- il numero di maschi su 10 neonati.

È abbastanza chiaro che questo numero non è noto in anticipo e nei prossimi dieci bambini nati potrebbero esserci:

O ragazzi - uno e solo uno delle opzioni elencate.

E, per tenersi in forma, un po' di educazione fisica:

- distanza di salto in lungo (in alcune unità).

Anche il maestro dello sport non è in grado di prevederlo :)

Tuttavia, quali sono le tue ipotesi?

2) Variabile casuale continua - prende tutto valori numerici da un intervallo finito o infinito.

Nota : le abbreviazioni DSV e NSV sono popolari nella letteratura educativa

Per prima cosa, analizziamo una variabile casuale discreta, quindi - continuo.

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta

- questo è conformità tra i possibili valori di questa quantità e le loro probabilità. Molto spesso, la legge è scritta in una tabella:

Il termine è abbastanza comune riga distribuzione, ma in alcune situazioni suona ambiguo, e quindi mi atterrò alla "legge".

E adesso punto molto importante: poiché la variabile casuale necessariamente accetterà uno dei valori, quindi si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo e la somma delle probabilità che si verifichino è uguale a uno:

oppure, se scritto piegato:

Quindi, ad esempio, la legge della distribuzione delle probabilità dei punti su un dado ha la seguente forma:

Nessun commento.

Potresti avere l'impressione che una variabile casuale discreta possa assumere solo valori interi "buoni". Sfatiamo l'illusione: possono essere qualsiasi cosa:

Esempio 1

Alcuni giochi hanno la seguente legge di distribuzione dei guadagni:

...probabilmente hai sognato per molto tempo questi compiti :) Lascia che ti dica un segreto, anch'io. Soprattutto dopo aver terminato il lavoro teoria dei campi.

Soluzione: poiché una variabile casuale può assumere solo uno dei tre valori, si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo, il che significa che la somma delle loro probabilità è uguale a uno:

Esponiamo il "partigiano":

– quindi, la probabilità di vincere unità convenzionali è 0,4.

Controllo: cosa ti serve per essere sicuro.

Risposta:

Non è raro che la legge di distribuzione debba essere compilata in modo indipendente. Per questo uso definizione classica di probabilità, teoremi di moltiplicazione/addizione per probabilità di eventi e altre patatine tervera:

Esempio 2

Ci sono 50 biglietti della lotteria nella scatola, di cui 12 vincenti e 2 di loro vincono 1000 rubli ciascuno e il resto - 100 rubli ciascuno. Elabora una legge di distribuzione di una variabile casuale - l'entità della vincita, se un biglietto viene estratto casualmente dalla scatola.

Soluzione: come hai notato, è consuetudine inserire i valori di una variabile casuale in ordine ascendente. Pertanto, iniziamo con le vincite più piccole, ovvero i rubli.

In totale, ci sono 50 - 12 = 38 di questi biglietti, e secondo definizione classica:
è la probabilità che un biglietto estratto a caso non vinca.

Il resto dei casi è semplice. La probabilità di vincere rubli è:

Verifica: - e questo è un momento particolarmente piacevole di tali compiti!

Risposta: la legge di distribuzione dei guadagni richiesta:

Il seguente compito per una decisione indipendente:

Esempio 3

La probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio è . Crea una legge di distribuzione per una variabile casuale: il numero di colpi dopo 2 colpi.

... Sapevo che ti mancava :) Ricordiamo teoremi di moltiplicazione e addizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

La legge di distribuzione descrive completamente una variabile casuale, ma in pratica è utile (e talvolta più utile) conoscerne solo una parte. caratteristiche numeriche .

Aspettativa matematica di una variabile casuale discreta

In parole povere, questo valore medio atteso con prove ripetute. Lascia che una variabile casuale prenda valori con probabilità rispettivamente. Quindi l'aspettativa matematica di questa variabile casuale è uguale a somma di prodotti tutti i suoi valori con le probabilità corrispondenti:

o in forma piegata:

Calcoliamo, ad esempio, l'aspettativa matematica di una variabile casuale - il numero di punti persi su un dado:

Ora ricordiamo il nostro ipotetico gioco:

La domanda sorge spontanea: è anche redditizio giocare a questo gioco? ...chi ha impressioni? Quindi non puoi dire "a mano libera"! Ma a questa domanda si può rispondere facilmente calcolando l'aspettativa matematica, in sostanza - media ponderata probabilità di vincita:

Quindi, l'aspettativa matematica di questo gioco perdere.

Non fidarti delle impressioni: fidati dei numeri!

Sì, qui puoi vincere 10 o anche 20-30 volte di seguito, ma alla lunga saremo inevitabilmente rovinati. E non ti consiglierei di giocare a questi giochi :) Beh, forse solo per divertimento.

Da tutto quanto sopra, ne consegue che l'aspettativa matematica NON è un valore RANDOM.

Compito creativo per la ricerca indipendente:

Esempio 4

Mr X gioca alla roulette europea secondo il seguente sistema: punta costantemente 100 rubli sul rosso. Componi la legge di distribuzione di una variabile casuale: il suo guadagno. Calcola l'aspettativa matematica di vincita e arrotondala per eccesso a copechi. Come media il giocatore perde ogni cento puntate?

Riferimento : la roulette europea contiene 18 settori rossi, 18 neri e 1 verde ("zero"). In caso di caduta "rosso", al giocatore viene pagata una scommessa doppia, altrimenti va al reddito del casinò

Ci sono molti altri sistemi di roulette per i quali puoi creare le tue tabelle di probabilità. Ma questo è il caso in cui non abbiamo bisogno di leggi di distribuzione e tabelle, perché è stabilito con certezza che l'aspettativa matematica del giocatore sarà esattamente la stessa. Cambia solo da sistema a sistema

Valore casuale- questa è una grandezza che, per esperienza, assume uno dei tanti valori, e l'aspetto dell'uno o dell'altro valore di questa grandezza prima della sua misurazione non può essere previsto con precisione.

La definizione matematica formale è la seguente: sia uno spazio di probabilità, quindi una variabile aleatoria è una funzione misurabile rispetto a e alla σ-algebra di Borel su . Il comportamento probabilistico di una variabile casuale separata (indipendentemente dalle altre) è completamente descritto dalla sua distribuzione.

Definizione [modifica]

Spazio degli eventi elementari [modifica]

Lo spazio degli eventi elementari nel caso del lancio del dado

Se viene lanciato un dado, la faccia superiore può essere una delle sei facce con un numero di punti da uno a sei. La perdita di qualsiasi faccia in questo caso nella teoria della probabilità è chiamata evento elementare, cioè

L'insieme di tutte le facce forma uno spazio di eventi elementari, i cui sottoinsiemi sono chiamati eventi casuali. Nel caso di un singolo lancio di dado, esempi di eventi sono

Algebra degli eventi

Un insieme di eventi casuali forma un'algebra degli eventi se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

Se, invece della terza condizione, soddisfa un'altra condizione: l'unione di una sottofamiglia numerabile di appartiene anche a , allora l'insieme di eventi casuali forma una σ-algebra di eventi.

L'algebra degli eventi è un caso speciale della σ-algebra degli insiemi.

La più piccola tra tutte le possibili -algebre, i cui elementi sono tutti intervalli sulla retta reale, è chiamata Borel σ-algebra sull'insieme dei numeri reali.

Probabilità [modifica]

Se ad ogni evento elementare viene assegnato un numero per il quale la condizione è soddisfatta:

quindi si considera che siano date le probabilità degli eventi elementari. La probabilità di un evento, come sottoinsieme numerabile dello spazio degli eventi elementari, è definita come la somma delle probabilità di quegli eventi elementari che appartengono a tale evento. Il requisito della numerabilità è importante, perché altrimenti la somma non sarà definita.

Considera un esempio per determinare la probabilità di vari eventi casuali. Ad esempio, se un evento è un insieme vuoto, la sua probabilità è zero:

Se l'evento è lo spazio degli eventi elementari, allora la sua probabilità è uguale a uno:

La probabilità di un evento (un sottoinsieme dello spazio degli eventi elementari) è uguale alla somma delle probabilità di quegli eventi elementari che includono l'evento in esame.

Definizione di una variabile casuale [modifica]

Una variabile casuale è una funzione misurabile rispetto a e un'algebra Borel σ su .

Una variabile casuale può anche essere definita in un altro modo equivalente. Una funzione è chiamata variabile casuale se per qualsiasi numero reale e un insieme di eventi tale , appartiene .

Esempi [modifica]

è uguale alla media aritmetica di tutti i valori ricevuti.

.

,

cioè, l'aspettativa matematica non è definita.

Classificazione [modifica]

Le variabili casuali possono assumere valori discreti, continui e discreti continui. Di conseguenza, le variabili casuali sono classificate in discrete, continue e discrete-continuo (misti).

Sullo schema di test, è possibile determinare sia una variabile casuale separata (unidimensionale/scalare) sia un intero sistema di variabili casuali interconnesse unidimensionali (multidimensionale/vettoriale).

• Un esempio di variabile casuale mista è il tempo di attesa quando si attraversa una strada in una città in corrispondenza di un incrocio non regolamentato.
• In schemi infiniti (discreti o continui) conviene descrivere quantitativamente esiti già inizialmente elementari. Ad esempio, i numeri delle gradazioni delle tipologie di incidenti nell'analisi degli incidenti stradali; tempo di attività dello strumento per il controllo qualità, ecc.
• I valori numerici che descrivono i risultati degli esperimenti potrebbero non caratterizzare necessariamente i singoli risultati elementari nello schema di test, ma corrispondere anche ad alcuni eventi più complessi.

Da un lato, più valori numerici possono essere associati contemporaneamente a uno schema di test e ai singoli eventi in esso contenuti, che devono essere analizzati insieme.

• Ad esempio, le coordinate (ascissa, ordinata) di una sorta di esplosione di proiettili quando si spara a un bersaglio a terra; dimensioni metriche (lunghezza, larghezza, ecc.) della parte sottoposta a controllo qualità; i risultati di una visita medica (temperatura, pressione, polso, ecc.) Durante la diagnosi di un paziente; dati del censimento (per età, sesso, ricchezza, ecc.).

Poiché i valori delle caratteristiche numeriche degli schemi di test corrispondono nello schema ad alcuni eventi casuali (con le loro determinate probabilità), questi valori stessi sono casuali (con le stesse probabilità). Pertanto, tali caratteristiche numeriche sono generalmente chiamate variabili casuali. In questo caso, la distribuzione delle probabilità per i valori di una variabile casuale è chiamata legge di distribuzione di una variabile casuale.

Metodi di descrizione

È possibile impostare parzialmente una variabile casuale, descrivendo così tutte le sue proprietà probabilistiche come una variabile casuale separata, utilizzando la funzione di distribuzione, densità di probabilità e funzione caratteristica, determinando le probabilità dei suoi possibili valori. La funzione di distribuzione F(x) è la probabilità che i valori della variabile casuale siano minori del numero reale x. Ne consegue da questa definizione che la probabilità che il valore di una variabile casuale rientri nell'intervallo

Una variabile casuale, in generale, può assumere valori in qualsiasi spazio misurabile. Quindi viene spesso chiamato vettore casuale o elemento casuale. Per esempio,

Vedi anche [modifica]

• processo casuale
• funzione di distribuzione
• Valore atteso

Note [modifica]

1. 1 2 Chernova N. I. Capitolo 1. § 2. Teoria elementare della probabilità // Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: stato di Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
2. Chernova N. I. Capitolo 3. § 1. Algebra e sigma-algebra degli eventi // Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: stato di Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
3. Chernova N. I. CAPITOLO 1 § 2. Teoria elementare della probabilità // Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: stato di Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
4. 1 2 Chernova N. I. Capitolo 6. Variabili casuali e loro distribuzioni § 1. Variabili casuali // Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: stato di Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Letteratura [modifica]

• Gnedenko B.V. Corso di teoria della probabilità. - 8a ed. Inserisci. e corretto. - M.: Editoriale URSS, 2005. - 448 p.
• Dizionario enciclopedico matematico / cap. ed. Prokhorov Yu.V. - 2a ed. - M.: "Enciclopedia sovietica", 1998. - 847 p.
• Tikhonov VI, Kharisov V.N. Analisi statistica e sintesi di dispositivi e sistemi di radioingegneria. - Libro di testo per le università. - M.: Radio e comunicazione, 1991. - 608 p. - ISBN 5-256-00789-0
• Chernova N. I. Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: stato di Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Valore casuale come concetto fondamentale della teoria della probabilità è di grande importanza nelle sue applicazioni. Questo concetto è un'espressione astratta di un evento casuale. Inoltre, a volte è più conveniente operare con variabili casuali che con eventi casuali.

A caso Si chiama una quantità che, a seguito di un esperimento, può assumere l'uno o l'altro (ma un solo) valore (prima dell'esperimento non si sa quale).

Gli eventi sono solitamente indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto latino, probabilità con la lettera R, Per esempio, PAPÀ). Le realizzazioni di eventi (variabili casuali) sono indicate con lettere minuscole: un 1 , un 2 , …, un n.

Poiché nella teoria della probabilità e della statistica matematica sono considerate eventi di massa, quindi la variabile casuale è solitamente caratterizzata da valori possibili e loro probabilità.

Tra le variabili casuali incontrate nella pratica, si possono distinguere quelle discrete e continue.

Variabili casuali discretesono chiamati quelli che prendono solo valori separati tra loro e possono essere enumerati in anticipo. Ad esempio, il numero di automobili su un dato tratto di chilometri di strada in un determinato momento; il numero di unità difettose di parti di automobili in un lotto di n le cose.

Per variabili casuali discreteè caratteristico che accettino separati, valori isolati, che possono essere elencati in anticipo. Ad esempio, il numero di auto su un determinato tratto stradale può assumere solo valori interi 0, 1,2, ..., P e dipende dall'ora del giorno e dall'intensità del traffico.

Esistono variabili casuali di altro tipo, più comuni e di grande importanza pratica.

Variabile casuale continuaè chiamato tale, i cui possibili valori riempiono continuamente un certo intervallo(intervallo dell'asse numerico). L'intervallo dell'asse numerico può essere finito o infinito. Esempi di variabili casuali continue sono il tempo di attività di un'auto in determinate condizioni stradali, la velocità di un'auto su una determinata strada e l'errore di misurazione.

A differenza di discreto i possibili valori di variabili aleatorie continue non possono essere elencati in anticipo, poiché riempiono continuamente una certa lacuna.

Le variabili casuali sono solitamente indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino - X, Y, Z, T, e i loro possibili valori dal corrispondente piccolo x io , y io , z io , t io, dove io = 1, 2, .... P.

Considera una variabile casuale discreta X con possibili valori X 1 , X 2 , …, x n. Come risultato di ripetuti esperimenti, il valore T può assumere qualsiasi valore x io, cioè.:

X = x 1 ; X = x 2 ; …; X = xn.

Indichiamo le probabilità di questi eventi con la lettera R con gli indici corrispondenti:

P(X \u003d x 1) \u003d p 1; P(X \u003d x 2) \u003d p 2; …; P(X = x n)= p n .

Basato sul fatto che gli eventi x io formare un gruppo completo di eventi incompatibili, ovvero non possono verificarsi altri eventi, la somma delle probabilità di tutti i possibili valori della variabile casuale T è uguale a uno.

Questa probabilità totale è in qualche modo distribuita tra i singoli valori della variabile casuale

Variabile casuale discreta può essere completamente descritto da un punto di vista probabilistico se la probabilità di ciascun evento è specificata con precisione, cioè data questa distribuzione. Questo stabilirà la legge di distribuzione della variabile casuale.

La legge di distribuzione di una variabile casualeviene chiamata qualsiasi relazione che stabilisca una connessione tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro corrispondenti probabilità. Sapendo questo, è possibile giudicare prima dell'esperienza quali valori di una variabile casuale appariranno più spesso e quali meno spesso. I metodi o le forme di rappresentazione della legge di distribuzione di una variabile casuale sono diversi.

La forma più semplice di assegnazione legge di distribuzione di una variabile casuale discreta T è la serie di distribuzione o una tabella che elenca i possibili valori di quella quantità e le relative probabilità.

Un'estensione del concetto di eventi casuali, consistente nella comparsa di determinati valori numerici a seguito di un esperimento, è valore casuale X.

Definizione. A caso chiamano una quantità che, come risultato dell'esperimento, prende un solo valore da parte della loro totalità e di cui non si sa a priori quale.

Valore casuale, ad esempio, è un modello ragionevole per descrivere i dati geologici, tenendo conto dell'influenza di vari fattori sul campo fisico.

Oltre al risultato di un esperimento separato, non è possibile prevedere il valore esatto di una variabile aleatoria; se ne possono solo stabilire i modelli statistici, ad es. determinare le probabilità dei valori di una variabile casuale. Ad esempio, le misurazioni delle proprietà fisiche delle rocce sono osservazioni delle corrispondenti variabili casuali.

Tra le variabili casuali con cui deve fare i conti un geologo si possono distinguere due tipologie principali: discreto e quantità continuo.

Definizione. Discreto Una variabile casuale è quella che può assumere un insieme di valori numerabili finito o infinito.

Come esempi tipici di una variabile casuale discreta, possono esserci tutti i risultati del lavoro sul campo, tutti i risultati degli esperimenti, i campioni prelevati dal campo, ecc.

Tutti i possibili valori di una variabile casuale formano un gruppo completo di eventi, ad es. , dove è finito o infinito. Pertanto, si può dire che valore casuale generalizza il concetto di evento casuale.

Si ottenga a seguito di una ricerca la seguente serie di dati sulla composizione quantitativa di una determinata razza: 4; 3; uno; 2; 5; quattro; 2; 2; 3; uno; 5; quattro; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Sono stati effettuati in totale 20 test. Per rendere conveniente lavorare con i dati, sono stati trasformati: i valori ottenuti sono stati disposti in ordine crescente ed è stato calcolato il numero di occorrenze di ciascuno dei valori. Di conseguenza, abbiamo ottenuto (Tabella 7.1):

Definizione. Viene chiamata la distribuzione ascendente dei dati classifica.

Definizione. Il valore osservato di un segno di una variabile casuale è chiamato variante.

Definizione. Viene chiamata una serie composta da una variante serie variazionale.

Definizione. Viene chiamato un cambiamento in qualche segno di una variabile casuale vario.

Definizione. Il numero che mostra quante volte una data variante varia è chiamato frequenza ed è indicato con .

Definizione. Probabilità l'aspetto di questa opzione è uguale al rapporto tra la frequenza e l'importo totale della serie di variazioni

(1)

Tenendo conto delle definizioni introdotte, riscriveremo la Tabella 7.1.

Tabella 7.2. riga classificata

Opzione	1	2	3	4	5	6
Frequenza	3	4	3	3	6	1
Probabilità	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

Nell'analisi statistica dei dati sperimentali vengono utilizzati principalmente valori discreti. La tabella 7.3 mostra le principali caratteristiche numeriche di queste grandezze, che sono di grande importanza pratica nell'elaborazione dei dati sperimentali.

Tabella 7.3. Caratteristiche numeriche di variabili casuali

N p / p	Caratteristica (parametro) di una variabile casuale e sua designazione	Formula per trovare le caratteristiche di una variabile casuale	Nota
1	Valore atteso	(2)	Caratterizza la posizione di una variabile casuale sull'asse dei numeri
2	Significare	(3)	Se la variabile casuale è indipendente, allora
3	Moda	Questo è il valore per cui il più grande	Uguale al valore più frequente. Se ci sono diversi di questi valori nella serie di variazioni, non è determinato.
4	Mediano	Se anche, allora Se strano, allora	Questo è il valore che si trova al centro della serie classificata.
5	Dispersione		Caratterizza l'effettiva dispersione di una variabile casuale attorno al valore medio.
7	Il coefficiente di variazione	(6)	Insieme alla dispersione caratterizza la variabilità di una variabile casuale
8	Deviazione normalizzata centrata

Il concetto di variabile casuale. Variabili casuali discrete e continue. Funzione di distribuzione di probabilità e sue proprietà. Densità di distribuzione di probabilità e sue proprietà. Caratteristiche numeriche delle variabili casuali: aspettativa matematica, dispersione e loro proprietà, deviazione standard, moda e mediana; momenti iniziali e centrali, asimmetria e curtosi. Caratteristiche numeriche della media aritmetica di n variabili casuali indipendenti.

Il concetto di variabile casuale

A caso viene chiamata una grandezza che, a seguito di prove, assume l'uno o l'altro (ma solo uno) valore possibile, sconosciuto a priori, variando da prova a prova ea seconda di circostanze casuali. A differenza di un evento casuale, che è una caratteristica qualitativa del risultato di un test casuale, una variabile casuale caratterizza quantitativamente il risultato del test. Esempi di variabile casuale sono la dimensione di un pezzo, l'errore nel risultato della misurazione di qualsiasi parametro di un prodotto o di un ambiente. Tra le variabili casuali incontrate nella pratica, si possono distinguere due tipi principali: discrete e continue.

Discretoè una variabile casuale che assume un insieme numerabile finito o infinito di valori. Ad esempio: la frequenza dei colpi con tre colpi; il numero di prodotti difettosi in un lotto di n pezzi; il numero di chiamate in arrivo al centralino telefonico durante la giornata; il numero di guasti degli elementi del dispositivo per un certo periodo di tempo durante il test dell'affidabilità; il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio, ecc.

continuoè chiamata variabile casuale che può assumere qualsiasi valore da un intervallo finito o infinito. Ovviamente, il numero di valori possibili di una variabile casuale continua è infinito. Ad esempio: un errore nella misurazione della portata del radar; tempo di attività del chip; errore di fabbricazione delle parti; concentrazione di sale nell'acqua di mare, ecc.

Le variabili casuali sono solitamente indicate dalle lettere X, Y, ecc., e i loro possibili valori sono x, y, ecc. Per specificare una variabile casuale, non è sufficiente elencare tutti i suoi possibili valori. È inoltre necessario sapere con quale frequenza l'uno o l'altro dei suoi valori ​​possono apparire a seguito di test nelle stesse condizioni, ovvero è necessario impostare le probabilità del loro verificarsi. L'insieme di tutti i possibili valori di una variabile casuale e delle relative probabilità costituisce la distribuzione di una variabile casuale.

Leggi di distribuzione di una variabile casuale

legge di distribuzione Una variabile casuale è una corrispondenza tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro corrispondenti probabilità. Si dice che una variabile casuale obbedisce a una data legge di distribuzione. Vengono chiamate due variabili casuali indipendente, se la legge di distribuzione di uno di essi non dipende da quali possibili valori ha assunto l'altro valore. In caso contrario, vengono chiamate variabili casuali dipendente. Vengono chiamate diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti, se le leggi di distribuzione di un numero qualsiasi di esse non dipendono da quali possibili valori hanno assunto le altre quantità.

La legge di distribuzione di una variabile casuale può essere data sotto forma di tabella, funzione di distribuzione o densità di distribuzione. Una tabella contenente i possibili valori di una variabile casuale e le relative probabilità è la forma più semplice per specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1 )&p_n\\\hline\end(array)

La specifica tabellare della legge di distribuzione può essere utilizzata solo per una variabile casuale discreta con un numero finito di valori possibili. La forma tabellare di specificare la legge di una variabile casuale è anche chiamata serie di distribuzione.

Per chiarezza, la serie di distribuzione è presentata graficamente. In una rappresentazione grafica in un sistema di coordinate rettangolare, tutti i possibili valori di una variabile casuale sono tracciati lungo l'asse delle ascisse e le probabilità corrispondenti sono tracciate lungo l'asse delle ordinate. Vengono chiamati i punti (x_i,p_i) collegati da segmenti di retta poligono di distribuzione(Fig. 5). Va ricordato che la connessione dei punti (x_i,p_i) viene eseguita solo a scopo di chiarezza, poiché negli intervalli tra x_1 e x_2 , x_2 e x_3 , ecc. non ci sono valori che la variabile casuale X possa prendere, quindi le probabilità che si verifichi in questi intervalli sono zero.

Il poligono di distribuzione, come la serie di distribuzione, è una delle forme per specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta. Possono avere forme diverse, ma hanno tutte una proprietà comune: la somma delle ordinate dei vertici del poligono di distribuzione, che è la somma delle probabilità di tutti i possibili valori di una variabile casuale, è sempre uguale a uno . Questa proprietà deriva dal fatto che tutti i possibili valori della variabile casuale X formano un gruppo completo di eventi incompatibili, la cui somma delle probabilità è uguale a uno.

Funzione di distribuzione di probabilità e sue proprietà

La funzione di distribuzione è la forma più generale di impostazione della legge di distribuzione. Viene utilizzato per specificare variabili casuali sia discrete che continue. Di solito è indicato con F(x) . funzione di distribuzione determina la probabilità che una variabile casuale X assuma valori inferiori a un numero reale fisso x , ovvero F(x)=P\(X funzione di distribuzione integrale.

L'interpretazione geometrica della funzione di distribuzione è molto semplice. Se si considera una variabile aleatoria un punto aleatorio X dell'asse Ox (Fig. 6), che, a seguito del test, può assumere una o l'altra posizione sull'asse, allora la funzione di distribuzione F(x) è la probabilità che il punto casuale X, come risultato del test, cada nei punti x di sinistra.

Per una variabile casuale discreta X che può assumere i valori, la funzione di distribuzione ha la forma

F(x)=\somma\limiti_(x_i
dove la disuguaglianza x_i

Una variabile casuale continua ha una funzione di distribuzione continua, il grafico di questa funzione ha la forma di una curva liscia (Fig. 8).

Considera le proprietà generali delle funzioni di distribuzione.

Proprietà 1. La funzione di distribuzione è non negativa, una funzione racchiusa tra zero e uno:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

La validità di questa proprietà deriva dal fatto che la funzione di distribuzione F(x) è definita come la probabilità di un evento casuale che X

Proprietà 2. La probabilità che una variabile casuale cada nell'intervallo [\alpha;\beta) è uguale alla differenza tra i valori della funzione di distribuzione alle estremità di questo intervallo, ad es.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Ne consegue che la probabilità di ogni singolo valore di una variabile casuale continua è zero.

Proprietà 3. La funzione di distribuzione di una variabile casuale è una funzione non decrescente, cioè F(\beta)\geqslant(F(\alfa)).

Proprietà 4. A meno infinito, la funzione di distribuzione è uguale a zero e a più infinito è uguale a uno, cioè \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 e \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Esempio 1. La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua è data dall'espressione

F(x)=\begin(casi)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\fine(casi).

Trova il coefficiente a e traccia F(x) . Determinare la probabilità che la variabile casuale X come risultato dell'esperimento assuma un valore sull'intervallo.

Soluzione. Poiché la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X è continua, allora per x=3 otteniamo a(3-1)^2=1 . Quindi a=\frac(1)(4) . Il grafico della funzione F(x) è mostrato in fig. 9.

Sulla base della seconda proprietà della funzione di distribuzione, abbiamo

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Distribuzione della densità di probabilità e sue proprietà

La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua è la sua caratteristica probabilistica. Ma ha uno svantaggio, che consiste nel fatto che è difficile giudicare la natura della distribuzione di una variabile casuale in un piccolo intorno di uno o un altro punto dell'asse numerico. Una rappresentazione più visiva della natura della distribuzione di una variabile casuale continua è data da una funzione chiamata densità di distribuzione di probabilità o funzione di distribuzione differenziale di una variabile casuale.

Densità di distribuzione f(x) è uguale alla derivata della funzione di distribuzione F(x) , cioè

F(x)=F"(x).

Il significato della densità di distribuzione f(x) è che indica la frequenza con cui la variabile casuale X appare in qualche zona del punto x quando gli esperimenti vengono ripetuti. Viene chiamata la curva che rappresenta la densità di distribuzione f(x) di una variabile casuale curva di distribuzione.

Ritenere proprietà della densità di distribuzione.

Proprietà 1. La densità di distribuzione non è negativa, cioè

F(x)\geqslant0.

Proprietà 2. La funzione di distribuzione di una variabile casuale è uguale all'integrale della densità nell'intervallo da -\infty a x, cioè

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Proprietà 3. La probabilità di colpire una variabile casuale continua X sul segmento (\alpha;\beta) è uguale all'integrale della densità di distribuzione rilevata su questo segmento, cioè

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Proprietà 4. L'integrale in infiniti limiti della densità di distribuzione è uguale a uno:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Esempio 2. La variabile casuale X è soggetta alla legge di distribuzione con densità

F(x)=\begin(casi)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(casi)

Determinare il coefficiente a; costruire un grafico della densità di distribuzione; trova la probabilità di colpire una variabile casuale nell'area da 0 a \frac(\pi)(2) determina la funzione di distribuzione e costruisci il suo grafico.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Tenendo conto della proprietà 4 della densità di distribuzione, troviamo a=\frac(1)(2) . Pertanto, la densità di distribuzione può essere espressa come segue:

F(x)=\begin(casi)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(casi).

Il grafico della densità di distribuzione in fig. 10. Per la proprietà 3, abbiamo

P\!\sinistra\(0

Per determinare la funzione di distribuzione, utilizziamo la proprietà 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Quindi, abbiamo

F(x)=\begin(casi)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(casi).

Il grafico della funzione di distribuzione è mostrato in fig. undici

Caratteristiche numeriche di variabili casuali

La legge di distribuzione caratterizza completamente una variabile casuale da un punto di vista probabilistico. Ma quando si risolvono una serie di problemi pratici, non è necessario conoscere tutti i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità ad essi corrispondenti, ma è più conveniente utilizzare alcuni indicatori quantitativi. Tali indicatori sono chiamati numeri. caratteristiche di una variabile casuale. I principali sono l'aspettativa matematica, varianza, momenti di vari ordini, moda e mediana.

L'aspettativa matematica è talvolta chiamata il valore medio di una variabile casuale. Si consideri una variabile casuale discreta X che assume i valori x_1,x_2,\lpunti,x_n rispettivamente con le probabilità p_1,p_2,\lpunti,p_n Determiniamo la media aritmetica dei valori di una variabile casuale, ponderata dalle probabilità del loro verificarsi. Quindi, calcoliamo il valore medio di una variabile casuale, o la sua aspettativa matematica M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Dato che \somma\limiti_(i=1)^(n)p_i=1 noi abbiamo

M(X)=\somma\limiti_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Così, aspettativa matematica Una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e le probabilità corrispondenti.

Per una variabile casuale continua, l'aspettativa matematica

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Aspettativa matematica di una variabile casuale continua X, i cui possibili valori appartengono al segmento,

M(X)=\int\limiti_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Utilizzando la funzione di distribuzione di probabilità F(x) , l'aspettativa matematica di una variabile casuale può essere espressa come segue:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Proprietà di aspettativa

Proprietà 1. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Proprietà 2. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:

M(XY)=M(X)M(Y).

Proprietà 3. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa:

M(c)=c.

Proprietà 4. Un moltiplicatore costante di una variabile casuale può essere estratto dal segno di aspettativa:

M(cX)=cM(X).

Proprietà 5. L'aspettativa matematica della deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica è zero:

M(X-M(X))=0.

Esempio 3. Trova l'aspettativa matematica del numero di articoli difettosi in un campione di cinque articoli, se la variabile casuale X (il numero di articoli difettosi) è data da una serie di distribuzione.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(array)

Soluzione. Con la formula (4.1) troviamo

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Modalità M_0 di una variabile casuale discreta viene chiamato il suo valore più probabile.

Modalità M_0 di una variabile casuale continua viene chiamato il suo valore, che corrisponde al valore più grande della densità di distribuzione. Geometricamente, il modo è interpretato come l'ascissa del punto del massimo globale della curva di distribuzione (Fig. 12).

Mediana M_e della variabile casuale il suo valore è richiesto per cui l'uguaglianza

P\(X Me\).

Da un punto di vista geometrico, la mediana è l'ascissa del punto in cui l'area della figura delimitata dalla curva di distribuzione di probabilità e dall'asse delle ascisse è divisa a metà (Fig. 12). Poiché l'intera area delimitata dalla curva di distribuzione e dall'asse x è uguale a uno, la funzione di distribuzione nel punto corrispondente alla mediana è 0,5, cioè

F(M_e)=P\(X

Con l'aiuto della varianza e della deviazione standard, si può giudicare la dispersione di una variabile casuale attorno all'aspettativa matematica. Come misura della dispersione di una variabile casuale, viene utilizzata l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica, che è chiamata varianza variabile casuale X e denotiamo D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Per una variabile casuale discreta, la varianza è uguale alla somma dei prodotti delle deviazioni quadrate dei valori della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica per le probabilità corrispondenti:

D[X]=\somma\limiti_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Per una variabile casuale continua la cui legge di distribuzione è data dalla densità di distribuzione di probabilità f(x) , la varianza

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

La dimensione della varianza è uguale al quadrato della dimensione della variabile casuale e quindi non può essere interpretata geometricamente. Queste carenze sono private della deviazione standard di una variabile casuale, che viene calcolata dalla formula

\sigma=\sqrt(D[X]).

Proprietà della dispersione di variabili casuali

Proprietà 1. La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili:

D=D[X]+D[Y].

Proprietà 2. La varianza di una variabile casuale è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale X e il quadrato della sua aspettativa matematica:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Proprietà 3. La dispersione di un valore costante è zero:

D[c]=0.

Proprietà 4. Un fattore costante di una variabile casuale può essere estratto dal segno di varianza prima quadrandolo:

D=c^2D[X].

Proprietà 5. La varianza del prodotto di due variabili casuali indipendenti X e Y è determinata dalla formula

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Esempio 4. Calcola la varianza del numero di prodotti difettosi per la distribuzione dell'esempio 3.

Soluzione. Per definizione di varianza

Una generalizzazione delle caratteristiche numeriche di base di una variabile casuale è il concetto di momenti di una variabile casuale.

Il momento iniziale del q-esimo ordine variabile casuale è chiamata aspettativa matematica del valore X^q:

Il momento iniziale del primo ordine è l'aspettativa matematica e il momento centrale del secondo ordine è la varianza della variabile casuale.

Il momento centrale normalizzato del terzo ordine serve come caratteristica dell'asimmetria o asimmetria della distribuzione ( fattore di asimmetria):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Il momento centrale normalizzato del quarto ordine funge da caratteristica della distribuzione con picco o con sommità piatta ( eccesso):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Esempio 5. La variabile casuale X è data dalla distribuzione della densità di probabilità

F(x)=\begin(casi)0,&x<0;\\ax^2,&02.\fine(casi).

Trova il coefficiente a , l'aspettativa matematica, la varianza, l'asimmetria e la curtosi.

Soluzione. L'area delimitata dalla curva di distribuzione è numericamente uguale a

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^^ 3)(3))\destra|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Dato che quest'area dovrebbe essere uguale a uno, troviamo a=\frac(3)(8) . Usando la formula (4.2), troviamo l'aspettativa matematica:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

La dispersione è determinata dalla formula (4.3). Per fare ciò, troviamo prima l'aspettativa matematica del quadrato di una variabile casuale:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\sinistra.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\destra|_(0)^(2)=2,\!4.

In questo modo,

\begin(allineato)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approssimativamente0,\!3873.\end(allineato)

Utilizzando i momenti iniziali, calcoliamo i momenti centrali del terzo e quarto ordine:

\begin(allineato)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\sinistra.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\sinistra.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approssimativamente6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end(allineato)

Caratteristiche numeriche della media aritmetica di n variabili casuali indipendenti

Permettere x_1,x_2,\lpunti,x_n- valori della variabile aleatoria X ottenuti da n trial indipendenti. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è uguale a M(X) e la sua varianza è D[X] . Questi valori possono essere considerati come variabili casuali indipendenti X_1,X_2,\lpunti,X_n con le stesse aspettative e varianze matematiche:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\lpunti,n.

La media aritmetica di queste variabili casuali

\overline(X)=\somma\limiti_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Usando le proprietà dell'aspettativa matematica e della dispersione di una variabile casuale, possiamo scrivere:

\begin(allineato)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(allineato)

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