Come viene designato un cerchio inscritto? Formule per i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte di poligoni regolari

Consideriamo un cerchio inscritto in un triangolo (Fig. 302). Ricordiamo che il suo centro O si trova all'intersezione delle bisettrici degli angoli interni del triangolo. I segmenti OA, OB, OC che collegano O con i vertici del triangolo ABC divideranno il triangolo in tre triangoli:

AOB, BOS, SOA. L'altezza di ciascuno di questi triangoli è uguale al raggio e quindi le loro aree saranno espresse come

L'area dell'intero triangolo S è uguale alla somma di queste tre aree:

dove è il semiperimetro del triangolo. Da qui

Il raggio del cerchio inscritto è uguale al rapporto tra l'area del triangolo e il suo semiperimetro.

Per ottenere una formula per il circumraggio di un triangolo, dimostriamo la seguente proposizione.

Teorema a: In ogni triangolo il lato è uguale al diametro del cerchio circoscritto moltiplicato per il seno dell'angolo opposto.

Prova. Consideriamo un triangolo arbitrario ABC e un cerchio circoscritto attorno ad esso, il cui raggio sarà indicato con R (Fig. 303). Sia A l'angolo acuto del triangolo. Disegniamo i raggi OB, OS del cerchio e trasciniamo la perpendicolare OK dal suo centro O al lato BC del triangolo. Si noti che l'angolo a di un triangolo è misurato dalla metà dell'arco BC, per il quale l'angolo BOC è l'angolo al centro. Da ciò è chiaro che. Pertanto dal triangolo rettangolo RNS troviamo , o , che è ciò che dovevamo dimostrare.

La fig. 303 e il ragionamento si riferiscono al caso di un angolo acuto di un triangolo; Sarebbe facile svolgere la dimostrazione per i casi di angoli retti e ottusi (il lettore lo farà da solo), ma si può usare il teorema dei seni (218.3). Dal momento che deve provenire da dove

È scritto anche il teorema del seno. modulo

e il confronto con la forma di notazione (218.3) fornisce

Il raggio del cerchio circoscritto è uguale al rapporto tra il prodotto dei tre lati del triangolo e la sua area quadrupla.

Compito. Trova i lati di un triangolo isoscele se la circonferenza circoscritta e la circonferenza circoscritta hanno rispettivamente il raggio

Soluzione. Scriviamo le formule che esprimono i raggi dei cerchi inscritti e circoscritti di un triangolo:

Per un triangolo isoscele con un lato e una base, l'area è espressa dalla formula

oppure, riducendo la frazione per un fattore diverso da zero, abbiamo

che porta ad un'equazione quadratica rispetto a

Ha due soluzioni:

Sostituendo invece la sua espressione in una qualsiasi delle equazioni per o R, troveremo finalmente due risposte al nostro problema:

Esercizi

1. L'altezza di un triangolo rettangolo tracciato dal vertice di un angolo retto, dividendo l'ipotenusa nel rapporto Trova il rapporto tra ciascuna delle gambe e l'ipotenusa.

2. Le basi di un trapezio isoscele circoscritto ad un cerchio sono uguali ad a e b. Trova il raggio del cerchio.

3. Due cerchi si toccano esternamente. Le loro tangenti comuni sono inclinate rispetto alla retta dei centri di un angolo di 30°. La lunghezza del segmento tangente tra i punti tangenti è 108 cm Trova i raggi dei cerchi.

4. Le gambe di un triangolo rettangolo sono uguali ad a e b. Trova l'area di un triangolo i cui lati sono l'altezza e la mediana del triangolo dato tracciato dal vertice dell'angolo retto, e il segmento dell'ipotenusa compreso tra i punti della loro intersezione con l'ipotenusa.

5. I lati del triangolo sono 13, 14, 15. Trova la proiezione di ciascuno di essi sugli altri due.

6. Il lato e le altezze di un triangolo sono noti. Trova i lati b e c.

7. Sono noti due lati del triangolo e la mediana. Trova il terzo lato del triangolo.

8. Dati due lati di un triangolo e un angolo a compreso tra loro: Trova i raggi dei cerchi inscritti e circoscritti.

9. I lati del triangolo a, b, c sono noti. Quali sono i segmenti in cui sono divisi dai punti di contatto del cerchio inscritto con i lati del triangolo?

Un raggio è un segmento di linea che collega qualsiasi punto di una circonferenza al suo centro. Questa è una delle caratteristiche più importanti di questa cifra, poiché sulla base di essa è possibile calcolare tutti gli altri parametri. Se sai come trovare il raggio di un cerchio, puoi calcolarne il diametro, la lunghezza e l'area. Nel caso in cui una determinata figura sia inscritta o descritta attorno a un'altra, è possibile risolvere una serie di altri problemi. Oggi esamineremo le formule di base e le caratteristiche della loro applicazione.

Quantità conosciute

Se sai come trovare il raggio di un cerchio, che di solito è indicato con la lettera R, puoi calcolarlo utilizzando una caratteristica. Questi valori includono:

circonferenza (C);
diametro (D) - un segmento (o meglio, una corda) che passa attraverso il punto centrale;
area (S) - lo spazio limitato da una determinata figura.

Circonferenza

Se il valore di C è noto nel problema, allora R = C / (2 * P). Questa formula è un derivato. Se sappiamo qual è la circonferenza, non abbiamo più bisogno di ricordarla. Supponiamo che nel problema C = 20 m. Come trovare il raggio del cerchio in questo caso? Sostituiamo semplicemente il valore noto nella formula sopra. Si noti che in tali problemi la conoscenza del numero P è sempre implicita. Per comodità di calcolo, prendiamo il suo valore come 3,14. La soluzione in questo caso è questa: annotiamo quali valori vengono forniti, ricaviamo la formula ed eseguiamo i calcoli. Nella risposta scriviamo che il raggio è 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. È importante non dimenticare ciò che abbiamo calcolato e menzionare il nome delle unità di misura.

Per diametro

Sottolineiamo subito che questo è il tipo di problema più semplice, che chiede come trovare il raggio di un cerchio. Se durante un test ti sei imbattuto in un esempio del genere, puoi stare tranquillo. Non hai nemmeno bisogno di una calcolatrice qui! Come abbiamo già detto, il diametro è un segmento o, più correttamente, una corda che passa per il centro. In questo caso tutti i punti della circonferenza sono equidistanti. Pertanto, questo accordo è composto da due metà. Ognuno di essi è un raggio, che deriva dalla sua definizione di segmento che collega un punto su un cerchio e il suo centro. Se nel problema è noto il diametro, per trovare il raggio è sufficiente dividere questo valore per due. La formula è la seguente: R = D / 2. Ad esempio, se il diametro nel problema è 10 m, il raggio è 5 metri.

Per area di un cerchio

Questo tipo di problema è solitamente definito il più difficile. Ciò è dovuto principalmente all'ignoranza della formula. Se in questo caso sai come trovare il raggio di un cerchio, il resto è una questione di tecnica. Nella calcolatrice, devi solo trovare in anticipo l'icona per il calcolo della radice quadrata. L'area di un cerchio è il prodotto del numero P e del raggio moltiplicato per se stesso. La formula è la seguente: S = P * R 2. Isolando il raggio da un lato dell'equazione, puoi facilmente risolvere il problema. Sarà uguale alla radice quadrata del quoziente dell'area divisa per il numero P. Se S = 10 m, allora R = 1,78 metri. Come nei problemi precedenti, è importante ricordare le unità di misura utilizzate.

Come trovare il circumraggio di un cerchio

Supponiamo che a, b, c siano i lati del triangolo. Se conosci i loro valori, puoi trovare il raggio del cerchio descritto attorno ad esso. Per fare ciò, devi prima trovare il semiperimetro del triangolo. Per facilitarne la comprensione, denotiamolo con la lettera p minuscola. Sarà uguale alla metà della somma dei lati. La sua formula: p = (a + b + c) / 2.

Calcoliamo anche il prodotto delle lunghezze dei lati. Per comodità, denotiamolo con la lettera S. La formula per il raggio del cerchio circoscritto sarà simile a questa: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - C)).

Diamo un'occhiata a un'attività di esempio. Abbiamo un cerchio circoscritto attorno ad un triangolo. Le lunghezze dei suoi lati sono 5, 6 e 7 cm Per prima cosa calcoliamo il semiperimetro. Nel nostro problema sarà pari a 9 centimetri. Ora calcoliamo il prodotto delle lunghezze dei lati - 210. Sostituiamo i risultati dei calcoli intermedi nella formula e scopriamo il risultato. Il raggio del cerchio circoscritto è 3,57 centimetri. Scriviamo la risposta, senza dimenticare le unità di misura.

Come trovare il raggio di una circonferenza inscritta

Supponiamo che a, b, c siano le lunghezze dei lati del triangolo. Se conosci i loro valori, puoi trovare il raggio del cerchio inscritto in esso. Per prima cosa devi trovare il suo semiperimetro. Per facilitarne la comprensione, denotiamolo con una lettera p minuscola. La formula per calcolarlo è la seguente: p = (a + b + c) / 2. Questo tipo di problema è un po' più semplice del precedente, quindi non sono necessari ulteriori calcoli intermedi.

Il raggio del cerchio inscritto si calcola utilizzando la seguente formula: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Consideriamolo con un esempio specifico. Supponiamo che il problema descriva un triangolo con i lati di 5, 7 e 10 cm in esso è inscritto un cerchio, il cui raggio deve essere trovato. Per prima cosa troviamo il semiperimetro. Nel nostro problema sarà pari a 11 cm Ora lo sostituiamo nella formula principale. Il raggio sarà pari a 1,65 centimetri. Scriviamo la risposta e non dimentichiamo le unità di misura corrette.

Cerchio e sue proprietà

Ogni figura geometrica ha le sue caratteristiche. La correttezza della risoluzione dei problemi dipende dalla loro comprensione. Anche il cerchio li ha. Vengono spesso utilizzati quando si risolvono esempi con figure descritte o inscritte, poiché forniscono un'immagine chiara di tale situazione. Tra loro:

Una linea retta può avere zero, uno o due punti di intersezione con un cerchio. Nel primo caso non la interseca, nel secondo è tangente, nel terzo è secante.
Se prendiamo tre punti che non giacciono sulla stessa linea, attraverso di essi è possibile tracciare solo un cerchio.
Una linea retta può essere tangente a due figure contemporaneamente. In questo caso passerà per un punto che giace sul segmento che collega i centri dei cerchi. La sua lunghezza è uguale alla somma dei raggi di queste figure.
Attraverso uno o due punti si possono tracciare infiniti cerchi.

Un cerchio è inscritto in un triangolo. In questo articolo ho raccolto per te problemi in cui ti viene dato un triangolo con inscritto o circoscritto attorno ad esso un cerchio. La condizione pone la questione di trovare il raggio di un cerchio o il lato di un triangolo.

È conveniente risolvere questi compiti utilizzando le formule presentate. Consiglio di impararli, sono molto utili non solo per risolvere questo tipo di compiti. Una formula esprime il rapporto tra il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo e i suoi lati e l'area, l'altra il raggio di un cerchio inscritto attorno a un triangolo, anch'esso con i suoi lati e l'area:

S – area del triangolo

Consideriamo i compiti:

27900. Il lato laterale di un triangolo isoscele è uguale a 1, l'angolo al vertice opposto alla base è uguale a 120 0. Trova il diametro del cerchio circoscritto a questo triangolo.

Qui un cerchio è circoscritto ad un triangolo.

Primo modo:

Possiamo trovare il diametro se conosciamo il raggio. Usiamo la formula per il raggio di un cerchio circoscritto ad un triangolo:

dove a, b, c sono i lati del triangolo

S – area del triangolo

Conosciamo due lati (i lati laterali di un triangolo isoscele), possiamo calcolare il terzo utilizzando il teorema del coseno:

Ora calcoliamo l'area del triangolo:

*Abbiamo utilizzato la formula (2) di.

Calcola il raggio:

Quindi il diametro sarà pari a 2.

Secondo modo:

Questi sono calcoli mentali. Coloro che hanno la capacità di risolvere problemi con un esagono inscritto in un cerchio, constateranno immediatamente che i lati del triangolo AC e BC “coincidono” con i lati dell’esagono inscritto nel cerchio (l’angolo dell’esagono è esattamente 120 0, come nella dichiarazione del problema). E poi, in base al fatto che il lato di un esagono inscritto in un cerchio è uguale al raggio di questo cerchio, non è difficile concludere che il diametro sarà uguale a 2AC, cioè due.

Per ulteriori informazioni sull'esagono, vedere le informazioni nella (voce 5).

Risposta: 2

27931. Il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo isoscele è 2. Trova l'ipotenusa Con questo triangolo. Si prega di indicare nella risposta.

dove a, b, c sono i lati del triangolo

S – area del triangolo

Non conosciamo né i lati del triangolo né la sua area. Indichiamo le gambe come x, quindi l'ipotenusa sarà uguale a:

E l'area del triangolo sarà pari a 0,5x 2.

Significa

Pertanto l'ipotenusa sarà uguale a:

Nella tua risposta devi scrivere:

Risposta: 4

27933. In un triangolo ABC AC = 4, BC = 3, angolo C equivale a 90 0 . Trova il raggio del cerchio inscritto.

Usiamo la formula per il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo:

dove a, b, c sono i lati del triangolo

S – area del triangolo

Conosciamo due lati (questi sono i cateti), possiamo calcolare il terzo (l'ipotenusa) e possiamo anche calcolare l'area.

Secondo il teorema di Pitagora:

Troviamo l'area:

Così:

Risposta 1

27934. I lati di un triangolo isoscele sono 5 e la base è 6. Trova il raggio del cerchio inscritto.

Usiamo la formula per il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo:

dove a, b, c sono i lati del triangolo

S – area del triangolo

Tutti i lati sono noti, calcoliamo l'area. Possiamo trovarlo utilizzando la formula di Erone:

Poi

Così:

Risposta: 1.5

27624. Il perimetro del triangolo è 12 e il raggio del cerchio inscritto è 1. Trova l'area di questo triangolo. Visualizza la soluzione

27932. I cateti di un triangolo rettangolo isoscele sono uguali. Trova il raggio del cerchio inscritto in questo triangolo.

Un breve riassunto.

Se la condizione dà un triangolo e un cerchio inscritto o circoscritto e stiamo parlando di lati, area, raggio, ricorda immediatamente le formule indicate e prova a usarle durante la risoluzione. Se non funziona, cerca altre soluzioni.

È tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Come trovare il raggio di un cerchio? Questa domanda è sempre rilevante per gli scolari che studiano planimetria. Di seguito esamineremo diversi esempi di come è possibile affrontare questo compito.

A seconda delle condizioni del problema, puoi trovare il raggio del cerchio in questo modo.

Formula 1: R = L / 2π, dove L è e π è una costante pari a 3.141...

Formula 2: R = √(S / π), dove S è l'area del cerchio.

Formula 1: R = B/2, dove B è l'ipotenusa.

Formula 2: R = M*B, dove B è l'ipotenusa e M è la mediana ad essa attratta.

Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un poligono regolare

Formula: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), dove A è la lunghezza di uno dei lati della figura e n è il numero di lati di questa figura geometrica.

Come trovare il raggio di una circonferenza inscritta

Una circonferenza inscritta si dice quando tocca tutti i lati del poligono. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Formula 1: R = S / (P/2), dove - S e P sono rispettivamente l'area e il perimetro della figura.

Formula 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), dove P è il perimetro, A è la lunghezza di uno dei lati ed è l'angolo opposto a questo lato.

Come trovare il raggio di un cerchio se è inscritto in un triangolo rettangolo

Formula 1:

Il raggio di un cerchio inscritto in un rombo

Il cerchio può essere inscritto in qualsiasi rombo, sia equilatero che disuguale.

Formula 1: R = 2 * H, dove H è l'altezza della figura geometrica.

Formula 2: R = S / (A*2), dove S è e A è la lunghezza del suo lato.

Formula 3: R = √((S * sin A)/4), dove S è l'area del rombo e sin A è il seno dell'angolo acuto di questa figura geometrica.

Formula 4: R = B*G/(√(B² + G²), dove B e G sono le lunghezze delle diagonali della figura geometrica.

Formula 5: R = B*sin (A/2), dove B è la diagonale del rombo e A è l'angolo ai vertici che collega la diagonale.

Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo

Se nella formulazione del problema ti vengono fornite le lunghezze di tutti i lati della figura, calcola prima (P) e poi il semiperimetro (p):

P = A+B+C, dove A, B, C sono le lunghezze dei lati della figura geometrica.

Formula 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

E se, conoscendo tutti gli stessi tre lati, te ne viene dato anche uno, allora puoi calcolare il raggio richiesto come segue.

Formula 2: R = S * 2(A + B + C)

Formula 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), dove - n è il semiperimetro della figura geometrica.

Formula 4: R = (n - A) * tan (A/2), dove n è il semiperimetro del triangolo, A è uno dei suoi lati e tg (A/2) è la tangente di metà dell'angolo di fronte a questo lato.

E la formula seguente ti aiuterà a trovare il raggio del cerchio in cui è inscritto

Formula 5: R = A * √3/6.

Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo rettangolo

Se il problema fornisce le lunghezze dei cateti, oltre all'ipotenusa, il raggio del cerchio inscritto viene determinato come segue.

Formula 1: R = (A+B-C)/2, dove A, B sono cateti, C è l'ipotenusa.

Nel caso in cui ti vengano fornite solo due gambe, è tempo di ricordare il teorema di Pitagora per trovare l'ipotenusa e utilizzare la formula sopra.

C = √(A²+B²).

Il raggio di un cerchio inscritto in un quadrato

Un cerchio inscritto in un quadrato divide tutti e 4 i suoi lati esattamente a metà nei punti di contatto.

Formula 1: R = A/2, dove A è la lunghezza del lato del quadrato.

Formula 2: R = S / (P/2), dove S e P sono rispettivamente l'area e il perimetro del quadrato.

Cerchio inscritto in un triangolo

Esistenza di una circonferenza inscritta in un triangolo

Ricordiamo la definizione bisettrici degli angoli .

Definizione 1 .Bisettrice dell'angolo chiamato raggio che divide un angolo in due parti uguali.

Teorema 1 (Proprietà fondamentale di una bisettrice di un angolo) . Ogni punto della bisettrice dell'angolo si trova alla stessa distanza dai lati dell'angolo (Fig. 1).

Riso. 1

Prova D , giacente sulla bisettrice dell'angoloBAC , E DE E DF ai lati dell'angolo (Fig. 1).Triangoli rettangoli ADF E ADE pari , poiché hanno angoli acuti ugualiDAF E DAE e l'ipotenusa ANNO DOMINI – generale. Quindi,

DF = DE,

Q.E.D.

Teorema 2 (inversamente al Teorema 1) . Se ce n'è uno, si trova sulla bisettrice dell'angolo (Fig. 2).

Riso. 2

Prova . Consideriamo un punto arbitrarioD , che giace all'interno dell'angoloBAC e situato alla stessa distanza dai lati dell'angolo. Lasciamo il puntoD perpendicolari DE E DF ai lati dell'angolo (Fig. 2).Triangoli rettangoli ADF E ADE pari , poiché hanno le gambe ugualiDF E DE e l'ipotenusa ANNO DOMINI – generale. Quindi,

Q.E.D.

Definizione 2 . Il cerchio si chiama cerchio inscritto in un angolo , se sono i lati di questo angolo.

Teorema 3 . Se una circonferenza è inscritta in un angolo, le distanze dal vertice dell'angolo ai punti di contatto della circonferenza con i lati dell'angolo sono uguali.

Prova . Lasciamo il punto D – centro di una circonferenza inscritta in un angoloBAC e i punti E E F – punti di contatto della circonferenza con i lati dell'angolo (Fig. 3).

Fig.3

UN , B , C - lati del triangolo,  S -piazza,

R – raggio del cerchio inscritto,  P – semiperimetro

Visualizza l'output della formula

UN – lato laterale di un triangolo isoscele ,   B – base, R – raggio del cerchio inscritto

UN R – raggio del cerchio inscritto

Visualizza l'output della formula

Dove

poi, nel caso di un triangolo isoscele, quando

noi abbiamo

che è ciò che era richiesto.

Teorema 7 . Per l'uguaglianza

Dove UN – lato di un triangolo equilatero,R – raggio del cerchio inscritto (Fig. 8).

Riso. 8

Prova .

quindi, nel caso di un triangolo equilatero, quando

b = un,

noi abbiamo

che è ciò che era richiesto.

Commento . Come esercizio, consiglio di derivare direttamente la formula per il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo equilatero, cioè senza utilizzare formule generali per i raggi dei cerchi inscritti in un triangolo arbitrario o in un triangolo isoscele.

Teorema 8 . Per un triangolo rettangolo vale la seguente uguaglianza:

Dove UN , B – cateti di un triangolo rettangolo, C – ipotenusa , R – raggio del cerchio inscritto.

Prova . Consideriamo la Figura 9.

Riso. 9

Dal quadrilateroCDOF È , che ha lati adiacentiFARE E DI sono uguali, allora questo rettangolo lo è . Quindi,

CB = CF = r,

In virtù del Teorema 3, sono vere le seguenti uguaglianze:

Pertanto, tenendo conto anche di , otteniamo

che è ciò che era richiesto.

Una selezione di problemi sull'argomento "Un cerchio inscritto in un triangolo".

Una circonferenza inscritta in un triangolo isoscele divide uno dei lati laterali nel punto di contatto in due segmenti, le cui lunghezze sono 5 e 3, contando dal vertice opposto alla base. Trova il perimetro del triangolo.

Nel triangolo ABC AC=4, BC=3, l'angolo C è 90º. Trova il raggio del cerchio inscritto.

I cateti di un triangolo rettangolo isoscele sono 2+. Trova il raggio del cerchio inscritto in questo triangolo.

Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo rettangolo isoscele è 2. Trova l'ipotenusa c di questo triangolo. Per favore indica c(–1) nella tua risposta.

Presentiamo una serie di problemi dell'Esame di Stato Unificato con soluzioni.

Il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo isoscele è pari a . Trova l'ipotenusa di questo triangolo. Si prega di indicare nella risposta.

Il triangolo è rettangolare e isoscele. Ciò significa che le sue gambe sono le stesse. Lascia che ogni gamba sia uguale. Allora l'ipotenusa è uguale.

Scriviamo l'area del triangolo ABC in due modi:

Uguagliando queste espressioni, otteniamo questo. Perché il, lo capiamo. Poi.

Scriveremo in risposta.

Risposta:.

Compito 2.

1. Nella libera ci sono due lati di 10 cm e 6 cm (AB e BC). Trova i raggi dei cerchi circoscritti e inscritti
Il problema si risolve autonomamente commentando.

Soluzione:

IN.

1) Trova:
2) Dimostrare:e trova CK
3) Trova: raggi di cerchi circoscritti e inscritti

Soluzione:

Compito 6.

R il raggio di un cerchio inscritto in un quadrato è. Trova il raggio del cerchio circoscritto a questo quadrato.Dato :

Trovare: Sistema operativo=?
Soluzione: In questo caso il problema può essere risolto utilizzando il teorema di Pitagora o la formula per R. Il secondo caso sarà più semplice, poiché la formula per R si ricava dal teorema.

Compito 7.

Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo rettangolo isoscele è 2. Trova l'ipotenusaCon questo triangolo. Si prega di indicare nella risposta.