Ricordiamo le proprietà e i grafici delle funzioni di potenza con esponente intero negativo.
Anche per n:
Funzione di esempio:
Tutti i grafici di tali funzioni passano per due punti fissi: (1;1), (-1;1). La particolarità delle funzioni di questo tipo è la loro parità; i grafici sono simmetrici rispetto all'asse dell'amplificatore operazionale.
Riso. 1. Grafico di una funzione
Per n dispari:
Funzione di esempio:
Tutti i grafici di tali funzioni passano per due punti fissi: (1;1), (-1;-1). La particolarità delle funzioni di questo tipo è che sono dispari; i grafici sono simmetrici rispetto all'origine.
Riso. 2. Grafico di una funzione
Ricordiamo la definizione base.
La potenza di un numero non negativo a con esponente razionale positivo si chiama numero.
La potenza di un numero positivo a con esponente razionale negativo si chiama numero.
Per l'uguaglianza:
Per esempio: 
; - non esiste l'espressione, per definizione, di un grado con esponente razionale negativo; esiste perché l'esponente è intero, 
Passiamo a considerare le funzioni di potenza con esponente razionale negativo.
Per esempio:
Per tracciare un grafico di questa funzione, puoi creare una tabella. Lo faremo diversamente: prima costruiremo e studieremo il grafico del denominatore: ci è noto (Figura 3).
Riso. 3. Grafico di una funzione
Il grafico della funzione denominatore passa per un punto fisso (1;1). Quando si traccia il grafico della funzione originale, questo punto rimane, mentre anche la radice tende a zero, la funzione tende all'infinito. E, viceversa, quando x tende all'infinito, la funzione tende a zero (Figura 4).
Riso. 4. Grafico della funzione
Consideriamo un'altra funzione della famiglia di funzioni studiate.
È importante che per definizione
Consideriamo il grafico della funzione al denominatore: , il grafico di questa funzione ci è noto, aumenta nel suo dominio di definizione e passa per il punto (1;1) (Figura 5).
Riso. 5. Grafico di una funzione
Nel tracciare il grafico della funzione originaria rimane il punto (1;1), mentre anche la radice tende a zero, la funzione tende all'infinito. E, viceversa, quando x tende all'infinito, la funzione tende a zero (Figura 6).
Riso. 6. Grafico di una funzione
Gli esempi considerati aiutano a capire come scorre il grafico e quali sono le proprietà della funzione studiata, una funzione con un esponente razionale negativo.
I grafici delle funzioni di questa famiglia passano per il punto (1;1), la funzione decresce su tutto il dominio di definizione.
Ambito della funzione: 
La funzione non è limitata dall'alto, ma è limitata dal basso. La funzione non ha né il valore massimo né quello minimo.
La funzione è continua e assume tutti i valori positivi da zero a più infinito.
La funzione è convessa verso il basso (Figura 15.7)
Si prendono i punti A e B sulla curva, si traccia un segmento attraverso di essi, l'intera curva è al di sotto del segmento, questa condizione è soddisfatta per due punti arbitrari sulla curva, quindi la funzione è convessa verso il basso. Riso. 7.
Riso. 7. Convessità della funzione
È importante capire che le funzioni di questa famiglia sono limitate dallo zero dal basso, ma non hanno il valore più piccolo.
Esempio 1: trova il massimo e il minimo di una funzione su un intervallo e aumenta inX
e diminuisce aX
Proprietà della funzione arcoseno
Data la funzione nel suo insieme dominio di definizione sembra che lo sia monotono a tratti, e quindi la corrispondenza inversa il cui grafico è simmetrico al grafico di una funzione su un segmento rispetto ad una retta Funzione di potenza con esponente uguale a zero, p = 0 Funzione di potenza con esponente dispari naturale, p = n = 1, 3, 5, ... Consideriamo una funzione di potenza y = x p = x n con esponente dispari naturale n = 1, 3, 5, ... . Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. -∞ < x < ∞
Consideriamo una funzione di potenza y = x p = x n con esponente pari naturale n = 2, 4, 6, ... . Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k, dove k = 1, 2, 3, ... - naturale. Le proprietà e i grafici di tali funzioni sono riportati di seguito. Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. -∞ < x < ∞
Funzione di potenza con esponente intero negativo, p = n = -1, -2, -3, ... Considera una funzione di potenza y = x p = x n con un esponente intero negativo n = -1, -2, -3, ... . Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente intero negativo per vari valori dell'esponente n = -1, -2, -3, .... Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. Esponente dispari, n = -1, -3, -5, ... al n Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. Esponente dispari, n = -1, -3, -5, ... a n = -2, Considera una funzione di potenza y = x p con un esponente razionale (frazionario), dove n è un numero intero, m > 1 è un numero naturale. Inoltre n, m non hanno divisori comuni. Sia dispari il denominatore dell'esponente frazionario: m = 3, 5, 7, ... . In questo caso, la funzione potenza x p è definita sia per i valori positivi che negativi dell'argomento x. Consideriamo le proprietà di tali funzioni di potenza quando l'esponente p rientra entro certi limiti. Presentiamo le proprietà della funzione di potenza y = x p con un esponente negativo razionale, dove n = -1, -3, -5, ... è un intero negativo dispari, m = 3, 5, 7 ... è un intero naturale dispari. Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. Esponente dispari, n = -1, -3, -5, ... Proprietà della funzione di potenza y = x p con esponente razionale negativo, dove n = -2, -4, -6, ... è un intero negativo pari, m = 3, 5, 7 ... è un intero naturale dispari . Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. Esponente dispari, n = -1, -3, -5, ... Grafico di una funzione di potenza con esponente razionale (0< p < 1
) при различных значениях показателя степени ,
где m = 3, 5, 7, ...
- нечетное. < p < 1
,
где n = 1, 3, 5, ...
- нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ...
- нечетное натуральное. Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. -∞ < x < +∞
Vengono presentate le proprietà della funzione di potenza y = x p con esponente razionale compreso tra 0< p < 1
,
где n = 2, 4, 6, ...
- четное натуральное, m = 3, 5, 7 ...
- нечетное натуральное. Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. -∞ < x < +∞
Grafico di una funzione di potenza con esponente razionale (p > 1) per vari valori dell'esponente, dove m = 3, 5, 7, ... è dispari. Proprietà della funzione potenza y = x p con esponente razionale maggiore di uno: . Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. -∞ < x < ∞
Numeratore pari, n = 4, 6, 8, ... Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. -∞ < x < ∞
per x > 0 aumenta monotonicamente Sia pari il denominatore dell'esponente frazionario: m = 2, 4, 6, ... . In questo caso la funzione potenza x p non è definita per valori negativi dell'argomento. Le sue proprietà coincidono con le proprietà di una funzione di potenza con esponente irrazionale (vedi la sezione successiva). Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. Le proprietà di tali funzioni differiscono da quelle discusse sopra in quanto non sono definite per valori negativi dell'argomento x. Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. x≥ 0 Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni. x≥ 0 Riferimenti: [Modifica]Ottenere la funzione arcsin
non è una funzione. Considereremo quindi il segmento su cui aumenta strettamente e assume tutti i valori gamma di valori- . Poiché per una funzione su un intervallo ogni valore dell'argomento corrisponde a un singolo valore della funzione, allora su questo intervallo c'è 
funzione inversa
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Nel dominio di definizione della funzione potenza y = x p valgono le seguenti formule:
Proprietà delle funzioni potenza e loro grafici
Se l'esponente della funzione potenza y = x p è uguale a zero, p = 0, allora la funzione potenza è definita per tutti gli x ≠ 0 ed è una costante uguale a uno:y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... -∞ < y < ∞
Dominio: Significati multipli:
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi:
NO< x < 0
выпукла вверх
Convesso:< x < ∞
выпукла вниз
a -∞ a 0
a 0
Punti di flesso:
;
x = 0, y = 0
Limiti:
Valori privati:
in x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:Funzione di potenza con esponente pari naturale, p = n = 2, 4, 6, ...
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale pari per vari valori dell'esponente n = 2, 4, 6, ....< ∞
Dominio: 0 ≤ y
Parità:
pari, y(-x) = y(x)
per x ≤ 0 diminuisce monotonicamente
Monotono: per x ≥ 0 aumenta monotonicamente
Estremi: minimo, x = 0, y = 0
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso a 0
Punti di flesso:
;
x = 0, y = 0
Punti di intersezione con assi coordinati: in x = -1,
in x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
per n = 2, radice quadrata:per n ≠ 2, radice di grado n:
Se poniamo n = -k, dove k = 1, 2, 3, ... è un numero naturale, allora può essere rappresentato come:
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente negativo dispari n = -1, -3, -5, ....
Dominio: Significati multipli:
Parità: x ≠ 0
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi:
y ≠ 0< 0
:
выпукла вверх
diminuisce monotonicamente
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso aumenta monotonicamente
all'x
y ≠ 0< 0, y < 0
per x > 0: convesso verso il basso
Punti di flesso:
; ; ;
x = 0, y = 0
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0
Cartello:
per x > 0, y > 0< -2
,
quando n = -1,
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... Esponente pari, n = -2, -4, -6, ...
Dominio: 0 ≤ y
Parità:
y ≠ 0< 0
:
монотонно возрастает
Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente pari negativo n = -2, -4, -6, ....
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi: minimo, x = 0, y = 0
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso aumenta monotonicamente
all'x Esponente pari, n = -2, -4, -6, ...
Punti di flesso:
; ; ;
x = 0, y = 0
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0
y > 0
per x > 0, y > 0< -2
,
per x > 0: diminuisce monotonicamente
Funzione di potenza con esponente razionale (frazionario).
Il denominatore dell'indicatore frazionario è dispari< 0
Il valore p è negativo, p
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente negativo dispari n = -1, -3, -5, ....
Dominio: Significati multipli:
Parità: x ≠ 0
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi:
y ≠ 0< 0
:
выпукла вверх
diminuisce monotonicamente
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso aumenta monotonicamente
all'x
y ≠ 0< 0, y < 0
per x > 0: convesso verso il basso
Punti di flesso:
; ; ;
x = 0, y = 0
in x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0Numeratore pari, n = -2, -4, -6, ...
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... Esponente pari, n = -2, -4, -6, ...
Dominio: 0 ≤ y
Parità:
y ≠ 0< 0
:
монотонно возрастает
Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente pari negativo n = -2, -4, -6, ....
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi: minimo, x = 0, y = 0
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso aumenta monotonicamente
all'x Esponente pari, n = -2, -4, -6, ...
Punti di flesso:
; ; ;
x = 0, y = 0
in x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0Il valore p è positivo, inferiore a uno, 0< p < 1
Numeratore dispari, n = 1, 3, 5, ...
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... -∞ < y < +∞
Dominio: Significati multipli:
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi:
y ≠ 0< 0
:
выпукла вниз
per x > 0: convesso verso l'alto
a -∞ a 0
convesso verso il basso a 0
all'x
y ≠ 0< 0, y < 0
per x > 0: convesso verso il basso
Punti di flesso:
;
x = 0, y = 0
in x = -1, y(-1) = -1
in x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0Numeratore pari, n = 2, 4, 6, ...
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale pari per vari valori dell'esponente n = 2, 4, 6, ....< +∞
Dominio: 0 ≤ y
Parità:
y ≠ 0< 0
:
монотонно убывает
per x > 0: aumenta monotonicamente
Monotono: minimo in x = 0, y = 0
Estremi: convesso verso l'alto per x ≠ 0
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso a 0
all'x per x ≠ 0, y > 0
Punti di flesso:
;
x = 0, y = 0
in x = -1, y(-1) = 1
in x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0L'indice p è maggiore di uno, p > 1
Numeratore dispari, n = 5, 7, 9, ...
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... -∞ < y < ∞
Dominio: Significati multipli:
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi:
NO< x < 0
выпукла вверх
Convesso:< x < ∞
выпукла вниз
a -∞ a 0
convesso verso il basso a 0
Punti di flesso:
;
x = 0, y = 0
in x = -1, y(-1) = -1
in x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0 Dove n = 5, 7, 9, ... - naturale dispari, m = 3, 5, 7 ... - naturale dispari.
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale pari per vari valori dell'esponente n = 2, 4, 6, ....< ∞
Dominio: 0 ≤ y
Parità:
y ≠ 0< 0
монотонно убывает
Proprietà della funzione potenza y = x p con esponente razionale maggiore di uno: .
Monotono: minimo in x = 0, y = 0
Estremi: minimo, x = 0, y = 0
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso a 0
Punti di flesso:
;
x = 0, y = 0
in x = -1, y(-1) = 1
in x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0 Dove n = 4, 6, 8, ... - naturale pari, m = 3, 5, 7 ... - naturale dispari.
Il denominatore dell'indicatore frazionario è pari
Funzione di potenza con esponente irrazionale Consideriamo una funzione di potenza y = x p con esponente irrazionale p.< 0
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... Esponente pari, n = -2, -4, -6, ...
Parità: x ≠ 0
Estremi: minimo, x = 0, y = 0
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso aumenta monotonicamente
Punti di flesso: ;
Per valori positivi dell'argomento, le proprietà dipendono solo dal valore dell'esponente p e non dipendono dal fatto che p sia intero, razionale o irrazionale. y = x p per diversi valori dell'esponente p. Funzione di potenza con esponente positivo p > 0
Indicatore inferiore a uno 0< p < 1
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... y ≥ 0
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Estremi: convesso verso l'alto
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso a 0
Punti di flesso:
x = 0, y = 0 Per x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
y = x p per diversi valori dell'esponente p. L’indicatore è maggiore di un p > 1
Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, .... y ≥ 0
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Estremi: minimo, x = 0, y = 0
a -∞ aumenta monotonicamente
convesso verso il basso a 0
Punti di flesso:
x = 0, y = 0 Per x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
y = x p per diversi valori dell'esponente p.
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.
