Fungsi daya, sifat dan grafiknya. Fungsi dan grafik Fungsi dengan eksponen pecahan

Ingat kembali properti dan grafik fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif.

Untuk n genap, :

Contoh fungsi:

Semua grafik dari fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;1). Ciri fungsi jenis ini adalah paritasnya, grafiknya simetris terhadap sumbu op-y.

Beras. 1. Grafik suatu fungsi

Untuk n ganjil, :

Contoh fungsi:

Semua grafik dari fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;-1). Ciri fungsi jenis ini adalah keanehannya, grafiknya simetris terhadap asalnya.

Beras. 2. Grafik Fungsi

Mari kita mengingat definisi utama.

Derajat bilangan tak negatif a dengan eksponen positif rasional disebut bilangan.

Derajat bilangan positif a dengan eksponen negatif rasional disebut bilangan.

Untuk persamaan berikut berlaku:

Misalnya: ; - ekspresi tidak ada menurut definisi derajat dengan eksponen rasional negatif; ada, karena eksponen adalah bilangan bulat,

Mari kita beralih ke pertimbangan fungsi pangkat dengan eksponen negatif rasional.

Misalnya:

Untuk memplot fungsi ini, Anda bisa membuat tabel. Kami akan melakukan sebaliknya: pertama, kami akan membuat dan mempelajari grafik penyebut - kami mengetahuinya (Gambar 3).

Beras. 3. Grafik fungsi

Grafik fungsi penyebut melewati titik tetap (1;1). Saat membuat grafik fungsi asli, titik ini tetap ada, ketika akarnya juga cenderung nol, fungsinya cenderung tak terhingga. Dan sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, fungsinya cenderung nol (Gambar 4).

Beras. 4. Grafik Fungsi

Pertimbangkan satu fungsi lagi dari keluarga fungsi yang diteliti.

Adalah penting bahwa menurut definisi

Pertimbangkan grafik fungsi dalam penyebut: , kita tahu grafik fungsi ini, ia meningkat dalam domain definisinya dan melewati titik (1; 1) (Gambar 5).

Beras. 5. Grafik Fungsi

Saat membuat grafik dari fungsi asli, titik (1; 1) tetap ada, ketika akarnya juga cenderung nol, fungsinya cenderung tak terhingga. Dan sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, fungsinya cenderung nol (Gambar 6).

Beras. 6. Grafik Fungsi

Contoh-contoh yang dipertimbangkan membantu untuk memahami bagaimana grafik berjalan dan apa sifat-sifat dari fungsi yang diteliti - fungsi dengan eksponen rasional negatif.

Grafik fungsi keluarga ini melewati titik (1;1), fungsi menurun di seluruh domain definisi.

Cakupan fungsi:

Fungsi tidak dibatasi dari atas, tetapi dibatasi dari bawah. Fungsi tidak memiliki nilai maksimum maupun minimum.

Fungsinya kontinu, dibutuhkan semua nilai positif dari nol hingga ditambah tak terhingga.

Fungsi Convex Down (Gambar 15.7)

Titik A dan B diambil pada kurva, segmen ditarik melaluinya, seluruh kurva berada di bawah segmen, kondisi ini dipenuhi untuk sembarang dua titik pada kurva, oleh karena itu fungsinya cembung ke bawah. Beras. 7.

Beras. 7. Kecembungan suatu fungsi

Penting untuk dipahami bahwa fungsi keluarga ini dibatasi dari bawah dengan nol, tetapi tidak memiliki nilai terkecil.

Contoh 1 - temukan fungsi maksimum dan minimum pada interval dan meningkat denganX dan menurun padaX sifat dari fungsi arcsin

[Sunting] Mendapatkan fungsi arcsin

Diberikan fungsi Sepanjang nya domain dia kebetulan sepotong-sepotong monoton, dan karenanya korespondensi terbalik bukan fungsi. Oleh karena itu, kami mempertimbangkan interval yang meningkat secara ketat dan mengambil semua nilai rentang- . Karena untuk suatu fungsi pada interval, setiap nilai argumen sesuai dengan satu nilai fungsi, maka pada segmen ini terdapat fungsi invers yang grafiknya simetris dengan grafik fungsi pada suatu ruas terhadap garis lurus

Pada domain fungsi pangkat y = x p, berlaku rumus berikut:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Sifat-sifat fungsi daya dan grafiknya

Fungsi pangkat dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Jika eksponen fungsi pangkat y = x p sama dengan nol, p = 0 , maka fungsi pangkat didefinisikan untuk semua x ≠ 0 dan konstan, sama dengan satu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen ganjil alami n = 1, 3, 5, ... . Indikator seperti itu juga dapat ditulis sebagai: n = 2k + 1, di mana k = 0, 1, 2, 3, ... adalah bilangan bulat non-negatif. Di bawah ini adalah properti dan grafik dari fungsi tersebut.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil natural untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, ... .
Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Breakpoint: x=0, y=0
x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
pada x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 1 , fungsinya terbalik dengan dirinya sendiri: x = y
untuk n ≠ 1, fungsi inversnya adalah akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen genap alami, p = n = 2, 4, 6, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan pangkat genap alami n = 2, 4, 6, ... . Indikator seperti itu juga dapat ditulis sebagai: n = 2k, di mana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli. Properti dan grafik dari fungsi tersebut diberikan di bawah ini.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap alami untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ... .
Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: 0 ≤ y< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
untuk x ≤ 0 menurun secara monoton
untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum, x=0, y=0
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 2, akar kuadrat:
untuk n ≠ 2, akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif bilangan bulat, p = n = -1, -2, -3, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif n = -1, -2, -3, ... . Jika kita menempatkan n = -k, di mana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ... .
Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen negatif ganjil n = -1, -3, -5, ... .

Domain: x ≠ 0
Beberapa nilai: y ≠ 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: berkurang secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0 : cembung ke bawah
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = -1,
untuk n< -2 ,

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen negatif genap n = -2, -4, -6, ... .

Domain: x ≠ 0
Beberapa nilai: y > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0 : menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda: y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = -2,
untuk n< -2 ,

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional (pecahan).

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (pecahan), di mana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi yang sama.

Penyebut indikator pecahan adalah ganjil

Biarkan penyebut eksponen pecahan ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p didefinisikan untuk nilai x positif dan negatif. Pertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat tersebut ketika eksponen p berada dalam batas tertentu.

p negatif, p< 0

Biarkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ... ) kurang dari nol: .

Grafik fungsi eksponensial dengan eksponen negatif rasional untuk berbagai nilai eksponen , di mana m = 3, 5, 7, ... ganjil.
Pembilang ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Berikut sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan pangkat negatif rasional , dimana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bilangan asli ganjil.

Domain: x ≠ 0
Beberapa nilai: y ≠ 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: berkurang secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0 : cembung ke bawah
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = -2, -4, -6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen negatif rasional, di mana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil .

Domain: x ≠ 0
Beberapa nilai: y > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0 : menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda: y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Nilai p positif, kurang dari satu, 0< p < 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Beberapa nilai: -∞ < y < +∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вниз
untuk x > 0 : cembung ke atas
Breakpoint: x=0, y=0
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 2, 4, 6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional , berada dalam 0 disajikan.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Beberapa nilai: 0 ≤ y< +∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно убывает
untuk x > 0 : meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum di x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke atas di x ≠ 0
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Tanda: untuk x ≠ 0, y > 0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = 1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Eksponen p lebih besar dari satu, p > 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (p > 1 ) untuk berbagai nilai eksponen , di mana m = 3, 5, 7, ... ganjil.
Pembilang ganjil, n = 5, 7, 9, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 5, 7, 9, ... adalah bilangan asli ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil.

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Breakpoint: x=0, y=0
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 4, 6, 8, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 4, 6, 8, ... adalah bilangan asli genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil.

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: 0 ≤ y< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 монотонно убывает
untuk x > 0 meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum di x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = 1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Penyebut indikator pecahan adalah genap

Biarkan penyebut eksponen pecahan menjadi genap: m = 2, 4, 6, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p tidak ditentukan untuk nilai negatif argumen. Propertinya bertepatan dengan fungsi pangkat dengan eksponen irasional (lihat bagian selanjutnya).

Fungsi pangkat dengan eksponen irasional

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen irasional p . Properti dari fungsi tersebut berbeda dari yang dipertimbangkan di atas karena tidak ditentukan untuk nilai negatif dari argumen x. Untuk nilai argumen positif, properti hanya bergantung pada nilai eksponen p dan tidak bergantung pada apakah p bilangan bulat, rasional, atau irasional.

y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.
Fungsi daya dengan p negatif< 0

Domain: x > 0
Beberapa nilai: y > 0
Nada datar: berkurang secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: TIDAK
Batas: ;
nilai pribadi: Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen positif p > 0

Indikatornya kurang dari satu 0< p < 1

Domain: x ≥ 0
Beberapa nilai: y ≥ 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke atas
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
Nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikatornya lebih besar dari satu p > 1

Domain: x ≥ 0
Beberapa nilai: y ≥ 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: TIDAK
Titik persimpangan dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
Nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.
Lihat juga: