Hasil transformasi Jordan pertama dengan resolusi sama dengan satu diberikan pada baris 4, 5, 6. Hasil transformasi Jordan kedua dengan resolusi sama dengan (-1) diberikan pada baris 7, 8, 9. Sejak persamaan ketiga sepele, tidak bisa diperhitungkan.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier adalah salah satu masalah utama aljabar linier. Masalah ini sangat penting secara praktis dalam memecahkan masalah ilmiah dan teknis, di samping itu, ini membantu dalam penerapan banyak algoritma matematika komputasi, fisika matematika, pemrosesan hasil studi eksperimental.

Sistem persamaan aljabar linier disebut sistem persamaan yang berbentuk: (1)

di mana – tidak dikenal; - anggota gratis.

Memecahkan sistem persamaan(1) sebutkan setiap set angka yang, ditempatkan dalam sistem (1) di tempat yang tidak diketahui mengubah semua persamaan sistem menjadi persamaan numerik sebenarnya.

Sistem persamaan tersebut disebut persendian jika memiliki setidaknya satu solusi, dan tidak cocok jika tidak memiliki solusi.

Sistem gabungan persamaan disebut yakin jika memiliki satu solusi tunggal, dan tidak pasti jika memiliki setidaknya dua solusi yang berbeda.

Kedua sistem persamaan tersebut disebut setara atau setara jika mereka memiliki himpunan solusi yang sama.

Sistem (1) disebut homogen jika suku bebas sama dengan nol:

Sistem homogen selalu konsisten - ia memiliki solusi (mungkin bukan satu-satunya).

Jika dalam sistem (1) , maka kita memiliki sistem n persamaan linier dengan n tidak diketahui: dimana – tidak dikenal; adalah koefisien untuk yang tidak diketahui, - anggota gratis.

Sistem linier dapat memiliki solusi tunggal, banyak solusi, atau tidak sama sekali.

Pertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui

Jika kemudian sistem memiliki solusi unik;

jika sistem tidak memiliki solusi;

jika maka sistem memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Contoh. Sistem memiliki solusi unik untuk sepasang angka

Sistem memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas. Misalnya, solusi dari sistem ini adalah pasangan angka, dan seterusnya.

Sistem tidak memiliki solusi, karena perbedaan dua angka tidak dapat mengambil dua nilai yang berbeda.

Definisi. Penentu orde kedua disebut ekspresi seperti:

Tentukan determinan dengan simbol D.

Nomor sebuah 11, …, sebuah 22 disebut elemen determinan.

Diagonal yang dibentuk oleh elemen sebuah 11 ; sebuah 22 panggilan utama, diagonal yang dibentuk oleh elemen sebuah 12 ; sebuah 21 − samping.

Dengan demikian, determinan orde kedua sama dengan selisih antara hasil kali elemen-elemen diagonal utama dan sekunder.

Perhatikan bahwa jawabannya adalah angka.

Contoh. Mari kita hitung determinannya:

Pertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui: di mana X 1, X 2 – tidak dikenal; sebuah 11 , …, sebuah 22 - koefisien untuk yang tidak diketahui, b 1 ,b 2 - anggota gratis.

Jika sistem dua persamaan dalam dua yang tidak diketahui memiliki solusi unik, maka dapat ditemukan menggunakan determinan orde kedua.

Definisi. Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut kualifikasi sistem: D =.

Kolom determinan D masing-masing adalah koefisien untuk X 1 dan pada , X 2. Mari kita perkenalkan dua penentu tambahan, yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti salah satu kolom dengan kolom anggota bebas: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Cramer, untuk kasus n=2). Jika determinan D sistem berbeda dari nol (D¹0), maka sistem tersebut memiliki solusi unik, yang ditemukan dengan rumus:

Rumus ini disebut rumus Cramer.

Contoh. Kami memecahkan sistem sesuai dengan aturan Cramer:

Larutan. Ayo temukan angkanya

Menjawab.

Definisi. Penentu orde ketiga disebut ekspresi seperti:

Elemen sebuah 11; sebuah 22 ; sebuah 33 - membentuk diagonal utama.

Nomor sebuah 13; sebuah 22 ; sebuah 31 - membentuk diagonal samping.

Entri dengan plus meliputi: produk dari elemen pada diagonal utama, dua suku sisanya adalah produk dari elemen yang terletak di simpul segitiga dengan alas sejajar dengan diagonal utama. Istilah dengan bentuk minus dengan cara yang sama terhadap diagonal sekunder.

Contoh. Mari kita hitung determinannya:

Pertimbangkan sistem tiga persamaan linier dengan tiga tidak diketahui: di mana – tidak dikenal; adalah koefisien untuk yang tidak diketahui, - anggota gratis.

Dalam kasus solusi unik, sistem 3 persamaan linier dengan tiga yang tidak diketahui dapat diselesaikan menggunakan determinan orde ke-3.

Determinan sistem D berbentuk:

Kami memperkenalkan tiga penentu tambahan:

Teorema 15(Cramer, untuk kasus n=3). Jika determinan D dari sistem adalah bukan nol, maka sistem tersebut memiliki solusi unik, yang ditemukan dengan menggunakan rumus Cramer:

Contoh. Mari kita selesaikan sistem menggunakan aturan Cramer.

Larutan. Ayo temukan angkanya

Mari gunakan rumus Cramer dan temukan solusi untuk sistem aslinya:

Menjawab.

Perhatikan bahwa teorema Cramer berlaku ketika jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui dan ketika determinan sistem D berbeda dari nol.

Jika determinan sistem sama dengan nol, maka dalam kasus ini sistem mungkin tidak memiliki solusi atau memiliki jumlah solusi tak terhingga. Kasus-kasus ini sedang dipelajari secara terpisah.

Kami mencatat hanya satu kasus. Jika determinan sistem sama dengan nol (D=0), dan paling sedikit satu determinan tambahan berbeda dengan nol, maka sistem tidak memiliki solusi, yaitu tidak konsisten.

Teorema Cramer dapat digeneralisasikan ke sistem n persamaan linier dengan n tidak diketahui: dimana – tidak dikenal; adalah koefisien untuk yang tidak diketahui, - anggota gratis.

Jika determinan suatu sistem persamaan linier dengan yang tidak diketahui, maka satu-satunya solusi untuk sistem tersebut ditemukan dengan menggunakan rumus Cramer:

Determinan tambahan diperoleh dari determinan D jika mengandung kolom koefisien untuk yang tidak diketahui x saya ganti dengan kolom free member.

Perhatikan bahwa determinan D, D 1 , … , D n memiliki pesanan n.

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Salah satu metode yang paling umum untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier adalah metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui. Metode Gauss. Metode ini merupakan generalisasi dari metode substitusi dan terdiri dari eliminasi berturut-turut yang tidak diketahui sampai satu persamaan dengan satu yang tidak diketahui tetap.

Metode ini didasarkan pada beberapa transformasi sistem persamaan linier, sehingga diperoleh sistem yang setara dengan sistem aslinya. Algoritma metode ini terdiri dari dua tahap.

Tahap pertama disebut dalam garis lurus metode Gauss. Ini terdiri dari penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui dari persamaan. Untuk melakukan ini, pada langkah pertama, persamaan pertama sistem dibagi dengan (jika tidak, persamaan sistem diubah). Koefisien dari persamaan tereduksi yang dihasilkan dilambangkan, dikalikan dengan koefisien dan dikurangkan dari persamaan kedua dari sistem, sehingga tidak termasuk dari persamaan kedua (nol koefisien ).

Sisa persamaan diperlakukan sama dan sistem baru diperoleh, di semua persamaan yang, mulai dari yang kedua, koefisien hanya berisi nol. Jelas, sistem baru yang dihasilkan akan setara dengan sistem asli.

Jika koefisien baru, di , tidak semuanya sama dengan nol, kita dapat menghilangkannya dari persamaan ketiga dan selanjutnya dengan cara yang sama. Melanjutkan operasi ini untuk yang tidak diketahui berikut, sistem dibawa ke apa yang disebut bentuk segitiga:

Di sini, simbol dan menunjukkan koefisien numerik dan istilah bebas yang telah berubah sebagai akibat dari transformasi.

Dari persamaan terakhir sistem, ditentukan , dan kemudian dengan substitusi berturut-turut, sisa yang tidak diketahui.

Komentar. Kadang-kadang, sebagai hasil dari transformasi, dalam salah satu persamaan, semua koefisien dan ruas kanan menjadi nol, yaitu, persamaan berubah menjadi identitas 0=0. Dengan mengeluarkan persamaan seperti itu dari sistem, jumlah persamaan berkurang dibandingkan dengan jumlah yang tidak diketahui. Sistem seperti itu tidak dapat memiliki solusi yang unik.

Jika, dalam proses penerapan metode Gaussian, setiap persamaan berubah menjadi persamaan bentuk 0=1 (koefisien untuk yang tidak diketahui berubah menjadi 0, dan ruas kanan mengambil nilai bukan nol), maka sistem asli tidak memiliki solusi, karena kesetaraan seperti itu tidak benar untuk nilai apa pun yang tidak diketahui.

Pertimbangkan sistem tiga persamaan linier dengan tiga yang tidak diketahui:

di mana – tidak dikenal; adalah koefisien untuk yang tidak diketahui, - anggota gratis. , menggantikan yang ditemukan

Larutan. Menerapkan metode Gaussian ke sistem ini, kami memperoleh

Dari mana Persamaan terakhir salah untuk nilai apa pun yang tidak diketahui, oleh karena itu, sistem tidak memiliki solusi.

Menjawab. Sistem tidak memiliki solusi.

Perhatikan bahwa metode Cramer yang dipertimbangkan sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, dan determinan sistem harus berbeda dari nol. Metode Gaussian lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan.

Sistem persamaan linear m dengan n tidak diketahui disebut sistem bentuk

di mana aij dan b saya (saya=1,…,m; b=1,…,n) adalah beberapa bilangan yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- tidak dikenal. Dalam notasi koefisien aij indeks pertama saya menunjukkan jumlah persamaan, dan yang kedua j adalah jumlah yang tidak diketahui di mana koefisien ini berdiri.

Koefisien untuk yang tidak diketahui akan ditulis dalam bentuk matriks , yang akan kita sebut matriks sistem.

Angka-angka di sisi kanan persamaan b 1 ,…,b m ditelepon anggota gratis.

Agregat n angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan dari sistem ini, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah memasukkan angka ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih yang tidak diketahui yang sesuai x 1 ,…,x n.

Tugas kita adalah menemukan solusi untuk sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin muncul:

Sistem persamaan linear yang memiliki paling sedikit satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, yaitu jika sistem tidak memiliki solusi, maka itu disebut tidak cocok.

Pertimbangkan cara untuk menemukan solusi untuk sistem.

METODE MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Matriks memungkinkan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:

Perhatikan matriks sistem dan kolom matriks dari anggota yang tidak diketahui dan anggota bebas

Ayo temukan produknya

itu. sebagai hasil dari produk, kami memperoleh sisi kiri dari persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai

atau lebih pendek SEBUAH∙X=B.

Di sini matriks SEBUAH dan B diketahui, dan matriks X tidak dikenal. Dia perlu ditemukan, karena. elemen-elemennya adalah solusi dari sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | SEBUAH| 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, invers matriks SEBUAH: . Karena A -1 A = E dan E∙X=X, maka kita memperoleh solusi dari persamaan matriks dalam bentuk X = A -1 B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, notasi matriks sistem juga dimungkinkan dalam kasus ketika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka matriks SEBUAH tidak persegi dan oleh karena itu tidak mungkin untuk menemukan solusi untuk sistem dalam bentuk X = A -1 B.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan.

ATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga tidak diketahui:

Determinan orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien yang tidak diketahui,

ditelepon penentu sistem.

Kami menyusun tiga determinan lagi sebagai berikut: kami mengganti berturut-turut 1, 2 dan 3 kolom dalam determinan D dengan kolom istilah bebas

Kemudian kita dapat membuktikan hasil berikut.

Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem adalah 0, maka sistem yang ditinjau memiliki satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar A 11 elemen 11, persamaan ke-2 - pada A21 dan ke-3 - pada 31:

Mari kita tambahkan persamaan ini:

Pertimbangkan masing-masing tanda kurung dan sisi kanan persamaan ini. Dengan teorema tentang perluasan determinan dalam hal elemen-elemen kolom ke-1

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk melihatnya

Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan: .

Akibatnya, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, dari mana penegasan teorema berikut.

Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut memiliki himpunan solusi tak hingga atau tidak memiliki solusi, mis. tidak kompatibel.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan

METODE GAUSS

Metode yang dipertimbangkan sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, dan determinan sistem harus berbeda dari nol. Metode Gaussian lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui dari persamaan sistem.

Pertimbangkan lagi sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

.

Kami membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami mengecualikan suku-suku yang mengandung x 1. Untuk melakukan ini, kita membagi persamaan kedua dengan sebuah 21 dan kalikan dengan - sebuah 11 lalu dijumlahkan dengan persamaan pertama. Demikian pula, kami membagi persamaan ketiga menjadi sebuah 31 dan kalikan dengan - sebuah 11 dan kemudian tambahkan ke yang pertama. Akibatnya, sistem asli akan berbentuk:

Sekarang, dari persamaan terakhir, kami menghilangkan istilah yang mengandung x 2. Untuk melakukannya, bagi persamaan ketiga dengan , kalikan dengan dan tambahkan ke persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan:

Oleh karena itu dari persamaan terakhir mudah untuk menemukan x 3, maka dari persamaan ke-2 x 2 dan akhirnya dari tanggal 1 - x 1.

Saat menggunakan metode Gaussian, persamaan dapat dipertukarkan jika perlu.

Seringkali, alih-alih menulis sistem persamaan baru, mereka membatasi diri untuk menulis matriks yang diperluas dari sistem:

dan kemudian membawanya ke bentuk segitiga atau diagonal menggunakan transformasi dasar.

Ke transformasi dasar matriks termasuk transformasi berikut:

1. permutasi baris atau kolom;
2. mengalikan string dengan angka bukan nol;
3. menambahkan ke satu baris baris lainnya.

Contoh: Memecahkan sistem persamaan dengan metode Gauss.

Dengan demikian, sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Tuliskan sistem persamaan aljabar linier dalam bentuk umum

Apa itu solusi SLAE?

Penyelesaian suatu sistem persamaan adalah himpunan n bilangan,

Ketika mana disubstitusikan ke dalam sistem, setiap persamaan menjadi identitas.

Sistem apa yang disebut joint (non-joint)?

Suatu sistem persamaan disebut konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi.

Suatu sistem disebut tidak konsisten jika tidak memiliki solusi.

Sistem apa yang disebut pasti (indefinite)?

Suatu sistem gabungan disebut pasti jika memiliki solusi yang unik.

Suatu sistem gabungan disebut tak tentu jika memiliki lebih dari satu solusi.

Bentuk matriks penulisan sistem persamaan

Peringkat sistem vektor

Rank suatu sistem vektor adalah jumlah maksimum vektor bebas linier.

Peringkat matriks dan cara menemukannya

Peringkat matriks- urutan tertinggi dari minor dari matriks ini, yang determinannya berbeda dari nol.

Metode pertama - metode edging - adalah sebagai berikut:

Jika semua anak di bawah umur adalah orde 1, mis. elemen matriks sama dengan nol, maka r=0 .

Jika paling sedikit salah satu minor orde 1 tidak sama dengan nol, dan semua minor orde 2 sama dengan nol, maka r=1.

Jika minor orde ke-2 bukan nol, maka kita menyelidiki minor orde ke-3. Dengan cara ini, minor orde ke-k ditemukan dan diperiksa apakah minor orde ke-k+1 tidak sama dengan nol.

Jika semua k+1 orde minor sama dengan nol, maka rank matriks sama dengan bilangan k. Minor seperti itu dari orde k+1 biasanya ditemukan dengan "merayap" minor orde ke-k.

Metode kedua untuk menentukan pangkat suatu matriks adalah dengan menerapkan transformasi dasar dari matriks ketika dinaikkan ke bentuk diagonal. Pangkat matriks semacam itu sama dengan jumlah elemen diagonal bukan nol.

Solusi umum dari sistem persamaan linier yang tidak homogen, sifat-sifatnya.

Properti 1. Jumlah dari setiap solusi untuk sistem persamaan linier dan setiap solusi untuk sistem homogen yang sesuai adalah solusi untuk sistem persamaan linier.

Properti 2. Selisih dua solusi dari sistem persamaan linear tak homogen adalah solusi dari sistem homogen yang bersesuaian.

Metode Gauss untuk menyelesaikan SLAE

Selanjutnya:

1) matriks diperluas dari sistem persamaan dikompilasi

2) dengan bantuan transformasi dasar, matriks direduksi menjadi bentuk langkah

3) peringkat matriks yang diperluas dari sistem dan peringkat matriks sistem ditentukan dan pakta kompatibilitas atau ketidakcocokan sistem dibuat

4) dalam hal kompatibilitas, sistem persamaan yang setara ditulis

5) solusi dari sistem ditemukan. Variabel utama dinyatakan dalam bentuk bebas

Teorema Kronecker-Capelli

Kronecker - teorema Capelli- kriteria kompatibilitas sistem persamaan aljabar linier:

Suatu sistem persamaan aljabar linier konsisten jika dan hanya jika pangkat dari matriks utamanya sama dengan pangkat dari matriks yang diperluas, dan sistem tersebut memiliki solusi unik jika pangkatnya sama dengan jumlah yang tidak diketahui, dan jumlah tak terbatas solusi jika peringkat kurang dari jumlah yang tidak diketahui.

Agar sistem linier kompatibel, perlu dan cukup bahwa peringkat matriks yang diperluas dari sistem ini sama dengan peringkat matriks utamanya.

Kapan sistem tidak memiliki solusi, kapan memiliki solusi tunggal, apakah memiliki banyak solusi?

Jika jumlah persamaan sistem sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan tersebut memiliki solusi unik, dan dalam kasus sistem homogen, semuanya tidak diketahui variabel sama dengan nol.

Sistem persamaan linear yang memiliki setidaknya satu solusi disebut kompatibel. Jika tidak, yaitu jika sistem tidak memiliki solusi, maka itu disebut tidak konsisten.