Per una rappresentazione visiva della natura della deformazione delle barre (barre) durante la piegatura, viene eseguito il seguente esperimento. Una griglia di linee parallele e perpendicolari all'asse della trave è applicata alle facce laterali della barra di gomma di sezione rettangolare (Fig. 30.7, a). Quindi vengono applicati momenti alla barra alle sue estremità (Fig. 30.7, b), agendo nel piano di simmetria della barra, attraversando ciascuna delle sue sezioni trasversali lungo uno dei principali assi centrali di inerzia. Il piano passante per l'asse della trave e uno dei principali assi centrali di inerzia di ciascuna delle sue sezioni trasversali sarà chiamato piano principale.

Sotto l'azione dei momenti, la trave subisce una curva netta e diritta. Come risultato della deformazione, come mostra l'esperienza, le linee della griglia parallele all'asse della trave vengono piegate, mantenendo le stesse distanze tra loro. Quando indicato in Fig. 30.7, b nella direzione dei momenti, queste linee si allungano nella parte superiore della trave e si accorciano nella parte inferiore.

Ogni linea della griglia, perpendicolare all'asse della trave, può essere considerata come una traccia del piano di una qualche sezione della trave. Poiché queste linee rimangono diritte, si può presumere che le sezioni trasversali della trave, che sono piatte prima della deformazione, rimangano piatte durante la deformazione.

Questa ipotesi, basata sull'esperienza, è nota per essere chiamata ipotesi di sezioni piane, o ipotesi di Bernoulli (vedi § 6.1).

L'ipotesi delle sezioni piane è utilizzata non solo per la flessione pura, ma anche per la flessione trasversale. Per la flessione trasversale è approssimativo e per la flessione pura è rigoroso, il che è confermato da studi teorici effettuati con metodi della teoria dell'elasticità.

Consideriamo ora una barra retta con sezione simmetrica rispetto all'asse verticale, annegata all'estremità destra e caricata all'estremità sinistra con un momento esterno agente in uno dei piani principali della barra (Fig. 31.7). In ciascuna sezione trasversale di questa trave, sorgono solo momenti flettenti che agiscono sullo stesso piano del momento

Pertanto, il legno per tutta la sua lunghezza è in uno stato di pura flessione diretta. In uno stato di pura flessione, singole sezioni della trave possono trovarsi anche in caso di carichi trasversali agenti su di essa; ad esempio, la sezione 11 della trave mostrata in fig. 32.7; nelle sezioni di questa sezione, la forza trasversale

Scegliamo dalla trave in esame (vedi Fig. 31.7) con due sezioni trasversali un elemento di lunghezza. Come risultato della deformazione, come segue dall'ipotesi di Bernoulli, le sezioni rimarranno piatte, ma si inclineranno l'una rispetto all'altra di un certo angolo. Prendiamo condizionatamente la sezione sinistra come fissa. Quindi, ruotando di un angolo la sezione destra, prenderà posizione (Fig. 33.7).

Le linee si intersecano in un punto A, che è il centro di curvatura (o, più precisamente, la traccia dell'asse di curvatura) delle fibre longitudinali dell'elemento. 31,7 nella direzione del momento sono allungati e quelli inferiori sono accorciati. Le fibre di qualche strato intermedio perpendicolare al piano d'azione del momento mantengono la loro lunghezza. Questo livello è chiamato strato neutro.

Indichiamo il raggio di curvatura dello strato neutro, cioè la distanza da questo strato al centro di curvatura A (vedi Fig. 33.7). Considera uno strato situato a una distanza y dallo strato neutro. L'allungamento assoluto delle fibre di questo strato è uguale e relativo

Considerando triangoli simili, troviamo che Pertanto,

Nella teoria della flessione, si presume che le fibre longitudinali della trave non si premono l'una sull'altra. Studi sperimentali e teorici mostrano che questa ipotesi non influisce in modo significativo sui risultati del calcolo.

Con la flessione pura, le sollecitazioni di taglio non si verificano nelle sezioni trasversali della trave. Pertanto, tutte le fibre in pura flessione sono in tensione o compressione uniassiale.

Secondo la legge di Hooke, per il caso di trazione o compressione uniassiale, la sollecitazione normale o e la corrispondente deformazione relativa sono correlate dalla dipendenza

o in base alla formula (11.7)

Dalla formula (12.7) segue che le sollecitazioni normali nelle fibre longitudinali della trave sono direttamente proporzionali alle loro distanze y dallo strato neutro. Di conseguenza, nella sezione trasversale della trave in ogni punto, le sollecitazioni normali sono proporzionali alla distanza y da questo punto all'asse neutro, che è la linea di intersezione dello strato neutro con la sezione trasversale (Fig.

34.7, a). Dalla simmetria della trave e del carico deriva che l'asse neutro è orizzontale.

Nei punti dell'asse neutro le sollecitazioni normali sono pari a zero; da un lato dell'asse neutro sono a trazione e dall'altro sono compressivi.

Il diagramma delle sollecitazioni o è un grafico delimitato da una linea retta, con il valore assoluto più grande delle sollecitazioni per i punti più lontani dall'asse neutro (Fig. 34.7, b).

Consideriamo ora le condizioni di equilibrio per l'elemento trave selezionato. L'azione della parte sinistra della trave sulla sezione dell'elemento (vedi Fig. 31.7) è rappresentata come un momento flettente, le forze interne rimanenti in questa sezione con flessione pura sono pari a zero. Rappresentiamo l'azione del lato destro della trave sulla sezione dell'elemento sotto forma di forze elementari sulla sezione trasversale applicate a ciascuna area elementare (Fig. 35.7) e parallele all'asse della trave.

Componiamo sei condizioni per l'equilibrio di un elemento

Qui - la somma delle proiezioni di tutte le forze che agiscono sull'elemento, rispettivamente, sull'asse - la somma dei momenti di tutte le forze attorno agli assi (Fig. 35.7).

L'asse coincide con l'asse neutro della sezione e l'asse y è perpendicolare ad esso; entrambi questi assi si trovano nel piano della sezione trasversale

Una forza elementare non dà proiezioni sull'asse y e non provoca un momento attorno all'asse, quindi le equazioni di equilibrio sono soddisfatte per qualsiasi valore di o.

L'equazione di equilibrio ha la forma

Sostituisci nell'equazione (13.7) il valore di a secondo la formula (12.7):

Poiché (viene considerato un elemento a trave curva, per il quale ), allora

L'integrale è il momento statico della sezione trasversale della trave rispetto all'asse neutro. La sua uguaglianza a zero significa che l'asse neutro (cioè l'asse) passa per il baricentro della sezione trasversale. Pertanto, il centro di gravità di tutte le sezioni trasversali della trave e, di conseguenza, l'asse della trave, che è la posizione geometrica dei centri di gravità, si trovano nello strato neutro. Pertanto, il raggio di curvatura dello strato neutro è il raggio di curvatura dell'asse curvo della barra.

Componiamo ora l'equazione di equilibrio sotto forma di somma dei momenti di tutte le forze applicate all'elemento trave, rispetto all'asse neutro:

Qui rappresenta il momento della forza interna elementare attorno all'asse.

Indichiamo l'area della parte della sezione trasversale della trave situata sopra l'asse neutro - sotto l'asse neutro.

Quindi rappresenterà la risultante delle forze elementari applicate sopra l'asse neutro, sotto l'asse neutro (Fig. 36.7).

Entrambe queste risultanti sono tra loro uguali in valore assoluto, poiché la loro somma algebrica in base alla condizione (13.7) è uguale a zero. Queste risultanti formano una coppia interna di forze agenti nella sezione trasversale della trave. Il momento di questa coppia di forze, cioè il prodotto del valore di una di esse e la distanza tra loro (Fig. 36.7), è un momento flettente nella sezione trasversale della trave.

Sostituisci nell'equazione (15.7) il valore di a secondo la formula (12.7):

Ecco il momento d'inerzia assiale, cioè l'asse passante per il baricentro della sezione. Di conseguenza,

Sostituisci il valore dalla formula (16.7) nella formula (12.7):

Nel derivare la formula (17.7), non si è tenuto conto del fatto che con un momento esterno diretto, come mostrato in Fig. 31.7, secondo la regola dei segni accettata, il momento flettente è negativo. Se teniamo conto di ciò, prima del lato destro della formula (17.7) è necessario inserire un segno meno. Quindi, con un momento flettente positivo nella zona superiore della trave (cioè a ), i valori di a risulteranno negativi, il che indicherà la presenza di sollecitazioni di compressione in questa zona. Tuttavia, di solito il segno meno non viene messo sul lato destro della formula (17.7), ma questa formula viene utilizzata solo per determinare i valori assoluti delle sollecitazioni a. Pertanto, i valori assoluti del momento flettente e dell'ordinata y dovrebbero essere sostituiti nella formula (17.7). Il segno delle sollecitazioni è sempre facilmente determinabile dal segno del momento o dalla natura della deformazione della trave.

Componiamo ora l'equazione di equilibrio sotto forma di somma dei momenti di tutte le forze applicate all'elemento trave, rispetto all'asse y:

Ecco il momento della forza interna elementare attorno all'asse y (vedi Fig. 35.7).

Sostituisci nell'espressione (18.7) il valore di a secondo la formula (12.7):

Qui l'integrale è il momento d'inerzia centrifugo della sezione trasversale della trave rispetto agli assi y e . Di conseguenza,

Ma da allora

Come è noto (vedi § 7.5), il momento d'inerzia centrifugo della sezione è zero rispetto agli assi d'inerzia principali.

Nel caso in esame, l'asse y è l'asse di simmetria della sezione trasversale della trave e, quindi, gli assi y e sono i principali assi centrali di inerzia di questa sezione. Pertanto, la condizione (19.7) è qui soddisfatta.

Nel caso in cui la sezione trasversale della trave piegata non abbia alcun asse di simmetria, la condizione (19.7) è soddisfatta se il piano d'azione del momento flettente passa per uno degli assi centrali di inerzia principali della sezione o è parallelo a questo asse.

Se il piano d'azione del momento flettente non passa per nessuno dei principali assi centrali di inerzia della sezione trasversale della trave e non è ad esso parallelo, allora la condizione (19.7) non è soddisfatta e, quindi, non c'è flessione diretta: la trave subisce una flessione obliqua.

La formula (17.7), che determina la sollecitazione normale in un punto arbitrario della sezione considerata della trave, è applicabile a condizione che il piano d'azione del momento flettente passi per uno degli assi di inerzia principali di questa sezione o sia parallelo a esso. In questo caso, l'asse neutro della sezione trasversale è il suo principale asse centrale di inerzia, perpendicolare al piano d'azione del momento flettente.

La formula (16.7) mostra che con la flessione diretta pura la curvatura dell'asse curvo della trave è direttamente proporzionale al prodotto del modulo elastico E per il momento d'inerzia.Il prodotto sarà chiamato rigidezza flessionale della sezione; è espresso in ecc.

Con la flessione pura di una trave di sezione costante, i momenti flettenti e le rigidezze di sezione sono costanti lungo la sua lunghezza. In questo caso il raggio di curvatura dell'asse di flessione della trave ha valore costante [vedi. espressione (16.7)], cioè la trave è piegata lungo un arco di cerchio.

Dalla formula (17.7) segue che le sollecitazioni normali maggiori (positiva - trazione) e minima (negativa - compressione) nella sezione trasversale della trave si verificano nei punti più lontani dall'asse neutro, situati su entrambi i lati di essa. Con una sezione trasversale simmetrica rispetto all'asse neutro, i valori assoluti delle maggiori sollecitazioni di trazione e compressione sono gli stessi e possono essere determinati dalla formula

dove è la distanza dall'asse neutro al punto più distante della sezione.

Il valore che dipende solo dalle dimensioni e dalla forma della sezione trasversale è chiamato modulo di sezione assiale ed è indicato

(20.7)

Di conseguenza,

Determiniamo i momenti di resistenza assiali per sezioni rettangolari e tonde.

Per una sezione rettangolare con larghezza b e altezza

Per una sezione circolare di diametro d

Il momento di resistenza è espresso in .

Per sezioni che non sono simmetriche rispetto all'asse neutro, ad esempio per un triangolo, un marchio, ecc., le distanze dall'asse neutro alle fibre tese e compresse più esterne sono diverse; pertanto, per tali tratti si hanno due momenti di resistenza:

dove sono le distanze dall'asse neutro alle fibre tese e compresse più esterne.

Una curva è un tipo di deformazione in cui l'asse longitudinale della trave è piegato. Le travi diritte che lavorano sulla flessione sono chiamate travi. Una curva rettilinea è una curva in cui le forze esterne agenti sulla trave giacciono sullo stesso piano (piano della forza) passante per l'asse longitudinale della trave e l'asse di inerzia centrale principale della sezione trasversale.

La curva è chiamata pura, se si verifica un solo momento flettente in qualsiasi sezione trasversale della trave.

La flessione, in cui un momento flettente e una forza trasversale agiscono contemporaneamente nella sezione trasversale della trave, è chiamata trasversale. La linea di intersezione tra il piano della forza e il piano della sezione trasversale è chiamata linea della forza.

Fattori di forza interni nella flessione della trave.

Con una flessione trasversale piana nelle sezioni della trave, sorgono due fattori di forza interni: la forza trasversale Q e il momento flettente M. Per determinarli viene utilizzato il metodo della sezione (vedi lezione 1). La forza trasversale Q nella sezione della trave è uguale alla somma algebrica delle sporgenze sul piano della sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame.

Regola dei segni per le forze di taglio Q:

Il momento flettente M nella sezione della trave è uguale alla somma algebrica dei momenti attorno al baricentro di questa sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame.

Regola dei segni per i momenti flettenti M:

Le dipendenze differenziali di Zhuravsky.

Tra l'intensità q del carico distribuito, le espressioni per la forza trasversale Q e il momento flettente M, si stabiliscono dipendenze differenziali:

Sulla base di queste dipendenze, si possono distinguere i seguenti schemi generali di diagrammi delle forze trasversali Q e dei momenti flettenti M:

Peculiarità dei diagrammi dei fattori di forza interni alla flessione.

1. Sulla sezione della trave dove non c'è carico distribuito, viene presentato il grafico Q retta , parallela alla base del diagramma, e il diagramma M è una retta inclinata (Fig. a).

2. Nella sezione in cui viene applicata la forza concentrata, sul diagramma Q dovrebbe esserci salto , pari al valore di questa forza, e sul diagramma M - punto di rottura (Fig. a).

3. Nella sezione in cui viene applicato un momento concentrato, il valore di Q non cambia e il diagramma M ha salto , pari al valore di questo momento, (Fig. 26, b).

4. Nella sezione della trave con carico distribuito di intensità q, il diagramma Q cambia secondo una legge lineare, e il diagramma M - secondo una parabolica, e la convessità della parabola è diretta nella direzione del carico distribuito (Fig. c, d).

5. Se all'interno della sezione caratteristica del diagramma Q interseca la base del diagramma, allora nella sezione dove Q = 0, il momento flettente ha un valore estremo M max o M min (Fig. d).

Normali sollecitazioni di flessione.

Determinato dalla formula:

Il momento di resistenza alla flessione della sezione è il valore:

Sezione pericolosa quando si piega, viene chiamata la sezione trasversale della trave, in cui si verifica la massima sollecitazione normale.

Tensioni tangenziali in flessione diretta.

Determinato da La formula di Zhuravsky per le sollecitazioni di taglio nella flessione diretta della trave:

dove S ots - momento statico dell'area trasversale dello strato tagliato di fibre longitudinali rispetto alla linea neutra.

Calcoli della resistenza alla flessione.

1. In calcolo di verifica viene determinata la massima sollecitazione di progetto, che viene confrontata con la sollecitazione ammissibile:

2. In calcolo del progetto la scelta della sezione della trave è effettuata dalla condizione:

3. Quando si determina il carico ammissibile, il momento flettente ammissibile è determinato dalla condizione:

Movimenti di flessione.

Sotto l'azione di un carico flettente, l'asse della trave viene piegato. In questo caso, c'è un allungamento delle fibre sul convesso e una compressione - sulle parti concave del raggio. Inoltre, vi è un movimento verticale dei centri di gravità delle sezioni trasversali e la loro rotazione rispetto all'asse neutro. Per caratterizzare la deformazione durante la piegatura, vengono utilizzati i seguenti concetti:

Deflessione del raggio Y- spostamento del baricentro della sezione trasversale della trave nella direzione perpendicolare al suo asse.

La deflessione è considerata positiva se il baricentro si sposta verso l'alto. La quantità di deflessione varia lungo la lunghezza del raggio, ad es. y=y(z)

Angolo di rotazione della sezione- l'angolo θ di cui ciascuna sezione viene ruotata rispetto alla sua posizione originaria. L'angolo di rotazione è considerato positivo quando la sezione viene ruotata in senso antiorario. Il valore dell'angolo di rotazione varia lungo la lunghezza della trave, essendo funzione di θ = θ (z).

Il modo più comune per determinare gli spostamenti è il metodo mora e La regola di Vereshchagin.

Metodo Mohr.

La procedura per determinare gli spostamenti secondo il metodo Mohr:

1. Un "sistema ausiliario" viene costruito e caricato con un unico carico nel punto in cui deve essere determinato lo spostamento. Se viene determinato uno spostamento lineare, viene applicata una forza unitaria nella sua direzione; quando si determinano gli spostamenti angolari, viene applicato un momento unitario.

2. Per ogni sezione del sistema vengono registrate le espressioni dei momenti flettenti M f dal carico applicato e M 1 - da un singolo carico.

3. Gli integrali di Mohr vengono calcolati e sommati su tutte le sezioni del sistema, ottenendo lo spostamento desiderato:

4. Se lo spostamento calcolato ha segno positivo, significa che la sua direzione coincide con la direzione della forza unitaria. Il segno negativo indica che lo spostamento effettivo è opposto alla direzione della forza unitaria.

La regola di Vereshchagin.

Nel caso in cui il diagramma dei momenti flettenti di un dato carico abbia un arbitrario e da un singolo carico - uno schema rettilineo, è conveniente utilizzare il metodo grafico-analitico o la regola di Vereshchagin.

dove A f è l'area del diagramma del momento flettente M f da un dato carico; y c è l'ordinata del diagramma da un singolo carico sotto il baricentro del diagramma M f ; EI x - rigidità della sezione della sezione della trave. I calcoli secondo questa formula vengono effettuati in sezioni, su ciascuna delle quali il diagramma a linee rette deve essere senza fratture. Il valore (A f *y c) è considerato positivo se entrambi i diagrammi sono posti sullo stesso lato della trave, negativo se sono posti su lati opposti. Un risultato positivo della moltiplicazione dei diagrammi significa che la direzione del movimento coincide con la direzione di una forza (o momento) unitaria. Un diagramma complesso M f deve essere suddiviso in figure semplici (si usa la cosiddetta "stratificazione epure"), per ognuna delle quali è facile determinare l'ordinata del baricentro. In questo caso, l'area della figura della spiaggia viene moltiplicata per l'ordinata sotto il suo baricentro.

contare trave per piegare ci sono diverse opzioni:
1. Calcolo del carico massimo che potrà sopportare
2. Selezione della sezione di questa trave
3. Calcolo delle sollecitazioni massime ammissibili (per verifica)
consideriamo principio generale di selezione della sezione della trave su due supporti caricati con un carico uniformemente distribuito o una forza concentrata.
Per cominciare, dovrai trovare un punto (sezione) in cui ci sarà un momento massimo. Dipende dal supporto della trave o dalla sua terminazione. Di seguito sono riportati i diagrammi dei momenti flettenti per gli schemi più comuni.

Dopo aver trovato il momento flettente, dobbiamo trovare il modulo Wx di questa sezione secondo la formula riportata in tabella:

Inoltre, dividendo il momento flettente massimo per il momento di resistenza in una determinata sezione, otteniamo massima sollecitazione nella trave e questo stress dobbiamo confrontarlo con lo stress che il nostro raggio di un dato materiale può generalmente sopportare.

Per materiali plastici(acciaio, alluminio, ecc.) la tensione massima sarà pari resistenza allo snervamento del materiale, un per fragili(ghisa) - resistenza alla trazione. Possiamo trovare la resistenza allo snervamento e la resistenza alla trazione dalle tabelle seguenti.

Diamo un'occhiata a un paio di esempi:
1. [i] Vuoi verificare se una trave a I n. 10 (acciaio St3sp5) lunga 2 metri incastonata rigidamente nel muro può resistere a te se ci appendi. Lascia che la tua massa sia di 90 kg.
Innanzitutto, dobbiamo scegliere uno schema di calcolo.

Questo diagramma mostra che il momento massimo sarà nella terminazione e poiché il nostro I-beam lo ha la stessa sezione per tutta la lunghezza, quindi la tensione massima sarà nella terminazione. Troviamolo:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Secondo la tabella dell'assortimento della trave a I, troviamo il momento di resistenza della trave a I n. 10.

Sarà pari a 39,7 cm3. Converti in metri cubi e ottieni 0,0000397 m3.
Inoltre, secondo la formula, troviamo le massime sollecitazioni che abbiamo nella trave.

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Dopo aver trovato la sollecitazione massima che si verifica nella trave, possiamo confrontarla con la sollecitazione massima consentita pari al carico di snervamento dell'acciaio St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa - giusto, quindi questa trave a I può sopportare una massa di 90 kg.

2. [i] Dato che abbiamo una scorta abbastanza grande, risolveremo il secondo problema, in cui troveremo la massa massima possibile che la stessa trave a I n. 10, lunga 2 metri, può sopportare.
Se vogliamo trovare la massa massima, quindi i valori del carico di snervamento e lo stress che si verificherà nella trave, dobbiamo eguagliare (b \u003d 245 MPa \u003d 245.000 kN * m2).

Capitolo 1

1.1. Dipendenze di base della teoria del beam bending

traviÈ consuetudine chiamare aste che lavorano in flessione sotto l'azione di un carico trasversale (normale all'asse dell'asta). Le travi sono gli elementi più comuni delle strutture navali. L'asse della trave è il luogo dei baricentro delle sue sezioni trasversali nello stato indeformato. Una trave si dice retta se l'asse è una retta. La posizione geometrica dei centri di gravità delle sezioni trasversali della trave in uno stato piegato è chiamata linea elastica della trave. È accettata la seguente direzione degli assi delle coordinate: asse BUE allineato con l'asse della trave e l'asse OY e oncia- con i principali assi centrali di inerzia della sezione trasversale (Fig. 1.1).

La teoria della flessione della trave si basa sui seguenti presupposti.

1. Viene accettata l'ipotesi di sezioni piane, secondo cui le sezioni trasversali della trave, inizialmente piana e normale all'asse della trave, rimangono piane e normali alla linea elastica della trave dopo la sua flessione. Per questo motivo, la deformazione a flessione della trave può essere considerata indipendentemente dalla deformazione a taglio, che provoca la distorsione dei piani della sezione trasversale della trave e la loro rotazione rispetto alla linea elastica (Fig. 1.2, un).

2. Le sollecitazioni normali in aree parallele all'asse della trave sono trascurate a causa della loro piccolezza (Fig. 1.2, b).

3. Le travi sono considerate sufficientemente rigide, cioè le loro deviazioni sono piccole rispetto all'altezza delle travi e gli angoli di rotazione delle sezioni sono piccoli rispetto all'unità (Fig. 1.2, in).

4. Le sollecitazioni e le deformazioni sono collegate da una relazione lineare, ad es. La legge di Hooke è valida (Fig. 1.2, G).

Riso. 1.2. Assunzioni della teoria della flessione del fascio

Considereremo i momenti flettenti e le forze di taglio che si manifestano durante la flessione della trave nella sua sezione a seguito dell'azione della parte della trave mentalmente scartata lungo la sezione sulla parte restante di essa.

Il momento di tutte le forze che agiscono nella sezione relativa a uno degli assi principali è chiamato momento flettente. Il momento flettente è uguale alla somma dei momenti di tutte le forze (incluse le reazioni e i momenti di appoggio) agenti sulla parte respinta della trave, rispetto all'asse specificato della sezione considerata.

La proiezione sul piano della sezione del vettore principale delle forze agenti nella sezione è chiamata forza di taglio. È uguale alla somma delle sporgenze sul piano di sezione di tutte le forze (comprese le reazioni di appoggio) agenti sulla parte scartata della trave.

Ci limitiamo a considerare la flessione della trave che si verifica nel piano XOZ. Tale flessione avverrà nel caso in cui il carico trasversale agisca su un piano parallelo al piano XOZ, e la sua risultante in ogni sezione passa per un punto chiamato centro della curvatura della sezione. Si noti che per le sezioni di travi con due assi di simmetria, il centro di flessione coincide con il baricentro e per le sezioni con un asse di simmetria giace sull'asse di simmetria, ma non coincide con il centro di gravità.

Il carico delle travi incluse nello scafo della nave può essere distribuito (il più delle volte distribuito uniformemente lungo l'asse della trave o variabile secondo una legge lineare) o applicato sotto forma di forze e momenti concentrati.

Indichiamo l'intensità del carico distribuito (il carico per unità di lunghezza dell'asse della trave) attraverso q(X), una forza concentrata esterna - come R, e il momento flettente esterno come M. Un carico distribuito e una forza concentrata sono positivi se i loro sensi di azione coincidono con la direzione positiva dell'asse oncia(Fig. 1.3, un,b). Il momento flettente esterno è positivo se è diretto in senso orario (Fig. 1.3, in).

Riso. 1.3. Regola dei segni per carichi esterni

Indichiamo la deflessione di una trave dritta quando è piegata nel piano XOZ attraverso w, e l'angolo di rotazione della sezione per θ. Accettiamo la regola dei segni per elementi di flessione (Fig. 1.4):

1) la deflessione è positiva se coincide con la direzione positiva dell'asse oncia(Fig. 1.4, un):

2) l'angolo di rotazione della sezione è positivo se, per effetto della flessione, la sezione ruota in senso orario (Fig. 1.4, b);

3) i momenti flettenti sono positivi se la trave sotto la loro influenza si piega con una convessità verso l'alto (Fig. 1.4, in);

4) le forze di taglio sono positive se ruotano l'elemento trave selezionato in senso antiorario (Fig. 1.4, G).

Riso. 1.4. Regola del segno per gli elementi piegati

Basandosi sull'ipotesi di sezioni piane, si può osservare (Fig. 1.5) che l'allungamento relativo della fibra ε X, situato in z dall'asse neutro, sarà uguale a

ε X= −z/ρ ,(1.1)

dove ρ è il raggio di curvatura della trave nella sezione considerata.

Riso. 1.5. Schema di curvatura della trave

L'asse neutro della sezione trasversale è il luogo dei punti per i quali la deformazione lineare durante la flessione è uguale a zero. Tra curvatura e derivate di w(X) c'è una dipendenza

In virtù dell'assunto accettato circa la piccolezza degli angoli di rotazione per travi sufficientemente rigide, il valorepiccolo rispetto all'unità, quindi possiamo supporre che

Sostituendo 1/ ρ dalla (1.2) alla (1.1), otteniamo

Tensioni normali di flessione σ X secondo la legge di Hooke sarà uguale

Poiché dalla definizione delle travi risulta che non vi è alcuna forza longitudinale diretta lungo l'asse della trave, il vettore principale delle sollecitazioni normali deve svanire, cioè

dove Fè l'area della sezione trasversale della trave.

Dalla (1.5) otteniamo che il momento statico dell'area della sezione trasversale della trave è uguale a zero. Ciò significa che l'asse neutro della sezione passa per il suo baricentro.

Il momento delle forze interne agenti nella sezione trasversale rispetto all'asse neutro, Mio sarà

Se prendiamo in considerazione che il momento di inerzia dell'area della sezione trasversale rispetto all'asse neutro OYè uguale a , e sostituiamo questo valore in (1.6), quindi otteniamo una dipendenza che esprime l'equazione differenziale di base per la flessione della trave

Momento delle forze interne nella sezione relativa all'asse oncia sarà

Poiché gli assi OY e oncia per condizione sono gli assi centrali principali della sezione, quindi .

Ne consegue che sotto l'azione di un carico su un piano parallelo al piano di flessione principale, la linea elastica della trave sarà una curva piatta. Questa curva è chiamata piatto. Sulla base delle dipendenze (1.4) e (1.7), otteniamo

La formula (1.8) mostra che le normali sollecitazioni di flessione delle travi sono proporzionali alla distanza dall'asse neutro della trave. Naturalmente ciò deriva dall'ipotesi di tratti pianeggianti. Nei calcoli pratici, per determinare le sollecitazioni normali più elevate, viene spesso utilizzato il modulo di sezione della trave

dove | z| max è il valore assoluto della distanza della fibra più distante dall'asse neutro.

Ulteriori pedici y omesso per semplicità.

Esiste una connessione tra il momento flettente, la forza di taglio e l'intensità del carico trasversale, che deriva dalla condizione di equilibrio dell'elemento mentalmente isolato dalla trave.

Considera un elemento trave con una lunghezza dx (Fig. 1.6). Qui si assume che le deformazioni dell'elemento siano trascurabili.

Se un momento agisce nella sezione sinistra dell'elemento M e forza di taglio N, quindi nella sua sezione destra le forze corrispondenti avranno incrementi. Considera solo incrementi lineari .

Fig.1.6. Forze agenti sull'elemento trave

Uguagliando a zero la proiezione sull'asse oncia di tutti gli sforzi che agiscono sull'elemento e il momento di tutti gli sforzi relativi all'asse neutro della sezione destra, otteniamo:

Da queste equazioni, fino a valori di ordine di piccolezza superiore, otteniamo

Da (1.11) e (1.12) ne segue che

Le relazioni (1.11)–(1.13) sono note come teorema di Zhuravsky–Schwedler, da cui consegue che la forza di taglio e il momento flettente possono essere determinati integrando il carico q:

dove N 0 e M 0 - forza di taglio e momento flettente nella sezione corrispondentex=X 0 , che è preso come origine; ξ,ξ 1 – variabili di integrazione.

Permanente N 0 e M 0 per travi staticamente determinate può essere determinato dalle condizioni del loro equilibrio statico.

Se la trave è staticamente determinata, il momento flettente in qualsiasi sezione può essere ricavato da (1.14), e la retta elastica è determinata integrando due volte l'equazione differenziale (1.7). Tuttavia, le travi staticamente determinate sono estremamente rare nelle strutture dello scafo delle navi. La maggior parte delle travi che fanno parte delle strutture navali formano ripetutamente sistemi staticamente indeterminati. In questi casi, per determinare la retta elastica, l'equazione (1.7) è scomoda ed è consigliabile passare a un'equazione del quarto ordine.

1.2. Equazione differenziale per la flessione della trave

Equazione differenziale (1.7) per il caso generale, quando il momento d'inerzia della sezione è funzione di X, tenendo conto delle (1.11) e (1.12), si ottiene:

dove i trattini denotano differenziazione rispetto a X.

Per fasci prismatici, ad es. travi a sezione costante, otteniamo le seguenti equazioni differenziali di flessione:

Un'equazione differenziale lineare del quarto ordine disomogenea ordinaria (1.18) può essere rappresentata come un insieme di quattro equazioni differenziali del primo ordine:

Utilizziamo inoltre l'equazione (1.18) o il sistema di equazioni (1.19) per determinare la deflessione della trave (la sua linea elastica) e tutti gli elementi di flessione sconosciuti: w(X), θ (X), M(X), N(X).

Integrando (1.18) in successione 4 volte (assumendo che l'estremità sinistra della trave corrisponda alla sezioneX= x un ), noi abbiamo:

È facile vedere che l'integrazione è costante N / a ,ma,θ a , w un hanno un certo significato fisico, ovvero:

N / a- forza di taglio all'origine, cioè a x=x un ;

M a- momento flettente all'origine;

θ a – angolo di rotazione all'origine;

w un - deviazione nella stessa sezione.

Per determinare queste costanti, è sempre possibile creare quattro condizioni al contorno, due per ciascuna estremità di una trave a campata singola. Naturalmente le condizioni al contorno dipendono dalla disposizione delle estremità della trave. Le condizioni più semplici corrispondono a un supporto incernierato su supporti rigidi o un attacco rigido.

Quando l'estremità della trave è incernierata su un supporto rigido (Fig. 1.7, un) la deflessione della trave e il momento flettente sono pari a zero:

Con terminazione rigida su supporto rigido (Fig. 1.7, b) la deflessione e l'angolo di rotazione della sezione sono pari a zero:

Se l'estremità della trave (consolle) è libera (Fig. 1.7, in), allora in questa sezione il momento flettente e la forza di taglio sono pari a zero:

È possibile una situazione associata a una terminazione scorrevole o simmetrica (Fig. 1.7, G). Questo porta alle seguenti condizioni al contorno:

Si noti che si chiamano le condizioni al contorno (1.26) relative alle deviazioni e agli angoli di rotazione cinematico, e condizioni (1.27) potenza.

Riso. 1.7. Tipi di condizioni al contorno

Nelle strutture navali si ha spesso a che fare con condizioni al contorno più complesse, che corrispondono all'appoggio della trave su appoggi elastici o alla terminazione elastica delle estremità.

Supporto elastico (Fig. 1.8, un) è detto supporto avente un abbassamento proporzionale alla reazione che agisce sul supporto. Considereremo la reazione del supporto elastico R positivo se agisce sul supporto nella direzione della direzione positiva dell'asse oncia. Allora puoi scrivere:

w =AR,(1.29)

dove UN- coefficiente di proporzionalità, detto coefficiente di cedevolezza del supporto elastico.

Questo coefficiente è uguale all'abbassamento del supporto elastico sotto l'azione della reazione R= 1, cioè A=wR = 1 .

I supporti elastici nelle strutture navali possono essere travi che rinforzano la trave in esame, o pilastri e altre strutture che lavorano in compressione.

Determinare il coefficiente di cedevolezza di un supporto elastico UNè necessario caricare la struttura corrispondente con una forza unitaria e trovare il valore assoluto del cedimento (deflessione) nel luogo di applicazione della forza. Un supporto rigido è un caso speciale di supporto elastico con A= 0.

Guarnizione elastica (Fig. 1.8, b) è una tale struttura di supporto che impedisce la libera rotazione della sezione e in cui l'angolo di rotazione θ in questa sezione è proporzionale al momento, cioè c'è dipendenza

θ = Â M.(1.30)

Moltiplicatore di proporzionalità Â è detto coefficiente di cedevolezza della tenuta elastica e può essere definito come l'angolo di rotazione della tenuta elastica a M= 1, cioè Â = θ M= 1 .

Un caso speciale di inclusione elastica a  = 0 è una terminazione definitiva. Nelle strutture navali, gli incastri elastici sono generalmente travi normali a quella in esame e giacenti sullo stesso piano. Ad esempio, travi, ecc., possono essere considerate annegate elasticamente sui telai.

Riso. 1.8. Supporto elastico ( un) e inclusione elastica ( b)

Se le estremità della trave sono lunghe l supportato su supporti elastici (Fig. 1.9), quindi le reazioni dei supporti nelle sezioni terminali sono uguali alle forze di taglio e le condizioni al contorno possono essere scritte:

Il segno meno nella prima condizione (1.31) è accettato perché la forza di taglio positiva nella sezione di riferimento di sinistra corrisponde alla reazione che agisce sulla trave dall'alto verso il basso e sul supporto dal basso verso l'alto.

Se le estremità della trave sono lunghe lincorporato in modo resiliente(Fig. 1.9), quindi per le sezioni di riferimento, tenendo conto della regola dei segni per gli angoli di rotazione e i momenti flettenti, possiamo scrivere:

Il segno meno nella seconda condizione (1.32) è adottato perché, con un momento positivo nella sezione di riferimento destra della trave, il momento agente sull'attacco elastico è diretto in senso antiorario e l'angolo di rotazione positivo in questa sezione è diretto in senso orario , cioè. le direzioni del momento e l'angolo di rotazione non coincidono.

L'esame dell'equazione differenziale (1.18) e di tutte le condizioni al contorno mostra che esse sono lineari rispetto sia alle deviazioni e alle loro derivate in esse incluse, sia ai carichi agenti sulla trave. La linearità è una conseguenza delle ipotesi sulla validità della legge di Hooke e sulla piccolezza delle deviazioni del raggio.

Riso. 1.9. Una trave, le cui due estremità sono supportate elasticamente e annegate elasticamente ( un);

forze nei supporti elastici e nelle guarnizioni elastiche corrispondenti a positive
direzioni del momento flettente e della forza di taglio ( b)

Quando più carichi agiscono su una trave, ciascun elemento di flessione della trave (deflessione, angolo di rotazione, momento e forza di taglio) è la somma degli elementi di flessione dall'azione di ciascuno dei carichi separatamente. Questa importantissima disposizione, denominata principio di sovrapposizione, o principio di sommatoria dell'azione dei carichi, trova largo impiego nei calcoli pratici e, in particolare, per rivelare l'indeterminatezza statica delle travi.

1.3. Metodo dei parametri iniziali

L'integrale generale dell'equazione differenziale di flessione della trave può essere utilizzato per determinare la linea elastica di una trave a campata singola quando il carico della trave è una funzione continua della coordinata per tutta la campata. Se il carico contiene forze concentrate, momenti o un carico distribuito agisce su parti della lunghezza della trave (Fig. 1.10), l'espressione (1.24) non può essere utilizzata direttamente. In questo caso sarebbe possibile, indicando le linee elastiche nelle sezioni da 1, 2 e 3 a w 1 , w 2 , w 3, scrivi per ciascuno di essi l'integrale nella forma (1.24) e trova tutte le costanti arbitrarie dalle condizioni al contorno alle estremità della trave e dalle condizioni di coniugazione ai confini delle sezioni. Le condizioni di coniugazione nel caso in esame sono espresse come segue:

a x=a 1

a x=a 2

a x=a 3

È facile vedere che un tale modo di risolvere il problema porta a un gran numero di costanti arbitrarie, pari a 4 n, dove n- il numero di sezioni lungo la lunghezza della trave.

Riso. 1.10. Trave, su alcune sezioni delle quali vengono applicati carichi di diverso tipo

È molto più conveniente rappresentare la linea elastica della trave nella forma

dove i termini dietro la doppia linea sono presi in considerazione quando X³ un 1, X³ un 2 ecc.

Ovviamente, δ 1 w(X)=w 2 (X)−w 1 (X); δ2 w(X)=w 3 (X)−w 2 (X); eccetera.

Equazioni differenziali per la determinazione delle correzioni alla retta elastica δ iow (X) in base a (1.18) e (1.32) può essere scritto come

Integrale generale per qualsiasi correzione δ iow (X) alla linea elastica può essere scritto nella forma (1.24) per x un = un io . Allo stesso tempo, i parametri N / a ,ma,θ a , w un le modifiche (salto) hanno senso, rispettivamente: nella forza di taglio, nel momento flettente, nell'angolo di rotazione e nella freccia di deflessione al passaggio attraverso la sezione x=un io . Questa tecnica è chiamata il metodo dei parametri iniziali. Si può mostrare che per la trave mostrata in Fig. 1.10, l'equazione della retta elastica sarà

Pertanto, il metodo dei parametri iniziali consente, anche in presenza di discontinuità nei carichi, di scrivere l'equazione di una retta elastica in una forma contenente solo quattro costanti arbitrarie N 0 , M 0 , θ 0 , w 0, che sono determinati dalle condizioni al contorno alle estremità della trave.

Si noti che per un gran numero di varianti di travi a campata singola incontrate nella pratica, sono state compilate tabelle di piegatura dettagliate che rendono facile trovare deviazioni, angoli di rotazione e altri elementi di piegatura.

1.4. Determinazione delle sollecitazioni di taglio durante la flessione della trave

L'ipotesi delle sezioni piatte accettata nella teoria della flessione della trave porta al fatto che la deformazione a taglio nella sezione della trave risulta essere uguale a zero e non abbiamo l'opportunità, utilizzando la legge di Hooke, di determinare le sollecitazioni di taglio. Tuttavia, poiché, nel caso generale, le forze di taglio agiscono nelle sezioni di trave, dovrebbero sorgere le sollecitazioni di taglio ad esse corrispondenti. Questa contraddizione (che è conseguenza dell'ipotesi accettata delle sezioni piane) può essere evitata considerando le condizioni di equilibrio. Assumiamo che quando una trave composta da strisce sottili viene piegata, le sollecitazioni di taglio nella sezione trasversale di ciascuna di queste strisce sono distribuite uniformemente sullo spessore e dirette parallelamente ai lati lunghi del suo contorno. Questa posizione è praticamente confermata dalle soluzioni esatte della teoria dell'elasticità. Considera una trave di una trave a I aperta a pareti sottili. Sulla fig. 1.11 mostra la direzione positiva delle sollecitazioni di taglio nelle cinghie e nella parete del profilo durante la flessione nel piano della parete della trave. Seleziona la sezione longitudinale IO-io e due sezioni trasversali lunghezza dell'elemento dx (Fig. 1.12).

Indichiamo lo sforzo di taglio nella sezione longitudinale indicata come τ e le forze normali nella sezione trasversale iniziale come T. Le forze normali nella sezione finale avranno incrementi. Considera solo incrementi lineari, quindi .

Riso. 1.12. Forze longitudinali e sforzi di taglio
nell'elemento della cintura della trave

La condizione di equilibrio statico dell'elemento selezionato dalla trave (uguaglianza a zero delle proiezioni delle forze sull'asse BUE) sarà

dove ; f- l'area della parte del profilo tagliata dalla linea IO-io; δ è lo spessore del profilo nel sito della sezione.

Dalla (1.36) segue:

Poiché le sollecitazioni normali σ X sono definiti dalla formula (1.8), quindi

In questo caso, assumiamo che la trave abbia una sezione costante lungo la lunghezza. Momento statico di una parte del profilo (linea di taglio IO-io) rispetto all'asse neutro della sezione della trave OYè un integrale

Quindi dalla (1.37) per il valore assoluto delle sollecitazioni otteniamo:

Naturalmente, la formula risultante per la determinazione delle sollecitazioni di taglio è valida anche per qualsiasi sezione longitudinale, ad esempio II -II(vedi Fig. 1.11) e il momento statico S ots è calcolato per la parte di taglio dell'area del profilo della trave rispetto all'asse neutro, senza tener conto del segno.

La formula (1.38), secondo il significato della derivazione, determina le sollecitazioni di taglio nelle sezioni longitudinali della trave. Dal teorema sull'accoppiamento delle sollecitazioni di taglio, noto dall'andamento della resistenza dei materiali, ne consegue che le stesse sollecitazioni di taglio agiscono nei punti corrispondenti della sezione della trave. Naturalmente, la proiezione sull'asse del vettore principale dello sforzo di taglio oncia deve essere uguale alla forza di taglio N in questa sezione della trave. Poiché nelle travi della cintura di questo tipo, come mostrato in Fig. 1.11, le sollecitazioni di taglio sono dirette lungo l'asse OY, cioè. normali al piano di azione del carico, e sono generalmente bilanciati, la forza di taglio deve essere bilanciata dalle sollecitazioni di taglio nell'anima della trave. La distribuzione delle sollecitazioni di taglio lungo l'altezza della parete segue la legge della variazione del momento statico S tagliare parte dell'area rispetto all'asse neutro (con uno spessore di parete costante δ).

Considera una sezione simmetrica di una trave a I con un'area della cintura F 1 e zona parete ω = hδ (Fig. 1.13).

Riso. 1.13. Sezione di una trave a I

Il momento statico della parte di taglio dell'area per un punto separato da z dall'asse neutro, volontà

Come si può vedere dalla dipendenza (1.39), il momento statico cambia da z secondo la legge di una parabola quadratica. Valore più alto S ots e, di conseguenza, le sollecitazioni di taglio τ , risulterà sull'asse neutro, dove z= 0:

La maggiore sollecitazione di taglio nell'anima della trave sull'asse neutro

Poiché il momento d'inerzia della sezione della trave considerata è uguale a

allora sarà la maggiore sollecitazione di taglio

Atteggiamento N/ω non è altro che la tensione di taglio media nella parete, calcolata assumendo una distribuzione uniforme delle sollecitazioni. Prendendo, ad esempio, ω = 2 F 1, dalla formula (1.41) otteniamo

Pertanto, per la trave in esame, la maggiore sollecitazione di taglio nella parete sull'asse neutro è solo del 12,5% supera il valore medio di queste sollecitazioni. Va notato che per la maggior parte dei profili delle travi utilizzati nello scafo della nave, l'eccesso delle sollecitazioni di taglio massime rispetto alla media è del 10–15%.

Se consideriamo la distribuzione delle sollecitazioni di taglio durante la flessione nella sezione trasversale della trave mostrata in Fig. 1.14, si può vedere che formano un momento relativo al baricentro della sezione. Nel caso generale, la flessione di una tale trave sul piano XOZ sarà accompagnato da torsioni.

La flessione della trave non è accompagnata da torsione se il carico agisce su un piano parallelo a XOZ passante per un punto chiamato centro della curva. Questo punto è caratterizzato dal fatto che il momento di tutte le forze tangenziali nella sezione della trave relativa ad esso è uguale a zero.

Riso. 1.14. Sollecitazioni tangenziali durante la flessione della trave del canale (punto MA - centro piega)

Indica la distanza del centro della curva MA dall'asse dell'anima della trave attraverso e, scriviamo la condizione di uguaglianza a zero del momento delle forze tangenziali relative al punto MA:

dove Q 2 - forza tangenziale nel muro, uguale alla forza di taglio, cioè Q 2 =N;

Q 1 =Q 3 - forza nella cintura, determinata in base alla (1.38) dalla dipendenza

La deformazione di taglio (o angolo di taglio) γ varia lungo l'altezza dell'anima della trave allo stesso modo delle sollecitazioni di taglio τ , raggiungendo il suo massimo valore in corrispondenza dell'asse neutro.

Come mostrato, per le travi con mensole, la variazione delle sollecitazioni di taglio lungo l'altezza della parete è molto insignificante. Ciò consente un'ulteriore considerazione di un certo angolo di taglio medio nell'anima della trave

La deformazione a taglio porta al fatto che l'angolo retto tra il piano della sezione trasversale della trave e la tangente alla linea elastica cambia del valore γ cfr. Un diagramma semplificato della deformazione a taglio di un elemento trave è mostrato in fig. 1.15.

Riso. 1.15. Diagramma di taglio dell'elemento della trave

Indica la freccia di deflessione causata dal taglio w sdv , possiamo scrivere:

Tenendo conto della regola del segno per la forza di taglio N e trova l'angolo di rotazione

Perché il ,

Integrando la (1.47), otteniamo

Costante un, incluso in (1.48), determina lo spostamento della trave come corpo rigido e può essere assunto uguale a qualsiasi valore, poiché nel determinare la freccia totale di deflessione da flessione w piegare e tagliare w sdv

apparirà la somma delle costanti di integrazione w 0 +un determinato dalle condizioni al contorno. Qui w 0 - deviazione dalla flessione all'origine.

Mettiamo nel futuro un=0. Quindi prenderà forma l'espressione finale per la linea elastica causata dal taglio

Le componenti di flessione e taglio della linea elastica sono mostrate nelle Figg. 1.16.

Riso. 1.16. flessionale ( un) e taglio ( b) componenti della linea elastica della trave

Nel caso considerato l'angolo di rotazione delle sezioni durante il taglio è pari a zero, quindi, tenendo conto del taglio, gli angoli di rotazione delle sezioni, i momenti flettenti e le forze di taglio sono associati solo alle derivate della linea elastica dalla flessione:

La situazione è alquanto diversa nel caso dell'azione dei momenti concentrati sulla trave, che, come verrà mostrato di seguito, non provocano deformazioni di taglio, ma portano solo ad un'ulteriore rotazione delle sezioni della trave.

Si consideri una trave liberamente supportata su supporti rigidi, nella cui sezione sinistra momento recitativo M. La forza di taglio in questo caso sarà costante e uguale

Per la giusta sezione di riferimento, rispettivamente, otteniamo

.(1.52)

Le espressioni (1.51) e (1.52) possono essere riscritte come

Le espressioni tra parentesi caratterizzano l'addizione relativa all'angolo di rotazione della sezione causata dal taglio.

Se consideriamo, ad esempio, una trave liberamente supportata caricata a metà della sua campata dalla forza R(Fig. 1.18), quindi la deflessione del raggio sotto la forza sarà uguale a

La deflessione alla flessione può essere trovata dalle tabelle di flessione della trave. La deflessione a taglio è determinata dalla formula (1.50), tenendo conto del fatto che .

Riso. 1.18. Schema di una trave liberamente supportata caricata con una forza concentrata

Come si può vedere dalla formula (1.55), l'addizione relativa alla deflessione della trave dovuta al taglio ha la stessa struttura dell'addizione relativa all'angolo di rotazione, ma con un coefficiente numerico diverso.

Introduciamo la notazione

dove β è un coefficiente numerico dipendente dal compito specifico in esame, dalla disposizione dei supporti e dal carico della trave.

Analizziamo la dipendenza del coefficiente K da vari fattori.

Se prendiamo in considerazione che , otteniamo invece di (1.56)

Il momento d'inerzia della sezione della trave può sempre essere rappresentato come

,(1.58)

dove α è un coefficiente numerico dipendente dalla forma e dalle caratteristiche della sezione trasversale. Quindi, per un I-beam, secondo la formula (1.40) con ω = 2 F 1 trovare io= ωh 2/3, cioè α=1/3.

Si noti che con un aumento delle dimensioni delle mensole della trave, il coefficiente α aumenterà.

Tenendo conto della (1.58), invece della (1.57) possiamo scrivere:

Quindi, il valore del coefficiente K dipende significativamente dal rapporto tra la lunghezza della campata della trave e la sua altezza, dalla forma della sezione (attraverso il coefficiente α), dal dispositivo degli appoggi e dal carico della trave (attraverso il coefficiente β). Più lungo è il raggio ( h/l piccolo), minore è l'effetto della deformazione a taglio. Per travi a profilo laminato relative a h/l inferiore a 1/10÷1/8, la correzione dello spostamento non può essere praticamente presa in considerazione.

Tuttavia, per travi con circonferenza larga, come, ad esempio, chiglie, traverse e solai come parte di solai di fondo, l'effetto di taglio e al valore indicato h/l può essere significativo.

Va notato che le deformazioni di taglio influiscono non solo sull'aumento delle deformazioni delle travi, ma in alcuni casi anche sui risultati della rivelazione dell'indeterminatezza statica di travi e sistemi di travi.

Concetti generali.

deformazione a flessioneconsiste nella curvatura dell'asse dell'asta diritta o nel modificare la curvatura iniziale dell'asta diritta(Fig. 6.1) . Facciamo conoscenza con i concetti di base che vengono utilizzati quando si considera la deformazione a flessione.

Si chiamano barre di piegatura travi.

pulire chiamata curva, in cui il momento flettente è l'unico fattore di forza interna che si verifica nella sezione trasversale della trave.

Più spesso, nella sezione trasversale dell'asta, insieme al momento flettente, si verifica anche una forza trasversale. Tale curva è chiamata trasversale.

piatto (dritto) detta curva quando il piano d'azione del momento flettente nella sezione trasversale passa attraverso uno degli assi centrali principali della sezione trasversale.

Con una curva obliqua il piano d'azione del momento flettente interseca la sezione trasversale della trave lungo una linea che non coincide con nessuno degli assi centrali principali della sezione trasversale.

Iniziamo lo studio della deformazione flessionale con il caso della flessione piana pura.

Sollecitazioni e deformazioni normali in flessione pura.

Come già accennato, con una curva piana pura nella sezione trasversale, dei sei fattori di forza interni, solo il momento flettente è diverso da zero (Fig. 6.1, c):

; (6.1)

Gli esperimenti eseguiti su modelli elastici mostrano che se viene applicata una griglia di linee alla superficie del modello(Fig. 6.1, a) , quindi sotto pura flessione si deforma come segue(Fig. 6.1, b):

a) le linee longitudinali sono curve lungo la circonferenza;

b) i contorni delle sezioni trasversali rimangono piatti;

c) le linee dei contorni delle sezioni si intersecano ovunque con le fibre longitudinali ad angolo retto.

In base a ciò si può presumere che in flessione pura le sezioni trasversali della trave rimangano piatte e ruotino in modo da rimanere normali all'asse di flessione della trave (ipotesi di sezione piana in flessione).

Riso. .

Misurando la lunghezza delle linee longitudinali (Fig. 6.1, b), si può notare che le fibre superiori si allungano durante la deformazione flessionale della trave e quelle inferiori si accorciano. Ovviamente è possibile trovare tali fibre, la cui lunghezza rimane invariata. Viene chiamato l'insieme di fibre che non cambiano la loro lunghezza quando la trave viene piegatastrato neutro (n.s.). Lo strato neutro interseca la sezione trasversale della trave in una retta dettatratto di linea neutra (n. l.)..

Per ricavare una formula che determini l'entità delle sollecitazioni normali che si presentano nella sezione trasversale, si consideri la sezione della trave nello stato deformato e non deformato (Fig. 6.2).

Riso. .

Con due sezioni trasversali infinitesime, selezioniamo un elemento di lunghezza. Prima della deformazione, le sezioni che delimitano l'elemento erano parallele tra loro (Fig. 6.2, a) e dopo la deformazione si inclinavano leggermente, formando un angolo. La lunghezza delle fibre che giacciono nello strato neutro non cambia durante la piegatura. Designiamo con una lettera il raggio di curvatura della traccia dello strato neutro sul piano del disegno. Determiniamo la deformazione lineare di una fibra arbitraria distanziata dallo strato neutro.

La lunghezza di questa fibra dopo la deformazione (lunghezza dell'arco) è uguale a. Considerando che prima della deformazione tutte le fibre avevano la stessa lunghezza, otteniamo che l'allungamento assoluto della fibra considerata

La sua deformazione relativa

Ovviamente, poiché la lunghezza della fibra giacente nello strato neutro non è cambiata. Quindi dopo la sostituzione otteniamo

(6.2)

Pertanto, la deformazione longitudinale relativa è proporzionale alla distanza della fibra dall'asse neutro.

Introduciamo il presupposto che le fibre longitudinali non si premono tra loro durante la piegatura. In base a questo presupposto, ogni fibra viene deformata in isolamento, subendo una semplice tensione o compressione, alla quale. Tenendo conto (6.2)

, (6.3)

vale a dire, le sollecitazioni normali sono direttamente proporzionali alle distanze dei punti considerati della sezione dall'asse neutro.

Sostituiamo la dipendenza (6.3) nell'espressione per il momento flettente nella sezione trasversale (6.1)

Ricordiamo che l'integrale è il momento d'inerzia della sezione attorno all'asse

O

(6.4)

La dipendenza (6.4) è la legge di Hooke per la flessione, poiché mette in relazione la deformazione (curvatura dello strato neutro) al momento agente nella sezione. Il prodotto è chiamato rigidità a flessione della sezione, N m2.

Sostituisci (6.4) in (6.3)

(6.5)

Questa è la formula desiderata per determinare le sollecitazioni normali nella flessione pura della trave in qualsiasi punto della sua sezione.

Per Per stabilire dove si trova la linea neutra nella sezione trasversale, sostituiamo il valore delle sollecitazioni normali nell'espressione per la forza longitudinale e il momento flettente

Perché il,

poi

(6.6)

(6.7)

L'uguaglianza (6.6) indica che l'asse neutro della sezione passa per il baricentro della sezione trasversale.

L'uguaglianza (6.7) mostra che e sono i principali assi centrali della sezione.

Secondo (6.5), le sollecitazioni maggiori si raggiungono nelle fibre più lontane dalla linea neutra

Il rapporto è il modulo della sezione assiale rispetto al suo asse centrale, il che significa

Il valore per le sezioni trasversali più semplici è il seguente:

Per sezione rettangolare

, (6.8)

dov'è il lato della sezione perpendicolare all'asse;

Il lato della sezione è parallelo all'asse;

Per sezione rotonda

, (6.9)

dove è il diametro della sezione circolare.

La condizione di resistenza per le normali sollecitazioni in flessione può essere scritta come

(6.10)

Tutte le formule ottenute sono ottenute per il caso di flessione pura di un'asta dritta. L'azione della forza trasversale porta al fatto che le ipotesi alla base delle conclusioni perdono di forza. Tuttavia, la pratica dei calcoli mostra che nel caso di flessione trasversale di travi e telai, quando oltre al momento flettente agiscono nella sezione anche una forza longitudinale e una forza trasversale, si possono utilizzare le formule fornite per la flessione pura. In questo caso, l'errore risulta essere insignificante.

Determinazione delle forze trasversali e dei momenti flettenti.

Come già accennato, con una flessione trasversale piana nella sezione trasversale della trave, si verificano due fattori di forza interni u.

Prima di determinare e determinare le reazioni dei supporti delle travi (Fig. 6.3, a), compilare le equazioni di equilibrio della statica.

Determinare e applicare il metodo delle sezioni. Nel luogo che ci interessa, faremo una sezione mentale della trave, ad esempio, a una distanza dal supporto sinistro. Scartiamo una delle parti della trave, ad esempio quella destra, e consideriamo l'equilibrio del lato sinistro (Fig. 6.3, b). Sostituiremo l'interazione delle parti della trave con le forze interne e.

Stabiliamo le seguenti regole di segno per e:

• La forza trasversale nella sezione è positiva se i suoi vettori tendono a ruotare la sezione considerata in senso orario;
• Il momento flettente nella sezione è positivo se provoca compressione delle fibre superiori.

Riso. .

Per determinare queste forze, utilizziamo due equazioni di equilibrio:

1. ; ; .

2. ;

In questo modo,

a) la forza trasversale nella sezione trasversale della trave è numericamente uguale alla somma algebrica delle sporgenze sull'asse trasversale della sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione;

b) il momento flettente nella sezione trasversale della trave è numericamente uguale alla somma algebrica dei momenti (calcolati rispetto al baricentro della sezione) delle forze esterne agenti su un lato della sezione data.

Nei calcoli pratici, di solito sono guidati da quanto segue:

1. Se il carico esterno tende a ruotare la trave in senso orario rispetto alla sezione considerata, (Fig. 6.4, b), allora nell'espressione per esso dà un termine positivo.
2. Se un carico esterno crea un momento relativo alla sezione considerata, causando la compressione delle fibre superiori della trave (Fig. 6.4, a), allora nell'espressione per in questa sezione dà un termine positivo.

Riso. .

Costruzione di diagrammi in travi.

Considera un doppio raggio(Fig. 6.5, a) . Un raggio è agito in un punto da un momento concentrato, in un punto da una forza concentrata e in una sezione da un carico di intensità uniformemente distribuito.

Definiamo reazioni di supporto e(Fig. 6.5, b) . Il carico distribuito risultante è uguale e la sua linea d'azione passa per il centro della sezione. Componiamo le equazioni dei momenti rispetto ai punti e.

Determiniamo la forza trasversale e il momento flettente in una sezione arbitraria situata in una sezione a distanza dal punto A(Fig. 6.5, c) .

(Fig. 6.5, d). La distanza può variare all'interno di ().

Il valore della forza trasversale non dipende dalle coordinate della sezione, quindi, in tutte le sezioni della sezione, le forze trasversali sono le stesse e il diagramma appare come un rettangolo. Momento flettente

Il momento flettente cambia linearmente. Determiniamo le ordinate del diagramma per i confini della trama.

Determiniamo la forza trasversale e il momento flettente in una sezione arbitraria situata in una sezione a distanza dal punto(Fig. 6.5, e). La distanza può variare all'interno di ().

La forza trasversale cambia linearmente. Definisci i confini del sito.

Momento flettente

Il diagramma dei momenti flettenti in questa sezione sarà parabolico.

Per determinare il valore estremo del momento flettente, si eguaglia a zero la derivata del momento flettente lungo l'ascissa della sezione:

Da qui

Per una sezione con una coordinata, sarà il valore del momento flettente

Di conseguenza, otteniamo diagrammi di forze trasversali(Fig. 6.5, e) e momenti flettenti (Fig. 6.5, g).

Dipendenze differenziali nella flessione.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Queste dipendenze consentono di stabilire alcune caratteristiche dei diagrammi dei momenti flettenti e delle forze di taglio:

H in zone dove non c'è carico distribuito, i diagrammi sono limitati a rette parallele alla retta zero del diagramma e diagrammi nel caso generale rette oblique.

H nelle aree in cui viene applicato un carico uniformemente distribuito alla trave, il diagramma è limitato da rette inclinate e il diagramma è limitato da parabole quadratiche con un rigonfiamento rivolto nella direzione opposta alla direzione del carico.

A sezioni, dove la tangente al diagramma è parallela alla linea zero del diagramma.

H e aree dove, il momento aumenta; nelle aree in cui il momento diminuisce.

A sezioni in cui vengono applicate forze concentrate alla trave, ci saranno salti sull'entità delle forze applicate sul diagramma e fratture sul diagramma.

Nelle sezioni in cui vengono applicati momenti concentrati alla trave, ci saranno dei salti nel diagramma per l'entità di questi momenti.

Le ordinate del diagramma sono proporzionali alla tangente della pendenza della tangente al diagramma.